Izračunajte bočnu površinu. Kako izračunati površinu piramide: bazu, stranu i ukupno
Znamo šta je konus, pokušajmo pronaći njegovu površinu. Zašto trebate riješiti takav problem? Na primjer, morate razumjeti koliko test će raditi za pravljenje korneta za vafle? Ili koliko je cigli potrebno za slaganje krov od cigle dvorac?
Mjerenje bočne površine konusa jednostavno se ne može uraditi. Ali zamislimo isti rog umotan u tkaninu. Da biste pronašli površinu komada tkanine, morate ga izrezati i položiti na stol. Rezultat je ravna figura, možemo pronaći njegovu površinu.
Rice. 1. Presjek konusa duž generatrise
Uradimo isto sa konusom. Hajde da ga "presečemo". bočna površina duž bilo koje generatrike, na primjer (vidi sliku 1).
Sada "odmotamo" bočnu površinu na ravan. Dobijamo sektor. Središte ovog sektora je vrh stošca, poluprečnik sektora jednak je generatrisi stošca, a dužina njegovog luka poklapa se sa obimom osnove stošca. Ovaj sektor se naziva razvoj bočne površine stošca (vidi sliku 2).
Rice. 2. Razvoj bočne površine
Rice. 3. Mjerenje ugla u radijanima
Pokušajmo pronaći područje sektora koristeći dostupne podatke. Prvo, uvedemo notaciju: neka je ugao na vrhu sektora u radijanima (vidi sliku 3).
Često ćemo morati da se nosimo sa uglom na vrhu zahvata u problemima. Za sada, pokušajmo odgovoriti na pitanje: zar ovaj ugao ne može biti veći od 360 stepeni? Odnosno, zar se ne bi ispostavilo da bi se preklapanje sam po sebi preklopio? Naravno da ne. Dokažimo ovo matematički. Pustite da se skeniranje "superponira" samo po sebi. To znači da je dužina luka sweep veća od dužine kruga radijusa. Ali, kao što je već spomenuto, dužina luka zamaha je dužina kruga radijusa. A polumjer osnove stošca je, naravno, manji od generatrikse, na primjer, jer je krak pravokutnog trokuta manji od hipotenuze
Zatim se prisjetimo dvije formule iz kursa planimetrije: dužina luka. Područje sektora: .
U našem slučaju ulogu igra generator , a dužina luka jednaka je obimu osnove stošca, tj. Imamo:
Konačno dobijamo: .
Uz bočnu površinu, može se naći i ukupna površina. Da biste to učinili, površina baze se mora dodati površini bočne površine. Ali baza je krug radijusa, čija je površina prema formuli jednaka .
Konačno imamo: , gdje je polumjer osnove cilindra, je generatriksa.
Rešimo nekoliko zadataka koristeći date formule.
Rice. 4. Potreban ugao
Primjer 1. Razvoj bočne površine stošca je sektor sa uglom na vrhu. Nađite ovaj ugao ako je visina konusa 4 cm, a poluprečnik osnove 3 cm (vidi sliku 4).
Rice. 5. Pravokutni trokut koji formira konus
Prvom radnjom, prema Pitagorinoj teoremi, nalazimo generator: 5 cm (vidi sliku 5). Dalje, znamo to .
Primjer 2. Aksijalna površina poprečnog presjeka konusa je jednaka , visina je jednaka . Pronađite ukupnu površinu (vidi sliku 6).
je figura čija je osnova proizvoljan poligon, a bočne strane su predstavljene trouglovima. Njihovi vrhovi leže u istoj tački i odgovaraju vrhu piramide.
Piramida može biti raznolika - trouglasta, četverokutna, šesterokutna itd. Njegovo ime može se odrediti ovisno o broju uglova koji se nalaze uz bazu.
Prava piramida naziva se piramida u kojoj su stranice osnove, uglovi i ivice jednaki. I u takvoj piramidi će površina bočnih strana biti jednaka.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbir površina svih njenih strana: 
To jest, da biste izračunali površinu bočne površine proizvoljne piramide, morate pronaći površinu svakog pojedinačnog trokuta i zbrojiti ih. Ako je piramida skraćena, tada su njena lica predstavljena trapezom. Postoji još jedna formula za pravilnu piramidu. U njemu se bočna površina izračunava kroz poluperimetar baze i dužinu apoteme:
Razmotrimo primjer izračunavanja površine bočne površine piramide.
Neka je data pravilna četvorougaona piramida. Osnovna strana b= 6 cm, apotema a= 8 cm Nađite površinu bočne površine.
U osnovi pravilne četvorougaone piramide je kvadrat. Prvo, pronađimo njegov perimetar:
Sada možemo izračunati bočnu površinu naše piramide: 
Da biste pronašli puna površina poliedar, morate pronaći površinu njegove baze. Formula za površinu osnove piramide može se razlikovati ovisno o tome koji poligon leži u osnovi. Da biste to učinili, koristite formulu za površinu trokuta, površina paralelograma itd.
Razmotrimo primjer izračunavanja površine osnove piramide date našim uvjetima. Pošto je piramida pravilna, u njenoj osnovi je kvadrat.
Kvadratna površina izračunato po formuli: ,
gdje je a stranica kvadrata. Za nas je to 6 cm. To znači da je površina osnove piramide: 
Sada ostaje samo pronaći ukupnu površinu poliedra. Formula za površinu piramide sastoji se od zbira površine njene osnove i bočne površine.
U ovoj lekciji:
- Zadatak 1. Nađite ukupnu površinu piramide
- Zadatak 2. Nađite površinu bočne površine pravilne trokutaste piramide
.
Bilješka . Ako trebate riješiti problem geometrije koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. U zadacima se umjesto simbola "kvadratni korijen" koristi funkcija sqrt(), u kojoj je sqrt simbol kvadratni korijen, a radikalni izraz je naveden u zagradama. Za jednostavne radikalne izraze može se koristiti znak "√"..
Problem 1. Pronađite ukupnu površinu pravilne piramide
Visina osnove pravilne trouglaste piramide je 3 cm, a ugao između bočne strane i osnove piramide je 45 stepeni.Pronađite ukupnu površinu piramide
Rješenje.
U osnovi pravilne trouglaste piramide leži jednakostranični trokut.
Stoga, da riješimo problem, koristit ćemo svojstva pravilnog trokuta: 
Znamo visinu trougla, odakle možemo pronaći njegovu površinu.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
Otuda će površina baze biti jednaka:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Prema problemu, ugao OKM je 45 stepeni.
ovako:
OK / MK = cos 45
Koristimo tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija i zamjenu poznate vrednosti.
OK / MK = √2/2
Uzmimo u obzir da je u redu jednak poluprečniku upisan krug. Onda
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1
Onda
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2
Površina bočne strane je tada jednaka polovini umnoška visine i osnove trokuta.
Strana = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Dakle, ukupna površina piramide će biti jednaka
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Odgovori: 3√3 + 18/√6
Problem 2. Nađite površinu bočne površine pravilne piramide
U pravilnoj trouglastoj piramidi visina je 10 cm, a stranica osnove 16 cm . Pronađite bočnu površinu .Rješenje.
Pošto je osnova pravilne trouglaste piramide jednakostraničan trougao, AO je poluprečnik kružnice opisane oko baze.
(ovo proizilazi iz)
Iz njegovih svojstava nalazimo poluprečnik kružnice opisane oko jednakostraničnog trougla
Otuda će dužina ivica pravilne trouglaste piramide biti jednaka:
AM 2 = MO 2 + AO 2
visina piramide je poznata pod uslovom (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Svaka strana piramide je jednakokraki trougao. Square jednakokraki trougao nalazimo iz prve formule predstavljene u nastavku 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 m² (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)
Pošto su sve tri strane pravilne piramide jednake, bočna površina će biti jednaka
3S = 48 √(91/3)
odgovor: 48 √(91/3)
Zadatak 3. Nađite ukupnu površinu pravilne piramide
Stranica pravilne trouglaste piramide je 3 cm, a ugao između bočne strane i osnove piramide je 45 stepeni. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Rješenje.
Pošto je piramida pravilna, u njenoj osnovi postoji jednakostranični trougao. Dakle, površina baze je 
Dakle = 9 * √3/4
Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Prema problemu, ugao OKM je 45 stepeni.
ovako:
OK / MK = cos 45
Hajde da iskoristimo prednost
Prilikom pripreme za Jedinstveni državni ispit iz matematike, studenti moraju sistematizovati svoja znanja iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, o tome kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih rubova do cijele površine. Ako je situacija sa bočnim stranama jasna, budući da su trouglovi, onda je baza uvijek drugačija.
Kako pronaći površinu osnove piramide?
To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trougla do n-ugla. A ova baza, pored razlike u broju uglova, može biti pravilna ili nepravilna figura. U zadacima Jedinstvenog državnog ispita koji zanimaju školarce, postoje samo zadaci s tačnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
Pravilan trougao
Odnosno, jednakostraničan. Onaj u kojem su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide se izračunava po formuli:
S = (a 2 * √3) / 4.
Square
Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:
Proizvoljni regularni n-ugao
Strana poligona ima istu notaciju. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Što učiniti pri izračunavanju bočne i ukupne površine?
Jer u osnovi leži tačna figura, tada se ispostavljaju da su sve strane piramide jednake. Štaviše, svaki od njih je jednakokraki trokut, jer su bočne ivice jednake. Zatim da bi izračunali bočno područje piramide, trebat će vam formula koja se sastoji od zbira identičnih monoma. Broj pojmova je određen brojem stranica baze.
Površina jednakokračnog trokuta izračunava se po formuli u kojoj se polovina proizvoda baze pomnoži s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotema. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu to izgleda ovako:
S = ½ P*A, gdje je P obim osnove piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su date bočne ivice (c) i ravan ugao na njenom vrhu (α). Zatim morate koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S = n/2 * u 2 sin α .
Zadatak br. 1
Stanje. Nađi ukupna površina piramida, ako njena osnova ima stranu 4 cm, a apotema ima vrijednost √3 cm.
Rješenje. Morate početi s izračunavanjem perimetra baze. Pošto je ovo pravilan trokut, onda je P = 3*4 = 12 cm. Pošto je apotema poznata, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Za trougao u osnovi dobijate sljedeću vrijednost površine: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete sabrati dvije rezultirajuće vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odgovori. 10√3 cm 2.
Problem br. 2
Stanje. Postoji pravilna četvorougaona piramida. Dužina donje strane je 7 mm, bočne ivice 16 mm. Potrebno je saznati njegovu površinu.
Rješenje. Pošto je poliedar četvorougao i pravilan, njegova osnova je kvadrat. Kada znate površinu baze i bočnih strana, moći ćete izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A za bočne strane poznate su sve strane trougla. Stoga možete koristiti Heronovu formulu da izračunate njihove površine.
Prvi proračuni su jednostavni i dovode do sljedećeg broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost, morat ćete izračunati poluperimetar: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trougla: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, tako da ćete prilikom izračunavanja konačnog broja morati da ga pomnožite sa 4.
Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Odgovori. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.
Problem br. 3
Stanje. Za pravilnu četvorougaonu piramidu morate izračunati površinu. Poznato je da je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.
Rješenje. Najlakši način je korištenje formule s umnoškom perimetra i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo komplikovaniji.
Morat ćemo se sjetiti Pitagorine teoreme i razmotriti da je formirana visinom piramide i apoteme, koja je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovini stranice kvadrata, jer visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Tražena apotema (hipotenuza pravouglog trougla) je jednaka √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sada možete izračunati potrebnu vrijednost: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Odgovori. 96 cm 2.
Problem br. 4
Stanje. Dana ispravna strana njegove osnove su 22 mm, bočna rebra su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?
Rješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao ono opisano u zadatku br. 2. Samo tamo je data piramida sa kvadratom u osnovi, a sada je to šestougao.
Prije svega, osnovna površina se izračunava korištenjem gornje formule: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Sada morate saznati polu-perimetar jednakokračnog trokuta, što je bočna strana. (22+61*2):2 = 72 cm Ostaje samo da pomoću Heronove formule izračunate površinu svakog takvog trokuta, a zatim je pomnožite sa šest i dodate onom dobijenom za osnovu.
Proračuni pomoću Heronove formule: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Izračuni koji će dati površinu bočne površine: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje da ih zbrojimo kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.
Odgovori. Osnova je 726√3 cm2, bočna površina je 3960 cm2, ukupna površina je 5217 cm2.
Definicija. Bočna ivica- ovo je trokut u kojem jedan ugao leži na vrhu piramide, a suprotna strana se poklapa sa stranom baze (poligona).
Definicija. Bočna rebra- ovo su zajedničke strane bočnih strana. Piramida ima onoliko ivica koliko i uglova poligona.
Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do osnove piramide.
Definicija. Apothem- ovo je okomita na bočnu stranu piramide, spuštena od vrha piramide na stranu osnove.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida je piramida u kojoj je osnova pravilan poligon, a visina se spušta do centra baze.
Zapremina i površina piramide
Formula. Volumen piramide kroz površinu osnove i visinu:
Svojstva piramide
Ako su sve bočne ivice jednake, tada se oko osnove piramide može nacrtati krug, a središte baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi kroz centar baze (krug).
Ako su sve bočne ivice jednake, onda su nagnute prema ravni baze pod istim uglovima.
Bočna rebra su jednaka kada se formiraju sa ravninom osnove jednaki uglovi ili ako se krug može opisati oko osnove piramide.
Ako su bočne strane nagnute prema ravni osnove pod istim uglom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide se projektuje u njeno središte.
Ako su bočne strane nagnute prema ravni baze pod istim uglom, tada su apoteme bočnih strana jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih uglova baze.
2. Sve bočne ivice su jednake.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim uglovima u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.
5. Površine svih bočnih strana su jednake.
6. Sva lica imaju iste diedarske (ravne) uglove.
7. Oko piramide se može opisati sfera. Središte opisane sfere bit će presječna tačka okomica koje prolaze kroz sredinu ivica.
8. Možete uklopiti sferu u piramidu. Središte upisane sfere će biti tačka preseka simetrala koje izlaze iz ugla između ivice i osnove.
9. Ako se centar upisane sfere poklapa sa centrom opisane sfere, tada je zbir ravnih uglova na vrhu jednak π ili obrnuto, jedan ugao je jednak π/n, gdje je n broj uglova u osnovi piramide.
Veza između piramide i sfere
Sfera se može opisati oko piramide kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti presjek ravnina koje prolaze okomito kroz sredine bočnih ivica piramide.
Uvek je moguće opisati sferu oko bilo koje trouglaste ili pravilne piramide.
Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u jednoj tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će biti centar sfere.
Veza piramide sa konusom
Za konus se kaže da je upisan u piramidu ako mu se vrhovi poklapaju, a osnova konusa upisana u bazu piramide.
Konus se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide jednake jedna drugoj.
Za konus se kaže da je opisan oko piramide ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa opisana oko osnove piramide.
Konus se može opisati oko piramide ako su sve bočne ivice piramide jednake jedna drugoj.
Odnos između piramide i cilindra
Piramida se naziva upisanom u cilindar ako vrh piramide leži na jednoj osnovi cilindra, a osnova piramide upisana u drugu bazu cilindra.
Cilindar se može opisati oko piramide ako se može opisati krug oko baze piramide.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest ivica, pri čemu bilo koje dvije ivice nemaju zajedničke vrhove ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i ivica koje se formiraju trouglasti ugao.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa centrom suprotnog lica naziva se medijana tetraedra(GM).
Bimedian naziva se segment koji povezuje sredine suprotnih ivica koje se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra seku se u jednoj tački (S). U ovom slučaju, bimedijane su podijeljene na pola, a medijane su podijeljene u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Piramida sa oštrim uglom- piramida u kojoj je apotema više od polovine dužine stranice osnove.
Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotema manja od polovine dužine stranice baze.
Definicija. Regularni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trouglovi. On je jedan od petorice pravilni poligoni. U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi (između lica) i triedarski uglovi (na vrhu) su jednaki.
Definicija. Pravougaoni tetraedar naziva se tetraedar u kojem postoji pravi ugao između tri ivice na vrhu (ivice su okomite). Formiraju se tri lica pravougaoni trougaoni ugao a ivice su pravokutnih trouglova, a osnova je proizvoljan trokut. Apotema bilo kojeg lica jednaka je polovini stranice baze na koju apotema pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar naziva se tetraedar čije su stranice jednake jedna drugoj, a osnova je pravilan trougao. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokraki trouglovi.
Definicija. Ortocentrični tetraedar naziva se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje se spuštaju od vrha do suprotne strane sijeku u jednoj tački.
Definicija. Zvezdana piramida naziva se poliedar čija je osnova zvezda.
