D'Alembertov princip za materijalnu tačku kaže. D'Alembertov princip teorijske mehanike. d'Alembertov princip za mehanički sistem

d'Alambertov princip Koristi se za rješavanje prvog glavnog problema dinamike neslobodne tačke, kada je poznato kretanje tačke i aktivne sile koje na nju djeluju, te se pronađe reakcija veze koja nastaje.

Zapišimo osnovnu jednačinu za dinamiku neslobodne tačke u inercijskom referentnom okviru:

Prepišimo jednačinu u obliku:

.

Označavajući , dobijamo

, (11.27)

gdje se vektor zove d'Alembertova sila inercije.

Izjava o principu: U svakom trenutku kretanja neslobodne materijalne tačke, aktivna sila i reakcija veze uravnotežuju se d'Alembertovom silom inercije..

Projektovanjem vektorske jednačine (11.27) na bilo koje koordinatne ose dobićemo odgovarajuće jednačine ravnoteže pomoću kojih možemo pronaći nepoznate reakcije.

Projiciramo jednačinu (11.27) na prirodne ose:

(11.28)

gdje naziva se centrifugalna sila inercije, uvijek usmjerena u negativnom smjeru glavne normale; .

napomene:

1). U stvarnosti, osim sila i bilo koje druge fizičke sile, na tačku se ne primjenjuju nikakve druge fizičke sile, a te tri sile ne čine uravnotežen sistem sila. U tom smislu, d'Alembertova sila inercije je fiktivna sila uslovno primijenjena na tačku.

2). d'Alambertov princip treba posmatrati kao zgodnu metodološku tehniku ​​koja omogućava da se problem dinamike svede na problem statike.

Primjer 1 Odredimo reakciju veze koja deluje na pilota kada letelica koja se kreće u vertikalnoj ravni izađe iz ronilačkog leta (slika 11.5).

Na pilota utiču gravitacija i reakcija sjedišta. Primijenimo d'Alembertov princip dodavanjem d'Alembertove sile inercije ovim silama:

(11.29)

Zapišimo jednačinu (11.29) u projekcijama na normalu:

(11.30)

gdje r- radijus kruga kada vazduhoplov ulazi u ravni let,

Maksimalna brzina aviona u tom trenutku.

Iz jednadžbe (11.30)

(11.31)

Primjer 2 Odredimo sada istu reakciju koja djeluje na pilota u trenutku izlaska iz moda penjanja (slika 11.6).

Relativno kretanje materijalne tačke

Ako se referentni okviri ne pomiču u odnosu na inercijski referentni okvir, ili se ishodišta njihovih koordinata kreću neravnomjerno ili krivolinijsko, onda su takvi referentni okviri neinercijalni. U ovim referentnim okvirima, aksiomi ALI 1 i ALI 2 se ne primjećuju, ali iz ovoga ne slijedi da se u dinamici proučavaju samo kretanja koja se javljaju u inercijalnim referentnim okvirima. Razmotrimo kretanje materijalne tačke u neinercijskom koordinatnom sistemu, ako su poznate sile koje deluju na materijalnu tačku i dato je kretanje neinercijalnog referentnog sistema u odnosu na inercijalni referentni sistem. U nastavku će se inercijski referentni okvir zvati fiksni okvir, a neinercijalni okvir pokretni referentni okvir. Neka je - rezultanta aktivnih sila koje djeluju na tačku, i - rezultanta reakcije veza; - fiksni koordinatni sistem; - pokretni koordinatni sistem.

Razmotrite kretanje materijalne tačke M(Sl. 11.7), nije kruto povezan sa pokretnim koordinatnim sistemom, već se kreće u odnosu na njega. Ovo kretanje tačke u kinematici se naziva relativno, kretanje tačke u odnosu na fiksni koordinatni sistem naziva se apsolutnim, kretanje pokretnog koordinatnog sistema naziva se prenosivim.

Osnovni zakon dinamike za apsolutno kretanje tačke Mće izgledati

(11.33)

gdje je apsolutno ubrzanje tačke.

Na osnovu teoreme sabiranja kinematičkog ubrzanja (Coriolisov teorem), apsolutno ubrzanje je zbir relativnog, translacijskog i Coriolisovog ubrzanja

. (11.34)

Zamjenom (11.34) u (11.33) dobijamo

a nakon prenosa i uvođenja notacije

(11.35)

gdje ; vektor se naziva prenosiva sila inercije; - Coriolisova sila inercije.

Jednakost (11.35) izražava zakon relativnog kretanja tačke. Stoga se kretanje točke u neinercijskom referentnom okviru može smatrati kretanjem u inercijskom okviru, ako broju aktivnih sila koje djeluju na tačku i reakcijama dodamo translacijsku i Coriolisovu silu inercije. obveznice.

U prethodnim predavanjima razmatrane su metode za rješavanje problema dinamike zasnovane na Newtonovim zakonima. U teorijskoj mehanici razvijene su i druge metode za rješavanje dinamičkih problema, koje se zasnivaju na nekim drugim polazištima, nazvanim principima mehanike.

Najvažniji princip mehanike je d'Alembertov princip. Metoda kinetostatike je usko povezana sa d'Alembertovim principom - metodom za rješavanje problema dinamike, u kojoj se dinamičke jednačine pišu u obliku jednadžbi ravnoteže. Metoda kinetostatike ima široku primenu u opštim inženjerskim disciplinama kao što su čvrstoća materijala, teorija mehanizama i mašina i u drugim oblastima primenjene mehanike. D'Alembertov princip se takođe efikasno koristi u samoj teorijskoj mehanici, gde je korišćen za kreiranje efikasnih metoda za rešavanje problema dinamike.

d'Alambertov princip za materijalnu tačku

Neka materijalna tačka mase izvrši neslobodno kretanje u odnosu na inercijski koordinatni sistem Oxyz pod dejstvom aktivne sile i reakcije sprege R (slika 57).

Hajde da definišemo vektor

brojčano jednak proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja i usmjeren suprotno od vektora ubrzanja. Vektor ima dimenziju sile i naziva se sila inercije (d'Alembert) materijalne tačke.

D'Alembertov princip za materijalnu tačku svodi se na sljedeću tvrdnju: ako su sile koje djeluju na materijalnu tačku uslovno vezane za silu inercije tačke, onda se dobija uravnotežen sistem sila, tj.

Podsjećajući iz statike na uvjet ravnoteže za konvergirajuće sile, d'Alembertov princip se također može zapisati u sljedećem obliku:

Lako je vidjeti da je d'Alembertov princip ekvivalentan osnovnoj jednadžbi dinamike, i obrnuto, d'Alembertov princip slijedi iz osnovne jednačine dinamike. Zaista, prijenosom vektora iz posljednje jednakosti na drugi dio jednakosti i zamjenom sa , dobijamo osnovnu jednačinu dinamike. Naprotiv, prenošenjem pojma m u osnovnoj jednadžbi dinamike na istu stranu kao i sile i korištenjem zapisa , dobijamo zapis d'Alembertovog principa.

D'Alembertov princip za materijalnu tačku, koji je sasvim ekvivalentan osnovnom zakonu dinamike, izražava ovaj zakon u potpuno drugačijem obliku - u obliku jednadžbe statike. To omogućava korištenje metoda statike pri sastavljanju jednadžbi dinamike, što se naziva metodom kinetostatike.

Metoda kinetostatike je posebno pogodna za rješavanje prvog problema dinamike.

Primjer. Sa najviše tačke glatke sferne kupole poluprečnika R, materijalna tačka M mase klizi zanemarljivom početnom brzinom (slika 58). Odredite gdje će tačka napustiti kupolu.

Rješenje. Tačka će se kretati duž luka nekog meridijana. Neka u nekom (trenutnom) trenutku poluprečnik RM čini ugao sa vertikalom. Proširujući ubrzanje tačke a u tangentu ) i normalu, predstavljamo silu inercije tačke takođe kao zbir dve komponente:

Tangencijalna komponenta inercijalne sile ima modul i usmjerena je suprotno od tangencijalnog ubrzanja, normalna komponenta je modul i usmjerena je suprotno od normalnog ubrzanja.

Dodajući ove sile aktivnoj sili koja stvarno djeluje na tačku i reakciju kupole N, sastavljamo jednadžbu kinetostatike

Sve metode za rješavanje problema dinamike koje smo do sada razmatrali zasnivaju se na jednačinama koje slijede ili direktno iz Newtonovih zakona, ili iz općih teorema koje su posljedice ovih zakona. Međutim, ovaj put nije jedini. Ispostavilo se da se jednačine kretanja ili ravnotežni uslovi mehaničkog sistema mogu dobiti pretpostavkom drugih opštih propozicija umesto Njutnovih zakona, koji se nazivaju principi mehanike. U velikom broju slučajeva, primena ovih principa omogućava, kao što ćemo videti, pronalaženje efikasnijih metoda za rešavanje odgovarajućih problema. U ovom poglavlju će se razmatrati jedan od opštih principa mehanike, nazvan d'Alambertov princip.

Pretpostavimo da imamo sistem koji se sastoji od n materijalne tačke. Izdvojimo neke od tačaka sistema sa masom . Pod dejstvom spoljašnjih i unutrašnjih sila koje se primenjuju na nju i (koje uključuju i aktivne sile i reakcije spajanja), tačka dobija određeno ubrzanje u odnosu na inercijalni referentni okvir.

Uvedemo u obzir količinu

ima dimenziju sile. Vektorska veličina jednaka apsolutnoj vrijednosti proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja i usmjerena suprotno od ovog ubrzanja naziva se sila inercije točke (ponekad d'Alembertova sila inercije).

Tada se ispostavlja da kretanje tačke ima sledeće opšte svojstvo: ako u svakom trenutku dodamo silu inercije silama koje stvarno deluju na tačku, onda će rezultujući sistem sila biti uravnotežen, tj. bice

.

Ovaj izraz izražava d'Alembertov princip za jednu materijalnu tačku. Lako je potvrditi da je ekvivalentan drugom Newtonovom zakonu i obrnuto. Zaista, drugi Newtonov zakon za predmetnu tačku daje . Prenoseći pojam ovdje na desnu stranu jednakosti, dolazimo do posljednje relacije.

Ponavljajući gornje rezonovanje u odnosu na svaku od tačaka sistema, dolazimo do sljedećeg rezultata, koji izražava d'Alambertov princip za sistem: ako se u bilo kojem trenutku na svaku tačku sistema, pored vanjskih i unutrašnjih sila koje stvarno djeluju na nju, primjenjuju i odgovarajuće sile inercije, tada će rezultirajući sistem sila biti u ravnoteži i sve jednačine na njega se može primijeniti statika.

Značaj d'Alamberovog principa leži u činjenici da kada se direktno primenjuje na probleme dinamike, jednačine kretanja sistema se sastavljaju u obliku dobro poznatih jednačina ravnoteže; što čini ujednačen pristup rješavanju problema i obično uvelike pojednostavljuje odgovarajuće proračune. Osim toga, u sprezi s principom mogućih pomaka, o kojem će biti riječi u sljedećem poglavlju, d'Alembertov princip nam omogućava da dobijemo novu opštu metodu za rješavanje problema dinamike.

Prilikom primjene d'Alembertovog principa, treba imati na umu da samo vanjske i unutrašnje sile djeluju na tačku mehaničkog sistema čije se kretanje proučava, a koje nastaju kao rezultat interakcije tačaka sistem međusobno i sa organima koji nisu uključeni u sistem; pod dejstvom ovih sila, tačke sistema i kreću se odgovarajućim ubrzanjima. Sile inercije, koje se pominju u d'Alembertovom principu, ne djeluju na pokretne tačke (inače bi ove tačke mirovale ili bi se kretale bez ubrzanja i tada ne bi postojale same inercijske sile). Uvođenje inercijalnih sila je samo tehnika koja vam omogućava da sastavite jednadžbe dinamike koristeći jednostavnije metode statike.

Iz statike je poznato da je geometrijski zbir sila u ravnoteži i zbir njihovih momenata u odnosu na bilo koje središte O jednake su nuli, a prema principu očvršćavanja, to vrijedi za sile koje djeluju ne samo na kruto tijelo, već i na bilo koji promjenljivi sistem. Onda bi, na osnovu d'Alembertovog principa, trebalo da bude.

Sile inercije u dinamici materijalne tačke i mehaničkog sistema

Silom inercije materijalne tačke je proizvod mase tačke i njenog ubrzanja uzet sa predznakom minus, odnosno inercijalne sile u dinamici se primenjuju u sledećim slučajevima:

• 1. Prilikom proučavanja kretanja materijalne tačke u neinercijalni(pokretni) koordinatni sistem, odnosno relativno kretanje. To su translatorne i Coriolisove sile inercije, koje se često nazivaju Eulerovim silama.
• 2. Prilikom rješavanja zadataka dinamike metodom kinetostatike. Ova metoda se zasniva na d'Alembertovom principu, prema kojem se sile inercije materijalne tačke ili sistema materijalnih tačaka kreću sa određenim ubrzanjem u inercijalni referentni sistem. Ove sile inercije nazivaju se d'Alembertovim silama.
• 3. D'Alembertove sile inercije se također koriste u rješavanju problema dinamike korištenjem Lagrange-D'Alembertovog principa ili opće jednačine dinamike.

Izraz u projekcijama na osi kartezijanskih koordinata

gdje - moduli projekcija ubrzanja tačke na Dekartovu koordinatnu osu.

Kod krivolinijskog kretanja tačke, sila inercije se može razložiti na tangencijalnu i normalnu:; , - modul tangencijalnog i normalnog ubrzanja; - radijus zakrivljenosti putanje;

V- tačka brzina.

d'Alambertov princip za materijalnu tačku

Ako nije besplatno na materijalnu tačku koja se kreće pod dejstvom primenjenih aktivnih sila i reakcionih sila veza, primenite njenu silu inercije, tada će u svakom trenutku rezultirajući sistem sila biti uravnotežen, odnosno geometrijski zbir ovih sila će biti jednak nuli.

materijal mehaničkog tijela

gdje - rezultanta aktivnih sila primijenjenih na tačku; - rezultanta reakcija veza nametnutih na tačku; sila inercije materijalne tačke. Napomena: U stvari, sila inercije materijalne tačke se ne primenjuje na samu tačku, već na telo koje ovoj tački daje ubrzanje.

d'Alembertov princip za mehanički sistem

geometrijski zbir glavni vektori vanjskih sila koje djeluju na sistem, i sile inercije svih tačaka sistema, kao i geometrijski zbir glavnih momenata ovih sila u odnosu na neki centar za neslobodan mehanički sistem u bilo kojem trenutku jednaki su nuli, tj.

Glavni vektor i glavni moment sila inercije krutog tijela

Glavni vektor i glavni moment sila inercije tačaka sistema određuju se posebno za svako kruto tijelo uključeno u ovaj mehanički sistem. Njihova definicija se zasniva na Poinsot metodi poznatoj iz statike o dovođenju proizvoljnog sistema sila u dato središte.

Na osnovu ove metode, inercijalne sile svih tačaka tijela u opštem slučaju njegovog kretanja mogu se dovesti do centra mase i zamijeniti glavnim vektorom * i glavnim momentom o centru mase. One se određuju formulama tj. za bilo koje kretanje krutog tijela, glavni vektor inercijalnih sila jednak je sa predznakom minus proizvodu mase tijela i ubrzanja centra mase tijela; ,gdje r kc -- radijus vektor k-th tačka povučena iz centra mase. Ove formule u određenim slučajevima kretanja krutog tijela imaju oblik:

1. Progresivno kretanje.

2. Rotacija tijela oko ose koja prolazi kroz centar mase

3. Ravnoparalelno kretanje

Uvod u analitičku mehaniku

Osnovni pojmovi analitičke mehanike

Analitička mehanika- oblast (sekcija) mehanike u kojoj se proučava kretanje ili ravnoteža mehaničkih sistema korišćenjem opštih, unificiranih analitičkih metoda koje se koriste za bilo koje mehaničke sisteme.

Razmotrimo najkarakterističnije koncepte analitičke mehanike.

1. Veze i njihova klasifikacija.

Veze-- bilo kakvih ograničenja u obliku tijela ili bilo kakvih kinematičkih uslova nametnutih kretanju tačaka mehaničkog sistema. Ova ograničenja se mogu napisati kao jednačine ili nejednačine.

Geometrijske veze-- veze, čije jednačine sadrže samo koordinate tačaka, odnosno ograničenja su nametnuta samo na koordinate tačaka. To su veze u obliku tijela, površina, linija itd.

Diferencijalne veze-- veze koje nameću ograničenja ne samo na koordinate tačaka, već i na njihovu brzinu.

Holonomske veze -- sve geometrijske veze i one diferencijalne čije se jednadžbe mogu integrirati.

Neholonomska ograničenja-- diferencijalne neintegrabilne veze.

Stacionarne komunikacije -- veze, čije jednačine ne uključuju eksplicitno vrijeme.

Nestacionarne komunikacije- veze koje se mijenjaju tokom vremena, tj. čije jednačine eksplicitno uključuju vrijeme.

Bilateralne (holding) veze -- veze koje ograničavaju kretanje tačke u dva suprotna smera. Takve veze su opisane jednadžbama .

Jednostrano(ne-retaining) karike - karike koje ograničavaju kretanje samo u jednom smjeru. Takve veze se opisuju nejednačinama

2. Moguća (virtuelna) i stvarna kretanja.

Moguće ili virtuelno pomaci tačaka mehaničkog sistema su imaginarni infinitezimalni pomaci koji su dozvoljeni ograničenjima nametnutim sistemu.

Moguće Pomak mehaničkog sistema je skup istovremenih mogućih pomaka tačaka sistema koji su kompatibilni s ograničenjima. Neka mehanički sistem bude koljenasti mehanizam.

Moguća tačka kretanja ALI je pomak koji se zbog svoje malenosti smatra pravolinijskim i usmjeren okomito na OA.

Moguća tačka kretanja AT(klizač) se kreće u vodilicama. Moguće pomicanje radilice OA je rotacija za ugao, a klipnjača AB -- pod uglom oko MCS (tačka R).

Validan Pomaci tačaka sistema nazivaju se i elementarnim pomacima, koji dozvoljavaju superponirane veze, ali uzimajući u obzir početne uslove kretanja i sile koje deluju na sistem.

Broj stepeni sloboda S mehaničkog sistema je broj njegovih nezavisnih mogućih pomaka koji se mogu prenijeti tačkama sistema u fiksnom trenutku u vremenu.

Princip mogućih pomaka (Lagrangeov princip)

Princip mogućih pomaka ili Lagrangeov princip izražava uslov ravnoteže za neslobodan mehanički sistem pod dejstvom primenjenih aktivnih sila. Formulacija principa.

Za balans Za neslobodan mehanički sistem sa bilateralnim, stacionarnim, holonomskim i idealnim ograničenjima, koji miruje pod dejstvom primenjenih aktivnih sila, potrebno je i dovoljno da zbir elementarnih radova svih aktivnih sila bude jednak metku. o svakom mogućem pomaku sistema iz razmatranog ravnotežnog položaja:

Opća jednadžba dinamike (Lagrange-D'Alembertov princip)

Opća jednadžba dinamike primjenjuje se na proučavanje kretanja neslobodnih mehaničkih sistema čija se tijela ili tačke kreću određenim ubrzanjima.

U skladu sa d'Alembertovim principom, ukupnost aktivnih sila primijenjenih na mehanički sistem, reakcionih sila veza i sila inercije svih tačaka sistema čini uravnotežen sistem sila.

Ako se na takav sistem primijeni princip mogućih pomaka (Lagrangeov princip), onda se dobija kombinovani Lagrange-D'Alembertov princip ili opšta jednačina dinamike.formulaciju ovog principa.

Prilikom kretanja nije slobodno mehaničkog sistema sa dvosmernim, idealnim, stacionarnim i holonomskim ograničenjima, zbir elementarnih radova svih aktivnih sila i sila inercije primenjenih na tačke sistema na bilo koji mogući pomak sistema jednak je nuli:

Lagrangeove jednadžbe druge vrste

Lagrangeove jednadžbe druge vrste su diferencijalne jednačine kretanja mehaničkog sistema u generalizovanim koordinatama.

Za sistem sa S stepena slobode, ove jednačine imaju oblik

Razlika ukupni vremenski izvod parcijalnog izvoda kinetičke energije sistema u odnosu na generalizovanu brzinu i parcijalni izvod kinetičke energije u odnosu na generalizovanu koordinatu jednak je generalizovanoj sili.

Lagrangeove jednadžbe za konzervativne mehaničke sisteme. Ciklične koordinate i integrali

Za konzervativni sistem, generalizovane sile se određuju u smislu potencijalne energije sistema formulom

Zatim se Lagrangeove jednadžbe prepisuju u formu

Pošto je potencijalna energija sistema funkcija samo generalizovanih koordinata, tj. Uzimajući to u obzir, predstavljamo je u obliku gde T - P \u003d L - Lagrangeova funkcija (kinetički potencijal). Konačno, Lagrangeove jednačine za konzervativni sistem

Stabilnost ravnotežnog položaja mehaničkog sistema

Pitanje stabilnosti ravnotežnog položaja mehaničkih sistema je od direktnog značaja u teoriji oscilacija sistema.

Položaj ravnoteže može biti stabilan, nestabilan i indiferentan.

održivo ravnotežni položaj - položaj ravnoteže, u kojem se tačke mehaničkog sistema, izvedene iz ovog položaja, pomiču pod dejstvom sila u neposrednoj blizini blizu svog ravnotežnog položaja.

Ovaj pokret će imati različit stepen ponavljanja u vremenu, tj. sistem će izvršiti oscilatorno kretanje.

nestabilno ravnotežni položaj - položaj ravnoteže od kojeg će, uz proizvoljno malo odstupanje tačaka sistema, u budućnosti, djelujuće sile dalje uklanjati tačke iz njihovog ravnotežnog položaja .

indiferentan ravnotežni položaj - položaj ravnoteže, kada za bilo koje malo početno odstupanje tačaka sistema od ove pozicije u novom položaju, sistem takođe ostaje u ravnoteži. .

Postoje različite metode za određivanje stabilnog ravnotežnog položaja mehaničkog sistema.

Razmotrimo definiciju stabilne ravnoteže na osnovu Lagrange-Dirichletove teoreme

Ako je na poziciji ravnoteža konzervativnog mehaničkog sistema sa idealnim i stacionarnim ograničenjima, njegova potencijalna energija ima minimum, onda je ova ravnotežna pozicija stabilna.

Fenomen uticaja. Udarna sila i udarni impuls

Pojava u kojoj se brzine tačaka tijela mijenjaju za konačan iznos u zanemarljivo malom vremenskom periodu naziva se udarac. Ovaj vremenski period se zove vreme udara. Tokom udara, sila udara djeluje beskonačno mali vremenski period. udarna snaga naziva se sila čiji je moment gibanja pri udaru konačna vrijednost.

Ako je modulo konačna sila djeluje tokom vremena, započinjući svoje djelovanje u određenom trenutku , tada njegov zamah ima oblik

Također, kada udarna sila djeluje na materijalnu tačku, možemo reći da:

djelovanje netrenutnih sila tokom udara može se zanemariti;

kretanje materijalne tačke tokom udara može se zanemariti;

rezultat djelovanja udarne sile na materijalnu tačku izražava se konačnom promjenom pri udaru njenog vektora brzine.

Teorema o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema pri udaru

promjena impulsa mehaničkog sistema za vrijeme udara jednaka je geometrijskom zbiru svih vanjskih udarnih impulsa primijenjenih na tačke sistema, gdje - količina kretanja mehaničkog sistema u trenutku prestanka djelovanja sila udara, - količina kretanja mehaničkog sistema u trenutku kada udarne sile počnu djelovati, - eksterni udarni impuls.

Metode rješavanja problema mehanike, koje su do sada razmatrane, zasnivaju se na jednačinama koje slijede ili direktno iz Newtonovih zakona, ili iz općih teorema koje su posljedica ovih zakona. Međutim, ovaj put nije jedini. Ispostavilo se da se jednačine kretanja ili ravnotežni uslovi mehaničkog sistema mogu dobiti pretpostavkom drugih opštih propozicija, nazvanih principi mehanike, umesto Njutnovih zakona. U velikom broju slučajeva, primena ovih principa omogućava, kao što ćemo videti, pronalaženje efikasnijih metoda za rešavanje odgovarajućih problema. U ovom poglavlju će se razmatrati jedan od opštih principa mehanike, nazvan d'Alambertov princip.

Hajde da prvo pronađemo izraz principa za jednu materijalnu tačku. Neka sistem aktivnih sila djeluje na materijalnu tačku s masom, čija će rezultanta biti označena reakcijom veze N (ako tačka nije slobodna). Pod djelovanjem svih ovih sila, tačka će se kretati u odnosu na inercijski referentni sistem s određenim ubrzanjem a.

Uvedemo u obzir količinu

ima dimenziju sile. Vektorska veličina koja je po apsolutnoj vrijednosti jednaka proizvodu mase tačke i njenog ubrzanja i usmjerena suprotno od ovog ubrzanja naziva se sila inercije tačke.

Tada se ispostavlja da kretanje tačke ima sljedeće svojstvo: ako se u bilo kojem trenutku aktivnim silama koje djeluju na tačku i reakciji veze doda sila inercije, tada će rezultirajući sistem sila biti uravnotežena, tj.

Ova odredba izražava d'Alambertov princip za materijalnu tačku. Lako je potvrditi da je ekvivalentan drugom Newtonovom zakonu i obrnuto. Zaista, drugi Newtonov zakon za razmatranu tačku daje Prenoseći ovdje vrijednost m na desnu stranu jednakosti i uzimajući u obzir notaciju (84), dolazimo do relacije (85). Naprotiv, prenoseći vrijednost iz jednačine (85) na drugi dio jednačine i uzimajući u obzir notaciju (84), dobijamo izraz za drugi Newtonov zakon.

Razmotrimo sada mehanički sistem koji se sastoji od materijalnih tačaka. Izdvojimo neke od tačaka sistema sa masom . Pod djelovanjem vanjskih i unutrašnjih sila koje se na nju primjenjuju (koje uključuju i aktivne sile i reakcije ograničenja), tačka će se kretati u odnosu na inercijski referentni okvir uz određeno ubrzanje. Unosom sile inercije za ovu tačku dobijamo prema jednačini (85), da

tj. koje čine uravnotežen sistem snaga. Ponavljajući takvo rezonovanje za svaku od tačaka sistema, dolazimo do sledećeg rezultata, koji izražava d'Alambertov princip za sistem: ako u bilo kom trenutku do svake tačke sistema, pored spoljašnje i unutrašnjih sila koje na njega djeluju, pripajamo odgovarajuće sile inercije, tada će rezultirajući sistem sila biti uravnotežen i na njega se mogu primijeniti sve jednadžbe statike.

Matematički, d'Alembertov princip za sistem je izražen vektorskim jednakostima oblika (85), koje su očigledno ekvivalentne diferencijalnim jednačinama gibanja sistema (13) dobijenim u § 106. Stoga, iz d'Alembertovog principa, kao i iz jednačina (13), mogu se dobiti sve opšte teoreme dinamike.

Značaj d'Alamberovog principa leži u činjenici da kada se direktno primenjuje na probleme dinamike, jednačine kretanja sistema se sastavljaju u obliku dobro poznatih jednačina ravnoteže; ovo čini pristup rješavanju problema ujednačenim i često pojednostavljuje odgovarajuće proračune. Pored toga, u vezi sa principom mogućih pomeranja, koji će biti razmatran u sledećem poglavlju, d'Alembertov princip nam omogućava da dobijemo novu opštu metodu za rešavanje problema dinamike (videti § 141).

Iz statike je poznato da su geometrijski zbir sila u ravnoteži i zbir njihovih momenata u odnosu na bilo koji centar O jednak nuli, i, kao što je prikazano u § 120, to vrijedi za sile koje djeluju ne samo na kruto tijelo, ali i na bilo kojem varijabilnom mehaničkom sistemu.

Zatim, na osnovu d'Alembertovog principa, trebalo bi da bude:

Hajde da uvedemo notaciju:

Veličine predstavljaju glavni vektor i glavni moment u odnosu na centar O sistema inercijskih sila. Kao rezultat toga, uzimajući u obzir da su geometrijski zbir unutrašnjih sila i zbir njihovih momenata jednaki nuli, dobijamo iz jednakosti (86):

Primjena jednačina (88), koje proizilaze iz d'Alembertovog principa, pojednostavljuje proces rješavanja problema, jer ove jednačine ne sadrže unutrašnje sile. U suštini, jednačine (88) su ekvivalentne jednačinama koje izražavaju teoreme o promjeni količine gibanja i glavnog momenta količine gibanja sistema, a razlikuju se od njih samo po obliku.

Jednačine (88) su posebno pogodne za korištenje pri proučavanju kretanja krutog tijela ili sistema krutih tijela. Za potpuno proučavanje kretanja bilo kog promenljivog sistema, ove jednačine neće biti dovoljne, kao što jednačine statike nisu dovoljne za proučavanje ravnoteže bilo kog mehaničkog sistema (videti § 120).

U projekcijama na koordinatne ose, jednakosti (88) daju jednačine analogne odgovarajućim jednačinama statike (vidi §§ 16, 30). Da biste koristili ove jednadžbe pri rješavanju zadataka, morate znati izraze za glavni vektor i glavni moment sila inercije.

U zaključku, treba naglasiti da se prilikom proučavanja kretanja u odnosu na inercijski referentni okvir, koji se ovdje razmatra, inercijalne sile uvode samo kada se za rješavanje problema primjenjuje d’Alembertov princip.