Problemi koji uključuju konstrukciju presjeka poliedara zauzimaju značajno mjesto kao školski kurs geometrije za srednju školu, te na ispitima na različitim nivoima. Rješavanje ove vrste problema doprinosi asimilaciji aksioma stereometrije, sistematizaciji znanja i vještina, razvoju prostornog razumijevanja i konstruktivnih vještina. Poznate su poteškoće koje nastaju prilikom rješavanja problema vezanih za izgradnju dionica.

Od ranog djetinjstva susrećemo se sa sekcijama. Režemo hljeb, kobasice i druge proizvode, nožem ređamo štap ili olovku. Ravan rezanja u svim ovim slučajevima je ravan noža. Ispada da su dijelovi (rezovi komada) različiti.

Presjek konveksnog poliedra je konveksan mnogokut čiji su vrhovi u opštem slučaju tačke preseka presečne ravni sa ivicama mnogougla, a stranice su linije preseka ravnine sečenja sa stranama .

Da bi se konstruisala prava linija preseka dve ravni, dovoljno je pronaći dve zajedničke tačke ove ravnine i povući pravu liniju kroz njih. Ovo se zasniva na sljedećim izjavama:

1. ako dvije tačke prave pripadaju ravni, onda cijela prava pripada ovoj ravni;

2. ako dvije različite ravni imaju zajedničku tačku, onda se sijeku duž prave linije koja prolazi kroz ovu tačku.

Kao što sam već rekao, konstrukcija presjeka poliedara može se izvesti na osnovu aksioma stereometrije i teorema o paralelizmu pravih i ravnina. Istovremeno, postoje određene metode za konstrukciju ravnih presjeka poliedara. Najefikasnije su sledeće tri metode:

Metoda praćenja

Metoda internog dizajna

Kombinovana metoda.

U proučavanju geometrije, a posebno onih odjeljaka gdje se razmatraju slike geometrijskih figura, slike geometrijskih figura pomažu korištenjem kompjuterskih prezentacija. Uz pomoć kompjutera, mnoge lekcije geometrije postaju vizualnije i dinamičnije. Aksiomi, teoreme, dokazi, konstrukcijski problemi, problemi konstrukcije sekcija mogu biti praćeni uzastopnim konstrukcijama na ekranu monitora. Crteži napravljeni pomoću računara mogu se sačuvati i umetnuti u druge dokumente.

Želio bih pokazati nekoliko slajdova na temu: “Konstruiranje presjeka u geometrijskim tijelima”

Da biste konstruisali tačku preseka prave i ravni, pronađite pravu u ravni koja seče datu pravu. Tada je tražena tačka tačka preseka pronađene prave sa datom. Pogledajmo ovo na sljedećim slajdovima.

Zadatak 1.

Dvije tačke M i N označene su na ivicama DABC tetraedra; M GAD, N b DC. Odredite tačku preseka prave MN sa baznom ravninom.

Rješenje: kako bi se pronašla tačka preseka prave MN sa ravninom

Bazu ćemo nastaviti sa AC i segmentom MN. Označimo tačku preseka ovih pravih kroz X. Tačka X pripada pravoj liniji MN i licu AC, a AC leži u ravni baze, što znači da tačka X takođe leži u ravni baze. Prema tome, tačka X je tačka preseka prave linije MN sa ravninom baze.

Hajde da razmotrimo drugi problem. Hajde da to malo zakomplikujemo.

Zadatak 2.

Dat je tetraedar DABC tačaka M i N, gdje je M € DA, N C (DBC). Naći tačku preseka prave MN sa ravninom ABC.

Rešenje: tačka preseka prave MN sa ravninom ABC mora da leži u ravni koja sadrži pravu MN i u ravni baze. Nastavimo segment DN do tačke preseka sa ivicom DC. Tačku raskrsnice označavamo kroz E. Nastavljamo liniju AE i MN do tačke njihovog sjecišta. Označimo X. Tačka X pripada MN, što znači da leži na ravni koja sadrži pravu MN i X pripada AE, a AE leži na ravni ABC. To znači da X takođe leži u ravni ABC. Dakle, X je tačka preseka prave MN i ravni ABC.

Hajde da zakomplikujemo zadatak. Razmotrimo presek geometrijskih figura ravninama koje prolaze kroz tri date tačke.

Problem 3

Tačke M, N i P su označene na ivicama AC, AD i DB tetraedra DABC Konstruisati presek tetraedra koristeći MNP ravan.

Rješenje: konstruirati pravu liniju duž koje je ravan MNP. Seče ravan lica ABC. Tačka M je zajednička tačka ovih ravni. Da bismo konstruirali još jednu zajedničku tačku, nastavljamo segmente AB i NP. Označavamo presečnu tačku kroz X, koja će biti druga zajednička tačka MNP i ABC ravni. To znači da se ove ravni seku duž prave MX. MX seče ivicu BC u nekoj tački E. Pošto E leži na MX, a MX je prava koja pripada ravni MNP, onda PE pripada MNP. Četvorougao MNPE je potreban presjek.

Problem 4

Konstruirajmo presjek prave prizme ABCA1B1C1 sa ravninom koja prolazi kroz tačke P , Q,R, gdje R pripada ( AA. 1C 1C), R pripada IN 1C1,

Q pripada AB

Rješenje: Sva tri tačke P,Q,R leže na različitim stranama, tako da još ne možemo konstruisati liniju preseka presečne ravni sa bilo kojom licem prizme. Hajde da nađemo poentu ukrštanja PR-a sa ABC-om. Nađimo projekcije tačaka P i R na osnovnu ravan PP1 okomitu na BC i RR1 okomitu na AC. Prava P1R1 seče pravu PR u tački X. X je tačka preseka prave PR sa ravninom ABC. Leži u željenoj ravni K i u ravni baze, kao tačka Q. XQ je prava linija koja seče K sa ravninom baze. XQ seče AC u tački K. Dakle, KQ je segment preseka ravni X sa licem ABC. K i R leže u X ravni i u ravni lica AA1S1S. Nacrtajmo pravu liniju KR i označimo tačku preseka sa A1Q E. KE je linija preseka X ravni sa ovim licem. Nađimo liniju preseka X ravni sa ravninom lica BB1A1A. KE seče sa A1A u tački Y. Prava QY je linija preseka presečne ravni sa ravninom AA1B1B. FPEKQ je obavezna sekcija.

Metoda presjeka poliedara u stereometriji se koristi u konstrukcijskim problemima. Zasniva se na sposobnosti da se konstruiše presek poliedra i odredi tip preseka.

Ovaj materijal karakteriziraju sljedeće karakteristike:

1. Metoda presjeka se koristi samo za poliedre, jer različiti složeni (kosi) tipovi presjeka tijela revolucije nisu uključeni u nastavni plan i program srednjih škola.
2. Zadaci uglavnom koriste najjednostavnije poliedre.
3. Problemi su prikazani uglavnom bez numeričkih podataka kako bi se stvorila mogućnost njihove višestruke upotrebe.

Da bi riješio zadatak konstruisanja presjeka poliedra, učenik mora znati:

• šta znači konstruisati presek poliedra sa ravni;
• kako se poliedar i ravan mogu postaviti relativno jedan prema drugom;
• kako je ravan definisana;
• kada se problem konstruisanja presjeka poliedra ravninom smatra riješenim.

Zato što je ravan definisana:

• tri boda;
• prava linija i tačka;
• dvije paralelne prave;
• dve linije koje se seku,

Konstrukcija presečne ravni zavisi od specifikacije ove ravni. Stoga se sve metode za konstruisanje presjeka poliedara mogu podijeliti na metode.

Postoji tri glavne metode konstruisanje preseka poliedara:

1. Metoda praćenja.
2. Metoda pomoćnih sekcija.
3. Kombinovana metoda.

Prve dvije metode su varijacije Aksiomatska metoda konstrukcija sekcija.

Također možemo razlikovati sljedeće metode za konstrukciju presjeka poliedara:

• konstruisanje preseka poliedra kroz koju prolazi ravnina dati poen paralelno sa datom ravninom;
• konstruisanje preseka koji prolazi kroz datu pravu paralelno sa drugom datom pravom;
• konstruisanje preseka koji prolazi kroz datu tačku paralelno sa dve date prave koje se seku;
• konstruisanje preseka poliedra sa ravni koja prolazi kroz datu pravu okomitu na datu ravan;
• konstruisanje preseka poliedra sa ravni koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu liniju.

Savezna lista udžbenika geometrije za 10-11 razred uključuje udžbenike sljedećih autora:

• Atanasyan L.S., Butuzova V.F., Kadomtseva S.B. i drugi (Geometrija, 10-11);
• Pogorelova A.V. (Geometrija, 7-11);
• Alexandrova A.D., Vernera A.L., Ryzhik V.I. (Geometrija, 10-11);
• Smirnova I.M. (Geometrija, 10-11);
• Sharygina I.F. (Geometrija, 10-11).

Pogledajmo pobliže udžbenike L.S., Atanasyan i A.V.

U udžbeniku L.S. Atanasyanu na temu „Konstrukcija presjeka poliedara“ dodijeljena su dva sata. U 10. razredu, na temu „Paralelnost pravih i ravni“, nakon proučavanja tetraedra i paralelepipeda, jedan sat se izdvaja za izlaganje paragrafa „Zadaci o građenju presjeka“. Razmatraju se presjeci tetraedra i paralelepipeda. A tema „Paralelnost pravih i ravnina“ završava se rješavanjem zadataka za jedan ili dva sata (u udžbeniku je ukupno osam zadataka za građenje dijelova).

U udžbeniku Pogorelov A.V. Za konstruisanje presjeka u poglavlju „Poliedri“ predviđeno je oko tri sata: jedan za proučavanje teme „Slika prizme i konstruisanje njenih presjeka“, drugi za proučavanje teme „Konstrukcija piramide i njenih ravnih presjeka“, a treći za rešavanje problema. Na listi zadataka datoj nakon teme nalazi se samo desetak zadataka poprečnog presjeka.

Nudimo sistem lekcija na temu „Konstrukcija presjeka poliedara“ za udžbenik Pogorelova A.V.

Predlaže se da se gradivo rasporedi onim redoslijedom kojim se može koristiti za podučavanje učenika. Iz prezentacije teme “Poliedri” predlaže se da se izuzmu sljedeći paragrafi: “Konstrukcija presjeka prizme” i “Konstrukcija presjeka piramide” kako bi se sistematizirali ovaj materijal na kraju ove teme “Poliedri”. Može se klasificirati prema temi problema, otprilike slijedeći princip "od jednostavnog do složenog", kako slijedi:

1. Određivanje presjeka poliedara.
2. Konstrukcija presjeka prizme, paralelepipeda, piramide metodom traga. (Po pravilu se u školskom kursu stereometrije koriste zadaci za konstruisanje preseka poliedara, koji se rešavaju osnovnim metodama. Ostale metode, zbog više visoki nivo složenosti, nastavnik može ostaviti za razmatranje na izbornoj nastavi ili za samostalno učenje. U konstrukcijskim problemima osnovne metode zahtijevaju konstruiranje presječne ravni koja prolazi kroz tri tačke).
3. Pronalaženje površine poprečnog presjeka u poliedrima (bez korištenja teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona).
4. Pronalaženje površine poprečnog presjeka u poliedrima (pomoću teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona).

STEREOMETRIJSKI ZADACI ZA KONSTRUKCIJU PRESEKA POLIEDRA I METODE ZA NJIHOVO KORIŠĆENJE NA ČASU 10-11.

(sistem nastave i izborne nastave na temu „Konstrukcija presjeka poliedara“)

LEKCIJA 1.

Tema lekcije: "Konstrukcija presjeka poliedara."

Svrha časa: upoznavanje sa metodama konstruisanja presjeka poliedara.

Koraci lekcije:

1. Ažuriranje osnovnih znanja.
2. Formulacija problema.
3. Učenje novog materijala:

A) Definicija sekcije.

B) Metode za izradu presjeka:

a) metoda praćenja;

b) način pomoćnih sekcija;

c) kombinovana metoda.

1. Učvršćivanje materijala.

Primjeri konstrukcije presjeka metodom traga.

1. Sumiranje lekcije.

Tokom nastave.

1. Ažuriranje osnovnih znanja.

prisjetimo se:
- presek prave sa ravninom;
- presek ravni;
- svojstva paralelnih ravni.

2. Formulacija problema.

Pitanja za razred:
- Šta znači konstruisati presek poliedra sa ravni?
- Kako se poliedar i ravan mogu postaviti relativno jedan prema drugom?
- Kako je avion definisan?
- Kada se problem konstruisanja presjeka poliedra ravninom smatra riješenim?

3. Učenje novog gradiva.

A) Dakle, zadatak je konstruisati presek dve figure: poliedra i ravni (slika 1). To mogu biti: prazna figura (a), tačka (b), segment (c), poligon (d). Ako je sjecište poliedra i ravni mnogokut, onda se taj poligon naziva presjek poliedra ravninom.

Razmotrićemo samo slučaj kada ravan siječe poliedar duž njegove unutrašnjosti. U ovom slučaju, presjek ove ravni sa svakim licem poliedra bit će određeni segment. Dakle, problem se smatra riješenim ako se pronađu svi segmenti duž kojih ravan siječe lica poliedra.

Pregledajte dijelove kocke (slika 2) i odgovorite na sljedeća pitanja:

Koji se poligoni dobijaju kada se kocka preseče ravninom? (Broj strana poligona je važan);

[Predloženi odgovori: trougao, četvorougao, petougao, šestougao.]

Da li se kocka može preseći avionom u sedmougao? Šta je sa oktogonom itd.? Zašto?

Pogledajmo prizmu i njene moguće preseke po ravni (na modelu). Kakvi se poligoni dobijaju?

Šta se može zaključiti? Koliki je najveći broj stranica mnogougla koji se dobije rezanjem poliedra ravninom?

[ Najveći broj stranice mnogougla dobijene rezanjem poliedra ravninom jednake su broju strana poliedra.]

B) a) Metoda praćenja sastoji se u konstruisanju tragova rezne ravni na ravni svake strane poliedra. Konstrukcija presjeka poliedra metodom traga obično počinje izgradnjom takozvanog glavnog traga rezne ravni, tj. trag rezne ravni na ravni osnove poliedra.

b) Metoda pomoćnih sekcija konstruiranje presjeka poliedara je prilično univerzalno. U slučajevima kada je željeni trag (ili tragovi) rezne ravni izvan crteža, ova metoda ima čak i određene prednosti. Istovremeno, treba imati na umu da se konstrukcije izvedene ovom metodom često ispostavi da su "pretrpane". Ipak, u nekim slučajevima metoda pomoćnih sekcija se pokazuje najracionalnijom.

Metoda praćenja i metoda pomoćnog presjeka su varijacije aksiomatska metoda konstruisanje preseka poliedara sa ravninom.

c) Suština kombinovana metoda konstrukcija presjeka poliedara sastoji se u primjeni teorema o paralelizmu pravih i ravnina u prostoru u kombinaciji sa aksiomatskom metodom.

Sada, koristeći primjer rješavanja problema, pogledajmo metoda praćenja

4. Učvršćivanje materijala.

Zadatak 1.

Konstruisati presek prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ravninom koja prolazi kroz tačke P, Q, R (tačke su naznačene na crtežu (slika 3)).

Rješenje.

Rice. 3

1. Napravimo trag rezne ravni na ravni donje osnove prizme. Posmatrajmo lice AA 1 B 1 B. Točke preseka P i Q leže na ovoj plohi.
2. Nastavimo pravu PQ, koja pripada presjeku, sve dok ne presječe pravu AB. Dobijamo tačku S 1 koja pripada tragu.
3. Slično, dobijamo tačku S 2 presekom pravih QR i BC.
4. Prava linija S 1 S 2 - trag rezne ravni na ravan donje osnove prizme.
5. Prava S 1 S 2 seče stranu AD u tački U, stranu CD u tački T. Povežimo tačke P i U, pošto leže u istoj ravni lica AA 1 D 1 D. Slično dobijamo TU i RT.
6. PQRTU je obavezna sekcija.

Konstruišite presek paralelepipeda ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P (tačke su označene na crtežu (slika 4)).

Rješenje.

1. Tačke N i P leže u ravnini presjeka i u ravni donje osnove paralelepipeda. Konstruirajmo pravu liniju kroz ove tačke. Ova ravna linija je trag presečne ravni na ravan osnove paralelepipeda.
2. Nastavimo pravu liniju na kojoj strani paralelepipeda leži AB. Prave AB i NP seku se u nekoj tački S. Ova tačka pripada presečnoj ravni.
3. Pošto tačka M takođe pripada presečnoj ravni i siječe pravu AA 1 u nekoj tački X.
4. Tačke X i N leže u istoj ravni lica AA 1 D 1 D, spojite ih i dobijete pravu liniju XN.
5. Kako su ravni lica paralelepipeda paralelne, onda kroz tačku M možemo povući pravu u licu A 1 B 1 C 1 D 1 paralelnu pravoj NP. Ova prava linija će preseći stranu B 1 C 1 u tački Y.
6. Slično, crtamo pravu liniju YZ, paralelnu pravoj liniji XN. Povezujemo Z sa P i dobijamo željenu sekciju - MYZPNX.

Zadatak 3 (za samostalno rješenje).

Konstruisati presek tetraedra DACB sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P (tačke su označene na crtežu (slika 5)).

5. Sumiranje lekcije.

Odgovorite na pitanje: da li su osjenčani dijelovi prikazanih poliedara PQR ravninom? I dovršite ispravnu konstrukciju (slika 6).

Opcija 1.

Opcija 2.

Tema lekcije: PRONALAŽENJE PODRUČJA PRESJEKA.

Svrha lekcije: upoznati metode za pronalaženje površine poprečnog presjeka poliedra.

Koraci lekcije:

1. Ažuriranje osnovnih znanja.

Prisjetimo se teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona.

2. Rješavanje problema za pronalaženje površine poprečnog presjeka:

Bez upotrebe teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona;

Koristeći teoremu o površini ortogonalne projekcije poligona.

3. Sumiranje lekcije.

Tokom nastave.

1. Ažuriranje osnovnih znanja.

Podsjetimo se teorema o površini ortogonalne projekcije poligona: Površina ortogonalne projekcije poligona na ravan jednaka je umnošku njegove površine i kosinusa ugla između ravnine poligona i ravnine projekcije.

2. Rješavanje problema.

ABCD - tačno trouglasta piramida sa osnovnom stranom AB jednakom A i visina DH jednaka h. Konstruišite presek piramide ravninom koja prolazi kroz tačke D, C i M, gde je M sredina stranice AB, i pronađite njenu površinu (slika 7).

Poprečni presjek piramide je trokut MCD. Nađimo njegovu oblast.

S = 1/2 DH CM = 1/2 =

Nađite površinu poprečnog presjeka kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sa rubom A ravan koja prolazi kroz vrh D i tačke E i F na ivicama A 1 D 1 i C 1 D 1, respektivno, ako je A 1 E = k D 1 E i C 1 F = k D 1 F.

Izgradnja dionice:

1. Kako tačke E i F pripadaju ravnini preseka i ravni lica A 1 B 1 C 1 D 1, a dve ravni se seku duž prave, tada će prava EF biti trag presečne ravni na ravni lica A 1 B 1 C 1 D 1 (slika 8).
2. Direktni ED i FD se dobijaju na isti način.
3. EDF je obavezna sekcija.

Zadatak 3 (za samostalno rješenje).

Konstruiraj presjek kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sa stranicom A ravan koja prolazi kroz tačke B, M i N, gde je L sredina ivice AA 1, a N sredina ivice CC 1.

Odsjek konstruiramo metodom praćenja.

Površinu poprečnog presjeka nalazimo pomoću teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona. Odgovor: S = 1/2 · a 2.

KONSTRUKCIJA PRESEKA I PRESEKA NA CRTEŽIMA

Formiranje crteža dijela vrši se uzastopnim dodavanjem potrebnih projekcija, presjeka i presjeka. U početku se kreira prilagođeni prikaz sa modelom koji je odredio korisnik, a orijentacija modela je postavljena koja je najprikladnija za glavni prikaz. Zatim, koristeći ovaj i sljedeće poglede, kreiraju se potrebni rezovi i presjeci.

Glavni pogled (pogled sprijeda) odabran je tako da daje najpotpuniju predstavu o oblicima i dimenzijama dijela.

Sekcije na crtežima

U zavisnosti od položaja rezne ravni, postoje sledeće vrste rezovi:

A) horizontalna, ako se rezna ravan nalazi paralelno sa horizontalnom ravninom projekcija;

B) vertikalna, ako je rezna ravan okomita na horizontalnu ravan projekcija;

C) nagnuta - rezna ravan je nagnuta prema ravnima projekcije.

Vertikalni dijelovi se dijele na:

· frontalni - rezna ravan je paralelna sa frontalnom ravninom projekcija;

· profil - rezna ravan je paralelna sa ravninom profila projekcija.
U zavisnosti od broja sekantnih ravni, rezovi su:

· jednostavno - sa jednom reznom ravninom (Sl. 107);

· složeno - sa dvije ili više reznih ravnina (Sl. 108)
Standard predviđa sljedeće vrste složenih rezova:

· stepenasto, kada su ravni sečenja paralelne (Sl. 108 a) i izlomljene - sečne ravni se seku (Sl. 108 b)

107 Jednostavan presek

A) b)

108 Složeni rezovi

Označavanje rezova

U slučaju kada se u jednostavnom preseku sekantna ravan poklapa sa ravninom simetrije objekta, presek se ne označava (Sl. 107). U svim ostalim slučajevima, rezovi su naznačeni velikim slovima ruske abecede, počevši od slova A, na primjer A-A.

Položaj rezne ravni na crtežu je označen linijom presjeka - debelom otvorenom linijom. U slučaju složenog reza, potezi se izvode i na krivinama linije presjeka. Strelice treba da budu postavljene na početni i završni potez koji označava smer gledanja, strelice treba da budu na udaljenosti od 2-3 mm od spoljnih krajeva poteza. Na vanjskoj strani svake strelice koja pokazuje smjer gledanja primijenjeno je isto veliko slovo.

Za označavanje rezova i presjeka u KOMPAS sistemu koristi se isto dugme Linija sečenja koja se nalazi na stranici Oznaka (Sl. 109).

109 Dugme za liniju rezanja

Povezivanje polovice pogleda sa polupresjekom

Ako su pogled i presek simetrične figure (Sl. 110), onda možete povezati polovinu pogleda i polovinu preseka, odvajajući ih tankom isprekidanom linijom, koja je osa simetrije. Deo preseka se obično nalazi desno od ose simetrije, što odvaja deo pogleda od dela preseka, odnosno ispod ose simetrije. Skrivene konturne linije na spojnim dijelovima pogleda i presjeka obično se ne prikazuju. Ako se projekcija bilo koje linije, na primjer, ruba fasetirane figure, poklapa s aksijalnom linijom koja dijeli pogled i presjek, tada su pogled i presjek odvojeni punom valovitom linijom povučenom lijevo od osi simetrija ako ivica leži na unutrašnja površina, ili više udesno ako je rub vanjski.

Rice. 110 Povezivanje dijela pogleda i presjeka

Izgradnja sekcija

Proučavat ćemo konstrukciju presjeka u sistemu KOMPAS na primjeru konstruisanja crteža prizme, čiji je zadatak prikazan na slici 111.

Redoslijed crtanja je sljedeći:

1. Na osnovu datih dimenzija izgradićemo čvrsti model prizme (sl. 109 b). Spremimo model u memoriju računara u datoteku pod nazivom "Prism".

Fig.112 Panel Linije

3. Izraditi profilni presjek (Sl. 113) hajde da povučemo liniju dio A-A na glavnom prikazu pomoću dugmeta Cut line.

113 Konstrukcija profilnog presjeka

Smjer gledanja i tekst simbola mogu se odabrati na komandnoj kontrolnoj tabli na dnu ekrana (Sl. 114). Konstrukcija linije sečenja se završava klikom na dugme Kreiraj objekat.

Slika 114 Upravljačka tabla za komandu za izradu sekcija i sekcija

4. Na panelu Asocijativni prikazi (Sl. 115), izaberite dugme Cut Linija, a zatim koristite zamku koja se pojavljuje na ekranu da označite liniju reza. Ako je sve urađeno ispravno (linija reza mora biti nacrtana u aktivnom obliku), tada će linija reza postati crvena. Nakon što odredite liniju reza A-A, na ekranu će se pojaviti fantomska slika u obliku ukupnog pravokutnika.

Slika 115 Panel Asocijativni pogledi

Koristeći prekidač Sekcija/presek na traci sa svojstvima, birate tip slike – Presek (Sl. 116) i razmeru prikazanog preseka.

Slika 116 Upravljačka tabla za komandu za izradu sekcija i sekcija

Profilna sekcija će se automatski ugraditi u projekcijski spoj i sa standardnom oznakom. Ako je potrebno, projekcijska komunikacija se može isključiti prekidačem Priključak za projekciju (sl. 116). Za konfiguriranje parametara šrafure koji će se koristiti u kreiranoj sekciji (odjeljku), koristite kontrole na kartici Šrafiranje.

117 Konstrukcija horizontale odjeljak B-B i sekcije B-B

Ako se odabrana rezna ravnina pri konstruiranju presjeka poklapa s ravninom simetrije dijela, tada u skladu sa standardom takav presjek nije označen. Ali ako jednostavno izbrišete oznaku dijela, onda će zbog činjenice da su pogled i odjeljak u memoriji računala međusobno povezani, cijeli odjeljak biti izbrisan. Stoga, da biste izbrisali oznaku, prvo morate uništiti vezu između pogleda i sekcije. Da biste to uradili, kliknite levim tasterom miša da izaberete odeljak, a zatim kliknite desnim tasterom miša da biste otvorili kontekstni meni iz kojeg izaberite stavku Destroy View (Sl. 97). Simbol rezanja sada se može ukloniti.

5. Da biste napravili horizontalni presek, povucite liniju rezanja B-B kroz donju ravan rupe u pogledu sprijeda. Prvo morate učiniti trenutni pogled sprijeda dvostrukim klikom na lijevu tipku miša. Zatim se konstruiše horizontalni presek (Sl. 117).

6. Prilikom izrade frontalnog presjeka kombinujemo dio pogleda i dio presjeka, jer ovo su simetrične figure. Vanjski rub prizme je projektovan na liniju koja razdvaja pogled i presjek, pa ćemo razlikovati pogled i presjek sa punom tankom valovitom linijom povučenom desno od ose simetrije, jer spoljašnje rebro. Da nacrtate talasastu liniju, koristite dugme Bezierova kriva koja se nalazi na panelu Geometry, nacrtana stilom For break line (Sl. 118). Navedite tačke kroz koje Bezierova kriva treba da prođe. Možete završiti izvršavanje naredbe klikom na dugme Kreiraj objekat.

Slika 118 Odabir stila linije za prijelom

Izgradnja sekcija

Presjek je slika objekta koja se dobije mentalnim seciranjem objekta ravninom. Sekcija prikazuje samo ono što se nalazi u ravni sečenja.

Položaj rezne ravni, pomoću koje se formira presjek, na crtežu je označen linijom presjeka, kao i za rezove.

Odjeljci, ovisno o njihovoj lokaciji na crtežima, podijeljeni su na proširene i postavljene. Izvađeni dijelovi najčešće se nalaze na slobodnom polju crteža i ocrtani su glavnom linijom. Superponirani dijelovi se postavljaju direktno na sliku objekta i ocrtavaju tankim linijama (sl. 119).

119 Konstrukcija sekcija

Razmotrimo redoslijed konstruiranja crteža prizme sa nagnutim pomakom odjeljak B-B(Sl. 117).

1. Napravite pogled sprijeda aktivnim dvostrukim klikom lijeve tipke miša na prikaz i nacrtajte liniju presjeka koristeći dugme Cut line . Odaberite tekst natpisa V-V.

2. Koristeći dugme Cut Line koje se nalazi na panelu Asocijativni pogledi (Sl. 115), zamka koja se pojavi će ukazati na liniju preseka avion B-B. Koristeći prekidač Sekcija/Presek na traci sa svojstvima, izaberite tip slike – Presek (Sl. 116), razmera prikazanog preseka se bira iz prozora Scale.

Konstruisani presek se nalazi u projekcijskoj vezi, što ograničava njeno kretanje na crtežu, ali se projekcijska veza može onemogućiti pomoću dugmeta Projekciona komunikacija.

Na gotovom crtežu treba nacrtati aksijalne linije i, ako je potrebno, dodati dimenzije.

Čitava istorija geometrije i nekih drugih grana matematike usko je povezana sa razvojem teorije geometrijskih konstrukcija. Najvažniji aksiomi geometrije, koje je formirao Euklid oko 300. godine prije Krista, jasno pokazuju ulogu koju su geometrijske konstrukcije imale u formiranju geometrije.

Postoje posebne teme u školskoj geometriji kojima se radujete, očekujući susret sa nevjerovatnim prelep materijal. Takve teme uključuju „Poliedre i konstrukciju njihovih sekcija“. neverovatan svet geometrijska tijela sa jedinstvenim svojstvima, ali i zanimljiva naučne hipoteze. I tada lekcija geometrije postaje neka vrsta proučavanja neočekivanih aspekata poznatog školskog predmeta.

Na časovima geometrije ove godine smo obrađivali temu „Konstrukcija presjeka poliedara“. U okviru programa proučavali smo jednu metodu za konstruisanje preseka, ali me je zainteresovalo koje druge metode postoje.

Svrha mog rada: Naučite sve metode za konstrukciju presjeka poliedara.

Nijedno geometrijsko tijelo nema takvo savršenstvo i ljepotu kao poliedri. “Postoji šokantno mali broj poliedara”, napisao je jednom L. Carroll, “ali ovaj vrlo skroman brojčano odvajanje uspio je ući u same dubine raznih nauka.”

Trenutno teorija geometrijskih konstrukcija predstavlja ogromno i duboko razvijeno područje matematike povezano s rješavanjem različitih temeljnih pitanja koja idu u druge grane matematike.

1. Istorija deskriptivne geometrije

Još u davna vremena ljudi su crtali i crtali slike stvari, drveća, životinja i ljudi na stijenama, kamenju, zidovima i kućnim predmetima. To je učinio da zadovolji svoje potrebe, uključujući i estetske. Štoviše, glavni zahtjev za takve slike bio je da slika izaziva ispravnu vizualnu ideju o obliku prikazanog objekta.

Sa rastom praktičnih i tehničke primjene slike (u izgradnji zgrada i drugih civilnih i vojnih objekata, itd.) počeli su biti podvrgnuti takvim zahtjevima da se slika može koristiti za prosuđivanje geometrijskih svojstava, dimenzija i relativnog položaja pojedinačni elementi određeni predmet. O takvim zahtjevima mogu se suditi mnogi antički spomenici koji su preživjeli do danas. Međutim, stroga geometrijski zasnovana pravila i metode za prikazivanje prostornih figura (s obzirom na perspektivu) počeli su sustavno razvijati umjetnici, arhitekti i vajari tek u renesansi: Leonardo da Vinci, Durer, Raphael, Michelangelo, Tizian i drugi.

Deskriptivna geometrija kao nauka nastala je godine kasno XVIII vijeka od strane velikog francuskog geometra i inženjera Gasparda Mongea (1746 – 1818). Godine 1637. francuski geometar i filozof Rene Descartes (1596. - 1650.) stvorio je koordinatnu metodu i postavio temelje analitičke geometrije, a njegov sunarodnik, inženjer i matematičar Girard Desages (1593. - 1662.), koristio je ovu koordinatnu metodu za konstruiranje perspektivnog projekta. i potkrijepio teoriju aksonometrijskih projekcija.

U 17. veku u Rusiji se uspešno razvijaju tehnički crteži, rađeni u obliku planova i profila u razmeri. Ovdje, prije svega, treba spomenuti crteže izuzetnog ruskog mehaničara i pronalazača I.P. Kulibin (1735 – 1818). Njegov dizajn za drveni lučni most prvi put koristi ortogonalne projekcije (1773.). (Ortogonalna projekcija ravni na pravu koja leži u njoj ili prostora na ravan je poseban slučaj paralelna projekcija, u kojoj je smjer projekcije okomit na pravu liniju ili ravan na koju se projektuju.)

Veliki doprinos razvoju ortogonalnih projekcija dao je francuski inženjer A. Frezier (1682–1773), koji je prvi razmatrao projektovanje objekta na dvije ravni - horizontalnu i frontalnu.

Najveća zasluga G. Mongea bila je generalizacija svih naučnih radova njegovih prethodnika, cjelokupna teorija metoda za prikazivanje prostornih figura i stvaranje jedinstvene matematičke nauke o ortogonalnoj projekciji - deskriptivne geometrije.

Rođenje ovoga nova nauka skoro se poklopio sa osnivanjem u Sankt Peterburgu prvog ruskog višeg transporta obrazovne ustanove– Institut korpusa željezničkih inženjera (2.12.1809.)

Diplomci ovog instituta, njegovi profesori i naučnici dali su značajan doprinos razvoju geometrijskih metoda predstavljanja, teoriji i praksi deskriptivne geometrije.

1. Definicije poliedara

U stereometriji se proučavaju figure u prostoru, tzv tijela . Vizuelno (geometrijsko) tijelo se mora zamisliti kao dio zauzetog prostora fizičko tijelo i ograničena površinom.

Poliedar - ovo je tijelo čija se površina sastoji od nekoliko ravnih poligona. Poliedar se zove konveksan , ako se nalazi na jednoj strani ravni svakog planarnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravni i površine konveksnog poliedra naziva se rub . Lica konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Strane lica se nazivajuivice poliedra, a vrhovi su vrhovima poliedra.

Odjeljak poliedar se zove ravan geometrijska figura, koji je skup svih tačaka u prostoru koje istovremeno pripadaju datom poliedru i ravni; ravan se zove rezna ravan.

Površina poliedra sastoji se od ivica, segmenata i lica ravnih poligona. Kako se prava i ravan sijeku u tački, a dvije ravni se seku duž prave, tada je presjek poliedra ravninomplanarni poligon; vrhovi ovog poligona su tačke preseka presečne ravni sa ivicama poliedra, a stranice su segmenti duž kojih sečna ravan seče svoje strane. To znači da je za konstruisanje željenog preseka datog poliedra sa ravninom α dovoljno konstruisati tačke njegovog preseka sa ivicama poliedra. Zatim povežite ove tačke uzastopno sa segmentima, naglašavajući punim linijama vidljive i isprekidane nevidljive strane rezultujućeg poligona.

III. Metode konstruisanja presjeka poliedara

Metoda presjeka poliedara u stereometriji se koristi u konstrukcijskim problemima. Zasniva se na sposobnosti da se konstruiše presek poliedra i odredi tip preseka.

Ovaj materijal karakteriziraju sljedeće karakteristike:

• Metoda presjeka se koristi samo za poliedre, jer različiti složeni (kosi) tipovi presjeka tijela rotacije nisu uključeni u nastavni plan i program srednjih škola.
• Zadaci uglavnom koriste najjednostavnije poliedre.
• Problemi su prikazani uglavnom bez numeričkih podataka kako bi se stvorila mogućnost njihove višestruke upotrebe.

Da bi riješio zadatak konstruisanja presjeka poliedra, učenik mora znati:

• Šta znači konstruisati presek poliedra sa ravni;
• Kako se poliedar i ravan mogu postaviti relativno jedan prema drugom?
• Kako je ravan definisana;
• Kada se problem konstruisanja presjeka poliedra ravninom smatra riješenim.

Zato što je ravan definisana:

• Tri boda;
• Ravno i točkasto;
• Dvije paralelne linije;
• Dvije linije koje se ukrštaju

Konstrukcija presečne ravni zavisi od specifikacije ove ravni. Stoga se sve metode za konstruisanje presjeka poliedara mogu podijeliti na metode.

3.1 Konstrukcija presjeka poliedara na osnovu sistema aksioma stereometrije

Problem 1 . Konstruisati presek piramide RABC sa ravninom α = (MKH), gde su M, K i H unutrašnje tačke ivica RS, PB i AB, respektivno (sl. 1, a).

Rješenje .

1. korak . Tačke M i K leže u svakoj od dvije ravni α i RVS. Dakle, prema aksiomu preseka dve ravni, α ravan seče ravan RVS duž prave MK. Posljedično, segment MK je jedna od stranica željenog presjeka (slika 1, b).

2. korak . Slično, segment KN je druga strana željenog preseka (slika 1, c).

3. korak . Tačke M i H ne leže istovremeno ni na jednoj strani piramide RABC, stoga segment MH nije stranica presjeka ove piramide. Prave KN i RA leže u ravni AVR lica i seku. Konstruirajmo tačku T= KH ∩AP (slika 1, d).

Pošto prava KN leži u α ravni, onda tačka T leži u α ravni. Sada vidimo da ravni α i APC imaju zajedničke tačke M i T. Prema tome, prema aksiomu preseka dve ravni, ravan α i ravan APC seku se duž prave linije MT, koja, zauzvrat, seče ivicu AC u tački R ( Slika 1, d).

4. korak . Sada, na isti način kao u koraku 1, utvrđujemo da ravan α seče lica ACP i ABC duž segmenata MR i HR, respektivno. Prema tome, traženi presjek je četverougao MKHR (slika 1, f).

Rice. 2

Zadatak 2. Konstruisati presek piramide MABCD sa ravninom α = (CN), gde su K, H i P unutrašnje tačke ivica MA, MV i MD, respektivno (slika 2, a).

Rješenje. Prva dva koraka slična su koracima 1 i 2 prethodnog problema. Kao rezultat, dobijamo stranice KR i KN (slika 2, b) željenog presjeka. Konstruirajmo preostale vrhove i stranice poligona - presjeke.

3. korak . Nastavimo odsječak KR sve dok se ne siječe sa pravom AD u tački F (slika 2, c). Kako pravac KR leži u ravni sečenja α, tačka F= KR ∩ AD = KR ∩ (ABC) zajednička je ravnima α i ABC.

4. korak . Nastavimo odsječak KH sve dok se ne siječe sa pravom linijom AB u tački L (slika 2, d). Kako prava linija KN leži u ravni sečenja α, tačka L = KN ∩ AV = KN ∩ (AVS) je zajednička za ravnine α i AVS.

Dakle , tačke F i L su zajedničke ravninama α i ABC. To znači da ravan α seče ravan ABC osnove piramide duž prave FL.

5. korak . Nacrtajmo pravu liniju FL. Ova prava linija seče ivice BC i DC, respektivno, u tačkama R i T (slika 2, e), koje služe kao vrhovi željenog preseka. To znači da ravan α siječe lice baze ABCD duž segmenta RT - stranice željenog presjeka.

6. korak . Sada crtamo segmente RH i PT (slika 2, f), duž kojih ravan α seče lica BMC i MCD ove piramide. Dobijamo petougao PKHRT - željeni presek MABCD piramide (slika 2, f).

Hajde da razmotrimo složeniji problem.

Problem 3 . Konstruisati presek pentagonalne piramide PABCDE sa ravninom α = (KQR), gde su K, Q unutrašnje tačke ivica RA i RS, respektivno, a tačka R leži unutar lica DPE (slika 3, a).

Rješenje . Prave (QK i AC leže u istoj ravni ACP (prema aksiomu prave i ravni) i seku se u nekoj tački T1, (slika 3b), dok je T1 ê α, pošto je QK ê α.

Prava PR seče DE u nekoj tački F (slika 3, c), koja je tačka preseka ravni ARR i stranice DE osnove piramide. Tada prave KR i AF leže u istoj ravni APR i seku se u nekoj tački T2 (sl. 3, d), dok je T2 ê α, kao tačka prave KR ê α (prema aksiomu prave linija i ravan).

dobio: prava T1 T2 leži u sekantnoj ravni α i u ravni osnove piramide (prema aksiomu prave i ravni), dok prava siječe stranice DE i AE osnove ABCDE piramide, redom, u tačkama M i N (slika 3, e), koje su presečne tačke ravni α sa ivicama DE i AE piramide i služe kao vrhovi željenog preseka.

Dalje , prava linija MR leži u ravni lica DPE i u ravni sečenja α (prema aksiomu prave i ravni), dok siječe ivicu PD u nekoj tački H - drugom vrhu željenog preseka (slika 3 , f).

dalje, Konstruirajmo tačku T3 - T1T2 ∩ AB (slika 3, g), koja, kao tačka prave T1T2 ê α, leži u ravni a (prema aksiomu prave i ravni). Sada ravan lica RAB pripada dvema tačkama T3 i K presečnoj ravni α, što znači da je prava T3K prava linija preseka ovih ravni. Prava T3K seče ivicu PB u tački L (slika 3, h), koja služi kao sledeći vrh željenog preseka.

Rice. 3

Dakle, "lanac" sekvence za konstruisanje željene sekcije je sledeći:

1 . T1 = QK ∩AC;

2. F = PR ∩ DE;

3. T2 = KR ∩ AF;

4 . M = T1T2 ∩ DE;

5 . N = T1T2 ∩ AE;

6. N = MR ∩ PD;

7. T3 = T1T2 ∩ AB;

8 . L = T3K ∩ PB.

Šestougao MNKLQH je obavezna sekcija.

Presek piramide na sl. 1 i presjek kocke na sl. 2 su konstruisane samo na osnovu aksioma stereometrije.

U isto vrijeme, presjek poliedra s paralelnim plohama (prizma, paralelepiped, kocka) može se konstruirati koristeći svojstva paralelnih ravnina.

3.2 Metoda praćenja u konstruisanju ravnih presjeka poliedara

Prava linija duž koje seče ravan α seče ravan osnove poliedra naziva se trag ravni α u ravni ove osnove.

Iz definicije traga dobijamo: u svakoj od njegovih tačaka seku se prave linije, od kojih jedna leži u ravni sekansa, a druga u ravni baze. Ovo svojstvo traga se koristi kada se konstruišu ravni presjeci poliedra metodom traga. Štoviše, u sekantnoj ravnini prikladno je koristiti ravne linije koje sijeku rubove poliedra.

Najprije definiramo sekansnu ravan njenim tragom u ravni osnove prizme (piramide) i tačkom koja pripada površini prizme (piramide).

Problem 1 . Konstruisati presek prizme AVSVÉA1V1S1D1É1 ravninom α, koja je određena tragom l u ravni ABC osnove prizme i tačkom M koja pripada ivici DD1.

Rješenje. Analiza . Pretpostavimo da je petougao MNPQR željeni presek (slika 4). Za konstruisanje ovog ravnog petougla dovoljno je konstruisati njegove vrhove N, P, Q, R (data je tačka M) - tačke preseka presečne ravni α sa ivicama CC1, BB1, AA1, EE1 date prizme, respektivno.

E1 D1

Za konstruisanje tačke N =α ∩ CC1, dovoljno je konstruisati pravu liniju preseka presečne ravni α sa ravninom lica CDD1C1. Da biste to učinili, dovoljno je konstruirati još jednu tačku u ravni ove površine, koja pripada reznoj ravni α. Kako konstruisati takvu tačku?

Kako prava l leži u ravni osnove prizme, ona može preseći ravan lica SDD1C1 samo u tački koja pripada pravoj liniji CD = (CDD1) ∩ (AVS), tj. tačka X = l ∩ SD = l ∩ (CDD1) pripada reznoj ravni α. Dakle, za konstruisanje tačke N = α ∩ CC1, dovoljno je konstruisati tačku X = l ∩ CD.

Slično, za konstruisanje tačaka P = α ∩ BB1, Q = α ∩ AA1 i R = α ∩ EE1, dovoljno je konstruisati tačke redom: Y = l ∩ BC, Z = 1 ∩ AB i T =1 ∩ AE .

Izgradnja. Gradimo (slika 5):

1. X = l ∩ CD (sl. 5, b);

2. N = MX ∩ CC1 (slika 5, c);

3. U = l ∩ VS (sl. 5, d);

4. P = NY ∩ BB1 (slika 5, e);

5. Z = 1 ∩ AB (slika 5, f);

6. Q= PZ ∩ AA1 (slika 5, g);

7. T= l ∩ AE (sl. 5, h);

8. R= QT ∩ EE1 (slika 5, i).

Pentagon MNPQR je traženi presek (sl. 5, j).

Dokaz. Pošto je prava l trag presečne ravni α, tada tačke X = l ∩ CD, Y = l ∩ BC, Z = 1 ∩ AB i T= l ∩ AE pripadaju ovoj ravni.

Stoga imamo:

M Ê α, X Ê α => MH ê α, zatim MH ∩ SS1 = N ê α, što znači N = α ∩ SS1;

N Ê α, Y Ê α => NY Ê α, zatim NY ∩ BB1= P Ê α, što znači P = α ∩ BB1;

R Ê α, Z Ê α => RZ Ê α, zatim PZ ∩ AA1 = Q Ê α, što znači Q = α ∩ AA1;

Q Ê α, T Ê α => QT Ê α, zatim QT ∩ EE1 =R Ê α, što znači R = α ∩ EE1.

Stoga je MNPQR potreban odjeljak.

Studija. Trag l presečne ravni α ne seče bazu prizme, a tačka M presečne ravni pripada bočnoj ivici DD1 prizme. Dakle, rezna ravan α nije paralelna sa bočnim ivicama. Prema tome, tačke N, P, Q i R preseka ove ravni sa bočnim ivicama prizme (ili produžecima ovih ivica) uvek postoje. A pošto, pored toga, tačka M ne pripada tragu l, onda je ravan α definisana njima jedinstvena. To znači da problem (uvijek) ima jedinstveno rješenje.

3.3 Metoda unutrašnjeg projektovanja za konstruisanje ravnih presjeka poliedara

U nekim udžbenicima metoda konstruisanja presjeka poliedara, koju ćemo sada razmotriti, naziva se metodom unutrašnje projekcije ili metodom korespondencija, ili metodom dijagonalnih presjeka.

Problem 1 . Konstruisati presek piramide PABCDE sa ravninom α = (MFR), ako su tačke M, F i R unutrašnje tačke ivica RA, RS i PE, redom. (sl. 6)

Rješenje . Označimo ravan osnove piramide sa β. Da bismo konstruisali željeni presek, konstruisaćemo tačke preseka presečne ravni α sa ivicama piramide.

Konstruirajmo tačku preseka sečne ravni sa ivicom PD ove piramide.

Ravnine APD i CPE seku ravan β duž pravih AD i CE, respektivno, koje se seku u nekoj tački K. Prava RK = (ARD) ∩(SPE) seče pravu liniju FR ê α u nekoj tački K1: K1 = RK ∩ FR, na ovom K1 ê α. Tada: M ê α, K1 ê α => prava MK ê a. Dakle, tačka Q = MK1 ∩ PD je tačka preseka ivice PD i ravni sečenja: Q =α ∩ PD. Tačka Q je vrh željenog preseka. Slično, konstruišemo presečnu tačku ravni α i ivice PB. Ravnine BPE i AD seku ravan β duž pravih BE i AD, respektivno, koje se seku u tački H. Prava RN = (VRÉ) ∩ (ARD) seče pravu liniju MQ u tački N1 Tada prava RN1 seče ivicu RV u tački N = α ∩ RV - vrh preseka.

Dakle , redoslijed koraka za konstruiranje željene sekcije je sljedeći:

1 . K = AD ∩ EC; 2. K1 = RK ∩ RF;

3. Q = MK1 ∩ RD; 4. H = BE ∩ AD;

5 . N1 = RN ∩ MQ; 6. N = RN1 ∩ RV.

Pentagon MNFQR je obavezna sekcija.

3.4 Kombinovani metod u konstruisanju ravnih preseka poliedara

Suština kombinovane metode za konstruisanje preseka poliedara je sledeća. U nekim fazama konstruisanja preseka koristi se ili metoda tragova ili metoda internog projektovanja, au drugim fazama konstruisanja istog preseka se koriste proučavane teoreme o paralelizmu, okomitosti pravih i ravni.

Da biste ilustrirali primjenu ove metode, razmotrite sljedeći problem.

Zadatak 1.

Konstruirajte presjek paralelepipeda ABCDA1B1C1D1 ravninom α određenom točkama P, Q i R, ako tačka P leži na dijagonali A1C1, tačka Q na ivici BB1 i tačka R na ivici DD1. (sl. 7)

Rješenje

Rešimo ovaj problem koristeći metodu tragova i teoreme o paralelizmu pravih i ravni.

Prije svega, konstruirajmo trag rezne ravni α = (RQR) na ravni ABC da bismo to učinili, konstruiramo tačke T1 = RQ ∩ R1V (gdje je PP1 ║AA1,P1ê AC) i T2 = RQ ∩ VD. Nakon što smo konstruisali trag T1T2, uočavamo da tačka P leži u ravni A1B1C1, koja je paralelna sa ravninom ABC. To znači da ravan α seče ravan A1B1C1 duž prave linije koja prolazi kroz tačku P i paralelna je sa pravom T1T2. Nacrtajmo ovu pravu i označimo sa M i E tačke njenog preseka sa ivicama A1B1 i A1D1. Dobijamo: M = α ∩ A1B1, E = α∩ A1D1. Tada su segmenti ER i QM stranice željenog presjeka.

Dalje, pošto je ravan BCC1 paralelna sa ravninom lica ADD1A1, tada ravan α seče lice BCC1B1 duž segmenta QF (F= α ∩ CC1), paralelno sa pravom ER. Dakle, petougao ERFQM je traženi presek. (Tačka F se može dobiti izvođenjem RF║ MQ)

Rešimo ovaj problem koristeći metodu interne projekcije i teoreme o paralelizmu pravih i ravni.(sl. 8)

Rice. 8

Neka je H=AC ∩ BD. Crtajući pravu liniju NN1 paralelno sa ivicom VV1 (N1 ê RQ), konstruišemo tačku F: F=RN1 ∩ CC1 Tačka F je tačka preseka ravni α sa ivicom CC1, pošto je RN1 ê α. Tada su segmenti RF i QF duž kojih ravan α seče lica CC1D1D i VSS1V1 ovog paralelepipeda, respektivno, stranice njegovog željenog preseka.

Pošto je ravan ABB1 paralelna ravni CDD1, presek ravni α i lica ABB1A1 je segment QM (M Ê A1B1), paralelan sa segmentom FR; segment QM - strana preseka. Dalje, tačka E = MP ∩ A1D1 je tačka preseka ravni α i ivice A1D1, pošto je MP ê α. Dakle, tačka E je još jedan vrh željenog preseka. Dakle, petougao ERFQM je traženi presek. (Tačka E se može konstruisati povlačenjem prave linije RE ║ FQ. Tada je M = PE ∩ A1B1).

IV. Zaključak

Zahvaljujući ovom radu, sumirao sam i sistematizovao znanja stečena tokom ovogodišnjeg kursa geometrije, upoznao se sa pravilima izvođenja kreativni rad, stekli nova znanja i primenili ih u praksi.

Voleo bih da svoje novo stečeno znanje češće primenjujem u praksi.

Nažalost, nisam uzeo u obzir sve metode za konstruisanje presjeka poliedara. Postoji još mnogo posebnih slučajeva:

• konstruisanje preseka poliedra sa ravni koja prolazi kroz datu tačku paralelnu datoj ravni;
• konstruisanje preseka koji prolazi kroz datu pravu paralelno sa drugom datom pravom;
• konstruisanje preseka koji prolazi kroz datu tačku paralelno sa dve date prave koje se seku;
• konstruisanje preseka poliedra sa ravni koja prolazi kroz datu pravu okomitu na datu ravan;
• konstruisanje preseka poliedra sa ravni koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu pravu, itd.

U budućnosti planiram proširiti svoje istraživanje i dopuniti svoj rad analizom gore navedenih posebnih slučajeva.

Smatram da je moj rad relevantan jer ga mogu koristiti učenici srednjih i srednjih škola samostalno učenje za Jedinstveni državni ispit iz matematike, za dubinsko proučavanje gradiva u izbornim predmetima i za samoobrazovanje mladih nastavnika. Srednjoškolci ne moraju samo da savladaju gradivo školski programi, ali i biti u stanju da ga kreativno primenite i nađete rešenje za bilo koji problem.

V. Literatura

1. Potoskuev E.V., Zvavich L.I. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za obrazovne institucije sa dubinskim i specijalizovanim studijama matematike. - M.: Drfa, 2008.
2. Potoskuev E.V., Zvavich L.I. Geometrija. 10. razred: Zadatnik za opšteobrazovne ustanove sa dubljim i specijalizovanim proučavanjem matematike. - M.: Drfa, 2008.
3. Potoskuev E.V. Slika prostornih figura na ravni. Konstrukcija presjeka poliedara. Tutorial za studente Fizičko-matematičkog fakulteta Pedagoškog univerziteta. - Toljati: TSU, 2004.
4. Naučno-praktični časopis za srednjoškolce „Matematika za školarce“, 2009, br. 2/br. 3, 1-64.
5. Geometrija u tabelama - Udžbenik za srednjoškolce - Nelin E.P.
6. Geometrija, razredi 7-11, Referentni materijali, Bezrukova G.K., Litvinenko V.N., 2008.
7. Matematika, Referentni vodič, Za srednjoškolce i one koji ulaze na univerzitete, Ryvkin A.A., Ryvkin A.Z., 2003.
8. Algebra i geometrija u tabelama i dijagramima, Roganin A.N., Dergachev V.A., 2006.

Zadaci koji se odnose na konstruisanje preseka kocke pomoću ravni su, po pravilu, jednostavniji od, na primer, zadataka koji uključuju preseke piramide.

Možemo povući pravu liniju kroz dvije tačke ako leže u istoj ravni. Prilikom konstruisanja preseka kocke moguća je i druga opcija za konstruisanje traga presečne ravni. Budući da treća ravan siječe dvije paralelne ravni duž paralelnih pravih, onda ako je na jednoj strani već konstruisana prava, a u drugoj postoji tačka kroz koju presek prolazi, onda možemo povući pravu paralelnu ovoj tačka kroz ovu tačku.

Hajde da pogledamo konkretnim primjerima kako konstruirati dijelove kocke koristeći ravan.

1) Konstruišite presek kocke sa ravninom koja prolazi kroz tačke A, C i M.

Problemi ovog tipa su najjednostavniji od svih zadataka za konstruisanje preseka kocke. Kako tačke A i C leže u istoj ravni (ABC), kroz njih možemo povući pravu liniju. Njegov trag je segment AC. Nevidljiv je, pa AC prikazujemo potezom. Na sličan način povezujemo tačke M i C koje leže u istoj ravni (CDD1) i tačke A i M koje leže u istoj ravni (ADD1). Trougao ACM je obavezna sekcija.

2) Konstruišite presek kocke sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P.

Ovdje samo tačke M i N leže u istoj ravni (ADD1), pa kroz njih povučemo pravu liniju i dobijemo trag MN (nevidljiv). Pošto suprotne strane kocke leže u paralelne ravni, tada rezna ravan siječe paralelne ravni (ADD1) i (BCC1) duž paralelnih linija. Već smo konstruisali jednu od paralelnih linija - ovo je MN.

Kroz tačku P povlačimo pravu paralelnu sa MN. Presijeca ivicu BB1 u tački S. PS je trag rezne ravnine u plohi (BCC1).

Povlačimo pravu liniju kroz tačke M i S koje leže u istoj ravni (ABB1). Dobili smo trag MS (vidljivo).

Ravne (ABB1) i (CDD1) su paralelne. Već postoji prava linija MS u ravni (ABB1), pa kroz tačku N u ravni (CDD1) povlačimo pravu paralelnu sa MS. Ova linija seče ivicu D1C1 u tački L. Njen trag je NL (nevidljiv). Tačke P i L leže u istoj ravni (A1B1C1), pa kroz njih povlačimo pravu liniju.

Pentagon MNLPS je obavezna sekcija.

3) Konstruišite presek kocke sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P.

Tačke M i N leže u istoj ravni (VSS1), pa se kroz njih može povući prava linija. Dobijamo trag MN (vidljiv). Ravan (BCC1) je paralelna sa ravninom (ADD1), pa kroz tačku P koja leži u (ADD1) povlačimo pravu paralelnu sa MN. Seče ivicu AD u tački E. Dobili smo trag PE (nevidljiv).

Više nema tačaka koje leže u istoj ravni, niti prave linije i tačaka u paralelnim ravnima. Stoga moramo nastaviti jednu od postojećih linija da bismo dobili dodatni bod.

Ako nastavimo pravu MN, onda, pošto ona leži u ravni (BCC1), moramo tražiti tačku preseka MN sa jednom od pravih ove ravni. Već postoje tačke preseka sa CC1 i B1C1 - to su M i N. Ostale su prave linije BC i BB1. Nastavimo BC i MN dok se ne seku u tački K. Tačka K leži na pravoj BC, što znači da pripada ravni (ABC), tako da možemo povući pravu liniju kroz nju i tačku E koja leži u ovoj ravni. Presijeca rub CD u tački H. EH je njegov trag (nevidljiv). Pošto H i N leže u istoj ravni (CDD1), kroz njih se može povući prava linija. Dobijamo HN (nevidljivi) trag.

Ravni (ABC) i (A1B1C1) su paralelne. U jednom od njih je prava EH, u drugom tačka M. Kroz M možemo povući pravu paralelnu sa EH. Dobijamo MF trag (vidljiv). Povucite pravu liniju kroz tačke M i F.

Šestougao MNHEPF je potreban presek.

Ako bismo nastavili pravu liniju MN sve dok se ne seče sa drugom pravom ravninom (BCC1), BB1, dobili bismo tačku G koja pripada ravni (ABB1). To znači da kroz G i P možemo povući pravu liniju čiji je trag PF. Zatim crtamo prave linije kroz tačke koje leže u paralelnim ravnima i dolazimo do istog rezultata.

Rad sa ravnim PE daje isti presek MNHEPF.

4) Konstruišite presek kocke sa ravni koja prolazi kroz tačku M, N, P.

Ovdje možemo povući pravu liniju kroz tačke M i N koje leže u istoj ravni (A1B1C1). Njen otisak je MN (vidljiv). Nema više tačaka koje leže u istoj ravni ili u paralelnim ravnima.

Nastavimo pravu liniju MN. Leži u ravni (A1B1C1), pa se može seći samo sa jednom od pravih ove ravni. Već postoje tačke preseka sa A1D1 i C1D1 - N i M. Još dve prave linije ove ravni - A1B1 i B1C1. Tačka preseka A1B1 i MN je S. Pošto leži na pravoj A1B1, ona pripada ravni (ABB1), što znači da se kroz nju može povući prava i tačka P koja leži u istoj ravni. Prava PS siječe rub AA1 u tački E. PE je njen trag (vidljiv). Kroz tačke N i E, koje leže u istoj ravni (ADD1), možete povući pravu liniju čiji je trag NE (nevidljiv). U ravni (ADD1) se nalazi prava NE, u ravni paralelnoj sa njom (BCC1) nalazi se tačka P. Kroz tačku P možemo povući pravu PL paralelnu sa NE. Presijeca rub CC1 u tački L. PL je trag ove prave (vidljiv). Tačke M i L leže u istoj ravni (CDD1), što znači da se kroz njih može povući prava linija. Njen trag je ML (nevidljiv). Pentagon MLPEN je obavezna sekcija.

Bilo je moguće nastaviti pravu liniju NM u oba smjera i tražiti njene presječne točke ne samo s pravom A1B1, već i sa pravom linijom B1C1, koja također leži u ravni (A1B1C1). U ovom slučaju, kroz tačku P povlačimo dvije prave odjednom: jednu u ravnini (ABB1) kroz tačke P i S, a drugu u ravni (BCC1), kroz tačke P i R. Nakon toga ostaje spojiti tačke koje leže u istoj ravni: M c L, E - sa N.