Osnova(starogrčki βασις, baza) - skup takvih vektora u vektorskom prostoru da se bilo koji vektor ovog prostora može jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija vektora iz ovog skupa - baznih vektora

Baza u prostoru R n je bilo koji sistem iz n-linearno nezavisni vektori. Svaki vektor iz R n koji nije uključen u bazu može se predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora, tj. proširiti preko osnove.
Neka je baza prostora R n i . Tada postoje brojevi λ 1 , λ 2 , …, λ n takvi da .
Koeficijenti proširenja λ 1 , λ 2 , ..., λ n , nazivaju se koordinatama vektora u bazi B. Ako je baza data, tada su koeficijenti vektora jednoznačno određeni.

Komentar. U svakom n-dimenzionalni vektorski prostor, možete odabrati beskonačan broj različitih baza. U različitim bazama, isti vektor ima različite koordinate, ali jedine u odabranoj bazi. Primjer. Proširite vektor u smislu .
Odluka. . Zamijenite koordinate svih vektora i izvršite radnje na njima:

Izjednačavanjem koordinata dobijamo sistem jednačina:

Hajde da to riješimo: .
Tako dobijamo ekspanziju: .
U osnovi vektor ima koordinate .

Kraj rada -

Ova tema pripada:

Koncept vektora. Linearne operacije nad vektorima

Vektor je usmjereni segment koji ima određenu dužinu, odnosno segment određene dužine koji ima jednu od svojih graničnih tačaka.

Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:

Šta ćemo sa primljenim materijalom:

Ako vam se ovaj materijal pokazao korisnim, možete ga sačuvati na svojoj stranici društvene mreže:

Osnova prostora nazvati takav sistem vektora u kojem se svi ostali vektori prostora mogu predstaviti kao linearna kombinacija vektora uključenih u bazu.
U praksi je sve ovo prilično jednostavno. Osnova se po pravilu provjerava na ravni ili u prostoru, a za to je potrebno pronaći determinantu matrice drugog, trećeg reda, sastavljene od koordinata vektora. Šematski napisano ispod uslovi pod kojima vektori čine osnovu

To proširiti vektor b u terminima baznih vektora
e,e...,e[n] potrebno je pronaći koeficijente x, ..., x[n] za koje je linearna kombinacija vektora e,e...,e[n] jednaka vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Da biste to učinili, vektorsku jednačinu treba pretvoriti u sistem linearnih jednačina i pronaći rješenja. Takođe je prilično lako implementirati.
Pronađeni koeficijenti x, ..., x[n] se pozivaju koordinate vektora b u bazi e,e...,e[n].
Idemo dalje praktična strana teme.

Dekompozicija vektora u bazne vektore

Zadatak 1. Provjerite da li vektori a1, a2 čine osnovu na ravni

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Rješenje: Sastavite determinantu iz koordinata vektora i izračunajte je

Determinanta nije jednaka nuli, dakle vektori su linearno nezavisni, što znači da čine osnovu.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Rješenje: Izračunavamo determinantu sastavljenu od vektora

Determinanta je jednaka 13 (nije jednaka nuli) - iz ovoga slijedi da su vektori a1, a2 baza na ravni.

---=================---

Razmotrimo tipične primjere iz programa IAPM u disciplini "Viša matematika".

Zadatak 2. Pokažite da vektori a1, a2, a3 čine osnovu trodimenzionalnog vektorskog prostora i proširite vektor b u ovoj bazi (prilikom rješavanja sistema linearnih algebarske jednačine koristiti Cramerovu metodu).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Rješenje: Prvo razmotrite sistem vektora a1, a2, a3 i provjerite determinantu matrice A

izgrađen na vektorima drugačijim od nule. Matrica sadrži jedan nulti element, pa je svrsishodnije izračunati determinantu kao raspored za prvu kolonu ili treći red.

Kao rezultat proračuna, ustanovili smo da je determinanta različita od nule vektori a1, a2, a3 su linearno nezavisni.
Po definiciji, vektori čine osnovu u R3. Zapišimo raspored vektora b u terminima baze

Vektori su jednaki kada su im odgovarajuće koordinate jednake.
Dakle, iz vektorske jednačine dobijamo sistem linearnih jednačina

Riješite SLAE Cramerova metoda. Da bismo to učinili, zapisujemo sistem jednačina u obliku

Glavna determinanta SLAE je uvijek jednaka determinanti sastavljenoj od baznih vektora

Stoga se u praksi ne računa dva puta. Da bismo pronašli pomoćne determinante, stavljamo kolonu slobodnih pojmova na mjesto svake kolone glavne determinante. Odrednice se računaju prema pravilu trouglova



Zamijenite pronađene determinante u Cramerovu formulu



Dakle, proširenje vektora b u smislu baze ima oblik b=-4a1+3a2-a3 . Koordinate vektora b u bazi a1, a2, a3 će biti (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Rješenje: Provjeravamo vektore za osnovu - sastavljamo determinantu iz koordinata vektora i izračunavamo je

Dakle, determinanta nije jednaka nuli vektori čine osnovu u prostoru. Ostaje da se pronađe raspored vektora b u smislu date baze. Da bismo to učinili, pišemo vektorsku jednačinu

i transformisati u sistem linearnih jednačina

Zapišite matričnu jednačinu

Zatim, za Cramerove formule, nalazimo pomoćne determinante



Primjena Cramerovih formula



Dakle, dati vektor b ima raspored kroz dva bazna vektora b=-2a1+5a3, a njegove koordinate u bazi su jednake b(-2,0, 5).

Linearna zavisnost i linearnu nezavisnost vektori.
Osnova vektora. Afini koordinatni sistem

U publici su kolica sa čokoladama, a danas će svaki posjetitelj dobiti slatki par - analitičku geometriju sa linearnom algebrom. Ovaj članak će pokriti dva odjeljka odjednom. višu matematiku, a vidjećemo kako će se slagati u jednom omotu. Odmorite se, jedite Twix! ... dovraga, pa, svađanje gluposti. Iako u redu, neću bodovati, na kraju treba da postoji pozitivan stav prema učenju.

Linearna zavisnost vektora, linearna nezavisnost vektora, vektorsku osnovu a drugi pojmovi imaju ne samo geometrijsko tumačenje, već, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stanovišta linearne algebre daleko je od uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravni ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor zbog kojeg sam upravo otišao u Gismeteo: - temperatura i Atmosferski pritisak respektivno. Primjer je, naravno, netačan sa stanovišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, niko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću da vas zamaram teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumeti definicije i teoreme. Novi termini (linearna zavisnost, nezavisnost, linearna kombinacija, baza, itd.) su primenljivi na sve vektore sa algebarske tačke gledišta, ali će primeri biti dati geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Pored problema analitičke geometrije, razmotrićemo i neke tipični zadaci algebra. Da biste savladali gradivo, preporučljivo je da se upoznate sa lekcijama Vektori za lutke i Kako izračunati determinantu?

Linearna zavisnost i nezavisnost ravnih vektora.
Ravan baza i afini koordinatni sistem

Uzmite u obzir vaš avion kompjuterski sto(samo sto, noćni ormarić, pod, plafon, šta god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite osnovu ravni. Grubo govoreći, ploča stola ima dužinu i širinu, tako da je intuitivno jasno da su za izgradnju osnove potrebna dva vektora. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na osnovu odabrane osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim stavkama na tabeli.

Nemojte se iznenaditi, u početku će vam objašnjenja biti na prstima. Štaviše, na vašem. Molimo postavite kažiprst lijeva ruka na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sad mjesto mali prst desna ruka na ivici stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Šta se može reći o vektorima? Vektori podataka kolinearno, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravan kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad sam smjer, dok ravan ima dužinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno zavisna.

Referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednačinama, izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stepen) izrazi i zavisnosti.

Dva ravan vektora linearno zavisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih postoji bilo koji ugao osim 0 ili 180 stepeni. Dva ravan vektoralinearno ne su zavisne ako i samo ako nisu kolinearne. Dakle, osnova je primljena. Ne treba se sramiti što je osnova ispala "kosa" s neokomitim vektorima različitih dužina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da nije samo ugao od 90 stepeni pogodan za njegovu konstrukciju, a ne samo jedinični vektori jednake dužine

Bilo koji ravan vektor jedini način prošireno u smislu osnove:
, gdje su realni brojevi . Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

I oni to kažu vektorpredstavljen u formi linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijaosnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, može se reći da je vektor proširen u ortonormalnoj bazi ravni, ili se može reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Hajde da formulišemo definicija osnove formalno: ravninska osnova je par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Suština definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redosledom. baze Ovo su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, mali prst lijeve ruke ne može se pomjeriti na mjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem kompjuterskom stolu. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravni. Kako onda dodijeliti koordinate tim malim prljavim tačkicama na stolu koje su ostale od divljeg vikenda? Potrebna je polazna tačka. A takva referentna tačka je svima poznata tačka - ishodište koordinata. Razumijevanje koordinatnog sistema:

Počeću sa "školskim" sistemom. Već u uvodnoj lekciji Vektori za lutke Naglasio sam neke od razlika između pravokutnog koordinatnog sistema i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kada govorimo o pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće označavaju ishodište koordinata, koordinatne ose i skalirati duž osi. Pokušajte da u pretraživač ukucate „pravougaoni koordinatni sistem“ i videćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osama poznatim iz 5.-6. razreda i kako da iscrtate tačke na ravni.

S druge strane, stiče se utisak da se pravougaoni koordinatni sistem može dobro definisati u terminima ortonormalne baze. I skoro da jeste. Formulacija glasi ovako:

porijeklo, i ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem ravni . Odnosno, pravougaoni koordinatni sistem definitivno definiran je jednom tačkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato, vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima često se (ali ne uvijek) crtaju i vektori i koordinatne ose.

Mislim da svi to razumiju uz pomoć tačke (porekla) i ortonormalne osnove BILO KOJA TAČKA ravnine i BILO KOJI VEKTOR ravni koordinate se mogu dodijeliti. Slikovito rečeno, "sve u avionu može biti numerisano".

Da li koordinatni vektori moraju biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu dužinu različitu od nule. Razmotrimo tačku i dva ortogonalna vektora proizvoljne dužine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalno. Porijeklo koordinata sa vektorima definira koordinatnu mrežu, a svaka tačka ravni, svaki vektor ima svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori Uglavnom imaju različite dužine osim jedinice. Ako su dužine jednake jedan, onda se dobija uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj osnovi, a također i ispod u afine baze razmatraju se ravni i prostorne jedinice duž osi CONDITIONAL. Na primjer, jedna jedinica duž apscise sadrži 4 cm, jedna jedinica duž ordinate sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna za pretvaranje „nestandardnih“ koordinata u „naše uobičajene centimetre“ ako je potrebno.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno - da li je ugao između baznih vektora nužno jednak 90 stepeni? Ne! Kao što definicija kaže, osnovni vektori moraju biti samo nekolinearno. Shodno tome, ugao može biti bilo koji osim 0 i 180 stepeni.

Pozvana je tačka na avionu porijeklo, i nekolinearno vektori, , set afini koordinatni sistem ravni :

Ponekad se ovaj koordinatni sistem naziva koso sistem. Tačke i vektori su prikazani kao primjeri na crtežu:

Kao što razumijete, afini koordinatni sistem je još manje zgodan, formule za dužine vektora i segmenata, koje smo razmatrali u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu. Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane za skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za sabiranje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u tom pogledu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinog koordinatnog sistema kartezijanski pravougaoni sistem. Stoga se ona, njena, najčešće mora vidjeti. ... Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima je prikladno imati oblique (ili neku drugu, npr. polar) koordinatni sistem. Da, i humanoidi takvi sistemi mogu pasti na ukus =)

Pređimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji važe i za pravougaoni koordinatni sistem i za opšti afini slučaj. Ovdje nema ništa komplikovano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Za dva ravan vektora su kolinearni, potrebno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.U suštini, ovo je prečišćavanje očitog odnosa koordinata po koordinata.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Odluka:
a) Saznajte da li postoji vektor koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti ispunjene:

Obavezno recite o "foppish" raznolikosti primjene ovo pravilo, što prilično dobro funkcionira u praksi. Ideja je da odmah napravite proporciju i vidite da li je tačna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skraćujemo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Relacija se može napraviti i obrnuto, ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje može se koristiti činjenica da kolinearni vektori su linearno izražene jedna kroz drugu. AT ovaj slučaj postoje jednakosti . Njihova valjanost se može lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , iz druge jednačine slijedi da , što znači, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Sastavite proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, dakle, ovi vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Obično recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Volim ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako raditi kroz proporciju ovdje? (Zaista, ne možete podijeliti sa nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao "foppish".

odgovor: a) , b) oblik.

Mali kreativni primjer za nezavisna odluka:

Primjer 2

Na kojoj vrijednosti vektora parametara će biti kolinearna?

U otopini uzorka, parametar se nalazi kroz proporciju.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Hajde da sistematizujemo naše znanje i samo ga dodamo kao petu tačku:

Za dva ravan vektora, sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nije nula.

odnosno sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno zavisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, jednaka je nuli.

Stvarno se tome nadam ovog trenutka već razumete sve ispunjene uslove i izjave.

Pogledajmo izbliza novu, petu tačku: dva ravan vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:. Da biste koristili ovu funkciju, naravno, morate biti u mogućnosti pronađite odrednice.

Mi ćemo odlučiti Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajte determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, pa su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, stoga su vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata, pravih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe graditi crtež u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Zapamtite definiciju paralelograma:
Paralelogram Četverougao se naziva u kojem su suprotne strane po paru paralelne.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i .

dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi“ - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očigledna, ali bolje je donijeti odluku kako treba, sa aranžmanom. Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ovi vektori kolinearni, i .

Zaključak: Suprotne strane četvorougla su parno paralelne, pa je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih figura:

Primjer 4

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak za samostalnu odluku. Kompletno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se iz aviona polako krećemo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

a) ;
b)
u)

Odluka:
a) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sistem nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" se utvrđuje provjerom proporcije. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za nezavisnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti vektora prostora i putem determinante trećeg reda, ovu metodu obrađeno u članku Unakrsni proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravni, razmatrani alati se mogu koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i linija.

Dobrodošli u drugu sekciju:

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna osnova i afini koordinatni sistem

Mnoge od pravilnosti koje smo razmatrali na avionu važiće i za prostor. Pokušao sam da minimiziram sažetak teorije, jer je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i koncepti.

Sada, umjesto ravni kompjuterskog stola, ispitajmo trodimenzionalni prostor. Prvo, napravimo njegovu osnovu. Neko je sada u zatvorenom, neko je na otvorenom, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga su potrebna tri prostorna vektora za konstruiranje baze. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je unutra različite strane veliki, indeks i srednji prst . To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite dužine i imaju različitim uglovima između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Uzgred, ne morate to demonstrirati nastavnicima, ma kako zavrtili prste, ali ne možete pobjeći od definicija =)

Dalje, hajde da pitamo važno pitanje, da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na ploču stola računara. Šta se desilo? Tri vektora se nalaze u istoj ravni i, grubo rečeno, izgubili smo jedno od mjerenja - visinu. Takvi vektori su komplanarno i, sasvim očigledno, da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da komplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravni, već mogu biti u paralelne ravni(samo nemoj prstima, samo je Salvador Dali tako ispao =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarno ako postoji ravan sa kojom su oni paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravan ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno zavisna, odnosno linearno su izražene jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, opet zamislite da leže u istoj ravni. Prvo, vektori nisu samo komplanarni, već mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala prethodnog odeljka).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno nezavisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očigledno, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno nezavisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redoslijedom, dok je bilo koji vektor prostora jedini način proširuje se u datoj bazi , gdje su koordinate vektora u datoj bazi

Podsjećamo, također možete reći da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sistema se uvodi na potpuno isti način kao i za ravan, dovoljna je jedna tačka i bilo koja tri linearno nezavisna vektora:

porijeklo, i nekoplanarni vektori, uzeti određenim redoslijedom, set afini koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, konstruisani koordinatni sistem nam omogućava da definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje tačke u prostoru. Slično ravni, u afinom koordinatnom sistemu prostora, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi.

Najpoznatiji i najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sistema, kao što svi mogu pretpostaviti, jeste pravougaoni prostorni koordinatni sistem:

tačka u prostoru tzv porijeklo, i ortonormalno osnovni set Dekartov koordinatni sistem prostora . poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovo sistematiziramo informacije:

Za tri vektora razmaci su ekvivalentni sljedećim izjavama:
1) vektori su linearno nezavisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, je različita od nule.

Suprotne izjave su, mislim, razumljive.

Linearna zavisnost/nezavisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (tačka 5). Preostali praktični zadaci će biti naglašene algebarske prirode. Vrijeme je da okačite geometrijski štap na nokat i rukujete bejzbol palicom za linearnu algebru:

Tri svemirska vektora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli: .

Skrećem pažnju na malu tehnička nijansa: vektorske koordinate se mogu pisati ne samo u kolone, već iu redove (vrijednost determinante se neće promijeniti od ovoga - pogledajte svojstva determinanti). Ali mnogo je bolje u kolonama, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili su možda uopće loše orijentirani, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite da li sljedeći vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora:

Odluka: Zapravo, cijelo rješenje se svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno nezavisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovori: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je tačka za nezavisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Odluka: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:

U suštini, potrebno je riješiti jednačinu s determinantom. Letimo u nule kao zmajevi u jerboe - najisplativije je otvoriti determinantu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Vršimo dalja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavnije linearna jednačina:

Odgovori: at

Ovdje je lako provjeriti, za to morate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u originalnu determinantu i osigurati da ponovnim otvaranjem.

Konačno, razmislite o još jednom tipičan zadatak, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kurs linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje posebnu temu:

Dokazati da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađite koordinate 4. vektora u datoj bazi

Primjer 8

Dati su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.

Odluka: Hajde da se prvo pozabavimo uslovom. Pod uslovom su data četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Šta je osnova - nas ne zanima. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu stvoriti novu osnovu. A prvi korak je potpuno isti kao rješenje primjera 6, potrebno je provjeriti da li su vektori stvarno linearno nezavisni:

Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:

, stoga su vektori linearno nezavisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Bitan : vektorske koordinate obavezno zapiši u kolone determinanta, ne nizovi. U suprotnom će doći do zabune u daljem algoritmu rješenja.

Vektorski račun i njegove primjene veliki značaj ima problem dekompozicije, koji se sastoji u predstavljanju datog vektora kao sume nekoliko vektora, koji se nazivaju komponente datog

vektor. Ovaj problem, koji u opštem slučaju ima beskonačan broj rješenja, postaje sasvim određen ako se specificiraju neki elementi konstitutivnih vektora.

2. Primjeri razlaganja.

Razmotrimo nekoliko vrlo čestih slučajeva raspadanja.

1. Dati vektor c rastaviti na dva komponentna vektora od kojih je jedan, na primjer a, dat po veličini i smjeru.

Problem se svodi na određivanje razlike između dva vektora. Zaista, ako su vektori komponente vektora c, onda je jednakost

Odavde se određuje drugi komponentni vektor

2. Rastaviti dati vektor c na dvije komponente, od kojih jedna mora ležati u dati avion a drugi mora ležati na datoj pravoj a.

Da bismo odredili sastavne vektore, pomeramo vektor c tako da se njegov početak poklopi sa tačkom preseka date prave sa ravninom (tačka O - vidi sliku 18). Nacrtajte pravu liniju od kraja vektora c (tačka C) do

presek sa ravninom (B je tačka preseka), a zatim iz tačke C povučemo paralelnu pravu liniju

Tražit će se vektori i, tj., naravno, naznačena dekompozicija je moguća ako prava a i ravan nisu paralelne.

3. Dana su tri koplanarna vektora a, b i c, a vektori nisu kolinearni. Potrebno je dekomponovati vektor c na vektore

Dovedemo sva tri data vektora u jednu tačku O. Tada će se, zbog svoje komplanarnosti, nalaziti u istoj ravni. Na datom vektoru c, kao na dijagonali, konstruišemo paralelogram čije su stranice paralelne sa linijama delovanja vektora (slika 19). Ova konstrukcija je uvijek moguća (osim ako su vektori kolinearni) i jedinstvena. Od sl. 19 to pokazuje