Trougao je svima poznata figura. I to uprkos bogatoj raznolikosti njegovih oblika. Pravougaoni, jednakostranični, akutni, jednakokraki, tupi. Svaki od njih je na neki način drugačiji. Ali za svakoga trebate saznati površinu trokuta.

Formule zajedničke za sve trouglove koji koriste dužine stranica ili visina

U njima usvojene oznake: strane - a, b, c; visine na odgovarajućim stranama na a, n in, n sa.

1. Površina trokuta se izračunava kao proizvod ½, stranice i visine oduzete od nje. S = ½ * a * n a. Formule za druge dvije strane treba napisati na sličan način.

2. Heronova formula, u kojoj se pojavljuje poluperimetar (obično se označava malim slovom p, za razliku od punog perimetra). Poluperimetar se mora izračunati na sljedeći način: zbrojite sve stranice i podijelite ih sa 2. Formula za poluperimetar je: p = (a+b+c) / 2. Tada je jednakost za površinu od ​​figura izgleda ovako: S = √ (p * (p - a) * ( r - v) * (r - s)).

3. Ako ne želite da koristite poluperimetar, tada će biti korisna formula koja sadrži samo dužine stranica: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Nešto je duži od prethodnog, ali će vam pomoći ako ste zaboravili kako pronaći poluperimetar.

Opće formule koje uključuju uglove trokuta

Oznake potrebne za čitanje formula: α, β, γ - uglovi. Leže na suprotnim stranama a, b, c, redom.

1. Prema njemu, polovina proizvoda dviju stranica i sinusa ugla između njih jednaka je površini trokuta. To jest: S = ½ a * b * sin γ. Formule za druga dva slučaja treba napisati na sličan način.

2. Površina trougla se može izračunati iz jedne strane i tri poznata ugla. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Postoji i formula sa jednim poznata strana i dva susedna ugla. To izgleda ovako: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Posljednje dvije formule nisu najjednostavnije. Prilično ih je teško zapamtiti.

Opće formule za situacije u kojima su poznati polumjeri upisanih ili opisanih kružnica

Dodatne oznake: r, R - radijusi. Prvi se koristi za radijus upisane kružnice. Drugi je za opisani.

1. Prva formula po kojoj se izračunava površina trokuta odnosi se na poluperimetar. S = r * r. Drugi način da se to zapiše je: S = ½ r * (a + b + c).

2. U drugom slučaju, morat ćete pomnožiti sve strane trougla i podijeliti ih četverostrukim polumjerom opisane kružnice. U doslovnom izrazu to izgleda ovako: S = (a * b * c) / (4R).

3. Treća situacija vam omogućava da ne znate stranice, ali će vam trebati vrijednosti sva tri ugla. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseban slučaj: pravokutni trokut

Ovo je najviše jednostavna situacija, pošto je potrebna samo dužina obe noge. Označeni su latiničnim slovima a i b. Square pravougaonog trougla jednako polovini površine pravokutnika koji mu se dodaje.

Matematički to izgleda ovako: S = ½ a * b. Najlakše ga je zapamtiti. Budući da izgleda kao formula za površinu pravokutnika, pojavljuje se samo razlomak, koji označava polovicu.

Poseban slučaj: jednakokraki trokut

Budući da ima dvije jednake strane, neke formule za njegovu površinu izgledaju donekle pojednostavljeno. Na primjer, Heronova formula, koja izračunava površinu jednakokraki trougao, ima sljedeći oblik:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Ako ga transformišete, postat će kraći. U ovom slučaju, Heronova formula za jednakokraki trokut je napisana na sljedeći način:

S = ¼ u √(4 * a 2 - b 2).

Formula površine izgleda nešto jednostavnije nego za proizvoljan trokut ako su poznate stranice i ugao između njih. S = ½ a 2 * sin β.

Poseban slučaj: jednakostranični trokut

Obično se u problemima strana o tome zna ili se može na neki način saznati. Tada je formula za pronalaženje površine takvog trokuta sljedeća:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemi u pronalaženju područja ako je trokut prikazan na kariranom papiru

Najjednostavnija situacija je kada se nacrta pravokutni trokut tako da mu se kraci poklapaju s linijama papira. Tada samo trebate izbrojati broj ćelija koje staju u noge. Zatim ih pomnožite i podijelite sa dva.

Kada je trokut oštar ili tupougao, potrebno ga je nacrtati u pravougaonik. Tada će rezultirajuća figura imati 3 trokuta. Jedan je onaj koji je dat u problemu. A druga dva su pomoćna i pravougaona. Područja posljednja dva se moraju odrediti koristeći gore opisanu metodu. Zatim izračunajte površinu pravokutnika i oduzmite od njega one izračunate za pomoćne. Određuje se površina trokuta.

Situacija u kojoj se nijedna stranica trokuta ne poklapa s linijama papira pokazuje se mnogo složenijom. Zatim ga treba upisati u pravougaonik tako da vrhovi originalne figure leže na njegovim stranama. U ovom slučaju biće tri pomoćna pravougla trougla.

Primjer problema koji koristi Heronovu formulu

Stanje. Neki trougao ima poznate stranice. One su jednake 3, 5 i 6 cm Morate saznati njegovu površinu.

Sada možete izračunati površinu trokuta koristeći gornju formulu. Pod kvadratnim korijenom nalazi se proizvod četiri broja: 7, 4, 2 i 1. To jest, površina je √(4 * 14) = 2 √(14).

Ako veća tačnost nije potrebna, onda možete uzeti kvadratni korijen od 14. To je jednako 3,74. Tada će površina biti 7,48.

Odgovori. S = 2 √14 cm 2 ili 7,48 cm 2.

Primjer problema s pravokutnim trouglom

Stanje. Jedan krak pravokutnog trokuta je 31 cm veći od drugog. Morate saznati njihove dužine ako je površina trokuta 180 cm 2.
Rješenje. Moraćemo da rešimo sistem od dve jednačine. Prvi se odnosi na područje. Drugi je omjer nogu koji je dat u zadatku.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Prvo, vrijednost “a” mora biti zamijenjena u prvu jednačinu. Ispada: 180 = ½ (in + 31) * in. Postoji samo jedna nepoznata veličina, pa je lako riješiti. Nakon otvaranja zagrada dobijamo kvadratna jednačina: u 2 + 31 in - 360 = 0. Daje dvije vrijednosti za "in": 9 i - 40. Drugi broj nije prikladan kao odgovor, jer dužina stranice trokuta ne može biti negativna vrijednost.

Ostaje izračunati drugi krak: rezultirajućem broju dodati 31. Ispada 40. Ovo su količine koje se traže u zadatku.

Odgovori. Krate trougla su 9 i 40 cm.

Problem nalaženja stranice kroz površinu, stranicu i ugao trougla

Stanje. Površina određenog trougla je 60 cm 2. Potrebno je izračunati jednu od njegovih stranica ako je druga strana 15 cm, a ugao između njih 30º.

Rješenje. Na osnovu prihvaćene notacije, željena strana je “a”, poznata strana je “b”, dati ugao je “γ”. Tada se formula površine može prepisati na sljedeći način:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Ovdje je sinus od 30 stepeni 0,5.

Nakon transformacije, "a" se ispostavi da je jednako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovori. Potrebna strana je 16 cm.

Zadatak o kvadratu upisanom u pravokutni trokut

Stanje. Tem kvadrata sa stranicom od 24 cm poklapa se sa pravim uglom trokuta. Druga dva leže sa strane. Treći pripada hipotenuzi. Dužina jedne od kateta je 42 cm Kolika je površina pravouglog trokuta?

Rješenje. Razmotrimo dva pravougla trougla. Prvi je onaj koji je naveden u zadatku. Drugi je baziran na poznatoj kraci originalnog trougla. Oni su slični jer imaju zajednički ugao i formiraju ih paralelne linije.

Tada su omjeri njihovih nogu jednaki. Kateti manjeg trougla su jednaki 24 cm (strana kvadrata) i 18 cm (dati katet 42 cm oduzmite stranicu kvadrata 24 cm). Odgovarajuće noge velikog trokuta su 42 cm i x cm. To je ono "x" koje je potrebno da bi se izračunala površina trokuta.

18/42 = 24/x, odnosno x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Tada je površina jednaka proizvodu 56 i 42 podijeljenom sa dva, odnosno 1176 cm 2.

Odgovori. Potrebna površina je 1176 cm 2.

Iz suprotnog vrha) i rezultujući proizvod podijelite sa dva. ovo izgleda ovako:

S = ½ * a * h,

gdje:
S – površina trougla,
a je dužina njegove stranice,
h je visina spuštena na ovu stranu.

Dužina i visina strane moraju biti prikazane u istim mjernim jedinicama. U ovom slučaju, površina trokuta će se dobiti u odgovarajućim jedinicama " ".

Primjer.
Na jednoj strani skalenskog trougla dužine 20 cm spuštena je okomita iz suprotnog vrha dužine 10 cm.
Površina trokuta je potrebna.
Rješenje.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ako su poznate dužine bilo koje dvije strane skalenskog trokuta i ugao između njih, upotrijebite formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

gdje su: a, b dužine dvije proizvoljne strane, a γ ugao između njih.

U praksi, na primjer, prilikom mjerenja zemljišne parcele, upotreba navedenih formula je ponekad teška, jer zahtijeva dodatnu konstrukciju i mjerenje uglova.

Ako znate dužine sve tri strane skalenskog trokuta, upotrijebite Heronovu formulu:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – dužine stranica trougla,
p – poluperimetar: p = (a+b+c)/2.

Ako je, pored dužina svih strana, poznat i polumjer kružnice upisane u trokut, onda koristite sljedeću kompaktnu formulu:

gdje je: r – poluprečnik upisane kružnice (r – poluperimetar).

Da biste izračunali površinu skalenskog trokuta i dužinu njegovih stranica, koristite formulu:

gdje je: R – polumjer opisane kružnice.

Ako znate dužinu jedne od stranica trokuta i tri ugla (u principu, dva su dovoljna - vrijednost trećeg se izračunava iz jednakosti zbira tri ugla trokuta - 180º), tada koristite formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

gdje je α vrijednost ugla nasuprot strani a;
β, γ – vrijednosti preostala dva ugla trougla.

Potreba za pronalaženjem raznih elemenata, uključujući područja trougao, pojavio se mnogo vekova pre nove ere među učenim astronomima Ancient Greece. Square trougao može se izračunati Različiti putevi koristeći različite formule. Metoda proračuna zavisi od toga koji elementi trougao poznato.

Instrukcije

Ako iz uslova znamo vrijednosti dviju stranica b, c i ugla koji oni formiraju?, tada je površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = (bcsin?)/2.

Ako iz uslova znamo vrijednosti dviju stranica a, b i ugla koji oni ne formiraju?, tada je površina trougao ABC se nalazi na sljedeći način:
Pronalaženje ugla?, grijeh? = bsin?/a, a zatim pomoću tabele odredite sam ugao.
Pronalaženje ugla?, ? = 180°-?-?.
Nalazimo samu oblast S = (apsin?)/2.

Ako iz uslova znamo vrijednosti samo tri strane trougao a, b i c, zatim površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je p poluperimetar p = (a+b+c)/2

Ako iz uslova problema znamo visinu trougao h i stranu na koju se ta visina spušta, zatim površinu trougao ABC prema formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Ako znamo značenja strana trougao a, b, c i radijus opisan u vezi s tim trougao R, zatim područje ovoga trougao ABC se određuje formulom:
S = abc/4R.
Ako su poznate tri strane a, b, c i polumjer upisanog, tada je površina trougao ABC se nalazi po formuli:
S = pr, gdje je p poluperimetar, p = (a+b+c)/2.

Ako je ABC jednakostranična, tada se površina nalazi po formuli:
S = (a^2v3)/4.
Ako je trokut ABC jednakokračan, tada se površina određuje po formuli:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, gdje je c – trougao.
Ako je trokut ABC pravokutni, tada se površina određuje po formuli:
S = ab/2, gdje su a i b noge trougao.
Ako je trokut ABC pravokutni jednakokraki trokut, tada se površina određuje po formuli:
S = c^2/4 = a^2/2, gdje je c hipotenuza trougao, a=b – noga.

Video na temu

Izvori:

• kako izmjeriti površinu trougla

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta ako je ugao poznat

Poznavanje samo jednog parametra (ugla) nije dovoljno da se pronađe područje tre kvadrat . Ako ih ima dodatne veličine, zatim za određivanje područja možete odabrati jednu od formula u kojoj se vrijednost ugla također koristi kao jedna od poznatih varijabli. U nastavku je dato nekoliko najčešće korištenih formula.

Instrukcije

Ako, pored veličine ugla (γ) koji formiraju dvije strane tre kvadrat , tada su poznate i dužine ovih stranica (A i B). kvadrat(S) figure se može definisati kao polovina proizvoda dužina stranica i sinusa ovog poznatog ugla: S=½×A×B×sin(γ).

Koncept područja

Koncept površine bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s likom kao što je kvadrat. Za jediničnu površinu bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi potpunosti, podsjetimo se na dva osnovna svojstva pojma područja geometrijskih figura.

Nekretnina 1: Ako su geometrijske figure jednake, onda su i njihove površine jednake.

Nekretnina 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štoviše, površina izvorne figure jednaka je zbroju površina svih njenih sastavnih figura.

Pogledajmo primjer.

Primjer 1

Očigledno, jedna od stranica trougla je dijagonala pravougaonika, čija jedna strana ima dužinu od $5$ (pošto ima $5$ ćelija), a druga je $6$ (pošto ima $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovini takvog pravokutnika. Površina pravougaonika je

Tada je površina trokuta jednaka

Odgovor: 15$.

Zatim ćemo razmotriti nekoliko metoda za pronalaženje površina trokuta, odnosno pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i površinu jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta koristeći njegovu visinu i osnovu

Teorema 1

Površina trokuta može se naći kao polovina proizvoda dužine stranice i visine te stranice.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ dužina stranice, $h$ je visina povučena do nje.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$ u kojem je $AC=α$. Visina $BH$ je povučena na ovu stranu, koja je jednaka $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravougaonika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravougaonika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Onda

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Dakle, tražena površina trokuta, po svojstvu 2, jednaka je

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema je dokazana.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na donjoj slici ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnova ovog trougla je $9$ (pošto je $9$ $9$ kvadrata). Visina je također 9$. Tada, prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Odgovor: 40,5$.

Heronova formula

Teorema 2

Ako su nam date tri stranice trougla $α$, $β$ i $γ$, onda se njegova površina može naći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ označava poluperimetar ovog trougla.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ABH$ dobijamo

Iz trougla $CBH$, prema Pitagorinoj teoremi, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobijamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Pošto je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, što znači

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Trougao je ovakav geometrijska figura, koji se sastoji od tri prave koje se spajaju u tačkama koje ne leže na istoj liniji. Tačke veze linija su vrhovi trokuta, koji su označeni latiničnim slovima (na primjer, A, B, C). Spojne ravne linije trougla nazivaju se segmenti, koji se također obično označavaju latiničnim slovima. Razlikovati sledeće vrste trokuti:

• Pravougaona.
• Tupo.
• Acute angular.
• Svestran.
• Equilateral.
• Jednakokraki.

Opće formule za izračunavanje površine trokuta

Formula za površinu trokuta na osnovu dužine i visine

S= a*h/2,
gdje je a dužina stranice trougla čiju površinu treba pronaći, h je dužina visine povučene do osnove.

Heronova formula

S=√r*(r-a)*(r-b)*(p-c),
gdje je √ Kvadratni korijen, p je poluperimetar trougla, a,b,c je dužina svake strane trougla. Poluperimetar trougla može se izračunati pomoću formule p=(a+b+c)/2.

Formula za površinu trokuta na osnovu ugla i dužine segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
Gdje b,c je dužina stranica trougla, sin(α) je sinus ugla između dvije stranice.

Formula za površinu trokuta s obzirom na polumjer upisane kružnice i tri strane

S=p*r,
gdje je p poluperimetar trougla čiju površinu treba pronaći, r je poluprečnik kružnice upisane u ovaj trokut.

Formula za površinu trokuta zasnovanu na tri strane i poluprečniku kružnice opisane oko njega

S= (a*b*c)/4*R,
gdje je a,b,c dužina svake strane trougla, R je polumjer kružnice opisane oko trougla.

Formula za površinu trokuta koristeći kartezijanske koordinate tačaka

Kartezijanske koordinate tačaka su koordinate u sistemu xOy, gdje je x apscisa, y ordinata. Dekartov koordinatni sistem xOy na ravni su međusobno okomite numeričke ose Ox i Oy sa zajedničkim ishodištem u tački O. Ako su koordinate tačaka na ovoj ravni date u obliku A(x1, y1), B(x2, y2 ) i C(x3, y3), tada možete izračunati površinu trokuta koristeći sljedeću formulu, koja se dobija iz vektorski proizvod dva vektora.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdje || označava modul.

Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta

Pravougli trougao je trougao sa jednim uglom od 90 stepeni. Trougao može imati samo jedan takav ugao.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na dvije strane

S= a*b/2,
gdje je a,b dužina nogu. Noge su stranice koje se nalaze uz pravi ugao.

Formula za površinu pravokutnog trokuta zasnovana na hipotenuzi i oštrom kutu

S = a*b*sin(α)/ 2,
gdje su a, b kraci trougla, a sin(α) je sinus ugla pod kojim se prave a, b seku.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na osnovu stranice i suprotnog kuta

S = a*b/2*tg(β),
gdje su a, b katete trougla, tan(β) je tangenta ugla pod kojim su kraci a, b povezani.

Kako izračunati površinu jednakokračnog trougla

Jednakokraki trougao je onaj koji ima dvije jednake stranice. Ove strane se zovu stranice, a druga strana je baza. Da biste izračunali površinu jednakokračnog trokuta, možete koristiti jednu od sljedećih formula.

Osnovna formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta

S=h*c/2,
gdje je c osnova trougla, h visina trougla spuštenog na osnovu.

Formula jednakokračnog trougla zasnovana na stranici i osnovici

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdje je c osnova trokuta, a je veličina jedne od stranica jednakokračnog trougla.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trougla

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve strane jednake. Da biste izračunali površinu jednakostraničnog trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (√3*a*a)/4,
gdje je a dužina stranice jednakostraničnog trougla.

Gore navedene formule će vam omogućiti da izračunate potrebnu površinu trokuta. Važno je zapamtiti da za izračunavanje površine trokuta morate uzeti u obzir vrstu trokuta i dostupne podatke koji se mogu koristiti za izračun.

Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najlakši i najčešće korišteni je pomnožiti visinu s dužinom baze, a zatim podijeliti rezultat s dva. kako god ovu metodu daleko od jedinog. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta koristeći različite formule.

Zasebno ćemo pogledati načine izračunavanja površine određenih vrsta trokuta - pravokutnih, jednakokračnih i jednakostraničnih. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njenu suštinu.

Univerzalne metode za pronalaženje površine trokuta

Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrovaćemo svaki od njih:

• a, b, c – dužine tri strane figure koju razmatramo;
• r je polumjer kružnice koja se može upisati u naš trokut;
• R je poluprečnik kruga koji se može opisati oko njega;
• α je veličina ugla kojeg čine stranice b i c;
• β je veličina ugla između a i c;
• γ je veličina ugla kojeg čine stranice a i b;
• h je visina našeg trougla, spuštenog od ugla α na stranu a;
• p – polovina zbira stranica a, b i c.

Logički je jasno zašto na ovaj način možete pronaći površinu trokuta. Trokut se lako može upotpuniti u paralelogram, u kojem će jedna strana trokuta djelovati kao dijagonala. Područje paralelograma se nalazi množenjem dužine jedne od njegovih stranica sa vrijednošću visine koja mu se povlači. Dijagonala dijeli ovaj uslovni paralelogram na 2 identična trougla. Stoga je sasvim očito da površina našeg originalnog trokuta mora biti jednaka polovini površine ovog pomoćnog paralelograma.

S=½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta se nalazi množenjem dužina njegovih dviju stranica, odnosno a i b, sa sinusom ugla koji oni formiraju. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Ako spustimo visinu od ugla β na stranicu b, onda, prema svojstvima pravouglog trokuta, kada pomnožimo dužinu stranice a sa sinusom ugla γ, dobijamo visinu trokuta, odnosno h .

Površina dotične figure nalazi se množenjem polovine polumjera kruga koji se u njega može upisati njegovim perimetrom. Drugim riječima, nalazimo proizvod poluperimetra i poluprečnika spomenute kružnice.

S= a b c/4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se naći dijeljenjem proizvoda stranica figure sa 4 polumjera kruga opisanog oko njega.

Ove formule su univerzalne, jer omogućavaju određivanje površine bilo kojeg trokuta (skalena, jednakokračna, jednakostranična, pravokutna). Ovo se također može učiniti korištenjem više složene proračune, na kojoj se nećemo detaljno zadržavati.

Površine trouglova sa specifičnim svojstvima

Kako pronaći površinu pravokutnog trokuta? Posebnost ove figure je da su njene dvije strane istovremeno njene visine. Ako su a i b noge, a c postane hipotenuza, tada nalazimo površinu ovako:

Kako pronaći površinu jednakokračnog trougla? Ima dvije strane dužine a i jednu stranu dužine b. Prema tome, njegova površina se može odrediti dijeljenjem sa 2 proizvoda kvadrata stranice a sa sinusom ugla γ.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trougla? U njemu je dužina svih stranica jednaka a, a veličina svih uglova je α. Njegova visina jednaka je polovini umnoška dužine stranice a i kvadratnog korijena od 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, trebate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom od 3 i podijeliti sa 4.