Mga halimbawa sa paksa ng degree na may rational exponent. Mga katangian ng mga degree, formulations, proofs, mga halimbawa

Ang aralin sa video na "Degree with a rational indicator" ay naglalaman ng visual materyal na pang-edukasyon upang magturo sa paksang ito. Ang aralin sa video ay naglalaman ng impormasyon tungkol sa konsepto ng isang degree na may makatwirang exponent, mga katangian, tulad ng mga degree, pati na rin ang mga halimbawa na naglalarawan sa paggamit ng materyal na pang-edukasyon upang malutas ang mga praktikal na problema. Ang gawain ng araling video na ito ay malinaw at malinaw na ipakita ang materyal na pang-edukasyon, upang mapadali ang pagbuo at pagsasaulo ng mga mag-aaral, upang mabuo ang kakayahang malutas ang mga problema gamit ang mga konseptong natutunan.

Ang pangunahing bentahe ng aralin sa video ay ang kakayahang gumawa ng mga visual na pagbabago at kalkulasyon, ang kakayahang gumamit ng mga epekto ng animation upang mapabuti ang kahusayan sa pag-aaral. Ang saliw ng boses ay nakakatulong upang bumuo ng tamang pagsasalita sa matematika, at ginagawang posible na palitan ang paliwanag ng guro, na nagpapalaya sa kanya para sa indibidwal na gawain.

Ang video tutorial ay nagsisimula sa pamamagitan ng pagpapakilala ng paksa. Pag-uugnay ng pag-aaral bagong paksa sa naunang pinag-aralan na materyal, iminumungkahi na alalahanin na ang n √ a ay tinutukoy ng isang 1/n para sa natural na n at positibong a. Ang representasyong ito ng n-root ay ipinapakita sa screen. Dagdag pa, iminungkahi na isaalang-alang kung ano ang ibig sabihin ng expression na a m / n, kung saan ang a ay isang positibong numero, at ang m / n ay ilang fraction. Ang kahulugan ng degree na naka-highlight sa kahon ay ibinigay na may rational exponent bilang a m/n = n √ a m . Nabanggit na ang n ay maaaring isang natural na numero, at m - isang integer.

Matapos matukoy ang antas na may rational exponent, ang kahulugan nito ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga halimbawa: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Ang isang halimbawa ay ipinapakita din kung saan ang isang kapangyarihan na kinakatawan ng isang decimal ay na-convert sa maliit na bahagi na kinakatawan bilang isang ugat: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 at negatibong exponent halimbawa: 3 -1/8 = 8 √3 -isa .

Hiwalay, ang isang tampok ng isang partikular na kaso ay ipinahiwatig kapag ang base ng antas ay zero. Nabanggit na ang antas na ito ay may katuturan lamang sa isang positibong fractional exponent. Sa kasong ito, ang halaga nito ay katumbas ng zero: 0 m/n =0.

Ang isa pang tampok ng degree na may rational exponent ay nabanggit - na ang degree na may fractional exponent ay hindi maaaring isaalang-alang na may fractional exponent. Ang mga halimbawa ng maling notasyon ng degree ay ibinigay: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Sa karagdagang aralin sa video, ang mga katangian ng isang degree na may rational exponent ay isinasaalang-alang. Napansin na ang mga katangian ng isang degree na may integer exponent ay magiging wasto din para sa isang degree na may rational exponent. Iminumungkahi na alalahanin ang isang listahan ng mga ari-arian na may bisa din kasong ito:

1. Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan sa ang parehong mga batayan ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag: a p a q =a p+q .
2. Ang dibisyon ng mga degree na may parehong mga base ay binabawasan sa isang degree na may isang ibinigay na base at ang pagkakaiba sa mga exponents: a p:a q =a p-q .
3. Kung itataas natin ang kapangyarihan sa isang tiyak na kapangyarihan, kung gayon bilang resulta ay nakukuha natin ang kapangyarihan kasama ang ibinigay na base at ang produkto ng mga exponents: (a p) q =a pq .

Ang lahat ng mga katangiang ito ay may bisa para sa mga kapangyarihan na may mga rational exponents p, q at positibong base a>0. Gayundin, ang mga pagbabago sa antas ay nananatiling totoo kapag binubuksan ang mga panaklong:

1. (ab) p =a p b p - ang pagtaas ng produkto ng dalawang numero sa isang tiyak na kapangyarihan na may rational exponent ay binabawasan sa isang produkto ng mga numero, na ang bawat isa ay itinataas sa isang ibinigay na kapangyarihan.
2. (a/b) p =a p /b p - ang exponentiation na may rational exponent ng isang fraction ay binabawasan sa isang fraction na ang numerator at denominator ay itinaas sa ibinigay na kapangyarihan.

Tinatalakay ng video tutorial ang solusyon ng mga halimbawang gumagamit ng mga itinuturing na katangian ng mga degree na may rational exponent. Sa unang halimbawa, iminungkahi na hanapin ang halaga ng isang expression na naglalaman ng mga variable x sa isang fractional power: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Sa kabila ng pagiging kumplikado ng expression, gamit ang mga katangian ng mga degree, ito ay malulutas nang simple. Ang solusyon ng gawain ay nagsisimula sa isang pagpapasimple ng expression, na gumagamit ng panuntunan ng pagtataas ng kapangyarihan na may rational exponent sa isang kapangyarihan, pati na rin ang pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base. Matapos palitan ang ibinigay na halaga x=8 sa pinasimple na expression x 1/3 +48, ​​​​madaling makuha ang halaga - 50.

Sa pangalawang halimbawa, kinakailangan na bawasan ang isang fraction na ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga kapangyarihan na may rational exponent. Gamit ang mga katangian ng degree, pipiliin namin ang factor x 1/3 mula sa pagkakaiba, na pagkatapos ay nabawasan sa numerator at denominator, at gamit ang pagkakaiba ng mga parisukat na formula, ang numerator ay nabubulok sa mga kadahilanan, na nagbibigay ng higit pang mga pagbawas ng parehong mga salik sa numerator at denominator. Ang resulta ng naturang mga pagbabago ay isang maikling fraction x 1/4 +3.

Maaaring gamitin ang aralin sa video na "Degree with a rational indicator" sa halip na ipaliwanag ng guro ang bagong paksa ng aralin. Ang manwal na ito ay naglalaman din ng buong impormasyon para sa sariling pag-aaral mag-aaral. Ang materyal ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa distance learning.

Mula sa mga integer exponent ng numero a, ang paglipat sa isang rational exponent ay nagmumungkahi ng sarili nito. Sa ibaba ay tinukoy namin ang isang degree na may isang rational exponent, at gagawin namin ito sa paraang ang lahat ng mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent ay napanatili. Ito ay kinakailangan dahil ang mga integer ay bahagi ng mga rational na numero.

Ito ay kilala na ang hanay ng mga rational na numero ay binubuo ng mga integer at fractional na mga numero, at bawat isa praksyonal na numero maaaring ilarawan bilang positibo o negatibo karaniwang fraction. Tinukoy namin ang degree na may integer exponent sa nakaraang talata, samakatuwid, upang makumpleto ang kahulugan ng degree na may rational exponent, kailangan naming ibigay ang kahulugan ng antas ng numero. a na may isang fraction m/n, saan m ay isang integer, at n- natural. Gawin natin.

Isaalang-alang ang isang degree na may fractional exponent ng form. Upang ang ari-arian ng degree sa isang degree ay manatiling wasto, ang pagkakapantay-pantay ay dapat magkaroon . Kung isasaalang-alang natin ang nagresultang pagkakapantay-pantay at kung paano natin natukoy ang ugat ng ika-n degree, lohikal na tanggapin, sa kondisyon na kasama ang data. m, n at a may katuturan ang ekspresyon.

Madaling suriin na ang lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent ay wasto para sa bilang (ito ay ginagawa sa seksyon sa mga katangian ng isang degree na may rational exponent).

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na gawin ang mga sumusunod konklusyon: kung bibigyan m, n at a may katuturan ang expression, pagkatapos ay ang kapangyarihan ng numero a na may isang fraction m/n tinatawag na ugat n ika antas ng a hanggang sa m.

Inilalapit tayo ng pahayag na ito sa kahulugan ng isang degree na may fractional exponent. Ito ay nananatiling lamang upang ilarawan sa ilalim ng kung ano m, n at a may katuturan ang ekspresyon. Depende sa mga paghihigpit na inilagay sa m, n at a mayroong dalawang pangunahing diskarte.

1. Ang pinakamadaling paraan ay ang magpataw ng paghihigpit sa a, pagtanggap a≥0 para sa positibo m at a>0 para sa negatibo m(dahil sa m≤0 degree 0 m hindi tinukoy). Pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na kahulugan ng degree na may fractional exponent.

Kahulugan.

Degree ng isang positibong numero a na may isang fraction m/n , saan m ay isang buo, at n – natural na numero, ay tinatawag na ugat n-ika mula sa gitna a hanggang sa m, ibig sabihin, .

Ang fractional degree ng zero ay tinukoy din na may tanging caveat na ang exponent ay dapat na positibo.

Kahulugan.

Power ng zero na may fractional positive exponent m/n , saan m ay isang positibong integer, at n ay isang natural na numero, na tinukoy bilang .
Kapag ang degree ay hindi tinukoy, ibig sabihin, ang antas ng numerong zero na may fractional na negatibong exponent ay hindi makatwiran.

Dapat pansinin na sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent, mayroong isang nuance: para sa ilang negatibo a at ilan m at n ang expression ay may katuturan, at itinapon namin ang mga kasong ito sa pamamagitan ng pagpapasok ng kundisyon a≥0. Halimbawa, makatuwirang magsulat o , at pinipilit tayo ng kahulugan sa itaas na sabihin na ang mga degree na may fractional exponent ng form ay walang kabuluhan, dahil ang batayan ay hindi dapat negatibo.

2. Isa pang diskarte sa pagtukoy ng degree na may fractional exponent m/n binubuo sa magkahiwalay na pagsasaalang-alang ng pantay at kakaibang mga exponent ng ugat. Nangangailangan ang diskarteng ito ng karagdagang kundisyon: ang kapangyarihan ng isang numero a, na ang indicator ay isang pinababang ordinaryong fraction, ay itinuturing na kapangyarihan ng isang numero a, na ang indicator ay ang katumbas na irreducible fraction (ang kahalagahan ng kundisyong ito ay ipapaliwanag sa ibaba). Ibig sabihin, kung m/n ay isang irreducible fraction, pagkatapos ay para sa anumang natural na numero k degree ay preliminarily pinalitan ng .

Para kahit na n at positibo m ang pagpapahayag ay may katuturan para sa anumang hindi negatibo a(ang ugat ng pantay na antas ng negatibong numero ay walang katuturan), na may negatibo m numero a dapat ay naiiba pa rin sa zero (kung hindi, ito ay magiging isang dibisyon ng zero). At para sa kakaiba n at positibo m numero a maaaring maging anuman (ang ugat ng kakaibang antas ay tinukoy para sa anumang tunay na numero), at para sa negatibo m numero a dapat na iba sa zero (upang walang dibisyon sa zero).

Ang pangangatwiran sa itaas ay humahantong sa amin sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent.

Kahulugan.

Hayaan m/n- hindi mababawasang bahagi m ay isang buo, at n- natural na numero. Para sa anumang mababawas na ordinaryong fraction, ang antas ay pinapalitan ng . Degree ng a na may irreducible fractional exponent m/n- ito'y para

o anumang tunay na numero a, isang integer positive m at kakaibang natural n, Halimbawa, ;

o anumang hindi-zero na tunay na numero a, isang integer na negatibo m at kakaiba n, Halimbawa, ;

o anumang di-negatibong numero a, isang integer positive m at kahit na n, Halimbawa, ;

o anumang positibo a, isang integer na negatibo m at kahit na n, Halimbawa, ;

o sa ibang mga kaso, hindi tinukoy ang degree na may fractional exponent, dahil, halimbawa, hindi tinukoy ang mga degree. .mga entry na hindi namin inilalagay ang anumang kahulugan, tinutukoy namin ang antas ng zero para sa mga positibong fractional exponent m/n bilang , para sa mga negatibong fractional exponent, hindi tinukoy ang antas ng numerong zero.

Sa pagtatapos ng seksyong ito, bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang fractional exponent ay maaaring isulat sa anyo decimal fraction o halo-halong numero, Halimbawa, . Upang kalkulahin ang mga halaga ng mga expression ng ganitong uri, kailangan mong isulat ang exponent bilang isang ordinaryong fraction, at pagkatapos ay gamitin ang kahulugan ng degree na may fractional exponent. Para sa mga halimbawa meron kami at

Degree na may rational exponent

Khasyanova T.G.,

guro sa matematika

Ang ipinakita na materyal ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga guro ng matematika kapag pinag-aaralan ang paksang "Degree na may rational indicator".

Ang layunin ng ipinakita na materyal: pagsisiwalat ng aking karanasan sa pagsasagawa ng isang aralin sa paksang "Degree na may makatwirang tagapagpahiwatig" programa sa trabaho disiplina "Matematika".

Ang pamamaraan ng aralin ay tumutugma sa uri nito - isang aralin sa pag-aaral at pangunahing pagsasama-sama ng bagong kaalaman. Isang update ang ginawa pangunahing kaalaman at mga kasanayan batay sa nakaraang karanasan; pangunahing pagsasaulo, pagsasama-sama at aplikasyon ng bagong impormasyon. Ang pagsasama-sama at paglalapat ng bagong materyal ay naganap sa anyo ng paglutas ng mga problemang sinubukan ko ng iba't ibang kumplikado pagbibigay ng positibong resulta ng pagkabisado sa paksa.

Sa simula ng aralin, itinakda ko ang mga sumusunod na layunin para sa mga mag-aaral: pang-edukasyon, pagbuo, pang-edukasyon. Sa klase, ginamit ko iba't-ibang paraan mga aktibidad: pangharap, indibidwal, silid ng singaw, independyente, pagsubok. Ang mga gawain ay naiba-iba at naging posible upang matukoy, sa bawat yugto ng aralin, ang antas ng asimilasyon ng kaalaman. Ang dami at pagiging kumplikado ng mga gawain ay tumutugma sa mga katangian ng edad ng mga mag-aaral. Mula sa aking karanasan - takdang aralin, katulad ng mga gawaing nalutas sa silid-aralan, ay nagbibigay-daan sa iyong ligtas na pagsamahin ang nakuhang kaalaman at kasanayan. Sa pagtatapos ng aralin, isinagawa ang pagninilay at nasuri ang gawain ng mga indibidwal na mag-aaral.

Ang mga layunin ay nakamit. Pinag-aralan ng mga mag-aaral ang konsepto at katangian ng isang degree na may rational exponent, natutunan kung paano gamitin ang mga katangiang ito sa paglutas ng mga praktikal na problema. sa likod pansariling gawain ang mga marka ay inihahayag sa susunod na aralin.

Naniniwala ako na ang pamamaraang ginamit ko sa pagsasagawa ng mga klase sa matematika ay maaaring gamitin ng mga guro ng matematika.

Paksa ng aralin: Degree na may rational indicator

Layunin ng aralin:

Pagkilala sa antas ng mastering ng mga mag-aaral ng isang kumplikadong kaalaman at kasanayan at, sa batayan nito, ang aplikasyon ng ilang mga solusyon upang mapabuti ang proseso ng edukasyon.

Layunin ng aralin:

Mga Tutorial: upang makabuo ng mga bagong kaalaman sa mga mag-aaral ng mga pangunahing konsepto, mga patakaran, mga batas para sa pagtukoy ng antas na may isang nakapangangatwiran na tagapagpahiwatig, ang kakayahang independiyenteng mag-aplay ng kaalaman sa mga karaniwang kondisyon, sa nabago at hindi pamantayang mga kondisyon;

pagbuo: isiping lohikal at ipatupad Mga malikhaing kasanayan;

mga tagapagturo: upang bumuo ng interes sa matematika, lagyang muli ang bokabularyo ng mga bagong termino, kumuha Karagdagang impormasyon tungkol sa mundo sa paligid. Linangin ang pasensya, tiyaga, ang kakayahang malampasan ang mga paghihirap.

Oras ng pag-aayos

Pag-update ng pangunahing kaalaman

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponent ay idinagdag, at ang base ay nananatiling pareho:

Halimbawa,

2. Kapag hinahati ang mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga exponent ay ibinabawas, at ang base ay nananatiling pareho:

Halimbawa,

3. Kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami, at ang base ay nananatiling pareho:

Halimbawa,

4. Ang antas ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga kapangyarihan ng mga salik:

Halimbawa,

5. Ang antas ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga kapangyarihan ng dibidendo at ng divisor:

Halimbawa,

Mga Pagsasanay sa Solusyon

Hanapin ang halaga ng isang expression:

Desisyon:

Sa kasong ito, wala sa mga katangian ng isang degree na may natural na exponent ang maaaring ilapat nang tahasan, dahil ang lahat ng degree ay may iba't ibang batayan. Sumulat tayo ng ilang degree sa ibang anyo:

(ang antas ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga kadahilanan);

(kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponents ay idinagdag, at ang base ay nananatiling pareho, kapag ang pagtaas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami, ngunit ang base ay nananatiling pareho).

Pagkatapos makuha namin:

Sa halimbawang ito, ginamit ang unang apat na katangian ng degree na may natural na exponent.

Arithmetic square root
- ay hindi isang negatibong numero, na ang parisukat aya,
. Sa
- pagpapahayag
hindi tinukoy, dahil walang tunay na numero na ang parisukat ay katumbas ng negatibong numeroa.

Pagdidikta sa matematika(8-10 min.)

Pagpipilian

II. Pagpipilian

1. Hanapin ang halaga ng expression

a)

b)

1. Hanapin ang halaga ng expression

a)

b)

2. Kalkulahin

a)

b)

AT)

2. Kalkulahin

a)

b)

sa)

Pagsusulit sa sarili(sa lapel board):

Response Matrix:

№ opsyon/gawain

Gawain 1

Gawain 2

Pagpipilian 1

a) 2

b) 2

a) 0.5

b)

sa)

Opsyon 2

a) 1.5

b)

a)

b)

sa 4

II.Pagbuo ng bagong kaalaman

Isaalang-alang ang kahulugan ng expression, kung saan - positibong numero– fractional number at m-integer, n-natural (n>1)

Kahulugan: antas ng numero a›0 na may rational exponentr = , m-buo, n- natural ( n›1) may tinatawag na numero.

Kaya:

Halimbawa:

Mga Tala:

1. Para sa anumang positibong a at anumang makatwirang r, ang numero positibo.

2. Kailan
rasyonal na antas numeroahindi tinukoy.

Mga ekspresyon tulad ng
walang saysay.

3.Kung fractional positive number
.

Kung ang fractional negatibong numero, kung gayon -walang saysay.

Halimbawa: - walang saysay.

Isaalang-alang ang mga katangian ng isang degree na may rational exponent.

Hayaan ang isang>0, в>0; r, s - anumang mga rational na numero. Pagkatapos ay mayroong isang degree na may anumang rational exponent ang mga sumusunod na katangian:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Pagsasama-sama. Pagbuo ng mga bagong kasanayan at kakayahan.

Gumagana ang mga task card sa maliliit na grupo sa anyo ng isang pagsubok.