Faça um estudo da função e construa seu gráfico. Exame completo da função e plotagem do gráfico

20.09.2019

Aplicação do conceito de derivada em economia. Função de elasticidade

Para estudar processos econômicos e resolver outros problemas aplicados, o conceito de elasticidade de uma função é frequentemente utilizado.

Definição. Função de elasticidade
é chamado de limite da razão do incremento relativo da função ao incremento relativo da variável no
, . (VII)

A elasticidade de uma função mostra aproximadamente quantos por cento a função mudará
quando a variável independente muda em 1%.

A função elasticidade é utilizada na análise da demanda e do consumo. Se a elasticidade da demanda (em valor absoluto)
, então a demanda é considerada elástica se
─ neutro se
─ inelástico em relação ao preço (ou renda).

Exemplo 10 Calcule a elasticidade da função
e encontre o valor do índice de elasticidade para = 3.

Solução: de acordo com a fórmula (VII), a elasticidade da função é:

Seja x = 3, então
.Isso significa que se a variável independente aumentar 1%, então o valor da variável dependente aumentará 1,42%.

Exemplo 11 Deixe a demanda funcionar em relação ao preço parece
, Onde ─ coeficiente constante. Encontre o valor do indicador de elasticidade da função de demanda ao preço x = 3 den. unidades

Solução: calcule a elasticidade da função demanda usando a fórmula (VII)

Acreditar
unidades monetárias, obtemos
. Isto significa que a um preço
unidades monetárias um aumento de 1% no preço causará uma diminuição de 6% na demanda, ou seja, a demanda é elástica.

Hoje convidamos você a explorar e construir o gráfico de uma função conosco. Depois de estudar cuidadosamente este artigo, você não precisará suar muito para concluir esse tipo de tarefa. Não é fácil estudar e construir o gráfico de uma função; é um trabalho volumoso que exige máxima atenção e precisão nos cálculos. Para facilitar a compreensão do material, estudaremos passo a passo a mesma função e explicaremos todas as nossas ações e cálculos. Bem-vindo ao incrível e mundo fascinante matemática! Ir!

Domínio

Para explorar e representar graficamente uma função, você precisa conhecer várias definições. Função é um dos conceitos principais (básicos) da matemática. Reflete a dependência entre diversas variáveis (duas, três ou mais) durante as mudanças. A função também mostra a dependência dos conjuntos.

Imagine que temos duas variáveis que possuem uma certa faixa de variação. Portanto, y é função de x, desde que cada valor da segunda variável corresponda a um valor da segunda. Neste caso, a variável y é dependente e é chamada de função. Costuma-se dizer que as variáveis x e y estão em Para maior clareza dessa dependência, é construído um gráfico da função. O que é um gráfico de uma função? Este é um conjunto de pontos no plano de coordenadas, onde cada valor de x corresponde a um valor de y. Os gráficos podem ser diferentes - linha reta, hipérbole, parábola, onda senoidal e assim por diante.

É impossível representar graficamente uma função sem pesquisa. Hoje aprenderemos como realizar pesquisas e construir o gráfico de uma função. É muito importante fazer anotações durante o estudo. Isso tornará a tarefa muito mais fácil de realizar. O plano de pesquisa mais conveniente:

Domínio.
Continuidade.
Par ou ímpar.
Periodicidade.
Assíntotas.
Zeros.
Assine constância.
Aumentando e diminuindo.
Extremos.
Convexidade e concavidade.

Vamos começar com o primeiro ponto. Vamos encontrar o domínio de definição, ou seja, em quais intervalos nossa função existe: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). No nosso caso, a função existe para quaisquer valores de x, ou seja, o domínio de definição é igual a R. Isso pode ser escrito da seguinte forma xÎR.

Continuidade

Agora examinaremos a função de descontinuidade. Na matemática, o termo “continuidade” surgiu como resultado do estudo das leis do movimento. O que é infinito? Espaço, tempo, algumas dependências (um exemplo é a dependência das variáveis S e t em problemas de movimento), a temperatura de um objeto aquecido (água, frigideira, termômetro, etc.), uma linha contínua (ou seja, aquela que pode ser desenhado sem levantá-lo da folha com um lápis).

Um gráfico é considerado contínuo se não quebrar em algum ponto. Um dos mais exemplos ilustrativos Esse gráfico é uma senóide, que você pode ver na imagem desta seção. Uma função é contínua em algum ponto x0 se uma série de condições forem atendidas:

uma função é definida em um determinado ponto;
os limites direito e esquerdo num ponto são iguais;
o limite é igual ao valor da função no ponto x0.

Se pelo menos uma condição não for atendida, diz-se que a função falhou. E os pontos em que a função quebra são geralmente chamados de pontos de interrupção. Um exemplo de função que irá “quebrar” quando exibida graficamente é: y=(x+4)/(x-3). Além disso, y não existe no ponto x = 3 (já que é impossível dividir por zero).

Na função que estamos estudando (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) tudo acabou sendo simples, pois o gráfico será contínuo.

Par ou ímpar

Agora examine a função para paridade. Primeiro, um pouco de teoria. Uma função par é aquela que satisfaz a condição f(-x)=f(x) para qualquer valor da variável x (do intervalo de valores). Exemplos incluem:

módulo x (o gráfico parece uma gralha, a bissetriz do primeiro e segundo trimestres do gráfico);
x ao quadrado (parábola);
cosseno x (cosseno).

Observe que todos esses gráficos são simétricos quando vistos em relação ao eixo y (ou seja, o eixo y).

O que então é chamado de função ímpar? Estas são aquelas funções que satisfazem a condição: f(-x)=-f(x) para qualquer valor da variável x. Exemplos:

hipérbole;
parábola cúbica;
sinusóide;
tangente e assim por diante.

Observe que essas funções são simétricas em relação ao ponto (0:0), ou seja, a origem. Com base no que foi dito nesta seção do artigo, mesmo e Função estranha deve ter a propriedade: x pertence ao conjunto de definição e -x também.

Vamos examinar a função de paridade. Podemos ver que ela não se enquadra em nenhuma das descrições. Portanto, nossa função não é par nem ímpar.

Assíntotas

Vamos começar com uma definição. Uma assíntota é uma curva o mais próxima possível do gráfico, ou seja, a distância de um determinado ponto tende a zero. No total, existem três tipos de assíntotas:

vertical, isto é, paralelo ao eixo y;
horizontal, isto é, paralelo ao eixo x;
inclinado.

Quanto ao primeiro tipo, essas linhas devem ser procuradas em alguns pontos:

brecha;
extremidades do domínio de definição.

No nosso caso, a função é contínua e o domínio de definição é igual a R. Portanto, não existem assíntotas verticais.

O gráfico de uma função possui uma assíntota horizontal, que corresponde a próximo requisito: se x tende ao infinito ou menos infinito, e o limite é igual a algum número (por exemplo, a). Neste caso, y=a é a assíntota horizontal. Não existem assíntotas horizontais na função que estamos estudando.

Uma assíntota oblíqua existe apenas se duas condições forem atendidas:

lim(f(x))/x=k;
lim f(x)-kx=b.

Então ele pode ser encontrado usando a fórmula: y=kx+b. Novamente, no nosso caso não existem assíntotas oblíquas.

Zeros de função

A próxima etapa é examinar o gráfico da função em busca de zeros. Também é muito importante notar que a tarefa associada a encontrar os zeros de uma função ocorre não apenas no estudo e construção de um gráfico de uma função, mas também como uma tarefa independente e como forma de resolver desigualdades. Pode ser necessário encontrar os zeros de uma função em um gráfico ou usar notação matemática.

Encontrar esses valores o ajudará a representar graficamente a função com mais precisão. Se conversarmos em linguagem simples, então o zero da função é o valor da variável x em que y = 0. Se você estiver procurando os zeros de uma função em um gráfico, deverá prestar atenção aos pontos em que o gráfico cruza o eixo x.

Para encontrar os zeros da função, você precisa resolver a seguinte equação: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Após realizar os cálculos necessários, obtemos a seguinte resposta:

Constância de sinal

A próxima etapa da pesquisa e construção de uma função (gráfico) é encontrar intervalos de sinal constante. Isso significa que devemos determinar em quais intervalos a função assume um valor positivo e em quais intervalos ela assume um valor negativo. As funções zero encontradas na última seção nos ajudarão a fazer isso. Então, precisamos construir uma linha reta (separada do gráfico) e em na ordem certa distribua os zeros da função sobre ela, do menor para o maior. Agora você precisa determinar qual dos intervalos resultantes tem um sinal “+” e qual tem um “-”.

No nosso caso, a função assume um valor positivo nos intervalos:

de 1 a 4;
de 9 ao infinito.

Significado negativo:

de menos infinito a 1;
das 4 às 9.

Isso é muito fácil de determinar. Substitua qualquer número do intervalo na função e veja qual sinal a resposta tem (menos ou mais).

Função crescente e decrescente

Para explorar e construir uma função, precisamos saber onde o gráfico aumentará (subirá ao longo do eixo Oy) e onde irá cair (rastejará para baixo ao longo do eixo y).

A função aumenta apenas se o valor maior da variável x corresponder a valor mais alto você. Ou seja, x2 é maior que x1 e f(x2) é maior que f(x1). E observamos um fenômeno completamente oposto com função decrescente (quanto mais x, menos y). Para determinar os intervalos de aumento e diminuição, você precisa encontrar o seguinte:

domínio de definição (já temos);
derivada (no nosso caso: 1/3(3x^2-28x+49);
resolva a equação 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Após os cálculos obtemos o resultado:

Obtemos: a função aumenta nos intervalos de menos infinito a 7/3 e de 7 ao infinito, e diminui no intervalo de 7/3 a 7.

Extremos

A função em estudo y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) é contínua e existe para qualquer valor da variável x. O ponto extremo mostra o máximo e o mínimo de uma determinada função. No nosso caso não existem, o que simplifica muito a tarefa de construção. Caso contrário, eles também podem ser encontrados usando a função derivada. Uma vez encontrados, não esqueça de marcá-los no gráfico.

Convexidade e concavidade

Continuamos a explorar ainda mais a função y(x). Agora precisamos verificar a convexidade e a concavidade. As definições desses conceitos são bastante difíceis de compreender, é melhor analisar tudo por meio de exemplos. Para o teste: uma função é convexa se for uma função não decrescente. Concordo, isso é incompreensível!

Precisamos de determinar a derivada de uma função de segunda ordem. Obtemos: y=1/3(6x-28). Agora vamos igualar o lado direito a zero e resolver a equação. Resposta: x=14/3. Encontramos o ponto de inflexão, ou seja, o local onde o gráfico muda de convexidade para concavidade ou vice-versa. No intervalo de menos infinito a 14/3 a função é convexa, e de 14/3 a mais infinito é côncava. Também é muito importante notar que o ponto de inflexão no gráfico deve ser suave e suave, sem cantos afiados não deveria estar presente.

Definindo pontos adicionais

Nossa tarefa é investigar e construir um gráfico da função. Concluímos o estudo; construir um gráfico da função agora não é difícil. Para uma reprodução mais precisa e detalhada de uma curva ou linha reta no plano coordenado, você pode encontrar vários pontos auxiliares. Eles são bastante fáceis de calcular. Por exemplo, tomamos x=3, resolvemos a equação resultante e encontramos y=4. Ou x=5 e y=-5 e assim por diante. Você pode pegar quantos pontos adicionais forem necessários para a construção. Pelo menos 3-5 deles são encontrados.

Traçando um gráfico

Precisávamos investigar a função (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Todas as marcações necessárias durante os cálculos foram feitas no plano de coordenadas. Resta construir um gráfico, ou seja, conectar todos os pontos. A ligação dos pontos deve ser suave e precisa, é uma questão de habilidade - um pouco de prática e sua programação ficará perfeita.

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