Wstęp.

Zginanie to rodzaj odkształcenia charakteryzujący się skrzywieniem (zmianą krzywizny) osi lub powierzchni środkowej obiektu odkształcalnego (belki, belki, płyty, powłoki itp.) pod wpływem siły zewnętrzne lub temperatura. Zginanie wiąże się z występowaniem momentów zginających w przekrojach poprzecznych belki. Jeżeli z sześciu współczynników siły wewnętrznej w przekroju belki tylko jeden moment zginający jest niezerowy, zginanie nazywa się czystym:

Jeżeli w przekrojach belki oprócz momentu zginającego występuje również siła poprzeczna, zginanie nazywa się poprzecznym:

W praktyce inżynierskiej rozważa się również szczególny przypadek zginania - podłużny I. ( Ryż. 1, c), charakteryzujące się wyboczeniem pręta pod wpływem podłużnych sił ściskających. Jednoczesne działanie sił skierowanych wzdłuż osi pręta i prostopadle do niego powoduje zginanie wzdłużno-poprzeczne ( Ryż. 1, G).

Ryż. 1. Gięcie drewna: a - czyste: b - poprzeczne; c - podłużny; g - wzdłużno-poprzeczny.

Belka, która się wygina, nazywana jest belką. Zagięcie nazywa się płaskim, jeżeli oś belki po odkształceniu pozostaje płaską linią. Płaszczyzna położenia zakrzywionej osi belki nazywana jest płaszczyzną zginania. Płaszczyzna działania sił obciążenia nazywana jest płaszczyzną sił. Jeżeli płaszczyzna siły pokrywa się z jedną z głównych płaszczyzn bezwładności przekroju, zakręt nazywa się prostym. (W przeciwnym razie nastąpi ukośne zgięcie). Główna płaszczyzna bezwładności Przekrój- jest to płaszczyzna utworzona przez jedną z głównych osi przekroju poprzecznego z osią podłużną belki. Kiedy jest płasko prosty zakręt płaszczyzna zgięcia i płaszczyzna siły pokrywają się.

Problem skręcania i zginania belki (problem Saint-Venanta) ma duże znaczenie praktyczne. Zastosowanie teorii zginania ustalonej przez Naviera stanowi szeroką gałąź mechanika konstrukcji i ma ogromne znaczenie praktyczne, gdyż służy jako podstawa do obliczania wymiarów i sprawdzania wytrzymałości różnych części konstrukcji: belek, mostów, elementów maszyn itp.

PODSTAWOWE RÓWNANIA I ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

§ 1. Podstawowe równania

Najpierw podamy ogólne podsumowanie podstawowych równań problemów równowagi ciała sprężystego, które stanowią treść części teorii sprężystości, zwanej zwykle statyką ciała sprężystego.

Stan odkształcenia ciała jest całkowicie określony przez tensor pola odkształcenia lub pole przemieszczenia. Składniki tensora odkształcenia są powiązane z przemieszczeniami poprzez różnicowe zależności Cauchy’ego:

(1)

Składniki tensora deformacji muszą spełniać zależności różniczkowe Saint-Venanta:

które są warunkami koniecznymi i wystarczającymi całkowalności równań (1).

Stan naprężenia ciała wyznaczany jest przez tensor pola naprężeń Sześć niezależnych składowych tensora symetrycznego () musi spełniać trzy równania równowagi różniczkowej:

Składniki tensora naprężenia I ruchy połączone sześcioma równaniami prawa Hooke'a:

W niektórych przypadkach równania prawa Hooke'a należy zastosować w formie wzoru

, (5)

Równania (1)-(5) są podstawowymi równaniami zagadnień statycznych w teorii sprężystości. Czasami równania (1) i (2) nazywane są równaniami geometrycznymi, równaniami ( 3) są równaniami statycznymi, a równania (4) lub (5) są równaniami fizycznymi. Do podstawowych równań określających stan ciała liniowo sprężystego w jego wewnętrznych punktach objętości należy dodać warunki na jego powierzchni. Warunki te nazywane są warunkami brzegowymi. Są one wyznaczane albo przez dane zewnętrzne siły powierzchniowe lub określone ruchy punkty na powierzchni ciała. W pierwszym przypadku warunki brzegowe wyrażają się równością:

gdzie są składowe wektora T siła powierzchniowa, - składowe wektora jednostkowego P, skierowane wzdłuż zewnętrznej normalnej do powierzchni w danym punkcie.

W drugim przypadku warunki brzegowe wyrażają się równością

Gdzie - funkcje określone na powierzchni.

Warunki brzegowe mogą mieć także charakter mieszany, gdy występują po jednej stronie zewnętrzne siły powierzchniowe są określone na powierzchni ciała i z drugiej strony powierzchni ciała nadawane są przemieszczenia:

Możliwe są także inne rodzaje warunków brzegowych. Przykładowo na pewnym obszarze powierzchni ciała określone są tylko niektóre składowe wektora przemieszczenia i dodatkowo nie wszystkie składowe wektora siły powierzchniowej.

§ 2. Główne problemy statyki ciała sprężystego

W zależności od rodzaju warunków brzegowych wyróżnia się trzy typy podstawowych problemów statycznych teorii sprężystości.

Głównym zadaniem pierwszego typu jest wyznaczenie składowych tensora pola naprężeń w obszarze , zajmowanego przez ciało oraz składową wektora ruchu punktów wewnątrz obszaru i punkty powierzchniowe ciała według zadanych sił masowych i siły powierzchniowe

Wymaganych dziewięć funkcji musi spełniać podstawowe równania (3) i (4) oraz warunki brzegowe (6).

Głównym zadaniem drugiego typu jest określenie ruchów punkty wewnątrz obszaru oraz składnik tensora pola naprężenia zgodnie z danymi siłami masowymi i według określonych ruchów na powierzchni ciała.

Funkcje, których szukasz I musi spełniać podstawowe równania (3) i (4) oraz warunki brzegowe (7).

Należy zauważyć, że warunki brzegowe (7) odzwierciedlają wymóg ciągłości zdefiniowanych funkcji na granicy ciało, tj. gdy punkt wewnętrzny zmierza do pewnego punktu na powierzchni, funkcji powinien zmierzać do określonej wartości w danym punkcie powierzchni.

Głównym problemem trzeciego typu, czyli problemu mieszanego, jest to, że dane siły powierzchniowe działają na jedną część powierzchni ciała i według danych przemieszczeń na innej części powierzchni ciała, a także, ogólnie rzecz biorąc, według danych sił masowych wymagane jest wyznaczenie składowych tensora naprężenia i przemieszczenia , spełniające podstawowe równania (3) i (4) przy spełnieniu mieszanych warunków brzegowych (8).

Po rozwiązaniu tego problemu można w szczególności określić siły działające na połączenia , które należy zastosować w punktach powierzchni, aby zrealizować określone przemieszczenia na tej powierzchni, a także możliwe jest obliczenie przemieszczeń punktów powierzchni . Zajęcia >> Przemysł, produkcja

Według długości drewno, To drewno zdeformowany. Odkształcenie drewno towarzyszy jednocześnie... drewno, polimer itp. Kiedy schylać się drewno leżąc na dwóch podporach... schylać się będzie charakteryzował się strzałką odchylenia. W tym przypadku naprężenie ściskające w części wklęsłej drewno ...

Przy obliczaniu wałów najczęściej uwzględnia się kombinację zginania i skręcania belek o przekroju kołowym. Przypadki zginania ze skręcaniem belek są znacznie mniej powszechne. okrągły przekrój.

W § 1.9 ustalono, że w przypadku, gdy momenty bezwładności przekroju względem głównych osi są sobie równe, ukośne zginanie belki jest niemożliwe. W związku z tym ukośne zginanie okrągłych belek jest niemożliwe. Dlatego w ogólnym przypadku sił zewnętrznych okrągła belka doświadcza kombinacji następujące typy odkształcenia: bezpośrednie zginanie poprzeczne, skręcanie i rozciąganie centralne (lub ściskanie).

Rozważmy to szczególny przypadek obliczenie belki okrągłej, gdy siła wzdłużna w jej przekrojach wynosi zero. W tym przypadku wiązka działa przy współdziałanie zginanie i skręcanie. Aby znaleźć niebezpieczny punkt belki, należy ustalić, jak zmieniają się wartości momentów zginających i momentów skręcających na długości belki, czyli skonstruować wykresy całkowitych momentów zginających M i momentów obrotowych. Rozważymy konstrukcję tych schematów pod adresem konkretny przykład wał pokazany na rys. 22,9, o. Wał spoczywa na łożyskach A i B i napędzany jest silnikiem C.

Na wale zamontowane są koła pasowe E i F, przez które przerzucane są napięte paski napędowe. Załóżmy, że wał obraca się w łożyskach bez tarcia; pomijamy ciężar własny wału i kół pasowych (w przypadku, gdy ich ciężar własny jest znaczny, należy go uwzględnić). Skierujmy oś przekroju wału w pionie, a oś w poziomie.

Wielkości sił można wyznaczyć ze wzorów (1.6) i (2.6), jeśli znana jest np. moc przenoszona przez każde koło pasowe, prędkość kątowa wału i stosunki. Po określeniu wielkości sił. siły te przenoszone są równolegle do siebie do osi wzdłużnej wału. W tym przypadku momenty skręcające przykładane są do wału w sekcjach, w których znajdują się koła pasowe E i F, i są odpowiednio równe Momenty te równoważą moment przenoszony z silnika (ryc. 22.9, b). Siły są następnie rozkładane na składową pionową i poziomą. Siły pionowe powodują reakcje pionowe w łożyskach, a siły poziome powodują reakcje poziome. Wielkości tych reakcji wyznacza się jak dla belki leżącej na dwóch podporach.

Wykres działających momentów zginających płaszczyzna pionowa, jest zbudowany z sił pionowych (ryc. 22.9, c). Pokazano to na ryc. 22.9, d. Podobnie z sił poziomych (ryc. 22.9, e) tworzony jest wykres momentów zginających działających w płaszczyźnie poziomej (ryc. 22.9, f).

Z wykresów można wyznaczyć (w dowolnym przekroju) całkowity moment zginający M, korzystając ze wzoru

Korzystając z wartości M uzyskanych za pomocą tego wzoru, konstruuje się wykres całkowitych momentów zginających (ryc. 22.9, g). Na tych odcinkach wału, w których proste, ograniczające wykresy przecinają osie wykresów w punktach znajdujących się na tej samej pionie, wykres M jest ograniczony liniami prostymi, a w pozostałych obszarach jest ograniczony przez krzywe.

(patrz skan)

Na przykład na odcinku danego wału długość diagramu M jest ograniczona do linii prostej (ryc. 22.9, g), ponieważ diagramy na tym odcinku są ograniczone liniami prostymi i przecinającymi osie diagramów w punktach znajdujących się na tej samej pionie.

Punkt O przecięcia prostej z osią diagramu leży na tej samej pionie. Podobna sytuacja jest typowa dla odcinka wału o długości

Wykres całkowitych (całkowitych) momentów zginających M charakteryzuje wielkość tych momentów w każdym odcinku wału. Płaszczyzny działania tych momentów w różnych przekrojach wału są różne, ale rzędne wykresu dla wszystkich przekrojów są umownie wyrównane z płaszczyzną rysunku.

Wykres momentu obrotowego jest skonstruowany w taki sam sposób jak dla czyste skręcanie(patrz § 1.6). Dla omawianego wału pokazano to na rys. 22,9, z.

Niebezpieczny przekrój wału ustala się na podstawie wykresów całkowitych momentów zginających M i momentów obrotowych. Jeżeli w przekroju belki o stałej średnicy z największym momentem zginającym M działa również największy moment zginający, to ten odcinek jest niebezpieczny. W szczególności rozpatrywany wał ma taki odcinek, położony na prawo od koła pasowego F, w nieskończenie małej odległości od niego.

Jeżeli maksymalny moment zginający M i maksymalny moment obrotowy działają w różnych przekrojach, to niebezpieczny może okazać się przekrój, w którym żadna z wartości nie jest największa. Przy belkach o zmiennej średnicy najbardziej niebezpiecznym przekrojem może być ten, w którym działają znacznie mniejsze momenty zginające i skręcające niż w pozostałych przekrojach.

W przypadkach, gdy nie można bezpośrednio określić przekroju niebezpiecznego na podstawie wykresów M i konieczne jest sprawdzenie wytrzymałości belki w kilku jej przekrojach i w ten sposób określenie naprężeń niebezpiecznych.

Po ustaleniu niebezpiecznego odcinka belki (lub zidentyfikowaniu kilku odcinków, z których jeden może okazać się niebezpieczny) należy znaleźć w nim niebezpieczne punkty. W tym celu rozważmy naprężenia powstające w przekroju belki, gdy jednocześnie działa w niej moment zginający M i moment obrotowy

W belkach o przekroju okrągłym, których długość jest wielokrotnie większa od średnicy, wartości największych naprężeń stycznych od siły poprzecznej są małe i nie są uwzględniane przy obliczaniu wytrzymałości belek pod działaniem kombinowanym zginania i skręcania.

Na ryc. Rysunek 23.9 pokazuje przekrój belki okrągłej. W tej sekcji moment zginający M i moment obrotowy przyjmuje się, że oś y jest prostopadła do płaszczyzny działania momentu zginającego. Oś y jest zatem osią neutralną przekroju.

W przekroju belki naprężenia normalne powstają w wyniku zginania, a naprężenia ścinające w wyniku skręcania.

Naprężenia normalne a wyznacza się ze wzoru. Wykres tych naprężeń pokazano na rys. 23.9. Największy wg całkowita wartość w punktach A i B powstają naprężenia normalne. Naprężenia te są równe

gdzie jest osiowym momentem oporu przekroju belki.

Naprężenia styczne określa się ze wzoru. Wykres tych naprężeń pokazano na ryc. 23.9.

W każdym punkcie przekroju są one skierowane prostopadle do promienia łączącego ten punkt ze środkiem przekroju. Największe naprężenia styczne występują w punktach położonych na obwodzie przekroju; są równi

gdzie jest biegunowy moment oporu przekroju belki.

W przypadku tworzywa sztucznego punkty A i B przekroju poprzecznego, w których jednocześnie osiągają naprężenia normalne i ścinające najwyższa wartość, są niebezpieczne. Dla materiału kruchego niebezpiecznym punktem jest ten, w którym powstają naprężenia rozciągające od momentu zginającego M.

Stan naprężenia elementarnego równoległościanu wyizolowanego w pobliżu punktu A pokazano na rys. 24,9, o. Wzdłuż powierzchni równoległościanu, które pokrywają się z przekrojami belki, działają naprężenia normalne i naprężenia styczne. W oparciu o prawo łączenia naprężeń stycznych naprężenia powstają również na górnej i dolnej powierzchni równoległościanu. Pozostałe dwie jego twarze są wolne od stresu. Zatem w w tym przypadku dostępny widok prywatny stan naprężenia płaskiego, omówiony szczegółowo w rozdz. 3. Naprężenia główne amax i są określone wzorami (12.3).

Po podstawieniu do nich wartości otrzymujemy

Napięcia mają różne znaki i dlatego

Elementarny równoległościan, zaznaczony w pobliżu punktu A obszarami głównymi, pokazano na ryc. 24,9, ur.

Obliczanie wytrzymałości belek podczas zginania ze skręcaniem, jak już zauważono (patrz początek § 1.9), przeprowadza się przy użyciu teorii wytrzymałości. W tym przypadku obliczenia belek z tworzyw sztucznych zwykle przeprowadza się w oparciu o trzecią lub czwartą teorię wytrzymałości, a z kruchych - zgodnie z teorią Mohra.

Zgodnie z trzecią teorią siły [por. wzór (6.8)], podstawiając wyrażenia do tej nierówności [patrz. wzór (23.9)], otrzymujemy

Gięcie przestrzenne (złożone).

Zginanie przestrzenne jest rodzajem złożonego oporu, w którym tylko momenty zginające działają w przekroju poprzecznym belki. Pełny moment zginający nie działa w żadnej z głównych płaszczyzn bezwładności. Siła wzdłużna nieobecny. Zginanie przestrzenne lub złożone jest często nazywane zginaniem niepłaskim, ponieważ oś zgięcia pręta nie jest krzywą płaską. Zginanie to spowodowane jest siłami działającymi w różnych płaszczyznach prostopadłych do osi belki (rys. 1.2.1).

Ryc.1.2.1

Kierując się przedstawioną powyżej kolejnością rozwiązywania problemów ze złożonym oporem, układamy przestrzenny układ sił przedstawiony na ryc. 1.2.1 na dwa takie, że każdy z nich działa w jednej z głównych płaszczyzn. W rezultacie otrzymujemy dwa płaskie zagięcia poprzeczne - w płaszczyźnie pionowej i poziomej. Spośród czterech współczynników siły wewnętrznej powstających w przekroju belki uwzględnimy wpływ tylko momentów zginających. Konstruujemy wykresy wywołane odpowiednimi siłami (ryc. 1.2.1).

Analizując wykresy momentów zginających dochodzimy do wniosku, że odcinek A jest niebezpieczny, gdyż to właśnie na tym odcinku występują największe momenty zginające. Teraz konieczne jest ustalenie niebezpiecznych punktów odcinka A. W tym celu skonstruujemy linię zerową. Równanie linii zerowej, uwzględniając regułę znaku dla wyrazów wchodzących w skład tego równania, ma postać:

Tutaj przyjmuje się znak „” w pobliżu drugiego składnika równania, ponieważ naprężenia w pierwszym kwartale spowodowane momentem będą ujemne.

Określmy kąt nachylenia linii zerowej z dodatnim kierunkiem osi (ryc. 12.6):

Ryż. 1.2.2

Z równania (8) wynika, że ​​linia zerowa dla zginania przestrzennego jest linią prostą i przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Z ryc. 1.2.2 widać, że największe naprężenia powstaną w punktach przekroju nr 2 i nr 4 najbardziej oddalonych od linii zerowej. Naprężenia normalne w tych punktach będą miały tę samą wielkość, ale inny znak: w punkcie nr 4 naprężenia będą dodatnie, tj. rozciąganie, w punkcie nr 2 - ujemne, tj. ściskający. Oznaki tych naprężeń ustalono na podstawie rozważań fizycznych.

Teraz, gdy punkty niebezpieczne zostały już ustalone, obliczmy maksymalne naprężenia w przekroju A i sprawdźmy wytrzymałość belki za pomocą wyrażenia:

Warunek wytrzymałościowy (10) pozwala nie tylko sprawdzić wytrzymałość belki, ale także dobrać wymiary jej przekroju poprzecznego, jeśli określono współczynnik kształtu przekroju.

Gięcie przestrzenne Nazywa się ten typ złożonego oporu, w którym występują tylko momenty zginające i
. Pełny moment zginający nie działa w żadnej z głównych płaszczyzn bezwładności. Nie ma siły wzdłużnej. Często nazywane jest zginaniem przestrzennym lub złożonym zakręt niepłaski, ponieważ wygięta oś pręta nie jest krzywizną płaską. Zginanie to spowodowane jest siłami działającymi w różnych płaszczyznach prostopadłych do osi belki (rys. 12.4).

Kierując się przedstawioną powyżej kolejnością rozwiązywania problemów ze złożonym oporem, układamy przestrzenny układ sił pokazany na ryc. 12.4 na dwie części w taki sposób, że każda z nich działa w jednej z głównych płaszczyzn. W rezultacie otrzymujemy dwa płaskie zagięcia poprzeczne - w płaszczyźnie pionowej i poziomej. Z czterech współczynników siły wewnętrznej, które powstają w przekroju belki
, weźmiemy pod uwagę wpływ tylko momentów zginających
. Budujemy diagramy
, spowodowane odpowiednio przez siły
(ryc. 12.4).

Analizując wykresy momentów zginających dochodzimy do wniosku, że odcinek A jest niebezpieczny, gdyż to właśnie na tym odcinku występują największe momenty zginające
I
. Teraz konieczne jest ustalenie niebezpiecznych punktów odcinka A. W tym celu skonstruujemy linię zerową. Równanie linii zerowej, uwzględniając regułę znaku dla wyrazów wchodzących w skład tego równania, ma postać:

. (12.7)

Tutaj przyjmuje się znak „” w pobliżu drugiego wyrazu równania, gdyż naprężenia w pierwszej ćwiartce wywołane momentem
, będzie ujemny.

Określmy kąt nachylenia linii zerowej z dodatnim kierunkiem osi (Rys.12.6):

. (12.8)

Z równania (12.7) wynika, że ​​linia zerowa dla zginania przestrzennego jest linią prostą i przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Z rys. 12.5 wynika, że ​​największe naprężenia powstaną w punktach przekroju nr 2 i nr 4 najbardziej oddalonych od linii zerowej. Naprężenia normalne w tych punktach będą miały tę samą wielkość, ale inny znak: w punkcie nr 4 naprężenia będą dodatnie, tj. rozciągająca, w punkcie nr 2 – ujemna, tj. ściskający. Oznaki tych naprężeń ustalono na podstawie rozważań fizycznych.

Teraz, gdy punkty niebezpieczne zostały już ustalone, obliczmy maksymalne naprężenia w przekroju A i sprawdźmy wytrzymałość belki za pomocą wyrażenia:

. (12.9)

Warunek wytrzymałości (12.9) pozwala nie tylko sprawdzić wytrzymałość belki, ale także wybrać wymiary jej przekroju poprzecznego, jeśli określony jest współczynnik kształtu przekroju.

12.4. Ukośny zakręt

Ukośnie Nazywa się ten rodzaj złożonej wytrzymałości, w której w przekrojach poprzecznych belki występują tylko momenty zginające
I
, ale w przeciwieństwie do zginania przestrzennego, wszystkie siły przyłożone do belki działają w jednej płaszczyźnie (siły), która nie pokrywa się z żadną z głównych płaszczyzn bezwładności. Ten rodzaj zginania najczęściej spotyka się w praktyce, dlatego przestudiujemy go bardziej szczegółowo.

Rozważmy belkę wspornikową obciążoną siłą , jak pokazano na ryc. 12.6 i wykonane z materiału izotropowego.

Podobnie jak przy zginaniu przestrzennym, przy zginaniu ukośnym nie występuje siła wzdłużna. Przy jej obliczaniu pominiemy wpływ sił poprzecznych na wytrzymałość belki.

Schemat konstrukcyjny belki pokazanej na ryc. 12.6 pokazano na ryc. 12.7.

Rozbijmy władzę do pionu i poziome komponentów i z każdego z tych komponentów skonstruujemy wykresy momentów zginających
I
.

Obliczmy składowe całkowitego momentu zginającego w przekroju :

;
.

Całkowity moment zginający w przekroju równa się

Zatem składowe całkowitego momentu zginającego można wyrazić w postaci całkowitego momentu w następujący sposób:

;
. (12.10)

Z wyrażenia (12.10) wynika, że ​​podczas zginania ukośnego nie ma potrzeby rozkładania układu sił zewnętrznych na składowe, ponieważ te składowe całkowitego momentu zginającego są połączone ze sobą za pomocą kąta nachylenia śladu siły samolot . Dzięki temu nie ma potrzeby konstruowania schematów komponentów
I
całkowity moment zginający. Wystarczy wykreślić całkowity moment zginający
w płaszczyźnie sił, a następnie korzystając ze wzoru (12.10) wyznaczyć składowe całkowitego momentu zginającego w dowolnym interesującym nas przekroju belki. Uzyskany wniosek znacznie upraszcza rozwiązanie problemów związanych ze zginaniem ukośnym.

Podstawmy wartości składowych całkowitego momentu zginającego (12.10) do wzoru na naprężenia normalne (12.2) przy
. Otrzymujemy:

. (12.11)

Tutaj znak „” obok całkowitego momentu zginającego jest umieszczony specjalnie w celu automatycznego uzyskania prawidłowego znaku naprężenia normalnego w rozpatrywanym punkcie przekroju. Całkowity moment zginający
i współrzędne punktu I są brane ze znakami, pod warunkiem, że w pierwszej ćwiartce znaki współrzędnych punktu zostaną przyjęte jako dodatnie.

Wzór (12.11) otrzymano rozpatrując szczególny przypadek ukośnego zginania belki umocowanej na jednym końcu, a na drugim obciążonej siłą skupioną. Jednakże wzór ten jest ogólnym wzorem do obliczania naprężeń przy zginaniu ukośnym.

Przekrojem niebezpiecznym, podobnie jak w przypadku zginania przestrzennego w rozpatrywanym przypadku (rys. 12.6), będzie przekrój A, gdyż w tym przekroju występuje największy całkowity moment zginający. Niebezpieczne punkty odcinka A określimy, konstruując linię zerową. Równanie linii zerowej otrzymujemy obliczając, korzystając ze wzoru (12.11), naprężenia normalne w punkcie o współrzędnych I , należące do linii zerowej i przyrównują znalezione napięcia do zera. Po prostych przekształceniach otrzymujemy:

(12.12)

. (12.13)

Tutaj kąt nachylenia linii zerowej do osi (ryc. 12.8).

Badając równania (12.12) i (12.13) możemy wyciągnąć pewne wnioski na temat zachowania linii zerowej podczas zginania ukośnego:

Z rys. 12.8 wynika, że ​​największe naprężenia występują w punktach przekroju najbardziej oddalonych od linii zerowej. W rozpatrywanym przypadku takimi punktami są punkty nr 1 i nr 3. Zatem przy zginaniu ukośnym warunek wytrzymałości ma postać:

. (12.14)

Tutaj:
;
.

Jeżeli momenty oporu przekroju względem głównych osi bezwładności można wyrazić w postaci wymiarów przekroju, wygodnie jest zastosować warunek wytrzymałościowy w postaci:

. (12.15)

Przy wyborze przekrojów jeden z osiowych momentów oporu jest pobierany ze wspornika i określany zależnością . Porozumiewawczy
,
i kąt , poprzez kolejne próby, określ wartości
I , spełniający warunek wytrzymałościowy

. (12.16)

W przypadku przekrojów asymetrycznych, które nie mają wystających narożników, stosuje się warunek wytrzymałościowy w postaci (12.14). W takim przypadku przy każdej nowej próbie wyboru przekroju konieczne jest najpierw ponowne znalezienie położenia linii zerowej i współrzędnych najbardziej odległego punktu (
). Dla przekroju prostokątnego
. Mając zależność, z warunku wytrzymałości (12.16) można łatwo znaleźć wielkość
i wymiary przekroju.

Rozważmy wyznaczanie przemieszczeń podczas zginania ukośnego. Znajdźmy ugięcie w przekroju belka wspornikowa (ryc. 12.9). W tym celu zobrazujemy belkę w jednym stanie i skonstruujemy wykres pojedynczych momentów zginających w jednej z głównych płaszczyzn. Określimy całkowite ugięcie w przekroju , po wcześniejszym ustaleniu rzutów wektora przemieszczenia na osi I . Rzut wektora całkowitego odchylenia na oś znajdujemy, korzystając ze wzoru Mohra:

Rzut wektora całkowitego odchylenia na oś znajdźmy to w podobny sposób:

Całkowite ugięcie określa się ze wzoru:

. (12.19)

Należy zauważyć, że przy ukośnym zginaniu we wzorach (12.17) i (12.18) przy określaniu rzutów ugięcia na osie współrzędnych zmieniają się tylko stałe wyrazy przed znakiem całki. Sama całka pozostaje stała. Rozwiązując problemy praktyczne, całkę tę obliczymy metodą Mohra-Simpsona. Aby to zrobić, pomnóż diagram jednostkowy
dla ładunku
(Rys. 12.9), skonstruowaną w płaszczyźnie sił, a następnie wynikowy wynik mnożymy sekwencyjnie, odpowiednio, przez stałe współczynniki, I . W rezultacie otrzymujemy rzuty całkowitego ugięcia I na osi współrzędnych I . Wyrażenia rzutów ugięcia dla ogólnego przypadku obciążenia, gdy belka ma działki będą wyglądać następująco:

; (12.20)

. (12.21)

Odłóżmy na bok znalezione wartości dla ,I (ryc. 12.8). Całkowity wektor odchylenia jest z osią ostry róg , których wartości można znaleźć korzystając ze wzoru:

, (12.22)

. (12.23)

Porównując równanie (12.22) z równaniem linii zerowej (12.13) dochodzimy do wniosku, że

Lub
,

skąd wynika, że ​​linia zerowa i wektor całkowitego ugięcia wzajemnie prostopadłe. Narożnik jest dopełnieniem kąta do 90 0. Warunek ten można wykorzystać do sprawdzenia przy rozwiązywaniu problemów z ukośnym zginaniem:

. (12.24)

Zatem kierunek ugięcia podczas zginania ukośnego jest prostopadły do ​​linii zerowej. Z tego wynika ważny warunek, Co kierunek ugięć nie pokrywa się z kierunkiem działającej siły(ryc. 12.8). Jeżeli obciążenie jest płaskim układem sił, to oś zakrzywionej belki leży w płaszczyźnie, która nie pokrywa się z płaszczyzną działania sił. Belka przekrzywia się względem płaszczyzny działania siły. Ta okoliczność stała się podstawą do tego, że zaczęto nazywać taki zakręt skośny.

Przykład 12.1. Określ położenie linii zerowej (znajdź kąt ) dla przekroju belki pokazanego na rys. 12.10.

1. Kąt do śladu płaszczyzny sił będziemy kreślić od dodatniego kierunku osi . Narożnik Zawsze będziemy to brać ostro, ale biorąc pod uwagę znak. Dowolny kąt uważa się za dodatni, jeśli w odpowiednim układzie współrzędnych jest wykreślony od dodatniego kierunku osi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i ujemny, jeśli kąt jest ustawiony zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W tym przypadku kąt jest uważany za negatywny (
).

2. Wyznacz stosunek osiowych momentów bezwładności:

.

3. Zapisujemy równanie linii zerowej dla zgięcia ukośnego w postaci, z której znajdujemy kąt :

;
.

4. Kąt okazał się dodatni, więc odsunęliśmy go od dodatniego kierunku osi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara do linii zerowej (ryc. 12.10).

Przykład 12.2. Wyznaczyć wielkość naprężenia normalnego w punkcie A przekroju belki podczas zginania ukośnego, jeżeli moment zginający
kNm, współrzędne punktu
cm,
patrz Wymiary przekroju belki i kąt nachylenia płaszczyzny siły pokazano na rys. 12.11.

1. Najpierw obliczmy momenty bezwładności przekroju względem osi I :

cm4;
cm 4.

2. Zapiszmy wzór (12.11) pozwalający określić naprężenia normalne w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego podczas zginania ukośnego. Podstawiając wartość momentu zginającego do wzoru (12.11) należy uwzględnić, że moment zginający zgodnie z warunkami zadania jest dodatni.

7,78 MPa.

Przykład 12.3. Określ wymiary przekroju belki pokazanej na ryc. 12.12a. Materiał belki – stal z dopuszczalnym naprężeniem
MPa. Podano współczynnik kształtu
. Obciążenia i kąt nachylenia płaszczyzny sił pokazano na rys. 12.12c.

1. Aby określić położenie niebezpiecznego odcinka, konstruujemy wykres momentów zginających (rys. 12.12b). Odcinek A jest niebezpieczny Maksymalny moment zginający w niebezpiecznym przekroju
kNm.

2. Niebezpiecznym punktem na odcinku A będzie jeden z punktów narożnych. W formularzu zapisujemy warunek wytrzymałościowy

,

Gdzie możemy to znaleźć, biorąc pod uwagę tę relację
:

3. Określ wymiary przekroju. Osiowy moment oporu
biorąc pod uwagę relacje stron
równy:

cm 3, skąd

cm;
cm.

Przykład 12.4. W wyniku zgięcia belki środek ciężkości przekroju przesunął się w kierunku określonym przez kąt z osią (ryc. 12.13, a). Określ kąt nachylenia płaszczyzna siły. Kształt i wymiary przekroju belki pokazano na rysunku.

1. Wyznaczenie kąta nachylenia śladu płaszczyzny sił Użyjmy wyrażenia (12.22):

, Gdzie
.

Stosunek momentów bezwładności
(patrz przykład 12.1). Następnie

.

Odłóżmy na bok tę wartość kąta od dodatniego kierunku osi (ryc. 12.13, b). Ślad płaszczyzny sił na rys. 12.13b pokazano linią przerywaną.

2. Sprawdźmy otrzymane rozwiązanie. Aby to zrobić, ze znalezioną wartością kąta Określmy położenie linii zerowej. Użyjmy wyrażenia (12.13):

.

Linię zerową pokazano na ryc. 12.13 jako linię przerywaną. Linia zerowa musi być prostopadła do linii odchylenia. Sprawdźmy to:

Przykład 12.5. Wyznacz całkowite ugięcie belki w przekroju B podczas zginania ukośnego (rys. 12.14a). Materiał belki – stal o module sprężystości
MPa. Wymiary przekroju poprzecznego i kąt nachylenia płaszczyzny sił pokazano na rys. 12.14b.

1. Wyznacz rzuty wektora całkowitego odchylenia w sekcji A I . W tym celu skonstruujemy wykres obciążeń momentów zginających
(ryc. 12.14, c), pojedynczy schemat
(ryc. 12.14, d).

2. Metodą Mohra-Simpsona mnożymy ładunek
i singiel
wykresy momentów zginających za pomocą wyrażeń (12.20) i (12.21):

M
mm.

M
mm.

Osiowe momenty bezwładności przekroju
cm 4 i
Bierzemy cm 4 z przykładu 12.1.

3. Wyznacz całkowite ugięcie przekroju B:

.

Znalezione wartości rzutów całkowitego ugięcia i samego pełnego ugięcia naniesiono na rysunek (rys. 12.14b). Ponieważ rzuty całkowitego ugięcia okazały się dodatnie przy rozwiązywaniu problemu, odłożyliśmy je na bok w kierunku działania siły jednostkowej, tj. w dół ( ) i w lewo ( ).

5. Aby sprawdzić poprawność rozwiązania, wyznaczamy kąt nachylenia linii zerowej do osi :

Dodajmy moduły kątów kierunku całkowitego ugięcia I :

Oznacza to, że pełne ugięcie jest prostopadłe do linii zerowej. Zatem problem został rozwiązany poprawnie.