Przykładem jest kanoniczna forma formy kwadratowej. Formy dwuliniowe i kwadratowe. Redukcja formy kwadratowej do formy kanonicznej. Metoda Lagrange'a

Definicja 10.4.Widok kanoniczny forma kwadratowa (10.1) nazywana jest następującą formą: . (10.4)

Pokażmy, że w bazie wektorów własnych forma kwadratowa (10.1) przyjmuje formę kanoniczną. Wynajmować

- znormalizowane wektory własne odpowiadające wartościom własnym λ 1 , λ 2 , λ 3 macierze (10.3) w bazie ortonormalnej . Wtedy macierzą przejścia ze starej bazy do nowej będzie macierz

W nowej podstawie macierz ALE przyjmuje postać przekątną (9.7) (według własności wektorów własnych). Zatem przekształcając współrzędne zgodnie ze wzorami:

,

otrzymujemy w nowej bazie postać kanoniczną postaci kwadratowej o współczynnikach równych wartościom własnym λ 1 , λ 2 , λ 3:

Uwaga 1. Z geometrycznego punktu widzenia rozważana transformacja współrzędnych jest obrotem układu współrzędnych, który łączy stare osie współrzędnych z nowymi.

Uwaga 2. Jeśli którakolwiek z wartości własnych macierzy (10.3) jest zbieżna, możemy dodać do każdej z nich ortogonalny wektor jednostkowy do odpowiednich wektorów własnych ortonormalnych i w ten sposób skonstruować bazę, w której forma kwadratowa przyjmuje postać kanoniczną.

Sprowadźmy do formy kanonicznej formę kwadratową

x² + 5 tak² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Jej macierz ma postać W przykładzie rozważanym w wykładzie 9 znajdują się wartości własne i ortonormalne wektory własne tej macierzy:

Skomponujmy macierz przejścia na podstawie tych wektorów:

(kolejność wektorów jest zmieniona tak, aby tworzyły prawą trójkę). Przekształćmy współrzędne według wzorów:

Tak więc forma kwadratowa jest zredukowana do formy kanonicznej o współczynnikach równych wartościom własnym macierzy formy kwadratowej.

Wykład 11

Krzywe drugiego rzędu. Elipsa, hiperbola i parabola, ich własności i równania kanoniczne. Redukcja równania drugiego rzędu do postaci kanonicznej.

Definicja 11.1.Krzywe drugiego rzędu na płaszczyźnie nazywane są liniami przecięcia okrągłego stożka z płaszczyznami, które nie przechodzą przez jego wierzchołek.

Jeśli taka płaszczyzna przecina wszystkie generatory jednej wnęki stożka, to w sekcji okazuje się elipsa, na przecięciu generatorów obu wnęk - hiperbola, a jeśli płaszczyzna cięcia jest równoległa do dowolnej tworzącej, to przekrój stożka wynosi parabola.

Komentarz. Wszystkie krzywe drugiego rzędu podane są równaniami drugiego stopnia w dwóch zmiennych.

Elipsa.

Definicja 11.2.Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których suma odległości do dwóch punktów stałych F 1 i F wydziwianie, jest wartością stałą.

Komentarz. Kiedy punkty się zgadzają F 1 i F 2 elipsa zamienia się w okrąg.

Wyprowadzamy równanie elipsy, wybierając układ kartezjański

y M(x, y) współrzędne tak, że oś Oh zbiegła się z linią F 1 F 2 , start

r 1 r 2 współrzędne - ze środkiem odcinka F 1 F 2. Niech długość tego

segment to 2 Z, a następnie w wybranym układzie współrzędnych

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Niech punkt M(x, y) leży na elipsie i

suma odległości od niego do F 1 i F 2 równa się 2 a.

Następnie r 1 + r 2 = 2a, ale ,

Dlatego wprowadzenie notacji b² = a²- c² i po prostych przekształceniach algebraicznych otrzymujemy kanoniczne równanie elipsy: (11.1)

Definicja 11.3.ekscentryczność elipsa nazywana jest ilością e=c/a (11.2)

Definicja 11.4.Dyrektorka szkoły D i elipsa odpowiadająca ostrości F i F i wokół osi OU prostopadle do osi Oh na odległość a/e od pochodzenia.

Komentarz. Przy innym wyborze układu współrzędnych elipsę można podać nie za pomocą równania kanonicznego (11.1), ale za pomocą innego rodzaju równania drugiego stopnia.

Właściwości elipsy:

1) Elipsa ma dwie wzajemnie prostopadłe osie symetrii (główne osie elipsy) oraz środek symetrii (środek elipsy). Jeśli elipsa jest podana przez równanie kanoniczne, to jej osiami głównymi są osie współrzędnych, a środek jest początkiem. Ponieważ długości segmentów utworzonych przez przecięcie elipsy z głównymi osiami są równe 2 a i 2 b (2a>2b), wtedy główna oś przechodząca przez ogniska nazywana jest główną osią elipsy, a druga główna oś nazywana jest małą osią.

2) Cała elipsa jest zawarta w prostokącie

3) Ekscentryczność elipsy mi< 1.

Naprawdę,

4) Kierownice elipsy znajdują się poza elipsą (ponieważ odległość od środka elipsy do kierownicy wynosi a/e, a mi<1, следовательно, a/e>a, a cała elipsa leży w prostokącie )

5) Stosunek odległości r ja od punktu elipsy do skupienia F i Na odległość d ja od tego punktu do kierownicy odpowiadającej ognisku jest równy mimośrodowi elipsy.

Dowód.

Odległości od punktu M(x, y) do ognisk elipsy można przedstawić w następujący sposób:

Komponujemy równania kierownicze:

(D 1), (D 2). Następnie Stąd r ja / d ja = e, co miało zostać udowodnione.

Hiperbola.

Definicja 11.5.Hiperbola jest zbiorem punktów na płaszczyźnie, dla której moduł różnicy odległości do dwóch punktów stałych F 1 i F 2 tego samolotu, zwany wydziwianie, jest wartością stałą.

Wyprowadzamy kanoniczne równanie hiperboli przez analogię z wyprowadzeniem równania elipsy, używając tej samej notacji.

|r 1 - r 2 | = 2a, skąd Jeśli oznacza b² = c² - a², stąd możesz dostać

- kanoniczne równanie hiperboli. (11.3)

Definicja 11.6.ekscentryczność hiperbola nazywana jest ilością e = c / a.

Definicja 11.7.Dyrektorka szkoły D i hiperbola odpowiadająca skupieniu F i, nazywana jest linią prostą znajdującą się w tej samej półpłaszczyźnie z F i wokół osi OU prostopadle do osi Oh na odległość a / e od pochodzenia.

Właściwości hiperboli:

1) Hiperbola ma dwie osie symetrii (główne osie hiperboli) i środek symetrii (środek hiperboli). Co więcej, jedna z tych osi przecina hiperbolę w dwóch punktach, zwanych wierzchołkami hiperboli. Nazywa się to osią rzeczywistą hiperboli (oś Oh do kanonicznego wyboru układu współrzędnych). Druga oś nie ma punktów wspólnych z hiperbolą i jest nazywana jej osią urojoną (we współrzędnych kanonicznych oś OU). Po obu jego stronach znajdują się prawe i lewe odgałęzienia hiperboli. Ogniska hiperboli znajdują się na jej rzeczywistej osi.

2) Gałęzie hiperboli mają dwie asymptoty określone równaniami

3) Wraz z hiperbolą (11.3) możemy rozważyć tzw. hiperbolę sprzężoną określoną równaniem kanonicznym

dla których osie rzeczywista i urojona są zamienione, zachowując te same asymptoty.

4) Ekscentryczność hiperboli mi> 1.

5) Stosunek odległości r ja od punktu hiperboli do ogniska F i Na odległość d ja od tego punktu do kierownicy odpowiadającej ognisku jest równy ekscentryczności hiperboli.

Dowód można przeprowadzić w taki sam sposób jak w przypadku elipsy.

Parabola.

Definicja 11.8.parabola to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których odległość do pewnego punktu stałego F płaszczyzna ta jest równa odległości do pewnej ustalonej linii prostej. Kropka F nazywa skupiać parabole, a linia prosta - jej dyrektorka szkoły.

У Aby wyprowadzić równanie paraboli, wybieramy układ kartezjański

układ współrzędnych tak, aby jego początek znajdował się w środku

D M(x,y) prostopadle FD, obniżony z fokusu do reżyserii

r su, a osie współrzędnych były równoległe i

prostopadle do reżysera. Niech długość odcinka FD

D O F x jest R. Następnie z równości r=d wynika z tego

Ponieważ

Dzięki przekształceniom algebraicznym równanie to można sprowadzić do postaci: tak² = 2 px, (11.4)

nazywa kanoniczne równanie paraboli. Wartość R nazywa parametr parabole.

Właściwości paraboli:

1) Parabola ma oś symetrii (oś paraboli). Punkt przecięcia paraboli z osią nazywany jest wierzchołkiem paraboli. Jeśli parabola jest dana równaniem kanonicznym, to jej osią jest oś Oh, a wierzchołek jest początkiem współrzędnych.

2) Cała parabola znajduje się w prawej półpłaszczyźnie samolotu Och.

Komentarz. Wykorzystując właściwości kierownic elipsy i hiperboli oraz definicję paraboli, możemy udowodnić następujące stwierdzenie:

Zbiór punktów płaskich, dla których stosunek mi odległość do jakiegoś ustalonego punktu do odległości do jakiejś prostej jest wartością stałą, jest elipsą (z mi<1), гиперболу (при mi>1) lub parabola (gdy mi=1).

Podobne informacje.

Biorąc pod uwagę formę kwadratową (2) A(x, x) = , gdzie x = (x 1 , x 2 , …, x n). Rozważ kwadratową formę w przestrzeni R 3, to znaczy x = (x 1 , x 2 , x 3), A(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(wykorzystaliśmy warunek symetrii kształtu, a mianowicie a 12 = a 21 , a 13 = a 31 , a 23 = a 32). Wypiszmy macierz postaci kwadratowej A w podstawie ( mi}, A(mi) =
. Przy zmianie podstawy macierz postaci kwadratowej zmienia się zgodnie ze wzorem A(f) = C t A(mi)C, gdzie C jest macierzą przejścia z bazy ( mi) do podstawy ( f), a C t jest transponowana macierz C.

Definicja11.12. Nazywa się formą kwadratową z macierzą diagonalną kanoniczny.

Więc pozwól A(f) =
, następnie A"(x, x) =
+
+
, gdzie x" 1 , x" 2 , x" 3 – współrzędne wektora x w nowej podstawie ( f}.

Definicja11.13. Wpuść n V taka podstawa jest wybrana f = {f 1 , f 2 , …, f n), w którym forma kwadratowa ma formę

A(x, x) =
+
+ … +
, (3)

gdzie tak 1 , tak 2 , …, tak n są współrzędnymi wektora x w podstawie ( f). Wyrażenie (3) nazywa się widok kanoniczny forma kwadratowa. Współczynniki  1 , λ 2 , …, λ n nazywa kanoniczny; podstawa, w której forma kwadratowa ma formę kanoniczną, nazywa się podstawa kanoniczna.

Komentarz. Jeśli forma kwadratowa A(x, x) sprowadza się do postaci kanonicznej, to ogólnie rzecz biorąc nie wszystkie współczynniki  i różnią się od zera. Rząd formy kwadratowej jest równy rządowi jej macierzy w dowolnej bazie.

Niech rząd formy kwadratowej A(x, x) jest równe r, gdzie r ≤ n. Macierz formy kwadratowej w formie kanonicznej ma formę diagonalną. A(f) =
, bo jego ranga to r, to wśród współczynników  i Powinien być r, nie równe zeru. Oznacza to, że liczba niezerowych współczynników kanonicznych jest równa randze postaci kwadratowej.

Komentarz. Transformacja liniowa współrzędnych to przejście od zmiennych x 1 , x 2 , …, x n do zmiennych tak 1 , tak 2 , …, tak n, gdzie stare zmienne są wyrażone w postaci nowych zmiennych z pewnymi współczynnikami liczbowymi.

x 1 = α 11 tak 1 + α 12 tak 2 + … + α 1 n tak n ,

x 2 = α2 1 tak 1 + α2 2 tak 2 + … + α 2 n tak n ,

………………………………

x 1 = α n 1 tak 1 + a n 2 tak 2 + … + α nn tak n .

Ponieważ każda transformacja bazy odpowiada niezdegenerowanej liniowej transformacji współrzędnych, kwestię redukcji postaci kwadratowej do postaci kanonicznej można rozwiązać, wybierając odpowiednią niezdegenerowaną transformację współrzędnych.

Twierdzenie 11.2 (podstawowe twierdzenie o formach kwadratowych). Dowolna forma kwadratowa A(x, x) określone w n-wymiarowa przestrzeń wektorowa V, za pomocą niezdegenerowanej liniowej transformacji współrzędnych można sprowadzić do postaci kanonicznej.

Dowód. (Metoda Lagrange'a) Ideą tej metody jest sekwencyjne uzupełnianie trójmianu kwadratowego w każdej zmiennej do pełnego kwadratu. Założymy, że A(x, x) ≠ 0 i w podstawie mi = {mi 1 , mi 2 , …, mi n) ma postać (2):

A(x, x) =
.

Jeśli A(x, x) = 0, to ( a ij) = 0, czyli forma jest już kanoniczna. Formuła A(x, x) można przekształcić tak, aby współczynnik a 11 ≠ 0. Jeśli a 11 = 0, to współczynnik kwadratu drugiej zmiennej jest różny od zera, to poprzez przenumerowanie zmiennych można to osiągnąć a 11 ≠ 0. Renumeracja zmiennych jest niezdegenerowaną transformacją liniową. Jeżeli wszystkie współczynniki kwadratów zmiennych są równe zeru, niezbędne przekształcenia uzyskuje się w następujący sposób. Niech na przykład a 12 ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, a więc przynajmniej jeden współczynnik a ij 0). Rozważ transformację

x 1 = tak 1 – tak 2 ,

x 2 = tak 1 + tak 2 ,

x i = tak i, w i = 3, 4, …, n.

Ta transformacja jest niezdegenerowana, ponieważ wyznacznik jej macierzy jest niezerowy
= = 2 ≠ 0.

Wtedy 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (tak 1 – tak 2)(tak 1 + tak 2) = 2
– 2
czyli w formie A(x, x) będą kwadraty dwóch zmiennych jednocześnie.

A(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Przekształćmy przydzieloną sumę do postaci:

A(x, x) = a 11
, (5)

podczas gdy współczynniki a ij zmień na . Rozważ niezdegenerowaną transformację

tak 1 = x 1 + + … + ,

tak 2 = x 2 ,

tak n = x n .

Wtedy dostajemy

A(x, x) =
. (6).

Jeśli forma kwadratowa
= 0, to kwestia odlewania A(x, x) na formę kanoniczną jest rozwiązany.

Jeśli ta forma nie jest równa zero, to powtarzamy rozumowanie, biorąc pod uwagę przekształcenia współrzędnych tak 2 , …, tak n bez zmiany współrzędnych tak jeden . Oczywiście te przemiany będą niezdegenerowane. W skończonej liczbie kroków forma kwadratowa A(x, x) zostanie zredukowana do postaci kanonicznej (3).

Komentarz 1. Niezbędne przekształcenie współrzędnych początkowych x 1 , x 2 , …, x n można uzyskać mnożąc niezdegenerowane przekształcenia znalezione w procesie rozumowania: [ x] = A[tak], [tak] = B[z], [z] = C[t], następnie [ x] = AB[z] = ABC[t], to znaczy [ x] = M[t], gdzie M = ABC.

Komentarz 2. Niech A(x, x) = A(x, x) =
+
+ …+
, gdzie  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r, oraz  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Rozważ niezdegenerowaną transformację

tak 1 = z 1 , tak 2 = z 2 , …, tak q = z q , tak q +1 =
z q +1 , …, tak r = z r , tak r +1 = z r +1 , …, tak n = z n. W rezultacie A(x, x) przyjmie postać: A(x, x) = + + … + – – … – , który jest nazywany normalna forma kwadratowa.

Przykład11.1. Konwertuj formę kwadratową na formę kanoniczną A(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Rozwiązanie. Ponieważ a 11 = 0, użyj przekształcenia

x 1 = tak 1 – tak 2 ,

x 2 = tak 1 + tak 2 ,

x 3 = tak 3 .

Ta transformacja ma macierz A =
, to znaczy [ x] = A[tak] dostajemy A(x, x) = 2(tak 1 – tak 2)(tak 1 + tak 2) – 6(tak 1 + tak 2)tak 3 + 2tak 3 (tak 1 – tak 2) =

2– 2– 6tak 1 tak 3 – 6tak 2 tak 3 + 2tak 3 tak 1 – 2tak 3 tak 2 = 2– 2– 4tak 1 tak 3 – 8tak 3 tak 2 .

Ponieważ współczynnik przy nie jest równy zero, możesz wybrać kwadrat jednej niewiadomej, niech będzie tak jeden . Wybierz wszystkie terminy zawierające tak 1 .

A(x, x) = 2(– 2tak 1 tak 3) – 2– 8tak 3 tak 2 = 2(– 2tak 1 tak 3 + ) – 2– 2– 8tak 3 tak 2 = 2(tak 1 – tak 3) 2 – 2– 2– 8tak 3 tak 2 .

Wykonajmy transformację, której macierz jest równa B.

z 1 = tak 1 – tak 3 ,  tak 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = tak 2 ,  tak 2 = z 2 ,

z 3 = tak 3 ;  tak 3 = z 3 .

B =
, [tak] = B[z].

Dostać A(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3 . Wyróżniamy terminy zawierające z 2. Mamy A(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Wykonywanie transformacji macierzy C:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z] = C[t].

Dostał: A(x, x) = 2– 2+ 6forma kanoniczna formy kwadratowej, natomiast [ x] = A[tak], [tak] = B[z], [z] = C[t], W związku z tym [ x] = ABC[t];

ABC =


=
. Wzory konwersji są następujące

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

220400 Algebra i geometria Tolstikov A.V.

Wykłady 16. Formy dwuliniowe i kwadratowe.

Plan

1. Forma dwuliniowa i jej właściwości.

2. Forma kwadratowa. Macierz postaci kwadratowej. Transformacja współrzędnych.

3. Redukcja formy kwadratowej do formy kanonicznej. Metoda Lagrange'a.

4. Prawo bezwładności form kwadratowych.

5. Redukcja formy kwadratowej do formy kanonicznej metodą wartości własnych.

6. Kryterium Silversta dla określoności dodatniej formy kwadratowej.

1. Przebieg geometrii analitycznej i algebry liniowej. Moskwa: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej. 1997.

3. Wojewodin W.W. Algebra Liniowa M.: Nauka 1980.

4. Zbiór zadań dla uczelni technicznych. Algebra Liniowa i Podstawy Analizy Matematycznej. Wyd. Efimov A.V., Demidovich B.P.M.: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Algebra liniowa w pytaniach i problemach. Moskwa: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Forma dwuliniowa i jej właściwości. Wynajmować V - n-wymiarowa przestrzeń wektorowa nad polem P.

Definicja 1.forma dwuliniowa zdefiniowany na V, taki wyświetlacz nazywa się g: V2® P, który do każdej zamówionej pary ( x , tak ) wektory x , tak wejść w V dopasuj numer z pola P, oznaczony g(x , tak ) i liniowe w każdej ze zmiennych x , tak , tj. posiadające właściwości:

1) ("x , tak , z Î V)g(x + tak , z ) = g(x , z ) + g(tak , z );

2) ("x , tak Î V) („a P)g(a x , tak ) = a g(x , tak );

3) ("x , tak , z Î V)g(x , tak + z ) = g(x , tak ) + g(x , z );

4) ("x , tak Î V) („a P)g(x , a tak ) = a g(x , tak ).

Przykład 1. Dowolny iloczyn skalarny zdefiniowany w przestrzeni wektorowej V jest formą dwuliniową.

2 . Funkcjonować h(x , tak ) = 2x 1 tak 1 - x 2 tak 2 +x 2 tak 1 , gdzie x = (x 1 ,x 2), tak = (tak 1 ,tak 2) R 2, forma dwuliniowa włączona R 2 .

Definicja 2. Wynajmować v = (v 1 , v 2 ,…, v n v.Macierz postaci dwuliniowejg(x , tak ) w stosunku do podstawyv zwana macierzą B=(b ij)n ´ n, którego elementy są obliczane według wzoru b ij = g(v i, v j):

Przykład 3. Macierz dwuliniowa forma h(x , tak ) (patrz Przykład 2) w odniesieniu do podstawy mi 1 = (1,0), mi 2 = (0,1) jest równe .

Twierdzenie 1. WynajmowaćKolumny X, Y-współrzędne odpowiednio wektorówx , tak w podstawiev, B - macierz postaci dwuliniowejg(x , tak ) w stosunku do podstawyv. Wtedy formę dwuliniową można zapisać jako

g(x , tak )=X t BY. (1)

Dowód. Z właściwości postaci dwuliniowej otrzymujemy

Przykład 3. forma dwuliniowa h(x , tak ) (patrz przykład 2) można zapisać jako h(x , tak )=.

Twierdzenie 2. Wynajmować v = (v 1 , v 2 ,…, v n), ty = (ty 1 , ty 2 ,…, ty n) - dwie bazy przestrzeni wektorowejV, T - macierz przejścia z bazyv do podstawyty. Wynajmować B= (b ij)n ´ n oraz Z=(z ij)n ´ n - macierze postaci dwuliniowejg(x , tak ) odpowiednio w odniesieniu do podstawv ity. Następnie

Z=T t BT.(2)

Dowód. Z definicji macierzy przejścia i macierzy postaci dwuliniowej znajdujemy:



Definicja 2. Forma dwuliniowa g(x , tak ) jest nazywany symetryczny, jeśli g(x , tak ) = g(tak , x ) dla każdego x , tak Î v.

Twierdzenie 3. Forma dwuliniowag(x , tak )- symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy macierz postaci dwuliniowej jest symetryczna względem dowolnej bazy.

Dowód. Wynajmować v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - baza przestrzeni wektorowej V, B= (b ij)n ´ n- macierze postaci dwuliniowej g(x , tak ) w stosunku do podstawy v. Niech dwuliniowa forma g(x , tak ) jest symetryczna. Wtedy z definicji 2 dla dowolnego ja, ja = 1, 2,…, n mamy b ij = g(v i, v j) = g(v j, v i) = bji. Następnie macierz B- symetryczny.

I odwrotnie, niech macierz B- symetryczny. Następnie Bt= B i dla dowolnych wektorów x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vx, tak = tak 1 v 1 + tak 2 v 2 +…+ y n v n =vY Î V, zgodnie ze wzorem (1) otrzymujemy (uwzględniamy, że liczba jest macierzą rzędu 1 i nie zmienia się podczas transpozycji)

g(x , tak ) =g(x , tak )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(tak , x ).

2. Forma kwadratowa. Macierz postaci kwadratowej. Transformacja współrzędnych.

Definicja 1.forma kwadratowa określony na V, nazywa się mapowaniem f:V® P, który dla dowolnych wektorów x z V jest określony przez równość f(x ) = g(x , x ), gdzie g(x , tak ) jest symetryczną formą dwuliniową zdefiniowaną na V .

Właściwość 1.Przez daną formę kwadratowąf(x )formę dwuliniową można znaleźć jednoznacznie według wzoru

g(x , tak ) = 1/2(f(x + tak ) - f(x )-f(tak )). (1)

Dowód. Dla dowolnych wektorów x , tak Î V otrzymujemy przez właściwości postaci dwuliniowej

f(x + tak ) = g(x + tak , x + tak ) = g(x , x + tak ) + g(tak , x + tak ) = g(x , x ) + g(x , tak ) + g(tak , x ) + g(tak , tak ) = f(x ) + 2g(x , tak ) + f(tak ).

Formuła (1) wynika stąd.

Definicja 2.Macierz postaci kwadratowejf(x ) w stosunku do podstawyv = (v 1 , v 2 ,…, v n) jest macierzą odpowiedniej symetrycznej postaci dwuliniowej g(x , tak ) w stosunku do podstawy v.

Twierdzenie 1. WynajmowaćX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- kolumna współrzędnych wektorax w podstawiev, B - macierz postaci kwadratowejf(x ) w stosunku do podstawyv. Następnie forma kwadratowaf(x )

Redukcja form kwadratowych

Rozważ najprostszą i najczęściej stosowaną w praktyce metodę redukcji formy kwadratowej do formy kanonicznej, zwaną Metoda Lagrange'a. Opiera się na wyborze pełnego kwadratu w formie kwadratowej.

Twierdzenie 10.1(Twierdzenie Lagrange'a) Dowolna forma kwadratowa (10.1):

stosując nieosobliwą transformację liniową (10.4) można sprowadzić do postaci kanonicznej (10.6):

,

□ Udowodnijmy twierdzenie w sposób konstruktywny, wykorzystując metodę Lagrange'a doboru idealnych kwadratów. Problem polega na znalezieniu macierzy nieosobliwej takiej, że transformacja liniowa (10.4) daje w wyniku kwadratową (10.6) formę kanoniczną. Macierz ta będzie otrzymywana stopniowo jako iloczyn skończonej liczby macierzy specjalnego typu.

Punkt 1 (przygotowawczy).

1.1. Wśród zmiennych wyróżniamy jedną, która wchodzi do kwadratu i jednocześnie w pierwszym stopniu (nazwijmy to zmienna wiodąca). Przejdźmy do punktu 2.

1.2. Jeśli nie ma zmiennych wiodących w postaci kwadratowej (dla wszystkich : ), to wybieramy parę zmiennych, których iloczyn wchodzi do postaci o niezerowym współczynniku i przechodzimy do kroku 3.

1.3. Jeśli nie ma produktów o przeciwnie nazwanych zmiennych w formie kwadratowej, to dana forma kwadratowa jest już reprezentowana w formie kanonicznej (10.6). Dowód twierdzenia jest kompletny.

Punkt 2 (podświetlenie pełnego kwadratu).

2.1. Na podstawie zmiennej wiodącej wybieramy pełny kwadrat. Bez utraty ogólności zakładamy, że zmienną wiodącą jest zmienna . Grupując terminy zawierające , otrzymujemy

.

Wyodrębnienie pełnego kwadratu nad zmienną in , dostajemy

.

Zatem w wyniku wyboru pełnego kwadratu dla zmiennej otrzymujemy sumę kwadratu postaci liniowej

która obejmuje zmienną wiodącą i formę kwadratową ze zmiennych , w których zmienna wiodąca nie jest już uwzględniona. Zróbmy zmianę zmiennych (wprowadźmy nowe zmienne)

otrzymujemy macierz

() nieosobliwe przekształcenie liniowe , w wyniku którego postać kwadratowa (10.1) przyjmuje postać

Z formą kwadratową Zróbmy to samo, co w punkcie 1.

2.1. Jeśli zmienną wiodącą jest zmienna , można to zrobić na dwa sposoby: albo wybrać pełny kwadrat dla tej zmiennej, albo wykonać zmiana nazwy (zmiana numeracji) zmienne:

z nieosobliwą macierzą transformacji:

.

Punkt 3 (tworzenie zmiennej wiodącej). Wybrana para zmiennych zostanie zastąpiona sumą i różnicą dwóch nowych zmiennych, a reszta starych zmiennych zostanie zastąpiona odpowiednimi nowymi zmiennymi. Jeżeli na przykład w ust. 1 termin

wtedy odpowiednia zmiana zmiennych ma postać

aw postaci kwadratowej (10.1) otrzymamy zmienną wiodącą.

Na przykład w przypadku podstawienia zmiennej:

macierz tej nieosobliwej transformacji liniowej ma postać

.

W wyniku powyższego algorytmu (kolejne zastosowanie punktów 1, 2, 3) postać kwadratowa (10.1) zostanie zredukowana do postaci kanonicznej (10.6).

Zauważmy, że w wyniku przekształceń dokonanych na postaci kwadratowej (wybranie pełnego kwadratu, zmiana nazwy i utworzenie zmiennej wiodącej) wykorzystaliśmy elementarne macierze nieosobliwe trzech typów (są to macierze przejścia od bazy do bazy). Pożądaną macierz nieosobliwego przekształcenia liniowego (10.4), w którym postać (10.1) ma postać kanoniczną (10.6), otrzymuje się przez pomnożenie skończonej liczby elementarnych macierzy nieosobliwych trzech typów. ■

Przykład 10.2. Przynieś formę kwadratową

do postaci kanonicznej metodą Lagrange'a. Określ odpowiednią nieosobliwą transformację liniową. Przeprowadź kontrolę.

Rozwiązanie. Wybieramy zmienną wiodącą (współczynnik ). Grupując terminy zawierające , i wybierając na nim pełny kwadrat, otrzymujemy

gdzie wskazano

Zróbmy zmianę zmiennych (wprowadźmy nowe zmienne)

Wyrażając stare zmienne w terminach nowych:

otrzymujemy macierz