Wzór na obliczenie odległości pomiędzy dwoma punktami. Jak obliczyć odległość pomiędzy współrzędnymi GPS

ZAGADNIENIA TEORETYCZNE

GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYZNIE

1. Metoda współrzędnych: oś liczbowa, współrzędne na linii; prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych na płaszczyźnie; współrzędne biegunowe.

Rozważmy pewną linię prostą. Wybierzmy na nim kierunek (wtedy stanie się osią) i jakiś punkt 0 (początek współrzędnych). Nazywa się linię prostą o wybranym kierunku i początku linia współrzędnych(zakładamy, że wybrano jednostkę skali).

Pozwalać M– dowolny punkt na linii współrzędnych. Ujmijmy to zgodnie z punktem M prawdziwy numer X, równa wartości OM człon: x=OM. Numer X nazywana współrzędną punktu M.

Zatem każdy punkt na linii współrzędnych odpowiada określonej liczbie rzeczywistej - jej współrzędnej. Jest też odwrotnie: każda liczba rzeczywista x odpowiada pewnemu punktowi na linii współrzędnych, a mianowicie takiemu punktowi M, którego współrzędna to x. Ta korespondencja nazywa się Jeden na jednego.

Zatem liczby rzeczywiste można przedstawić za pomocą punktów linii współrzędnych, tj. Linia współrzędnych służy jako obraz zbioru wszystkich liczb rzeczywistych. Dlatego nazywa się zbiór wszystkich liczb rzeczywistych Numer linii, a dowolna liczba jest punktem na tej prostej. W pobliżu punktu na osi liczbowej często wskazywana jest liczba - jej współrzędna.

Prostokątny (lub kartezjański) układ współrzędnych na płaszczyźnie.

Dwie wzajemnie prostopadłe osie O x I O y mające wspólne pochodzenie O i ta sama jednostka skali, forma prostokątny (lub kartezjański) układ współrzędnych na płaszczyźnie.

Oś OH zwaną osią odciętych, osią OJ– oś rzędnych. Kropka O przecięcie osi nazywa się początkiem. Płaszczyzna, w której znajdują się osie OH I OJ, nazywa się płaszczyzną współrzędnych i jest oznaczana O xy.

Zatem prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie ustanawia zgodność jeden do jednego między zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny a zbiorem par liczb, co umożliwia zastosowanie metody algebraiczne. Osie współrzędnych dzielą płaszczyznę na 4 części, nazywa się je w ćwiartkach, kwadrat Lub kąty współrzędnych.

Współrzędne biegunowe.

Biegunowy układ współrzędnych składa się z pewnego punktu O, zwany Polak i wychodzący z niego promień OE, zwany oś polarna. Dodatkowo ustawiona jest jednostka skali do pomiaru długości odcinków. Niech będzie dany biegunowy układ współrzędnych i niech M– dowolny punkt płaszczyzny. Oznaczmy przez R– odległość punktowa M z punktu O i przez φ – kąt, o jaki wiązka jest obracana w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, aby zrównać oś biegunową z wiązką OM.

Współrzędne biegunowe zwrotnica M numery połączeń R I φ . Numer R jest uważana za pierwszą współrzędną i nazywana jest promień biegunowy, numer φ – wywoływana jest druga współrzędna kąt polarny.

Kropka M ze współrzędnymi biegunowymi R I φ są oznaczone w następujący sposób: M(;φ). Ustalmy połączenie między współrzędnymi biegunowymi punktu i jego współrzędnymi prostokątnymi.
W tym przypadku założymy, że początek prostokątnego układu współrzędnych znajduje się na biegunie, a dodatnia oś półodciętej pokrywa się z osią biegunową.

Niech punkt M ma współrzędne prostokątne X I Y i współrzędne biegunowe R I φ .

(1)

Dowód.

Upuść z kropek M 1 I M 2 prostopadłe M 1 W I M 1 A,. ponieważ (x 2 ; y 2). Z twierdzenia, jeśli M 1 (x 1) I M 2 (x 2) są dowolnymi dwoma punktami, a α jest wówczas odległością między nimi α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

Rozwiązywaniu problemów matematycznych często towarzyszą uczniom liczne trudności. Pomóż uczniowi poradzić sobie z tymi trudnościami, a także naucz go stosować istniejącą wiedzę teoretyczną przy rozwiązywaniu problemów specyficzne zadania we wszystkich sekcjach kursu przedmiotu „Matematyka” - główny cel naszej witryny.

Przystępując do rozwiązywania zadań z danego tematu, uczniowie powinni potrafić skonstruować punkt na płaszczyźnie wykorzystując jego współrzędne, a także znaleźć współrzędne danego punktu.

Obliczenia odległości pomiędzy dwoma punktami A(x A; y A) i B(x B; y B) przyjętymi na płaszczyźnie dokonuje się za pomocą wzoru re = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), gdzie d jest długością odcinka łączącego te punkty na płaszczyźnie.

Jeżeli jeden z końców odcinka pokrywa się z początkiem współrzędnych, a drugi ma współrzędne M(x M; y M), to wzór na obliczenie d będzie miał postać OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na podstawie podanych współrzędnych tych punktów

Przykład 1.

Znajdź długość odcinka łączącego punkty A(2; -5) i B(-4; 3) na płaszczyźnie współrzędnych (rys. 1).

Rozwiązanie.

Stwierdzenie problemu stwierdza: x A = 2; x B = -4; y A = -5 i y B = 3. Znajdź d.

Stosując wzór d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), otrzymujemy:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Obliczanie współrzędnych punktu znajdującego się w jednakowej odległości od trzech podanych punktów

Przykład 2.

Znajdź współrzędne punktu O 1, który jest w równej odległości od trzech punktów A(7; -1), B(-2; 2) i C(-1; -5).

Rozwiązanie.

Z sformułowania warunków problemu wynika, że ​​O 1 A = O 1 B = O 1 C. Niech żądany punkt O 1 ma współrzędne (a; b). Korzystając ze wzoru d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) znajdujemy:

O 1 ZA = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 do = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Stwórzmy układ dwóch równań:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Po podniesieniu lewej i prawej strony równań do kwadratu piszemy:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Upraszczając, napiszmy

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Po rozwiązaniu układu otrzymujemy: a = 2; b = -1.

Punkt O 1 (2; -1) jest w równej odległości od trzech punktów określonych w warunku, które nie leżą na tej samej linii prostej. Ten punkt jest środkiem okręgu przechodzącego przez trzy dane punkty (ryc. 2).

3. Obliczenie odciętej (rzędnej) punktu leżącego na osi odciętej (rzędnej) i znajdującego się w zadanej odległości od danego punktu

Przykład 3.

Odległość od punktu B(-5; 6) do punktu A leżącego na osi Wółu wynosi 10. Znajdź punkt A.

Rozwiązanie.

Z sformułowania warunków problemu wynika, że ​​rzędna punktu A jest równa zeru i AB = 10.

Oznaczając odciętą punktu A przez a, piszemy A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Otrzymujemy równanie √((a + 5) 2 + 36) = 10. Upraszczając to, mamy

za 2 + 10a – 39 = 0.

Pierwiastkami tego równania są a 1 = -13; i 2 = 3.

Otrzymujemy dwa punkty A 1 (-13; 0) i A 2 (3; 0).

Badanie:

ZA 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

ZA 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Oba uzyskane punkty są odpowiednie w zależności od warunków problemu (ryc. 3).

4. Obliczenie odciętej (rzędnej) punktu leżącego na osi odciętej (rzędnej) i znajdującego się w tej samej odległości od dwóch danych punktów

Przykład 4.

Znajdź punkt na osi Oy, który znajduje się w tej samej odległości od punktów A (6, 12) i B (-8, 10).

Rozwiązanie.

Niech współrzędne punktu wymaganego przez warunki zadania, leżącego na osi Oy, będą wynosić O 1 (0; b) (w punkcie leżącym na osi Oy odcięta wynosi zero). Z warunku wynika, że ​​O 1 A = O 1 B.

Korzystając ze wzoru d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) znajdujemy:

O 1 ZA = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Mamy równanie √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) lub 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Po uproszczeniu otrzymujemy: b – 4 = 0, b = 4.

Punkt O 1 (0; 4) wymagany przez warunki problemu (ryc. 4).

5. Obliczanie współrzędnych punktu znajdującego się w tej samej odległości od osi współrzędnych i jakiegoś zadanego punktu

Przykład 5.

Znajdź punkt M położony na płaszczyźnie współrzędnych w tej samej odległości od osi współrzędnych i punktu A(-2; 1).

Rozwiązanie.

Wymagany punkt M, podobnie jak punkt A(-2; 1), znajduje się w drugim kąt współrzędnych, ponieważ jest w równej odległości od punktów A, P 1 i P 2 (ryc. 5). Odległości punktu M od osi współrzędnych są takie same, zatem jego współrzędne będą wynosić (-a; a), gdzie a > 0.

Z warunków zadania wynika, że ​​MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

te. |-a| = za.

Korzystając ze wzoru d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) znajdujemy:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Ułóżmy równanie:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Po podniesieniu do kwadratu i uproszczeniu mamy: a 2 – 6a + 5 = 0. Rozwiąż równanie, znajdź a 1 = 1; i 2 = 5.

Otrzymujemy dwa punkty M 1 (-1; 1) i M 2 (-5; 5), które spełniają warunki zadania.

6. Obliczenie współrzędnych punktu znajdującego się w tej samej określonej odległości od osi odciętej (rzędnej) i od zadanego punktu

Przykład 6.

Znajdź punkt M taki, że jego odległość od osi rzędnych i od punktu A(8; 6) jest równa 5.

Rozwiązanie.

Z warunków zadania wynika, że ​​MA = 5, a odcięta punktu M jest równa 5. Niech rzędna punktu M będzie równa b, wtedy M(5; b) (ryc. 6).

Zgodnie ze wzorem d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) mamy:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Ułóżmy równanie:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Upraszczając otrzymamy: b 2 – 12b + 20 = 0. Pierwiastkami tego równania są b 1 = 2; b 2 = 10. Istnieją więc dwa punkty spełniające warunki zadania: M 1 (5; 2) i M 2 (5; 10).

Wiadomo, że wielu studentów niezależna decyzja problemy wymagają ciągłych konsultacji w sprawie technik i metod ich rozwiązywania. Często uczeń nie jest w stanie znaleźć sposobu na rozwiązanie problemu bez pomocy nauczyciela. Na naszej stronie internetowej student może uzyskać niezbędne porady dotyczące rozwiązywania problemów.

Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak znaleźć odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Za pomocą współrzędnych określ położenie obiektu na glob. Współrzędne są oznaczone szerokością i długością geograficzną. Szerokości geograficzne mierzone są od linii równika po obu stronach. Na półkuli północnej szerokości geograficzne są dodatnie, na półkuli południowej są ujemne. Długość geograficzną mierzy się odpowiednio od południka zerowego, wschodniego lub zachodniego, uzyskuje się długość geograficzną wschodnią lub zachodnią.

Zgodnie z ogólnie przyjętym stanowiskiem za południk zerowy przyjmuje się ten, który przechodzi przez stare Obserwatorium Greenwich w Greenwich. Współrzędne geograficzne lokalizacji można uzyskać za pomocą nawigatora GPS. To urządzenie odbiera sygnały system satelitarny pozycjonowanie w jednolitym dla całego świata układzie współrzędnych WGS-84.

Modele Navigatorów różnią się producentem, funkcjonalnością i interfejsem. Obecnie w niektórych modelach dostępne są także wbudowane nawigatory GPS telefony komórkowe. Ale każdy model może rejestrować i zapisywać współrzędne punktu.

Odległość między współrzędnymi GPS

Aby rozwiązać problemy praktyczne i teoretyczne w niektórych branżach, konieczna jest umiejętność wyznaczania odległości między punktami za pomocą ich współrzędnych. Można to zrobić na kilka sposobów. Forma kanoniczna reprezentacja współrzędnych geograficznych: stopnie, minuty, sekundy.

Przykładowo, możesz określić odległość pomiędzy następującymi współrzędnymi: punkt nr 1 - szerokość geograficzna 55°45′07″ N, długość geograficzna 37°36′56″ E; punkt nr 2 - szerokość geograficzna 58°00′02″N, długość geograficzna 102°39′42″E.

Najłatwiej jest użyć kalkulatora do obliczenia długości między dwoma punktami. W wyszukiwarce przeglądarki należy ustawić następujące parametry wyszukiwania: online - aby obliczyć odległość między dwoma współrzędnymi. W kalkulatorze online wartości szerokości i długości geograficznej są wprowadzane w polach zapytania dla pierwszej i drugiej współrzędnej. Podczas obliczeń kalkulator online dał wynik - 3 800 619 m.

Kolejna metoda jest bardziej pracochłonna, ale i bardziej wizualna. Należy skorzystać z dowolnego dostępnego programu do mapowania lub nawigacji. Do programów, w których można tworzyć punkty za pomocą współrzędnych i mierzyć odległości między nimi, zaliczają się następujące aplikacje: BaseCamp (nowoczesny odpowiednik programu MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Wszystkie powyższe programy są dostępne dla każdego użytkownika sieci. Na przykład, aby obliczyć odległość między dwoma współrzędnymi w Google Earth, musisz utworzyć dwie etykiety wskazujące współrzędne pierwszego i drugiego punktu. Następnie za pomocą narzędzia „Linijka” należy połączyć pierwszy i drugi znak linią, program automatycznie wyświetli wynik pomiaru i wskaże ścieżkę na zdjęciu satelitarnym Ziemi.

W przypadku podanego powyżej przykładu program Google Earth zwrócił wynik - długość odległości pomiędzy punktem nr 1 a punktem nr 2 wynosi 3 817 353 m.

Dlaczego przy określaniu odległości występuje błąd

Wszystkie obliczenia zasięgu pomiędzy współrzędnymi opierają się na obliczeniu długości łuku. Promień Ziemi jest uwzględniany przy obliczaniu długości łuku. Ponieważ jednak kształt Ziemi jest zbliżony do spłaszczonej elipsoidy, promień Ziemi zmienia się w niektórych punktach. Do obliczenia odległości pomiędzy współrzędnymi przyjmuje się średnią wartość promienia Ziemi, co daje błąd pomiaru. Im większa jest mierzona odległość, tym większy błąd.

Obliczanie odległości między punktami na podstawie ich współrzędnych na płaszczyźnie jest elementarne, na powierzchni Ziemi jest to nieco bardziej skomplikowane: rozważymy pomiar odległości i początkowego azymutu między punktami bez transformacji rzutowych. Najpierw zapoznajmy się z terminologią.

Wstęp

Duża długość łuku koła– najkrótsza odległość pomiędzy dwoma dowolnymi punktami znajdującymi się na powierzchni kuli, mierzona wzdłuż linii łączącej te dwa punkty (taką linię nazywamy ortodromią) i przechodzącej wzdłuż powierzchni kuli lub innej powierzchni obrotowej. Geometria sferyczna różni się od normalnej geometrii euklidesowej, a równania odległości również przyjmują inną formę. W geometrii euklidesowej najkrótszą odległością między dwoma punktami jest linia prosta. Na kuli nie ma linii prostych. Te linie na kuli są częścią wielkich kół – okręgów, których środki pokrywają się ze środkiem kuli. Początkowy azymut- azymut, przyjmując, że rozpoczynając ruch od punktu A, podążając po okręgu wielkim przez najkrótszą odległość do punktu B, punktem końcowym będzie punkt B. Podczas przemieszczania się od punktu A do punktu B po linii koła wielkiego, azymut od obecna sytuacja do punktu końcowego B stale się zmienia. Azymut początkowy jest inny niż stały, po czym azymut od punktu aktualnego do punktu końcowego nie ulega zmianie, ale przebyta trasa nie jest najkrótszą odległością pomiędzy dwoma punktami.

Przez dowolne dwa punkty na powierzchni kuli, jeśli nie są one bezpośrednio naprzeciw siebie (to znaczy nie są antypodami), można narysować unikalny okrąg wielki. Dwa punkty dzielą duży okrąg na dwa łuki. Długość krótkiego łuku to najkrótsza odległość między dwoma punktami. Pomiędzy dwoma punktami antypodalnymi można narysować nieskończoną liczbę dużych okręgów, ale odległość między nimi będzie taka sama na każdym okręgu i równa połowie obwodu koła, czyli π*R, gdzie R jest promieniem kuli.

Na płaszczyźnie (w prostokątnym układzie współrzędnych) duże koła i ich fragmenty, jak wspomniano powyżej, reprezentują łuki we wszystkich rzutach z wyjątkiem gnomonicznego, gdzie duże koła są liniami prostymi. W praktyce oznacza to, że samoloty i inny transport lotniczy zawsze korzystają z tej trasy minimalna odległość między punktami, aby zaoszczędzić paliwo, czyli lot odbywa się na dystansie dużego koła, w samolocie wygląda to jak łuk;

Kształt Ziemi można opisać jako kulę, dlatego równania odległości wielkiego koła są ważne przy obliczaniu najkrótszej odległości między punktami na powierzchni Ziemi i są często wykorzystywane w nawigacji. Obliczanie odległości tą metodą jest skuteczniejsze i w wielu przypadkach dokładniejsze niż obliczanie jej dla współrzędnych rzutowanych (w prostokątnych układach współrzędnych), ponieważ po pierwsze nie wymaga translacji współrzędne geograficzne w prostokątny układ współrzędnych (przeprowadzić przekształcenia rzutowania), a po drugie, wiele rzutów, jeśli zostaną nieprawidłowo wybrane, może prowadzić do znacznych zniekształceń długościowych ze względu na charakterystykę zniekształceń rzutowania. Wiadomo, że kształt Ziemi dokładniej opisuje nie kula, ale elipsoida, jednak w tym artykule omówiono obliczanie odległości na kuli; do obliczeń używana jest kula o promieniu 6 372 795 metrów, co może prowadzić do błędu w obliczaniu odległości rzędu 0,5%.

Formuły

Istnieją trzy sposoby obliczania odległości sferycznej koła wielkiego. 1. Twierdzenie o cosinusie sferycznym W przypadku małych odległości i małej głębokości obliczeń (liczba miejsc po przecinku) zastosowanie wzoru może prowadzić do znacznych błędów zaokrągleń. φ1, λ1; φ2, λ2 - szerokość i długość geograficzna dwóch punktów w radianach Δλ - różnica współrzędnych w długości geograficznej Δδ - różnica kątowa Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Aby przeliczyć odległość kątową na metryczną, należy pomnóż różnicę kątową przez promień Ziemi (6372795 metrów), jednostki ostatecznej odległości będą równe jednostkom, w których wyrażony jest promień (w w tym przypadku- metry). 2. Wzór Haversina Służy do uniknięcia problemów na krótkich dystansach. 3. Modyfikacja antypodów Poprzedni wzór również podlega problemowi punktów antypodalnych; aby go rozwiązać, stosuje się następującą modyfikację.

Moja implementacja w PHP

// Zdefiniuj promień Ziemi("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Odległość pomiędzy dwoma punktami * $φA, $λA - szerokość, długość geograficzna 1. punktu, * $φB, $λB - szerokość, długość geograficzna 2. punktu * Napisano na podstawie http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Michaił Kobzariew * */ funkcja obliczOdległość ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // konwersja współrzędnych na radiany $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // cosinusy i sinusy szerokości i długości geograficznej $cl1 = cos($lat1); $lat1); $sl2 = sin($lat2); // obliczenia długości wielkiego koła $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $ cdelta, 2)); cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; 77,1539; $długi1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $długi2 = -139,55; echo obliczOdległość($lat1, $long1, $lat2, $long2) . „metry”; // Zwróć „17166029 metrów”

Każdy punkt A płaszczyzny jest scharakteryzowany przez swoje współrzędne (x, y). Pokrywają się one ze współrzędnymi wektora 0A wychodzącego z punktu 0 – początku współrzędnych.

Niech A i B będą dowolnymi punktami płaszczyzny o współrzędnych odpowiednio (x 1 y 1) i (x 2, y 2).

Wtedy wektor AB ma oczywiście współrzędne (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Wiadomo, że kwadrat długości wektora jest równy sumie kwadratów jego współrzędnych. Zatem odległość d pomiędzy punktami A i B, czyli taka sama długość wektora AB, wyznaczana jest z warunku

re 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Otrzymany wzór pozwala znaleźć odległość między dowolnymi dwoma punktami na płaszczyźnie, jeśli znane są tylko współrzędne tych punktów

Za każdym razem, gdy mówimy o współrzędnych konkretnego punktu na płaszczyźnie, mamy na myśli dobrze zdefiniowany układ współrzędnych x0y. Ogólnie układ współrzędnych na płaszczyźnie można wybrać na różne sposoby. Zatem zamiast układu współrzędnych x0y możemy rozważyć układ współrzędnych xִy, który otrzymujemy w wyniku obrotu starych osi współrzędnych wokół punktu początkowego 0 przeciwnie do ruchu wskazówek zegara strzałki na rogu α .

Jeżeli jakiś punkt płaszczyzny w układzie współrzędnych x0y miał współrzędne (x, y), to w nowy system współrzędne xִy będzie miało inne współrzędne (x, y).

Jako przykład rozważmy punkt M, położony na osi 0x i oddalony od punktu 0 w odległości równej 1.

Oczywiście w układzie współrzędnych x0y punkt ten ma współrzędne (cos α , grzech α ), a w układzie współrzędnych xִy współrzędne wynoszą (1,0).

Współrzędne dowolnych dwóch punktów na płaszczyźnie A i B zależą od sposobu określenia układu współrzędnych w tej płaszczyźnie. I tu odległość między tymi punktami nie zależy od sposobu określenia układu współrzędnych .

Inne materiały