Dział liczby naturalne, zwłaszcza wielowartościowych, jest wygodny do przeprowadzenia specjalna metoda, który został nazwany podział według kolumny (w kolumnie). Możesz również zobaczyć nazwę podział narożny. Od razu zauważamy, że w kolumnie można przeprowadzić zarówno dzielenie liczb naturalnych bez reszty, jak i dzielenie liczb naturalnych z resztą.

W tym artykule zrozumiemy, jak odbywa się podział według kolumny. Tutaj porozmawiamy o zasadach pisania io wszystkich obliczeniach pośrednich. Najpierw zajmijmy się dzieleniem przez kolumnę wielowartościowej liczby naturalnej przez jednocyfrowy. Następnie skupimy się na przypadkach, w których zarówno dzielna, jak i dzielnik są wielowartościowymi liczbami naturalnymi. Cała teoria tego artykułu zawiera charakterystyczne przykłady dzielenia przez kolumnę liczb naturalnych ze szczegółowymi objaśnieniami rozwiązania i ilustracjami.

Nawigacja po stronach.

Zasady nagrywania przy podziale według kolumny

Zacznijmy od przestudiowania zasad pisania dzielnej, dzielnika, wszystkich obliczeń pośrednich i wyników przy dzieleniu liczb naturalnych przez kolumnę. Powiedzmy od razu, że najwygodniej jest podzielić w kolumnie na papierze na papierze z linią w szachownicę - więc jest mniejsza szansa na zboczenie z pożądanego wiersza i kolumny.

Najpierw dzielna i dzielnik są zapisywane w jednym wierszu od lewej do prawej, po czym między wpisanymi liczbami wyświetlany jest symbol formy. Na przykład, jeśli dzielna to liczba 6 105, a dzielnik to 5 5, to ich poprawny zapis przy podziale na kolumnę będzie następujący:

Spójrz na poniższy diagram, który ilustruje miejsca do zapisywania dzielnej, dzielnika, ilorazu, reszty i obliczeń pośrednich podczas dzielenia przez kolumnę.

Z powyższego wykresu widać, że pożądany iloraz (lub iloraz niepełny przy dzieleniu z resztą) zostanie zapisany poniżej dzielnika pod poziomą linią. A obliczenia pośrednie zostaną przeprowadzone poniżej dywidendy, ao dostępność miejsca na stronie trzeba wcześniej zadbać. W tym przypadku należy kierować się zasadą: im większa różnica liczby znaków w zapisach dzielnika i dzielnika, tym więcej miejsca zajmuje. Na przykład, dzieląc liczbę naturalną 614 808 przez 51 234 przez kolumnę (614 808 to liczba sześciocyfrowa, 51 234 to liczba pięciocyfrowa, różnica w liczbie znaków w rekordach wynosi 6–5= 1) do obliczeń pośrednich będziesz potrzebować mniej miejsca niż przy dzieleniu liczb 8058 i 4 (tu różnica w liczbie znaków wynosi 4−1=3). Na potwierdzenie naszych słów przedstawiamy wypełnione zapisy dzielenia przez kolumnę tych liczb naturalnych:

Teraz możesz przejść bezpośrednio do procesu dzielenia liczb naturalnych przez kolumnę.

Dzielenie przez kolumnę liczby naturalnej przez jednocyfrową liczbę naturalną, algorytm dzielenia przez kolumnę

Oczywiste jest, że dzielenie jednej jednocyfrowej liczby naturalnej przez drugą jest dość proste i nie ma powodu, aby dzielić te liczby na kolumnę. Przyda się jednak przećwiczenie początkowej umiejętności dzielenia przez kolumnę na tych prostych przykładach.

Przykład.

Musimy podzielić przez kolumnę 8 przez 2.

Decyzja.

Oczywiście możemy dokonać dzielenia za pomocą tabliczki mnożenia i od razu zapisać odpowiedź 8:2=4.

Ale interesuje nas, jak podzielić te liczby przez kolumnę.

Najpierw zapisujemy dzielną 8 i dzielnik 2 zgodnie z wymaganiami metody:

Teraz zaczynamy obliczać, ile razy dzielnik jest w dywidendzie. W tym celu kolejno mnożymy dzielnik przez liczby 0, 1, 2, 3, ... aż otrzymamy liczbę równą dzielnej (lub większą od dzielnej, jeśli jest dzielenie z resztą ). Jeśli otrzymamy liczbę równą dzielnej, to od razu wpisujemy ją pod dywidendę, a w miejsce prywatnej wpisujemy liczbę, przez którą pomnożyliśmy dzielnik. Jeśli otrzymamy liczbę większą niż podzielna, to pod dzielnikiem wpisujemy liczbę obliczoną na przedostatnim kroku, a w miejsce niepełnego ilorazu wpisujemy liczbę, przez którą dzielnik został pomnożony na przedostatnim kroku.

Chodźmy: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Otrzymaliśmy liczbę równą dywidendzie, więc zapisujemy ją pod dywidendą, a w miejsce prywatnej wpisujemy liczbę 4. W takim przypadku zapis zajmie następny widok:

Pozostaje ostatni etap dzielenia jednocyfrowych liczb naturalnych przez kolumnę. Pod liczbą zapisaną pod dywidendą należy narysować poziomą linię i odjąć liczby powyżej tej linii w taki sam sposób, jak to się robi przy odejmowaniu liczb naturalnych za pomocą kolumny. Liczba uzyskana po odjęciu będzie pozostałą częścią dzielenia. Jeśli jest równy zero, to pierwotne liczby są dzielone bez reszty.

W naszym przykładzie otrzymujemy

Teraz mamy gotowy zapis dzielenia przez kolumnę liczby 8 przez 2. Widzimy, że iloraz 8:2 wynosi 4 (a reszta to 0 ).

Odpowiedź:

8:2=4 .

Zastanówmy się teraz, jak odbywa się dzielenie przez kolumnę jednocyfrowych liczb naturalnych z resztą.

Przykład.

Podziel według kolumny 7 przez 3.

Decyzja.

Na etap początkowy wpis wygląda tak:

Zaczynamy dowiadywać się, ile razy dywidenda zawiera dzielnik. Pomnożymy 3 przez 0, 1, 2, 3 itd. dopóki nie otrzymamy liczby równej lub większej niż dywidenda 7. Otrzymujemy 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (jeśli to konieczne, odnieś się do artykułu porównanie liczb naturalnych). Pod dzielną wpisujemy liczbę 6 (uzyskano ją na przedostatnim kroku), a w miejsce niepełnego ilorazu wpisujemy liczbę 2 (na niej dokonano mnożenia na przedostatnim kroku).

Pozostaje wykonać odejmowanie, a dzielenie przez kolumnę jednocyfrowych liczb naturalnych 7 i 3 zostanie zakończone.

Więc iloraz cząstkowy wynosi 2 , a reszta to 1 .

Odpowiedź:

7:3=2 (odpoczynek 1) .

Teraz możemy przejść do dzielenia wielowartościowych liczb naturalnych przez jednocyfrowe liczby naturalne przez kolumnę.

Teraz przeanalizujemy algorytm dzielenia kolumn. Na każdym etapie przedstawimy wyniki uzyskane przez podzielenie wielowartościowej liczby naturalnej 140 288 przez jednowartościową liczbę naturalną 4 . Ten przykład nie został wybrany przypadkowo, ponieważ rozwiązując go, napotkamy wszystkie możliwe niuanse, będziemy mogli je szczegółowo przeanalizować.

Najpierw przyjrzymy się pierwszej cyfrze od lewej we wpisie dywidendy. Jeśli liczba określona przez tę liczbę jest większa niż dzielnik, to w następnym akapicie musimy pracować z tą liczbą. Jeśli ta liczba jest mniejsza niż dzielnik, to musimy dodać kolejną cyfrę z lewej strony w rekordzie dywidendy i dalej pracować z liczbą określoną przez te dwie cyfry. Dla wygody wybieramy w naszym rekordzie numer, z którym będziemy pracować.

Pierwsza cyfra od lewej w dywidendzie 140 288 to liczba 1. Liczba 1 jest mniejsza niż dzielnik 4, więc patrzymy również na następną cyfrę po lewej stronie w rekordzie dywidendy. Jednocześnie widzimy liczbę 14, z którą musimy dalej pracować. Wybieramy tę liczbę w notacji dywidendy.

Kolejne punkty od drugiego do czwartego są powtarzane cyklicznie, aż do zakończenia dzielenia liczb naturalnych przez kolumnę.

Teraz musimy określić, ile razy dzielnik jest zawarty w liczbie, z którą pracujemy (dla wygody oznaczmy tę liczbę jako x ). Aby to zrobić, kolejno mnożymy dzielnik przez 0, 1, 2, 3, ... aż otrzymamy liczbę x lub liczbę większą od x. Gdy uzyskamy liczbę x, zapisujemy ją pod wybraną liczbą zgodnie z zasadami notacji stosowanymi przy odejmowaniu przez kolumnę liczb naturalnych. Liczba, przez którą wykonano mnożenie, jest zapisywana w miejsce ilorazu podczas pierwszego przebiegu algorytmu (podczas kolejnych przebiegów 2-4 punktów algorytmu ta liczba jest zapisywana na prawo od już istniejących liczb). Gdy otrzymamy liczbę większą od liczby x, to pod wybraną liczbą wpisujemy liczbę uzyskaną w przedostatnim kroku, a w miejsce ilorazu (lub na prawo od już istniejących liczb) wpisujemy liczbę przez którego pomnożenie zostało przeprowadzone na przedostatnim kroku. (Podobne działania przeprowadziliśmy w dwóch omówionych powyżej przykładach).

Mnożymy dzielnik 4 przez liczby 0 , 1 , 2 , ... aż otrzymamy liczbę równą 14 lub większą od 14 . Mamy 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>czternaście. Ponieważ w ostatnim kroku otrzymaliśmy liczbę 16, która jest większa od 14, to pod wybraną liczbą wpisujemy liczbę 12, która okazała się w przedostatnim kroku, a w miejsce ilorazu wpisujemy liczbę 3, gdyż w w przedostatnim akapicie właśnie na nim dokonano mnożenia.


Na tym etapie od wybranej liczby odejmij w kolumnie liczbę pod nią. Poniżej poziomej linii znajduje się wynik odejmowania. Jeśli jednak wynik odejmowania wynosi zero, to nie trzeba go zapisywać (chyba że odejmowanie w tym momencie jest ostatnią czynnością, która całkowicie uzupełnia dzielenie przez kolumnę). Tutaj, dla twojej kontroli, nie będzie zbyteczne porównywanie wyniku odejmowania z dzielnikiem i upewnianie się, że jest on mniejszy niż dzielnik. W przeciwnym razie gdzieś popełniono błąd.

Musimy odjąć liczbę 12 od liczby 14 w kolumnie (dla poprawnej notacji nie wolno zapomnieć o wstawieniu znaku minus po lewej stronie odejmowanych liczb). Po zakończeniu tej akcji cyfra 2 pojawiła się pod linią poziomą. Teraz sprawdzamy nasze obliczenia, porównując wynikową liczbę z dzielnikiem. Ponieważ liczba 2 jest mniejsza niż dzielnik 4, możesz bezpiecznie przejść do następnego elementu.


Teraz pod poziomą kreską na prawo od liczb tam znajdujących się (lub na prawo od miejsca, w którym nie wpisaliśmy zera) wpisujemy liczbę znajdującą się w tej samej kolumnie w ewidencji dywidendy. Jeśli w rekordzie dywidendy w tej kolumnie nie ma żadnych liczb, to w tym miejscu kończy się podział przez kolumnę. Następnie wybieramy liczbę utworzoną pod linią poziomą, przyjmujemy ją jako liczbę roboczą i powtarzamy z nią od 2 do 4 punktów algorytmu.

Pod poziomą linią po prawej stronie liczby 2, która już tam jest, piszemy liczbę 0, ponieważ jest to liczba 0, która znajduje się w zapisie dywidendy 140 288 w tej kolumnie. W ten sposób liczba 20 powstaje pod linią poziomą.


Wybieramy tę liczbę 20, przyjmujemy ją jako liczbę roboczą i powtarzamy z nią działania drugiego, trzeciego i czwartego punktu algorytmu.

Mnożymy dzielnik 4 przez 0 , 1 , 2 , ... aż otrzymamy liczbę 20 lub liczbę większą od 20 . Mamy 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Wykonujemy odejmowanie przez kolumnę. Ponieważ odejmujemy równe liczby naturalne, to dzięki właściwości odejmowania równych liczb naturalnych otrzymujemy w wyniku zero. Nie zapisujemy zera (ponieważ nie jest to ostatni etap dzielenia przez kolumnę), ale pamiętamy miejsce, w którym moglibyśmy to zapisać (dla wygody zaznaczymy to miejsce czarnym prostokątem).


Pod poziomą linią po prawej stronie zapamiętanego miejsca zapisujemy liczbę 2, ponieważ to ona jest w zapisie dywidendy 140 288 w tej kolumnie. Tak więc pod linią poziomą mamy liczbę 2 .


Przyjmujemy liczbę 2 jako liczbę roboczą, zaznaczamy ją i ponownie będziemy musieli wykonać kroki z 2-4 punktów algorytmu.

Mnożymy dzielnik przez 0 , 1 , 2 i tak dalej i porównujemy otrzymane liczby z zaznaczoną liczbą 2 . Mamy 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Dlatego pod zaznaczoną liczbą wpisujemy liczbę 0 (uzyskano ją w przedostatnim kroku), a w miejsce ilorazu na prawo od liczby już tam wpisanej wpisujemy liczbę 0 (w przedostatnim pomnożyliśmy ją przez 0). krok).


Wykonujemy odejmowanie przez kolumnę, otrzymujemy liczbę 2 pod linią poziomą. Sprawdzamy się, porównując otrzymaną liczbę z dzielnikiem 4 . Od 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Pod poziomą linią na prawo od liczby 2 dodajemy liczbę 8 (ponieważ jest w tej kolumnie w zapisie dywidendy 140 288). Tak więc pod poziomą linią znajduje się liczba 28.


Przyjmujemy ten numer jako pracownika, zaznaczamy go i powtarzamy kroki 2-4 akapitów.

Nie powinno być tu żadnych problemów, jeśli do tej pory byłeś ostrożny. Po wykonaniu wszystkich niezbędnych czynności uzyskuje się następujący wynik.

Pozostaje po raz ostatni wykonać czynności z punktów 2, 3, 4 (udostępniamy je Tobie), po czym otrzymasz pełny obraz dzielenia liczb naturalnych 140 288 i 4 w kolumnie:

Zwróć uwagę, że cyfra 0 jest zapisana na samym dole wiersza. Gdyby nie był to ostatni krok dzielenia przez kolumnę (to znaczy, gdyby w kolumnach po prawej stronie w rekordzie dywidendy były liczby), to nie zapisalibyśmy tego zera.

Tak więc, patrząc na kompletny zapis dzielenia wielowartościowej liczby naturalnej 140 288 przez jednowartościową liczbę naturalną 4, widzimy, że liczba 35 072 jest prywatna (a reszta z dzielenia wynosi zero, jest na samym dolna linia).

Oczywiście, dzieląc liczby naturalne przez kolumnę, nie opiszesz wszystkich swoich działań tak szczegółowo. Twoje rozwiązania będą wyglądać podobnie do poniższych przykładów.

Przykład.

Wykonaj dzielenie długie, jeśli dzielna wynosi 7136, a dzielnik jest jedną liczbą naturalną 9.

Decyzja.

W pierwszym kroku algorytmu dzielenia liczb naturalnych przez kolumnę otrzymujemy zapis postaci

Po wykonaniu czynności z drugiego, trzeciego i czwartego punktu algorytmu zapis podziału przez kolumnę przyjmie postać

Powtarzając cykl, będziemy mieli

Jeszcze jedno przejście da nam pełny obraz dzielenia przez kolumnę liczb naturalnych 7 136 i 9

Zatem iloraz cząstkowy wynosi 792 , a reszta z podziału wynosi 8 .

Odpowiedź:

7 136:9=792 (odpoczynek 8).

A ten przykład pokazuje, jak powinno wyglądać dzielenie.

Przykład.

Liczbę naturalną 7 042 035 należy podzielić przez jednocyfrową liczbę naturalną 7 .

Decyzja.

Najwygodniej jest przeprowadzić podział według kolumny.

Odpowiedź:

7 042 035:7=1 006 005 .

Dzielenie przez kolumnę wielowartościowych liczb naturalnych

Spieszymy, aby cię zadowolić: jeśli dobrze opanowałeś algorytm dzielenia przez kolumnę z poprzedniego akapitu tego artykułu, to już prawie wiesz, jak wykonać dzielenie przez kolumnę wielowartościowych liczb naturalnych. To prawda, ponieważ kroki od 2 do 4 algorytmu pozostają niezmienione, a w pierwszym kroku pojawiają się tylko niewielkie zmiany.

W pierwszym etapie dzielenia na kolumnę wielowartościowych liczb naturalnych należy patrzeć nie na pierwszą cyfrę z lewej strony w zapisie dywidendy, ale na tyle, ile jest cyfr w zapisie dzielnika. Jeśli liczba określona przez te liczby jest większa niż dzielnik, to w następnym akapicie musimy pracować z tą liczbą. Jeśli ta liczba jest mniejsza niż dzielnik, to musimy dodać do rozpatrzenia kolejną cyfrę z lewej strony w zapisie dywidendy. Następnie czynności wskazane w paragrafach 2, 3 i 4 algorytmu są wykonywane aż do uzyskania końcowego wyniku.

Pozostaje tylko zobaczyć zastosowanie algorytmu dzielenia przez kolumnę wielowartościowych liczb naturalnych w praktyce przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład.

Wykonajmy dzielenie przez kolumnę wielowartościowych liczb naturalnych 5562 i 206.

Decyzja.

Ponieważ w rekordzie dzielnika 206 zaangażowane są 3 znaki, patrzymy na pierwsze 3 cyfry po lewej stronie w rekordzie dzielnika 5 562. Liczby te odpowiadają liczbie 556. Ponieważ 556 jest większe niż dzielnik 206, przyjmujemy liczbę 556 jako działającą, wybieramy ją i przechodzimy do następnego etapu algorytmu.

Teraz mnożymy dzielnik 206 przez liczby 0 , 1 , 2 , 3 , ... aż otrzymamy liczbę równą 556 lub większą od 556 . Mamy (jeśli mnożenie jest trudne, to lepiej wykonać mnożenie liczb naturalnych w kolumnie): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Skoro otrzymaliśmy liczbę większą od 556, to pod wybraną liczbą wpisujemy liczbę 412 (uzyskano ją w przedostatnim kroku), a w miejsce ilorazu wpisujemy liczbę 2 (ponieważ została pomnożona w przedostatni krok). Wpis podziału kolumny ma następującą postać:

Wykonaj odejmowanie kolumn. Otrzymujemy różnicę 144, ta liczba jest mniejsza niż dzielnik, dzięki czemu można bezpiecznie kontynuować wykonywanie wymaganych czynności.

Pod poziomą linią po prawej stronie dostępnej tam liczby wpisujemy liczbę 2, ponieważ jest ona w zapisie dywidendy 5 562 w tej kolumnie:

Teraz pracujemy z liczbą 1442, wybieramy ją i ponownie przechodzimy przez kroki od drugiego do czwartego.

Mnożymy dzielnik 206 przez 0 , 1 , 2 , 3 , ... aż otrzymamy liczbę 1442 lub liczbę większą od 1442 . Chodźmy: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Odejmujemy przez kolumnę, otrzymujemy zero, ale nie zapisujemy tego od razu, tylko pamiętamy jego pozycję, ponieważ nie wiemy, czy podział się kończy, czy będziemy musieli powtórzyć kroki algorytmu ponownie:

Teraz widzimy, że pod poziomą linią na prawo od zapamiętanej pozycji nie możemy zapisać żadnej liczby, ponieważ w rekordzie dywidendy w tej kolumnie nie ma żadnych liczb. Dlatego ten podział przez kolumnę się skończył i uzupełniamy wpis:

• Matematyka. Wszelkie podręczniki dla klas 1, 2, 3, 4 instytucji edukacyjnych.
• Matematyka. Wszelkie podręczniki dla 5 klas instytucji edukacyjnych.

Jak podzielić ułamki dziesiętne przez liczby naturalne? Rozważ regułę i jej zastosowanie na przykładach.

Aby podzielić ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną, potrzebujesz:

1) podziel ułamek dziesiętny przez liczbę, ignorując przecinek;

2) po zakończeniu dzielenia części całkowitej wstawiamy przecinek w części prywatnej.

Przykłady.

Dzielone ułamki dziesiętne:

Aby podzielić ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną, podziel bez zwracania uwagi na przecinek. 5 nie jest podzielne przez 6, więc do ilorazu wstawiamy zero. Skończył się podział części całkowitej, w prywatnych wstawiamy przecinek. Bierzemy zero. Podziel 50 przez 6. Weź po 8. 6∙8=48. Od 50 odejmujemy 48, a resztę otrzymujemy 2. Burzymy 4. Dzielimy 24 przez 6. Otrzymujemy 4. Reszta to zero, co oznacza koniec dzielenia: 5,04:6 = 0,84.

2) 19,26: 18

Dzielimy ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną, ignorując przecinek. Dzielimy 19 przez 18. Bierzemy po 1. Dzielenie części całkowitej się skończyło, w prywatnych wstawiamy przecinek. Odejmujemy 18 od 19. Reszta to 1. Niszczymy 2. 12 nie jest podzielne przez 18, prywatnie zapisujemy zero. Niszczymy 6. 126 podzielone przez 18, otrzymujemy 7. Koniec z podziałem: 19,26:18 = 1,07.

Podziel 86 przez 25. Weź po 3. 25∙3=75. Od 86 odejmujemy 75. Reszta to 11. Koniec dzielenia części całkowitej, w prywatnych wstawiamy przecinek. Wyburz 5. Weź po 4. 25∙4=100. Odejmij 100 od 115. Reszta to 15. Niszczymy zero. Dzielimy 150 przez 25. Otrzymujemy 6. Dzielenie się skończyło: 86,5: 25 = 3,46.

4) 0,1547: 17

Zero nie jest podzielne przez 17, zero zapisujemy prywatnie. Skończył się podział części całkowitej, w prywatnych wstawiamy przecinek. Niszczymy 1. 1 nie jest podzielne przez 17, zapisujemy zero prywatnie. Niszczymy 5. 15 nie jest podzielne przez 17, prywatnie zapisujemy zero. Wyburz 4. Podziel 154 przez 17. Weź po 9. 17∙9=153. Odejmujemy 153 od 154. Reszta to 1. Obniżamy 7. Dzielimy 17 przez 17. Otrzymujemy 1. Dzielenie się skończyło: 0,1547:17 = 0,0091.

5) Ułamek dziesiętny można również uzyskać dzieląc dwie liczby naturalne.

Dzieląc 17 przez 4, bierzemy po 4. Dzielenie części całkowitej jest zakończone, w prywatnych stawiamy przecinek. 4∙4=16. Odejmujemy 16 od 17. Reszta to 1. Niszczymy zero. Podziel 10 przez 4. Weź po 2. 4∙2=8. Odejmujemy 8 od 10. Reszta to 2. Niszczymy zero. Dzielimy 20 przez 4. Pobieramy 5. Podział się skończył: 17: 4 \u003d 4,25.

I jeszcze kilka przykładów dzielenia ułamków dziesiętnych przez liczby naturalne:

Za pomocą tego programu matematycznego możesz podzielić wielomiany przez kolumnę.
Program do dzielenia wielomianu przez wielomian nie tylko daje odpowiedź na problem, ale daje szczegółowe rozwiązanie z objaśnieniami, tj. wyświetla proces rozwiązywania w celu sprawdzenia znajomości matematyki i/lub algebry.

Ten program może być przydatny dla uczniów szkół średnich w ramach przygotowań do testów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Exam, dla rodziców do kontrolowania rozwiązywania wielu problemów z matematyki i algebry. A może za drogo zatrudnisz korepetytora lub kupisz nowe podręczniki? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić pracę domową z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz również skorzystać z naszych programów ze szczegółowym rozwiązaniem.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci lub sióstr, jednocześnie podnosząc poziom edukacji w zakresie zadań do rozwiązania.

Jeśli potrzebujesz lub uprościć wielomian lub pomnóż wielomiany, to do tego mamy osobny program Uproszczenie (mnożenie) wielomianu

Stwierdzono, że niektóre skrypty potrzebne do rozwiązania tego zadania nie ładowały się, a program może nie działać.
Możesz mieć włączony AdBlock.
W takim przypadku wyłącz go i odśwież stronę.

Ponieważ Jest wiele osób, które chcą rozwiązać problem, Twoja prośba jest w kolejce.
Po kilku sekundach rozwiązanie pojawi się poniżej.
Poczekaj proszę sek...

Jeśli ty zauważyłem błąd w rozwiązaniu, możesz o tym napisać w Formularzu Informacji Zwrotnej .
Nie zapomnij wskaż, które zadanie Ty decydujesz co? wpisz w polach.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Podział wielomianu przez wielomian (dwumian) z kolumną (narożnik)

W algebrze podział wielomianów przez kolumnę (narożnik)- algorytm dzielenia wielomianu f(x) przez wielomian (dwumianowy) g(x), którego stopień jest mniejszy lub równy stopniowi wielomianu f(x).

Algorytm dzielenia wielomianu przez wielomian jest uogólnioną formą dzielenia liczb przez kolumnę, którą można łatwo zaimplementować ręcznie.

Dla dowolnych wielomianów \(f(x) \) i \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \) istnieją unikalne wielomiany \(q(x) \) i \(r( x ) \), taki, że
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
gdzie \(r(x) \) ma niższy stopień niż \(g(x) \).

Celem algorytmu dzielenia wielomianów na kolumnę (narożnik) jest znalezienie ilorazu \(q(x) \) i reszty \(r(x) \) dla danej dywidendy \(f(x) \) oraz niezerowy dzielnik \(g(x) \)

Przykład

Dzielimy jeden wielomian przez inny wielomian (dwumianowy) z kolumną (narożnikiem):
\(\duża \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Iloraz i resztę dzielenia tych wielomianów można znaleźć w następujących krokach:
1. Podziel pierwszy element dywidendy przez najwyższy element dzielnika, wynik umieść w wierszu \((x^3/x = x^2) \)

3. Odejmij od dzielnika wielomian otrzymany po mnożeniu, wynik zapisz pod wierszem \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

4. Powtarzamy poprzednie 3 kroki, używając wielomianu zapisanego pod linią jako dzielną.

5. Powtórz krok 4.

6. Koniec algorytmu.
Zatem wielomian \(q(x)=x^2-9x-27 \) jest częściowym dzieleniem wielomianów, a \(r(x)=-123 \) jest pozostałą częścią dzielenia wielomianów.

Wynik dzielenia wielomianów można zapisać jako dwie równości:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
lub
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

Dzielenie liczb wielocyfrowych najłatwiej wykonać w kolumnie. Podział kolumn jest również nazywany podział narożny.

Zanim zaczniemy przeprowadzać dzielenie według kolumny, rozważmy szczegółowo samą formę zapisu dzielenia według kolumny. Najpierw zapisujemy dywidendę i umieszczamy pionową kreskę po jej prawej stronie:

Za linią pionową, naprzeciwko dywidendy, piszemy dzielnik i rysujemy pod nim linię poziomą:

Pod linią poziomą iloraz wynikający z obliczeń będzie pisany etapami:

Pod dywidendą zostaną zapisane obliczenia pośrednie:

Pełna forma podziału przez kolumnę jest następująca:

Jak podzielić przez kolumnę

Powiedzmy, że musimy podzielić 780 przez 12, zapisać akcję w kolumnie i zacząć dzielić:

Podział według kolumny odbywa się etapami. Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, to zdefiniować niepełną dywidendę. Spójrz na pierwszą cyfrę dywidendy:

ta liczba to 7, ponieważ jest mniejsza od dzielnika, to nie możemy zacząć od niej dzielić, więc musimy wziąć jeszcze jedną cyfrę z dzielnej, liczba 78 jest większa od dzielnika, więc zaczynamy od niej dzielić:

W naszym przypadku liczba 78 będzie niekompletna podzielna, nazywana jest niepełną, ponieważ jest tylko częścią tego, co podzielne.

Po ustaleniu niepełnej dywidendy możemy dowiedzieć się, ile cyfr będzie w prywatnej, w tym celu musimy obliczyć, ile cyfr pozostało w dywidendzie po niepełnej dywidendzie, w naszym przypadku jest tylko jedna cyfra - 0, co oznacza, że ​​iloraz będzie składał się z 2 cyfr.

Po ustaleniu liczby cyfr, które powinny pojawić się w prywatnej, możesz wstawić kropki w jej miejsce. Jeśli pod koniec dzielenia liczba cyfr okazała się większa lub mniejsza niż wskazane punkty, to gdzieś popełniono błąd:

Zacznijmy dzielić. Musimy określić, ile razy 12 zawiera się w liczbie 78. Aby to zrobić, kolejno mnożymy dzielnik przez liczby naturalne 1, 2, 3, ... aż otrzymamy liczbę jak najbardziej zbliżoną do niezupełnej podzielności lub równy jej, ale nie przekraczający jej. W ten sposób otrzymujemy liczbę 6, zapisujemy ją jako dzielnik i odejmujemy 72 od 78 (zgodnie z zasadami odejmowania kolumnowego) (12 6 = 72). Po odjęciu 72 od 78 otrzymaliśmy resztę z 6:

Zwróć uwagę, że pozostała część podziału pokazuje nam, czy wybraliśmy właściwą liczbę. Jeśli reszta jest równa lub większa od dzielnika, to nie wybraliśmy prawidłowej liczby i musimy wziąć większą liczbę.

Do otrzymanej reszty - 6, burzymy kolejną cyfrę dywidendy - 0. W rezultacie otrzymaliśmy niepełną dywidendę - 60. Określamy ile razy 12 jest zawarte w liczbie 60. Otrzymujemy liczbę 5, piszemy to do ilorazu po liczbie 6 i odejmij 60 od 60 ( 12 5 = 60). Reszta to zero:

Ponieważ w dywidendzie nie ma już więcej cyfr, oznacza to, że 780 jest całkowicie podzielone przez 12. W wyniku dzielenia przez kolumnę uzyskaliśmy iloraz - jest on zapisany pod dzielnikiem:

Rozważ przykład, w którym w ilorazu otrzymuje się zera. Powiedzmy, że musimy podzielić 9027 przez 9.

Określamy niepełną dywidendę - to jest liczba 9. Zapisujemy ją do ilorazu 1 i odejmujemy 9 od 9. Reszta okazała się zerem. Zwykle, jeśli w obliczeniach pośrednich reszta wynosi zero, nie jest to zapisywane:

Niszczymy kolejną cyfrę dywidendy - 0. Przypominamy, że dzieląc zero przez dowolną liczbę, będzie zero. W obliczeniach pośrednich zapisujemy do zera prywatnego (0: 9 = 0) i odejmujemy 0 od 0. Zwykle, aby nie spiętrzać obliczeń pośrednich, obliczenie z zerem nie jest zapisywane:

Niszczymy kolejną cyfrę dywidendy - 2. W obliczeniach pośrednich okazało się, że niepełna dywidenda (2) jest mniejsza niż dzielnik (9). W tym przypadku do ilorazu wpisywane jest zero i usuwana jest następna cyfra dywidendy:

Określamy, ile razy 9 zawiera się w liczbie 27. Otrzymujemy liczbę 3, zapisujemy ją w ilorazu i odejmujemy 27 od 27. Reszta wynosi zero:

Ponieważ w dywidendzie nie ma już więcej cyfr, oznacza to, że liczba 9027 jest całkowicie podzielona przez 9:

Rozważ przykład, w którym dywidenda kończy się zerami. Powiedzmy, że musimy podzielić 3000 przez 6.

Określamy niepełną dywidendę - jest to liczba 30. Piszemy w ilorazu 5 i odejmujemy 30 od 30. Reszta to zero. Jak już wspomniano, w obliczeniach pośrednich nie trzeba wpisywać zera w pozostałej części:

Niszczymy kolejną cyfrę dywidendy - 0. Ponieważ przy dzieleniu zera przez dowolną liczbę będzie zero, zapisujemy to do zera prywatnego i odejmujemy 0 od 0 w obliczeniach pośrednich:

Niszczymy kolejną cyfrę dywidendy - 0. Do ilorazu dopisujemy jeszcze jedno zero i w obliczeniach pośrednich odejmujemy 0 od 0. na samym końcu obliczenia zwykle pisze się, że podział jest kompletny:

Ponieważ w dywidendzie nie ma już więcej cyfr, oznacza to, że 3000 jest dzielone przez 6 całkowicie:

Podział przez kolumnę z resztą

Powiedzmy, że musimy podzielić 1340 przez 23.

Ustalamy niepełną dywidendę - jest to liczba 134. Piszemy w ilorazu 5 i odejmujemy 115 od 134. Reszta okazała się być 19:

Obniżamy kolejną cyfrę dywidendy - 0. Ustalmy ile razy 23 jest zawarte w liczbie 190. Otrzymujemy liczbę 8, zapisujemy ją w iloraz i odejmujemy 184 od 190. Otrzymujemy resztę 6:

Ponieważ w dywidendzie nie ma już więcej cyfr, podział się skończył. Wynikiem jest niepełny iloraz 58, a reszta 6:

1340: 23 = 58 (pozostałe 6)

Pozostaje rozważyć przykład dzielenia przez resztę, gdy dywidenda jest mniejsza niż dzielnik. Załóżmy, że musimy podzielić 3 przez 10. Widzimy, że 10 nigdy nie jest zawarte w liczbie 3, więc zapisujemy to do ilorazu 0 i odejmujemy 0 od 3 (10 0 = 0). Rysujemy poziomą linię i zapisujemy resztę - 3:

3: 10 = 0 (pozostałe 3)

Kalkulator podziału kolumny

Ten kalkulator pomoże Ci dokonać dzielenia przez kolumnę. Wystarczy wpisać dywidendę i dzielnik i kliknąć przycisk Oblicz.

Dział liczby wielocyfrowe lub wielocyfrowe, które wygodnie jest przedstawić na piśmie w kolumnie. Zobaczmy, jak to zrobić. Zacznijmy od podzielenia liczby wielocyfrowej przez jednocyfrową i stopniowo zwiększajmy pojemność dywidendy.

Więc podzielmy się 354 na 2 . Najpierw umieśćmy te liczby, jak pokazano na rysunku:

Dywidendę umieszczamy po lewej stronie, dzielnik po prawej, a iloraz zapisujemy pod dzielnikiem.

Teraz zaczynamy dzielić dywidendę przez dzielnik krok po kroku od lewej do prawej. Znaleźliśmy pierwsza niepełna dywidenda, w tym celu bierzemy pierwszą cyfrę od lewej, w naszym przypadku 3 i porównujemy z dzielnikiem.

3 jeszcze 2 , znaczy 3 i jest niepełna dywidenda. Do ilorazu wstawiamy kropkę i określamy, ile jeszcze cyfr będzie w ilorazie - taka sama liczba, jaka pozostała w dywidencie po zaznaczeniu niepełnej dywidendy. W naszym przypadku w ilorazu jest tyle cyfr, co w dywidendzie, czyli setki będą najwyższą cyfrą:

W celu 3 dzielić przez 2 przywołujemy tabliczkę mnożenia przez 2 i znajdujemy liczbę po pomnożeniu przez 2 otrzymujemy największy iloczyn, który jest mniejszy niż 3.

2 × 1 = 2 (2< 3)

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2 mniejszy 3 , a 4 więcej, wtedy bierzemy pierwszy przykład i mnożnik 1 .

Zapisujemy 1 do ilorazu w miejsce pierwszego punktu (do cyfry setek), a znaleziony produkt jest zapisywany pod dywidendą:

Teraz znajdujemy różnicę między pierwszą niepełną dywidendą a iloczynem znalezionego ilorazu i dzielnika:

Otrzymana wartość jest porównywana z dzielnikiem. 15 jeszcze 2 , więc znaleźliśmy drugą niepełną dywidendę. Aby znaleźć wynik dzielenia 15 na 2 wróć do tabliczki mnożenia 2 i znajdź największy produkt, który jest mniejszy niż 15 :

2 × 7 = 14 (14< 15)

2 x 8 = 16 (16 > 15)

Pożądany mnożnik 7 , zapisujemy to w ilorazu w miejsce drugiego punktu (w dziesiątkach). Znajdujemy różnicę między drugą niepełną dywidendą a iloczynem znalezionej cyfry ilorazu i dzielnika:

Kontynuujemy podział, dla którego znajdujemy trzecia niepełna dywidenda. Obniżamy kolejną część dywidendy:

Dzielimy niepełną podzielną przez 2, wynikową wartość umieszczamy w kategorii jednostek prywatnych. Sprawdźmy poprawność podziału:

2x7 = 14

Piszemy wynik dzielenia trzeciej niepełnej podzielnej przez dzielnik na iloraz, znajdujemy różnicę:

Otrzymaliśmy różnicę równą zero, co oznacza, że ​​dokonano podziału Prawidłowy.

Skomplikujmy zadanie i podajmy inny przykład:

1020 ÷ 5

Zapiszmy nasz przykład w kolumnie i zdefiniujmy pierwszy niepełny iloraz:

Tysiące miejsce dywidendy to 1 porównaj z dzielnikiem:

1 < 5

Dodajemy setki miejsca do niepełnej dywidendy i porównujemy:

10 > 5 Znaleźliśmy niepełną dywidendę.

Dzielić 10 na 5 , dostajemy 2 , wpisz wynik w iloraz. Różnica między niepełną dywidendą a wynikiem mnożenia dzielnika i znalezionej cyfry ilorazu.

10 – 10 = 0

0 nie piszemy, pomijamy kolejną cyfrę dywidendy - cyfrę dziesiątek:

Porównaj drugą niepełną dywidendę z dzielnikiem.

2 < 5

Powinniśmy dodać jeszcze jedną cyfrę do niezupełnej podzielnej, w tym celu wstawiamy ją do ilorazu, na cyfrę dziesiątek 0 :

20 ÷ 5 = 4

Piszemy odpowiedź w kategorii ilorazów i sprawdzamy: wpisujemy iloczyn pod drugą niepełną dywidendę i obliczamy różnicę. dostajemy 0 , znaczy przykład rozwiązany poprawnie.

I jeszcze 2 zasady dzielenia na kolumnę:

1. Jeśli w dzielnej są zera i dzielnik w cyfrach niższych, to można je zmniejszyć przed dzieleniem, na przykład:

Ile zer usuwamy w najmniej znaczącej cyfrze dywidendy, tyle samo zer usuwamy w najmniej znaczących cyfrach dzielnika.

2. Jeżeli po podziale w dywidendzie pozostają zera, to należy je przenieść do ilorazu:

Sformułujmy więc sekwencję działań podczas dzielenia na kolumnę.

1. Dywidendę umieszczamy po lewej stronie, dzielnik po prawej. Pamiętaj, że dzielimy dywidendę bit po bit, wybierając niepełne dywidendy i dzieląc je sekwencyjnie przez dzielnik. Cyfry niepełnej dywidendy są przydzielane od lewej do prawej od seniora do juniora.
2. Jeśli w dzielnej i dzielniku w niższych cyfrach znajdują się zera, można je zmniejszyć przed podziałem.
3. Określ pierwszy niepełny dzielnik:

a) alokujemy najbardziej znaczącą część dywidendy do niepełnego dzielnika;

b) porównujemy niepełną dywidendę z dzielnikiem, jeśli dzielnik jest większy, to przechodzimy do punktu (w), jeśli mniej, to znaleźliśmy niepełną dywidendę i możemy przejść do rzeczy 4 ;

w) dodaj kolejny bit do niepełnej dywidendy i przejdź do rzeczy (b).

1. Określamy, ile cyfr będzie w ilorazie i wstawiamy w miejsce ilorazu (pod dzielnikiem) tyle punktów, ile będzie w nim cyfr. Jeden punkt (jedna cyfra) za całą pierwszą niepełną dywidendę, a pozostałe punkty (cyfry) tyle, ile cyfr pozostało w dywidendzie po wyborze niepełnej dywidendy.
2. Dzielimy niepełną dywidendę przez dzielnik, w tym celu znajdujemy liczbę, po pomnożeniu przez dzielnik otrzymamy liczbę, która jest albo równa niepełnej dywidendy, albo od niej mniejsza.
3. Znalezioną liczbę wpisujemy w miejsce kolejnej cyfry ilorazu (punktów), a wynik mnożenia przez dzielnik pod niepełną dzielną zapisujemy i znajdujemy ich różnicę.
4. Jeśli znaleziona różnica jest mniejsza lub równa niepełnej dywidendy, wówczas prawidłowo podzieliliśmy niepełną dywidendę przez dzielnik.
5. Jeśli w dywidendzie zostały jeszcze cyfry, to kontynuujemy dzielenie, w przeciwnym razie przechodzimy do sedna 10 .
6. Obniżamy kolejną cyfrę dywidendy do różnicy i otrzymujemy kolejną niepełną dywidendę:

a) porównaj niepełną dzielną z dzielnikiem, jeśli dzielnik jest większy, to przejdź do kroku (b), jeśli mniejszy, to znaleźliśmy niepełną dzielną i możemy przejść do kroku 4;

b) do niepełnej dywidendy dodajemy kolejny bit dywidendy, wpisując 0 w ilorazie w miejsce następnego bitu (punktu);

c) przejść do punktu (a).

10. Jeśli wykonaliśmy dzielenie bez reszty, a ostatnią znalezioną różnicą jest 0 , wtedy my zrób podział poprawnie.

Rozmawialiśmy o dzieleniu liczby wielocyfrowej przez liczbę jednocyfrową. W przypadku, gdy dzielnik jest większy, podział wykonuje się w ten sam sposób: