Как решить неравенство квадратным корнем. Как решать линейные неравенства

10.10.2019

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Что нужно знать о значках неравенств? Неравенства со значком больше (> ), или меньше (< ) называются строгими. Со значками больше или равно (≥ ), меньше или равно (≤ ) называются нестрогими. Значок не равно (≠ ) стоит особняком, но решать примеры с таким значком тоже приходится постоянно. И мы порешаем.)

Сам значок не оказывает особого влияния на процесс решения. А вот в конце решения, при выборе окончательного ответа, смысл значка проявляется в полную силу! Что мы и увидим ниже, на примерах. Есть там свои приколы...

Неравенства, как и равенства, бывают верные и неверные. Здесь всё просто, без фокусов. Скажем, 5 > 2 - верное неравенство. 5 < 2 - неверное.

Такая подготовка работает для неравенств любого вида и проста до ужаса.) Нужно, всего лишь, правильно выполнять два (всего два!) элементарных действия. Эти действия знакомы всем. Но, что характерно, косяки в этих действиях - и есть основная ошибка в решении неравенств, да... Стало быть, надо повторить эти действия. Называются эти действия вот как:

Тождественные преобразования неравенств.

Тождественные преобразования неравенств очень похожи на тождественные преобразования уравнений. Собственно, в этом и есть основная проблема. Отличия проскакивают мимо головы и... приехали.) Поэтому я особо выделю эти отличия. Итак, первое тождественное преобразование неравенств:

1. К обеим частям неравенства можно прибавить (отнять) одно и то же число, или выражение. Любое. Знак неравенства от этого не изменится.

На практике это правило применяется как перенос членов из левой части неравенства в правую (и наоборот) со сменой знака. Со сменой знака члена, а не неравенства! Правило один в один совпадает с правилом для уравнений. А вот следующие тождественные преобразования в неравенствах существенно отличается от таковых в уравнениях. Поэтому я выделяю их красным цветом:

2. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же положительное число. На любое положительное не изменится.

3. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число. На любое отрицательное число. Знак неравенства от этого изменится на противоположный.

Вы помните (надеюсь...), что уравнение можно умножать/делить на что попало. И на любое число, и на выражение с иксом. Лишь бы не на ноль. Ему, уравнению, от этого ни жарко, ни холодно.) Не меняется оно. А вот неравенства более чувствительны к умножению/делению.

Наглядный пример на долгую память. Напишем неравенство, не вызывающее сомнений:

5 > 2

Умножим обе части на +3, получим:

15 > 6

Возражения есть? Возражений нет.) А если умножим обе части исходного неравенства на -3, получим:

15 > -6

А это уже откровенная ложь.) Полное враньё! Обман народа! Но стоит изменить знак неравенства на противоположный, как всё становится на свои места:

15 < -6

Про враньё и обман - это я не просто так ругаюсь.) "Забыл сменить знак неравенства..." - это главная ошибка в решении неравенств. Это пустяковое и несложное правило стольких людей ушибло! Которые забыли...) Вот и ругаюсь. Может, запомнится...)

Особо внимательные заметят, что неравенство нельзя умножать на выражение с иксом. Респект внимательным!) А почему нельзя? Ответ простой. Мы же не знаем знак этого выражения с иксом. Оно может быть положительное, отрицательное... Стало быть, мы не знаем, какой знак неравенства ставить после умножения. Менять его, или нет? Неизвестно. Разумеется, это ограничение (запрет умножения/деления неравенства на выражение с иксом) можно обойти. Если очень надо будет. Но это тема для других уроков.

Вот и все тождественные преобразования неравенств. Ещё раз напомню, что они работают для любых неравенств. А теперь можно переходить к конкретным видам.

Линейные неравенства. Решение, примеры.

Линейными неравенствами называются неравенства, в которых икс находится в первой степени и нет деления на икс. Типа:

х+3 > 5х-5

Как решаются такие неравенства? Они решаются очень просто! А именно: с помощью сводим самое замороченное линейное неравенство прямо к ответу. Вот и всё решение. Главные моменты решения я буду выделять. Во избежание дурацких ошибок.)

Решаем это неравенство:

х+3 > 5х-5

Решаем точно так же, как и линейное уравнение. С единственным отличием:

Внимательно следим за знаком неравенства!

Первый шаг самый обычный. С иксами - влево, без иксов - вправо... Это первое тождественное преобразование, простое и безотказное.) Только знаки у переносимых членов не забываем менять.

Знак неравенства сохраняется:

х-5х > -5-3

Приводим подобные.

Знак неравенства сохраняется:

4х > -8

Осталось применить последнее тождественное преобразование: разделить обе части на -4.

Делим на отрицательное число.

Знак неравенства изменится на противоположный:

х < 2

Это ответ.

Так решаются все линейные неравенства.

Внимание! Точка 2 рисуется белой, т.е. незакрашенной. Пустой внутри. Это означает, что она в ответ не входит! Я её специально такой здоровой нарисовал. Такая точка (пустая, а не здоровая!)) в математике называется выколотой точкой.

Остальные числа на оси отмечать можно, но не нужно. Посторонние числа, не относящиеся к нашему неравенству, могут и запутать, да... Нужно только помнить, что увеличение чисел идёт по стрелке, т.е. числа 3, 4, 5, и т.д. находятся правее двойки, а числа 1, 0, -1 и т.д. - левее.

Неравенство х < 2 - строгое. Икс строго меньше двух. Если возникают сомнения, проверка простая. Подставляем сомнительное число в неравенство и размышляем: "Два меньше двух? Нет, конечно!" Именно так. Неравенство 2 < 2 неверное. Не годится двойка в ответ.

А единичка годится? Конечно. Меньше же... И ноль годится, и -17, и 0,34... Да все числа, которые меньше двух - годятся! И даже 1,9999.... Хоть чуть чуть, да меньше!

Вот и отметим все эти числа на числовой оси. Как? Тут бывают варианты. Вариант первый - штриховка. Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и видим, что заштрихована область всех иксов, подходящих под условие х < 2 . Вот и всё.

Второй вариант рассмотрим на втором примере:

х ≥ -0,5

Рисуем ось, отмечаем число -0,5. Вот так:

Заметили разницу?) Ну да, трудно не заметить... Эта точка - чёрная! Закрашенная. Это означает, что -0,5 входит в ответ. Здесь, кстати, проверка и смутить может кого-нибудь. Подставляем:

-0,5 ≥ -0,5

Как так? -0,5 никак не больше -0,5! А значок больше имеется...

Ничего страшного. В нестрогом неравенстве годится всё, что подходит под значок. И равно годится, и больше годится. Следовательно, -0,5 в ответ включается.

Итак, -0,5 мы отметили на оси, осталось ещё отметить все числа, которые больше -0,5. На этот раз я отмечаю область подходящих значений икса дужкой (от слова дуга ), а не штриховкой. Наводим курсор на рисунок и видим эту дужку.

Особой разницы между штриховкой и дужками нет. Делайте, как учитель сказал. Если учителя нет - рисуйте дужки. В более сложных заданиях штриховка менее наглядна. Запутаться можно.

Вот так рисуются линейные неравенства на оси. Переходим к следующей особенности неравенств.

Запись ответа для неравенств.

В уравнениях было хорошо.) Нашли икс, да и записали ответ, например: х=3. В неравенствах существуют две формы записи ответов. Одна - в виде окончательного неравенства. Хороша для простых случаев. Например:

х < 2.

Это полноценный ответ.

Иногда требуется записать то же самое, но в другой форме, через числовые промежутки. Тогда запись начинает выглядеть очень научно):

х ∈ (-∞; 2)

Под значком ∈ скрывается слово "принадлежит".

Читается запись так: икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до двух не включая . Вполне логично. Икс может быть любым числом из всех возможных чисел от минус бесконечности до двух. Двойкой икс быть не может, о чём нам и говорит слово "не включая".

А где это в ответе видно, что "не включая" ? Этот факт отмечается в ответе круглой скобкой сразу после двойки. Если бы двойка включалась, скобка была бы квадратной. Вот такой: ]. В следующем примере такая скобка используется.

Запишем ответ: х ≥ -0,5 через промежутки:

х ∈ [-0,5; +∞)

Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая, до плюс бесконечности.

Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.

Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но - именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

можно познакомиться с функциями и производными.

Не все знают, как решать неравенства, которые по своей структуре имеют сходные и отличительные черты с уравнениями. Уравнение – упражнение, состоящее их двух частей, между которыми стоит знак равенства, а между частями неравенства может стоять знак «больше» или «меньше». Таким образом, прежде чем найти решение конкретного неравенства, мы должны понимать, что стоит учитывать знак числа (положительное или отрицательное), если возникает необходимость умножения обеих частей на какое-либо выражение. Этот же факт следует учитывать, если требуется для решения неравенства возводить в квадрат, поскольку возведение в квадрат проводится путем умножения.

Как решать систему неравенств

Намного сложнее решать системы неравенств, чем обычные неравенства. Как решать неравенства 9 класс, рассмотрим на конкретных примерах. Следует понимать, что перед тем, как решать квадратные неравенства (системы) или любые иные системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, после чего сопоставить их. Решением системы неравенства будет либо положительный, либо отрицательный ответ (имеет система решение или не имеет решения).

Задача - решить совокупность неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности

Строим числовую прямую, на которой изображаем множество решений

Так как совокупность - это объединение множеств решений, то это множество на числовой прямой должно быть подчеркнуто минимум одной линией.

Решение неравенств с модулем

Данный пример покажет, как решать неравенства с модулем. Итак, у нас имеется определение:

Нам необходимо решить неравенство:

Прежде чем решить такое неравенство, необходимо избавиться от модуля (знака)

Запишем, основываясь данными определения:

Теперь следует решать каждую из систем по отдельности.

Построим одну числовую прямую, на которой изобразим множества решений.

В результате у нас получилась совокупность, объединяющая множество решений.

Решение квадратичных неравенств

Используя числовую прямую рассмотрим на примере решение квадратичных неравенств. У нас есть неравенство:

Нам известно, что графиком квадратного трехчлена является парабола. Так же нам известно, что ветви параболы направленные вверх, если а>0.

x 2 -3x-4 < 0

Пользуясь теоремой Виета находим корни х 1 = - 1; х 2 = 4

Изобразим параболу, вернее, ее эскиз.

Таким образом, мы выяснили, что значения квадратного трехчлена будут меньше 0 на отрезке от – 1 до 4.

У многих возникают вопросы при решении двойных неравенств типа g(x) < f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

На самом деле, методов решения неравенств несколько, поэтому вы можете использовать для решения сложных неравенств графический способ.

Решение дробных неравенств

Более тщательного подхода требуют к себе дробные неравенства. Это обусловлено тем, что в процессе решения некоторых дробных неравенств может измениться знак. Перед тем, как решать дробные неравенства, необходимо знать, что для их решения используется метод интервалов. Дробное неравенство необходимо представить таким образом, чтобы одна сторона от знака выглядела, как дробно-рациональное выражение, а вторая – «- 0». Преобразуя неравенство таким образом, мы получим в результате f(x)/g(x) > (.

Решение неравенств методом интервалов

Методика интервалов основана на методе полной индукции, то есть, необходимо для нахождения решения неравенства перебрать все возможные варианты. Данный метод решения, возможно, и не потребуется ученикам 8-х классов, поскольку они должны знать, как решать неравенства 8 класс, которые представляют собой простейшие упражнения. А вот для более старших классов этот метод незаменим, так как помогает решить дробные неравенства. Решение неравенств с помощью данной методики основано и на таком свойстве непрерывной функции, как сохранение знака между значениями, в которых она обращается в 0.

Построим график многочлена. Это непрерывная функция, приобретающая значение 0 3 раза, то есть, f(x) будет равен 0 в точках x 1 , x 2 и x 3 , корнях многочлена. В промежутках между этими точками, знак функции сохраняется.

Так как для решения неравенства f(x)>0 нам необходим знак функции, переходим к координатной прямой, оставив график.

f(x)>0 при x(x 1 ; x 2) и при x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) и при х (x 2 ; x 3)

На графике наглядно показаны решения неравенств f(x)f(x)>0 (синим цветом решение для первого неравенства, а красным – для второго). Чтобы определить Для определения знак функции на интервале, достаточно того, чтобы вам был известен знак функции в одной из точек. Данная методика позволяет быстро решать неравенства, в которых левая часть разложена на множители, потому что в таких неравенствах достаточно просто найти корни.

Многие считают, что показательные неравенства — это что-то такое сложное и непостижимое. И что научиться их решать — чуть ли не великое искусство, постичь которое способны лишь Избранные...

Полная брехня! Показательные неравенства — это просто. И решаются они всегда просто. Ну, почти всегда.:)

Сегодня мы разберём эту тему вдоль и поперёк. Этот урок будет очень полезен тем, кто только начинает разбираться в данном разделе школьной математики. Начнём с простых задач и будем двигаться к более сложным вопросам. Никакой жести сегодня не будет, но того, что вы сейчас прочитаете, будет достаточно, чтобы решить большинство неравенств на всяких контрольных и самостоятельных работах. И на этом вашем ЕГЭ тоже.

Как всегда, начнём с определения. Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию. Другими словами, его всегда можно свести к неравенству вида

\[{{a}^{x}} \gt b\]

Где в роли $b$ может быть обычное число, а может быть и что-нибудь пожёстче. Примеры? Да пожалуйста:

\[\begin{align} & {{2}^{x}} \gt 4;\quad {{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt{2}};\quad {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01;\quad {{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}. \\\end{align}\]

Думаю, смысл понятен: есть показательная функция ${{a}^{x}}$, её с чем-то сравнивают, а затем просят найти $x$. В особо клинических случаях вместо переменной $x$ могут засунуть какую-нибудь функцию $f\left(x \right)$ и тем самым чуть-чуть усложнить неравенство.:)

Конечно, в некоторых случаях неравенство может выглядеть более сурово. Вот, например:

\[{{9}^{x}}+8 \gt {{3}^{x+2}}\]

Или даже вот:

В целом, сложность таких неравенств может быть самой разной, но в итоге они всё равно сводятся к простой конструкции ${{a}^{x}} \gt b$. А уж с такой конструкцией мы как-нибудь разберёмся (в особо клинических случаях, когда ничего не приходит в голову, нам помогут логарифмы). Поэтому сейчас мы научимя решать такие простые конструкции.

Решение простейших показательных неравенств

Рассмотрим что-нибудь совсем простое. Например, вот это:

\[{{2}^{x}} \gt 4\]

Очевидно, что число справа можно переписать в виде степени двойки: $4={{2}^{2}}$. Таким образом, исходное неравенство перепишется в очень удобной форме:

\[{{2}^{x}} \gt {{2}^{2}}\]

И вот уже руки чешутся «зачеркнуть» двойки, стоящие в основаниях степеней, дабы получить ответ $x \gt 2$. Но перед тем как что там зачёркивать, давайте вспомним степени двойки:

\[{{2}^{1}}=2;\quad {{2}^{2}}=4;\quad {{2}^{3}}=8;\quad {{2}^{4}}=16;...\]

Как видим, чем большее число стоит в показателе степени, тем больше получается число на выходе. «Спасибо, кэп!» — воскликнет кто-нибудь из учеников. Разве бывает по-другому? К сожалению, бывает. Например:

\[{{\left(\frac{1}{2} \right)}^{1}}=\frac{1}{2};\quad {{\left(\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4};\quad {{\left(\frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8};...\]

Тут тоже всё логично: чем больше степень, тем больше раз число 0,5 умножается само на себя (т.е. делится пополам). Таким образом, полученная последовательность чисел убывает, а разница между первой и второй последовательностью состоит лишь в основании:

Если основание степени $a \gt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ тоже будет расти;
И наоборот, если $0 \lt a \lt 1$, то по мере роста показателя $n$ число ${{a}^{n}}$ будет убывать.

Суммируя эти факты, мы получаем самое главное утверждение, на котором и основано всё решение показательных неравенств:

Если $a \gt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x \gt n$. Если $0 \lt a \lt 1$, то неравенство ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $x \lt n$.

Другими словами, если основание больше единицы, его можно просто убрать — знак неравенства при этом не поменяется. А если основание меньше единицы, то его тоже можно убрать, но при этом придётся поменять и знак неравенства.

Обратите внимание: мы не рассмотрели варианты $a=1$ и $a\le 0$. Потому что в этих случаях возникает неопределённость. Допустим, как решить неравенство вида ${{1}^{x}} \gt 3$? Единица в любой степени снова даст единицу — мы никогда не получим тройку или больше. Т.е. решений нет.

С отрицательными основаниями всё ещё интереснее. Рассмотрим для примера вот такое неравенство:

\[{{\left(-2 \right)}^{x}} \gt 4\]

На первый взгляд, всё просто:

Правильно? А вот и нет! Достаточно подставить вместо $x$ парочку чётных и парочку нечётных чисел, чтобы убедиться что решение неверно. Взгляните:

\[\begin{align} & x=4\Rightarrow {{\left(-2 \right)}^{4}}=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow {{\left(-2 \right)}^{5}}=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow {{\left(-2 \right)}^{6}}=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow {{\left(-2 \right)}^{7}}=-128 \lt 4. \\\end{align}\]

Как видите, знаки чередуются. А ведь есть ещё дробные степени и прочая жесть. Как, например, прикажете считать ${{\left(-2 \right)}^{\sqrt{7}}}$ (минус двойка в степени корень из семи)? Да никак!

Поэтому для определённости полагают, что во всех показательных неравенствах (и уравнениях, кстати, тоже) $1\ne a \gt 0$. И тогда всё решается очень просто:

\[{{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}\Rightarrow \left[ \begin{align} & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end{align} \right.\]

В общем, ещё раз запомните главное правило: если основание в показательном уравнении больше единицы, его можно просто убрать; а если основание меньше единицы, его тоже можно убрать, но при этом поменяется знак неравенства.

Примеры решения

Итак, рассмотрим несколько простых показательных неравенств:

\[\begin{align} & {{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt{2}}; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01; \\ & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16; \\ & {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}. \\\end{align}\]

Первостепенная задача во всех случаях одна и та же: свести неравенств к простейшему виду ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$. Именно это мы сейчас и сделаем с каждым неравенством, а заодно повторим свойства степеней и показательной функции. Итак, поехали!

\[{{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Что здесь можно сделать? Ну, слева у нас и так стоит показательное выражение — ничего менять не надо. А вот справа стоит какая-то хрень: дробь, да ещё и в знаменателе корень!

Однако вспомним правила работы с дробями и степенями:

\[\begin{align} & \frac{1}{{{a}^{n}}}={{a}^{-n}}; \\ & \sqrt[k]{a}={{a}^{\frac{1}{k}}}. \\\end{align}\]

Что это значит? Во-первых, мы легко можем избавиться от дроби, превратив её в степень с отрицательным показателем. А во-вторых, поскольку в знаменателе стоит корень, было бы неплохо превратить и его в степень — на этот раз с дробным показателем.

Применим эти действия последовательно к правой части неравенства и посмотрим, что получится:

\[\frac{1}{\sqrt{2}}={{\left(\sqrt{2} \right)}^{-1}}={{\left({{2}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{-1}}={{2}^{\frac{1}{3}\cdot \left(-1 \right)}}={{2}^{-\frac{1}{3}}}\]

Не забываем, что при возведении степени в степень показатели этих степеней складываются. И вообще, при работе с показательными уравнениями и неравенствами совершенно необходимо знать хотя бы простейшие правила работы со степенями:

\[\begin{align} & {{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}; \\ & \frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}}={{a}^{x-y}}; \\ & {{\left({{a}^{x}} \right)}^{y}}={{a}^{x\cdot y}}. \\\end{align}\]

Собственно, последнее правило мы только что и применили. Поэтому наше исходное неравенство перепишется следующим образом:

\[{{2}^{x-1}}\le \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{2}^{x-1}}\le {{2}^{-\frac{1}{3}}}\]

Теперь избавляемся от двойки в основании. Поскольку 2 > 1, знак неравенства останется прежним:

\[\begin{align} & x-1\le -\frac{1}{3}\Rightarrow x\le 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}; \\ & x\in \left(-\infty ;\frac{2}{3} \right]. \\\end{align}\]

Вот и всё решение! Основная сложность — вовсе не в показательной функции, а в грамотном преобразовании исходного выражения: нужно аккуратно и максимально быстро привести его к простейшему виду.

Рассмотрим второе неравенство:

\[{{0,1}^{1-x}} \lt 0,01\]

Так, так. Тут нас поджидают десятичные дроби. Как я уже много раз говорил, в любых выражениях со степенями следует избавляться от десятичных дробей — зачастую только так можно увидеть быстрое и простое решение. Вот и мы избавимся:

\[\begin{align} & 0,1=\frac{1}{10};\quad 0,01=\frac{1}{100}={{\left(\frac{1}{10} \right)}^{2}}; \\ & {{0,1}^{1-x}} \lt 0,01\Rightarrow {{\left(\frac{1}{10} \right)}^{1-x}} \lt {{\left(\frac{1}{10} \right)}^{2}}. \\\end{align}\]

Перед нами вновь простейшее неравенство, да ещё и с основанием 1/10, т.е. меньшим единицы. Что ж, убираем основания, попутно меняя знак с «меньше» на «больше», и получаем:

\[\begin{align} & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end{align}\]

Получили окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Обратите внимание: ответом является именно множество, а ни в коем случае не конструкция вида $x \lt -1$. Потому что формально такая конструкция — это вовсе не множество, а неравенство относительно переменной $x$. Да, оно очень простое, но это не ответ!

Важное замечание . Данное неравенство можно было решить и по-другому — путём приведения обеих частей к степени с основанием, большим единицы. Взгляните:

\[\frac{1}{10}={{10}^{-1}}\Rightarrow {{\left({{10}^{-1}} \right)}^{1-x}} \lt {{\left({{10}^{-1}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{10}^{-1\cdot \left(1-x \right)}} \lt {{10}^{-1\cdot 2}}\]

После такого преобразования мы вновь получим показательное неравенство, но с основанием 10 > 1. А это значит, что можно просто зачеркнуть десятку — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end{align}\]

Как видите, ответ получился точь-в-точь такой же. При этом мы избавили себя от необходимости менять знак и вообще помнить какие-то там правила.:)

\[{{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt 16\]

Однако пусть вас это не пугает. Чтобы ни находилось в показателях, технология решения самого неравенства остаётся прежней. Поэтому заметим для начала, что 16 = 2 4 . Перепишем исходное неравенство с учётом этого факта:

\[\begin{align} & {{2}^{{{x}^{2}}-7x+14}} \lt {{2}^{4}}; \\ & {{x}^{2}}-7x+14 \lt 4; \\ & {{x}^{2}}-7x+10 \lt 0. \\\end{align}\]

Ура! Мы получили обычное квадратное неравенство! Знак нигде не менялся, поскольку в основании стоит двойка — число, большее единицы.

Нули функции на числовой прямой

Расставляем знаки функции $f\left(x \right)={{x}^{2}}-7x+10$ — очевидно, её графиком будет парабола ветвями вверх, поэтому по бокам будут «плюсы». Нас интересует та область, где функция меньше нуля, т.е. $x\in \left(2;5 \right)$ — это и есть ответ к исходной задаче.

Наконец, рассмотрим ещё одно неравенство:

\[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}\]

Опять видим показательную функцию с десятичной дробью в основании. Переводим эту дробь в обыкновенную:

\[\begin{align} & 0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}={{5}^{-1}}\Rightarrow \\ & \Rightarrow {{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}={{\left({{5}^{-1}} \right)}^{1+{{x}^{2}}}}={{5}^{-1\cdot \left(1+{{x}^{2}} \right)}}\end{align}\]

В данном случае мы воспользовались приведённым ранее замечанием — свели основание к числу 5 > 1, чтобы упростить себе дальнейшее решение. Точно так же поступим и с правой частью:

\[\frac{1}{25}={{\left(\frac{1}{5} \right)}^{2}}={{\left({{5}^{-1}} \right)}^{2}}={{5}^{-1\cdot 2}}={{5}^{-2}}\]

Перепишем исходное неравенство с учётом обоих преобразований:

\[{{0,2}^{1+{{x}^{2}}}}\ge \frac{1}{25}\Rightarrow {{5}^{-1\cdot \left(1+{{x}^{2}} \right)}}\ge {{5}^{-2}}\]

Основания с обеих сторон одинаковы и превосходят единицу. Никаких других слагаемых справа и слева нет, поэтому просто «зачёркиваем» пятёрки и получаем совсем простое выражение:

\[\begin{align} & -1\cdot \left(1+{{x}^{2}} \right)\ge -2; \\ & -1-{{x}^{2}}\ge -2; \\ & -{{x}^{2}}\ge -2+1; \\ & -{{x}^{2}}\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}\le 1. \\\end{align}\]

Вот тут надо быть аккуратнее. Многие ученики любят просто извлечь квадратный корень их обеих частей неравенства и записать что-нибудь в духе $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Делать этого ни в коем случае нельзя, поскольку корень из точного квадрата — это модуль, а ни в коем случае не исходная переменная:

\[\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\]

Однако работать с модулями — не самое приятное занятие, правда? Вот и мы не будем работать. А вместо этого просто перенесём все слагаемые влево и решим обычное неравенство методом интервалов:

$\begin{align} & {{x}^{2}}-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & {{x}_{1}}=1;\quad {{x}_{2}}=-1; \\\end{align}$

Вновь отмечаем полученные точки на числовой прямой и смотрим знаки:

Обратите внимание: точки закрашены

Поскольку мы решали нестрогое неравенство, все точки на графике закрашены. Поэтому ответ будет такой: $x\in \left[ -1;1 \right]$ — не интервал, а именно отрезок.

В целом хотел бы заметить, что ничего сложного в показательных неравенствах нет. Смысл всех преобразований, которые мы сегодня выполняли, сводится к простому алгоритму:

Найти основание, к которому будем приводить все степени;
Аккуратно выполнить преобразования, чтобы получилось неравенство вида ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$. Разумеется вместо переменных $x$ и $n$ могут стоять гораздо более сложные функции, но смысл от этого не поменяется;
Зачеркнуть основания степеней. При этом может поменяться знак неравенства, если основание $a \lt 1$.

По сути, это универсальный алгоритм решения всех таких неравенств. А всё, что вам ещё будут рассказывать по этой теме — лишь конкретные приёмы и хитрости, позволяющие упростить и ускорить преобразования. Вот об одном из таких приёмов мы сейчас и поговорим.:)

Метод рационализации

Рассмотрим ещё одну партию неравенств:

\[\begin{align} & {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{x+7}} \gt {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}}; \\ & {{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1; \\ & {{\left(\frac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left(\frac{1}{9} \right)}^{16-x}}; \\ & {{\left(3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt 1. \\\end{align}\]

Ну и что в них такого особенного? Они же лёгкие. Хотя, стоп! Число π возводится в какую-то степень? Что за бред?

А как возвести в степень число $2\sqrt{3}-3$? Или $3-2\sqrt{2}$? Составители задач, очевидно, перепили «Боярышника» перед тем, как сесть за работу.:)

На самом деле ничего страшного в этих задачах нет. Напомню: показательной функцией называется выражение вида ${{a}^{x}}$, где основание $a$ — это любое положительное число, за исключением единицы. Число π положительно — это мы и так знаем. Числа $2\sqrt{3}-3$ и $3-2\sqrt{2}$ тоже положительны — в этом легко убедиться, если сравнить их с нулём.

Получается, что все эти «устрашающие» неравенства ничем не отличаются решаются от простых, рассмотренных выше? И решаются точно так же? Да, совершенно верно. Однако на их примере я хотел бы рассмотреть один приём, который здорово экономит время на самостоятельных работах и экзаменах. Речь пойдёт о методе рационализации. Итак, внимание:

Всякое показательное неравенство вида ${{a}^{x}} \gt {{a}^{n}}$ равносильно неравенству $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \right) \gt 0$.

Вот и весь метод.:) А вы думали, что будет какая-нибудь очередная дичь? Ничего подобного! Но этот простой факт, записанный буквально в одну строчку, значительно упростит нам работу. Взгляните:

\[\begin{matrix} {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{x+7}} \gt {{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{{{x}^{2}}-3x+2}} \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left({{x}^{2}}-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right) \gt 0 \\\end{matrix}\]

Вот и нет больше показательных функций! И не надо помнить: меняется знак или нет. Но возникает новая проблема: что делать с грёбаным множителем \[\left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right)\]? Мы ведь не знаем, чему равно точное значение числа π. Впрочем, капитан очевидность как бы намекает:

\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \gt 3-1=2\]

В общем, точное значение π нас особо-то и не колышет — нам лишь важно понимать, что в любом случае $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \gt 2$, т.е. это положительная константа, и мы можем разделить на неё обе части неравенства:

\[\begin{align} & \left(x+7-\left({{x}^{2}}-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left({{x}^{2}}-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-{{x}^{2}}+3x-2 \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Как видите, в определённый момент пришлось разделить на минус единицу — при этом знак неравенства поменялся. В конце я разложил квадратный трёхчлен по теореме Виета — очевидно, что корни равны ${{x}_{1}}=5$ и ${{x}_{2}}=-1$. Дальше всё решается классическим методом интервалов:

Решаем неравенство методом интервалов

Все точки выколоты, поскольку исходное неравенство строгое. Нас интересует область с отрицательными значениями, поэтому ответ: $x\in \left(-1;5 \right)$. Вот и всё решение.:)

Перейдём к следующей задаче:

\[{{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1\]

Тут вообще всё просто, потому что справа стоит единица. А мы помним, что единица — это любое число в нулевой степени. Даже если этим числом является иррациональное выражение, стоящее в основании слева:

\[\begin{align} & {{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt 1={{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{0}}; \\ & {{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{{{x}^{2}}-2x}} \lt {{\left(2\sqrt{3}-3 \right)}^{0}}; \\\end{align}\]

Что ж, выполняем рационализацию:

\[\begin{align} & \left({{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt{3}-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left({{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt{3}-4 \right) \lt 0; \\ & \left({{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt{3}-2 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Осталось лишь разобраться со знаками. Множитель $2\left(\sqrt{3}-2 \right)$ не содержит переменной $x$ — это просто константа, и нам необходимо выяснить её знак. Для этого заметим следующее:

\[\begin{matrix} \sqrt{3} \lt \sqrt{4}=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt{3}-2 \right) \lt 2\cdot \left(2-2 \right)=0 \\\end{matrix}\]

Получается, что второй множитель — не просто константа, а отрицательная константа! И при делении на неё знак исходного неравенства поменяется на противоположный:

\[\begin{align} & \left({{x}^{2}}-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt{3}-2 \right) \lt 0; \\ & {{x}^{2}}-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end{align}\]

Теперь всё становится совсем очевидно. Корни квадратного трёхчлена, стоящего справа: ${{x}_{1}}=0$ и ${{x}_{2}}=2$. Отмечаем их на числовой прямой и смотрим знаки функции $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Случай, когда нас интересуют боковые интервалы

Нас интересуют интервалы, отмеченные знаком «плюс». Осталось лишь записать ответ:

Переходим к следующему примеру:

\[{{\left(\frac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left(\frac{1}{9} \right)}^{16-x}}\]

Ну, тут совсем всё очевидно: в основаниях стоят степени одного и того же числа. Поэтому я распишу всё кратко:

\[\begin{matrix} \frac{1}{3}={{3}^{-1}};\quad \frac{1}{9}=\frac{1}{{{3}^{2}}}={{3}^{-2}} \\ \Downarrow \\ {{\left({{3}^{-1}} \right)}^{{{x}^{2}}+2x}} \gt {{\left({{3}^{-2}} \right)}^{16-x}} \\\end{matrix}\]

\[\begin{align} & {{3}^{-1\cdot \left({{x}^{2}}+2x \right)}} \gt {{3}^{-2\cdot \left(16-x \right)}}; \\ & {{3}^{-{{x}^{2}}-2x}} \gt {{3}^{-32+2x}}; \\ & \left(-{{x}^{2}}-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}-2x+32-2x \gt 0; \\ & -{{x}^{2}}-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Как видите, в процессе преобразований пришлось умножать на отрицательное число, поэтому поменялся знак неравенства. В самом конце я вновь применил теорему Виета для разложения на множители квадратного трёхчлена. В итоге ответ будет следующий: $x\in \left(-8;4 \right)$ — желающие могут убедиться в этом, нарисовав числовую прямую, отметив точки и посчитав знаки. А мы тем временем перейдём к последнему неравенству из нашего «комплекта»:

\[{{\left(3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt 1\]

Как видим, в основании снова стоит иррациональное число, а справа снова стоит единица. Поэтому перепишем наше показательное неравенство следующим образом:

\[{{\left(3-2\sqrt{2} \right)}^{3x-{{x}^{2}}}} \lt {{\left(3-2\sqrt{2} \right)}^{0}}\]

Применяем рационализацию:

\[\begin{align} & \left(3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt{2}-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt{2} \right) \lt 0; \\ & \left(3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt{2} \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Однако совершенно очевидно, что $1-\sqrt{2} \lt 0$, поскольку $\sqrt{2}\approx 1,4... \gt 1$. Поэтому второй множитель — вновь отрицательная константа, на которую можно разделить обе части неравенства:

\[\begin{matrix} \left(3x-{{x}^{2}}-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt{2} \right) \lt 0 \\ \Downarrow \\\end{matrix}\]

\[\begin{align} & 3x-{{x}^{2}}-0 \gt 0; \\ & 3x-{{x}^{2}} \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & {{x}^{2}}-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end{align}\]

Переход к другому основанию

Отдельной проблемой при решении показательных неравенств является поиск «правильного» основания. К сожалению, далеко не всегда при первом взгляде на задание очевидно, что брать за основание, а что делать степенью этого основания.

Но не переживайте: здесь нет никакой магии и «секретных» технологий. В математике любой навык, который нельзя алгоритмизировать, можно легко выработать с помощью практики. Но для этого придётся решать задачи разного уровня сложности. Например, вот такие:

\[\begin{align} & {{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}; \\ & {{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}; \\ & {{\left(0,16 \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left(6,25 \right)}^{x}}\ge 1; \\ & {{\left(\frac{27}{\sqrt{3}} \right)}^{-x}} \lt {{9}^{4-2x}}\cdot 81. \\\end{align}\]

Сложно? Страшно? Да это же проще, чем цыплёнка об асфальт! Давайте попробуем. Первое неравенство:

\[{{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{4}^{\frac{4}{x}}}\]

Ну, я думают, тут и ежу всё понятно:

Переписываем исходное неравенство, сводя всё к основанию «два»:

\[{{2}^{\frac{x}{2}}} \lt {{2}^{\frac{8}{x}}}\Rightarrow \left(\frac{x}{2}-\frac{8}{x} \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Да, да, вы всё правильно поняли: я только что применил метод рационализации, описанный выше. Теперь нужно работать аккуратно: у нас получилось дробно-рациональное неравенство (это такое, у которого в знаменателе стоит переменная), поэтому прежде чем что-то приравнивать к нулю, необходимо привести всё к общему знаменателю и избавиться от множителя-константы.

\[\begin{align} & \left(\frac{x}{2}-\frac{8}{x} \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac{{{x}^{2}}-16}{2x} \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}-16}{2x} \lt 0. \\\end{align}\]

Теперь используем стандартный метод интервалов. Нули числителя: $x=\pm 4$. Знаменатель обращается в ноль только при $x=0$. Итого три точки, которые надо отметить на числовой прямой (все точки выколоты, т.к. знак неравенства строгий). Получим:

Более сложный случай: три корня

Как нетрудно догадаться, штриховкой отмечены те интервалы, на которых выражение слева принимает отрицательные значения. Поэтому в окончательный ответ пойдут сразу два интервала:

Концы интервалов не входят в ответ, поскольку исходное неравенство было строгим. Никаких дополнительных проверок этого ответа не требуется. В этом плане показательные неравенства намного проще логарифмических: никаких ОДЗ, никаких ограничений и т.д.

Переходим к следующей задаче:

\[{{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}\]

Здесь тоже никаких проблем, поскольку мы уже знаем, что $\frac{1}{3}={{3}^{-1}}$, поэтому всё неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left({{3}^{-1}} \right)}^{\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}\Rightarrow {{3}^{-\frac{3}{x}}}\ge {{3}^{2+x}}; \\ & \left(-\frac{3}{x}-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac{3}{x}-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac{3}{x}+2+x\le 0; \\ & \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{x}\le 0. \\\end{align}\]

Обратите внимание: в третьей строчке я решил не мелочиться и сразу разделить всё на (−2). Минул ушёл в первую скобку (теперь там везде плюсы), а двойка сократилась с множителем-константой. Именно так и стоит поступать при оформлении реальных выкладок на самостоятельных и контрольных работах — не надо расписывать прям каждое действие и преобразование.

Далее в дело вступает знакомый нам метод интервалов. Нули числителя: а их нет. Потому что дискриминант будет отрицательный. В свою очередь знаменатель обнуляется лишь при $x=0$ — как и в прошлый раз. Ну и понятно, что справа от $x=0$ дробь будет принимать положительные значения, а слева — отрицательные. Поскольку нас интересуют именно отрицательные значения, то окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[{{\left(0,16 \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left(6,25 \right)}^{x}}\ge 1\]

А что нужно делать с десятичными дробями в показательных неравенствах? Правильно: избавляться от них, переводя в обыкновенные. Вот и мы переведём:

\[\begin{align} & 0,16=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}\Rightarrow {{\left(0,16 \right)}^{1+2x}}={{\left(\frac{4}{25} \right)}^{1+2x}}; \\ & 6,25=\frac{625}{100}=\frac{25}{4}\Rightarrow {{\left(6,25 \right)}^{x}}={{\left(\frac{25}{4} \right)}^{x}}. \\\end{align}\]

Ну и что мы получили в основаниях показательных функций? А получили мы два взаимно обратных числа:

\[\frac{25}{4}={{\left(\frac{4}{25} \right)}^{-1}}\Rightarrow {{\left(\frac{25}{4} \right)}^{x}}={{\left({{\left(\frac{4}{25} \right)}^{-1}} \right)}^{x}}={{\left(\frac{4}{25} \right)}^{-x}}\]

Таким образом исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{1+2x}}\cdot {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{-x}}\ge 1; \\ & {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{1+2x+\left(-x \right)}}\ge {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{0}}; \\ & {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{x+1}}\ge {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{0}}. \\\end{align}\]

Разумеется, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, что и произошло во второй строчке. Кроме того, мы представили единицу, стоящую справа, тоже в виде степени по основанию 4/25. Осталось лишь выполнить рационализацию:

\[{{\left(\frac{4}{25} \right)}^{x+1}}\ge {{\left(\frac{4}{25} \right)}^{0}}\Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac{4}{25}-1 \right)\ge 0\]

Заметим, что $\frac{4}{25}-1=\frac{4-25}{25} \lt 0$, т.е. второй множитель является отрицательной константой, и при делении на неё знак неравенства поменяется:

\[\begin{align} & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end{align}\]

Наконец, последнее неравенство из текущего «комплекта»:

\[{{\left(\frac{27}{\sqrt{3}} \right)}^{-x}} \lt {{9}^{4-2x}}\cdot 81\]

В принципе, идея решения тут тоже ясна: все показательные функции, входящие в состав неравенства, необходимо свести к основанию «3». Но для этого придётся немного повозиться с корнями и степенями:

\[\begin{align} & \frac{27}{\sqrt{3}}=\frac{{{3}^{3}}}{{{3}^{\frac{1}{3}}}}={{3}^{3-\frac{1}{3}}}={{3}^{\frac{8}{3}}}; \\ & 9={{3}^{2}};\quad 81={{3}^{4}}. \\\end{align}\]

С учётом этих фактов исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & {{\left({{3}^{\frac{8}{3}}} \right)}^{-x}} \lt {{\left({{3}^{2}} \right)}^{4-2x}}\cdot {{3}^{4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{8-4x}}\cdot {{3}^{4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{8-4x+4}}; \\ & {{3}^{-\frac{8x}{3}}} \lt {{3}^{4-4x}}. \\\end{align}\]

Обратите внимание на 2-ю и 3-ю строчку выкладок: прежде чем что-то делать с неравенством, обязательно приведите его к тому виду, о котором мы говорили с самого начала урока: ${{a}^{x}} \lt {{a}^{n}}$. До тех пор, пока у вас слева или справа есть какие-то левые множители, дополнительные константы и т.д., никакую рационализацию и «зачёркивание» оснований выполнять нельзя ! Бесчисленное множество задач было выполнено неправильно из-за непонимания этого простого факта. Я сам постоянно наблюдаю эту проблему у моих учеников, когда мы только-только приступаем к разбору показательных и логарифмических неравенств.

Но вернёмся к нашей задаче. Попробуем в этот раз обойтись без рационализации. Вспоминаем: основание степени больше единицы, поэтому тройки можно просто зачеркнуть — знак неравенства при этом не поменяется. Получим:

\[\begin{align} & -\frac{8x}{3} \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac{8x}{3} \lt 4; \\ & \frac{4x}{3} \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end{align}\]

Вот и всё. Окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Выделение устойчивого выражения и замена переменной

В заключение предлагаю решить ещё четыре показательных неравенства, которые уже являются довольно сложными для неподготовленных учеников. Чтобы справиться с ними, необходимо вспомнить правила работы со степенями. В частности — вынесение общих множителей за скобки.

Но самое главное — научиться понимать: что именно можно вынести за скобки. Такое выражение называется устойчивым — его можно обозначить новой переменной и таким образом избавиться от показательной функции. Итак, посмотрим на задачи:

\[\begin{align} & {{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}\ge 6; \\ & {{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}\ge 90; \\ & {{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} \gt 2500; \\ & {{\left(0,5 \right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} \gt 768. \\\end{align}\]

Начнём с самой первой строчки. Выпишем это неравенство отдельно:

\[{{5}^{x+2}}+{{5}^{x+1}}\ge 6\]

Заметим, что ${{5}^{x+2}}={{5}^{x+1+1}}={{5}^{x+1}}\cdot 5$, поэтому правую часть можно переписать:

Заметим, что никаких других показательных функций, кроме ${{5}^{x+1}}$, в неравенстве нет. И вообще, нигде больше не встречается переменная $x$, поэтому введём новую переменную: ${{5}^{x+1}}=t$. Получим следующую конструкцию:

\[\begin{align} & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end{align}\]

Возвращаемся к исходной переменной ($t={{5}^{x+1}}$), а заодно вспоминаем, что 1=5 0 . Имеем:

\[\begin{align} & {{5}^{x+1}}\ge {{5}^{0}}; \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end{align}\]

Вот и всё решение! Ответ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Переходим ко второму неравенству:

\[{{3}^{x}}+{{3}^{x+2}}\ge 90\]

Здесь всё то же самое. Заметим, что ${{3}^{x+2}}={{3}^{x}}\cdot {{3}^{2}}=9\cdot {{3}^{x}}$. Тогда левую часть можно переписать:

\[\begin{align} & {{3}^{x}}+9\cdot {{3}^{x}}\ge 90;\quad \left| {{3}^{x}}=t \right. \\ & t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow {{3}^{x}}\ge 9\Rightarrow {{3}^{x}}\ge {{3}^{2}}; \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end{align}\]

Вот примерно так и нужно оформлять решение на настоящих контрольных и самостоятельных работах.

Что ж, попробуем что-нибудь посложнее. Например, вот такое неравенство:

\[{{25}^{x+1,5}}-{{5}^{2x+2}} \gt 2500\]

В чём тут проблема? Прежде всего, основания показательных функций, стоящих слева, разные: 5 и 25. Однако 25 = 5 2 , поэтому первое слагаемое можно преобразовать:

\[\begin{align} & {{25}^{x+1,5}}={{\left({{5}^{2}} \right)}^{x+1,5}}={{5}^{2x+3}}; \\ & {{5}^{2x+3}}={{5}^{2x+2+1}}={{5}^{2x+2}}\cdot 5. \\\end{align}\]

Как видите, сначала мы всё привели к одинаковому основанию, а затем заметили, что первое слагаемое легко сводится ко второму — достаточно лишь разложить показатель. Теперь можно смело вводить новую переменную: ${{5}^{2x+2}}=t$, и всё неравенство перепишется так:

\[\begin{align} & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625={{5}^{4}}; \\ & {{5}^{2x+2}}\ge {{5}^{4}}; \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end{align}\]

И вновь никаких трудностей! Окончательный ответ: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Переходим к заключительному неравенству в сегодняшнем уроке:

\[{{\left(0,5 \right)}^{-4x-8}}-{{16}^{x+1,5}} \gt 768\]

Первое, на что следует обратить внимание — это, конечно, десятичная дробь в основании первой степени. От неё необходимо избавиться, а заодно привести все показательные функции к одному и тому же основанию — числу «2»:

\[\begin{align} & 0,5=\frac{1}{2}={{2}^{-1}}\Rightarrow {{\left(0,5 \right)}^{-4x-8}}={{\left({{2}^{-1}} \right)}^{-4x-8}}={{2}^{4x+8}}; \\ & 16={{2}^{4}}\Rightarrow {{16}^{x+1,5}}={{\left({{2}^{4}} \right)}^{x+1,5}}={{2}^{4x+6}}; \\ & {{2}^{4x+8}}-{{2}^{4x+6}} \gt 768. \\\end{align}\]

Отлично, первый шаг мы сделали — всё привели к одному и тому же основанию. Теперь необходимо выделить устойчивое выражение. Заметим, что ${{2}^{4x+8}}={{2}^{4x+6+2}}={{2}^{4x+6}}\cdot 4$. Если ввести новую переменную ${{2}^{4x+6}}=t$, то исходное неравенство можно переписать так:

\[\begin{align} & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256={{2}^{8}}; \\ & {{2}^{4x+6}} \gt {{2}^{8}}; \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac{1}{2}=0,5. \\\end{align}\]

Естественно, может возникнуть вопрос: каким это образом мы обнаружили, что 256 = 2 8 ? К сожалению, тут нужно просто знать степени двойки (а заодно степени тройки и пятёрки). Ну, или делить 256 на 2 (делить можно, поскольку 256 — чётное число) до тех пор, пока не получим результат. Выглядеть это будет примерно так:

\[\begin{align} & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & ={{2}^{8}}.\end{align}\]

То же самое и с тройкой (числа 9, 27, 81 и 243 являются её степенями), и с семёркой (числа 49 и 343 тоже было бы неплохо запомнить). Ну, и у пятёрки тоже есть «красивые» степени, которые нужно знать:

\[\begin{align} & {{5}^{2}}=25; \\ & {{5}^{3}}=125; \\ & {{5}^{4}}=625; \\ & {{5}^{5}}=3125. \\\end{align}\]

Конечно, все эти числа при желании можно восстановить в уме, просто последовательно умножая их друг на друга. Однако, когда вам предстоит решить несколько показательных неравенств, причём каждое следующее сложнее предыдущего, то последнее, о чём хочется думать — это степени каких-то там чисел. И в этом смысле данные задачи являются более сложными, нежели «классические» неравенства, которые решаются методом интервалов.

Как решить неравенство квадратным корнем. Как решать линейные неравенства

Читайте также

Если Вам нравится этот сайт...

Тождественные преобразования неравенств.

Линейные неравенства. Решение, примеры.

Запись ответа для неравенств.

Популярные задания с неравенствами.

Если Вам нравится этот сайт...

Как решать систему неравенств

Решение неравенств с модулем

Решение квадратичных неравенств

Решение дробных неравенств

Решение неравенств методом интервалов

Решение простейших показательных неравенств

Примеры решения

Метод рационализации

Переход к другому основанию

Выделение устойчивого выражения и замена переменной