Как разложить на множители квадратный трехчлен формула. Квадратный трехчлен и его корни

На данном уроке мы с вами научимся раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители. Для этого необходимо вспомнить теорему Виета и обратную ей. Данное умение поможет нам быстро и удобно раскладывать квадратные трёхчлены на линейные множители, а также упростит сокращение дробей, состоящих из выражений.

Итак вернёмся к квадратному уравнению , где .

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

Где - старший коэффициент, - корни уравнения.

Итак, мы имеем квадратное уравнение - квадратный трёхчлен, где корни квадратного уравнения также называются корнями квадратного трёхчлена. Поэтому если мы имеем корни квадратного трёхчлена, то этот трёхчлен раскладывается на линейные множители.

Доказательство:

Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.

Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:

Если - корни квадратного трёхчлена, у которого , то .

Из данной теоремы вытекает следующее утверждение, что .

Мы видим, что, по теореме Виета, , т. е., подставив данные значения в формулу выше, мы получаем следующее выражение

что и требовалось доказать.

Вспомним, что мы доказали теорему, что если - корни квадратного трёхчлена, то справедливо разложение .

Теперь давайте вспомним пример квадратного уравнения , к которому с помощью теоремы Виета мы подбирали корни . Из этого факта мы можем получить следующее равенство благодаря доказанной теореме:

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Видим, что на множители мы разложили верно, и любой трёхчлен, если он имеет корни, может быть разложен по данной теореме на линейные множители по формуле

Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:

Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта

А мы помним, что для выполнения выученной нами теоремы D должен быть больше 0, поэтому в данном случае разложение на множители по изученной теореме невозможно.

Поэтому сформулируем новую теорему: если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Итак, мы рассмотрели теорему Виета, возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители, и теперь решим несколько задач.

Задача №1

В данной группе мы будем по факту решать задачу, обратную к поставленной. У нас было уравнение, и мы находили его корни, раскладывая на множители. Здесь мы будем действовать наоборот. Допустим, у нас есть корни квадратного уравнения

Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы были его корнями.

Для решения данной задачи существует 2 способа.

Поскольку - корни уравнения, то - это квадратное уравнение, корнями которого являются заданные числа. Теперь раскроем скобки и проверим:

Это был первый способ, по которому мы создали квадратное уравнение с заданными корнями, в котором нет каких-либо других корней, поскольку любое квадратное уравнение имеет не более двух корней.

Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.

Если - корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что .

Для приведённого квадратного уравнения , , т. е. в данном случае , а .

Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.

Задача №2

Необходимо сократить дробь .

Мы имеем трёхчлен в числителе и трёхчлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель .

Вначале необходимо проверить, можно ли разложить данное уравнении на множители, найдём дискриминант . Поскольку , то знак зависит от произведения ( должно быть меньше 0), в данном примере , т. е. заданное уравнение имеет корни.

Для решения используем теорему Виета:

В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что , и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система: , т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного в систему уравнений, к примеру, , т.е. .

Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:

Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь .

Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя .

Необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .

Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .

Задача №3 (задача с параметром)

При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения

Если корни данного уравнения существуют, то , вопрос: когда .

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида ax^2 + bx + с, где x - переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Чтобы разложить трехчлен на множители, нужно знать корни этого трехчлена. (далее пример на трехчлене 5х^2 + 3х- 2)

Заметим: значение квадратного трёхчлена 5х^2 + 3х - 2 зависит от значения х. Например: Если х = 0, то 5х^2 + 3х - 2 = -2

Если х = 2, то 5х^2 + 3х - 2 = 24

Если х = -1, то 5х^2 + 3х - 2 = 0

При х = -1 квадратный трёхчлен 5х^2 + 3х - 2 обращается в нуль, в этом случае число -1 называют корнем квадратного трёхчлена .

Как получить корень уравнения

Поясним, как мы получили корень этого уравнения. Для начала необходимо четко знать теорему и формулу, по которой мы будем работать:

“Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2 + bx + c, то ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)”.

Х = (-b±√(b^2-4ac))/2a \

Это формула нахождения корней многочлена является самой примитивной формулой, решая по которой вы никогда не запутаетесь.

Выражение 5х^2 + 3х – 2.

1. Приравниваем к нулю: 5х^2 + 3х – 2 = 0

2. Находим корни квадратного уравнения, для этого подставляем значения в формулу (а – коэффициент при Х^2, b – коэффициент при Х, свободный член, то есть цифра без Х):

Первый корень находим со знаком плюс перед корнем квадратным:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Второй корень со знаком минус перед корнем квадратным:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Вот мы и нашли корни квадратного трехчлена. Чтобы убедиться, что они верные, можно сделать проверку: сначала подставляем первый корень в уравнение, затем второй:

1) 5х^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5х^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Если при подстановке всех корней уравнение обращается в ноль, значит уравнение решено верно.

3. Теперь воспользуемся формулой из теоремы: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), помним, что Х1 и Х2 – это корни квадратного уравнения. Итак: 5х^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5х^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Чтобы убедиться в правильности разложения можно просто перемножить скобки:

5(х - 0,4)(х + 1) = 5(х^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 +3 – 2. Что подтверждает правильность решения.

Второй вариант нахождения корней квадратного трехчлена

Еще один вариант нахождения корней квадратного трехчлена - теорема обратная теореме Виетта. Здесь корни квадратного уравнения находятся по формулам: x1 + x2 = -(b) , х1 * х2 = с . Но важно понимать, что данной теоремой можно пользоваться только в том случае, если коэффициент а = 1, то есть число, стоящее перед х^2 = 1.

Например: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Решаем: х1 + х2 = - (-2), х1 + х2 = 2

Теперь важно подумать, какие числа в произведении дают единицу? Естественно это 1 * 1 и -1 * (-1) . Из этих чисел выбираем те, которые соответствую выражению х1 + х2 = 2, конечно же - это 1 + 1. Вот мы и нашли корни уравнения: х1 = 1, х2 = 1. Это легко проверить, если подставить в выражение x^2 – 2x + 1 = 0.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Мир погружён в огромное количество чисел. Любые исчисления происходят с их помощью.

Люди учат цифры для того, чтобы в дальнейшей жизни не попадаться на обман. Необходимо уделять огромное количество времени, чтобы быть образованным и рассчитать собственный бюджет.

Математика - это точная наука, которая играет большую роль в жизни. В школе дети изучают цифры, а после, действия над ними.

Действия над числами бывают совершенно разными: умножение, разложение, добавление и прочие. Помимо простых формул, в изучении математики используют и более сложные действия. Существует огромное количество формул, по которым узнают любые значения.

В школе, как только появляется алгебра, в жизнь школьника добавляются формулы упрощения. Бывают уравнения, когда неизвестных числа два, но найти простым способом не получится. Трёхчлен - соединение трёх одночленов, с помощью простого метода отнимания и добавления. Трёхчлен решается с помощью теоремы Виета и дискриминанта.

Формула разложения квадратного трёхчлена на множители

Существуют два правильных и простых решения примера :

• дискриминант;
• теорема Виета.

Квадратный трёхчлен имеет неизвестный в квадрате, а также число без квадрата. Первый вариант для решения задачи использует формулу Виета. Это простая формула , если цифры, что стоят перед неизвестным, будут минимальным значением.

Для других уравнений, где число стоит перед неизвестным, уравнение необходимо решать через дискриминант. Это более сложное решение, но используют дискриминант намного чаще, нежели теорему Виета.

Изначально, для нахождения всех переменных уравнения необходимо возвести пример к 0. Решение примера можно будет проверить и узнать правильно ли подстроены числа.

Дискриминант

1. Необходимо приравнять уравнение к 0.

2. Каждое число перед х будет названо числами a, b, c. Так как перед первым квадратным х нет числа, то оно приравнивается к 1.

3. Теперь решение уравнения начинается через дискриминант:

4. Теперь нашли дискриминант и находим два х. Разница заключается в том, что в одном случае перед b будет стоять плюс, а в другом минус:

5. По решению два числа получилось -2 и -1. Подставляем под первоначальное уравнение:

6. В этом примере получилось два правильных варианта. Если оба решения подходят, то каждое из них является истинным.

Через дискриминант решают и более сложные уравнение. Но если само значение дискриминанта будет меньше 0, то пример неправильный. Дискриминант при поиске всегда под корнем, а отрицательное значение не может находиться в корне.

Теорема Виета

Применяется для решения лёгких задач, где перед первым х не стоит число, то есть a=1. Если вариант совпадает, то расчёт проводят через теорему Виета.

Для решения любого трёхчлена необходимо возвести уравнение к 0. Первые шаги у дискриминанта и теоремы Виета не отличаются.

2. Теперь между двумя способами начинаются отличия. Теорема Виета использует не только «сухой» расчёт, но и логику и интуицию. Каждое число имеет свою букву a, b, c. Теорема использует сумму и произведение двух чисел.

Запомните! Число b всегда при добавлении стоит с противоположным знаком, а число с остаётся неизменным!

Подставляя значения данные в примере, получаем:

3. Методом логики подставляем наиболее подходящие цифры. Рассмотрим все варианты решения:

1. Цифры 1 и 2. При добавлении получаем 3, но если умножить, то не получится 4. Не подходит.
2. Значение 2 и -2. При умножении будет -4, но при добавлении получается 0. Не подходит.
3. Цифры 4 и -1. Так как в умножении стоит отрицательное значение, значит, одно из чисел будет с минусом. При добавлении и умножении подходит. Правильный вариант.

4. Остаётся только проверить, раскладывая числа, и посмотреть правильность подобранного варианта.

5. Благодаря онлайн-проверке мы узнали, что -1 не подходит по условию примера, а значит является неправильным решением.

При добавлении отрицательного значения в примере, необходимо цифру заносить в скобки.

В математике всегда будут простые задачи и сложные. Сама наука включает в себя разнообразие задач, теорем и формул. Если понимать и правильно применять знания, то любые сложности с вычислениями будут пустяковыми.

Математика не нуждается в постоянном запоминании. Нужно научится понимать решение и выучить несколько формул. Постепенно, по логическим выводам, можно решать похожие задачи, уравнения. Такая наука может с первого взгляда показаться очень тяжёлой, но если окунутся в мир чисел и задач, то взгляд резко изменится в лучшую сторону.

Технические специальности всегда остаются самыми востребованными в мире. Сейчас, в мире современных технологий, математика стала незаменимым атрибутом любой сферы. Нужно всегда помнить о полезных свойствах математики.

Разложение трёхчлена с помощью скобки

Кроме решения привычными способами, существует ещё один - разложение на скобки. Используют с применением формулы Виета.

1. Приравниваем уравнение к 0.

ax 2 + bx+ c = 0

2. Корни уравнения остаются такими же, но вместо нуля теперь используют формулы разложения на скобки.

ax 2 + bx+ c = a ( x – x 1) ( x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 ( x + 1) ( x – 3)

4. Решение х=-1, х=3

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax 2 + bx + c , где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Коэффициент а называют старшим коэффициентом , c – свободным членом квадратного трехчлена.

Примеры квадратных трехчленов:

2 x 2 + 5 x + 4 (здесь a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5 (здесь a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x – 9 (здесь a = 9, b = 9, c = -9)

Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны нулю. Например:

5 x 2 + 3 x (здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).

6x 2 – 8 (здесь a = 6, b = 0, c = -8)

2x 2 (здесь a = 2, b = 0, c = 0)

Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена .

Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c , надо приравнять его к нулю –
то есть решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 (см.раздел "Квадратное уравнение").

Разложение квадратного трехчлена на множители

Пример:

Разложим на множители трехчлен 2x 2 + 7x – 4.

Мы видим: коэффициент а = 2.

Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение

2x 2 + 7x – 4 = 0.

Как решается такое уравнение – см. в разделе «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу назовем результат вычислений. Наш трехчлен имеет два корня:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а , и получим:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Задача решена: трехчлен разложен на множители.

Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.

ВНИМАНИЕ!

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет один корень, но при разложении трехчлена этот корень принимают как значение двух корней – то есть как одинаковое значение x 1 и x 2 .

К примеру, трехчлен имеет один корень, равный 3. Тогда x 1 = 3, x 2 = 3.