Résoudre des équations exponentielles. Exemples.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Ce qui s'est passé équation exponentielle? Il s'agit d'une équation dans laquelle les inconnues (x) et les expressions qui les accompagnent sont en indicateurs quelques degrés. Et seulement là ! C'est important.

Te voilà exemples d'équations exponentielles:

3x2x = 8x+3

Note! Dans les bases de diplômes (ci-dessous) - Seulement les chiffres. DANS indicateurs degrés (ci-dessus) - une grande variété d'expressions avec un X. Si tout à coup un X apparaît dans l’équation ailleurs qu’un indicateur, par exemple :

ce sera une équation type mixte. De telles équations n’ont pas de règles claires pour les résoudre. Nous ne les considérerons pas pour l'instant. Nous traiterons ici résoudre des équations exponentielles dans sa forme la plus pure.

En fait, même les équations exponentielles pures ne sont pas toujours résolues clairement. Mais il existe certains types d’équations exponentielles qui peuvent et doivent être résolues. Ce sont les types que nous considérerons.

Résoudre des équations exponentielles simples.

Tout d’abord, résolvons quelque chose de très basique. Par exemple:

Même sans aucune théorie, par simple sélection, il est clair que x = 2. Rien de plus, n'est-ce pas !? Aucune autre valeur de X ne fonctionne. Examinons maintenant la solution de cette équation exponentielle délicate :

Qu'avons-nous fait? En fait, nous avons simplement jeté les mêmes bases (triples). Complètement jeté. Et la bonne nouvelle, c’est que nous avons mis le doigt sur le problème !

En effet, si dans une équation exponentielle il y a gauche et droite le même nombres dans n'importe quelle puissance, ces nombres peuvent être supprimés et les exposants peuvent être égalisés. Les mathématiques le permettent. Il reste à résoudre une équation beaucoup plus simple. Super, non ?)

Cependant, rappelons-le fermement : Vous ne pouvez supprimer des bases que lorsque les numéros de base à gauche et à droite sont dans un splendide isolement ! Sans voisins ni coefficients. Disons dans les équations :

2 x +2 x+1 = 2 3, ou

les deux ne peuvent pas être supprimés !

Eh bien, nous avons maîtrisé la chose la plus importante. Comment passer d'expressions exponentielles maléfiques à des équations plus simples.

"C'est le moment !" - vous dites. "Qui donnerait une leçon aussi primitive sur les tests et les examens !?"

Je suis d'accord. Personne ne le fera. Mais vous savez désormais où viser lorsque vous résolvez des exemples délicats. Il faut l'amener sous la forme où le même numéro de base est à gauche et à droite. Alors tout sera plus facile. En fait, c’est un classique des mathématiques. Nous prenons l'exemple original et le transformons en celui souhaité nous esprit. Selon les règles mathématiques, bien sûr.

Regardons des exemples qui nécessitent un effort supplémentaire pour les réduire au plus simple. Appelons-les équations exponentielles simples.

Résoudre des équations exponentielles simples. Exemples.

Lors de la résolution d'équations exponentielles, les règles principales sont des actions avec des diplômes. Sans connaissance de ces actions, rien ne fonctionnera.

Aux actions graduées, il faut ajouter l’observation personnelle et l’ingéniosité. Nous exigeons mêmes numéros-terrains? Nous les recherchons donc dans l'exemple sous forme explicite ou cryptée.

Voyons comment cela se fait en pratique ?

Donnons-nous un exemple :

2 2x - 8 x+1 = 0

Le premier regard attentif est sur terrains. Ils... Ils sont différents ! Deux et huit. Mais il est trop tôt pour se décourager. Il est temps de s'en souvenir

Deux et huit sont parents en degré.) Il est tout à fait possible d'écrire :

8x+1 = (2 3)x+1

Si l'on rappelle la formule des opérations avec degrés :

(une n) m = une nm ,

ça marche très bien :

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

L'exemple original commençait à ressembler à ceci :

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Nous transférons 2 3 (x+1)à droite (personne n'a annulé les opérations élémentaires des mathématiques !), on obtient :

2 2x = 2 3(x+1)

C'est pratiquement tout. Retrait des bases :

Nous résolvons ce monstre et obtenons

C'est la bonne réponse.

Dans cet exemple, connaître les puissances de deux nous a aidé. Nous identifié dans huit, il y a un deux crypté. Cette technique (chiffrement des terrains communs sous différents numéros) est une technique très populaire dans les équations exponentielles ! Oui, et en logarithmes aussi. Vous devez être capable de reconnaître les puissances d’autres nombres dans les nombres. Ceci est extrêmement important pour résoudre des équations exponentielles.

Le fait est qu’élever n’importe quel nombre à n’importe quelle puissance n’est pas un problème. Multipliez, même sur papier, et c'est tout. Par exemple, n’importe qui peut élever 3 à la puissance cinq. 243 fonctionnera si vous connaissez la table de multiplication.) Mais dans les équations exponentielles, bien plus souvent il n'est pas nécessaire d'élever à une puissance, mais vice versa... Découvrez quel nombre à quel degré se cache derrière le nombre 243, ou, disons, 343... Aucune calculatrice ne vous aidera ici.

Vous devez connaître les puissances de certains nombres à vue, n'est-ce pas... Pratiquons ?

Déterminez à quelles puissances et à quels nombres correspondent les nombres :

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Réponses (en désordre, bien sûr !) :

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir fait étrange. Il y a bien plus de réponses que de tâches ! Eh bien, ça arrive... Par exemple, 2 6, 4 3, 8 2 - c'est tout 64.

Supposons que vous avez pris note des informations sur la familiarité avec les nombres.) Permettez-moi également de vous rappeler que pour résoudre des équations exponentielles, nous utilisons tous stock de connaissances mathématiques. Y compris ceux des classes juniors et moyennes. Tu n'es pas allé directement au lycée, n'est-ce pas ?)

Par exemple, lors de la résolution d’équations exponentielles, il est souvent utile de mettre le facteur commun entre parenthèses (bonjour les élèves de 7e !). Regardons un exemple :

3 2x+4 -11 9x = 210

Et encore une fois, le premier regard se porte sur les fondations ! Les bases des diplômes sont différentes... Trois et neuf. Mais nous voulons qu'ils soient les mêmes. Eh bien, dans ce cas, le désir est complètement exaucé !) Parce que :

9 x = (3 2) x = 3 2x

Utiliser les mêmes règles pour traiter les diplômes :

3 2x+4 = 3 2x 3 4

C'est super, vous pouvez l'écrire :

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Alors, quelle est la prochaine étape !? Vous ne pouvez pas jeter des trois... Une impasse ?

Pas du tout. Rappelez-vous la règle de décision la plus universelle et la plus puissante tout le monde tâches mathématiques :

Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !

Écoutez, tout s'arrangera).

Qu'y a-t-il dans cette équation exponentielle Peut faire? Oui, sur le côté gauche, il ne demande qu’à être retiré des parenthèses ! Le multiplicateur global de 3 2x le laisse clairement entendre. Essayons, et ensuite nous verrons :

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

L’exemple ne cesse de s’améliorer !

Nous rappelons que pour éliminer les motifs, nous avons besoin d'un diplôme pur, sans aucun coefficient. Le chiffre 70 nous dérange. On divise donc les deux côtés de l’équation par 70, on obtient :

Oops! Tout s'est amélioré !

C'est la réponse finale.

Il arrive cependant que des roulages sur la même base soient réalisés, mais leur élimination n'est pas possible. Cela se produit dans d'autres types d'équations exponentielles. Maîtrisons ce type.

Remplacement d'une variable dans la résolution d'équations exponentielles. Exemples.

Résolvons l'équation :

4 x - 3 2 x +2 = 0

D'abord - comme d'habitude. Passons à une base. À deux.

4 x = (2 2) x = 2 2x

On obtient l'équation :

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Et c'est ici que nous traînons. Les techniques précédentes ne fonctionneront pas, quelle que soit la façon dont vous regardez les choses. Il va falloir sortir de l'arsenal un autre puissant et méthode universelle. C'est appelé remplacement variable.

L’essence de la méthode est étonnamment simple. Au lieu d'une icône complexe (dans notre cas - 2 x), nous en écrivons une autre, plus simple (par exemple - t). Un tel remplacement apparemment dénué de sens conduit à des résultats étonnants !) Tout devient clair et compréhensible !

Alors laisse

Alors 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Nous remplaçons toutes les puissances par des x dans notre équation par t :

Eh bien, cela vous vient-il à l'esprit ?) Avez-vous déjà oublié les équations quadratiques ? En résolvant par le discriminant, on obtient :

L'essentiel ici est de ne pas s'arrêter, comme cela arrive... Ce n'est pas encore la réponse, nous avons besoin de x, pas de t. Revenons aux X, c'est-à-dire nous effectuons un remplacement inversé. D'abord pour t 1 :

C'est,

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le deuxième à partir de t 2 :

Hm... 2 x à gauche, 1 à droite... Problème ? Pas du tout! Il suffit de rappeler (des opérations avec pouvoirs, oui...) qu'une unité est n'importe lequel nombre à la puissance zéro. N'importe lequel. Tout ce qui est nécessaire, nous l'installerons. Il nous en faut un deux. Moyens:

C'est tout maintenant. Nous avons 2 racines :

C'est la réponse.

À résoudre des équations exponentiellesà la fin, on se retrouve parfois avec une sorte d'expression maladroite. Taper:

De sept heures à deux heures diplôme simple ne marche pas. Ce ne sont pas des parents... Comment pouvons-nous l'être ? Quelqu'un peut être confus... Mais la personne qui a lu sur ce site le sujet « Qu'est-ce qu'un logarithme ? , souriez avec parcimonie et écrivez d'une main ferme réponse tout à fait correcte :

Il ne peut pas y avoir une telle réponse dans les tâches « B » de l'examen d'État unifié. Là, un numéro spécifique est requis. Mais dans les tâches « C », c'est facile.

Cette leçon fournit des exemples de résolution des équations exponentielles les plus courantes. Soulignons les points principaux.

Conseils pratiques:

1. Tout d’abord, examinons terrains degrés. Nous nous demandons s'il est possible de les réaliser identique. Essayons de le faire en utilisant activement des actions avec des diplômes. N'oubliez pas que les nombres sans x peuvent également être convertis en puissances !

2. On essaie de mettre l'équation exponentielle sous la forme quand à gauche et à droite il y a le même nombres dans toutes les puissances. Nous utilisons actions avec diplômes Et factorisation. Ce qui peut être compté en chiffres, nous le comptons.

3. Si le deuxième conseil ne fonctionne pas, essayez d'utiliser le remplacement variable. Le résultat peut être une équation facile à résoudre. Le plus souvent - carré. Ou fractionnaire, qui se réduit également au carré.

4. Pour réussir à résoudre des équations exponentielles, vous devez connaître visuellement les puissances de certains nombres.

Comme d'habitude, à la fin du cours vous êtes invité à décider un peu.) Par vous-même. Du simple au complexe.

Résoudre des équations exponentielles :

Plus difficile:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Trouver le produit des racines :

2 3 + 2 x = 9

Arrivé?

Eh bien l'exemple le plus compliqué(décidé cependant dans l'esprit...) :

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Quoi de plus intéressant ? Alors voici un mauvais exemple pour vous. Assez tentant pour une difficulté accrue. Laissez-moi vous laisser entendre que dans cet exemple, ce qui vous sauve, c'est l'ingéniosité et la règle la plus universelle pour résoudre tous les problèmes mathématiques.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Un exemple plus simple, pour la détente) :

9 2 x - 4 3 x = 0

Et pour le dessert. Trouvez la somme des racines de l'équation :

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oui oui! Il s'agit d'une équation de type mixte ! Ce que nous n'avons pas pris en compte dans cette leçon. Pourquoi les considérer, il faut les résoudre !) Cette leçon est largement suffisante pour résoudre l'équation. Eh bien, il vous faut de l'ingéniosité... Et que la septième année vous aide (c'est un indice !).

Réponses (en désordre, séparées par des points-virgules) :

1; 2 ; 3 ; 4 ; il n'y a pas de solutions ; 2 ; -2 ; -5 ; 4 ; 0.

Est-ce que tout est réussi ? Super.

Il ya un problème? Aucun problème! Dans la section spéciale 555, toutes ces équations exponentielles sont résolues avec explications détaillées. Quoi, pourquoi et pourquoi. Et, bien sûr, il existe des informations supplémentaires précieuses sur l’utilisation de toutes sortes d’équations exponentielles. Pas seulement ceux-là.)

Une dernière question amusante à considérer. Dans cette leçon, nous avons travaillé avec des équations exponentielles. Pourquoi n’ai-je pas dit un mot sur ODZ ici ? Dans les équations, c'est d'ailleurs une chose très importante...

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Premier niveau

Équations exponentielles. Guide complet (2019)

Bonjour! Aujourd'hui, nous allons discuter avec vous de la manière de résoudre des équations qui peuvent être soit élémentaires (et j'espère qu'après avoir lu cet article, elles le seront presque toutes pour vous), soit celles qui sont habituellement données « à remplir ». Apparemment pour enfin s'endormir. Mais je vais essayer de faire tout mon possible pour que vous n’ayez plus de problèmes face à ce type d’équations. Je ne tournerai plus autour du pot, mais je l'ouvrirai tout de suite petit secret: aujourd'hui nous allons étudier équations exponentielles.

Avant de passer à l’analyse des moyens de les résoudre, je vais immédiatement vous présenter une série de questions (assez réduites) que vous devriez répéter avant de vous précipiter pour aborder ce sujet. Alors, pour obtenir meilleur résultat, S'il te plaît, répéter:

1. Propriétés et
2. Solution et équations

Répété? Incroyable! Il ne vous sera alors pas difficile de remarquer que la racine de l'équation est un nombre. Comprenez-vous exactement comment j'ai fait ? Est-ce vrai? Alors continuons. Maintenant, répondez à ma question : qu'est-ce qui est égal à la puissance trois ? Vous avez absolument raison: . Quelle puissance de deux fait huit ? C'est vrai - le troisième ! Parce que. Eh bien, essayons maintenant de résoudre le problème suivant : permettez-moi de multiplier le nombre par lui-même une fois et d'obtenir le résultat. La question est : combien de fois ai-je multiplié par moi-même ? Vous pouvez bien sûr vérifier cela directement :

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( aligner)

Ensuite, vous pouvez conclure que j'ai multiplié par moi-même. Sinon, comment pouvez-vous vérifier cela ? Voici comment procéder : directement par définition de diplôme : . Mais, vous devez l'admettre, si je vous demandais combien de fois deux doit être multiplié par lui-même pour obtenir, disons, vous me diriez : je ne me tromperai pas et je ne multiplierai pas par lui-même jusqu'à ce que je sois bleu au visage. Et il aurait tout à fait raison. Parce que comment peux-tu notez brièvement toutes les étapes(et la brièveté est la sœur du talent)

où - ce sont les mêmes "fois", quand vous multipliez par lui-même.

Je pense que vous savez (et si vous ne savez pas, répétez les diplômes de toute urgence, très urgence !) qu'alors mon problème s'écrira sous la forme :

Comment pouvez-vous raisonnablement conclure que :

Alors, inaperçu, j'ai noté le plus simple équation exponentielle :

Et je l'ai même trouvé racine. Ne pensez-vous pas que tout est complètement trivial ? Je pense exactement la même chose. Voici un autre exemple pour vous :

Mais que faire? Après tout, cela ne peut pas être écrit comme une puissance d’un nombre (raisonnable). Ne désespérons pas et notons que ces deux nombres s’expriment parfaitement par la puissance du même nombre. Lequel? Droite: . Ensuite, l'équation d'origine est transformée sous la forme :

Où, comme vous l'avez déjà compris, . Ne tardons plus et écrivons-le définition:

Dans notre cas: .

Ces équations sont résolues en les réduisant à la forme :

suivi de la résolution de l'équation

En fait, nous avons fait cela dans l’exemple précédent : nous avons obtenu ce qui suit : Et nous avons résolu l'équation la plus simple.

Cela ne semble rien de compliqué, non ? Pratiquons d'abord les plus simples exemples:

Nous voyons encore une fois que les côtés droit et gauche de l’équation doivent être représentés comme des puissances d’un nombre. Certes, à gauche cela a déjà été fait, mais à droite il y a un numéro. Mais ce n’est pas grave, car mon équation se transformera miraculeusement en ceci :

Que devais-je utiliser ici ? Quelle règle ? Règle des « degrés dans les degrés » qui dit :

Et si:

Avant de répondre à cette question, remplissons le tableau suivant :

Il nous est facile de remarquer que moins il y en a, plus moins de valeur, mais néanmoins, toutes ces valeurs sont supérieures à zéro. ET IL EN EST TOUJOURS TOUJOURS !!! La même propriété est vraie POUR TOUTE BASE AVEC TOUT INDICATEUR !! (pour tout et). Alors que pouvons-nous conclure sur l’équation ? Voici ce que c'est : c'est n'a pas de racines! Comme toute équation n’a pas de racines. Maintenant, pratiquons et Résolvons des exemples simples :

Allons vérifier:

1. Ici, rien ne vous sera demandé si ce n'est la connaissance des propriétés des diplômes (que d'ailleurs je vous ai demandé de répéter !) En règle générale, tout mène à la plus petite base : , . Alors l’équation originale sera équivalente à la suivante : Tout ce dont j’ai besoin est d’utiliser les propriétés des puissances : Lors de la multiplication de nombres avec les mêmes bases, les puissances sont ajoutées et lors de la division, elles sont soustraites. J'obtiendrai alors : Eh bien, maintenant, en toute conscience, je vais passer de l'équation exponentielle à l'équation linéaire : \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\fin(aligner)

2. Dans le deuxième exemple, nous devons être plus prudents : le problème est que sur le côté gauche, nous ne pouvons pas représenter le même nombre comme une puissance. Dans ce cas il est parfois utile représentent les nombres comme le produit de puissances avec des bases différentes, mais les mêmes exposants :

Le côté gauche de l’équation ressemblera à : Qu’est-ce que cela nous a donné ? Voici quoi : Les nombres avec des bases différentes mais les mêmes exposants peuvent être multipliés.Dans ce cas, les bases sont multipliées, mais l'indicateur ne change pas :

Dans ma situation, cela donnera :

\begin(aligner)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\fin(aligner)

Pas mal, non ?

3. Je n’aime pas quand, inutilement, j’ai deux termes d’un côté de l’équation et aucun de l’autre (parfois, bien sûr, cela est justifié, mais ce n’est plus le cas maintenant). Je vais déplacer le terme moins vers la droite :

Maintenant, comme avant, j’écrirai tout en termes de puissances de trois :

J'ajoute les degrés à gauche et j'obtiens une équation équivalente

Vous pouvez facilement trouver sa racine :

4. Comme dans le troisième exemple, le terme moins a sa place à droite !

A ma gauche, presque tout va bien, sauf quoi ? Oui, le « mauvais degré » des deux me dérange. Mais je peux facilement résoudre ce problème en écrivant : . Eurêka - à gauche toutes les bases sont différentes, mais tous les degrés sont les mêmes ! Multiplions-nous immédiatement !

Là encore, tout est clair : (si vous ne comprenez pas comment j'ai obtenu comme par magie la dernière égalité, faites une pause d'une minute, respirez et relisez très attentivement les propriétés du degré. Qui a dit qu'on pouvait sauter une degré avec un exposant négatif ? Eh bien, ici, je suis à peu près la même chose que personne). Maintenant j'obtiendrai :

\begin(aligner)
& ((2)^(4\gauche((x) -9 \droite)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\fin(aligner)

Voici quelques problèmes à mettre en pratique, dont je ne donnerai que les réponses (mais sous une forme « mixte »). Résolvez-les, vérifiez-les, et vous et moi continuerons nos recherches !

Prêt? Réponses comme ceux-ci :

1. n'importe quel chiffre

D'accord, d'accord, je plaisantais ! Voici quelques esquisses de solutions (certaines très brèves !)

Ne pensez-vous pas que ce n'est pas une coïncidence si une fraction à gauche est l'autre « inversée » ? Ce serait un péché de ne pas en profiter :

Cette règle est très souvent utilisée lors de la résolution d’équations exponentielles, retenez-en bien !

Alors l’équation originale deviendra comme ceci :

En résolvant cette équation quadratique, vous obtiendrez les racines suivantes :

2. Autre solution : diviser les deux côtés de l'équation par l'expression de gauche (ou de droite). Je divise par ce qui est à droite, j'obtiens :

Où (pourquoi ?!)

3. Je n’ai même pas envie de me répéter, tout a déjà été tellement « mâché ».

4. équivalent à une équation quadratique, racines

5. Vous devez utiliser la formule donnée dans le premier problème, vous obtiendrez alors cela :

L’équation s’est transformée en une identité triviale qui est vraie pour tous. Alors la réponse est n’importe quel nombre réel.

Eh bien, maintenant vous avez pratiqué la résolution équations exponentielles simples. Maintenant, je veux vous en donner quelques-uns exemples de vie, ce qui vous aidera à comprendre pourquoi ils sont en principe nécessaires. Ici, je vais donner deux exemples. L’un d’eux est assez quotidien, mais l’autre est plus susceptible d’avoir un intérêt scientifique que pratique.

Exemple 1 (mercantile) Laissez-vous avoir des roubles, mais vous voulez les transformer en roubles. La banque vous propose de retirer cet argent à un taux annuel avec capitalisation mensuelle des intérêts (cumul mensuel). La question est : pendant combien de mois faut-il ouvrir un dépôt pour atteindre le montant final requis ? Une tâche assez banale, n'est-ce pas ? Néanmoins, sa solution est associée à la construction de l'équation exponentielle correspondante : Soit la somme initiale, - le montant final, - taux d'intérêt de la période, - nombre de périodes. Alors:

Dans notre cas (si le tarif est annuel, alors il est calculé mensuellement). Pourquoi est-il divisé par ? Si vous ne connaissez pas la réponse à cette question, souvenez-vous du sujet « » ! On obtient alors cette équation :

Cette équation exponentielle ne peut être résolue qu'à l'aide d'une calculatrice (son apparence fait allusion à cela, et cela nécessite une connaissance des logarithmes, dont nous ferons connaissance un peu plus tard), ce que je ferai : ... Ainsi, pour recevoir un million, nous devrons effectuer un dépôt pour un mois ( pas très vite, non ?).

Exemple 2 (plutôt scientifique). Malgré son certain « isolement », je vous recommande de faire attention à lui : il « se glisse régulièrement à l'examen d'État unifié !! (le problème est tiré de la version « réelle ») Lors de la désintégration d'un isotope radioactif, sa masse diminue selon la loi, où (mg) est la masse initiale de l'isotope, (min.) est le temps écoulé depuis la le moment initial, (min.) est la demi-vie. Au moment initial, la masse de l'isotope est de mg. Sa demi-vie est min. Au bout de combien de minutes la masse de l'isotope sera-t-elle égale à mg ? Ce n'est pas grave : on prend et substitue simplement toutes les données dans la formule qui nous est proposée :

Divisons les deux parties par, "dans l'espoir" qu'à gauche nous obtenions quelque chose de digeste :

Eh bien, nous avons beaucoup de chance ! C’est à gauche, alors passons à l’équation équivalente :

Où est min.

Comme vous pouvez le constater, les équations exponentielles ont complètement application réelle sur la pratique. Maintenant, je veux vous montrer une autre façon (simple) de résoudre des équations exponentielles, qui consiste à retirer le facteur commun des parenthèses, puis à regrouper les termes. N'ayez pas peur de mes propos, vous avez déjà découvert cette méthode en 7e lorsque vous étudiiez les polynômes. Par exemple, si vous deviez factoriser l'expression :

Regroupons : les premier et troisième termes, ainsi que les deuxième et quatrième. Il est clair que le premier et le troisième sont la différence des carrés :

et le deuxième et le quatrième ont un facteur commun de trois :

Alors l’expression originale est équivalente à ceci :

Où dériver le facteur commun n’est plus difficile :

Ainsi,

C'est à peu près ce que nous ferons lors de la résolution d'équations exponentielles : rechercher le « point commun » entre les termes et le retirer des parenthèses, et ensuite - quoi qu'il arrive, je crois que nous aurons de la chance =)) Par exemple :

A droite c'est loin d'être une puissance de sept (j'ai vérifié !) Et à gauche - c'est un peu mieux, on peut bien sûr "couper" le facteur a du deuxième à partir du premier terme, puis traiter avec ce que tu as, mais soyons plus prudents avec toi. Je ne veux pas m'occuper des fractions qui se forment inévitablement lors de la "sélection", alors ne devrais-je pas plutôt les supprimer ? Alors je n'aurai pas de fractions : comme on dit, les loups sont nourris et les moutons sont en sécurité :

Calculez l'expression entre parenthèses. Comme par magie, comme par magie, il s'avère que cela (étonnamment, mais à quoi d'autre devrions-nous nous attendre ?).

Ensuite, nous réduisons les deux côtés de l’équation de ce facteur. On obtient : , de.

Voici un exemple plus compliqué (un peu, en fait) :

Quel problème! Nous n'avons pas de terrain d'entente ici ! On ne sait pas vraiment quoi faire maintenant. Faisons ce que nous pouvons : d’abord, déplaçons les « quatre » d’un côté et les « cinq » de l’autre :

Supprimons maintenant le « général » à gauche et à droite :

Et maintenant ? Quel est l’intérêt d’un groupe aussi stupide ? À première vue, cela n'est pas visible du tout, mais regardons plus en profondeur :

Eh bien, maintenant nous allons nous assurer qu'à gauche nous n'avons que l'expression c, et à droite - tout le reste. Comment faisons-nous cela? Voici comment procéder : divisez d'abord les deux côtés de l'équation par (pour éliminer l'exposant de droite), puis divisez les deux côtés par (pour éliminer le facteur numérique à gauche). Finalement on obtient :

Incroyable! A gauche nous avons une expression, et à droite nous avons une expression simple. On conclut alors immédiatement que

Voici un autre exemple à renforcer :

Je vais donner sa solution brève (sans m'embêter avec des explications), essayez de comprendre vous-même toutes les « subtilités » de la solution.

Passons maintenant à la consolidation finale du matériel couvert. Essayez de résoudre vous-même les problèmes suivants. Je vais juste donner de brèves recommandations et conseils pour les résoudre :

1. Retirons le facteur commun entre parenthèses : Où :
2. Présentons la première expression sous la forme : , divisez les deux côtés par et obtenez cela
3. , puis l'équation d'origine est transformée sous la forme : Eh bien, maintenant un indice : cherchez où vous et moi avons déjà résolu cette équation !
4. Imaginez comment, comment, ah, eh bien, puis divisez les deux côtés par, pour obtenir l'équation exponentielle la plus simple.
5. Sortez-le des parenthèses.
6. Sortez-le des parenthèses.

ÉQUATIONS EXPONENTAIRES. NIVEAU MOYEN

Je suppose qu'après avoir lu le premier article, qui parlait de que sont les équations exponentielles et comment les résoudre, tu as maîtrisé le minimum nécessaire connaissances nécessaires pour résoudre des exemples simples.

Je vais maintenant examiner une autre méthode pour résoudre des équations exponentielles, c'est

« méthode d'introduction d'une nouvelle variable » (ou de remplacement). Il résout les problèmes les plus « difficiles » sur le thème des équations exponentielles (et pas seulement des équations). Cette méthode est l’une des plus fréquemment utilisées en pratique. Tout d'abord, je vous recommande de vous familiariser avec le sujet.

Comme vous l'avez déjà compris d'après son nom, l'essence de cette méthode est d'introduire un tel changement de variable que votre équation exponentielle se transformera miraculeusement en une équation que vous pourrez facilement résoudre. Il ne vous reste plus qu'à faire un « remplacement inversé » après avoir résolu cette « équation très simplifiée » : c'est-à-dire le retour du remplacé au remplacé. Illustrons ce que nous venons de dire avec un exemple très simple :

Exemple 1:

Cette équation est résolue à l’aide d’une « simple substitution », comme l’appellent de manière désobligeante les mathématiciens. En fait, le remplacement ici est le plus évident. Il suffit de voir ça

L’équation originale se transformera alors en ceci :

Si nous imaginons également comment, alors il est absolument clair ce qui doit être remplacé : bien sûr, . Que devient alors l’équation originale ? Voici quoi :

Vous pouvez facilement retrouver ses racines par vous-même : . Que devons-nous faire maintenant? Il est temps de revenir à la variable d'origine. Qu'est-ce que j'ai oublié de mentionner ? A savoir : lors du remplacement d'un certain degré par une nouvelle variable (c'est-à-dire lors du remplacement d'un type), je m'intéresserai à que des racines positives ! Vous pouvez facilement répondre vous-même pourquoi. Ainsi, vous et moi ne sommes pas intéressés, mais la deuxième racine nous convient tout à fait :

Alors d'où.

Répondre:

Comme vous pouvez le voir, dans l’exemple précédent, un remplaçant demandait simplement nos mains. Malheureusement, ce n'est pas toujours le cas. Cependant, n’allons pas directement aux choses tristes, mais pratiquons avec un autre exemple avec un remplacement assez simple.

Exemple 2.

Il est clair que nous devrons très probablement effectuer un remplacement (c'est la plus petite des puissances incluses dans notre équation), mais avant d'introduire un remplacement, notre équation doit y être « préparée », à savoir : , . Ensuite, vous pouvez remplacer, j'obtiens ainsi l'expression suivante :

Oh horreur : une équation cubique avec des formules absolument terribles pour la résoudre (enfin, parlant en vue générale). Mais ne désespérons pas tout de suite, mais réfléchissons à ce que nous devrions faire. Je suggère de tricher : nous savons que pour obtenir une « belle » réponse, nous devons l'obtenir sous la forme d'une puissance de trois (pourquoi, hein ?). Essayons de deviner au moins une racine de notre équation (je vais commencer par deviner avec des puissances de trois).

Première supposition. Pas une racine. Hélas et ah...

.
Le côté gauche est égal.
Partie droite : !
Manger! J'ai deviné la première racine. Désormais, les choses vont devenir plus faciles !

Connaissez-vous le système de division en « coin » ? Bien sûr que c’est le cas, vous l’utilisez lorsque vous divisez un nombre par un autre. Mais peu de gens savent qu’on peut faire la même chose avec les polynômes. Il existe un théorème merveilleux :

S'appliquant à ma situation, cela me dit qu'il est divisible sans reste par. Comment s’effectue la division ? C'est comme ça:

Je regarde par quel monôme je dois multiplier pour obtenir Clearly, puis :

Je soustrais l'expression résultante, j'obtiens :

Maintenant, par quoi dois-je multiplier pour obtenir ? Il est clair que sur, alors j'obtiendrai :

et soustrayez à nouveau l'expression résultante de l'expression restante :

Eh bien, la dernière étape consiste à multiplier par et à soustraire de l'expression restante :

Hourra, la division est terminée ! Qu’avons-nous accumulé en privé ? Par lui-même: .

Nous obtenons alors le développement suivant du polynôme original :

Résolvons la deuxième équation :

Il a des racines :

Alors l'équation originale :

a trois racines :

Nous écarterons bien entendu la dernière racine, puisqu’elle est inférieure à zéro. Et les deux premiers après remplacement inverse nous donneront deux racines :

Répondre: ..

Avec cet exemple, je ne voulais pas du tout vous effrayer, mais plutôt montrer que même si nous avions un remplacement assez simple, il conduisait néanmoins à une équation assez complexe, dont la solution exigeait de notre part des compétences particulières. Eh bien, personne n’est à l’abri de cela. Mais le remplacement dans dans ce casétait assez évident.

Voici un exemple avec un remplacement légèrement moins évident :

Ce que nous devons faire n’est pas du tout clair : le problème est que dans notre équation il y a deux bases différentes et qu’une base ne peut pas être obtenue à partir de l’autre en l’élevant à une puissance (raisonnable, naturellement). Cependant, que voit-on ? Les deux bases ne diffèrent que par le signe, et leur produit est la différence des carrés égal à un :

Définition:

Ainsi, les nombres qui sont les bases dans notre exemple sont conjugués.

Dans ce cas, la démarche intelligente serait multipliez les deux côtés de l’équation par le nombre conjugué.

Par exemple, le côté gauche de l'équation deviendra égal à et le côté droit. Si nous effectuons une substitution, alors notre équation originale deviendra comme ceci :

ses racines, alors, et en nous souvenant de cela, nous comprenons cela.

Répondre: , .

En règle générale, la méthode de remplacement est suffisante pour résoudre la plupart des équations exponentielles « scolaires ». Les tâches suivantes sont tirées de l'examen d'État unifié C1 ( niveau augmenté des difficultés). Vous êtes déjà suffisamment instruit pour résoudre ces exemples par vous-même. Je ne donnerai que le remplacement requis.

1. Résous l'équation:
2. Trouvez les racines de l'équation :
3. Résous l'équation: . Trouvez toutes les racines de cette équation qui appartiennent au segment :

Et maintenant quelques brèves explications et réponses :

1. Ici, il nous suffit de constater que... L'équation d'origine sera alors équivalente à ceci : Cette équation peut être résolue en remplaçant Faites vous-même les autres calculs. Au final, votre tâche se résumera à résoudre des problèmes trigonométriques simples (en fonction du sinus ou du cosinus). Nous examinerons des solutions à des exemples similaires dans d’autres sections.
2. Ici, vous pouvez même vous passer de substitution : déplacez simplement le sous-trahend vers la droite et représentez les deux bases par des puissances de deux : , puis passez directement à l'équation quadratique.
3. La troisième équation est également résolue de manière assez classique : imaginons comment. Ensuite, en remplaçant, on obtient une équation quadratique : alors,

   Vous savez déjà ce qu'est un logarithme, n'est-ce pas ? Non? Alors lisez le sujet de toute urgence !

   La première racine n’appartient évidemment pas au segment, mais la seconde n’est pas claire ! Mais nous le saurons très bientôt ! Puisque donc (c’est une propriété du logarithme !) comparons :

   Soustrayons des deux côtés, on obtient alors :

   Côté gauche peut être représenté comme suit :

   multiplier les deux côtés par :

   peut être multiplié par, alors

   Comparez ensuite :

   depuis lors:

   Alors la deuxième racine appartient à l'intervalle requis

   Répondre:

Comme tu vois, la sélection des racines des équations exponentielles nécessite suffisamment connaissance approfondie propriétés des logarithmes, je vous conseille donc d'être aussi prudent que possible lors de la résolution d'équations exponentielles. Vous l’aurez compris, en mathématiques, tout est lié ! Comme le disait mon professeur de mathématiques : « les mathématiques, comme l’histoire, ne peuvent pas être lues du jour au lendemain ».

En règle générale, tout La difficulté de résoudre les problèmes C1 réside précisément dans la sélection des racines de l’équation. Pratiquons avec un autre exemple :

Il est clair que l’équation elle-même est résolue tout simplement. En effectuant une substitution, nous réduisons notre équation originale à la suivante :

Regardons d'abord la première racine. Comparons et : depuis, alors. (propriété fonction logarithmique, à). Il est alors clair que la racine première n’appartient pas à notre intervalle. Maintenant la deuxième racine : . Il est clair que (puisque la fonction at est croissante). Reste à comparer et...

depuis, en même temps. De cette façon, je peux « enfoncer une cheville » entre le et. Cette cheville est un nombre. La première expression est inférieure et la seconde est plus grande. Alors la deuxième expression est supérieure à la première et la racine appartient à l’intervalle.

Répondre: .

Enfin, regardons un autre exemple d'équation où la substitution est assez non standard :

Commençons tout de suite par ce qui peut être fait et ce qui, en principe, peut être fait, mais il vaut mieux ne pas le faire. Vous pouvez tout imaginer grâce aux puissances de trois, deux et six. Où cela mène-t-il ? Cela ne mènera à rien : un fouillis de diplômes dont certains seront bien difficiles à se débarrasser. Que faut-il alors ? Notons que a Et qu'est-ce que cela nous donne ? Et le fait qu’on puisse réduire la solution de cet exemple à la solution d’une équation exponentielle assez simple ! Tout d’abord, réécrivons notre équation comme suit :

Divisons maintenant les deux côtés de l'équation résultante par :

Eurêka ! Maintenant on peut remplacer, on obtient :

Eh bien, maintenant c'est à votre tour de résoudre des problèmes exemplaires, et je ne leur donnerai que brefs commentaires pour ne pas vous égarer ! Bonne chance!

1. Le plus difficile ! C'est tellement difficile de voir un remplaçant ici ! Néanmoins, cet exemple peut être complètement résolu en utilisant mettre en évidence un carré complet. Pour le résoudre, il suffit de noter que :

Alors voici votre remplaçant :

(Veuillez noter qu'ici, lors de notre remplacement, nous ne pouvons pas éliminer la racine négative !!! Pourquoi en pensez-vous ?)

Maintenant, pour résoudre l’exemple, il vous suffit de résoudre deux équations :

Les deux sont résolus " remplacement standard"(mais le deuxième dans un exemple !)

2. Notez-le et effectuez un remplacement.

3. Décomposez le nombre en facteurs premiers entre eux et simplifiez l'expression résultante.

4. Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par (ou, si vous préférez) et effectuez la substitution ou.

5. Notez que les nombres et sont conjugués.

ÉQUATIONS EXPONENTAIRES. NIVEAU AVANCÉ

De plus, regardons une autre manière - résoudre des équations exponentielles à l'aide de la méthode du logarithme. Je ne peux pas dire que la résolution d’équations exponentielles à l’aide de cette méthode soit très populaire, mais dans certains cas seulement, cela peut nous amener à la bonne décision notre équation. Il est particulièrement souvent utilisé pour résoudre ce qu'on appelle « équations mixtes" : c'est-à-dire ceux où se produisent des fonctions de différents types.

Par exemple, une équation de la forme :

dans le cas général, il ne peut être résolu qu'en prenant des logarithmes des deux côtés (par exemple, à la base), dans lesquels l'équation originale se transformera en ce qui suit :

Regardons l'exemple suivant :

Il est clair que seule l'ODZ de la fonction logarithmique nous intéresse. Cependant, cela découle non seulement de l'ODZ du logarithme, mais aussi d'une autre raison. Je pense qu’il ne vous sera pas difficile de deviner de quoi il s’agit.

Prenons le logarithme des deux côtés de notre équation à la base :

Comme vous pouvez le constater, prendre le logarithme de notre équation originale nous a rapidement conduit à la bonne (et belle !) réponse. Pratiquons avec un autre exemple :

Il n’y a rien de mal ici non plus : prenons le logarithme des deux côtés de l’équation à la base, nous obtenons alors :

Faisons un remplacement :

Cependant, nous avons raté quelque chose ! Avez-vous remarqué où j'ai fait une erreur ? Après tout, alors :

ce qui ne satisfait pas à l’exigence (pensez à d’où cela vient !)

Répondre:

Essayez d'écrire la solution des équations exponentielles ci-dessous :

Comparez maintenant votre décision avec ceci :

1. Logarithmonons les deux côtés à la base, en tenant compte de ce qui suit :

(la deuxième racine ne nous convient pas en raison du remplacement)

2. Logarithme à la base :

Transformons l'expression résultante sous la forme suivante :

ÉQUATIONS EXPONENTAIRES. BRÈVE DESCRIPTION ET FORMULES DE BASE

Équation exponentielle

Équation de la forme :

appelé l'équation exponentielle la plus simple.

Propriétés des diplômes

Approches de solution

• Réduction sur la même base
• Réduction au même exposant
• Remplacement variable
• Simplifier l'expression et appliquer l'une des solutions ci-dessus.

Cette leçon est destinée à ceux qui commencent tout juste à apprendre les équations exponentielles. Comme toujours, commençons par la définition et des exemples simples.

Si vous lisez cette leçon, alors je suppose que vous avez déjà au moins une compréhension minimale des équations les plus simples - linéaires et quadratiques : $56x-11=0$ ; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, etc. Être capable de résoudre de telles constructions est absolument nécessaire pour ne pas « rester coincé » dans le sujet qui va maintenant être abordé.

Donc, des équations exponentielles. Laissez-moi vous donner quelques exemples :

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Certains d’entre eux peuvent vous paraître plus complexes, tandis que d’autres, au contraire, sont trop simples. Mais ils ont tous une caractéristique importante en commun : leur notation contient la fonction exponentielle $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Ainsi, introduisons la définition :

Une équation exponentielle est toute équation contenant une fonction exponentielle, c'est-à-dire expression de la forme $((a)^(x))$. En plus de la fonction indiquée, ces équations peuvent contenir toute autre construction algébrique - polynômes, racines, trigonométrie, logarithmes, etc.

Alors ok. Nous avons réglé la définition. Maintenant la question est : comment résoudre toutes ces conneries ? La réponse est à la fois simple et complexe.

Commençons par la bonne nouvelle : d'après mon expérience d'enseignement à de nombreux étudiants, je peux dire que la plupart d'entre eux trouvent les équations exponentielles beaucoup plus faciles que les mêmes logarithmes, et encore plus la trigonométrie.

Mais il y a de mauvaises nouvelles : parfois, les compilateurs de problèmes pour toutes sortes de manuels et d'examens sont frappés par « l'inspiration », et leur cerveau enflammé par la drogue commence à produire des équations si brutales que leur résolution devient problématique non seulement pour les étudiants, mais aussi pour de nombreux enseignants. rester coincé sur de tels problèmes.

Cependant, ne parlons pas de choses tristes. Et revenons à ces trois équations données au tout début de l'histoire. Essayons de résoudre chacun d'eux.

Première équation : $((2)^(x))=4$. Eh bien, à quelle puissance faut-il élever le chiffre 2 pour obtenir le chiffre 4 ? Probablement le deuxième ? Après tout, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - et nous avons obtenu l'égalité numérique correcte, c'est-à-dire en effet $x=2$. Eh bien, merci Cap, mais cette équation était si simple que même mon chat pouvait la résoudre :)

Regardons l'équation suivante :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Mais ici, c'est un peu plus compliqué. De nombreux étudiants savent que $((5)^(2))=25$ est la table de multiplication. Certains soupçonnent également que $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ est essentiellement la définition des puissances négatives (similaire à la formule $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Finalement, seuls quelques privilégiés réalisent que ces faits peuvent être combinés et donner le résultat suivant :

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Ainsi, notre équation originale sera réécrite comme suit :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Mais c'est déjà tout à fait résoluble ! À gauche dans l'équation il y a une fonction exponentielle, à droite dans l'équation il y a une fonction exponentielle, il n'y a rien d'autre nulle part à part elles. On peut donc « rejeter » les bases et assimiler bêtement les indicateurs :

Nous avons obtenu l’équation linéaire la plus simple qu’un étudiant puisse résoudre en quelques lignes seulement. Bon, en quatre lignes :

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Si vous ne comprenez pas ce qui s'est passé dans les quatre dernières lignes, assurez-vous de revenir au sujet " équations linéaires" et répétez-le. Car sans une compréhension claire de ce sujet, il est trop tôt pour aborder les équations exponentielles.

\[((9)^(x))=-3\]

Alors, comment pouvons-nous résoudre ce problème ? Première pensée : $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, donc l'équation originale peut être réécrite comme suit :

\[((\gauche(((3)^(2)) \droite))^(x))=-3\]

On se souvient ensuite que lorsqu'on élève une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Et pour une telle décision, nous en recevrons deux honnêtement mérités. Car, avec la sérénité d'un Pokémon, nous avons envoyé le signe moins devant le trois à la puissance de ce même trois. Mais vous ne pouvez pas faire ça. Et c'est pourquoi. Jetez un œil aux différents pouvoirs de trois :

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

Lors de la compilation de cette tablette, j'ai essayé autant que possible d'éviter la perversion : et degrés positifs considérés à la fois comme négatifs et même fractionnaires... eh bien, où est au moins un un nombre négatif? Il est parti! Et cela ne peut pas être le cas, car la fonction exponentielle $y=((a)^(x))$, premièrement, ne prend toujours que des valeurs positives (peu importe combien un est multiplié ou divisé par deux, ce sera toujours un nombre positif), et d'autre part, la base d'une telle fonction - le nombre $a$ - est par définition un nombre positif !

Eh bien, comment alors résoudre l'équation $((9)^(x))=-3$ ? Mais pas question : il n’y a pas de racines. Et en ce sens, les équations exponentielles sont très similaires aux équations quadratiques : il se peut également qu'il n'y ait pas de racines. Mais si dans équations du second degré le nombre de racines est déterminé par le discriminant (discriminant positif - 2 racines, négatif - pas de racines), puis dans les exponentielles tout dépend de ce qui se trouve à droite du signe égal.

Formulons ainsi la conclusion clé : l'équation exponentielle la plus simple de la forme $((a)^(x))=b$ a une racine si et seulement si $b>0$. Connaissant ce simple fait, vous pouvez facilement déterminer si l'équation qui vous est proposée a des racines ou non. Ceux. Vaut-il la peine de le résoudre ou d'écrire immédiatement qu'il n'y a pas de racines.

Cette connaissance nous aidera à plusieurs reprises lorsque nous devrons décider davantage tâches complexes. Pour l'instant, assez de paroles - il est temps d'étudier l'algorithme de base pour résoudre les équations exponentielles.

Comment résoudre des équations exponentielles

Alors, formulons le problème. Il faut résoudre l'équation exponentielle :

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Selon l'algorithme « naïf » que nous avons utilisé précédemment, il faut représenter le nombre $b$ comme une puissance du nombre $a$ :

De plus, si à la place de la variable $x$ il y a une expression, nous obtiendrons une nouvelle équation qui peut déjà être résolue. Par exemple:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\fin (aligner)\]

Et curieusement, ce système fonctionne dans environ 90 % des cas. Qu’en est-il alors des 10 % restants ? Les 10 % restants sont des équations exponentielles légèrement « schizophréniques » de la forme :

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Eh bien, à quelle puissance faut-il augmenter 2 pour obtenir 3 ? D'abord? Mais non : $((2)^(1))=2$ ne suffit pas. Deuxième? Non non plus : $((2)^(2))=4$, c'est trop. Lequel alors ?

Les étudiants avertis l'ont probablement déjà deviné : dans de tels cas, lorsqu'il n'est pas possible de le résoudre « magnifiquement », l'« artillerie lourde » - les logarithmes - entre en jeu. Permettez-moi de vous rappeler qu'en utilisant les logarithmes, tout nombre positif peut être représenté comme une puissance de n'importe quel autre nombre positif (sauf un) :

Vous vous souvenez de cette formule ? Quand je parle de logarithmes à mes élèves, je préviens toujours : cette formule (également la principale identité logarithmique ou, si vous préférez, la définition d'un logarithme) vous hantera très longtemps et « surgira » dans les endroits les plus inattendus. Eh bien, elle a refait surface. Regardons notre équation et cette formule :

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Si nous supposons que $a=3$ est notre nombre d'origine à droite et que $b=2$ est la base même de la fonction exponentielle à laquelle nous voulons tant réduire le côté droit, nous obtenons ce qui suit :

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\fin (aligner)\]

Nous avons reçu une réponse légèrement étrange : $x=((\log )_(2))3$. Dans une autre tâche, beaucoup auraient des doutes sur une telle réponse et commenceraient à revérifier leur solution : et si une erreur s'était glissée quelque part ? Je m'empresse de vous faire plaisir : il n'y a pas d'erreur ici, et les logarithmes dans les racines des équations exponentielles sont une situation tout à fait typique. Alors habituez-vous :)

Résolvons maintenant les deux équations restantes par analogie :

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! D'ailleurs, la dernière réponse peut s'écrire différemment :

Nous avons introduit un facteur dans l'argument du logarithme. Mais personne ne nous empêche d’ajouter ce facteur à la base :

De plus, les trois options sont correctes - c'est simple formes différentes enregistrements du même numéro. C'est à vous de décider lequel choisir et noter dans cette solution.

Ainsi, nous avons appris à résoudre toutes les équations exponentielles de la forme $((a)^(x))=b$, où les nombres $a$ et $b$ sont strictement positifs. Cependant, la dure réalité de notre monde est qu'une telle tâches simples vous vous rencontrerez très, très rarement. Le plus souvent, vous rencontrerez quelque chose comme ceci :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fin (aligner)\]

Alors, comment pouvons-nous résoudre ce problème ? Est-ce que cela peut être résolu ? Et si oui, comment ?

Ne pas paniquer. Toutes ces équations peuvent être rapidement et facilement réduites à formules simples que nous avons déjà envisagé. Vous avez juste besoin de vous rappeler quelques astuces du cours d'algèbre. Et bien sûr, il n’y a pas de règles pour travailler avec des diplômes. Je vais vous parler de tout ça maintenant :)

Conversion d'équations exponentielles

La première chose à retenir : toute équation exponentielle, aussi complexe soit-elle, doit d'une manière ou d'une autre être réduite aux équations les plus simples - celles que nous avons déjà considérées et que nous savons résoudre. En d'autres termes, le schéma de résolution de toute équation exponentielle ressemble à ceci :

1. Écrivez l’équation originale. Par exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Fais des conneries bizarres. Ou même des conneries appelées « convertir une équation » ;
3. En sortie, obtenez les expressions les plus simples de la forme $((4)^(x))=4$ ou quelque chose d'autre comme ça. De plus, une équation initiale peut donner plusieurs expressions de ce type à la fois.

Tout est clair avec le premier point : même mon chat peut écrire l'équation sur un morceau de papier. Le troisième point semble également plus ou moins clair - nous avons déjà résolu tout un tas de ces équations ci-dessus.

Mais qu’en est-il du deuxième point ? Quel genre de transformations ? Transformer quoi en quoi ? Et comment?

Eh bien, découvrons-le. Tout d’abord, je voudrais noter ce qui suit. Toutes les équations exponentielles sont divisées en deux types :

1. L'équation est composée de fonctions exponentielles de même base. Exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. La formule contient des fonctions exponentielles avec différentes bases. Exemples : $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ et $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Commençons par les équations du premier type : ce sont les plus faciles à résoudre. Et pour les résoudre, nous serons aidés par une technique telle que la mise en évidence d'expressions stables.

Isoler une expression stable

Regardons à nouveau cette équation :

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Que voit-on ? Les quatre sont élevés à des degrés différents. Mais toutes ces puissances sont de simples sommes de la variable $x$ avec d'autres nombres. Par conséquent, il est nécessaire de rappeler les règles pour travailler avec des diplômes :

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\fin (aligner)\]

En termes simples, l’addition peut être convertie en produit de puissances et la soustraction peut facilement être convertie en division. Essayons d'appliquer ces formules aux degrés de notre équation :

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\fin (aligner)\]

Réécrivons l'équation originale en tenant compte de ce fait, puis rassemblons tous les termes à gauche :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -onze; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fin (aligner)\]

Les quatre premiers termes contiennent l'élément $((4)^(x))$ - retirons-le des parenthèses :

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\fin (aligner)\]

Il reste à diviser les deux côtés de l'équation par la fraction $-\frac(11)(4)$, c'est-à-dire multiplier essentiellement par la fraction inversée - $-\frac(4)(11)$. On a:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! Nous avons réduit l’équation originale à sa forme la plus simple et obtenu la réponse finale.

En même temps, au cours du processus de résolution, nous avons découvert (et même retiré du support) le facteur commun $((4)^(x))$ - c'est une expression stable. Elle peut être désignée comme une nouvelle variable, ou vous pouvez simplement l'exprimer avec soin et obtenir la réponse. De toute façon, principe clé Les solutions sont les suivantes :

Trouvez dans l'équation originale une expression stable contenant une variable qui se distingue facilement de toutes les fonctions exponentielles.

La bonne nouvelle est que presque toutes les équations exponentielles vous permettent d’isoler une expression aussi stable.

Mais la mauvaise nouvelle est que ces expressions peuvent être assez délicates et difficiles à identifier. Examinons donc un autre problème :

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Peut-être que quelqu'un a maintenant une question : « Pacha, es-tu défoncé ? Il y a différentes bases ici – 5 et 0,2. Mais essayons de convertir la puissance en base 0,2. Par exemple, débarrassons-nous de la fraction décimale en la réduisant à une fraction régulière :

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Comme vous pouvez le constater, le chiffre 5 apparaissait toujours, bien qu'au dénominateur. Dans le même temps, l’indicateur a été réécrit en négatif. Et maintenant rappelons-nous l'un des les règles les plus importantes travailler avec des diplômes :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ici, bien sûr, je mentais un peu. Car pour une compréhension complète, la formule pour se débarrasser des indicateurs négatifs devait s'écrire ainsi :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ à droite))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

En revanche, rien ne nous empêchait de travailler uniquement avec des fractions :

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ droite))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Mais dans ce cas, il faut pouvoir élever une puissance à une autre puissance (je vous le rappelle : dans ce cas, les indicateurs s'additionnent). Mais je n'ai pas eu à "inverser" les fractions - ce sera peut-être plus facile pour certains :)

Dans tous les cas, l’équation exponentielle originale sera réécrite comme suit :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fin (aligner)\]

Il s'avère donc que l'équation originale peut être résolue encore plus simplement que celle considérée précédemment : ici, vous n'avez même pas besoin de sélectionner une expression stable - tout a été réduit de lui-même. Il ne reste plus qu'à rappeler que $1=((5)^(0))$, d'où on obtient :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\fin (aligner)\]

C'est la solution ! Nous avons obtenu la réponse finale : $x=-2$. En parallèle, je voudrais souligner une technique qui nous a grandement simplifié tous les calculs :

Dans les équations exponentielles, assurez-vous de vous débarrasser de décimales, convertissez-les en fichiers normaux. Cela vous permettra de voir les mêmes bases de diplômes et de simplifier grandement la solution.

Passons maintenant à plus équations complexes, dans lequel il existe différentes bases qui ne sont pas du tout réductibles les unes aux autres à l'aide de degrés.

Utilisation de la propriété Degrees

Permettez-moi de vous rappeler que nous avons deux équations plus particulièrement dures :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fin (aligner)\]

La principale difficulté ici est qu’il n’est pas clair quoi donner et sur quelle base. Où définir des expressions? Où sont les mêmes motifs ? Il n’y a rien de tout cela.

Mais essayons d'emprunter une voie différente. S'il n'y a pas de prêt motifs identiques, vous pouvez essayer de les retrouver en factorisant les bases existantes.

Commençons par la première équation :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\fin (aligner)\]

Mais vous pouvez faire l'inverse : former le nombre 21 à partir des nombres 7 et 3. C'est particulièrement facile à faire à gauche, puisque les indicateurs des deux degrés sont les mêmes :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! Vous avez sorti l'exposant du produit et obtenu immédiatement une belle équation qui peut être résolue en quelques lignes.

Examinons maintenant la deuxième équation. Tout est beaucoup plus compliqué ici :

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Dans ce cas, les fractions se sont avérées irréductibles, mais si quelque chose pouvait être réduit, assurez-vous de le réduire. Souvent, des raisons intéressantes apparaîtront avec lesquelles vous pouvez déjà travailler.

Malheureusement, rien de spécial ne nous est apparu. Mais on voit que les exposants de gauche dans le produit sont opposés :

Je vous le rappelle : pour supprimer le signe moins dans l'indicateur, il suffit de « retourner » la fraction. Eh bien, réécrivons l'équation originale :

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fin (aligner)\]

Dans la deuxième ligne, nous avons simplement retiré l'exposant total du produit de la parenthèse selon la règle $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, et dans le dernier, ils ont simplement multiplié le nombre 100 par une fraction.

Notez maintenant que les chiffres à gauche (à la base) et à droite sont quelque peu similaires. Comment? Oui, c’est évident : ce sont des puissances du même nombre ! Nous avons:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \droite))^(2)). \\\fin (aligner)\]

Ainsi, notre équation sera réécrite comme suit :

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\droite))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Dans ce cas, à droite vous pouvez également obtenir un diplôme avec la même base, pour lequel il suffit simplement de « retourner » la fraction :

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Notre équation prendra finalement la forme :

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\fin (aligner)\]

C'est la solution. Son idée principale se résume au fait que même avec pour des raisons différentes nous essayons, par crochet ou par escroc, de réduire ces bases à la même chose. Ils nous aident avec ça transformations élémentaireséquations et règles pour travailler avec les degrés.

Mais quelles règles et quand l’utiliser ? Comment comprenez-vous que dans une équation, vous devez diviser les deux côtés par quelque chose, et dans une autre, vous devez factoriser la base de la fonction exponentielle ?

La réponse à cette question viendra avec l’expérience. Essayez-vous d'abord équations simples, puis compliquez progressivement les tâches - et très bientôt vos compétences seront suffisantes pour résoudre n'importe quelle équation exponentielle du même examen d'État unifié ou de tout travail indépendant/test.

Et pour vous aider dans cette affaire difficile, je vous propose de télécharger un ensemble d'équations pour décision indépendante. Toutes les équations ont des réponses, vous pouvez donc toujours vous tester.

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Type de cours

: cours sur la généralisation et l'application complexe des connaissances, des compétences et des capacités sur le thème « Équations exponentielles et méthodes pour les résoudre. »

Objectifs de la leçon.

Éducatif:

répéter et systématiser le matériel principal du thème « Les équations exponentielles, leurs solutions » ; consolider la capacité d'utiliser des algorithmes appropriés lors de la résolution d'équations exponentielles de divers types ; préparation à l'examen d'État unifié.

Éducatif:

développer la pensée logique et associative des élèves ; favoriser le développement des compétences utilisation personnelle connaissance.

Éducatif:

cultiver le dévouement, l’attention et la précision lors de la résolution d’équations.

Équipement:

ordinateur et projecteur multimédia.

Utilisé en classe informatique : support méthodologique de la leçon – présentation dans Microsoft Power Point.

Pendant les cours

Chaque compétence s'accompagne d'un travail acharné

JE. Fixer un objectif de cours(Diapositive numéro 2 )

Dans cette leçon, nous résumerons et généraliserons le sujet « Équations exponentielles, leurs solutions ». Faisons connaissance avec typique Travaux d'examen d'État unifié différentes années sur ce sujet.

Des problèmes de résolution d'équations exponentielles peuvent être trouvés dans n'importe quelle partie des tâches de l'examen d'État unifié. Dans la partie " DANS " Habituellement, ils proposent de résoudre les équations exponentielles les plus simples. Dans la partie " AVEC " Vous pouvez trouver des équations exponentielles plus complexes, dont la solution est généralement l'une des étapes de réalisation de la tâche.

Par exemple ( Diapositive numéro 3 ).

• Examen d'État unifié - 2007

Q 4 – Trouver la plus grande valeur de l'expression xy, Où ( X; à) – solution du système :

• Examen d'État unifié - 2008

Q 1 – Résolvez les équations :

UN) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• Examen d'État unifié - 2009

Q 4 – Trouver le sens de l’expression x + y, Où ( X; à) – solution du système :

• Examen d'État unifié - 2010

– Résoudre l'équation : 7 X– 2 = 49. – Trouver les racines de l’équation : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Résoudre le système d’équations :

II. Actualisation des connaissances de base. Répétition

(Diapositives n° 4 à 6 présentations pour la leçon)

Montré à l'écran résumé de base du matériel théorique sur ce sujet.

Les questions suivantes sont abordées :

1. Comment s'appellent les équations indicatif?
2. Nommez les principaux moyens de les résoudre. Donnez des exemples de leurs types ( Diapositive numéro 4 )

(Résolvez indépendamment les équations proposées pour chaque méthode et effectuez un auto-test à l'aide de la diapositive)

3. Quel théorème est utilisé lors de la résolution d'équations exponentielles simples de la forme : et f(x) = un g(x) ?
4. Quelles autres méthodes existent pour résoudre des équations exponentielles ? ( Diapositive numéro 5 )

• Méthode de factorisation
(basé sur les propriétés des puissances avec mentions identiques, technique : le diplôme ayant l'indicateur le plus bas est sorti entre parenthèses).
• La technique de division (multiplication) par une expression exponentielle autre que zéro lors de la résolution d'équations exponentielles homogènes
.

• Conseil:

Lors de la résolution d’équations exponentielles, il est utile d’effectuer d’abord des transformations, obtenant des puissances avec les mêmes bases des deux côtés de l’équation.

1. Résoudre des équations en utilisant les deux dernières méthodes avec commentaires ultérieurs

(Diapositive numéro 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, X = 2,5 .

2 2 2х – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦ : 5 2 X 0,

2 (2/5) 2х – 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5)x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5)x, X= ?...

III. Résoudre les tâches de l'examen d'État unifié 2010

Les élèves résolvent de manière autonome les tâches proposées au début de la leçon sur la diapositive n°3, en utilisant les instructions pour la solution, vérifient leurs progrès dans la résolution et leurs réponses à l'aide d'une présentation ( Diapositive numéro 7). Au cours des travaux, les options et les solutions sont discutées, l'attention est attirée sur erreurs possibles au moment de décider.

:a)7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 à 7 fois = 36. Répondre: UN) X= 4,b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X– 1 = 0. (Peut être remplacé par 0,5 = 4 – 0,5)

Solution. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Répondre: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 pièce oui+ 4 = 5 -tg oui, à cause du fait oui< 0.

Itinéraire vers la solution

. 5 5 pièces oui+ 4 = 5 -tg oui¦ 5 g oui 0,

5 5 2g oui+ 4 5 pièce oui – 1 = 0. Soit X= 5 tonnes oui , …

5 pièces oui = -1 (?...), 5 pièces y = 1/5.

Depuis le début oui= -1 et cos oui< 0, alors à II quartier de coordonnées

Répondre: à= 3/4 + 2k, k N.

IV. Travail d'équipe au conseil d'administration

Une tâche de formation de haut niveau est envisagée - Diapositive numéro 8. A l'aide de cette diapositive, un dialogue s'instaure entre l'enseignant et les élèves, facilitant l'élaboration d'une solution.

– A quel paramètre UN équation 2 2 X – 3 2 X + UN 2 – 4UN= 0 a deux racines ?

Laisser t= 2 X, Où t > 0 . On a t 2 – 3t + (UN 2 – 4UN) = 0 .

1). Puisque l'équation a deux racines, alors D > 0 ;

2). Parce que t 1,2 > 0, alors t 1 t 2 > 0, c'est-à-dire UN 2 – 4UN> 0 (?...).

Répondre: UN(– 0,5 ; 0) ou (4 ; 4,5).

V. Travaux d'essai

(Diapositive numéro 9 )

Les étudiants performent travail d'essai sur des morceaux de papier, en exerçant l'autocontrôle et l'auto-évaluation du travail effectué à l'aide d'une présentation, en s'établissant dans le sujet. Ils déterminent eux-mêmes de manière indépendante un programme de régulation et de correction des connaissances basé sur les erreurs commises dans les cahiers d'exercices. Les fiches des travaux autonomes réalisés sont remises à l'enseignant pour vérification.

Chiffres soulignés – niveau de base, avec un astérisque – complexité accrue.

Solution et réponses.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

X = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (ne convient pas),

(3/5) X = 5, X = -1.

VI. Devoir

(Diapositive numéro 10 )

• Répétez les § 11, 12.
• À partir des documents de l'examen d'État unifié 2008 - 2010, sélectionnez des tâches sur le sujet et résolvez-les.
• Travaux d'essais à domicile
:

Au stade de la préparation au test final, les lycéens doivent améliorer leurs connaissances sur le thème « Équations exponentielles ». L'expérience des années passées indique que de telles tâches posent certaines difficultés aux écoliers. Par conséquent, les lycéens, quel que soit leur niveau de préparation, doivent maîtriser parfaitement la théorie, mémoriser les formules et comprendre le principe de résolution de telles équations. Ayant appris à faire face à ce type de problème, les diplômés peuvent compter sur des scores élevés lors de la réussite de l'examen d'État unifié en mathématiques.

Préparez-vous pour les tests d'examen avec Shkolkovo !

En examinant les matières qu'ils ont couvertes, de nombreux étudiants sont confrontés au problème de trouver les formules nécessaires pour résoudre des équations. Un manuel scolaire n'est pas toujours à portée de main et la sélection des informations nécessaires sur un sujet sur Internet prend beaucoup de temps.

Le portail pédagogique Shkolkovo invite les étudiants à utiliser notre base de connaissances. Nous mettons en œuvre complètement nouvelle méthode préparation à l'examen final. En étudiant sur notre site Web, vous pourrez identifier les lacunes dans les connaissances et prêter attention aux tâches qui posent le plus de difficultés.

Les enseignants de Shkolkovo ont rassemblé, systématisé et présenté tout le nécessaire pour réussite Matériel d'examen d'État unifié sous la forme la plus simple et la plus accessible.

Les définitions et formules de base sont présentées dans la section « Contexte théorique ».

Pour mieux comprendre le matériel, nous vous recommandons de vous entraîner à réaliser les devoirs. Examinez attentivement les exemples d'équations exponentielles avec solutions présentés sur cette page pour comprendre l'algorithme de calcul. Après cela, procédez à l'exécution des tâches dans la section « Répertoires ». Vous pouvez commencer par les problèmes les plus simples ou passer directement à la résolution d'équations exponentielles complexes à plusieurs inconnues ou . La base de données d'exercices sur notre site Internet est constamment complétée et mise à jour.

Les exemples avec des indicateurs qui vous ont posé des difficultés peuvent être ajoutés aux « Favoris ». De cette façon, vous pourrez les trouver rapidement et discuter de la solution avec votre professeur.

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