La pendiente de la tangente a la gráfica de la función es positiva. Pendiente tangente como pendiente tangente

Aprende a sacar derivadas de funciones. La derivada caracteriza la tasa de cambio de una función en un cierto punto que se encuentra en el gráfico de esta función. EN este caso El gráfico puede ser una línea recta o una línea curva. Es decir, la derivada caracteriza la tasa de cambio de la función en un punto particular en el tiempo. Recordar reglas generales para lo cual se toman derivados, y solo entonces se procede al siguiente paso.

• Leer el artículo.
• Cómo tomar las derivadas más simples, por ejemplo, la derivada ecuación exponencial, descrito . Los cálculos presentados en los siguientes pasos se basarán en los métodos descritos allí.

Aprenda a distinguir entre problemas en los que la pendiente debe calcularse en términos de la derivada de una función. En las tareas, no siempre se sugiere encontrar la pendiente o la derivada de una función. Por ejemplo, se le puede pedir que encuentre la tasa de cambio de una función en el punto A(x, y). También se le puede pedir que encuentre la pendiente de la tangente en el punto A(x, y). En ambos casos, es necesario tomar la derivada de la función.

En matemáticas, uno de los parámetros que describen la posición de una línea recta en el plano de coordenadas cartesianas es la pendiente de esta línea recta. Este parámetro caracteriza la pendiente de la línea recta al eje x. Para entender cómo encontrar la pendiente, primero recuerde la forma general de la ecuación de una línea recta en el sistema de coordenadas XY.

EN vista general cualquier línea se puede representar mediante la expresión ax+by=c, donde a, b y c son números reales arbitrarios, pero necesariamente a 2 + b 2 ≠ 0.

Con la ayuda de transformaciones simples, dicha ecuación se puede llevar a la forma y=kx+d, en la que k y d son números reales. El número k es una pendiente, y la ecuación de una recta de este tipo se llama ecuación con pendiente. Resulta que para encontrar la pendiente, solo necesitas llevar la ecuación original a la forma anterior. Para una mejor comprensión, considere un ejemplo específico:

Tarea: Encuentra la pendiente de la línea dada por la ecuación 36x - 18y = 108

Solución: Transformemos la ecuación original.

Respuesta: La pendiente deseada de esta recta es 2.

Si durante la transformación de la ecuación obtuvimos una expresión del tipo x = const y como resultado no podemos representar y en función de x, entonces estamos ante una recta paralela al eje X. La pendiente de tal línea recta es igual a infinito.

Para líneas que se expresan mediante una ecuación como y = const, la pendiente es cero. Esto es típico para líneas rectas paralelas al eje x. Por ejemplo:

Tarea: Encuentra la pendiente de la recta dada por la ecuación 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solución: Llevamos la ecuación original a una forma general

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Es imposible expresar y a partir de la expresión resultante, por lo tanto, la pendiente de esta línea es igual al infinito y la línea en sí será paralela al eje Y.

sentido geométrico

Para una mejor comprensión, veamos la imagen:

En la figura vemos la gráfica de una función del tipo y = kx. Para simplificar, tomamos el coeficiente c = 0. En el triángulo OAB, la relación entre el lado BA y AO será igual a la pendiente k. Al mismo tiempo, la relación VA / AO es la tangente ángulo agudoα en triángulo rectángulo OAV. Resulta que la pendiente de una línea recta es igual a la tangente del ángulo que forma esta línea recta con el eje x de la cuadrícula de coordenadas.

Resolviendo el problema de cómo encontrar la pendiente de una línea recta, encontramos la tangente del ángulo entre ella y el eje x de la cuadrícula de coordenadas. Los casos límite, cuando la línea en consideración es paralela a los ejes de coordenadas, confirman lo anterior. De hecho, para una línea recta descrita por la ecuación y=const, el ángulo entre ella y el eje x es igual a cero. La tangente del ángulo cero también es cero y la pendiente también es cero.

Para líneas rectas perpendiculares al eje x y descritas por la ecuación x=const, el ángulo entre ellas y el eje x es de 90 grados. Tangente ángulo recto es igual a infinito, y la pendiente de rectas semejantes es igual a infinito, lo que confirma lo escrito anteriormente.

Pendiente tangente

Una tarea común, a menudo encontrada en la práctica, es también encontrar la pendiente de la tangente al gráfico de la función en algún punto. La tangente es una recta, por lo que también le es aplicable el concepto de pendiente.

Para descubrir cómo encontrar la pendiente de una tangente, necesitaremos recordar el concepto de derivada. La derivada de cualquier función en algún punto es una constante, numéricamente igual a la tangente el ángulo que se forma entre la tangente en el punto especificado a la gráfica de esta función y el eje de abscisas. Resulta que para determinar la pendiente de la tangente en el punto x 0, necesitamos calcular el valor de la derivada de la función original en este punto k \u003d f "(x 0). Consideremos un ejemplo:

Tarea: Encuentra la pendiente de la línea tangente a la función y = 12x 2 + 2xe x en x = 0.1.

Solución: Encuentra la derivada de la función original en forma general

y "(0,1) = 24 . 0.1 + 2 . 0.1 . e 0.1 + 2 . e 0.1

Respuesta: La pendiente deseada en el punto x \u003d 0.1 es 4.831

El tema "El coeficiente angular de la tangente como la tangente del ángulo de inclinación" en el examen de certificación recibe varias tareas a la vez. Dependiendo de su condición, se le puede solicitar al graduado que proporcione una respuesta completa y una breve. En preparación para pasando el examen en matemáticas, el estudiante definitivamente debe repetir las tareas en las que se requiere calcular la pendiente de la tangente.

Hacer esto te ayudará portal educativo"Shkolkovo". Nuestros expertos prepararon y presentaron los fundamentos teóricos y material practico máximamente disponible. Al familiarizarse con él, los graduados con cualquier nivel de capacitación podrán resolver con éxito problemas relacionados con las derivadas, en los que se requiere encontrar la tangente de la pendiente de la tangente.

Momentos basicos

Para encontrar la correcta y decision racional tareas similares en el examen deben ser recordadas definición básica: la derivada es la tasa de cambio de la función; es igual a la tangente de la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en un punto determinado. Es igualmente importante completar el dibujo. Te permitirá encontrar solución correcta USAR tareas a la derivada, en la que se requiere calcular la tangente de la pendiente de la tangente. Para mayor claridad, es mejor trazar un gráfico en el plano OXY.

Si ya se ha familiarizado con el material básico sobre el tema de la derivada y está listo para comenzar a resolver problemas para calcular la tangente del ángulo de inclinación de una tangente, similar a USAR asignaciones Lo puedes hacer en linea. Para cada tarea, por ejemplo, tareas sobre el tema "Relación de la derivada con la velocidad y la aceleración del cuerpo", escribimos la respuesta correcta y el algoritmo de solución. En este caso, los estudiantes pueden practicar realizando tareas de varios niveles de complejidad. Si es necesario, el ejercicio se puede guardar en la sección "Favoritos", para que luego puedas discutir la decisión con el profesor.

Necesitará

• - libro de referencia matemático;
• - computadora portátil;
• - un lápiz simple;
• - bolígrafo;
• - transportador;
• - circular.

Instrucción

Tenga en cuenta que la gráfica de la función derivable f(x) en el punto x0 no difiere del segmento tangente. Por lo tanto, está lo suficientemente cerca del segmento l que pasa por los puntos (х0; f(х0)) y (х0+Δx; f(x0 + Δx)). Para especificar una línea recta que pase por el punto A con coeficientes (x0; f(x0)), especifique su pendiente. Al mismo tiempo, es igual a Δy/Δx de la tangente secante (Δх→0), y también tiende al número f‘(x0).

Si no hay valores de f‘(x0), entonces no hay tangente o corre verticalmente. En base a esto, la derivada de la función en el punto x0 se explica por la existencia de una tangente no vertical que toca la gráfica de la función en el punto (x0, f(x0)). En este caso, la pendiente de la tangente es igual a f "(x0). La derivada geométrica se vuelve clara, es decir, la pendiente de la tangente.

Es decir, para encontrar la pendiente de la tangente, necesitas encontrar el valor de la derivada de la función en el punto de contacto. Ejemplo: encuentre la pendiente de la tangente a la función y \u003d x³ en el punto con la abscisa X0 \u003d 1. Solución: encuentre la derivada de esta función y΄ (x) \u003d 3x2; encuentra el valor de la derivada en el punto X0 = 1. y΄(1) = 3 × 1² = 3. La pendiente de la tangente en el punto X0 = 3.

Dibuja tangentes adicionales en la figura para que estén en contacto con la gráfica de la función en los puntos: x1, x2 y x3. Marque los ángulos que forman estas tangentes con el eje de abscisas (el ángulo se mide en la dirección positiva, desde el eje hasta la línea tangente). Por ejemplo, el ángulo α1 será agudo, mientras que (α2) será obtuso, y el tercero (α3) será igual a cero, ya que la recta tangente dibujada es paralela al eje OX. En este caso, la tangente ángulo obtuso es un valor negativo, y la tangente de un ángulo agudo es positiva, en tg0 y el resultado es cero.

Una tangente a un círculo dado es una línea recta que tiene un solo punto común con este círculo. La tangente a un círculo siempre es perpendicular a su radio dibujado en el punto de contacto. Si se trazan dos tangentes desde el mismo punto, entonces perteneciente al circulo, entonces las distancias desde este punto hasta los puntos de contacto siempre serán las mismas. tangentes a círculos están siendo construidos diferentes caminos dependiendo de su ubicación relativa entre sí.

Instrucción

Construcción de una tangente a una circunferencia.
1. Se construye una circunferencia de radio R y se toma A, por la que pasará la tangente.
2. Se construye un círculo con el centro en medio del segmento OA y radios iguales a este segmento.
3. Intersecciones de dos puntos tangentes trazados por el punto A a un círculo dado.

tangente exterior a dos círculos.

2. Se dibuja un círculo con radio R - r centrado en el punto O.
3. Se dibuja una tangente desde O1 al círculo resultante, el punto tangente se denota por M.
4. El radio R que pasa por el punto M hasta el punto T, el punto tangente del círculo.
5. Se dibuja un radio r a través del centro O1 del círculo pequeño paralelo a R del círculo grande. El radio r apunta al punto T1, el punto tangente del círculo pequeño.
círculos.

tangente interna a dos círculos.
1. Se construyen dos círculos de radio R y r.
2. Dibuja un círculo con radio R + r centrado en el punto O.
3. Se dibuja una tangente al círculo resultante desde el punto O1, el punto tangente se denota con la letra M.
4. Ray OM corta el primer círculo en el punto T - en el punto de contacto del círculo grande.
5. Se dibuja un radio r a través del centro O1 del pequeño círculo paralelo al rayo OM. El radio r apunta al punto T1, el punto tangente del círculo pequeño.
6. Recta TT1 - tangente a la dada círculos.

Fuentes:

• tangente interna

Angular armario – opción perfecta para rincones vacíos en el apartamento. Además, la configuración del ángulo armario ov le da al interior una atmósfera clásica. Como acabado de esquina armario ov se puede utilizar cualquier material que sea adecuado para este fin.

Necesitará

• Fibra de madera, MDF, tornillos, clavos, hoja de sierra, friso.

Instrucción

Recorte una plantilla de madera contrachapada o tablero de fibra de 125 mm de ancho, 1065 mm de largo. Los bordes deben cortarse en un ángulo de 45 grados. Por plantilla lista determine las dimensiones de las paredes laterales, así como el lugar donde se ubicará armario.

Conecte la cubierta a las paredes laterales y los estantes triangulares. La cubierta debe fijarse a los bordes superiores de las paredes laterales con tornillos. Para la resistencia estructural, también se usa pegamento. Fije los estantes a los tablones.

Incline la hoja de la sierra en un ángulo de 45 grados y bisele el borde delantero de las paredes laterales a lo largo de la barra guía. Fije los estantes fijos a los tablones de MDF. Conectar paredes laterales con tornillos Asegúrese de que no haya espacios.

Haga marcas en la pared, entre las cuales coloque el marco de la esquina. armario una. Fijar con tornillos armario a la pared. La longitud de la espiga debe ser de 75 mm.

de todo Tableros MDF Cortar el marco frontal. A través de Sierra circular corte aberturas en él con una regla. Termina las esquinas.

Encuentre el valor de la abscisa del punto de contacto, que se denota con la letra "a". Si coincide con el punto tangente dado, entonces "a" será su coordenada x. Determinar el valor funciones f(a), sustituyendo en la ecuación funciones el tamaño de la abscisa.

Determinar la primera derivada de la ecuación. funciones f'(x) y sustituya el valor del punto "a" en él.

Tome la ecuación tangente general, que se define como y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a), y sustituya los valores encontrados de a, f (a), f "( a) en él Como resultado, la solución del gráfico se encontrará y tangente.

Resolver el problema de otra manera si el punto tangente dado no coincidiera con el punto tangente. En este caso, es necesario sustituir "a" en lugar de números en la ecuación tangente. Después de eso, en lugar de las letras "x" e "y", sustituya el valor de las coordenadas Punto dado. Resuelva la ecuación resultante en la que "a" es la incógnita. Pon el valor resultante en la ecuación tangente.

Escribe una ecuación para una tangente con la letra "a", si la ecuación está dada en la condición del problema funciones y la ecuación de una recta paralela con respecto a la tangente deseada. Después de eso, necesitas una derivada. funciones a la coordenada en el punto "a". Reemplaza el valor apropiado en la ecuación tangente y resuelve la función.

Al compilar la ecuación de una tangente a la gráfica de una función, se utiliza el concepto de "abscisa del punto tangente". Este valor se puede establecer inicialmente en las condiciones del problema, o se debe determinar de forma independiente.

Instrucción

Dibuja los ejes de coordenadas x e y en una hoja de papel. Explorar ecuación dada para la gráfica de la función. Si es , entonces dos valores para el parámetro y son suficientes para cualquier x, luego trace los puntos encontrados en el eje de coordenadas y conéctelos con una línea. Si el gráfico no es lineal, haga una tabla de la dependencia de y con x y seleccione al menos cinco puntos para graficar.

Determine el valor de la abscisa del punto tangente para el caso en que el punto tangente especificado no coincida con el gráfico de la función. Configuramos el tercer parámetro con la letra "a".

Escribe la ecuación de la función f(a). Para hacer esto, sustituya a en lugar de x en la ecuación original. Encuentra la derivada de la función f(x) y f(a). Sustituya los datos necesarios en la ecuación tangente general, que se parece a: y \u003d f (a) + f "(a) (x - a). Como resultado, obtenga una ecuación que consta de tres parámetros desconocidos.

Sustituir en él en lugar de x e y las coordenadas del punto dado por el que pasa la tangente. Después de eso, encuentre la solución de la ecuación resultante para todo a. Si es cuadrado, habrá dos valores de la abscisa del punto de contacto. Esto es que la tangente pasa dos veces cerca de la gráfica de la función.

dibujar un gráfico función dada y , que vienen dadas por la condición del problema. En este caso, también es necesario especificar un parámetro desconocido a y sustituirlo en la ecuación f(a). Igualar la derivada f(a) a la derivada de la ecuación de rectas paralelas. Esto deja la condición de paralelismo de dos. Encuentra las raíces de la ecuación resultante, que serán las abscisas del punto de contacto.

La línea y \u003d f (x) será tangente al gráfico que se muestra en la figura en el punto x0 si pasa por el punto con coordenadas (x0; f (x0)) y tiene una pendiente f "(x0). Encuentra tal coeficiente, conociendo las características de la tangente, no es difícil.

Necesitará

• - libro de referencia matemático;
• - un lápiz simple;
• - computadora portátil;
• - transportador;
• - Brújula;
• - bolígrafo.

Instrucción

Si el valor f‘(x0) no existe, entonces no hay tangente o pasa verticalmente. En vista de esto, la presencia de la derivada de la función en el punto x0 se debe a la existencia de una tangente no vertical que está en contacto con la gráfica de la función en el punto (x0, f(x0)). En este caso, la pendiente de la tangente será igual a f "(x0). Por lo tanto, queda claro sentido geométrico derivada - cálculo de la pendiente de la tangente.

Defina un común. Este tipo de información se puede obtener consultando los datos del censo de población. Para determinar las tasas totales de nacimiento, muerte, matrimonio y divorcio, debe encontrar el producto población total y período de facturación. Escribe el número resultante en el denominador.

Poner en el numerador un indicador correspondiente al relativo deseado. Por ejemplo, si tiene que determinar la tasa de fertilidad total, en lugar del numerador debe haber un número que refleje total nacido en el período que le interesa. Si su meta es la tasa de mortalidad o matrimonio, entonces coloque el número de muertes en el lugar del numerador. período de facturación o el número de personas casadas, respectivamente.

Multiplica el número resultante por 1000. Este será el coeficiente general que estás buscando. Si se enfrenta a la tarea de encontrar la tasa de crecimiento total, reste la tasa de mortalidad de la tasa de natalidad.

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Fuentes:

• Cuotas generales movimiento natural población

El principal indicador de la eficiencia de extracción es coeficiente distribución. Se calcula según la fórmula: Co/Sw, donde Co es la concentración de la sustancia extraída en el disolvente orgánico (extractor), y Sw es la concentración de la misma sustancia en el agua una vez alcanzado el equilibrio. como puedo empíricamente encontrar el coeficiente de distribución?

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