Tabla de proporcionalidad directa e inversa. Publicaciones etiquetadas "proporcionalidad directa"

Ejemplo

Factor de proporcionalidad

Una relación constante de cantidades proporcionales se llama factor de proporcionalidad. El coeficiente de proporcionalidad muestra cuántas unidades de una cantidad hay por unidad de otra.

Proporcionalidad directa

Proporcionalidad directa- dependencia funcional, en la que una determinada cantidad depende de otra cantidad de tal manera que su relación permanece constante. En otras palabras, estas variables cambian proporcionalmente, en partes iguales, es decir, si el argumento cambia dos veces en cualquier dirección, entonces la función también cambia dos veces en la misma dirección.

Matemáticamente, la proporcionalidad directa se escribe como una fórmula:

F(X) = aX,a = Cohnortest

Proporcionalidad inversa

Proporcionalidad inversa- se trata de una dependencia funcional, en la que un aumento en el valor independiente (argumento) provoca una disminución proporcional en el valor dependiente (función).

Matemáticamente, la proporcionalidad inversa se escribe como una fórmula:

Propiedades de la función:

Fuentes

Fundación Wikimedia. 2010.

Tipos de dependencia

Veamos cómo cargar la batería. Como primera cantidad, tomemos el tiempo que tarda en cargarse. El segundo valor es el tiempo que funcionará después de la carga. Cuanto más cargues la batería, más durará. El proceso continuará hasta que la batería esté completamente cargada.

Dependencia del tiempo de funcionamiento de la batería del tiempo de carga

Nota 1

Esta dependencia se llama derecho:

A medida que aumenta un valor, también aumenta el segundo. A medida que un valor disminuye, el segundo valor también disminuye.

Veamos otro ejemplo.

Cuantos más libros lee un estudiante, más menos errores Lo hará en dictado. O cuanto más alto te eleves en las montañas, menor será la presión atmosférica.

Nota 2

Esta dependencia se llama contrarrestar:

A medida que un valor aumenta, el segundo disminuye. A medida que un valor disminuye, el segundo valor aumenta.

Así, en caso dependencia directa ambas cantidades cambian por igual (ambas aumentan o disminuyen), y en el caso relación inversa – opuesto (uno aumenta y el otro disminuye, o viceversa).

Determinar dependencias entre cantidades.

Ejemplo 1

El tiempo que lleva visitar a un amigo es de $20$ minutos. Si la velocidad (primer valor) aumenta $2$ veces, encontraremos cómo cambia el tiempo (segundo valor) que se gastará en el camino hacia un amigo.

Obviamente, el tiempo disminuirá $2$ veces.

Nota 3

Esta dependencia se llama proporcional:

La cantidad de veces que cambia una cantidad, la cantidad de veces que cambia la segunda cantidad.

Ejemplo 2

Por $2$ barras de pan en la tienda hay que pagar 80 rublos. Si necesitas comprar hogazas de pan a $4$ (la cantidad de pan aumenta $2$ veces), ¿cuántas veces más tendrás que pagar?

Obviamente, el costo también aumentará $2$ veces. Tenemos un ejemplo de dependencia proporcional.

En ambos ejemplos, se consideraron dependencias proporcionales. Pero en el ejemplo de las hogazas de pan, las cantidades cambian en una dirección, por lo tanto, la dependencia es derecho. Y en el ejemplo de ir a casa de un amigo, la relación entre velocidad y tiempo es contrarrestar. Así hay relación directamente proporcional Y relación inversamente proporcional.

Proporcionalidad directa

Consideremos cantidades proporcionales de $2$: la cantidad de hogazas de pan y su costo. Supongamos que una barra de pan de $2 cuesta $80$ rublos. Si el número de bollos aumenta $4$ veces ($8$ bollos), su costo total será de $320$ rublos.

La relación del número de rollos: $\frac(8)(2)=4$.

Relación de costo del panecillo: $\frac(320)(80)=$4.

Como puede ver, estas relaciones son iguales entre sí:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definición 1

La igualdad de dos razones se llama proporción.

Con una dependencia directamente proporcional, se obtiene una relación cuando el cambio en la primera y segunda cantidad coincide:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definición 2

Las dos cantidades se llaman directamente proporcional, si cuando uno de ellos cambia (aumenta o disminuye), el otro valor también cambia (aumenta o disminuye, respectivamente) en la misma cantidad.

Ejemplo 3

El auto viajó $180$ km en $2$ horas. Calcula el tiempo durante el cual cubrirá $2$ veces la distancia a la misma velocidad.

Solución.

El tiempo es directamente proporcional a la distancia:

$t=\frac(S)(v)$.

¿Cuántas veces aumentará la distancia cuando velocidad constante, el tiempo aumentará en la misma cantidad:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

El auto viajó $180$ km en $2$ horas

El auto recorrerá $180 \cdot 2=360$ km - en $x$ horas

Cuanto más viaje el coche, más tardará. En consecuencia, la relación entre las cantidades es directamente proporcional.

Hagamos una proporción:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Respuesta: El auto necesitará $4$ por hora.

Proporcionalidad inversa

Definición 3

Solución.

El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad:

$t=\frac(S)(v)$.

¿Cuántas veces aumenta la velocidad, con el mismo recorrido, el tiempo disminuye en la misma cantidad?

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Escribamos la condición del problema en forma de tabla:

El auto viajó $60$ km - en $6$ horas

El auto recorrerá $120$ km – en $x$ horas

Cuanto más rápido acelere el coche, menos tiempo tardará. En consecuencia, la relación entre las cantidades es inversamente proporcional.

Hagamos una proporción.

Porque la proporcionalidad es inversa, la segunda relación de la proporción se invierte:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Respuesta: El auto necesitará $3$ por hora.

El concepto de proporcionalidad directa.

Imagina que estás planeando comprar tus dulces favoritos (o cualquier cosa que realmente te guste). Los dulces de la tienda tienen su propio precio. Digamos 300 rublos por kilogramo. Cuantos más caramelos compres, más mas dinero pagar. Es decir, si quieres 2 kilogramos, paga 600 rublos, y si quieres 3 kilogramos, paga 900 rublos. Esto parece estar todo claro, ¿verdad?

En caso afirmativo, ahora tiene claro qué es la proporcionalidad directa: este es un concepto que describe la relación de dos cantidades que dependen entre sí. Y la proporción de estas cantidades permanece inalterada y constante: en cuántas partes una de ellas aumenta o disminuye, en el mismo número de partes la segunda aumenta o disminuye proporcionalmente.

La proporcionalidad directa se puede describir con la siguiente fórmula: f(x) = a*x, y a en esta fórmula es un valor constante (a = const). En nuestro ejemplo de dulces, el precio es un valor constante, una constante. No aumenta ni disminuye, no importa cuántos dulces decidas comprar. La variable independiente (argumento) x es cuántos kilogramos de dulces vas a comprar. Y la variable dependiente f(x) (función) es cuánto dinero terminarás pagando por tu compra. Entonces podemos sustituir los números en la fórmula y obtener: 600 rublos. = 300 frotar. * 2 kilogramos.

La conclusión intermedia es esta: si el argumento aumenta, la función también aumenta, si el argumento disminuye, la función también disminuye

Función y sus propiedades.

Función proporcional directa es caso especial función lineal. Si la función lineal es y = k*x + b, entonces para la proporcionalidad directa se ve así: y = k*x, donde k se llama coeficiente de proporcionalidad y siempre es un número distinto de cero. Es fácil calcular k: se obtiene como el cociente de una función y un argumento: k = y/x.

Para que quede más claro, tomemos otro ejemplo. Imaginemos que un coche se desplaza del punto A al punto B. Su velocidad es de 60 km/h. Si asumimos que la velocidad del movimiento permanece constante, entonces podemos tomarla como constante. Y luego escribimos las condiciones en la forma: S = 60*t, y esta fórmula es similar a la función de proporcionalidad directa y = k *x. Trazamos un paralelo más: si k = y/x, entonces la velocidad del coche se puede calcular conociendo la distancia entre A y B y el tiempo transcurrido en la carretera: V = S /t.

Y ahora, desde la aplicación aplicada del conocimiento sobre proporcionalidad directa, volvamos a su función. Cuyas propiedades incluyen:

su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales (así como sus subconjuntos);

la función es impar;

el cambio en las variables es directamente proporcional a lo largo de toda la recta numérica.

Proporcionalidad directa y su gráfica.

La gráfica de una función de proporcionalidad directa es una línea recta que corta al origen. Para construirlo basta con marcar sólo un punto más. Y conéctelo y el origen de coordenadas con una línea recta.

En el caso de una gráfica, k es pendiente. Si la pendiente es menor que cero (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), la gráfica y la forma del eje x esquina filosa, y la función es creciente.

Y una propiedad más de la gráfica de la función de proporcionalidad directa está directamente relacionada con la pendiente k. Supongamos que tenemos dos funciones no idénticas y, en consecuencia, dos gráficas. Entonces, si los coeficientes k de estas funciones son iguales, sus gráficas se ubican paralelas al eje de coordenadas. Y si los coeficientes k no son iguales entre sí, las gráficas se cruzan.

Ejemplos de problemas

Ahora resolvamos un par problemas de proporcionalidad directa

Comencemos con algo simple.

Problema 1: Imagina que 5 gallinas ponen 5 huevos en 5 días. Y si hay 20 gallinas ¿cuantos huevos pondran en 20 dias?

Solución: Denotemos la incógnita por kx. Y razonaremos de la siguiente manera: ¿cuántas veces más pollos se han vuelto? Divide 20 entre 5 y descubre que es 4 veces. ¿Cuántas veces más huevos pondrán 20 gallinas en los mismos 5 días? También 4 veces más. Entonces, encontramos el nuestro así: 5*4*4 = 20 gallinas pondrán 80 huevos en 20 días.

Ahora el ejemplo es un poco más complicado, parafraseemos el problema de la “Aritmética General” de Newton. Problema 2: Un escritor puede redactar 14 páginas de un libro nuevo en 8 días. Si tuviera asistentes, ¿cuántas personas se necesitarían para escribir 420 páginas en 12 días?

Solución: Razonamos que el número de personas (escritor + asistentes) aumenta con el volumen de trabajo si tuviera que realizarse en la misma cantidad de tiempo. ¿Pero cuantas veces? Dividiendo 420 entre 14, encontramos que aumenta 30 veces. Pero como, según las condiciones de la tarea, se dedica más tiempo al trabajo, el número de asistentes no aumenta 30 veces, sino de esta manera: x = 1 (escritor) * 30 (veces): 12/8 ( días). Transformemos y descubramos que x = 20 personas escribirán 420 páginas en 12 días.

Resolvamos otro problema similar a los de nuestros ejemplos.

Problema 3: Dos coches emprenden el mismo viaje. Uno se movía a una velocidad de 70 km/h y recorrió la misma distancia en 2 horas que el otro tardó 7 horas. Calcula la velocidad del segundo auto.

Solución: Como recordarás, el camino se determina mediante la velocidad y el tiempo: S = V *t. Como ambos autos recorrieron la misma distancia, podemos igualar las dos expresiones: 70*2 = V*7. ¿Cómo encontramos que la velocidad del segundo auto es V = 70*2/7 = 20 km/h?

Y un par de ejemplos más de tareas con funciones de proporcionalidad directa. A veces los problemas requieren encontrar el coeficiente k.

Tarea 4: Dadas las funciones y = - x/16 e y = 5x/2, determina sus coeficientes de proporcionalidad.

Solución: Como recordarás, k = y/x. Esto significa que para la primera función el coeficiente es igual a -1/16 y para la segunda k = 5/2.

También puedes encontrarte con una tarea como la Tarea 5: escribir la proporcionalidad directa con una fórmula. Su gráfica y la gráfica de la función y = -5x + 3 están ubicadas en paralelo.

Solución: La función que nos da la condición es lineal. Sabemos que la proporcionalidad directa es un caso especial de función lineal. Y también sabemos que si los coeficientes de k funciones son iguales, sus gráficas son paralelas. Esto significa que todo lo que se necesita es calcular el coeficiente de una función conocida y establecer la proporcionalidad directa utilizando la fórmula que conocemos: y = k *x. Coeficiente k = -5, proporcionalidad directa: y = -5*x.

Conclusión

Ahora has aprendido (o recordado, si ya has cubierto este tema antes) lo que se llama proporcionalidad directa, y lo miré ejemplos. También hablamos sobre la función de proporcionalidad directa y su gráfica, y resolvimos varios problemas de ejemplo.

Si este artículo fue útil y te ayudó a comprender el tema, cuéntanoslo en los comentarios. Para que sepamos si podemos beneficiarte.

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Ejemplo

Factor de proporcionalidad

Una relación constante de cantidades proporcionales se llama factor de proporcionalidad. El coeficiente de proporcionalidad muestra cuántas unidades de una cantidad hay por unidad de otra.

Proporcionalidad directa

Proporcionalidad directa- dependencia funcional, en la que una determinada cantidad depende de otra cantidad de tal manera que su relación permanece constante. En otras palabras, estas variables cambian proporcionalmente, en partes iguales, es decir, si el argumento cambia dos veces en cualquier dirección, entonces la función también cambia dos veces en la misma dirección.

Matemáticamente, la proporcionalidad directa se escribe como una fórmula:

F(X) = aX,a = Cohnortest

Proporcionalidad inversa

Proporcionalidad inversa- se trata de una dependencia funcional, en la que un aumento en el valor independiente (argumento) provoca una disminución proporcional en el valor dependiente (función).

Matemáticamente, la proporcionalidad inversa se escribe como una fórmula:

Propiedades de la función:

Fuentes

Fundación Wikimedia. 2010.

Vea qué es “proporcionalidad directa” en otros diccionarios:

proporcionalidad directa- - [A.S.Goldberg. Diccionario de energía inglés-ruso. 2006] Temas energéticos en general EN ratio directo... Guía del traductor técnico

proporcionalidad directa- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. proporcionalidad directa vok. direkte Proporcionalidad, f rus. proporcionalidad directa, f pranc. proporcionalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

- (del latín proporcionalis proporcional, proporcional). Proporcionalidad. Diccionario palabras extranjeras, incluido en el idioma ruso. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALIDAD lat. proporcionalis, proporcional. Proporcionalidad. Explicación 25000... ... Diccionario de palabras extranjeras de la lengua rusa.

PROPORCIONALIDAD, proporcionalidad, plural. no, mujer (libro). 1. resumen sustantivo a proporcional. Proporcionalidad de partes. Proporcionalidad corporal. 2. Tal relación entre cantidades cuando son proporcionales (ver proporcional ... Diccionario Ushakova

Dos cantidades mutuamente dependientes se llaman proporcionales si la relación de sus valores permanece sin cambios Contenido 1 Ejemplo 2 Coeficiente de proporcionalidad ... Wikipedia.

PROPORCIONALIDAD, y, femenino. 1. ver proporcional. 2. En matemáticas: relación entre cantidades en la que un aumento en una de ellas implica un cambio en la otra en la misma cantidad. Línea recta (con un corte con un aumento de un valor... ... Diccionario explicativo de Ozhegov

Y; y. 1. a Proporcional (1 valor); proporcionalidad. P. partes. P. físico. P. representación en el parlamento. 2. Matemáticas. Dependencia entre cantidades que cambian proporcionalmente. Factor de proporcionalidad. Línea directa (en la que con... ... diccionario enciclopédico

La proporcionalidad es una relación entre dos cantidades, en la que un cambio en una de ellas implica un cambio en la otra en la misma cantidad.

La proporcionalidad puede ser directa o inversa. En esta lección veremos cada uno de ellos.

Proporcionalidad directa

Supongamos que el coche se mueve a una velocidad de 50 km/h. Recordemos que la velocidad es la distancia recorrida por unidad de tiempo (1 hora, 1 minuto o 1 segundo). En nuestro ejemplo, el coche circula a una velocidad de 50 km/h, es decir, en una hora recorrerá una distancia de cincuenta kilómetros.

Representemos en la figura la distancia recorrida por el automóvil en 1 hora.

Deje que el coche circule durante una hora más a la misma velocidad de cincuenta kilómetros por hora. Entonces resulta que el coche recorrerá 100 km.

Como puede verse en el ejemplo, duplicar el tiempo provocó un aumento de la distancia recorrida en la misma cantidad, es decir, el doble.

Magnitudes como el tiempo y la distancia se llaman directamente proporcionales. Y la relación entre tales cantidades se llama proporcionalidad directa.

La proporcionalidad directa es la relación entre dos cantidades en la que un aumento de una de ellas conlleva un aumento de la otra en la misma cantidad.

y viceversa, si una cantidad disminuye un cierto número de veces, la otra disminuye la misma cantidad de veces.

Supongamos que el plan original era conducir un coche 100 km en 2 horas, pero después de recorrer 50 km, el conductor decidió descansar. Entonces resulta que al reducir la distancia a la mitad, el tiempo disminuirá en la misma cantidad. En otras palabras, reducir la distancia recorrida conducirá a una disminución del tiempo en la misma cantidad.

Una característica interesante de las cantidades directamente proporcionales es que su relación es siempre constante. Es decir, cuando cambian los valores de cantidades directamente proporcionales, su relación permanece sin cambios.

En el ejemplo considerado, la distancia era inicialmente de 50 km y el tiempo de una hora. La relación entre la distancia y el tiempo es el número 50.

Pero duplicamos el tiempo de viaje, llegando a dos horas. Como resultado, la distancia recorrida aumentó en la misma cantidad, es decir, llegó a ser igual a 100 km. La relación entre cien kilómetros y dos horas vuelve a ser 50

El numero 50 se llama coeficiente de proporcionalidad directa. Muestra cuánta distancia hay por hora de movimiento. EN en este caso el coeficiente desempeña el papel de la velocidad de movimiento, ya que la velocidad es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo.

Se pueden hacer proporciones a partir de cantidades directamente proporcionales. Por ejemplo, las razones forman la proporción:

Cincuenta kilómetros equivalen a una hora, como cien kilómetros equivalen a dos horas.

Ejemplo 2. El costo y la cantidad de bienes comprados son directamente proporcionales. Si 1 kg de dulces cuesta 30 rublos, entonces 2 kg de los mismos dulces costarán 60 rublos, 3 kg 90 rublos. A medida que aumenta el costo de un producto comprado, su cantidad aumenta en la misma cantidad.

Dado que el costo de un producto y su cantidad son cantidades directamente proporcionales, su relación es siempre constante.

Anotemos cuál es la proporción de treinta rublos por kilogramo.

Ahora anotemos cuál es la proporción de sesenta rublos por dos kilogramos. Esta relación volverá a ser igual a treinta:

Aquí el coeficiente de proporcionalidad directa es el número 30. Este coeficiente muestra cuántos rublos hay por kilogramo de dulces. En este ejemplo, el coeficiente desempeña el papel del precio de un kilogramo de bienes, ya que el precio es la relación entre el costo de los bienes y su cantidad.

Proporcionalidad inversa

Consideremos siguiente ejemplo. La distancia entre las dos ciudades es de 80 km. El motociclista salió de la primera ciudad y, a una velocidad de 20 km/h, llegó a la segunda ciudad en 4 horas.

Si la velocidad de un motociclista era de 20 km/h, esto significa que cada hora recorría una distancia de veinte kilómetros. Representemos en la figura la distancia recorrida por el motociclista y el tiempo de su movimiento:

En el camino de regreso, la velocidad del motociclista fue de 40 km/h y tardó 2 horas en el mismo trayecto.

Es fácil notar que cuando cambia la velocidad, el tiempo de movimiento cambia en la misma cantidad. Además, ha cambiado en reverso- es decir, la velocidad aumentó, pero el tiempo, por el contrario, disminuyó.

Magnitudes como la velocidad y el tiempo se llaman inversamente proporcionales. Y la relación entre tales cantidades se llama proporcionalidad inversa.

La proporcionalidad inversa es la relación entre dos cantidades en la que un aumento de una de ellas conlleva una disminución de la otra en la misma cantidad.

y viceversa, si una cantidad disminuye un cierto número de veces, la otra aumenta la misma cantidad de veces.

Por ejemplo, si en el camino de regreso la velocidad del motociclista fuera de 10 km/h, entonces recorrería los mismos 80 km en 8 horas:

Como puede verse en el ejemplo, una disminución de la velocidad condujo a un aumento del tiempo de movimiento en la misma cantidad.

La peculiaridad de las cantidades inversamente proporcionales es que su producto es siempre constante. Es decir, cuando cambian los valores de cantidades inversamente proporcionales, su producto permanece sin cambios.

En el ejemplo considerado, la distancia entre ciudades era de 80 km. Cuando la velocidad y el tiempo de movimiento del motociclista cambiaron, esta distancia siempre se mantuvo sin cambios.

Un motociclista podría recorrer esta distancia a una velocidad de 20 km/h en 4 horas, a una velocidad de 40 km/h en 2 horas y a una velocidad de 10 km/h en 8 horas. En todos los casos, el producto de la velocidad por el tiempo fue igual a 80 km.

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