Cómo trazar y cosx. Seno (sin x) y coseno (cos x): propiedades, gráficas, fórmulas

En esta lección veremos en detalle la función y = cos x, sus propiedades principales y su gráfica. Al comienzo de la lección daremos la definición de la función trigonométrica y = costo en el círculo de coordenadas y consideraremos la gráfica de la. Función sobre el círculo y la recta. Demostremos la periodicidad de esta función en la gráfica y consideremos las propiedades principales de la función. Al final de la lección, resolveremos varios problemas simples usando la gráfica de una función y sus propiedades.

Tema: Funciones trigonométricas

Lección: Función y=costo, sus propiedades básicas y gráfica

Una función es una ley según la cual cada valor de un argumento independiente está asociado a un único valor de la función.

Recordemos definición de función Dejar t- cualquier número real. Sólo le corresponde un punto. METRO en el círculo numérico. En el punto METRO hay una sola abscisa. se llama coseno del numero t. Cada valor de argumento t sólo corresponde un valor de función (Fig. 1).

El ángulo central es numéricamente igual al valor del arco en radianes, es decir número Por lo tanto, el argumento puede ser un número real o un ángulo en radianes.

Si podemos determinar para cada valor, entonces podemos construir una gráfica de la función.

Puedes obtener la gráfica de una función de otra manera. Según fórmulas de reducción. entonces la gráfica del coseno es una onda sinusoidal desplazada a lo largo del eje X hacia la izquierda (Fig. 2).

Propiedades de función

1) Alcance de la definición:

2) Rango de valores:

3) Función par:

4) Periodo positivo más pequeño:

5) Coordenadas de los puntos de intersección con el eje de abscisas:

6) Coordenadas del punto de intersección con el eje de ordenadas:

7) Intervalos en los que la función toma valores positivos:

8) Intervalos en los que la función toma valores negativos:

9) Intervalos crecientes:

10) Intervalos decrecientes:

11) Puntos mínimos:

12) Función mínima: .

13) Puntos máximos:

14) Funciones máximas:

Hemos visto las propiedades básicas y la gráfica de la función. A continuación, se utilizarán para resolver problemas.

Bibliografía

1. Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Tutorial para Instituciones educacionales(nivel de perfil) ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de problemas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Álgebra y Análisis matemático para décimo grado ( tutorial para estudiantes de escuelas y clases con estudio en profundidad de matemáticas).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Estudio en profundidad del álgebra y análisis matemático.-M.: Educación, 1997.

5. Colección de problemas de matemáticas para solicitantes de instituciones de educación superior (editado por M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulador algebraico.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemas de álgebra y principios de análisis (un manual para estudiantes de los grados 10-11 de instituciones de educación general - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Colección de problemas de álgebra y principios de análisis: libro de texto. subsidio para los grados 10-11. con profundidad estudió Matemáticas.-M.: Educación, 2006.

Tarea

Álgebra e inicio del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de problemas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Recursos web adicionales

3. Portal educativo prepararse para los exámenes ().

De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estás interesado este trabajo, descargue la versión completa.

Tema de la lección: “Función y=cosx”

Lección 1

Objetivos de la lección: familiarizar a los estudiantes con las propiedades de una función.

Objetivos de la lección.

Educativo: la formación de conceptos funcionales utilizando material visual, la formación de habilidades en la construcción de gráficas de la función y=cosx, la formación de habilidades en la lectura fluida de gráficas, la capacidad de reflejar las propiedades de una función en una gráfica.

durante las clases

Propósito de la lección: Familiarizar a los estudiantes con las propiedades de la función y=cosx, aprendiendo a construir una gráfica de la función y=cosx, lea esta gráfica, use las propiedades y la gráfica de la función al resolver ecuaciones y desigualdades.

2. El anuncio del tema y propósito de la lección se acompaña de la diapositiva No. 2.

3. Actualización de conocimientos básicos

Realización de ejercicios orales.

1. Repasar la definición de funciones trigonométricas y los signos de los valores de estas funciones.
2. Llame la atención de los estudiantes sobre el hecho de que para cualquier número real se puede indicar el punto correspondiente en el círculo unitario y, por lo tanto, su abscisa y ordenada, es decir coseno y seno de un número x: y = cosx e y = senx, cuyo dominio son todos los números reales.

Luego los estudiantes responden las preguntas:

1. ¿Para qué valores de x la función y=cosx toma el valor 0? 1? -1?
2. ¿Puede la función y=cosx tomar un valor mayor que 1 o menor que -1?
3. ¿A qué valores de x la función y=cosx toma el valor más grande (más pequeño)?
4. ¿Cuál es el conjunto de valores de la función y=cosx?

Las respuestas a estas y las siguientes preguntas van acompañadas de una ilustración en el círculo unitario.

Después de repetir los signos de los valores de las funciones trigonométricas en cada cuarto del plano coordenado, se pide a los estudiantes que muestren varios puntos en el círculo unitario correspondientes a números cuyo coseno es un número positivo (negativo). Luego responde las preguntas:

1) ¿Qué signo tiene la función y=cosx si x=, x=,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Indique varios valores de x en los que los valores de la función y = cosx sean positivos y negativos.

3) ¿Es posible nombrar todos los valores de un número cuyo coseno es positivo o negativo?

4) ¿Es posible nombrar todos los valores del argumento x para los cuales los valores de la función y = cosx son positivos y negativos?

5) Función par o impar y = cosx.

6) ¿Cuál es el período de esta función?

4. Presentación de material nuevo.

Generalización y concretización de conocimientos adquiridos anteriormente: el estudio del dominio de definición, conjunto de valores, paridad, periodicidad permite construir una gráfica primero en un segmento, luego en un segmento y luego en toda la recta numérica. La explicación va acompañada de la diapositiva número 3.

Luego los estudiantes aprenden a dibujar un bosquejo de la gráfica de la función y = cosx usando los puntos (0;1), (;0),

(:-1), (;0), (;1) y resumir las propiedades de la función, registrándolas en una tabla.

Comprobémoslo usando la diapositiva número 4.

(En esta etapa, se emiten notas de respaldo (Apéndice 1))

5. Consolidación de conocimientos primarios.

Usando un boceto de la gráfica de la función y=cosx, los estudiantes responden la pregunta No. 708, usando una tabla de propiedades de la función y=cosx, responden la pregunta No. 709

6. La tarea de construir una gráfica de una función con un desplazamiento a lo largo del eje de ordenadas y a lo largo del eje de abscisas.

1. Diapositiva nº 5, 6

Durante la conversación, se discuten las propiedades de estas funciones.

7. Trabajo independiente utilizando el libro de texto.

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Divide este segmento en dos segmentos para que en uno de ellos la función y = cosx aumente y en el otro disminuya:

Descendente; - aumenta

Descendente; - aumenta

Usando la propiedad creciente o decreciente de la función y = cosx, compara los números:

En el segmento la función y = cosx disminuye; , por eso, .

En el segmento la función y = cosx aumenta;

<, следовательно, cos < cos

Encuentra todas las raíces de la ecuación que pertenecen al segmento:

1) cosx = x = ±+2 norte, norte z

Respuesta: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Resumiendo.

Calificación.

Durante la lección aprendimos cómo construir una gráfica de la función y = cosx, leer las propiedades de esta gráfica, construir un bosquejo de la gráfica y resolver problemas relacionados con el uso de la gráfica y las propiedades de la función y = cosx.

9. Tarea.

§40 N° 710(2;4), N° 711(2;4), N° 711(2;4). Construya gráficas de funciones y =cosx on y describa las propiedades de esta función.

Adicional N° 717.1).

Lección 2

Objetivos de la lección: revisar las reglas para construir una gráfica de la función у=cosx, aprender a transformar una gráfica, leer esta gráfica, usar las propiedades y la gráfica de una función al resolver ecuaciones y desigualdades.

Objetivos de la lección.

Educativo: la formación de representaciones funcionales utilizando material visual, la formación de habilidades para trazar gráficas de la función y=cosx bajo diversas transformaciones, la formación de habilidades para la lectura fluida de gráficas, la capacidad de reflejar las propiedades de una función en una gráfica .

De desarrollo: desarrollar la capacidad de analizar y generalizar el conocimiento adquirido. Formación del pensamiento lógico.

Educativo: intensificar el interés por adquirir nuevos conocimientos, fomentar una cultura gráfica, desarrollar la precisión y exactitud en la realización de dibujos.

Equipado con: proyector multimedia, pantalla, sistema operativo Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, programa MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

durante las clases

La lección en video “Función y = cos x, sus propiedades y gráfica” proporciona material visual para estudiar este tema. El manual presenta las características de la función, sus propiedades, así como descripciones de la resolución de problemas en los que se aplica el conocimiento sobre las propiedades del coseno. Con la ayuda de una lección en video, es más fácil para un maestro proporcionar los conocimientos necesarios y desarrollar las habilidades de los estudiantes. Las ayudas visuales pueden ayudar a que una lección sea más eficaz al proporcionar una comprensión más profunda y una mejor retención, además de liberar tiempo de la lección para el trabajo individual.

El uso de una lección en video le da al maestro la ventaja de presentar el material de manera más efectiva. El manual se puede utilizar sólo para mayor claridad, acompañando la explicación del profesor o como parte independiente de la lección, dándole al profesor la oportunidad de mejorar el trabajo individual con los estudiantes. La construcción demostrada de gráficos y transformaciones utilizando efectos de animación se vuelve más comprensible para los estudiantes y les ayuda a dominar las habilidades de resolución de problemas utilizando este material. Resaltar y expresar las propiedades de una función mediante herramientas de tutoriales en vídeo le ayuda a recordarlas mejor.

La demostración comienza presentando el nombre del tema. Para construir una gráfica de la función y = cos x, se recuerda a los estudiantes la fórmula para reducir cos x = sin (x + π/2), que indica que las gráficas de las funciones y = cos x e y = sin (x + π/2) son idénticamente iguales. Para trazar una gráfica de la función y= sin (x+π/2), se utiliza un plano de coordenadas, en cuyo eje de abscisas está marcado el punto -π/2. Si tomamos este punto como origen de coordenadas para construir una gráfica de sen x, entonces esta gráfica también es una gráfica de la función y = sin (x + π/2) para el origen de coordenadas. Es decir, la gráfica de la función y = cos x se desplaza π/2 a lo largo del eje de abscisas de la gráfica de la función y = sen x. Es obvio que la gráfica de la función y = cos x también es una sinusoide. Su ubicación nos permite sacar conclusiones sobre las propiedades de la función.

La primera propiedad de una función tiene que ver con el dominio de definición. Evidentemente, el dominio de definición de la función será la recta numérica completa, es decir, D(f)=(- ∞;+∞).

La segunda propiedad de una función indica la paridad de la función. Se recuerda a los estudiantes el material estudiado en el noveno grado, en el que se indicaba la condición para la paridad de una función. Para una función par, la igualdad f(-x)=f(x) es válida. Hablando de la paridad de la función coseno, cabe señalar que la gráfica de esta función es simétrica con respecto al eje de ordenadas. Las propiedades de la función se pueden demostrar en la figura, que muestra un círculo unitario en el plano coordenado. En el primer y cuarto trimestre se marcan puntos que son simétricos con respecto al eje de abscisas. El coseno está determinado por la abscisa del punto, por lo que para dos puntos L(t) y N(-t) las abscisas son las mismas. Por tanto cos (-t)= cos t.

La tercera propiedad marca los intervalos de disminución y aumento de una función. La propiedad establece que la función disminuye en el segmento , y en el segmento [π;2π] el coseno aumenta. La figura muestra una gráfica de la función, que muestra claramente el área de funciones crecientes y decrecientes.

Es obvio que la función y = cos x aumenta en cada segmento [π+2πk;2π+2πk]. Los segmentos decrecientes en general se ven así, donde k es un número entero.

La cuarta propiedad señala que la función coseno está acotada por arriba y por abajo. Similar al seno, podemos notar los valores limitados del coseno -1<= cos х<=1. Поэтому функция является ограниченной.

La quinta propiedad especifica los valores más pequeño y más grande de la función. Donde valor más pequeño-1 se logra en cualquier punto x=π+2πk, y el valor más grande de 1 se logra en cualquier punto x=2πk.

La sexta propiedad indica la continuidad de la función y = cos x. La figura que muestra el gráfico muestra que esta función no tiene cortes en todo el dominio de definición.

La séptima propiedad de la función establece que el conjunto de valores y = cos x se ubica en el segmento [-1;1].

A continuación, se consideran ejemplos en los que es necesario utilizar conocimientos sobre las propiedades de la función y = cos x. En el primer ejemplo es necesario resolver la ecuación cos x=1-2. La solución a esta ecuación serán los puntos de intersección de las gráficas de funciones, las cuales están representadas por las expresiones de los lados derecho e izquierdo de la ecuación, es decir, y = cos x e y = 1-x 2. Obviamente, la gráfica de la primera ecuación es la sinusoide demostrada anteriormente en este tema. La gráfica de la segunda función es una parábola, cuyo vértice se encuentra en el punto (0;1). Habiendo trazado las gráficas de cada función, la figura de este problema muestra que el único punto de intersección de las dos gráficas será el punto B(0;1).

En el segundo ejemplo, necesitas construir y leer una gráfica de una función que está definida en el segmento x<π/2 выражением sinx, а на отрезке х>=π/2 por expresión cosx. En la figura que acompaña la solución del ejemplo, se traza una gráfica de la función у=senx en el segmento [-3π/2; π/2]. En este caso, en el punto π/2 la función no toma valor. En el segmento [π/2; 3π/2] se construye un fragmento de la función y = cos x. Obviamente, los fragmentos construidos se repetirán en todo el dominio de definición. A continuación se describe cómo se lee la función. Cabe señalar que esto significa describir sus propiedades. Se enumeran las propiedades de esta función: el dominio de definición (-∞;+∞), la ausencia de signos de igualdad o imparidad para todo el dominio de definición, la función está limitada tanto por arriba como por abajo. El valor más grande de la función será 1 y el más pequeño -1. También se observa que existe una discontinuidad en el punto x=π/2, un conjunto de valores de función (-1;1).

La lección en video “Función y = cos x, sus propiedades y gráfica” se utiliza en una lección de matemáticas sobre este tema como material visual. Además, este vídeo puede ser útil para los profesores que imparten clases de forma remota para desarrollar las habilidades necesarias en los estudiantes. El material puede recomendarse para revisión independiente por parte de estudiantes que no dominen el tema lo suficientemente bien y requieran capacitación adicional.

DECODIFICACIÓN DE TEXTO:

Antes de construir una gráfica de la función y = cos x, recuerde la fórmula de reducción, según la cual cos x = sin(x + 14ПЂ2) "> (el coseno del argumento x es igual al seno del argumento x más pi por dos). Esto significa que las funciones y = cos x y

y = pecado(x +14ПЂ2)"> son idénticamente iguales, por lo tanto sus gráficas coinciden.

Para graficar la función y = sin(x +14ПЂ2)"> necesitaremos un sistema de coordenadas auxiliar con el origen en el punto B(-14ПЂ2"> ; 0) (en el punto BE con coordenadas menos pi por dos, cero). Si trazamos la función y = sin x en el nuevo sistema de coordenadas, obtenemos una gráfica de la función

y = pecado(x +14ПЂ2)"> o la gráfica de la función y = cos x, ya que sus gráficas coinciden (ver Fig. 1).

Dado que la gráfica de la función y = cos x se obtiene a partir de la gráfica del seno usando traslación paralela a lo largo de una distancia14ПЂ2"> en dirección negativa, entonces la gráfica de esta función también es una sinusoide.

La gráfica de la función y = cos x da una idea clara de las propiedades de esta función.

PROPIEDAD 1. Dominio es el conjunto de todos los números reales o D(f) = (-14€"> ; +14в€ћ">) (de de ef es igual al intervalo de menos infinito a más infinito).

PROPIEDAD 2. La función y = cos x es par.

En las lecciones de noveno grado, aprendimos que la función y = f (x), x ϵX (y es igual a eff de x, donde x pertenece al conjunto x es grande) se llama incluso si para cualquier valor x de la establecer X la igualdad

f (- x) = f (x) (eff de menos x es igual a ef de x).

PROPIEDAD 3.En el intervalo [ 0 ; π ] (de cero a pi) la función disminuye y aumenta en el segmento [ π ; 2π ] (de pi a dos pi) y así sucesivamente.

Podemos sacar una conclusión general: la función y = cos x aumenta en el segmento

[π 14+2ПЂk ">;142ПЂ+2ПЂk "> ] (de pi más dos pi ka a dos pi más dos pi ka), y disminuye en el segmento [14 2ПЂk">;14ПЂ+2ПЂk]"> (de dos picos a pi más dos picos), donde (ka pertenece al conjunto de los números enteros).

PROPIEDAD 4. La función está limitada arriba y abajo.

PROPIEDAD 5. El valor más pequeño de la función es igual a menos uno y se logra en cualquier punto de la forma x =14ПЂ+2ПЂk"> (o puedes escribir y nombre = - 1); el valor más grande es 1 y se logra en cualquier punto de la forma x =142ПЂk">

(o puedes escribir y max. = 1).

PROPIEDAD 6. La función y = cos x es continua.

PROPIEDAD 7. El conjunto de valores de una función es un segmento de menos uno a uno (o puedes escribir E(f) = [ - 1; 1]).

Veamos ejemplos.

EJEMPLO 1.Resolver la ecuación cos x= 1 - x 2 (coseno x es igual a uno menos x al cuadrado).

Solución. Resolvamos esta ecuación gráficamente. En un sistema de coordenadas construiremos dos gráficas de funciones: y = cos x e y = 1 - x 2. Gráfico de funciones

y = 1 - x 2 es una parábola cuyas ramas se dirigen hacia abajo, ya que el coeficiente de x al cuadrado es negativo. (ver Fig. 2) Los gráficos construidos tienen solo un punto común: este es el punto B(0; 1) (con coordenadas cero, uno).

Solución. Construiremos el cronograma “pieza por pieza”. Primero, tracemos parte de la gráfica de la función y = sen x en la viga abierta (-14€"> ;14ПЂ2">), luego en el mismo sistema de coordenadas en el rayo [14 ПЂ2"> ; +14в€ћ">) construiremos parte de la gráfica de la función y = cos x. Obtendremos la gráfica de la función y = f(x).

Leamos la gráfica de esta función (esto significa enumerar las propiedades de la función):

1. El dominio de definición es el conjunto de todos los números reales, es decir

D(f) = (-14€; + в€ћ)"> (es decir, de de ef es igual al intervalo de menos infinito a más infinito).

1. La función no es ni par ni impar.
2. La función está limitada tanto por debajo como por arriba.
3. El valor más pequeño de la función es igual a menos uno (hay infinitos puntos de este tipo), el valor más grande de la función es igual a uno (también hay infinitos de esos puntos).
4. La función tiene una discontinuidad en el punto x =14ПЂ 2"> .
5. El conjunto de valores de la función es el segmento de menos uno a uno.

Las principales funciones trigonométricas son las funciones y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Consideremos cada uno de ellos por separado.

Y = pecado(x)

Gráfica de la función y=sin(x).

Propiedades básicas:

3. La función es impar.

Y = cos(x)

Gráfica de la función y=cos(x).

Propiedades básicas:

1. El dominio de definición es todo el eje numérico.

2. Función limitada. El conjunto de valores es el segmento [-1;1].

3. La función es par.

4. La función es periódica con el período positivo más pequeño igual a 2*π.

Y = tan(x)

Gráfica de la función y=tg(x).

Propiedades básicas:

1. El dominio de definición es todo el eje numérico, con excepción de los puntos de la forma x=π/2 +π*k, donde k es un número entero.

3. La función es impar.

Y = ctg(x)

Gráfica de la función y=ctg(x).

Propiedades básicas:

1. El dominio de definición es todo el eje numérico, con excepción de los puntos de la forma x=π*k, donde k es un número entero.

2. Función ilimitada. El conjunto de valores es la recta numérica completa.

3. La función es impar.

4. La función es periódica con el período positivo más pequeño igual a π.