Primjena izvedenice za rješavanje problema Jedinstvenog državnog ispita stiže uskoro! Ali još ima vremena za pripremu! Lekcija „Primjena derivata u rješavanju zadataka Jedinstvenog državnog ispita

Prava linija y=3x+2 tangenta je na grafik funkcije y=-12x^2+bx-10. Naći b, s obzirom da je apscisa tačke tangente manja od nule.

Rješenje

Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10 kroz koju prolazi tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, odnosno y"(x_0)=-24x_0+b=3. S druge strane, tačka tangentnosti pripada istovremeno oba grafika funkcija i tangenta, odnosno -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. Dobijamo sistem jednačina \begin(slučajevi) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end (slučajevi)

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uslovu apscise, tangente su manje od nule, pa je x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Odgovori

Stanje

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) (koji je izlomljena linija sastavljena od tri ravna segmenta). Koristeći sliku, izračunajte F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivativne funkcije f(x).

Rješenje

Prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(9)-F(5), gdje je F(x) jedan od antiderivata funkcije f(x), jednaka je površini ograničenog krivolinijskog trapeza grafikom funkcije y=f(x), prave linije y=0, x=9 i x=5. Prema rasporedu utvrđujemo da je naznačeno zakrivljeni trapez je trapez sa osnovama jednakim 4 i 3 i visinom 3.

Njegova površina je jednaka \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Stanje

Na slici je prikazan graf y=f"(x) - derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (-4; 10). Pronađite intervale opadajuće funkcije f(x). U svom odgovoru, naznačiti dužinu najvećeg od njih.

Rješenje

Kao što je poznato, funkcija f(x) opada na onim intervalima u čijoj je tački derivacija f"(x) manja od nule. S obzirom da je potrebno pronaći dužinu najvećeg od njih, tri takva intervala su prirodno razlikuje od slike: (-4; -2) (0; 3; 9);

Dužina najvećeg od njih - (5; 9) je 4.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Stanje

Na slici je prikazan graf y=f"(x) - derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (-8; 7). Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) koja pripada interval [-6; -2].

Rješenje

Grafikon pokazuje da derivacija f"(x) funkcije f(x) mijenja predznak sa plusa na minus (u takvim tačkama će biti maksimum) u tačno jednoj tački (između -5 i -4) iz intervala [ -6 ] Dakle, postoji tačno jedna maksimalna tačka u intervalu [-6].

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Stanje

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2; 8). Odrediti broj tačaka u kojima je derivacija funkcije f(x) jednaka 0.

Rješenje

Jednakost derivacije u tački nuli znači da je tangenta na graf funkcije nacrtane u ovoj tački paralelna sa Ox osom. Dakle, nalazimo tačke u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna sa Ox osom. Na ovom grafikonu takve tačke su tačke ekstrema (maksimalne ili minimalne tačke). Kao što vidite, postoji 5 ekstremnih tačaka.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Stanje

Prava linija y=-3x+4 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Pronađite apscisu tangentne tačke.

Rješenje

Ugaoni koeficijent prave linije na graf funkcije y=-x^2+5x-7 u proizvoljnoj tački x_0 jednak je y"(x_0). Ali y"=-2x+5, što znači y" (x_0)=-2x_0+5 koeficijent linije y=-3x+4 jednak je -3 -2x_0 +5=-3.

Dobijamo: x_0 = 4.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Stanje

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x), a na apscisi su označene tačke -6, -1, 1, 4. U kojoj od ovih tačaka je izvod najmanji? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.

U zadatku broj 13 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovnog nivoa, morat ćete pokazati vještine i znanje o jednom od koncepata ponašanja funkcije: izvode u tački ili stope povećanja ili smanjenja. Teorija za ovaj zadatak bit će dodana malo kasnije, ali to nas neće spriječiti da detaljno ispitamo nekoliko tipične opcije.

Analiza tipičnih opcija za zadatke broj 14 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike osnovnog nivoa

Prva verzija zadatka (demo verzija 2018)

Grafikon prikazuje temperaturu u odnosu na vrijeme dok se motor zagrijava. putnički automobil. Horizontalna os prikazuje vrijeme u minutama koje je prošlo od pokretanja motora; on vertikalna osa– temperatura motora u stepenima Celzijusa.

Koristeći grafikon, uparite svaki vremenski interval sa karakteristikama procesa grijanja motora tokom ovog intervala.

U tabeli ispod svakog slova navedite odgovarajući broj.

Algoritam izvršenja:

1. Odaberite vremenski interval tokom kojeg je temperatura opala.
2. Stavite ravnalo na 30°C i odredite vremenski interval tokom kojeg je temperatura bila ispod 30°C.

Rješenje:

Odaberimo vremenski interval tokom kojeg temperatura pada. Ovaj dio je vidljiv golim okom; počinje 8 minuta od trenutka pokretanja motora.

Stavite ravnalo na 30°C i odredite vremenski interval tokom kojeg je temperatura bila ispod 30°C.

Ispod ravnala će se nalaziti dio koji odgovara vremenskom intervalu 0 - 1 min.

Pomoću olovke i ravnala saznaćemo u kom vremenskom intervalu je temperatura bila u rasponu od 40°C do 80°C.

Spustimo okomice iz tačaka koje odgovaraju 40°S i 80°S na grafik, a iz dobijenih tačaka spustimo okomice na vremensku osu.

Vidimo da ovaj temperaturni interval odgovara vremenskom intervalu od 3 – 6,5 minuta. Odnosno od onih datih u stanju 3 – 6 minuta.

Koristeći metodu eliminacije, izabraćemo opciju odgovora koja nedostaje.

Druga verzija zadatka

Rješenje:

Analizirajmo graf funkcije A. Ako funkcija raste, onda je izvod pozitivan i obrnuto. Derivat funkcije je jednak nuli u tačkama ekstrema.

Prvo, funkcija A raste, tj. izvod je pozitivan. Ovo odgovara grafovima izvoda 2 i 3. U tački maksimuma funkcije x = -2, odnosno u ovoj tački derivacija bi trebala biti jednaka nuli. Ovaj uslov odgovara grafikonu broj 3.

Prvo, funkcija B se smanjuje, tj. izvod je negativan. Ovo odgovara grafovima izvoda 1 i 4. Maksimalna tačka funkcije je x=-2, odnosno u ovoj tački derivacija treba da bude jednaka nuli. Ovaj uslov odgovara grafikonu broj 4.

Prvo, funkcija B raste, tj. izvod je pozitivan. Ovo odgovara grafovima izvoda 2 i 3. Maksimalna tačka funkcije je x = 1, odnosno u ovoj tački derivacija treba da bude jednaka nuli. Ovaj uslov odgovara grafikonu broj 2.

Koristeći metodu eliminacije, možemo utvrditi da graf funkcije G odgovara grafu izvoda označenog brojem 1.

Odgovor: 3421.

Treća verzija zadatka

Uspostaviti korespondenciju između grafova funkcija i grafova njihovih derivacija.

Algoritam izvršenja za svaku funkciju:

1. Odrediti intervale rastućih i opadajućih funkcija.
2. Odredite maksimalnu i minimalnu tačku funkcija.
3. Izvucite zaključke i uparite predložene grafikone.

Rješenje:

Analizirajmo graf funkcije A.

Ako je funkcija rastuća, onda je derivacija pozitivna i obrnuto. Derivat funkcije je jednak nuli u tačkama ekstrema.

Ekstremna tačka je tačka u kojoj je maksimum ili minimalna vrijednost funkcije.

Prvo, funkcija A raste, tj. izvod je pozitivan. Ovo odgovara grafovima izvoda 3 i 4. U tački maksimuma funkcije x=0, odnosno u ovoj tački izvod bi trebao biti jednak nuli. Ovaj uslov odgovara grafikonu broj 4.

Analizirajmo graf funkcije B.

Prvo, funkcija B se smanjuje, tj. izvod je negativan. Ovo odgovara grafovima izvoda 1 i 2. Minimalna tačka funkcije je x=-1, odnosno u ovoj tački derivacija treba da bude jednaka nuli. Ovaj uslov odgovara grafikonu broj 2.

Analizirajmo graf funkcije B.

Prvo, funkcija B se smanjuje, tj. izvod je negativan. Ovo odgovara grafovima izvoda 1 i 2. Minimalna tačka funkcije je x = 0, odnosno u ovoj tački derivacija treba da bude jednaka nuli. Ovaj uslov odgovara grafikonu broj 1.

Metodom eliminacije možemo utvrditi da graf funkcije G odgovara grafu izvoda pod brojem 3.

Odgovor: 4213.

Opcija četrnaestog zadatka 2017

Na slici je prikazan grafik funkcije i tangente povučene na nju u tačkama apscise A, B, C i D.Desni stupac prikazuje vrijednosti izvoda u tačkama A, B, C i D. Koristeći graf, uparite svaku tačku sa vrijednošću izvoda funkcije u njoj.

POINTS
A
IN
WITH
D

VRIJEDNOSTI DERIVATA
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Prisjetimo se šta derivacija znači, odnosno njegovu vrijednost u tački - vrijednost funkcije derivacije u tački jednaka je tangentu ugla nagiba (koeficijentu) tangente.

U odgovorima imamo dvije pozitivne i dvije negativne opcije. Kao što se sjećamo, ako je koeficijent ravan (grafik y = kx+ b) je pozitivna, tada se linija povećava, ali ako je negativna, tada se linija smanjuje.

Imamo dvije rastuće linije - u tačkama A i D. Sada se prisjetimo šta znači vrijednost koeficijenta k?

Koeficijent k pokazuje koliko brzo se funkcija povećava ili smanjuje (u stvari, koeficijent k je sam po sebi izvod funkcije y = kx+ b).

Dakle, k = 2/3 odgovara ravnijoj pravoj liniji - D, a k = 3 - A.

Isto je i u slučaju negativnih vrijednosti: tačka B odgovara strmijoj pravoj liniji sa k = - 4, a tački C - -1/2.

Geometrijsko značenje izvod X Y 0 tangenta α k – nagib prava linija (tangenta) Geometrijsko značenje derivacije: ako se tangenta može povući na graf funkcije y = f(x) u tački sa apscisom, koja nije paralelna sa y-osi, tada ona izražava ugaoni koeficijent tangente, tj. Budući da je tačna jednakost prave linije

X y Ako je α 0. Ako je α > 90°, onda k 90°, zatim k 90°, zatim k 90°, zatim k 90°, zatim k title="h y Ako je α 0. Ako je α > 90°, zatim k

X y Zadatak 1. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na ovaj grafik nacrtana u tački sa apscisom -1. Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x =

Y x x0x Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0. Odgovor: -0,25

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-6;6). Naći intervale povećanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale. B =...

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5" title="Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) ) i tangentu na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-1;17). Naći intervale opadanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih. f(x)

0 na intervalu, zatim funkcija f(x)" title="Slika prikazuje grafik funkcije y = f(x). Pronađite među tačkama x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 i x 7 su tačke u kojima je derivacija funkcije f(x) pozitivna funkcija f(x)" class="link_thumb"> 8 !} Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x). Pronađite među tačkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 one tačke u kojima je derivacija funkcije f(x) pozitivna. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih bodova. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f (x) raste na ovom intervalu. Odgovor: 2 0 na intervalu, zatim funkcija f(x)"> 0 na intervalu, zatim funkcija f(x) raste na ovom intervalu Odgovor: 2"> 0 na intervalu, zatim funkcija f(x)" title= "On Slika prikazuje grafik funkcije y = f(x). Pronađite među tačkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 one tačke u kojima je derivacija funkcije f(x) je pozitivna Ako je f (x) > 0 na intervalu."> title="Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x). Pronađite među tačkama x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 one tačke u kojima je derivacija funkcije f(x) pozitivna. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih bodova. Ako je f (x) > 0 na intervalu, tada funkcija f(x)"> !}

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-9; 2). U kojoj tački na segmentu -8; -4 funkcija f(x) uzima najveća vrijednost? Na segmentu -8; -4 f(x)

Funkcija y = f(x) definirana je na intervalu (-5; 6). Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x). Pronađite među tačkama x 1, x 2, ..., x 7 one tačke u kojima je derivacija funkcije f(x) jednaka nuli. Kao odgovor, zapišite broj pronađenih bodova. Odgovor: 3 boda x 1, x 4, x 6 i x 7 su tačke ekstrema. U tački x 4 nema f (x)

Literatura 4 Algebra i početni čas analize. Tutorial za obrazovne institucije osnovni nivo/ Sh A. Alimov i drugi, - M.: Prosveshchenie, Semenov A. L. Jedinstveni državni ispit: 3000 zadataka iz matematike. – M.: Izdavačka kuća “Ispit”, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Vizuelni vodič za algebru i počeci analize sa primjerima za 7-11 razred. – M.: Ilexa, Elektronski resurs Otvorite banku zadataka objedinjenog državnog ispita.

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako si zainteresovan ovo djelo, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije: ponavljanje i generalizacija.

Format lekcije: lekcija-konsultacije.

Ciljevi lekcije:

• obrazovni: ponoviti i uopštiti teorijska znanja na teme: „Geometrijsko značenje izvoda“ i „Primjena izvoda u proučavanju funkcija“; razmotriti sve vrste B8 zadataka sa kojima se susreću na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike; studentima daju priliku da provjere svoje znanje nezavisna odluka zadaci; naučiti kako popuniti formular za odgovore na ispitu;
• razvija: promovirati razvoj komunikacije kao metode naučna saznanja, semantičko pamćenje i voljna pažnja; formiranje takvih ključne kompetencije, kao što su poređenje, jukstapozicija, klasifikacija objekata, određivanje adekvatnih načina rješavanja obrazovnog zadatka na osnovu zadanih algoritama, sposobnost samostalnog djelovanja u situacijama neizvjesnosti, kontrola i evaluacija svojih aktivnosti, pronalaženje i otklanjanje uzroka poteškoća;
• obrazovni: razvijati komunikativne kompetencije učenika ( komunikacijske kulture, sposobnost rada u grupama); promoviraju razvoj potrebe za samoobrazovanjem.

Tehnologije: razvojno obrazovanje, ICT.

Nastavne metode: verbalno, vizuelno, praktično, problematično.

Oblici rada: individualni, frontalni, grupni.

Edukativno-metodička podrška:

1. Algebra i počeci matematičke analize 11. razred: udžbenik. Za opšte obrazovanje Institucije: osnovne i profilne. nivoi / (Ju. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin); uredio A. B. Zhizhchenko. – 4. izd. – M.: Obrazovanje, 2011.

2. Jedinstveni državni ispit: 3000 zadataka sa odgovorima iz matematike. Svi zadaci grupe B / A.L. Semenov, I.V. Yashchenko i drugi; uredio A.L. Semjonova, I.V. Yashchenko. – M.: Izdavačka kuća “Ispit”, 2011.

3. Otvorite banku zadataka.

Oprema i materijali za nastavu: projektor, platno, računar za svakog učenika sa instaliranom prezentacijom, ispis memoranduma za sve učenike (Aneks 1) i bodovni list ( Dodatak 2) .

Preliminarna priprema na lekciju: as zadaća od učenika se traži da ponove teorijsko gradivo iz udžbenika na teme: „Geometrijsko značenje izvoda“, „Primjena izvoda u proučavanju funkcija“; Odeljenje je podeljeno u grupe (po 4 osobe), u svakoj od njih su učenici različitih nivoa.

Objašnjenje lekcije: Ova lekcija se izvodi u 11. razredu u fazi ponavljanja i pripreme za Jedinstveni državni ispit. Nastava je usmjerena na ponavljanje i generalizaciju teorijskog gradiva, njegovu primjenu u rješavanju ispitnih zadataka. Trajanje nastave - 1,5 sat .

Ova lekcija nije u prilogu udžbenika, tako da se može predavati tokom rada na bilo kom nastavnom materijalu. Ova lekcija se također može podijeliti u dvije odvojene i predavati kao završne lekcije o obrađenim temama.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

II. Lekcija o postavljanju ciljeva.

III. Ponavljanje na temu "Geometrijsko značenje derivacija."

Usmeni frontalni rad na projektoru (slajdovi br. 3-7)

Rad u grupama: rješavanje problema uz savjete, odgovore, uz konsultaciju nastavnika (slajdovi br. 8-17)

IV. Samostalan rad 1.

Učenici samostalno rade na računaru (slajdovi br. 18-26), a svoje odgovore unose u evaluacioni list. Ako je potrebno, možete konsultovati nastavnika, ali u tom slučaju učenik gubi 0,5 bodova. Ukoliko student završi rad ranije, može se odlučiti za rješavanje dodatnih zadataka iz zbirke, str. 242, 306-324 (dodatni zadaci se posebno ocjenjuju).

V. Međusobna provjera.

Učenici razmjenjuju listove ocjenjivanja, provjeravaju rad prijatelja i dodjeljuju bodove (slajd br. 27)

VI. Korekcija znanja.

VII. Ponavljanje na temu “Primjena derivacije u proučavanju funkcija”

Usmeni frontalni rad na projektoru (slajdovi br. 28-30)

Rad u grupama: rješavanje problema uz savjete, odgovore, uz konsultaciju nastavnika (slajdovi br. 31-33)

VIII. Samostalni rad 2.

Učenici samostalno rade na računaru (slajdovi br. 34-46), a svoje odgovore unose u formular za odgovore. Ako je potrebno, možete konsultovati nastavnika, ali u tom slučaju učenik gubi 0,5 bodova. Ukoliko student završi rad ranije, može se odlučiti za rješavanje dodatnih zadataka iz zbirke, str. 243-305 (dodatni zadaci se posebno ocjenjuju).

IX. Peer review.

Učenici razmjenjuju listove ocjenjivanja, provjeravaju rad svojih prijatelja i dodjeljuju bodove (slajd br. 47).

X. Korekcija znanja.

Učenici ponovo rade u svojim grupama, raspravljaju o rješenju i ispravljaju greške.

XI. Rezimirajući.

Svaki učenik izračunava svoje bodove i stavlja ocjenu u bodovni list.

Učenici predaju nastavniku list za ocjenjivanje i rješenja dodatnih problema.

Svaki učenik dobija dopis (slajd br. 53-54).

XII. Refleksija.

Od učenika se traži da procijene svoje znanje odabirom jedne od rečenica:

• Uspeo sam!!!
• Moramo riješiti još par primjera.
• Pa ko je smislio ovu matematiku!

XIII. Zadaća.

Za zadaća Studenti se pozivaju da izaberu rješavanje zadataka iz zbirke, str. 242-334, kao i iz otvorene banke zadataka.