Pagkalkula ng inaasahan at pagpapakalat ng matematika. Mga discrete na random variable

Ang mga random na variable, bilang karagdagan sa mga batas sa pamamahagi, ay maaari ding ilarawan mga katangiang numero .

inaasahan sa matematika M (x) ng isang random na variable ay tinatawag na average na halaga nito.

Inaasahang halaga Ang discrete random variable ay kinakalkula ng formula

saan – mga halaga ng isang random na variable, p ako- kanilang mga probabilidad.

Isaalang-alang ang mga katangian ng pag-asa sa matematika:

1. Ang mathematical expectation ng isang constant ay katumbas ng constant mismo

2. Kung ang isang random na variable ay i-multiply sa isang tiyak na numero k, ang mathematical na inaasahan ay i-multiply sa parehong numero

M (kx) = kM (x)

3. Ang mathematical na inaasahan ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga mathematical na inaasahan

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Para sa mga independent random variables x 1 , x 2 , … x n ang mathematical expectation ng produkto ay katumbas ng product ng kanilang mathematical expectations

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan para sa random variable mula sa Halimbawa 11.

M(x) == .

Halimbawa 12. Hayaang ang mga random na variable x 1 , x 2 ay ibigay ng mga batas sa pamamahagi, ayon sa pagkakabanggit:

x 1 Talahanayan 2

x 2 Talahanayan 3

Kalkulahin ang M (x 1) at M (x 2)

M (x 1) \u003d (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 \u003d 0

Ang mga inaasahan sa matematika ng parehong mga random na variable ay pareho - ang mga ito ay katumbas ng zero. Gayunpaman, iba ang kanilang pamamahagi. Kung ang mga halaga ng x 1 ay naiiba nang kaunti mula sa kanilang inaasahan sa matematika, kung gayon ang mga halaga ng x 2 ay naiiba sa isang malaking lawak mula sa kanilang inaasahan sa matematika, at ang mga probabilidad ng naturang mga paglihis ay hindi maliit. Ipinapakita ng mga halimbawang ito na imposibleng matukoy mula sa average na halaga kung anong mga paglihis mula rito ang nagaganap sa mas maliit at sa malaking bahagi. Kaya, sa parehong average na taunang pag-ulan sa dalawang lokalidad, hindi masasabi na ang mga lokalidad na ito ay pantay na pabor para sa gawaing pang-agrikultura. Katulad nito, sa mga tuntunin ng average sahod hindi pwedeng manghusga tiyak na gravity mataas at mababang suweldong manggagawa. Samakatuwid, ang isang numerical na katangian ay ipinakilala - pagpapakalat D(x) , na nagpapakilala sa antas ng paglihis ng isang random na variable mula sa average na halaga nito:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Ang dispersion ay ang mathematical expectation ng squared deviation ng isang random variable mula sa mathematical expectation. Para sa isang discrete random variable, ang pagkakaiba ay kinakalkula ng formula:

D(x)= = (3)

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng pagkakaiba na D (x) 0.

Mga katangian ng pagpapakalat:

1. Ang pagpapakalat ng pare-pareho ay zero

2. Kung ang isang random na variable ay pinarami ng ilang numero k, kung gayon ang pagkakaiba ay i-multiply sa parisukat ng numerong ito

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Para sa pairwise independent random variables x 1 , x 2 , … x n ang pagkakaiba ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Kalkulahin natin ang pagkakaiba para sa random na variable mula sa Halimbawa 11.

Pag-asa sa matematika M (x) = 1. Samakatuwid, ayon sa formula (3) mayroon tayong:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Tandaan na mas madaling kalkulahin ang pagkakaiba kung gagamit tayo ng property 3:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Kalkulahin natin ang mga pagkakaiba para sa mga random na variable x 1 , x 2 mula sa Halimbawa 12 gamit ang formula na ito. Ang mga inaasahan sa matematika ng parehong mga random na variable ay katumbas ng zero.

D (x 1) \u003d 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 \u003d 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.0001 \u003d

D (x 2) \u003d (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Paano mas malapit na kahulugan pagkakaiba sa zero, mas maliit ang pagkalat ng random variable na may kaugnayan sa mean na halaga.

Ang halaga ay tinatawag karaniwang lihis. Random na fashion x discrete type Md ay ang halaga ng random variable, na tumutugma sa pinakamataas na posibilidad.

Random na fashion x tuloy-tuloy na uri Md, ay isang tunay na numero na tinukoy bilang ang pinakamataas na punto ng probability distribution density f(x).

Median ng isang random na variable x tuloy-tuloy na uri Mn ay isang tunay na numero na nakakatugon sa equation

Random variable tinawag variable, na, bilang resulta ng bawat pagsubok, ay tumatagal ng isang dating hindi kilalang halaga, depende sa mga random na dahilan. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking letrang Latin: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Ayon sa kanilang uri, ang mga random na variable ay maaaring discrete at tuloy-tuloy.

Discrete random variable- ito ay tulad ng isang random na variable, ang mga halaga ay maaaring hindi hihigit sa mabibilang, iyon ay, maaaring may hangganan o mabibilang. Ang pagbibilang ay nangangahulugan na ang mga halaga ng isang random na variable ay maaaring mabilang.

Halimbawa 1 . Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga discrete random variable:

a) ang bilang ng mga hit sa target na may $n$ shot, dito ang mga posibleng value ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) ang bilang ng mga coats of arm na nahulog kapag naghagis ng barya, narito ang mga posibleng halaga ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) ang bilang ng mga barkong dumating sakay (isang mabibilang na hanay ng mga halaga).

d) ang bilang ng mga tawag na dumarating sa exchange (isang mabibilang na hanay ng mga halaga).

1. Batas ng probability distribution ng isang discrete random variable.

Maaaring kunin ng discrete random variable na $X$ ang mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ na may probabilities na $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Ang pagsusulatan sa pagitan ng mga halagang ito at ang kanilang mga probabilidad ay tinatawag batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable. Bilang isang patakaran, ang sulat na ito ay tinukoy gamit ang isang talahanayan, sa unang linya kung saan ang mga halaga ng $x_1,\dots ,\ x_n$ ay ipinahiwatig, at sa pangalawang linya ang mga probabilidad na nauugnay sa mga halagang ito ay $ p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Halimbawa 2 . Hayaang ang random variable na $X$ ay ang bilang ng mga puntos na pinagsama kapag ang isang dice ay pinagsama. Ang ganitong random na variable na $X$ ay maaaring tumagal ng mga sumusunod na halaga $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Ang mga probabilidad ng lahat ng mga halagang ito ay katumbas ng $1/6$. Pagkatapos ay ang probability distribution law para sa random variable na $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Magkomento. Dahil sa batas ng pamamahagi ng discrete random variable na $X$ ang mga kaganapan na $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ay nabuo buong grupo mga kaganapan, kung gayon ang kabuuan ng mga probabilidad ay dapat na katumbas ng isa, iyon ay, $\sum(p_i)=1$.

2. Mathematical expectation ng isang discrete random variable.

Pag-asa sa matematika ng isang random na variable tumutukoy sa "gitnang" halaga nito. Para sa isang discrete random variable, ang mathematical expectation ay kinakalkula bilang ang kabuuan ng mga produkto ng mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ at ang probabilities $p_1,\dots ,\ p_n$ na naaayon sa mga value na ito, i.e.: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Sa panitikang Ingles, isa pang notasyong $E\left(X\right)$ ang ginagamit.

Mga Katangian ng Inaasahan$M\kaliwa(X\kanan)$:

1. Ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit at pinakamataas na halaga random variable $X$.
2. Ang pag-asa sa matematika ng isang pare-pareho ay katumbas ng pare-pareho mismo, i.e. $M\left(C\right)=C$.
3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa pag-asa sign: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Ang inaasahan sa matematika ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga inaasahan sa matematika: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Ang mathematical expectation ng produkto ng independent random variables ay katumbas ng product ng kanilang mathematical expectations: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Halimbawa 3 . Hanapin natin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

Mapapansin natin na ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit ($1$) at pinakamalaking ($6$) na halaga ng random variable na $X$.

Halimbawa 4 . Alam na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=2$. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $3X+5$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, nakukuha namin ang $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Halimbawa 5 . Alam na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=4$. Hanapin ang mathematical expectation ng random variable na $2X-9$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, nakukuha namin ang $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Pagpapakalat ng isang discrete random variable.

Ang mga posibleng halaga ng mga random na variable na may pantay na mga inaasahan sa matematika ay maaaring magkalat nang iba sa kanilang mga average na halaga. Halimbawa, sa dalawang grupo ng mag-aaral GPA para sa pagsusulit sa teorya ng probabilidad ay naging katumbas ng 4, ngunit sa isang grupo ang lahat ay naging mahusay na mga mag-aaral, at sa kabilang grupo - tatlo lamang at mahusay na mga mag-aaral. Samakatuwid, mayroong isang pangangailangan para sa isang numerong katangian ng isang random na variable, na magpapakita ng pagkalat ng mga halaga ng isang random na variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika. Ang katangiang ito ay pagpapakalat.

Pagpapakalat ng isang discrete random variable Ang $X$ ay:

$$D\kaliwa(X\kanan)=\sum^n_(i=1)(p_i(\kaliwa(x_i-M\kaliwa(X\kanan)\kanan))^2).\ $$

Sa panitikang Ingles, ginagamit ang notasyong $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Kadalasan ang variance $D\left(X\right)$ ay kinakalkula ng formula na $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ kaliwa(X \kanan)\kanan))^2$.

Mga Katangian ng Dispersion$D\left(X\right)$:

1. Ang dispersion ay palaging mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero, i.e. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Ang pagpapakalat mula sa isang pare-pareho ay katumbas ng zero, i.e. $D\left(C\right)=0$.
3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign, sa kondisyon na ito ay parisukat, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Ang pagkakaiba ng pagkakaiba ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Halimbawa 6 . Kalkulahin natin ang pagkakaiba ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2.92.$$

Halimbawa 7 . Alam na ang pagkakaiba ng random variable na $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=2$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $4X+1$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kaliwa(X\kanan)=16\cdot 2=32$.

Halimbawa 8 . Alam na ang pagkakaiba ng $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=3$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $3-2X$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Distribution function ng isang discrete random variable.

Ang paraan ng kumakatawan sa isang discrete random variable sa anyo ng isang serye ng pamamahagi ay hindi lamang isa, at higit sa lahat, ito ay hindi pangkalahatan, dahil ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay hindi maaaring tukuyin gamit ang isang serye ng pamamahagi. May isa pang paraan upang kumatawan sa isang random na variable - ang distribution function.

function ng pamamahagi Ang random variable na $X$ ay ang function na $F\left(x\right)$, na tumutukoy sa posibilidad na ang random variable na $X$ ay kukuha ng value na mas mababa sa ilang fixed value na $x$, ibig sabihin, $F\left(x\ kanan)$ )=P\kaliwa(X< x\right)$

Mga katangian ng pagpapaandar ng pamamahagi:

1. $0\le F\kaliwa(x\kanan)\le 1$.
2. Ang posibilidad na ang random variable na $X$ ay kumukuha ng mga halaga mula sa pagitan ng $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga value ng distribution function sa mga dulo ng interval na ito : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - hindi bumababa.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \kanan)=1\ )$.

Halimbawa 9 . Hanapin natin ang distribution function na $F\left(x\right)$ para sa distribution law ng discrete random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Kung $x\le 1$, maliwanag na $F\left(x\right)=0$ (kabilang ang $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Kung $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Kung $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Kung $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Kung $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Kung $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Kung $x > 6$ pagkatapos ay $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\kaliwa(X=4\kanan)+P\kaliwa(X=5\kanan)+P\kaliwa(X=6\kanan)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Kaya $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, sa \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, sa \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ sa\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ sa \ 4< x\le 5,\\
1,\ para sa \ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Ang inaasahan sa matematika ay, ang kahulugan

Mat naghihintay ay isa sa pinakamahalagang konsepto sa mga istatistika ng matematika at teorya ng posibilidad, na nagpapakilala sa pamamahagi ng mga halaga o mga probabilidad random variable. Karaniwang ipinapahayag bilang weighted average ng lahat ng posibleng parameter ng random variable. Malawakang ginagamit sa pagsasagawa teknikal na pagsusuri, pananaliksik serye ng numero, ang pag-aaral ng tuloy-tuloy at mahabang proseso. Mayroon itong kahalagahan kapag tinatasa ang mga panganib, pagtataya ng mga tagapagpahiwatig ng presyo kapag nakikipagkalakalan sa mga pamilihan sa pananalapi, ay ginagamit sa pagbuo ng mga estratehiya at pamamaraan ng mga taktika sa laro sa teorya ng pagsusugal.

Naghihintay ang checkmate- Ito mean value ng isang random variable, distribution mga probabilidad Ang random variable ay isinasaalang-alang sa probability theory.

Mat naghihintay ay sukatan ng mean value ng isang random variable sa probability theory. Inaasahan sa matematika ng isang random na variable x ipinapahiwatig M(x).

Ang inaasahan sa matematika (Mean ng populasyon) ay

Mat naghihintay ay

Mat naghihintay ay sa probability theory, ang weighted average ng lahat ng posibleng value na maaaring kunin ng random variable na ito.

Mat naghihintay ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng halaga ng isang random na variable sa pamamagitan ng mga probabilidad ng mga halagang ito.

Ang inaasahan sa matematika (Mean ng populasyon) ay

Mat naghihintay ay ang average na benepisyo mula sa isang partikular na desisyon, sa kondisyon na ang naturang desisyon ay maaaring isaalang-alang sa balangkas ng teorya ng malalaking numero at isang mahabang distansya.

Mat naghihintay ay sa teorya ng pagsusugal, ang halaga ng mga panalo na maaaring kumita o matalo ng isang speculator, sa karaniwan, para sa bawat taya. Sa wika ng sugal mga speculators minsan ito ay tinatawag na "kalamangan speculator” (kung ito ay positibo para sa speculator) o “house edge” (kung ito ay negatibo para sa speculator).

Ang inaasahan sa matematika (Mean ng populasyon) ay

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

Ang bawat indibidwal na halaga ay ganap na tinutukoy ng function ng pamamahagi nito. Gayundin, upang malutas ang mga praktikal na problema, sapat na upang malaman ang ilang mga numerical na katangian, salamat sa kung saan posible na ipakita ang mga pangunahing tampok ng isang random na variable sa isang maigsi na form.

Pangunahin ang mga dami na ito inaasahang halaga at pagpapakalat .

Inaasahang halaga- ang average na halaga ng isang random na variable sa probability theory. Itinalaga bilang .

ng karamihan sa simpleng paraan mathematical na inaasahan ng isang random na variable X(w), ay matatagpuan bilang integralLebesgue may kinalaman sa sukatan ng posibilidad R orihinal puwang ng posibilidad

Maaari mo ring mahanap ang mathematical na inaasahan ng isang halaga bilang integral ng Lebesgue mula sa X sa pamamagitan ng pamamahagi ng posibilidad R X dami X:

kung saan ang hanay ng lahat ng posibleng halaga X.

Pag-asa sa matematika ng mga function mula sa isang random na variable X ay sa pamamagitan ng pamamahagi R X. Halimbawa, kung X- random na variable na may mga halaga sa at f(x)- hindi malabo Borelfunction X , pagkatapos:

Kung ang F(x)- function ng pamamahagi X, kung gayon ang mathematical na inaasahan ay kinakatawan integralLebesgue - Stieltjes (o Riemann - Stieltjes):

habang ang integrability X sa anong kahulugan ( * ) ay tumutugma sa finiteness ng integral

AT mga partikular na kaso, kung X ay may discrete distribution na may probable values x k, k=1, 2, . , at probabilidad , kung gayon

kung X ay may ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi na may probability density p(x), pagkatapos

sa kasong ito, ang pagkakaroon ng isang mathematical expectation ay katumbas ng absolute convergence ng kaukulang serye o integral.

Mga katangian ng inaasahan sa matematika ng isang random na variable.

• Ang mathematical na inaasahan ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng halagang ito:

C- pare-pareho;

• M=C.M[X]

• Ang pag-asa sa matematika ng kabuuan ng mga random na kinuhang halaga ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga inaasahan sa matematika:

• Ang inaasahan sa matematika ng produkto ng mga independiyenteng random na variable = ang produkto ng kanilang mga inaasahan sa matematika:

M=M[X]+M[Y]

kung X at Y malaya.

kung ang serye ay nagtatagpo:

Algorithm para sa pagkalkula ng inaasahan sa matematika.

Mga katangian ng mga discrete random variable: ang lahat ng kanilang mga halaga ay maaaring muling bilangin natural na mga numero; itumbas ang bawat halaga sa isang di-zero na posibilidad.

1. Paulit-ulit na i-multiply ang mga pares: x i sa pi.

2. Idagdag ang produkto ng bawat pares x i p i.

Halimbawa, para sa n = 4 :

Distribution function ng isang discrete random variable sunud-sunod, ito ay tumataas nang biglaan sa mga puntong iyon na ang mga probabilidad ay may positibong senyales.

Halimbawa: Hanapin ang mathematical na inaasahan sa pamamagitan ng formula.

Ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable X ay ang mean value.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), saan C= const

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Kung random variables X at Y independyente, kung gayon M(XY) = M(X) M(Y)

Pagpapakalat

Ang pagkakaiba ng isang random variable X ay tinatawag

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X).

Ang dispersion ay isang sukatan ng paglihis ng mga halaga ng isang random na variable mula sa average na halaga nito.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), saan C= const

4. Para sa mga independiyenteng random na variable

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Kuwadrado na ugat mula sa pagkakaiba ng isang random na variable X ay tinatawag na standard deviation .

@ Gawain 3: Hayaan ang isang random na variable X na kumuha lamang ng dalawang halaga (0 o 1) na may mga probabilidad q, p, saan p + q = 1. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba.

Desisyon:

M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 - p) 2 q = pq.

@ Gawain 4: Pag-asa sa matematika at pagkakaiba ng isang random na variable X ay katumbas ng 8. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng mga random na variable: a) X-4; b) 3X-4.

Solusyon: M(X - 4) = M(X) - 4 = 8 - 4 = 4; D(X - 4) = D(X) = 8; M(3X - 4) = 3M(X) - 4 = 20; D(3X - 4) = 9D(X) = 72.

@ Gawain 5: Ang hanay ng mga pamilya ay may sumusunod na pamamahagi ayon sa bilang ng mga bata:

x i	x 1	x2
pi	0,1	p2	0,4	0,35

Tukuyin x 1, x2 at p2 kung ito ay kilala na M(X) = 2; D(X) = 0.9.

Solusyon: Ang posibilidad na p 2 ay katumbas ng p 2 = 1 - 0.1 - 0.4 - 0.35 = 0.15. Ang hindi kilalang x ay matatagpuan mula sa mga equation: M(X) = x 1 0.1 + x 2 0.15 + 2 0.4 + 3 0.35 = 2; D(X) = 0.1 + 0.15 + 4 0.4 + 9 0.35 – 4 = 0.9. x 1 = 0; x2 = 1.

Pangkalahatang populasyon at sample. Mga pagtatantya ng parameter

Selective observation

Ang pagmamasid sa istatistika ay maaaring maayos na tuluy-tuloy at hindi tuloy-tuloy. Ang patuloy na pagmamasid ay kinabibilangan ng pagsusuri sa lahat ng yunit ng pinag-aralan na populasyon (pangkalahatang populasyon). Populasyon ay isang set ng pisikal o mga legal na entity, na pinag-aaralan ng mananaliksik ayon sa kanyang gawain. Ito ay kadalasang hindi mabubuhay sa ekonomiya, at kung minsan ay imposible. Kaugnay nito, bahagi lamang ng pangkalahatang populasyon ang pinag-aaralan - sampling frame .

Ang mga resultang nakuha mula sa sample na populasyon ay maaaring palawigin sa pangkalahatang populasyon kung susundin ang mga sumusunod na prinsipyo:

1. Ang sample na populasyon ay dapat matukoy nang random.

2. Dapat sapat ang bilang ng mga sampling unit.

3. Dapat ibigay pagiging kinatawan ( pagiging kinatawan) ng sample. Ang isang kinatawan na sample ay isang mas maliit ngunit tumpak na modelo ng populasyon na nilalayon nitong katawanin.

Mga uri ng sample

Sa pagsasanay, mag-apply ang mga sumusunod na uri mga sample:

a) wastong random, b) mekanikal, c) tipikal, d) serial, e) pinagsama.

Self-random sampling

Sa tamang random sample random na pinili ang mga sampling unit, halimbawa, sa pamamagitan ng pagguhit ng lot o random number generator.

Ang mga sample ay paulit-ulit at hindi paulit-ulit. Kapag nag-resampling, ibinabalik at iniimbak ang na-sample na unit pantay na pagkakataon isama muli sa sample. Sa hindi paulit-ulit na sampling, ang yunit ng populasyon na kasama sa sample ay hindi lalahok sa sample sa hinaharap.

Ang mga error na likas sa sample observation, na nagmumula dahil sa ang katunayan na ang sample ay hindi ganap na nagpaparami ng pangkalahatang populasyon, ay tinatawag na karaniwang mga error . Kinakatawan nila ang root-mean-square na pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng mga tagapagpahiwatig na nakuha mula sa sample at ang kaukulang mga halaga ng mga tagapagpahiwatig ng pangkalahatang populasyon.

Mga formula ng pagkalkula karaniwang error na may random na muling pagpili, ang mga sumusunod: , at may random na hindi paulit-ulit na pagpili, ang mga sumusunod: , kung saan ang S 2 ay ang pagkakaiba ng sample na populasyon, n/N - sample share, n, N- ang bilang ng mga yunit sa sample at pangkalahatang populasyon. Sa n = N karaniwang error m = 0.

Mechanical sampling

Sa mekanikal na sampling ang pangkalahatang populasyon ay nahahati sa pantay na pagitan at isang yunit ay random na pinili mula sa bawat pagitan.

Halimbawa, na may 2% na sampling rate, bawat ika-50 na yunit ay pinipili mula sa isang listahan ng populasyon.

Ang karaniwang error ng mechanical sampling ay tinukoy bilang ang error ng self-random na hindi paulit-ulit na sampling.

Karaniwang sample

Sa tipikal na sample ang pangkalahatang populasyon ay nahahati sa homogenous na tipikal na mga grupo, pagkatapos ay random na pinili ang mga yunit mula sa bawat pangkat.

Ang isang karaniwang sample ay ginagamit sa kaso ng isang magkakaiba pangkalahatang populasyon. Ang isang karaniwang sample ay nagbibigay ng mas tumpak na mga resulta dahil tinitiyak nito ang pagiging kinatawan.

Halimbawa, ang mga guro, bilang pangkalahatang populasyon, ay nahahati sa mga grupo ayon sa mga sumusunod na katangian: kasarian, haba ng serbisyo, kwalipikasyon, edukasyon, urban at mga paaralan sa kanayunan atbp.

Ang mga karaniwang error sa sampling ay tinukoy bilang mga self-random sampling error, na ang pagkakaiba lang ay iyon S2 ay pinalitan ng average ng mga pagkakaiba-iba ng intra-grupo.

serial sampling

Sa serial sampling ang pangkalahatang populasyon ay nahahati sa magkakahiwalay na grupo (serye), pagkatapos ay ang mga random na napiling grupo ay sasailalim sa patuloy na pagmamasid.

Ang mga serial sampling standard na error ay tinukoy bilang self-random sampling error, na ang pagkakaiba lang ay iyon S2 ay pinalitan ng average ng mga pagkakaiba-iba ng intergroup.

Pinagsamang sampling

Pinagsamang sampling ay isang kumbinasyon ng dalawa o higit pang mga uri ng sample.

Pagtataya ng Punto

pangwakas na layunin Ang sampling observation ay paghahanap ng mga katangian ng pangkalahatang populasyon. Dahil hindi ito maaaring gawin nang direkta, ang mga katangian ng sample na populasyon ay pinalawak sa pangkalahatang populasyon.

Ang pangunahing posibilidad ng pagtukoy ng arithmetic mean ng pangkalahatang populasyon mula sa data ng average na sample ay napatunayan. Ang teorama ni Chebyshev. Na may walang limitasyong pagpapalaki n ang posibilidad na ang pagkakaiba sa pagitan ng sample mean at pangkalahatang mean ay arbitraryong maliit ay may posibilidad na 1.

Nangangahulugan ito na ang katangian ng pangkalahatang populasyon na may katumpakan ng . Ang ganitong pagtatasa ay tinatawag punto .

Pagtatantya ng Pagitan

Ang batayan ng pagtatantya ng pagitan ay Central limit theorem.

Pagtatantya ng Pagitan ay nagbibigay-daan sa iyo upang sagutin ang tanong: sa loob ng anong agwat at sa anong posibilidad ang hindi alam, nais na halaga ng parameter ng pangkalahatang populasyon?

Karaniwang tinutukoy bilang antas ng kumpiyansa p = 1 – a, na magiging sa pagitan – D< < + D, где D = t cr m > 0 marginal error mga sample, isang - lebel ng kahalagahan (ang posibilidad na ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging mali), t cr - kritikal na halaga, na nakasalalay sa mga halaga n at a. Na may maliit na sample n< 30 t cr ay ibinibigay gamit ang kritikal na halaga ng t-distribution ng Mag-aaral para sa isang two-tailed test na may n– 1 antas ng kalayaan na may antas ng kahalagahan a ( t cr(n- 1, a) ay matatagpuan mula sa talahanayan na "Mga kritikal na halaga ng t-distribution ng Mag-aaral", apendiks 2). Para sa n > 30, t cr ay ang dami ng normal na distribusyon ( t cr ay matatagpuan mula sa talahanayan ng mga halaga ng Laplace function F(t) = (1 – a)/2 bilang argumento). Sa p = 0.954, ang kritikal na halaga t cr= 2 sa p = 0.997 kritikal na halaga t cr= 3. Nangangahulugan ito na ang marginal error ay karaniwang 2-3 beses na mas malaki kaysa sa karaniwang error.

Kaya, ang kakanyahan ng paraan ng sampling ay nakasalalay sa katotohanan na, batay sa istatistikal na data ng isang maliit na bahagi ng pangkalahatang populasyon, posible na makahanap ng isang agwat kung saan, na may posibilidad ng kumpiyansa. p ang nais na katangian ng pangkalahatang populasyon ay matatagpuan (average na bilang ng mga manggagawa, average na marka, average na ani, standard deviation, atbp.).

@ Gawain 1. Upang matukoy ang bilis ng mga pakikipag-ayos sa mga nagpapautang ng mga korporasyong negosyo sa komersyal na bangko isang random na sample ng 100 mga dokumento sa pagbabayad ay isinagawa, ayon sa kung saan karaniwang termino ang paglilipat at pagtanggap ng pera ay naging katumbas ng 22 araw ( = 22) na may karaniwang paglihis na 6 na araw (S = 6). May posibilidad p= 0.954 matukoy ang marginal error ng sample mean at ang confidence interval katamtamang tagal pag-aayos ng mga negosyo ng korporasyong ito.

Solusyon: Ang marginal error ng sample ay mean ayon sa(1)ay katumbas ng D= 2· 0.6 = 1.2, at ang confidence interval ay tinukoy bilang (22 - 1.2; 22 + 1.2), i.e. (20.8; 23.2).

§6.5 Pag-uugnay at pagbabalik