Ang mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay umiral na mula noong sinaunang panahon. Nagpakita sila at humingi ng solusyon, dahil mayroon silang praktikal na pangangailangan.

Kaya, sa isa sa mga papiro sinaunang egypt, na mayroong mathematical content - ang Rhind papyrus (XIX century BC) - ay naglalaman ng sumusunod na gawain: hatiin ang sampung sukat ng tinapay sa sampung tao, sa kondisyon na ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat isa sa kanila ay isang ikawalo ng isang sukat.

At sa mga gawaing matematika ng mga sinaunang Griyego ay may mga matikas na theorems na may kaugnayan sa pag-unlad ng aritmetika. Kaya, ang Hypsicles ng Alexandria (ika-2 siglo, na nag-compile ng maraming kawili-wiling mga problema at nagdagdag ng ikalabing-apat na libro sa "Mga Elemento" ni Euclid, ay bumalangkas ng ideya: "Sa isang pag-unlad ng aritmetika na may pantay na bilang ng mga miyembro, ang kabuuan ng mga miyembro ng ika-2 kalahati higit pa sa dami miyembro ng 1st sa square 1/2 ng bilang ng mga miyembro.

Ang pagkakasunud-sunod an ay tinutukoy. Ang mga numero ng pagkakasunud-sunod ay tinatawag na mga miyembro nito at kadalasang tinutukoy ng mga titik na may mga indeks na nagpapahiwatig ng serial number ng miyembrong ito (a1, a2, a3 ... ito ay nagbabasa ng: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd ” at iba pa).

Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring walang katapusan o may hangganan.

Ano ang isang arithmetic progression? Ito ay nauunawaan bilang nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng nakaraang termino (n) na may parehong bilang na d, na siyang pagkakaiba ng pag-unlad.

Kung d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, kung gayon ang gayong pag-unlad ay itinuturing na tumataas.

Arithmetic progression ay tinatawag na may hangganan kung iilan lamang sa mga unang termino nito ang isasaalang-alang. Sa napaka sa malaking bilang ang mga miyembro ay isa nang walang katapusang pag-unlad.

Ang anumang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng sumusunod na formula:

an =kn+b, habang ang b at k ay ilang numero.

Ang pahayag, na kung saan ay ang kabaligtaran, ay ganap na totoo: kung ang pagkakasunud-sunod ay ibinigay ng isang katulad na formula, kung gayon ito ay eksaktong pag-unlad ng aritmetika, na may mga katangian:

1. Ang bawat miyembro ng progression ay ang arithmetic mean ng nakaraang miyembro at ng susunod.
2. Ang kabaligtaran: kung, simula sa ika-2, ang bawat termino ay ang arithmetic mean ng nakaraang termino at ang susunod, i.e. kung ang kundisyon ay natutugunan, ang ibinigay na sequence ay isang arithmetic progression. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tanda din ng pag-unlad, kaya karaniwang tinatawag itong katangian ng pag-unlad.
   Sa parehong paraan, ang theorem na sumasalamin sa property na ito ay totoo: ang isang sequence ay isang arithmetic progression lamang kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa alinman sa mga miyembro ng sequence, simula sa ika-2.

Ang katangiang katangian para sa anumang apat na numero ng isang arithmetic progression ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng formula an + am = ak + al kung n + m = k + l (m, n, k ay ang mga numero ng progression).

Sa isang arithmetic progression, ang anumang kinakailangang (Nth) na termino ay makikita sa pamamagitan ng paglalapat ng sumusunod na formula:

Halimbawa: ang unang termino (a1) sa isang pag-unlad ng arithmetic ay ibinigay at katumbas ng tatlo, at ang pagkakaiba (d) ay katumbas ng apat. Kailangan mong hanapin ang ikaapatnapu't limang termino ng pag-unlad na ito. a45 = 1+4(45-1)=177

Ang pormula an = ak + d(n - k) ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ika-na miyembro arithmetic progression sa pamamagitan ng alinman sa k-th term nito, sa kondisyon na ito ay kilala.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression (ipagpalagay na ang 1st n miyembro ng huling progression) ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Sn = (a1+an) n/2.

Kung kilala rin ang 1st term, kung gayon ang isa pang formula ay maginhawa para sa pagkalkula:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Ang kabuuan ng isang arithmetic progression na naglalaman ng n termino ay kinakalkula bilang mga sumusunod:

Ang pagpili ng mga formula para sa mga kalkulasyon ay depende sa mga kondisyon ng mga gawain at ang paunang data.

Natural na serye ng anumang numero tulad ng 1,2,3,...,n,...- ang pinakasimpleng halimbawa pag-unlad ng aritmetika.

Bilang karagdagan sa pag-unlad ng aritmetika, mayroon ding isang geometriko, na may sariling mga katangian at katangian.

Bago tayo magsimulang magdesisyon mga problema sa pag-unlad ng aritmetika, isaalang-alang kung ano ang pagkakasunod-sunod ng numero, dahil ang pag-unlad ng aritmetika ay espesyal na kaso pagkakasunod-sunod ng numero.

Ang numerical sequence ay isang numerical set, ang bawat elemento ay may sariling serial number. Ang mga elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng sequence. Ang ordinal na numero ng isang sequence element ay ipinahiwatig ng isang index:

Ang unang elemento ng pagkakasunod-sunod;

Ang ikalimang elemento ng sequence;

- "nth" na elemento ng sequence, i.e. ang elementong "nakatayo sa pila" sa numero n.

Mayroong dependency sa pagitan ng value ng isang sequence element at ang ordinal number nito. Samakatuwid, maaari nating isaalang-alang ang isang sequence bilang isang function na ang argumento ay ang ordinal na numero ng isang elemento ng sequence. Sa madaling salita, masasabi ng isa iyan ang sequence ay isang function ng natural na argumento:

Maaaring tukuyin ang pagkakasunud-sunod sa tatlong paraan:

1 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunud-sunod gamit ang isang talahanayan. Sa kasong ito, itinakda lang namin ang halaga ng bawat miyembro ng sequence.

Halimbawa, nagpasya ang isang tao na gumawa ng personal na pamamahala ng oras, at upang magsimula sa, upang kalkulahin kung gaano karaming oras ang ginugugol niya sa VKontakte sa isang linggo. Sa pamamagitan ng pagsulat ng oras sa isang talahanayan, makakakuha siya ng pagkakasunod-sunod na binubuo ng pitong elemento:

Ang unang linya ng talahanayan ay naglalaman ng bilang ng araw ng linggo, ang pangalawa - ang oras sa minuto. Nakikita namin iyon, iyon ay, noong Lunes May gumugol ng 125 minuto sa VKontakte, iyon ay, noong Huwebes - 248 minuto, at, iyon ay, noong Biyernes, 15 lamang.

2 . Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring tukuyin gamit ang nth member formula.

Sa kasong ito, ang pag-asa ng halaga ng isang elemento ng sequence sa numero nito ay direktang ipinahayag bilang isang formula.

Halimbawa, kung , pagkatapos

Upang mahanap ang halaga ng isang elemento ng pagkakasunud-sunod na may isang ibinigay na numero, pinapalitan namin ang numero ng elemento sa formula para sa ika-na miyembro.

Gayon din ang ginagawa natin kung kailangan nating hanapin ang halaga ng isang function kung alam ang halaga ng argumento. Pinapalitan namin ang halaga ng argumento sa halip sa equation ng function:

Kung, halimbawa, , pagkatapos

Muli, tandaan ko na sa isang pagkakasunud-sunod, sa kaibahan sa isang arbitrary numeric function, ang argument ay maaari lamang maging isang natural na numero.

3 . Maaaring tukuyin ang sequence gamit ang isang formula na nagpapahayag ng dependence ng value ng miyembro ng sequence na may numero n sa value ng mga nakaraang miyembro. Sa kasong ito, hindi sapat para sa amin na malaman lamang ang bilang ng isang sequence member upang mahanap ang halaga nito. Kailangan nating tukuyin ang unang miyembro o unang ilang miyembro ng sequence.

Halimbawa, isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ,

Mahahanap natin ang mga halaga ng mga miyembro ng isang sequence sa pagkakasunod-sunod, simula sa pangatlo:

Iyon ay, sa bawat oras na mahanap ang halaga ng ika-na miyembro ng pagkakasunud-sunod, babalik tayo sa naunang dalawa. Ang ganitong paraan ng pagkakasunud-sunod ay tinatawag paulit-ulit, mula sa salitang Latin recurro- bumalik.

Ngayon ay maaari nating tukuyin ang isang pag-unlad ng arithmetic. Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang simpleng espesyal na kaso ng isang numerical sequence.

Arithmetic progression ay tinatawag na numerical sequence, ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, idinagdag na may parehong numero.

Tinatawag ang numero ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression. Ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic ay maaaring positibo, negatibo, o zero.

Kung title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} dumarami.

Halimbawa, 2; 5; walo; labing-isa;...

Kung , kung gayon ang bawat termino ng pag-unlad ng aritmetika ay mas mababa kaysa sa nauna, at ang pag-unlad ay humihina.

Halimbawa, 2; -isa; -4; -7;...

Kung , ang lahat ng miyembro ng progression ay katumbas ng parehong numero, at ang progression ay nakatigil.

Halimbawa, 2;2;2;2;...

Ang pangunahing katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika:

Tingnan natin ang larawan.

Nakikita natin yan

, at sa parehong oras

Ang pagdaragdag ng dalawang pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin:

.

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 2:

Kaya, ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawang magkalapit:

Bukod dito, dahil

, at sa parehong oras

, pagkatapos

, at samakatuwid

Ang bawat miyembro ng arithmetic progression na nagsisimula sa title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

pormula ng miyembro.

Nakikita namin na para sa mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, ang mga sumusunod na ugnayan ay nagtataglay:

at sa wakas

Nakakuha kami formula ng nth term.

MAHALAGA! Ang sinumang miyembro ng isang arithmetic progression ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng at . Alam ang unang termino at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, mahahanap mo ang alinman sa mga miyembro nito.

Ang kabuuan ng n miyembro ng isang arithmetic progression.

Sa isang di-makatwirang pag-unlad ng aritmetika, ang mga kabuuan ng mga termino na pantay na may pagitan mula sa mga sukdulan ay katumbas ng bawat isa:

Isaalang-alang ang isang arithmetic progression na may n mga miyembro. Hayaang ang kabuuan ng n miyembro ng pag-unlad na ito ay katumbas ng .

Ayusin muna ang mga tuntunin ng pag-unlad sa pataas na pagkakasunud-sunod ng mga numero, at pagkatapos ay sa pababang pagkakasunud-sunod:

Ipares natin ito:

Ang kabuuan sa bawat panaklong ay , ang bilang ng mga pares ay n.

Nakukuha namin:

Kaya, ang kabuuan ng n miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan gamit ang mga formula:

Isipin mo paglutas ng mga problema sa pag-unlad ng aritmetika.

1 . Ang pagkakasunud-sunod ay ibinibigay ng formula ng ika-n na termino: . Patunayan na ang sequence na ito ay isang arithmetic progression.

Patunayan natin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkatabing miyembro ng sequence ay katumbas ng parehong numero.

Nakuha namin na ang pagkakaiba ng dalawang katabing miyembro ng sequence ay hindi nakadepende sa kanilang numero at isang pare-pareho. Samakatuwid, ayon sa kahulugan, ang sequence na ito ay isang aritmetika na pag-unlad.

2 . Nabigyan ng aritmetika na pag-unlad -31; -27;...

a) Hanapin ang 31 terms ng progression.

b) Tukuyin kung ang bilang 41 ay kasama sa pag-unlad na ito.

a) Nakikita natin na;

Isulat natin ang formula para sa ika-n na termino para sa ating pag-unlad.

Sa pangkalahatan

Sa kaso natin , Kaya naman

Marami ang nakarinig ng isang pag-unlad ng aritmetika, ngunit hindi lahat ay lubos na nakakaalam kung ano ito. Sa artikulong ito, magbibigay kami ng naaangkop na kahulugan, at isaalang-alang din ang tanong kung paano hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, at magbigay ng ilang mga halimbawa.

Depinisyon ng matematika

Kaya kung nag-uusap kami tungkol sa isang arithmetic o algebraic progression (ang mga konseptong ito ay tumutukoy sa parehong bagay), nangangahulugan ito na mayroong ilang serye ng numero, na nakakatugon sa sumusunod na batas: bawat dalawang katabing numero sa serye ay naiiba sa parehong halaga. Sa matematika, ito ay nakasulat tulad nito:

Dito ang n ay nangangahulugang ang bilang ng elemento a n sa pagkakasunud-sunod, at ang bilang d ay ang pagkakaiba ng pag-unlad (ang pangalan nito ay sumusunod mula sa ipinakitang formula).

Ano ang ibig sabihin ng pag-alam sa pagkakaiba d? Tungkol sa kung gaano kalayo ang pagitan ng mga katabing numero. Gayunpaman, ang kaalaman sa d ay isang kinakailangan ngunit hindi sapat na kondisyon para sa pagtukoy (pagpapanumbalik) ng buong pag-unlad. Kailangan mong malaman ang isa pang numero, na maaaring maging ganap na anumang elemento ng serye na isinasaalang-alang, halimbawa, isang 4, a10, ngunit, bilang isang panuntunan, ang unang numero ay ginagamit, iyon ay, isang 1.

Mga formula para sa pagtukoy ng mga elemento ng pag-unlad

Sa pangkalahatan, ang impormasyon sa itaas ay sapat na upang magpatuloy sa desisyon mga tiyak na gawain. Gayunpaman, bago ibigay ang isang pag-unlad ng aritmetika, at kakailanganing hanapin ang pagkakaiba nito, nagpapakita kami ng ilang kapaki-pakinabang na mga pormula, sa gayon ay pinapadali ang kasunod na proseso ng paglutas ng mga problema.

Madaling ipakita na ang anumang elemento ng sequence na may numero n ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Sa katunayan, masusuri ng lahat ang formula na ito gamit ang isang simpleng enumeration: kung papalitan mo ang n = 1, pagkatapos ay makukuha mo ang unang elemento, kung papalitan mo ang n = 2, kung gayon ang expression ay nagbibigay ng kabuuan ng unang numero at ang pagkakaiba, at iba pa .

Ang mga kondisyon ng maraming mga problema ay pinagsama-sama sa isang paraan na para sa isang kilalang pares ng mga numero, ang mga numero na kung saan ay ibinigay din sa pagkakasunud-sunod, ito ay kinakailangan upang ibalik ang buong serye ng numero (hanapin ang pagkakaiba at ang unang elemento). Ngayon ay malulutas natin ang problemang ito sa pangkalahatang pananaw.

Kaya, sabihin nating binibigyan tayo ng dalawang elemento na may mga numero n at m. Gamit ang formula na nakuha sa itaas, maaari tayong bumuo ng isang sistema ng dalawang equation:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Upang mahanap ang hindi kilalang dami, ginagamit namin ang kilala simpleng trick mga solusyon ng naturang sistema: binabawasan namin nang magkapares ang kaliwa at kanang bahagi, habang ang pagkakapantay-pantay ay nananatiling wasto. Meron kami:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Kaya, inalis namin ang isang hindi alam (a 1). Ngayon ay maaari nating isulat ang panghuling expression para sa pagtukoy ng d:

d = (a n - a m) / (n - m), kung saan n > m

Sobrang natanggap namin isang simpleng formula: upang kalkulahin ang pagkakaiba d alinsunod sa mga kondisyon ng problema, kinakailangan lamang na kunin ang ratio ng mga pagkakaiba ng mga elemento mismo at ang kanilang mga serial number. Dapat tumutok sa isa mahalagang punto pansin: ang mga pagkakaiba ay kinuha sa pagitan ng "senior" at "junior" na mga miyembro, iyon ay, n > m ("senior" - ibig sabihin ay nakatayo pa mula sa simula ng pagkakasunud-sunod, ang ganap na halaga maaaring mas malaki o mas mababa kaysa sa elementong "mas bata").

Ang expression para sa pagkakaiba d ng progression ay dapat ipalit sa alinman sa mga equation sa simula ng solusyon ng problema upang makuha ang halaga ng unang termino.

Sa ating edad ng pag-unlad teknolohiya ng kompyuter maraming mga mag-aaral ang nagsisikap na makahanap ng mga solusyon para sa kanilang mga gawain sa Internet, kaya ang mga ganitong uri ay madalas na lumitaw: hanapin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika online. Sa ganoong kahilingan, ang search engine ay magpapakita ng isang bilang ng mga web page, sa pamamagitan ng pagpunta sa kung saan, kakailanganin mong ipasok ang data na kilala mula sa kundisyon (maaaring ito ay alinman sa dalawang miyembro ng pag-unlad o ang kabuuan ng ilan sa mga ito) at agad na makakuha ng sagot. Gayunpaman, ang gayong diskarte sa paglutas ng problema ay hindi produktibo sa mga tuntunin ng pag-unlad ng mag-aaral at pag-unawa sa kakanyahan ng gawain na itinalaga sa kanya.

Solusyon nang hindi gumagamit ng mga formula

Lutasin natin ang unang problema, habang hindi tayo gagamit ng alinman sa mga formula sa itaas. Hayaang ibigay ang mga elemento ng serye: a6 = 3, a9 = 18. Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic.

Ang mga kilalang elemento ay malapit sa isa't isa sa isang hilera. Ilang beses dapat idagdag ang pagkakaiba d sa pinakamaliit para makuha ang pinakamalaki? Tatlong beses (sa unang pagkakataon na magdagdag ng d, nakukuha namin ang ika-7 elemento, ang pangalawang pagkakataon - ang ikawalo, sa wakas, ang pangatlong beses - ang ikasiyam). Anong numero ang dapat idagdag sa tatlong tatlong beses upang makakuha ng 18? Ito ang number five. Talaga:

Kaya, ang hindi kilalang pagkakaiba ay d = 5.

Siyempre, ang solusyon ay maaaring gawin gamit ang naaangkop na formula, ngunit hindi ito sinasadya. Detalyadong paliwanag ang paglutas ng problema ay dapat na malinaw at isang pangunahing halimbawa Ano ang isang arithmetic progression.

Isang gawain na katulad ng nauna

Ngayon lutasin natin ang isang katulad na problema, ngunit baguhin ang data ng input. Kaya, dapat mong hanapin kung a3 = 2, a9 = 19.

Siyempre, maaari kang gumamit muli sa paraan ng paglutas ng "sa noo". Ngunit dahil ang mga elemento ng serye ay ibinigay, na medyo malayo sa pagitan, ang gayong pamamaraan ay nagiging hindi masyadong maginhawa. Ngunit ang paggamit ng resultang formula ay mabilis na magdadala sa atin sa sagot:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83

Dito ay na-round namin ang huling numero. Kung magkano ang pag-ikot na ito na humantong sa isang error ay maaaring hatulan sa pamamagitan ng pagsuri sa resulta:

isang 9 \u003d isang 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

Ang resultang ito ay naiiba lamang ng 0.1% mula sa halagang ibinigay sa kundisyon. Samakatuwid, ang pag-round sa mga hundredth na ginamit ay maaaring ituring na isang mahusay na pagpipilian.

Mga gawain para sa paglalapat ng pormula para sa isang miyembro

Isipin mo klasikong halimbawa mga gawain upang matukoy ang hindi alam d: hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic kung a1 = 12, a5 = 40.

Kapag binigay ang dalawang numero ng hindi kilalang algebraic sequence, at isa sa mga ito ang elemento a 1 , hindi mo na kailangang mag-isip nang mahaba, ngunit dapat mong ilapat agad ang formula para sa a n miyembro. AT kasong ito meron kami:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Nakuha namin ang eksaktong numero kapag naghahati, kaya walang punto sa pagsuri sa katumpakan ng kinakalkula na resulta, tulad ng ginawa sa nakaraang talata.

Lutasin natin ang isa pang katulad na problema: dapat nating hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic kung a1 = 16, a8 = 37.

Gumagamit kami ng katulad na diskarte sa nauna at nakakakuha kami ng:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Ano pa ang dapat mong malaman tungkol sa pag-unlad ng aritmetika

Bilang karagdagan sa mga gawain ng paghahanap ng hindi kilalang pagkakaiba o indibidwal na elemento, madalas na kinakailangan upang malutas ang mga problema ng kabuuan ng mga unang termino ng isang pagkakasunud-sunod. Ang pagsasaalang-alang sa mga problemang ito ay lampas sa saklaw ng paksa ng artikulo; gayunpaman, para sa pagkakumpleto ng impormasyon, ipinakita namin pangkalahatang pormula para sa kabuuan ng n numero ng serye:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Online na calculator.
Solusyon sa pag-unlad ng aritmetika.
Ibinigay: a n , d, n
Hanapin: a 1

Hinahanap ng math program na ito ang \(a_1\) ng isang arithmetic progression batay sa mga numerong tinukoy ng user \(a_n, d \) at \(n \).
Ang mga numerong \(a_n\) at \(d \) ay maaaring tukuyin hindi lamang bilang mga integer, kundi pati na rin bilang mga fraction. Bukod dito, praksyonal na numero maaaring ipasok bilang isang decimal (\(2.5 \)) at bilang karaniwang fraction(\(-5\frac(2)(7) \)).

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng paghahanap ng solusyon.

Ang online na calculator na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school pangkalahatang edukasyon na mga paaralan bilang paghahanda sa kontrol sa trabaho at pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang kontrolin ang solusyon ng maraming mga problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin math o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid o mga kapatid, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing nilulutas.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng mga numero, inirerekomenda namin na maging pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga numero

Ang mga numerong \(a_n\) at \(d \) ay maaaring tukuyin hindi lamang bilang mga integer, kundi pati na rin bilang mga fraction.
Ang numerong \(n\) ay maaari lamang maging isang positibong integer.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Ang integer at fractional na mga bahagi sa mga decimal fraction ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang pumasok mga decimal kaya 2.5 o kaya 2.5

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Pagpasok mo numeric fraction Ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Input:
Resulta: \(-\frac(2)(3) \)

buong bahagi pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input:
Resulta: \(-1\frac(2)(3) \)

Maglagay ng mga numero a n , d, n

Maghanap ng 1

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi nag-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Na-disable mo ang JavaScript sa iyong browser.
Dapat paganahin ang JavaScript para lumabas ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Numeric na pagkakasunud-sunod

Ang pagnunumero ay kadalasang ginagamit sa pang-araw-araw na pagsasanay. iba't ibang bagay upang ipahiwatig ang kanilang order. Halimbawa, ang mga bahay sa bawat kalye ay binibilang. Sa silid-aklatan, ang mga subscription ng mambabasa ay binibilang at pagkatapos ay isinaayos sa pagkakasunud-sunod ng mga itinalagang numero sa mga espesyal na file cabinet.

Sa isang savings bank, sa bilang ng personal na account ng depositor, madali mong mahahanap ang account na ito at makita kung anong uri ng deposito ang mayroon ito. Hayaang magkaroon ng deposito ng a1 rubles sa account No. 1, isang deposito ng a2 rubles sa account No. 2, atbp. Ito ay lumalabas numerical sequence
a 1 , a 2 , a 3 , ..., isang N
kung saan ang N ay ang bilang ng lahat ng mga account. Dito, ang bawat natural na numero n mula 1 hanggang N ay itinalaga ng isang numero a n .

Nag-aaral din ang matematika infinite number sequences:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Ang numerong a 1 ay tinatawag ang unang miyembro ng sequence, numero a 2 - ang pangalawang miyembro ng sequence, numero a 3 - ang ikatlong miyembro ng sequence atbp.
Ang numero a n ay tinatawag nth (nth) miyembro ng sequence, at ang natural na bilang n ay nito numero.

Halimbawa, sa isang pagkakasunod-sunod ng mga parisukat natural na mga numero 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... at 1 = 1 ang unang miyembro ng sequence; at n = n 2 ay ika-na miyembro mga pagkakasunud-sunod; a n+1 = (n + 1) 2 ay ang (n + 1)th (en kasama ang unang) miyembro ng sequence. Kadalasan ang isang sequence ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pormula ng ika-na miyembro nito. Halimbawa, ang formula na \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) ay nagbibigay ng sequence \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Arithmetic progression

Ang haba ng isang taon ay humigit-kumulang 365 araw. Higit pa eksaktong halaga katumbas ng \(365\frac(1)(4) \) araw, kaya bawat apat na taon ay may naipon na error sa isang araw.

Upang isaalang-alang ang error na ito, ang isang araw ay idinagdag sa bawat ikaapat na taon, at ang pinahabang taon ay tinatawag na taon ng paglukso.

Halimbawa, sa ikatlong milenyo leap years ang mga taon ay 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Sa pagkakasunud-sunod na ito, ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, idinagdag na may parehong numero 4. Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na mga pag-unlad ng aritmetika.

Kahulugan.
Ang numerical sequence a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... ay tinatawag pag-unlad ng aritmetika, kung para sa lahat ng natural n ang pagkakapantay-pantay
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kung saan ang d ay ilang numero.

Ito ay sumusunod mula sa formula na ito na ang isang n+1 - a n = d. Ang bilang d ay tinatawag na pagkakaiba pag-unlad ng aritmetika.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika, mayroon tayong:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
saan
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kung saan \(n>1 \)

Kaya, ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawang miyembro na katabi nito. Ipinapaliwanag nito ang pangalang "arithmetic" progression.

Tandaan na kung ang isang 1 at d ay ibinigay, kung gayon ang natitirang mga termino ng pag-unlad ng arithmetic ay maaaring kalkulahin gamit ang recursive formula na a n+1 = a n + d. Sa ganitong paraan, hindi mahirap kalkulahin ang mga unang termino ng pag-unlad, gayunpaman, halimbawa, para sa isang 100, maraming mga kalkulasyon ang kakailanganin. Karaniwan, ang nth term formula ay ginagamit para dito. Ayon sa kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
atbp.
Sa pangkalahatan,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
dahil ang nth na miyembro ng isang arithmetic progression ay nakuha mula sa unang miyembro sa pamamagitan ng pagdaragdag ng (n-1) na beses sa numero d.
Ang formula na ito ay tinatawag na formula ng ika-n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

Hanapin natin ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula 1 hanggang 100.
Isinulat namin ang kabuuan na ito sa dalawang paraan:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Idinaragdag namin ang mga pagkakapantay-pantay na ito ayon sa termino:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Mayroong 100 termino sa kabuuan na ito.
Samakatuwid, 2S = 101 * 100, kung saan S = 101 * 50 = 5050.

Isaalang-alang ngayon ang isang di-makatwirang pag-unlad ng aritmetika
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Hayaang S n ang kabuuan ng unang n termino ng pag-unlad na ito:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Pagkatapos ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Dahil \(a_n=a_1+(n-1)d \), pagkatapos ay palitan ang a n sa formula na ito, makakakuha tayo ng isa pang formula para sa paghahanap ang mga kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Mga aklat (mga aklat-aralin) Abstract ng Unified State Examination at mga pagsusulit sa OGE online Mga laro, puzzle Graphing of functions Spelling dictionary ng Russian language Dictionary of youth slang Catalog of Russian schools Catalog of secondary schools in Russia Catalog of Russian universities Listahan ng mga gawain

Pagtuturo

Ang arithmetic progression ay isang sequence ng form na a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Bilang d hakbang mga pag-unlad.Malinaw, ang kabuuan ng isang arbitrary nth term ng arithmetic mga pag-unlad ay may anyong: An = A1+(n-1)d. Pagkatapos ay kilala ang isa sa mga miyembro mga pag-unlad, miyembro mga pag-unlad at hakbang mga pag-unlad, ay maaaring , iyon ay, ang bilang ng termino ng pag-unlad. Malinaw, ito ay matutukoy sa pamamagitan ng formula n = (An-A1+d)/d.

Hayaan ang mth term na malaman ngayon mga pag-unlad at ilang iba pang miyembro mga pag-unlad- n-th, ngunit n , tulad ng sa nakaraang kaso, ngunit ito ay kilala na ang n at m ay hindi magkatugma.Hakbang mga pag-unlad maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng formula: d = (An-Am)/(n-m). Pagkatapos n = (An-Am+md)/d.

Kung ang kabuuan ng ilang elemento ng isang arithmetic mga pag-unlad, pati na rin ang una at huli nito , pagkatapos ay maaari ding matukoy ang bilang ng mga elementong ito. Ang kabuuan ng arithmetic mga pag-unlad ay magiging katumbas ng: S = ((A1+An)/2)n. Pagkatapos n = 2S/(A1+An) ay chdenov mga pag-unlad. Gamit ang katotohanan na An = A1+(n-1)d, ang formula na ito ay maaaring muling isulat bilang: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Mula sa isang ito ay maaaring ipahayag n sa pamamagitan ng paglutas quadratic equation.

Ang pagkakasunod-sunod ng aritmetika ay tulad ng isang nakaayos na hanay ng mga numero, ang bawat miyembro nito, maliban sa una, ay naiiba sa nauna sa parehong halaga. Ang pare-parehong ito ay tinatawag na pagkakaiba ng progression o ang hakbang nito at maaaring kalkulahin mula sa mga kilalang miyembro ng arithmetic progression.

Pagtuturo

Kung ang mga halaga ng una at pangalawa o anumang iba pang pares ng mga kalapit na termino ay kilala mula sa mga kondisyon ng problema, upang kalkulahin ang pagkakaiba (d), ibawas lamang ang nakaraang termino mula sa susunod na termino. Ang resultang halaga ay maaaring maging positibo o negatibong numero- ito ay depende sa kung ang pag-unlad ay tumataas. AT pangkalahatang anyo isulat ang solusyon para sa isang di-makatwirang pares (aᵢ at aᵢ₊₁) ng mga kalapit na miyembro ng progression gaya ng sumusunod: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Para sa isang pares ng mga miyembro ng naturang pag-unlad, ang isa sa mga ito ay ang una (a₁), at ang isa pa ay anumang iba pang arbitraryong pinili, maaari ding gumawa ng isang pormula para sa paghahanap ng pagkakaiba (d). Gayunpaman, sa kasong ito, dapat na malaman ang serial number (i) ng isang arbitraryong napiling miyembro ng sequence. Upang kalkulahin ang pagkakaiba, idagdag ang parehong mga numero, at hatiin ang resulta sa ordinal na numero ng isang arbitrary na termino na binawasan ng isa. Sa pangkalahatan, isulat ang formula na ito tulad ng sumusunod: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Kung, bilang karagdagan sa isang di-makatwirang miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na may ordinal na numero i, ang isa pang miyembro na may ordinal na numerong u ay kilala, baguhin ang formula mula sa nakaraang hakbang nang naaayon. Sa kasong ito, ang pagkakaiba (d) ng pag-unlad ay ang kabuuan ng dalawang terminong ito na hinati sa pagkakaiba sa kanilang mga ordinal na numero: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Ang formula para sa pagkalkula ng pagkakaiba (d) ay nagiging mas kumplikado kung, sa mga kondisyon ng problema, ang halaga ng unang miyembro nito (a₁) at ang kabuuan (Sᵢ) ng isang naibigay na numero (i) ng mga unang miyembro ng ibinibigay ang pagkakasunud-sunod ng aritmetika. Upang makuha ang nais na halaga, hatiin ang kabuuan sa bilang ng mga terminong bumubuo nito, ibawas ang halaga ng unang numero sa pagkakasunud-sunod, at i-double ang resulta. Hatiin ang nagresultang halaga sa bilang ng mga termino na bumubuo sa kabuuan na binawasan ng isa. Sa pangkalahatan, isulat ang formula para sa pagkalkula ng discriminant gaya ng sumusunod: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).