Znajdź postać kanoniczną kalkulatora kwadratowego w trybie online. Sprowadzanie postaci kwadratowej do postaci kanonicznej

Biorąc pod uwagę postać kwadratową (2) A(X, X) = , gdzie X = (X 1 , X 2 , …, X N). Rozważmy formę kwadratową w przestrzeni R 3, tj X = (X 1 , X 2 , X 3), A(X, X) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(użyliśmy warunku symetrii kształtu, a mianowicie A 12 = A 21 , A 13 = A 31 , A 23 = A 32). Zapiszmy macierz forma kwadratowa A w podstawie ( mi}, A(mi) =
. Gdy zmienia się baza, macierz postaci kwadratowej zmienia się zgodnie ze wzorem A(F) = C T A(mi)C, Gdzie C– macierz przejścia z podstawy ( mi) do podstawy ( F), A C T– transponowana macierz C.

Definicja11.12. Nazywa się postać formy kwadratowej z macierzą diagonalną kanoniczny.

Więc pozwól A(F) =
, Następnie A"(X, X) =
+
+
, Gdzie X" 1 , X" 2 , X" 3 – współrzędne wektora X w nowej podstawie ( F}.

Definicja11.13. Wpuść N V wybrano taką podstawę F = {F 1 , F 2 , …, F N), w którym postać kwadratowa ma postać

A(X, X) =
+
+ … +
, (3)

Gdzie y 1 , y 2 , …, y N– współrzędne wektorowe X w podstawie ( F). Wywołuje się wyrażenie (3). pogląd kanoniczny forma kwadratowa. Współczynniki  1, λ 2, …, λ N są nazywane kanoniczny; nazywa się bazę, w której forma kwadratowa ma postać kanoniczną podstawa kanoniczna.

Komentarz. Jeśli postać kwadratowa A(X, X) Obniżono do Forma kanoniczna, to ogólnie rzecz biorąc, nie wszystkie współczynniki  I są różne od zera. Ranga formy kwadratowej jest równa rangi jej macierzy w dowolnej podstawie.

Niech ranga postaci kwadratowej A(X, X) jest równy R, Gdzie R ≤ N. Macierz postaci kwadratowej w postaci kanonicznej ma postać diagonalną. A(F) =
, ponieważ jego ranga jest równa R, następnie wśród współczynników  I musi być R, nierówny zero. Wynika z tego, że liczba niezerowych współczynników kanonicznych jest równa rangi postaci kwadratowej.

Komentarz. Transformacja liniowa współrzędnych jest przejściem od zmiennych X 1 , X 2 , …, X N do zmiennych y 1 , y 2 , …, y N, w którym stare zmienne są wyrażane za pomocą nowych zmiennych z pewnymi współczynnikami liczbowymi.

X 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 N y N ,

X 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 N y N ,

………………………………

X 1 = α N 1 y 1 + α N 2 y 2 + … + α nn y N .

Ponieważ każda transformacja bazy odpowiada niezdegenerowanej transformacji współrzędnych liniowych, kwestię redukcji postaci kwadratowej do postaci kanonicznej można rozwiązać wybierając odpowiednią niezdegenerowaną transformację współrzędnych.

Twierdzenie 11.2 (główne twierdzenie o formach kwadratowych). Dowolna forma kwadratowa A(X, X), określone w N-wymiarowa przestrzeń wektorowa V, stosując niezdegenerowaną liniową transformację współrzędnych, można sprowadzić do postaci kanonicznej.

Dowód. (Metoda Lagrange'a) Ideą tej metody jest sekwencyjne uzupełnianie trójmianu kwadratowego dla każdej zmiennej do pełnego kwadratu. Założymy to A(X, X) ≠ 0 i w podstawie mi = {mi 1 , mi 2 , …, mi N) ma postać (2):

A(X, X) =
.

Jeśli A(X, X) = 0, wówczas ( A ja) = 0, czyli forma jest już kanoniczna. Formuła A(X, X) można przekształcić tak, aby współczynnik A 11 ≠ 0. Jeśli A 11 = 0, to współczynnik kwadratu innej zmiennej jest różny od zera, to przenumerowując zmienne można się upewnić, że A 11 ≠ 0. Renumeracja zmiennych jest niezdegenerowaną transformacją liniową. Jeżeli wszystkie współczynniki kwadratów zmiennych są równe zeru, wówczas niezbędne przekształcenia uzyskuje się w następujący sposób. Niech np. A 12 ≠ 0 (A(X, X) ≠ 0, a więc co najmniej jeden współczynnik A ja≠ 0). Rozważ transformację

X 1 = y 1 – y 2 ,

X 2 = y 1 + y 2 ,

X I = y I, Na I = 3, 4, …, N.

Transformacja ta nie jest zdegenerowana, gdyż wyznacznik jej macierzy jest różny od zera
= = 2 ≠ 0.

Następnie 2 A 12 X 1 X 2 = 2 A 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
czyli w formie A(X, X) kwadraty dwóch zmiennych pojawią się jednocześnie.

A(X, X) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Przeliczmy przydzieloną kwotę do postaci:

A(X, X) = A 11
, (5)

natomiast współczynniki A ja zmienić na . Rozważmy transformację niezdegenerowaną

y 1 = X 1 + + … + ,

y 2 = X 2 ,

y N = X N .

Wtedy otrzymamy

A(X, X) =
. (6).

Jeśli postać kwadratowa
= 0, to kwestia rzutowania A(X, X) do postaci kanonicznej zostaje rozwiązany.

Jeżeli postać ta nie jest równa zeru, to powtarzamy rozumowanie, uwzględniając przekształcenia współrzędnych y 2 , …, y N i bez zmiany współrzędnych y 1. Jest oczywiste, że przekształcenia te nie będą zdegenerowane. W skończonej liczbie kroków forma kwadratowa A(X, X) zostanie sprowadzona do postaci kanonicznej (3).

Komentarz 1. Wymagana transformacja pierwotnych współrzędnych X 1 , X 2 , …, X N można otrzymać mnożąc niezdegenerowane przekształcenia znalezione w procesie rozumowania: [ X] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[T], Następnie [ X] = AB[z] = ABC[T], to jest [ X] = M[T], Gdzie M = ABC.

Komentarz 2. Niech A(X, X) = A(X, X) =
+
+ …+
, gdzie  I ≠ 0, I = 1, 2, …, R, oraz  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ Q > 0, λ Q +1 < 0, …, λ R < 0.

Rozważmy transformację niezdegenerowaną

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y Q = z Q , y Q +1 =
z Q +1 , …, y R = z R , y R +1 = z R +1 , …, y N = z N. W rezultacie A(X, X) przyjmie postać: A(X, X) = + + … + – – … – który jest nazywany postać normalna postaci kwadratowej.

Przykład11.1. Sprowadź formę kwadratową do postaci kanonicznej A(X, X) = 2X 1 X 2 – 6X 2 X 3 + 2X 3 X 1 .

Rozwiązanie. Ponieważ A 11 = 0, użyj transformacji

X 1 = y 1 – y 2 ,

X 2 = y 1 + y 2 ,

X 3 = y 3 .

Transformacja ta ma macierz A =
, to jest [ X] = A[y] otrzymujemy A(X, X) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Ponieważ współczynnik przy nie jest równa zero, możemy wybrać kwadrat jednej niewiadomej, niech tak będzie y 1. Wybierzmy wszystkie terminy zawierające y 1 .

A(X, X) = 2(– 2y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Dokonajmy transformacji, której macierz jest równa B.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y] = B[z].

Dostajemy A(X, X) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Wybierzmy terminy zawierające z 2. Mamy A(X, X) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Wykonanie transformacji macierzy C:

T 1 = z 1 ,  z 1 = T 1 ,

T 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = T 2 – 2T 3 ,

T 3 = z 3 ;  z 3 = T 3 .

C =
, [z] = C[T].

Dostał: A(X, X) = 2– 2+ 6postać kanoniczna postaci kwadratowej, z [ X] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[T], stąd [ X] = ABC[T];

ABC =


=
. Wzory konwersji są następujące

X 1 = T 1 – T 2 + T 3 ,

X 2 = T 1 + T 2 – T 3 ,

Definicja 10.4.Pogląd kanoniczny nazywa się postać kwadratową (10.1). następny widok: . (10.4)

Pokażmy, że na podstawie wektorów własnych postać kwadratowa (10.1) przyjmuje postać kanoniczną. Pozwalać

- znormalizowane wektory własne odpowiadające wartościom własnym λ 1, λ 2, λ 3 macierze (10.3) w bazie ortonormalnej. Wtedy macierzą przejścia ze starej bazy na nową będzie macierz

. W nowej podstawie macierz A przyjmie postać diagonalną (9.7) (na podstawie własności wektorów własnych). Zatem przekształcając współrzędne za pomocą wzorów:

,

w nowej bazie otrzymujemy postać kanoniczną postaci kwadratowej o współczynnikach równych wartościom własnym λ 1, λ 2, λ 3:

Uwaga 1. Z geometrycznego punktu widzenia rozważaną transformacją współrzędnych jest obrót układu współrzędnych, polegający na połączeniu starych osi współrzędnych z nowymi.

Uwaga 2. Jeżeli jakiekolwiek wartości własne macierzy (10.3) pokrywają się, możemy dodać do każdej z nich wektor jednostkowy ortogonalny do odpowiednich ortonormalnych wektorów własnych i w ten sposób skonstruować bazę, w której postać kwadratowa przyjmuje postać kanoniczną.

Doprowadźmy formę kwadratową do postaci kanonicznej

X² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Jej macierz ma postać. W przykładzie omówionym w Wykładzie 9 znajdują się wartości własne i ortonormalne wektory własne tej macierzy:

Stwórzmy macierz przejścia do bazy z tych wektorów:

(kolejność wektorów zmienia się tak, aby tworzyły prawoskrętną trójkę). Przekształćmy współrzędne korzystając ze wzorów:

.

Zatem forma kwadratowa jest zredukowana do postaci kanonicznej ze współczynnikami równymi wartościom własnym macierzy postaci kwadratowej.

Wykład 11.

Krzywe drugiego rzędu. Elipsa, hiperbola i parabola, ich własności i równania kanoniczne. Sprowadzenie równania drugiego rzędu do postaci kanonicznej.

Definicja 11.1.Krzywe drugiego rzędu na płaszczyźnie nazywane są liniami przecięcia okrągłego stożka z płaszczyznami, które nie przechodzą przez jego wierzchołek.

Jeśli taka płaszczyzna przecina wszystkie tworzące jednej wnęki stożka, to w przekroju okazuje się elipsa, na przecięciu tworzących obu wnęk – hiperbola, a jeśli płaszczyzna cięcia jest równoległa do dowolnej tworzącej, to przekrój stożka jest parabola.

Komentarz. Wszystkie krzywe drugiego rzędu są określone równaniami drugiego stopnia w dwóch zmiennych.

Elipsa.

Definicja 11.2.Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których wynosi suma odległości do dwóch stałych punktów F 1 i F wydziwianie, jest wartością stałą.

Komentarz. Kiedy punkty się pokrywają F 1 i F 2 elipsa zamienia się w okrąg.

Wyprowadźmy równanie elipsy, wybierając układ kartezjański

yM(x,y) współrzędne tak, aby oś Oh pokrywała się z linią prostą F 1 F 2, początek

współrzędne r 1 r 2 – ze środkiem odcinka F 1 F 2. Niech długość tego

odcinek jest równy 2 Z, następnie w wybranym układzie współrzędnych

F 1 O F 2 x F 1 (-C, 0), F 2 (C, 0). Niech chodzi M(x, y) leży na elipsie, i

suma odległości od niego do F 1 i F 2 równa się 2 A.

Następnie R 1 + R 2 = 2A, Ale ,

dlatego wprowadzam oznaczenie B² = A²- C² i po przeprowadzeniu prostych przekształceń algebraicznych otrzymujemy kanoniczne równanie elipsy: (11.1)

Definicja 11.3.Ekscentryczność elipsy nazywa się wielkością e=s/a (11.2)

Definicja 11.4.Dyrektorka szkoły D ja elipsa odpowiadająca ognisku Fi Fi względem osi Jednostka organizacyjna prostopadle do osi Oh na odległość a/e od pochodzenia.

Komentarz. Przy innym wyborze układu współrzędnych elipsę można określić nie równaniem kanonicznym (11.1), ale równaniem drugiego stopnia innego typu.

Właściwości elipsy:

1) Elipsa ma dwie wzajemnie prostopadłe osie symetrii (główne osie elipsy) i środek symetrii (środek elipsy). Jeśli elipsę wyznacza równanie kanoniczne, to jej główne osie są osiami współrzędnych, a jej środek jest początkiem. Ponieważ długości odcinków utworzonych przez przecięcie elipsy z głównymi osiami są równe 2 A i 2 B (2A>2B), wówczas główna oś przechodząca przez ogniska nazywana jest wielką osią elipsy, a druga główna oś nazywana jest osią mniejszą.

2) Cała elipsa mieści się w prostokącie

3) Ekscentryczność elipsy mi< 1.

Naprawdę,

4) Kierownice elipsy znajdują się na zewnątrz elipsy (ponieważ odległość od środka elipsy do kierownicy wynosi a/e, A mi<1, следовательно, a/e>a, a cała elipsa leży w prostokącie)

5) Stosunek odległości r ja od punktu elipsy do ostrości Fi na odległość ja od tego punktu do kierownicy odpowiadającej ognisku jest równe mimośrodowi elipsy.

Dowód.

Odległości od punktu M(x, y) aż do ognisk elipsy można przedstawić w następujący sposób:

Utwórzmy równania kierownicy:

(D 1), (D 2). Następnie Stąd r ja / re ja = mi, co należało udowodnić.

Hiperbola.

Definicja 11.5.Hiperbola to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których wynosi moduł różnicy odległości do dwóch stałych punktów F 1 i F 2 tego samolotu, tzw wydziwianie, jest wartością stałą.

Wyprowadźmy równanie kanoniczne hiperboli przez analogię do wyprowadzenia równania elipsy, stosując tę ​​samą notację.

|r 1 - r 2 | = 2A, skąd Jeśli oznaczamy B² = C² - A², stąd można dostać

- równanie kanoniczne hiperboli. (11.3)

Definicja 11.6.Ekscentryczność hiperbola nazywana jest ilością e = c/a.

Definicja 11.7.Dyrektorka szkoły D ja hiperbola odpowiadająca ognisku Fi, nazywa się linią prostą znajdującą się w tej samej półpłaszczyźnie z Fi względem osi Jednostka organizacyjna prostopadle do osi Oh na odległość a/e od pochodzenia.

Właściwości hiperboli:

1) Hiperbola ma dwie osie symetrii (główne osie hiperboli) i środek symetrii (środek hiperboli). W tym przypadku jedna z tych osi przecina się z hiperbolą w dwóch punktach, zwanych wierzchołkami hiperboli. Nazywa się to rzeczywistą osią hiperboli (oś Oh dla kanonicznego wyboru układu współrzędnych). Druga oś nie ma punkty wspólne z hiperbolą i nazywa się jej wyimaginowaną osią (we współrzędnych kanonicznych - osią Jednostka organizacyjna). Po obu stronach znajdują się prawa i lewa gałąź hiperboli. Ogniska hiperboli znajdują się na jej osi rzeczywistej.

2) Gałęzie hiperboli mają dwie asymptoty określone przez równania

3) Wraz z hiperbolą (11.3) możemy rozważyć tzw. hiperbolę sprzężoną, określoną równaniem kanonicznym

dla którego oś rzeczywista i urojona są zamienione miejscami przy zachowaniu tych samych asymptot.

4) Ekscentryczność hiperboli mi> 1.

5) Stosunek odległości r ja od punktu hiperboli do skupienia Fi na odległość ja od tego punktu do kierownicy odpowiadającej ognisku jest równe mimośrodowi hiperboli.

Dowód można przeprowadzić analogicznie jak w przypadku elipsy.

Parabola.

Definicja 11.8.Parabola to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których wynosi odległość do jakiegoś stałego punktu F płaszczyzna ta jest równa odległości do jakiejś ustalonej linii prostej. Kropka F zwany centrum parabole, a linia prosta jest jej dyrektorka szkoły.

Aby wyprowadzić równanie paraboli, wybieramy równanie kartezjańskie

układ współrzędnych tak, aby jego początek znajdował się w środku

D M(x,y) prostopadle FD, pominięto w centrum zainteresowania dyrektywy

r su, a osie współrzędnych znajdowały się równolegle i

prostopadle do reżysera. Niech długość odcinka FD

D O F x jest równe R. Następnie z równości r = re wynika z tego

ponieważ

Przekształcenia algebraiczne równanie to można sprowadzić do postaci: y² = 2 pikseli, (11.4)

zwany kanoniczne równanie paraboli. Ogrom R zwany parametr parabole.

Właściwości paraboli:

1) Parabola ma oś symetrii (oś paraboli). Punkt, w którym parabola przecina oś, nazywa się wierzchołkiem paraboli. Jeśli parabola jest dana równaniem kanonicznym, to jej oś jest osią Oh, a wierzchołek jest początkiem współrzędnych.

2) Cała parabola leży w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny Ooch.

Komentarz. Korzystając z właściwości kierownic elipsy i hiperboli oraz definicji paraboli, możemy udowodnić następujące twierdzenie:

Zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których zachodzi relacja mi odległość do jakiegoś stałego punktu do odległości do jakiejś prostej jest wartością stałą, jest elipsą (z mi<1), гиперболу (при mi>1) lub parabola (z mi=1).

Powiązana informacja.

Redukcja form kwadratowych

Rozważmy najprostszą i najczęściej stosowaną w praktyce metodę redukcji postaci kwadratowej do postaci kanonicznej, zwaną Metoda Lagrange’a. Polega na wyodrębnieniu całego kwadratu w postaci kwadratowej.

Twierdzenie 10.1(Twierdzenie Lagrange'a). Dowolna postać kwadratowa (10.1):

stosując niespecjalną transformację liniową (10.4) można sprowadzić do postaci kanonicznej (10.6):

,

□ Udowodnimy twierdzenie w konstruktywny sposób stosując metodę Lagrange'a polegającą na wyodrębnianiu idealnych kwadratów. Zadanie polega na znalezieniu takiej macierzy nieosobliwej, aby po przekształceniu liniowym (10.4) otrzymać postać kwadratową (10.6) postaci kanonicznej. Macierz tę otrzymamy stopniowo jako iloczyn skończonej liczby macierzy specjalnego typu.

Punkt 1 (przygotowawczy).

1.1. Spośród zmiennych wybierzmy tę, która jest zawarta w postaci kwadratowej do kwadratu i jednocześnie do pierwszej potęgi (nazwijmy to zmienna wiodąca). Przejdźmy do punktu 2.

1.2. Jeżeli w postaci kwadratowej nie ma zmiennych wiodących (dla wszystkich : ), to wybieramy parę zmiennych, których iloczyn jest zawarty w postaci o niezerowym współczynniku i przechodzimy do kroku 3.

1.3. Jeśli w formie kwadratowej nie ma iloczynów przeciwnych zmiennych, wówczas ta forma kwadratowa jest już przedstawiona w postaci kanonicznej (10.6). Dowód twierdzenia jest zakończony.

Punkt 2 (wybór całego kwadratu).

2.1. Używając zmiennej wiodącej, wybieramy cały kwadrat. Bez utraty ogólności załóżmy, że zmienną wiodącą jest . Grupując terminy zawierające , otrzymujemy

.

Wybór idealnego kwadratu za pomocą zmiennej in , otrzymujemy

.

Zatem w wyniku wyodrębnienia całego kwadratu ze zmienną otrzymujemy sumę kwadratu kształt liniowy

która obejmuje zmienną wiodącą i postać kwadratową ze zmiennych , w których zmienna wiodąca nie jest już uwzględniona. Dokonajmy zmiany zmiennych (wprowadźmy nowe zmienne)

otrzymujemy macierz

() nieosobliwa transformacja liniowa, w wyniku której postać kwadratowa (10.1) przyjmuje następującą postać

Z formą kwadratową Zróbmy to samo co w punkcie 1.

2.1. Jeśli zmienną wiodącą jest zmienna , możesz to zrobić na dwa sposoby: albo zaznaczyć cały kwadrat dla tej zmiennej, albo wykonać zmiana nazwy (przenumerowanie) zmienne:

z nieosobliwą macierzą transformacji:

.

Punkt 3 (utworzenie zmiennej wiodącej). Zastępujemy wybraną parę zmiennych sumą i różnicą dwóch nowych zmiennych, a pozostałe stare zmienne zastępujemy odpowiadającymi im nowymi zmiennymi. Jeżeli na przykład w ust. 1 termin ten został podkreślony

wówczas odpowiednia zmiana zmiennych ma postać

oraz w postaci kwadratowej (10.1) otrzymana zostanie zmienna wiodąca.

Na przykład w przypadku zmiany zmiennych:

macierz tej nieosobliwej transformacji liniowej ma postać

.

W wyniku zastosowania powyższego algorytmu (kolejne zastosowanie punktów 1, 2, 3) postać kwadratowa (10.1) zostanie sprowadzona do postaci kanonicznej (10.6).

Należy zauważyć, że w wyniku przekształceń dokonanych na postaci kwadratowej (wybranie całego kwadratu, zmiana nazwy i utworzenie zmiennej wiodącej) wykorzystaliśmy elementarne macierze nieosobliwe trzech typów (są to macierze przejścia od bazy do bazy). Wymaganą macierz nieosobliwej transformacji liniowej (10.4), w ramach której postać (10.1) ma postać kanoniczną (10.6), otrzymuje się poprzez pomnożenie skończonej liczby elementarnych nieosobliwych macierzy trzech typów. ■

Przykład 10.2. Podaj postać kwadratową

do postaci kanonicznej metodą Lagrange’a. Wskaż odpowiednią nieosobliwą transformację liniową. Wykonaj kontrolę.

Rozwiązanie. Wybierzmy zmienną wiodącą (współczynnik). Grupując terminy zawierające , i wybierając z niego cały kwadrat, otrzymujemy

gdzie wskazano

Dokonajmy zmiany zmiennych (wprowadźmy nowe zmienne)

Wyrażanie starych zmiennych w kategoriach nowych:

otrzymujemy macierz