Provjerite rješenje najvećeg i najmanjeg na segmentu. Najveća i najmanja vrijednost funkcije. Zadatak B15 (2014.)

Pogledajmo kako istražiti funkciju pomoću grafa. Ispada da gledajući graf možete saznati sve što nas zanima, naime:

• opseg funkcije
• raspon funkcija
• nule funkcije
• razdoblja porasta i smanjenja
• visoke i niske točke
• najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu.

Pojasnimo terminologiju:

Apscisa je horizontalna koordinata točke.
Ordinat- vertikalna koordinata.
apscisa- horizontalna os, najčešće nazvana os.
Y-os - okomita os, ili os .

Argument je nezavisna varijabla o kojoj ovise vrijednosti funkcije. Najčešće naznačeno.
Drugim riječima, sami biramo , zamjenjujemo u formulu funkcije i dobivamo .

Domena funkcije - skup onih (i samo onih) vrijednosti argumenta za koje funkcija postoji.
Označeno: ili .

Na našoj slici domena funkcije je segment. Na tom segmentu je nacrtan graf funkcije. Samo ovdje zadanu funkciju postojati.

Raspon funkcija je skup vrijednosti koje varijabla uzima. Na našoj slici, ovo je segment - od najniže do najveće vrijednosti.

Nule funkcije- točke u kojima je vrijednost funkcije jednaka nuli, tj. Na našoj slici, to su točke i .

Vrijednosti funkcije su pozitivne gdje . Na našoj slici, to su intervali i .
Vrijednosti funkcije su negativne gdje . Imamo ovaj interval (ili interval) od do.

Najvažniji koncepti - rastuće i opadajuće funkcije na nekom setu. Kao skup možete uzeti segment, interval, uniju intervala ili cijeli brojevni pravac.

Funkcija povećava

Drugim riječima, što više , to više , odnosno graf ide udesno i gore.

Funkcija smanjuje se na skupu ako za bilo koji i koji pripadaju skupu nejednakost implicira nejednakost .

Za opadajuću funkciju, veća vrijednost odgovara manjoj vrijednosti. Grafikon ide desno i dolje.

Na našoj slici, funkcija raste na intervalu i opada na intervalima i .

Definirajmo što je maksimalne i minimalne točke funkcije.

Maksimalni bod- ovo je unutarnja točka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj veća nego u svim točkama koje su joj dovoljno blizu.
Drugim riječima, maksimalna točka je takva točka, vrijednost funkcije u kojoj više nego u susjednim. Ovo je lokalno "brdo" na grafikonu.

Na našoj slici - maksimalna točka.

Niska točka- unutarnja točka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u svim točkama koje su joj dovoljno blizu.
To jest, minimalna točka je takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u susjednim. Na grafikonu je ovo lokalna "rupa".

Na našoj slici - minimalna točka.

Poanta je granica. To nije unutarnja točka domene definicije i stoga ne odgovara definiciji maksimalne točke. Uostalom, ona nema susjeda s lijeve strane. Na isti način, ne može postojati minimalna točka na našem grafikonu.

Maksimalne i minimalne točke nazivaju se zajednički ekstremne točke funkcije. U našem slučaju, ovo je i .

Ali što ako trebate pronaći npr. minimalna funkcija na rezu? NA ovaj slučaj odgovor: . jer minimalna funkcija je njegova vrijednost u minimalnoj točki.

Slično, maksimum naše funkcije je . Doseže se u točki .

Možemo reći da su ekstremi funkcije jednaki i .

Ponekad u zadacima morate pronaći najveća i najmanja vrijednost funkcije na zadanom segmentu. Ne podudaraju se nužno s ekstremima.

U našem slučaju najmanja vrijednost funkcije na intervalu jednak je i podudara se s minimumom funkcije. Ali njegova najveća vrijednost na ovom segmentu jednaka je . Dostiže se na lijevom kraju segmenta.

U svakom slučaju, najveća i najmanja vrijednost kontinuirane funkcije na segmentu postižu se ili na ekstremnim točkama ili na krajevima segmenta.

sitna i lijepa jednostavan zadatak iz kategorije onih koji služe kao spas za plutajućeg studenta. U prirodi, uspavanom carstvu sredine srpnja, pa je vrijeme da se smjestite uz laptop na plaži. Rano ujutro počela je zasvirati sunčeva zraka teorije kako bi se ubrzo usredotočila na praksu koja, unatoč deklariranoj lakoći, sadrži krhotine stakla u pijesku. U tom smislu, preporučam da savjesno razmotrite nekoliko primjera ove stranice. Da biste riješili praktične zadatke, morate biti sposobni pronaći izvedenice i razumjeti materijal članka Intervali monotonosti i ekstremi funkcije.

Prvo, ukratko o glavnoj stvari. U lekciji o kontinuitet funkcije Dao sam definiciju kontinuiteta u točki i kontinuiteta u intervalu. Primjereno ponašanje funkcije na segmentu formulirano je na sličan način. Funkcija je kontinuirana na segmentu ako:

1) kontinuirano je na intervalu;
2) kontinuirano u točki desno a u točki lijevo.

Drugi stavak bavi se tzv jednostrani kontinuitet funkcionira u točki. Postoji nekoliko pristupa njegovoj definiciji, ali ja ću se držati linije započete ranije:

Funkcija je kontinuirana u točki desno, ako je definirana u danoj točki i njezina desna granica podudara se s vrijednošću funkcije u danoj točki: . U točki je kontinuirano lijevo, ako je definiran u danoj točki i njegova je lijeva granica jednaka vrijednosti u toj točki:

Zamislite da su zelene točkice nokti na kojima je pričvršćena čarobna gumica:

Mentalno uzmite crvenu liniju u svoje ruke. Očito, bez obzira koliko daleko rastežemo graf gore-dolje (duž osi), funkcija će i dalje ostati ograničeno- živica gore, živica dolje, a naš proizvod pase u ogradi. Tako, na nju je omeđena funkcija kontinuirana na segmentu. U tijeku matematičke analize ova naizgled jednostavna činjenica se iznosi i rigorozno dokazuje Weierstrassov prvi teorem.…Mnoge nervira što se elementarne tvrdnje zamorno potkrepljuju u matematici, ali to ima važno značenje. Pretpostavimo da je određeni stanovnik frotirnog srednjeg vijeka povukao graf u nebo izvan granica vidljivosti, i to je umetnuto. Prije izuma teleskopa, ograničena funkcija u prostoru nije bila nimalo očita! Doista, kako znaš što nas čeka iza horizonta? Uostalom, nekada se Zemlja smatrala ravnom, pa danas i obična teleportacija zahtijeva dokaz =)

Prema drugi Weierstrassov teorem, kontinuirano na segmentufunkcija doseže svoje točan gornji rub i njegov točan donji rub .

Broj se također zove maksimalna vrijednost funkcije na segmentu i označen sa , i broj - minimalna vrijednost funkcije na segmentu označena .

u našem slučaju:

Bilješka : u teoriji, zapisi su uobičajeni .

grubo govoreći, najviša vrijednost nalazi se tamo gdje je najviša točka grafa, a najmanja - gdje je najniža točka.

Važno! Kao što je već istaknuto u članku o ekstremi funkcije, najveća vrijednost funkcije i najmanja vrijednost funkcije – NIJE ISTO, što funkcija maksimalno i minimalna funkcija. Dakle, u ovom primjeru, broj je minimum funkcije, ali ne i minimalna vrijednost.

Usput, što se događa izvan segmenta? Da, čak i poplava, u kontekstu problema koji se razmatra, to nas uopće ne zanima. Zadatak uključuje samo pronalaženje dva broja i to je to!

Štoviše, rješenje je čisto analitičko, dakle, ne treba crtati!

Algoritam leži na površini i sugerira se iz gornje slike:

1) Pronađite vrijednosti funkcije u kritične točke, koji pripadaju ovom segmentu.

Uhvatite još jednu dobru stvar: nema potrebe provjeravati dovoljan uvjet za ekstrem, budući da, kao što je upravo prikazano, prisutnost minimuma ili maksimuma još nije zajamčeno koja je minimalna ili maksimalna vrijednost. Demonstracijska funkcija doseže svoj maksimum i, voljom sudbine, isti broj je najveća vrijednost funkcije na intervalu . Ali, naravno, takva se slučajnost ne događa uvijek.

Dakle, u prvom koraku brže je i lakše izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju segmentu, ne brinući se imaju li ekstreme ili ne.

2) Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta.

3) Među vrijednostima funkcije koje se nalaze u 1. i 2. paragrafu, odabiremo najmanju i najviše veliki broj, zapišite odgovor.

Sjedimo na obali sinjeg mora i udaramo petama u plitku vodu:

Primjer 1

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu

Odluka:
1) Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju ovom segmentu:

Izračunajmo vrijednost funkcije u drugoj kritičnoj točki:

2) Izračunajte vrijednosti funkcije na krajevima segmenta:

3) Dobiveni su "podebljani" rezultati s eksponencijalima i logaritmima, što značajno otežava njihovu usporedbu. Iz tog razloga ćemo se naoružati kalkulatorom ili Excelom i izračunati približne vrijednosti, ne zaboravljajući da:

Sada je sve jasno.

Odgovor:

Razlomno-racionalna instanca za neovisna odluka:

Primjer 6

Pronađite maksimum i minimalna vrijednost funkcije na intervalu

Proces pronalaženja najmanje i najveće vrijednosti funkcije na segmentu podsjeća na fascinantan let oko objekta (graf funkcije) na helikopteru s ispaljivanjem iz dalekometnog topa u određenim točkama i odabirom između ove točke vrlo posebne točke za kontrolne udarce. Bodovi se biraju na određeni način i prema određenim pravilima. Po kojim pravilima? O tome ćemo dalje razgovarati.

Ako je funkcija y = f(x) kontinuirano na segmentu [ a, b] , zatim dopire do ovog segmenta najmanje i najviše vrijednosti . Ovo se može dogoditi ili u ekstremne točke ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanje i najveće vrijednosti funkcije , kontinuirano na segmentu [ a, b] , trebate izračunati njegove vrijednosti u svemu kritične točke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.

Neka je, na primjer, potrebno odrediti maksimalnu vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Da biste to učinili, pronađite sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b] .

kritična točka naziva se točka u kojoj definirana funkcija, i ona izvedenica ili je nula ili ne postoji. Zatim treba izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama. I, konačno, treba usporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) i f(b) ). Najveći od ovih brojeva bit će najveća vrijednost funkcije na segmentu [a, b] .

Problem nalaženja najmanje vrijednosti funkcije .

Zajedno tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije

Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Odluka. Pronalazimo derivaciju ove funkcije. Izjednačite derivaciju s nulom () i dobijete dvije kritične točke: i . Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, dovoljno je izračunati njezine vrijednosti na krajevima segmenta i u točki, budući da točka ne pripada segmentu [-1, 2] . Ove vrijednosti funkcije su sljedeće: , , . Iz toga slijedi najmanja vrijednost funkcije(označeno crvenom bojom na donjem grafikonu), jednako -7, doseže se na desnom kraju segmenta - u točki , i najveći(također crvena na grafikonu), jednaka je 9, - u kritičnoj točki .

Ako je funkcija kontinuirana u određenom intervalu i taj interval nije segment (ali je, na primjer, interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, već granične točke segmenta su uključene u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako je, na primjer, funkcija prikazana na donjoj slici kontinuirana na ]-∞, +∞[ i nema najveću vrijednost.

Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan) vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.

Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Odluka. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:

.

Izvedbu izjednačavamo s nulom, što nam daje jednu kritičnu točku: . Pripada intervalu [-1, 3] . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Usporedimo ove vrijednosti. Zaključak: jednako -5/13, u točki i najveća vrijednost jednako 1 u točki .

Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije

Postoje učitelji koji na temu pronalaženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije učenicima ne daju kompliciranije primjere od upravo razmatranih, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, brojnik a nazivnik kojih su polinomi. Ali nećemo se ograničavati na takve primjere, budući da među učiteljima ima učitelja koji vole natjerati učenike na razmišljanje u potpunosti (tablica izvedenica). Stoga će se koristiti logaritam i trigonometrijska funkcija.

Primjer 6. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Odluka. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivat proizvoda :

Izvedbu izjednačavamo s nulom, što daje jednu kritičnu točku: . Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Rezultat svih radnji: funkcija dosegne svoju minimalnu vrijednost, jednako 0, u točki i u točki i najveća vrijednost jednak e² , u točki .

Primjer 7. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Odluka. Nalazimo derivaciju ove funkcije:

Izjednačite derivaciju s nulom:

Jedina kritična točka pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Zaključak: funkcija dosegne svoju minimalnu vrijednost, jednako , u točki i najveća vrijednost, jednako , u točki .

U primijenjenim ekstremnim problemima, pronalaženje najmanjih (najvećih) vrijednosti funkcije u pravilu se svodi na pronalaženje minimuma (maksimuma). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već vrijednosti argumenta na kojem se postižu. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća – kompilacija funkcija koje opisuju fenomen ili proces koji se razmatra.

Primjer 8 Spremnik kapaciteta 4, koji ima oblik paralelepipeda s četvrtastom bazom i otvoren na vrhu, mora biti konzerviran. Koje bi trebale biti dimenzije spremnika kako bi se prekrio s najmanjom količinom materijala?

Odluka. Neka bude x- osnovna strana h- visina rezervoara, S- njegovu površinu bez pokrova, V- njegov volumen. Površina spremnika izražava se formulom, tj. je funkcija dviju varijabli. Izraziti S kao funkciju jedne varijable, koristimo činjenicu da , odakle . Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:

Ispitajmo ovu funkciju za ekstrem. Definiran je i diferencibilan posvuda u ]0, +∞[ i

.

Izvedbu izjednačavamo s nulom () i nalazimo kritičnu točku. Osim toga, kada derivacija ne postoji, ali ova vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti točka ekstrema. Dakle, - jedina kritična točka. Provjerimo prisutnost ekstrema pomoću drugog dovoljan znak. Nađimo drugu izvedenicu. Kada je drugi izvod veći od nule (). To znači da kada funkcija dosegne minimum . Jer ovo minimum - jedini ekstrem ove funkcije, to je njezina najmanja vrijednost. Dakle, strana baze spremnika treba biti jednaka 2 m, a njegova visina.

Primjer 9 Iz paragrafa A, koji se nalazi na željezničkoj pruzi, do bod S, na udaljenosti od njega l, roba se mora prevoziti. Cijena prijevoza jedinice težine po jedinici udaljenosti željeznicom je jednaka , a autocestom jednaka je . Do koje točke M linije željeznička pruga treba izgraditi autocestu tako da se prijevoz robe iz ALI u S bio najekonomičniji AB pretpostavlja se da je željeznica ravna)?

U praksi je prilično uobičajeno koristiti derivaciju kako bi se izračunala najveća i najmanja vrijednost funkcije. Ovu radnju izvodimo kada shvatimo kako minimizirati troškove, povećati profit, izračunati optimalno opterećenje za proizvodnju i sl. odnosno u slučajevima kada je potrebno utvrditi optimalna vrijednost bilo koji parametar. Za ispravno rješavanje takvih problema potrebno je dobro razumjeti što su najveća i najmanja vrijednost funkcije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Obično definiramo te vrijednosti unutar nekog intervala x, što zauzvrat može odgovarati cijelom opsegu funkcije ili njezinom dijelu. To može biti ili segment [a; b ] , i otvoreni interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , beskonačni interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) ili beskonačni interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

U ovom članku ćemo objasniti kako se najveće i najmanje vrijednosti eksplicitno izračunavaju. zadanu funkciju s jednom varijablom y=f(x) y = f (x) .

Osnovne definicije

Počinjemo, kao i uvijek, s formuliranjem glavnih definicija.

Definicija 1

Najveća vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost m a x y = f (x 0) x ∈ X , što za bilo koju vrijednost x x ∈ X , x ≠ x 0 čini nejednakost f (x ) ≤ f (x 0) .

Definicija 2

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost m i n x ∈ X y = f (x 0) , što za bilo koju vrijednost x ∈ X , x ≠ x 0 čini nejednakost f(X f (x) ≥ f(x0) .

Ove su definicije prilično očite. Još lakše, možete reći ovo: najveća vrijednost funkcije je njezina najveća veliku važnost na poznatom intervalu na apscisi x 0 , a najmanja je najmanja prihvaćena vrijednost na istom intervalu na x 0 .

Definicija 3

Stacionarne točke su takve vrijednosti argumenta funkcije u kojima njegova derivacija postaje 0.

Zašto moramo znati što su stacionarne točke? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo se prisjetiti Fermatovog teorema. Iz toga slijedi da je stacionarna točka točka u kojoj se nalazi ekstrem diferencijabilne funkcije (tj. njen lokalni minimum ili maksimum). Posljedično, funkcija će uzeti najmanju ili najveću vrijednost na određenom intervalu točno u jednoj od stacionarnih točaka.

Druga funkcija može poprimiti najveću ili najmanju vrijednost u onim točkama u kojima je sama funkcija određena, a njezin prvi izvod ne postoji.

Prvo pitanje koje se nameće prilikom proučavanja ove teme je: možemo li u svim slučajevima odrediti maksimalnu ili minimalnu vrijednost funkcije na zadanom intervalu? Ne, ne možemo to učiniti kada će se granice zadanog intervala poklapati s granicama domene definicije ili ako imamo posla s beskonačnim intervalom. Također se događa da će funkcija u danom intervalu ili u beskonačnosti biti beskonačno mala ili beskonačna velike vrijednosti. U tim slučajevima nije moguće odrediti najveću i/ili najmanju vrijednost.

Ovi trenuci će postati razumljiviji nakon slike na grafikonima:

Prva slika prikazuje nam funkciju koja uzima najveću i najmanju vrijednost (m a x y i m i n y) u stacionarnim točkama koje se nalaze na segmentu [-6; 6].

Proučimo detaljno slučaj naveden u drugom grafikonu. Promijenimo vrijednost segmenta u [ 1 ; 6] i dobivamo da će se najveća vrijednost funkcije postići u točki s apscisom na desnoj granici intervala, a najmanja - u stacionarnoj točki.

Na trećoj slici apscise točaka predstavljaju granične točke segmenta [ - 3 ; 2]. Oni odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti zadane funkcije.

Pogledajmo sada četvrtu sliku. U njemu funkcija uzima m a x y (najveća vrijednost) i m i n y (najmanja vrijednost) u stacionarnim točkama u otvorenom intervalu (- 6 ; 6) .

Ako uzmemo interval [1; 6) , tada možemo reći da će se najmanja vrijednost funkcije na njemu postići u stacionarnoj točki. Nećemo znati maksimalnu vrijednost. Funkcija bi mogla poprimiti najveću vrijednost na x jednaku 6 ako je x = 6 pripadalo intervalu. Upravo je ovaj slučaj prikazan na slici 5.

Na grafikonu 6, ova funkcija dobiva najmanju vrijednost u desnom rubu intervala (- 3 ; 2 ] , a ne možemo izvući definitivne zaključke o najvećoj vrijednosti.

Na slici 7 vidimo da će funkcija imati m a x y u stacionarnoj točki, a apscisa je jednaka 1. Funkcija doseže svoju minimalnu vrijednost na granici intervala s desne strane. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti y = 3.

Ako uzmemo interval x ∈ 2 ; + ∞ , tada ćemo vidjeti da zadana funkcija na njoj neće poprimiti ni najmanju ni najveću vrijednost. Ako x teži 2, tada će vrijednosti funkcije težiti minus beskonačnosti, budući da je ravna linija x = 2 okomita asimptota. Ako apscisa teži plus beskonačnosti, tada će se vrijednosti funkcije asimptotski približiti y = 3. Ovo je slučaj prikazan na slici 8.

U ovom odlomku dat ćemo slijed radnji koje se moraju izvesti kako bi se pronašla najveća ili najmanja vrijednost funkcije u određenom intervalu.

1. Prvo, pronađimo domenu funkcije. Provjerimo je li segment naveden u uvjetu uključen u njega.
2. Sada izračunajmo točke sadržane u ovom segmentu u kojima ne postoji prva derivacija. Najčešće se mogu naći u funkcijama čiji je argument napisan pod znakom modula ili u funkcije moći, čiji je eksponent razlomački racionalan broj.
3. Zatim saznajemo koje stacionarne točke spadaju u zadani segment. Da biste to učinili, morate izračunati derivaciju funkcije, zatim je izjednačiti s 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu, a zatim odabrati odgovarajuće korijene. Ako ne dobijemo niti jednu stacionarnu točku ili ne spadaju u zadani segment, prelazimo na sljedeći korak.
4. Odredimo koje će vrijednosti funkcija zauzeti u zadanim stacionarnim točkama (ako ih ima), ili u onim točkama gdje prvi izvod ne postoji (ako postoji), ili izračunamo vrijednosti za x = a i x = b .
5. 5. Imamo niz vrijednosti funkcije, od kojih sada trebamo odabrati najveću i najmanju. Ovo će biti najveća i najmanja vrijednost funkcije koju trebamo pronaći.

Pogledajmo kako pravilno primijeniti ovaj algoritam pri rješavanju problema.

Primjer 1

Stanje: dana je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Odredite njegovu najveću i najmanju vrijednost na segmentima [1; 4] i [-4; - jedan ] .

Odluka:

Počnimo s pronalaženjem domene ove funkcije. U ovom slučaju, to će biti skup svih realnih brojeva osim 0 . Drugim riječima, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Oba segmenta navedena u uvjetu bit će unutar područja definicije.

Sada izračunavamo derivaciju funkcije prema pravilu diferencijacije razlomka:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Naučili smo da će derivacija funkcije postojati u svim točkama segmenata [1; 4] i [-4; - jedan ] .

Sada trebamo odrediti stacionarne točke funkcije. Učinimo to s jednadžbom x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo jedan pravi korijen, a to je 2. To će biti stacionarna točka funkcije i pasti će u prvi segment [1; 4 ] .

Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima prvog segmenta i u zadanoj točki, tj. za x = 1, x = 2 i x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Dobili smo da je najveća vrijednost funkcije m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 postići će se pri x = 1 , a najmanji m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – kod x = 2 .

Drugi segment ne uključuje nikakve stacionarne točke, tako da moramo izračunati vrijednosti funkcije samo na krajevima danog segmenta:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Dakle, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Odgovor: Za segment [1; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , za segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

vidi sliku:

Prije studiranja ovuda, savjetujemo vam da ponovite kako pravilno izračunati jednostranu granicu i granicu u beskonačnosti, kao i naučiti osnovne metode za njihovo pronalaženje. Da bismo pronašli najveću i/ili najmanju vrijednost funkcije na otvorenom ili beskonačnom intervalu, izvodimo sljedeće korake u nizu.

1. Najprije morate provjeriti hoće li dati interval biti podskup domene zadane funkcije.
2. Odredimo sve točke koje se nalaze u traženom intervalu i u kojima prvi izvod ne postoji. Obično su za funkcije kod kojih je argument zatvoren u znaku modula i za funkcije stepena s razlomkom racionalni pokazatelj. Ako ove točke nedostaju, možete prijeći na sljedeći korak.
3. Sada određujemo koje stacionarne točke spadaju u zadani interval. Prvo izjednačimo derivaciju s 0, riješimo jednadžbu i pronađemo odgovarajuće korijene. Ako nemamo niti jednu stacionarnu točku ili ne spadaju u zadani interval, odmah idemo na daljnje djelovanje. Određeni su vrstom intervala.

• Ako interval izgleda kao [ a ; b) , tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u točki x = a i jednostranoj granici lim x → b - 0 f (x) .
• Ako interval ima oblik (a ; b ] , tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u točki x = b i jednostranoj granici lim x → a + 0 f (x) .
• Ako interval ima oblik (a ; b) , tada trebamo izračunati jednostrane granice lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Ako interval izgleda kao [ a ; + ∞) , tada je potrebno izračunati vrijednost u točki x = a i granicu na plus beskonačnost lim x → + ∞ f (x) .
• Ako interval izgleda kao (- ∞ ; b ] , izračunavamo vrijednost u točki x = b i granicu u minus beskonačnosti lim x → - ∞ f (x) .
• Ako je - ∞ ; b , tada razmatramo jednostranu granicu lim x → b - 0 f (x) i granicu na minus beskonačnost lim x → - ∞ f (x)
• Ako je - ∞ ; + ∞ , tada razmatramo granice na minus i plus beskonačnost lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Na kraju morate donijeti zaključak na temelju dobivenih vrijednosti funkcije i granica. Ovdje postoji mnogo opcija. Dakle, ako je jednostrana granica jednaka minus beskonačnosti ili plus beskonačnosti, onda je odmah jasno da se ništa ne može reći o najmanjoj i najvećoj vrijednosti funkcije. U nastavku ćemo razmotriti jedan tipičan primjer. Detaljni opisi pomoći vam da shvatite što je što. Ako je potrebno, možete se vratiti na slike 4 - 8 u prvom dijelu materijala.

Uvjet: zadana je funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Izračunajte njegovu najveću i najmanju vrijednost u intervalima - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞, [4; +∞) .

Odluka

Prije svega, nalazimo domenu funkcije. Nazivnik razlomka je kvadratni trinom, koji se ne bi trebao pretvoriti u 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Dobili smo opseg funkcije kojem pripadaju svi intervali navedeni u uvjetu.

Sada ćemo razlikovati funkciju i dobiti:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Posljedično, derivacije funkcije postoje u cijeloj domeni njezine definicije.

Prijeđimo na traženje stacionarnih točaka. Derivat funkcije postaje 0 na x = - 1 2 . Ovo je stacionarna točka koja se nalazi u intervalima (- 3 ; 1 ] i (- 3 ; 2) .

Izračunajmo vrijednost funkcije na x = - 4 za interval (- ∞ ; - 4 ] , kao i granicu na minus beskonačnost:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Budući da je 3 e 1 6 - 4 > - 1 , onda je m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nam ne dopušta da jednoznačno odredimo najmanju vrijednost funkcije. Možemo samo zaključiti da postoji granica ispod -1, budući da se toj vrijednosti funkcija asimptotski približava na minus beskonačnosti.

Značajka drugog intervala je da nema niti jednu stacionarnu točku niti jednu strogu granicu. Stoga ne možemo izračunati ni najveću ni najmanju vrijednost funkcije. Definiranjem granice na minus beskonačnost i kako argument teži - 3 na lijevoj strani, dobivamo samo raspon vrijednosti:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To znači da će se vrijednosti funkcije nalaziti u intervalu - 1; +∞

Da bismo pronašli maksimalnu vrijednost funkcije u trećem intervalu, odredimo njezinu vrijednost u stacionarnoj točki x = - 1 2 ako je x = 1 . Također moramo znati jednostranu granicu za slučaj kada argument teži - 3 na desnoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Pokazalo se da će funkcija poprimiti najveću vrijednost u stacionarnoj točki m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Što se tiče najmanje vrijednosti, ne možemo je odrediti. Sve što smo znati , je prisutnost donje granice do - 4 .

Za interval (- 3 ; 2), uzmimo rezultate prethodnog izračuna i još jednom izračunajmo čemu je jednaka jednostrana granica kada težimo 2 s lijeve strane:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Dakle, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , a najmanja vrijednost se ne može odrediti, a vrijednosti funkcije su ograničene odozdo brojem - 4 .

Na temelju onoga što smo učinili u prethodna dva izračuna, možemo ustvrditi da na intervalu [1; 2) funkcija će poprimiti najveću vrijednost pri x = 1, a najmanju je nemoguće pronaći.

Na intervalu (2 ; + ∞) funkcija neće doseći ni najveću ni najmanju vrijednost, tj. uzimat će vrijednosti iz intervala - 1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Izračunavši koliko će biti jednaka vrijednost funkcije pri x = 4 , saznajemo da je m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , a zadana funkcija na plus beskonačno će se asimptotski približiti liniji y = - 1 .

Usporedimo ono što smo dobili u svakom proračunu s grafom zadane funkcije. Na slici su asimptote prikazane točkastim linijama.

To je sve što smo htjeli razgovarati o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Ti slijedovi radnji koje smo dali pomoći će vam da napravite potrebne izračune što je brže i jednostavnije moguće. No zapamtite da je često korisno prvo saznati na kojim će se intervalima funkcija smanjiti, a na kojima povećati, nakon čega se mogu izvući daljnji zaključci. Tako možete točnije odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije i opravdati rezultate.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter