Određeni integral i metode njegovog izračuna. Online kalkulator. Izračunajte određeni integral (površina zakrivljenog trapeza).

Definitivni integrali online na stranici za studente i školarce za učvršćivanje pređenog gradiva. I treniranje vaših praktičnih vještina. Cjelovito rješenje definitivnih integrala za vas u nekoliko trenutaka pomoći će vam da odredite sve faze procesa online definitivnih integrala. Određeni integrali online na stranici za studente i školarce kako bi u potpunosti učvrstili pređeno gradivo i uvježbali svoje praktične vještine. Cjelovito rješenje definitivnih integrala za vas u nekoliko trenutaka pomoći će vam da odredite sve faze procesa online definitivnih integrala. Nama se ne čini nešto super prirodno uzeti određeni integral na internetu, budući da smo ovu temu proučavali iz knjige izvrsnih autora. Najljepše im zahvaljujemo i iskazujemo svoje poštovanje ovim osobama. Pomaže u određivanju određenog integrala online usluga izračunati takve probleme u tren oka. Samo dajte točne podatke i sve će biti Dobro! Svaki određeni integral kao rješenje problema poboljšat će pismenost učenika. O tome sanja svaki lijenčina, a ni mi nismo izuzetak, priznajemo iskreno. Ako ipak uspijete besplatno izračunati određeni integral online s rješenjem, napišite adresu web stranice svima koji je žele koristiti. Kako kažu, podijelite koristan link- i oni će vam biti zahvalni dobri ljudi besplatno. Bit će vrlo zanimljivo pitanje analize problema u kojem će određeni integral riješiti sam kalkulator, a ne gubljenje vašeg dragocjenog vremena. Zato su oni mašine, da rade za ljude. Međutim, online rješavanje definitivnih integrala nije nešto što svaka web stranica može podnijeti, a to je lako provjeriti, naime samo uzmite složen primjer i pokušajte ga riješiti korištenjem svake takve usluge. Osjetit ćete razliku iz prve ruke. Često će pronalaženje određenog integrala na mreži bez ikakvog napora postati vrlo teško i vaš će odgovor izgledati smiješno na pozadini ukupne slike rezultata. Bilo bi bolje prvo proći tečaj za mladog borca. Svako rješenje nepravilnih integrala online svodi se prvo na izračunavanje neodređenog, a zatim pomoću teorije granica za izračunavanje, u pravilu, jednostranih granica iz rezultirajućih izraza sa zamijenjenim granicama A i B. Nakon razmatranja određenog integrala koji ste naveli online sa detaljno rješenje, zaključili smo da ste pogriješili u petom koraku, odnosno kada ste koristili formulu zamjene Chebyshevljeve varijable. Budite vrlo oprezni u daljnjoj odluci. Ako vaš definitivni integral online kalkulator Nisam mogao to prihvatiti prvi put, onda prije svega vrijedi još jednom provjeriti pisane podatke u odgovarajućim obrascima na web stranici. Provjerite je li sve u redu i krenite, Go-Go! Za svakog studenta prepreka je računanje nepravilnih integrala online sa samim nastavnikom, jer je ovo ili ispit, ili kolokvij, ili samo test na paru.. Čim vam zadani netočni integralni online kalkulator bude na raspolaganju, odmah uđite u zadanu funkciju, zamijenite zadane granice integracije i kliknite na gumb Rješenje, nakon čega će vam biti dostupan potpun detaljan odgovor . Ipak, dobro je kada postoji tako divna stranica kao stranica, jer je besplatna, jednostavna za korištenje, a također sadrži puno odjeljaka. koje studenti koriste svakodnevno, jedan od njih je definitivni integral online s rješenjem u punom obliku. U istom odjeljku možete online izračunati nepravi integral s detaljnim rješenjem za daljnju primjenu odgovora kako na institutu tako iu inženjerski rad. Čini se da je određivanje određenog integrala online jednostavna stvar za svakoga ako unaprijed riješite takav primjer bez gornje i donje granice, odnosno ne Leibnizov integral, već neodređeni integral. Ali ovdje se vi i ja kategorički ne slažemo, jer na prvi pogled ovo može izgledati upravo ovako, ali postoji značajna razlika, idemo sve riješiti. Rješenje ne daje takav određeni integral eksplicitno, već kao posljedicu transformacije izraza u graničnu vrijednost. Drugim riječima, prvo morate riješiti integral zamjenom simboličkih vrijednosti granica, a zatim izračunati granicu ili u beskonačnosti ili u određenoj točki. Stoga, izračunavanje određenog integrala online s besplatnim rješenjem ne znači ništa drugo nego predstavljanje točnog rješenja pomoću Newton-Leibnizove formule. Ako uzmemo u obzir naš definitivni integralni kalkulator, pomoći će vam da ga izračunate u nekoliko sekundi pred vašim očima. Ova žurba je neophodna svima koji žele obaviti zadatak što je brže moguće i osloboditi se za osobne stvari. Ne biste trebali na internetu tražiti stranice koje će od vas tražiti da se registrirate, a zatim dodate novac na svoj saldo, a sve u svrhu nekog pametnjakovića koji priprema rješenja za određene integrale navodno online. Upamtite adresu Math24 je besplatna usluga za rješavanje mnogih matematičkih problema, uključujući mi ćemo vam pomoći pronaći određeni integral na mreži, a kako biste se u to uvjerili, provjerite našu izjavu na konkretni primjeri. Unesite integrand u odgovarajuće polje, zatim navedite ili beskonačne granične vrijednosti (u ovom slučaju, rješenje neprikladnih integrala će se izračunati i dobiti online), ili navedite svoje numeričke ili simboličke granice i definitivni integral online s detaljnim rješenjem prikazat će se na stranici nakon klika na gumb "Rješenje". Zar ne - vrlo je jednostavno, ne zahtijeva nikakve nepotrebne radnje od vas, besplatno je, što je najvažnije, a ujedno je i učinkovito. Možete sami koristiti uslugu kako bi vam određeni integralni online kalkulator donio maksimalnu korist, a vi dobili ugodno stanje bez naprezanja nad složenošću svih računskih procesa, dopustite nama da učinimo sve za vas i demonstriramo svu moć računalna tehnologija moderni svijet. Ako uronite u divljinu najsloženije formule i sami proučavate izračun nepravilnih integrala online, onda je to pohvalno i možete se kvalificirati za priliku da napišete doktorsku disertaciju, ali vratimo se stvarnosti studentskog života. Tko je student? Prije svega, on je mlad čovjek, energičan i veseo, koji želi imati vremena za opuštanje i pisanje zadaće! Stoga smo se pobrinuli za studente koji na prostranstvima globalne mreže pokušavaju pronaći neodgovarajući integralni online kalkulator, a evo ga za vašu pozornost - stranica je najkorisniji online rješavač za mlade. Inače, iako je naša usluga predstavljena kao pomoćnik studentima i školarcima, ona je u potpunosti primjerena svakom inženjeru, jer smo sposobni za bilo koju vrstu problema i njihovo rješenje prezentiramo u profesionalnom formatu. Na primjer, nudimo određeni integral na mreži s cjelovitim rješenjem u fazama, to jest, svaki logički blok (podzadatak) dobiva zaseban unos sa svim izračunima tijekom procesa opće rješenje. To, naravno, pojednostavljuje percepciju višestupanjskih sekvencijalnih rasporeda, i stoga je prednost projekta stranice u odnosu na slične usluge za pronalaženje nepravilnih integrala online s detaljnim rješenjem.

Razmotrimo funkciju. Ova funkcija se zove: integral kao funkcija gornje granice. Napomenimo nekoliko svojstava ove funkcije.
Teorema 2.1. Ako je f(x) integrabilna funkcija, tada je F(x) neprekidna na .
Dokaz. Po svojstvu 9 određenog integrala (teorem o srednjoj vrijednosti), imamo , odakle, na , dobivamo traženi.
Teorema 2.2. Ako je f(x) neprekidna funkcija na , onda je F’(x) = f(x) na .
Dokaz. Po svojstvu 10 određenog integrala (drugi teorem o srednjoj vrijednosti), imamo Gdje S– neka točka segmenta. Zbog neprekidnosti funkcije f dobivamo
Dakle, F(x) je jedna od antiderivacija funkcije f(x), dakle, F(x) = F(x) + C, gdje je F(x) druga antiderivacija od f(x). Nadalje, budući da je F(a) = 0, onda je 0 = F(a) + C, dakle, C = -F(a) i stoga je F(x) = F(x) – F(a). Uz pretpostavku x=b, dobivamo Newton-Leibnizovu formulu

Primjeri
1.

Integracija po dijelovima u određenom integralu

Određeni integral čuva formulu za integraciju po dijelovima. U ovom slučaju poprima oblik

Primjer.

Mijenjanje varijabli u određenom integralu

Jedna od varijanti rezultata o promjeni varijabli u određenom integralu je sljedeća.
Teorem 2.3. Neka je f(x) kontinuirana na segmentu i neka zadovoljava uvjete:
1) φ(α) = a
2) φ(β) = b
3) derivacija φ’(t) definirana je posvuda na intervalu [α, β]
4) za sve t iz [α, β]
Zatim
Dokaz. Ako je F(x) antiderivacija za f(x)dx onda je F(φ(t)) antiderivacija za Prema tome F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)) . Teorem je dokazan.
Komentar. Ako odbacimo kontinuitet funkcije f(x) pod uvjetima teorema 2.3, moramo zahtijevati monotonost funkcije φ(t).

Primjer. Izračunajte integral Stavimo Onda dx = 2tdt i prema tome

Pregled:

Da biste koristili preglede prezentacija, napravite račun za sebe ( račun) Google i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Sastavni. Newton–Leibnizova formula. Sastavio: Učiteljica matematike Državne obrazovne ustanove obrazovne ustanove PU br. 27 Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna

Cilj sata: Upoznati pojam integrala i njegovo izračunavanje pomoću Newton-Leibnizove formule, koristeći se znanjem o antiderivaciji i pravilima za njezino izračunavanje; Ilustrirati praktičnu primjenu integrala na primjerima nalaženja površine zakrivljenog trapeza; Učvrstite ono što ste naučili tijekom vježbi.

Definicija: Neka bude dano pozitivna funkcija f(x) definiran na konačnom segmentu [ a;b ] . Integral funkcije f(x) na [a;b] je površina njenog krivocrtnog trapeza. y=f(x) b a 0 x y

Oznaka:  “integral od a do b eff od x de x”

Povijesna referenca: Leibniz je izveo oznaku za integral iz prvog slova riječi “Summa”. Newton nije predložio alternativni simbolizam za integral u svojim djelima, iako je pokušao razne opcije. Sam termin integral skovao je Jacob Bernoulli. Summa Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli

Euler je uveo oznaku za neodređeni integral. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonard Euler Dizajn određenog integrala u obliku koji nam je poznat izumio je Fourier.

Newton-Leibnizova formula

Primjer 1. Izračunajte određeni integral: = Rješenje:

Primjer 2. Izračunajte određene integrale: 5 9 1

Primjer 3. S y x Izračunajte površinu lika omeđenog linijama i x-osi. Početi idemo pronaći bodove sjecište x-osi s grafom funkcije. Da bismo to učinili, riješimo jednadžbu. = Rješenje: S =

y x S A B D C Primjer 4. Izračunajte površinu lika omeđenog linijama i pronađite sjecišne točke (apscise) ovih linija rješavanjem jednadžbe S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4,5 = 4,5 vidi primjer 1 Rješenje:

SINCWAINOVA PRAVILA 1. red – tema syncwinea 1 riječ 2. red – 2 pridjeva koji opisuju znakove i svojstva teme 3. red – 3 glagola koji opisuju prirodu radnje 4. red – kratka rečenica od 4 riječi, pokazujući vaš osobni stav prema temi 5 redaka - 1 riječ, sinonim ili vašu asocijaciju na temu predmeta.

Integral 2. Definitivno, pozitivno Brojanje, zbrajanje, množenje 4. Izračunavanje koristeći Newton-Leibnizovu formulu 5. Površina

Popis korištene literature: udžbenik A.N.Kolmagorova. i dr. Algebra i počeci analize 10 - 11 razreda.

Hvala na pozornosti! „TALENT je 99% rada i 1% sposobnosti“ narodna mudrost

Primjer 1. Izračunajte određeni integral: = Rješenje: primjer 4

Pregled:

Predmet: matematika (algebra i počeci analize), razred: 11. raz.

Tema lekcije: "Sastavni. Newton-Leibnizova formula."

Vrsta lekcije: Učenje novog gradiva.

Trajanje lekcije: 45 minuta.

Ciljevi lekcije: uvesti pojam integrala i njegovo izračunavanje pomoću Newton-Leibnizove formule, koristeći znanja o antiderivaciji i pravilima za njezino izračunavanje; ilustrirati praktičnu primjenu integrala na primjerima određivanja površine zakrivljenog trapeza; učvrstiti ono što ste naučili tijekom vježbi.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

1. formirati pojam integrala;
2. razvijanje sposobnosti izračunavanja određenog integrala;
3. formiranje vještina praktična aplikacija integral za pronalaženje površine zakrivljenog trapeza.

Obrazovni:

1. razvoj spoznajni interes učenika, razvijati matematički govor, sposobnost zapažanja, uspoređivanja i zaključivanja;
2. razvijati interes za predmet koristeći IKT.

Obrazovni:

1. intenzivirati interes za stjecanje novih znanja, razvijati točnost i točnost pri računanju integrala i izradi crteža.

Oprema: PC, operacijski sustav Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; multimedijski projektor, platno.

Književnost: udžbenik Kolmagorov A.N. i dr. Algebra i počeci analize 10-11 razreda.

Tehnologije: ICT, individualni trening.

TIJEKOM NASTAVE

	Faza lekcije	Aktivnosti nastavnika	Aktivnosti učenika	Vrijeme
	Uvodni dio
	Organiziranje vremena	Pozdravlja, provjerava spremnost učenika za nastavu, organizira pažnju. Distribuira prateće bilješke.	Slušaj, zapiši datum.	3 min
	Priopćavanje teme i ciljeva lekcije	Ažuriraj pozadinsko znanje i subjektivno iskustvo s pristupom ciljevima lekcije.	Slušajte i zapišite temu lekcije u svoju bilježnicu.Aktivno uključen u mentalnu aktivnost. Analizirajte, uspoređujte, donosite zaključke kako biste postigli ciljeve lekcije.	Prezentacija ICT 3 min
	Glavni dio sata Prezentacija novog gradiva uz popratnu provjeru znanja prošlih tema.
	Definicija integrala (slajd 3)	Daje definiciju. ICT Što je zakrivljeni trapez?	Lik omeđen grafom funkcije, segmentom i ravnima x=a i x=b.	10 min
	Integralna notacija (slajd 4)	Uvodi oznaku za integral i kako se on čita.	Slušaj, zapiši.
	Povijest integrala (slajdovi 5 i 6)	Priča povijest pojma "integral".	Poslušajte i ukratko zapišite.
	Newton–Leibnizova formula (slajd 7)	Daje Newton–Leibnizovu formulu. Što znači F u formuli?	Slušajte, bilježite, odgovarajte na pitanja nastavnika. Antiderivacija.
	Završni dio sata.
	Učvršćivanje materijala. Rješavanje primjera pomoću proučenog gradiva
	Primjer 1 (slajd 8)	Analizira rješenje primjera, postavljajući pitanja o pronalaženju antiderivacija za integrande.	Poslušajte, zapišite, pokažite poznavanje tablice antiderivata.	20 minuta
	Primjer 2 (slajd 9). Primjeri za neovisna odluka učenicima.	Nadzire rješavanje primjera.	Ispunite zadatak jedan po jedan, komentirajući (tehnologija individualnog učenja), slušajte jedni druge, zapisujte, pokažite poznavanje prošlih tema.
	Primjer 3 (slajd 10)	Analizira rješenje primjera. Kako pronaći sjecišne točke x-osi s grafom funkcije?	Slušaju, odgovaraju na pitanja, pokazuju znanje o prošlim temama i zapisuju. Izjednačite integrand s 0 i riješite jednadžbu.
	Primjer 4 (slajd 11)	Analizira rješenje primjera. Kako pronaći sjecišne točke (apscise) grafova funkcija? Odredite vrstu trokuta ABC. Kako pronaći područje pravokutnog trokuta?	Slušaju i odgovaraju na pitanja. Međusobno izjednačite funkcije i riješite dobivenu jednadžbu. Pravokutan. gdje su a i b katete pravokutnog trokuta.
	Rezime lekcije (slajdovi 12 i 13)	Organizira rad na sastavljanju syncwine.	Sudjelujte u pripremi syncwine. Analizirati, usporediti, izvući zaključke o temi.	5 minuta.
	Zadavanje domaće zadaće prema razini težine.	Zadaje zadaću i objašnjava.	Slušaj, zapiši.	1 minuta.
	Ocjenjivanje rada učenika na satu.	Ocjenjuje rad učenika na satu i analizira ga.	Oni slušaju.	1 minuta

Pregled:

Osnovni sažetak na temu “Integral. Newton-Leibnizova formula."

	Definicija: Neka je dana pozitivna funkcija f(x) , definiran na konačnom segmentu.Integral funkcije f(x) nanaziva se područje njegovog krivocrtnog trapeza.
	Oznaka: glasi: “integral od a do b ef od x de x”
	Newton-Leibnizova formula
	Primjer 1. Izračunajte određeni integral: Riješenje:
	Primjer 3. a x-os. Riješenje:
	Primjer 3. Izračunajte površinu figure omeđene linijama i .

Rješavanje primijenjenih problema svodi se na izračunavanje integrala, ali to nije uvijek moguće učiniti točno. Ponekad je potrebno znati vrijednost određenog integrala s određenim stupnjem točnosti, na primjer, do tisućinke.

Postoje problemi kada je potrebno pronaći približnu vrijednost određenog integrala sa potrebnom točnošću, tada se koristi numerička integracija kao što je Simposny metoda, trapezi, pravokutnici. Ne dopuštaju nam svi slučajevi da ga izračunamo s određenom točnošću.

Ovaj članak ispituje primjenu Newton-Leibnizove formule. Ovo je neophodno za točan izračun određenog integrala. Bit će dano detaljni primjeri, razmatraju se promjene varijable u određenom integralu i nalaze se vrijednosti određenog integrala pri integriranju po dijelovima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Newton-Leibnizova formula

Definicija 1

Kada je funkcija y = y (x) neprekidna iz intervala [ a ; b ] , a F (x) je dakle jedna od antiderivacija funkcije ovog segmenta Newton-Leibnizova formula smatra poštenim. Zapišimo to ovako: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Ova formula smatrati osnovna formula integralnog računa.

Za dokaz ove formule potrebno je koristiti koncept integrala s dostupnom varijablom Gornja granica.

Kada je funkcija y = f (x) neprekidna iz intervala [ a ; b ], zatim vrijednost argumenta x ∈ a; b , a integral ima oblik ∫ a x f (t) d t i smatra se funkcijom gornje granice. Potrebno je uzeti zapis funkcije koja će imati oblik ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , ona je kontinuirana, a nejednadžba oblika ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) vrijedi za njega.

Popravimo da prirast funkcije Φ (x) odgovara prirastu argumenta ∆ x , potrebno je koristiti peto glavno svojstvo određenog integrala i dobivamo

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

gdje je vrijednost c ∈ x; x + ∆ x .

Popravimo jednakost u obliku Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Po definiciji derivacije funkcije potrebno je ići do limita ∆ x → 0, tada dobivamo formulu oblika Φ " (x) = f (x). Nalazimo da je Φ (x) jedna od antiderivacija za funkciju oblika y = f (x), koja se nalazi na [a; b]. U suprotnom, izraz se može napisati

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, gdje je vrijednost C konstantna.

Izračunajmo F (a) koristeći prvo svojstvo određenog integrala. Onda to shvaćamo

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, stoga dobivamo da je C = F (a). Rezultat je primjenjiv pri izračunavanju F (b) i dobivamo:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), drugim riječima, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Jednakost se dokazuje Newton-Leibnizovom formulom ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Prirast funkcije uzimamo kao F x a b = F (b) - F (a) . Koristeći notaciju, Newton-Leibnizova formula ima oblik ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Za primjenu formule potrebno je poznavati jednu od antiderivacija y = F (x) funkcije integranda y = f (x) iz segmenta [ a ; b ], izračunajte prirast antiderivacije iz ovog segmenta. Pogledajmo nekoliko primjera izračuna pomoću Newton-Leibnizove formule.

Primjer 1

Izračunajte određeni integral ∫ 1 3 x 2 d x pomoću Newton-Leibnizove formule.

Riješenje

Smatrajmo da je integrand oblika y = x 2 kontinuiran iz intervala [ 1 ; 3 ], onda je integrabilan na tom intervalu. Prema tablici neodređeni integrali vidimo da funkcija y = x 2 ima skup antiderivacija za sve realne vrijednosti x, što znači x ∈ 1; 3 će biti napisan kao F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Potrebno je uzeti antiderivaciju s C = 0, tada dobivamo F (x) = x 3 3.

Koristimo Newton-Leibnizovu formulu i nalazimo da izračun određenog integrala ima oblik ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Odgovor:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Primjer 2

Izračunajte određeni integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x pomoću Newton-Leibnizove formule.

Riješenje

Iza ovu funkciju kontinuirana je iz intervala [ - 1 ; 2 ], što znači da je na njemu integrabilan. Potrebno je naći vrijednost neodređenog integrala ∫ x · e x 2 + 1 d x metodom podvođenja pod predznak diferencijala, tada dobivamo ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Dakle, imamo skup antiderivacija funkcije y = x · e x 2 + 1, koje vrijede za sve x, x ∈ - 1; 2.

Potrebno je uzeti antiderivaciju na C = 0 i primijeniti Newton-Leibnizovu formulu. Tada dobivamo izraz forme

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Odgovor:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Primjer 3

Izračunajte integrale ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x i ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Riješenje

Segment - 4; - 1 2 kaže da je funkcija pod predznakom integrala kontinuirana, što znači da je integrabilna. Odavde nalazimo skup antiderivacija funkcije y = 4 x 3 + 2 x 2. Shvaćamo to

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Potrebno je uzeti antiderivaciju F (x) = 2 x 2 - 2 x, a zatim primjenom Newton-Leibnizove formule dobivamo integral koji izračunavamo:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Prelazimo na izračunavanje drugog integrala.

Iz segmenta [ - 1 ; 1 ] imamo da se funkcija integranda smatra neograničenom, jer lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , tada slijedi da nužan uvjet integrabilnost iz segmenta. Tada F (x) = 2 x 2 - 2 x nije antiderivacija za y = 4 x 3 + 2 x 2 iz intervala [ - 1 ; 1 ], budući da točka O pripada segmentu, ali nije uključena u domenu definicije. To znači da postoji određeni Riemannov i Newton-Leibnizov integral za funkciju y = 4 x 3 + 2 x 2 iz intervala [ - 1 ; 1 ] .

Odgovor: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , postoji određeni Riemannov i Newton-Leibnizov integral za funkciju y = 4 x 3 + 2 x 2 iz intervala [ - 1 ; 1 ] .

Prije korištenja Newton-Leibnizove formule morate točno znati postojanje određenog integrala.

Promjena varijable u određenom integralu

Kada je funkcija y = f (x) definirana i kontinuirana iz intervala [ a ; b], zatim raspoloživi skup [a; b] smatra se rasponom vrijednosti funkcije x = g (z), definiranom na segmentu α; β uz postojeću kontinuiranu derivaciju, gdje je g (α) = a i g β = b, iz ovoga dobivamo da je ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Ova formula se koristi kada treba izračunati integral ∫ a b f (x) d x, gdje neodređeni integral ima oblik ∫ f (x) d x, izračunavamo metodom supstitucije.

Primjer 4

Izračunajte određeni integral oblika ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Riješenje

Funkcija integranda smatra se kontinuiranom na intervalu integracije, što znači da postoji određeni integral. Zabilježimo da je 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Vrijednost x = 9 znači da je z = 2 9 - 9 = 9 = 3, a za x = 18 dobivamo da je z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, zatim g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Zamjenom dobivenih vrijednosti u formulu ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z dobivamo da

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Prema tablici neodređenih integrala imamo da jedna od antiderivacija funkcije 2 z 2 + 9 poprima vrijednost 2 3 a r c t g z 3 . Zatim, primjenom Newton-Leibnizove formule, dobivamo to

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Pronalaženje se može izvesti bez upotrebe formule ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Ako metodom zamjene koristimo integral oblika ∫ 1 x 2 x - 9 d x, tada možemo doći do rezultata ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

Odavde ćemo izvesti proračune pomoću Newton-Leibnizove formule i izračunati definitivni integral. Shvaćamo to

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Rezultati su bili isti.

Odgovor: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integracija po dijelovima pri računanju određenog integrala

Ako je na segmentu [ a ; b ] funkcije u (x) i v (x) su definirane i kontinuirane, tada su njihove izvodnice prvog reda v " (x) · u (x) integrabilne, dakle iz ovog segmenta za integrabilnu funkciju u " (x) · v ( x) vrijedi jednakost ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x.

Formula se tada može koristiti, potrebno je izračunati integral ∫ a b f (x) d x, a ∫ f (x) d x potrebno ga je tražiti integracijom po dijelovima.

Primjer 5

Izračunajte određeni integral ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Riješenje

Funkcija x · sin x 3 + π 6 je integrabilna na intervalu - π 2 ; 3 π 2, što znači da je neprekidan.

Neka je u (x) = x, tada d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, i d (u (x)) = u " (x) d x = d x, i v (x) = - 3 cos π 3 + π 6. Iz formule ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x dobivamo da

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Primjer se može riješiti i na drugi način.

Pronađite skup antiderivacija funkcije x · sin x 3 + π 6 koristeći integraciju po dijelovima koristeći Newton-Leibnizovu formulu:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Odgovor: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Newton-Leibnizova formula

Glavni teorem analize ili Newton - Leibnizova formula daje odnos između dvije operacije: uzimanje određenog integrala i izračunavanje antiderivacije

Formulacija

Promotrimo integral funkcije g = f(x) unutar konstantnog broja a do broja x, koju ćemo smatrati promjenjivom. Zapišimo integral u sljedećem obliku:

Ovaj tip integral se naziva integral s promjenjivom gornjom granicom. Koristeći teorem srednje vrijednosti u određenom integralu, lako je pokazati da je ova funkcija kontinuirana i diferencijabilna. Također je derivacija dane funkcije u točki x jednaka samoj integrabilnoj funkciji. Iz ovoga slijedi da svaka kontinuirana funkcija ima antiderivaciju u obliku kvadrature: . I od razreda antiderivacijske funkcije funkcija f razlikuje za konstantu, lako je pokazati da je: određeni integral funkcije f jednak razlici vrijednosti antiderivacija u točkama b i a

Zaklada Wikimedia. 2010.

• Formula ukupne vjerojatnosti
• Rayleigh-Jeans formula

Pogledajte što je "Newton-Leibnizova formula" u drugim rječnicima:

Newton-Leibnizova formula- Glavni teorem analize ili Newtonova Leibnizova formula daje odnos između dvije operacije: uzimanje određenog integrala i izračunavanje antiderivacije. Formulacija. Razmotrimo integral funkcije y = f(x) u rasponu od konstantnog broja a do.. ... Wikipedia

Formula konačnog povećanja- Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Lagrangeov teorem. Formula konačnog prirasta ili Lagrangeov teorem o srednjoj vrijednosti kaže da ako je funkcija kontinuirana na intervalu i... Wikipedia

Stokesova formula- Stokesov teorem jedan je od glavnih teorema diferencijalne geometrije i matematička analiza o integraciji diferencijalnih oblika, koji generalizira nekoliko teorema analize. Nazvan po J. G. Stokesu. Sadržaj 1 Opća formulacija 2… … Wikipedia

NEWTON - LEIBNITZOVA FORMULA- formula koja izražava vrijednost određenog integrala dana funkcija f duž segmenta u obliku razlike vrijednosti na krajevima segmenta bilo koje antiderivacije F ove funkcije, nazvana po I. Newtonu i G. Leibnizu, jer je pravilo... Matematička enciklopedija

NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA- osnovna formula integralnog računa. Izražava vezu između određenog integrala funkcije f(x) i bilo koje njezine antiderivacije F(x) ... Veliki enciklopedijski rječnik

Leibnizova formula- Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Popis objekata nazvanih po Leibnizu. Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Leibnizovu formulu (značenja). Leibnizova formula u integralnom računu je pravilo... ... Wikipedia

Newton-Leibnizova formula- Newton Leibnizova formula, osnovna formula integralnog računa. Izražava vezu između određenog integrala funkcije f(x) i bilo koje njezine antiderivacije F(x). . * * * NEWTON LEIBNITZ FORMULA NEWTON LEIBNITZ FORMULA, osnovna formula... ... enciklopedijski rječnik

Formula pravokutnika

Trapezoidna formula- Određeni integral kao površina figure Numerička integracija ( povijesno ime: kvadratura) izračunavanje vrijednosti određenog integrala (obično približnog), na temelju činjenice da je vrijednost integrala numerički jednaka površini ... ... Wikipedia

Newtonov teorem- Newtonova Leibnizova formula ili temeljni teorem analize daje odnos između dviju operacija: uzimanje određenog integrala i izračunavanje antiderivacije. Ako je neprekidan na segmentu i bilo koja njegova antiderivacija na ovom segmentu ima ... Wikipedia