1 od 30

Prezentacija na temu: Newton-Leibnizova formula

slajd broj 1

Opis slajda:

slajd broj 2

Opis slajda:

slajd broj 3

Opis slajda:

slajd broj 4

Opis slajda:

Newton i Leibniz Iz sačuvanih dokumenata povjesničari znanosti su doznali da je Newton otkrio diferencijalni i integralni račun još 1665.-1666., ali ga je objavio tek 1704. godine. Leibniz je samostalno razvio svoju verziju analize (od 1675.), iako je početni poticaj njegovoj misli vjerojatno došao iz glasina da je Newton već imao takvu računicu, kao i zahvaljujući znanstvenim razgovorima u Engleskoj i korespondenciji s Newtonom. Za razliku od Newtona, Leibniz je odmah objavio svoju verziju, a kasnije je zajedno s Jacobom i Johannom Bernoullijem naširoko promovirao ovo značajno otkriće diljem Europe. Većina znanstvenika na kontinentu nije sumnjala da je Leibniz otkrio analizu.

slajd broj 5

Opis slajda:

Slušajući nagovor prijatelja koji su se pozivali na njegovo domoljublje, Newton je u 2. knjizi svojih "Načela" (1687.) rekao: U pismima koja sam prije desetak godina razmijenio s vrlo vještim matematičarem, g. Metoda za određivanje maksimuma i minimuma , crtajući tangente i rješavajući slična pitanja, podjednako primjenjiva i na racionalne i na iracionalne pojmove, a metodu sam sakrio preuređivanjem slova sljedeće rečenice: “kada je dana jednadžba koja sadrži bilo koji broj trenutnih veličina, pronađite fluksije i natrag”. Najpoznatiji muž mi je odgovorio da je i on napadao takvu metodu i saopćio mi svoju metodu koja se pokazala jedva drugačijom od moje, i to samo po terminima i upisivanju formula.

slajd broj 6

Opis slajda:

Godine 1693., kada je Newton konačno objavio prvu Sažetak svoju verziju analize, razmijenio je prijateljska pisma s Leibnizom. Newton je rekao: Naš Wallis je svojoj "Algebri", koja se upravo pojavila, priložio neka od pisama koja sam vam napisao u svoje vrijeme. Istodobno je od mene zahtijevao da otvoreno iznesem metodu koju sam u to vrijeme skrivao od vas preuređivanjem slova; Napravio sam ga što sam kraći mogao. Nadam se da nisam napisao ništa što vam je bilo neugodno, ali ako se to dogodilo, javite mi, jer su mi prijatelji draži od matematičkih otkrića.

slajd broj 7

Opis slajda:

Nakon pojave prve detaljne publikacije Newtonove analize (matematički dodatak "Optici", 1704.), u Leibnizovu časopisu "Acta eruditorum" pojavila se anonimna recenzija s uvredljivim aluzijama na Newtona. Recenzija je jasno pokazala da je autor novog računa Leibniz. Sam Leibniz je oštro opovrgao da je recenziju napisao on, ali povjesničari su uspjeli pronaći nacrt napisan njegovim rukopisom. Newton je ignorirao Leibnizov članak, ali su njegovi studenti odgovorili ogorčeno, nakon čega je izbio paneuropski prioritetni rat, "najsramotnija prepirka u cijeloj povijesti matematike".

slajd broj 8

Opis slajda:

Dana 31. siječnja 1713. Kraljevsko društvo primilo je pismo od Leibniza koje je sadržavalo pomirljivu formulaciju: on se slaže da je Newton sam došao u analizu, "na generalni principi poput naše." Ljutiti Newton zahtijevao je stvaranje međunarodne komisije kako bi se razjasnio prioritet. Povjerenstvu nije trebalo puno vremena: mjesec i pol kasnije, proučivši Newtonovu korespondenciju s Oldenburgom i druge dokumente, jednoglasno je priznala Newtonov prioritet, štoviše, u formulaciji koja je ovoga puta bila uvredljiva za Leibniza. Odluka povjerenstva tiskana je u Zborniku Društva uz priloženu sve popratne dokumente.

slajd broj 9

Opis slajda:

Kao odgovor, od ljeta 1713. Europa je bila preplavljena anonimnim pamfletima koji su branili Leibnizov prioritet i tvrdili da "Newton sebi prisvaja čast koja pripada drugome." Pamfleti su također optuživali Newtona da je ukrao rezultate Hookea i Flamsteeda. Newtonovi prijatelji, sa svoje strane, optužili su samog Leibniza za plagijat; prema njihovoj verziji, tijekom boravka u Londonu (1676) Leibniz u kraljevsko društvo upoznao se s neobjavljenim djelima i pismima Newtona, nakon čega je Leibniz tamo iznesene ideje objavio i prozvao ih kao svoje.

slajd broj 10

Opis slajda:

slajd broj 11

Opis slajda:

slajd broj 12

Opis slajda:

Postavite proizvoljnu vrijednost x € (a.b) i definirajte novu funkciju. Definirana je za sve vrijednosti x € (a.b) , jer znamo da ako postoji integral od ʄ na (a,b), onda postoji također integral od ʄ na (a ,b) , pri čemu Podsjetimo da pretpostavljamo po definiciji

slajd broj 13

Opis slajda:

slajd broj 14

Opis slajda:

Dakle, F je kontinuiran na (a,b) bez obzira na to ima li ʄ diskontinuiteta ili ne; važno je da je ʄ integrabilan na (a,b) Slika prikazuje graf ʄ . Površina promjenljive figure aABx jednaka je F (X) Njegov prirast F (X+h)-F(x) jednak je površini figure xBC(x+h) , što zbog Ograničenost ʄ, očito teži nuli kao h → 0, bez obzira hoće li x biti točka kontinuiteta ili prekida ʄ npr. točka x-d

slajd broj 15

Opis slajda:

slajd broj 16

Opis slajda:

slajd broj 17

Opis slajda:

Prijelaz na granicu u kao h→0 pokazuje postojanje derivacije od F u točki i valjanost jednakosti. Za x=a,b govorimo o desnoj i lijevoj izvedenici. Ako je funkcija ʄ kontinuirana na (a,b) , tada, na temelju gore navedenog, funkcija koja joj odgovara ima derivaciju jednaku Dakle, funkcija F(x) je antiderivat za ʄ (a,b)

slajd broj 18

Opis slajda:

Dokazali smo da proizvoljna kontinuirana funkcija ʄ na segmentu (a,b) ima antiderivat na tom segmentu definiranom jednakošću. To dokazuje postojanje antiderivata za bilo koju funkciju kontinuiranu na intervalu. Neka sada postoji proizvoljni antiderivat funkcije ʄ(x) na (a,b) . Znamo da je gdje je C neka konstanta. Uz pretpostavku ove jednakosti x=a i uzimajući u obzir da je F(a)=0 dobivamo F(a)=C Dakle, ali

slajd broj 19

Opis slajda:

slajd broj 20

Opis slajda:

Integral Integral funkcije je prirodni analog zbroja niza. Prema temeljnom teoremu analize, integracija je operacija inverzna diferencijaciji. Proces pronalaženja integrala naziva se integracija.Ima ih nekoliko razne definicije integracijske operacije koje se razlikuju u tehnički detalji. Međutim, svi su kompatibilni, odnosno, bilo koje dvije metode integracije, ako se mogu primijeniti na danu funkciju, dat će isti rezultat.

slajd broj 21

Opis slajda:

slajd broj 22

Opis slajda:

Povijest Znakove integrala ʃ derivacije dx prvi je upotrijebio Leibniz krajem 17. stoljeća. Simbol integrala nastao je od slova S - skraćenice riječi lat. zbroj (zbroj). Integralni u antici drevni Egipt, oko 1800. pr. e., Moskovski matematički papirus pokazuje poznavanje formule za volumen krnje piramide. Prvi poznata metoda za izračunavanje integrala je metoda iscrpljivanja Eudoxusa (oko 370. pr. Kr.), koji je pokušao pronaći područja i volumene razbijajući ih na beskonačan skup dijelovi za koje je već poznata površina ili volumen. Ovu metodu je preuzeo i razvio Arhimed, a korištena je za izračunavanje površina parabola i aproksimaciju površine kruga. Slične je metode neovisno razvio u Kini u 3. stoljeću nakon Krista Liu Hui, koji ih je koristio za pronalaženje područja kruga. Ovu metodu je kasnije upotrijebio Ju Chongshi za pronalaženje volumena kugle.

slajd broj 23

Opis slajda:

Povijesno značenje i filozofsko značenje Newton-Leibnizove formule Jedan od najvažnijih istraživačkih alata ove serije je Newton-Leibnizova formula i metoda koja stoji iza nje za pronalaženje antiderivativne funkcije integracijom njezine derivacije. Povijesni značaj formule je u korištenju beskonačno malih veličina i u apsolutno točnom odgovoru na postavljeno pitanje. Poznate su prednosti korištenja ove metode za rješavanje matematičkih, fizičkih i drugih prirodoslovnih problema, primjerice klasičnog problema kvadriranja kruga - građenja kvadrata jednake veličine zadanoj kružnici. Filozofsko značenje - u mogućnosti dobivanja informacija o cjelini iz njezinog beskonačno malog dijela, napomenutog ranije - jasno se ostvaruje u medicini i biologiji, čiji primjer može biti uspjeh genetski inženjering u kloniranju – stvaranje međusobno sličnih živih bića. Povijest ostaje rijetka iznimka na popisu znanosti koje su koristile Newton-Leibnizovu formulu. Nemogućnost davanja informacija povijesni izvori u obliku brojeva – argumenata formule – tradicionalno je. Dakle, do sada filozofsko značenje formule nije sasvim filozofsko, budući da se ostvaruje samo u prirodoslovno znanje ostavljajući društveno i humanitarno znanje bez tako snažnog alata. Iako ako se držite tradicionalna obilježja socijalno i humanitarno znanje, njegove slabosti, da tako kažem, onda je na njemu.

slajd broj 24

Opis slajda:

Ali daljnja znanstvena analiza u naše vrijeme daje novu, drugačiju sliku procesa koji je u tijeku. Atomistički pogledi koji su danas dominantni u znanosti razgrađuju materiju na hrpu sićušnih čestica ili pravilno lociranih centara sila koji su u vječnim raznim kretanjima. Na isti način, materija koja prodire u eter neprestano se pobuđuje i oscilira u valovima. Sva ta kretanja materije i etera u najužoj su i kontinuiranoj vezi sa svjetskim prostorom, koji je za nas beskonačan. Takav prikaz, nedostupan našoj konkretnoj mašti, proizlazi iz podataka fizike.

slajd broj 25

Opis slajda:

Čak i mistične i magične struje moraju računati s tim stavom, iako mogu, dajući drugačije značenje pojmu vremena, potpuno uništiti značaj ove činjenice u općem svjetonazoru. Dakle, sve dok se pitanje odnosi na pojave koje se opažaju osjetilima, čak i ova područja filozofije i religije, najudaljenija od egzaktnog znanja, moraju računati sa znanstveno dokazanom činjenicom, kao što bi trebala računati s činjenicom da je dva puta dva četiri u područje koje je podložno osjetilima.i umu.

slajd broj 26

Opis slajda:

U isto vrijeme, količina znanja koje je čovječanstvo akumulirala već je sasvim dovoljna da prekine ovu tradiciju. Doista, nema potrebe na pitagorejanski način tražiti digitalnu korespondenciju s izjavama “Petar I. posjetio Veneciju za vrijeme Velikog veleposlanstva” i “Petar I. nije bio u Veneciji za vrijeme Velikog veleposlanstva”, kada ti izrazi sami po sebi mogu lako poslužiti kao argumenti George Booleove algebre logike. Rezultat svakog povijesnog istraživanja u biti je skup takvih argumenata. Stoga je, po mom mišljenju, opravdano koristiti kao integrand skup povijesnih studija, predstavljenih u obliku argumenata algebre logike, s ciljem dobivanja odgovarajućeg antiderivata - najvjerojatnije rekonstrukcije proučavanog povijesni događaj. Mnogo je izazova na tom putu. Konkretno: prikaz specifične povijesne studije - izvedenice rekonstruiranog događaja - u obliku skupa logičkih izraza - operacija je očito kompliciranija od, primjerice, elektroničke katalogizacije jednostavnog knjižničnog arhiva. Međutim, informacijski proboj kasnog XX. - početkom XXI stoljeća (izuzetno visoki stupanj integracija baze elemenata i povećanje snage informacija) čine provedbu takvog zadatka sasvim realnom.

slajd broj 27

Opis slajda:

U svjetlu gore navedenog, na sadašnjoj fazi povijesna analiza je matematička analiza s teorijom vjerojatnosti i algebrom logike, a željena antiderivativna funkcija je vjerojatnost povijesnog događaja, što je u cjelini prilično dosljedno i čak nadopunjuje ideju znanosti u sadašnjoj fazi , jer je zamjena pojma suštine pojmom funkcije glavna stvar u shvaćanju znanosti u Novom vremenu - dopunjeno vrednovanjem ove funkcije. Stoga, moderno povijesno značenje formule u mogućnosti ostvarenja Leibnizovog sna "o vremenu kada će dva filozofa, umjesto beskrajnih sporova, poput dvojice matematičara uzeti olovke u ruke i, sjedajući za stol, spor zamijeniti proračunom" . Svako povijesno istraživanje-zaključak ima pravo na postojanje, odražava stvarni događaj i nadopunjuje informacijsku povijesnu sliku. Opasnost od degeneracije povijesna znanost u skup bezbojnih fraza-izjava - rezultat primjene predložene metode, više nema opasnosti od degeneracije glazbe u skup zvukova, i slikanja u skup boja u sadašnjem stupnju ljudskog razvoja. Tako vidim novo filozofsko značenje Newton-Leibnizove formule, dato prvi put krajem 17. - početkom 18. stoljeća.

slajd broj 28

Opis slajda:

Zapravo, formula će, s obzirom na posebnost percepcije matematičkih simbola od strane nositelja društvenog i humanitarnog znanja, izraženu u paničnom strahu od strane tih nositelja bilo kakvog prikaza takvih znakova, biti data u verbalnom obliku: određeni integral derivacije funkcije je antiderivat ove funkcije. Neka formalna razlika između navedenog primjera problema kvadrature kružnice i uobičajenog obrazovno-matematičkog primjera izračunavanja površine koja se nalazi ispod proizvoljne krivulje u kartezijanskom koordinatnom sustavu, naravno, ne mijenja bit.

slajd broj 29

Opis slajda:

KORIŠTENA LITERATURA: 1. Brodsky I.A. Djela u četiri toma. T.3. SPb., 1994. 2. Vernadsky V.I. Biosfera i noosfera. M., 2003. 3. Wundt, Wilhelm. Uvod u filozofiju. M., 2001. 4. Gaidenko P.P. Evolucija pojma znanosti. M., 1980. 5. Descartes, Rene. Razmišljanja o primitivnoj filozofiji. SPb., 1995. 6. Karpov G.M. Veliko veleposlanstvo Petra I. Kalinjingrad, 1998. 7. Kunzman P., Burkard F.-P., Vidman F. Filozofija: dtv-Atlas. M., 2002. 8. Malakhovskiy V.S. Odabrana poglavlja povijesti matematike. Kalinjingrad, 2002. 9. Natanson I.P. Kratki tečaj viša matematika. SPb., 2001. 10. Engels F. Anti-Dühring. M., 1988. 11. Sheremetevsky V.P. Ogledi o povijesti matematike. M., 2004. Internetski resursi http://ru.wikipedia.org

slajd broj 30

Opis slajda:

Newton - Leibnizova formula

Glavni teorem analize ili Newton-Leibnizova formula daje odnos između dvije operacije: uzimanja određenog integrala i izračunavanja antiderivata

Izbor riječi

Razmotrimo integral funkcije y = f(x) unutar konstantnog broja a do broja x, koju ćemo smatrati promjenjivom. Zapisujemo integral u sljedeći obrazac:

Ova vrsta integrala naziva se integral s promjenjivom gornjom granicom. Koristeći teorem o integralnom srednjem značenju, to je lako pokazati zadanu funkciju kontinuirano i diferencirano. A također i derivacija ove funkcije u točki x jednaka je samoj integrabilnoj funkciji. Odavde slijedi da svaka kontinuirana funkcija ima antiderivativ u obliku kvadrature: . A budući da se klasa antiderivata funkcije f razlikuje po konstanti, lako je pokazati da je: definitivni integral funkcije f jednak razlici između vrijednosti antiderivata u točkama b i a

Zaklada Wikimedia. 2010 .

• Formula ukupne vjerojatnosti
• Rayleigh-Jeans formula

Pogledajte što je "Newton-Leibnizova formula" u drugim rječnicima:

Newton-Leibnizova formula- Glavni teorem analize ili Newton-Leibnizova formula daje odnos između dviju operacija: uzimanja određenog integrala i izračunavanja antiderivativne formulacije Razmotrimo integral funkcije y = f (x) u rasponu od konstantnog broja a do .. ... Wikipedia

Formula konačnog prirasta- Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Lagrangeov teorem. Formula konačnog prirasta ili Lagrangeov teorem srednje vrijednosti kaže da ako je funkcija kontinuirana na segmentu i ... Wikipedia

Stokesova formula- Stokesov teorem jedan je od temeljnih teorema diferencijalne geometrije i matematička analiza o integraciji diferencijalnih oblika, koji generalizira nekoliko teorema analize. Nazvan po J. G. Stokesu. Sadržaj 1 Općenito 2 ... ... Wikipedia

NEWTON - LEIBNIZOVA FORMULA- formula koja izražava vrijednost određenog integrala od zadanu funkciju f duž segmenta u obliku razlike vrijednosti na krajevima segmenta bilo kojeg antiderivata F ove funkcije Nazvan po I. Newtonu (I. Newton) i G. Leibnizu (G. Leibniz), budući da je pravilo , ... ... Matematička enciklopedija

NEWTON-LEIBNIZOVA FORMULA- osnovna formula integralnog računa. Izražava odnos između određenog integrala funkcije f (x) i bilo kojeg od njezinih antiderivata F (x) ... Veliki enciklopedijski rječnik

Leibnizova formula- Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Popis objekata nazvanih po Leibnizu. Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Leibnizovu formulu (značenja). Leibnizova formula u integralnom računu je pravilo ... ... Wikipedia

Newton-Leibnizova formula- Newton Leibnizova formula, osnovna formula integralnog računa. Izražava odnos između određenog integrala funkcije f(x) i bilo kojeg od njezinih antiderivata F(x). . * * * NEWTON LEIBNIZ FORMULA NEWTON LEIBNIZ FORMULA, osnovna formula ... ... enciklopedijski rječnik

Formula pravokutnika

Trapezna formula - Određeni integral kao površina figure Numerička integracija ( povijesno ime: kvadratura) izračunavanje vrijednosti određenog integrala (obično približnog), na temelju činjenice da je vrijednost integrala brojčano jednaka površini ... ... Wikipedia

Newtonov teorem- Formula Newtona Leibniza ili glavni teorem analize daje odnos između dviju operacija: uzimanja određenog integrala i izračunavanja antiderivata. Ako je kontinuirano na segmentu i ima bilo koji antiderivat na ovom segmentu, onda ima ... Wikipediju

Neka je neka kontinuirana funkcija f zadana na nekom segmentu osi Ox. Pretpostavljamo da ova funkcija ne mijenja svoj predznak na cijelom intervalu.

Ako je f kontinuirana i nenegativna funkcija na određenom segmentu, a F je neki od njegovih antiderivata na tom segmentu, tada je površina krivuljastog trapeza S jednaka prirastu antiderivata na ovom segmentu.

Ovaj se teorem može napisati u sljedećoj formuli:

S = F(b) - F(a)

Integral funkcije f(x) od a do b bit će jednak S. Ovdje i dolje, da bismo označili definitivni integral neke funkcije f(x), s ograničenjima integracije od a do b, koristit ćemo sljedeću notaciju (a;b)∫f(x). Ispod je primjer kako bi to izgledalo.

Newton-Leibnizova formula

Dakle, možemo izjednačiti ova dva rezultata. Dobivamo: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), pod uvjetom da je F antiderivat za funkciju f na . Ova formula se zove Newton-Leibnizove formule. To će vrijediti za bilo koju kontinuiranu funkciju f na intervalu.

Za izračunavanje integrala koristi se Newton-Leibnizova formula. Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer 1: izračunaj integral. Pronađite antiderivat za integrand x 2 . Jedan od antiderivata bit će funkcija (x 3)/3.

Sada koristimo Newton-Leibnizovu formulu:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

Odgovor: (-1;2)∫x 2 dx = 3.

Primjer 2: izračunaj integral (0;pi)∫sin(x)dx.

Pronađite antiderivat za integrand sin(x). Jedan od antiderivata bit će funkcija -cos(x). Upotrijebimo Newton-Leibnizovu formulu:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.

Odgovor: (0;pi)∫sin(x)dx=2

Ponekad se, radi jednostavnosti i praktičnosti označavanja, prirast funkcije F na segmentu (F(b)-F(a)) zapisuje na sljedeći način:

Koristeći ovu notaciju za inkrement, Newton-Leibnizova formula može se prepisati na sljedeći način:

Kao što je gore navedeno, ovo je samo skraćenica za jednostavnost snimanja, ni na što drugo ova snimka ne utječe. Ova oznaka i formula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) bit će ekvivalentni.

Pregled:

Da biste koristili pregled prezentacija, stvorite sebi račun ( račun) Google i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Sastavni. Newton-Leibnizova formula. sastavljač: nastavnik matematike GOUNPO PU br. 27 str. Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna

Svrha sata: Upoznati pojam integrala i njegovo izračunavanje pomoću Newton-Leibnizove formule, koristeći poznavanje antiderivata i pravila za njegovo izračunavanje; Ilustrirati praktičnu primjenu integrala primjerima pronalaženja površine krivuljastog trapeza; Učvrstite ono što ste naučili kroz vježbe.

Definicija: Neka Dana pozitivna funkcija f(x) definiran na konačnom intervalu [ a;b ] . Integral funkcije f(x) na [a;b] je površina njenog krivolinijskog trapeza. y=f(x) b a 0 x y

Oznaka:  “integral od a do b ef od x de x”

Referenca za povijest: Leibniz je oznaku za integral izveo iz prvog slova riječi "Summa" (Summa). Newton u svojim djelima nije ponudio alternativni simbolizam integrala, iako je pokušao razne opcije. Termin integral skovao je Jacob Bernoulli. Summa Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli

Oznaku za neodređeni integral uveo je Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonhard Euler Fourier izumio je formulaciju određenog integrala u obliku na koji smo navikli.

Newton - Leibnizova formula

Primjer 1. Izračunajte određeni integral: = Rješenje:

Primjer 2. Izračunaj određene integrale: 5 9 1

Primjer 3 . S y x Izračunajte površinu lika omeđenu linijama i x-osi. Početi pronaći točke presjek osi x s grafom funkcije. Da bismo to učinili, riješit ćemo jednadžbu. = Rješenje: S =

y x S A B D C Primjer 4. Izračunajte površinu lika omeđenog linijama i pronađite točke presjeka (apscise) ovih pravaca rješavanjem jednadžbe S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 - 4,5 = 4,5

PRAVILA SINQWINE 1 red - tema syncwine 1 riječ 2 red - 2 pridjeva koji opisuju značajke i svojstva teme 3 red - 3 glagola koji opisuju prirodu radnje 4 red - kratka ponuda od 4 riječi, pokazujući vaš osobni stav prema temi 5 red - 1 riječ, sinonim ili vašu povezanost s temom predmeta.

Integral 2. Definitivno, pozitivno Brojanje, zbrajanje, množenje 4. Izračunavanje po Newton-Leibnizovoj formuli 5. Površina

Popis korištene literature: udžbenik Kolmagorov A.N. i dr. Algebra i početak analize 10 - 11 ćelija.

Hvala na pažnji! "TALENT je 99% rada i 1% sposobnosti" narodna mudrost

Primjer 1. Izračunajte određeni integral: = Rješenje: primjer 4

Pregled:

Predmet: matematika (algebra i početak analize), razred: 11.r.

Tema lekcije: "Sastavni. Newton-Leibnizova formula.

Vrsta lekcije: Učenje novog gradiva.

Trajanje lekcije: 45 minuta.

Ciljevi lekcije: upoznati pojam integrala i njegovo izračunavanje pomoću Newton-Leibnizove formule, koristeći poznavanje antiderivata i pravila za njegovo izračunavanje; ilustrirati praktičnu primjenu integrala na primjerima pronalaženja površine krivuljastog trapeza; učvrstite ono što ste naučili tijekom vježbi.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

1. formirati pojam integrala;
2. formiranje vještina za izračunavanje određenog integrala;
3. formiranje vještina praktična aplikacija integral za pronalaženje površine krivolinijskog trapeza.

Razvijanje:

1. razvoj kognitivni interes učenike, razvijati matematički govor, sposobnost promatranja, uspoređivanja, zaključivanja;
2. razviti interes za predmet uz pomoć ICT-a.

Obrazovni:

1. pojačati interes za stjecanje novih znanja, formiranje točnosti i točnosti u proračunu integrala i izvođenju crteža.

Oprema: PC, operacijski sustav Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007 program: power point, Microsoft Word; multimedijski projektor, platno.

Književnost: udžbenik Kolmagorova A.N. i dr. Algebra i početak analize 10-11 stanica.

Tehnologije: ICT, individualni trening.

TIJEKOM NASTAVE

Pregled:

Referentni sažetak na temu „Integral. Newton-Leibnizova formula.

Rješenje primijenjenih zadataka svodi se na izračun integrala, ali to nije uvijek moguće učiniti točno. Ponekad je potrebno znati vrijednost određenog integrala s određenim stupnjem točnosti, na primjer, do tisućinke.

Postoje zadaci kada bi bilo potrebno pronaći približnu vrijednost određenog integrala sa traženom točnošću, tada se koristi numerička integracija poput Simposnove metode, trapeza, pravokutnika. Ne dopuštaju nam svi slučajevi da ga izračunamo s određenom točnošću.

Ovaj članak razmatra primjenu Newton-Leibnizove formule. To je potrebno za točan izračun određenog integrala. Bit će dano detaljni primjeri, razmatramo promjenu varijable u određenom integralu i nalazimo vrijednosti određenog integrala pri integraciji po dijelovima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Newton-Leibnizova formula

Kada je funkcija y = y (x) kontinuirana iz segmenta [ a ; b ] , a F (x) je jedan od antiderivativne funkcije onda ovaj odjeljak Newton-Leibnizova formula smatra poštenim. Zapišimo to ovako ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Ova formula smatrati osnovna formula integralnog računa.

Za dokazivanje ove formule potrebno je koristiti koncept integrala s gornjom granicom raspoložive varijable.

Kada je funkcija y = f (x) kontinuirana iz segmenta [ a ; b], tada vrijednost argumenta x ∈ a; b , a integral ima oblik ∫ a x f (t) d t i smatra se funkcijom Gornja granica. Potrebno je prihvatiti da će oznaka funkcije poprimiti oblik ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , kontinuirana je, a nejednakost oblika ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) vrijedi za to.

Utvrdili smo da prirast funkcije Φ (x) odgovara prirastu argumenta ∆ x , potrebno je koristiti peto glavno svojstvo određenog integrala i dobiti

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

gdje je vrijednost c ∈ x ; x + ∆x .

Jednakost fiksiramo u obliku Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Po definiciji derivacije funkcije potrebno je prijeći na granicu kao ∆ x → 0, tada dobivamo formulu oblika koja se nalazi na [ a ; b ] Inače se izraz može napisati

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , gdje je vrijednost C konstantna.

Izračunajmo F (a) koristeći prvo svojstvo određenog integrala. Onda to dobivamo

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , dakle C = F (a) . Rezultat je primjenjiv pri izračunu F (b) i dobivamo:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , drugim riječima, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Jednakost dokazuje Newton-Leibnizovu formulu ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Prirast funkcije uzima se kao F x a b = F (b) - F (a) . Uz pomoć notacije, Newton-Leibnizova formula postaje ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Za primjenu formule potrebno je poznavati jedan od antiderivata y = F (x) integranda y = f (x) iz segmenta [ a ; b ] , izračunajte prirast antiderivata iz ovog segmenta. Razmotrimo nekoliko primjera izračuna pomoću Newton-Leibnizove formule.

Primjer 1

Izračunajte određeni integral ∫ 1 3 x 2 d x koristeći Newton-Leibnizovu formulu.

Odluka

Smatramo da je integrand oblika y = x 2 kontinuiran iz intervala [ 1 ; 3 ] , tada je i integrabilno na ovom intervalu. Prema tablici neodređeni integrali vidimo da funkcija y \u003d x 2 ima skup antiderivata za sve realne vrijednosti x, što znači da je x ∈ 1; 3 će biti zapisano kao F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Potrebno je uzeti antiderivat s C = 0, tada dobivamo da je F (x) = x 3 3.

Upotrijebimo Newton-Leibnizovu formulu i shvatimo da će izračun određenog integrala imati oblik ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Odgovor:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Primjer 2

Izračunajte određeni integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x pomoću Newton-Leibnizove formule.

Odluka

Zadana funkcija je kontinuirana iz segmenta [-1; 2 ], što znači da je na njemu integrabilna. Potrebno je pronaći vrijednost neodređenog integrala ∫ x e x 2 + 1 d x metodom zbrajanja pod predznakom diferencijala, tada se dobiva ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.

Stoga imamo skup antiderivata funkcije y = x · e x 2 + 1, koji vrijede za sve x, x ∈ - 1; 2.

Potrebno je uzeti antiderivat na C = 0 i primijeniti Newton-Leibnizovu formulu. Tada dobivamo izraz forme

∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Odgovor:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Primjer 3

Izračunajte integrale ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x i ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Odluka

Segment - 4; - 1 2 kaže da je funkcija pod predznakom integrala kontinuirana, što znači da je integrabilna. Odavde nalazimo skup antiderivata funkcije y = 4 x 3 + 2 x 2 . Shvaćamo to

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Potrebno je uzeti antiderivat F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, a zatim, primjenom Newton-Leibnizove formule, dobivamo integral koji izračunavamo:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Vršimo prijelaz na izračun drugog integrala.

Iz segmenta [ - 1 ; 1 ] imamo da se integrand smatra neograničenim, jer lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , onda slijedi da potrebno stanje integrabilnost iz segmenta. Tada F (x) = 2 x 2 - 2 x nije antiderivat za y = 4 x 3 + 2 x 2 iz intervala [ - 1 ; 1 ] , budući da točka O pripada segmentu, ali nije uključena u domenu definicije. To znači da postoji određeni Riemannov i Newton-Leibnizov integral za funkciju y = 4 x 3 + 2 x 2 iz intervala [ - 1 ; jedan ] .

Odgovor: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, postoji određeni Riemannov i Newton-Leibnizov integral za funkciju y = 4 x 3 + 2 x 2 iz intervala [ - 1 ; jedan ] .

Prije korištenja Newton-Leibnizove formule, morate točno znati o postojanju određenog integrala.

Promjena varijable u određenom integralu

Kada je funkcija y = f (x) definirana i kontinuirana iz segmenta [ a ; b], zatim postojeći skup [a; b ] se smatra rasponom funkcije x = g (z) definirane na intervalu α ; β s postojećom kontinuiranom derivacijom, gdje je g (α) = a i g β = b , stoga dobivamo da je ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Ova formula se koristi kada je potrebno izračunati integral ∫ a b f (x) d x , gdje neodređeni integral ima oblik ∫ f (x) d x , izračunavamo metodom supstitucije.

Primjer 4

Izračunajte određeni integral oblika ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Odluka

Integrand se smatra kontinuiranim na intervalu integracije, što znači da određeni integral postoji. Zabilježimo da je 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Vrijednost x = 9 znači da je z = 2 9 - 9 = 9 = 3, a za x = 18 dobivamo da je z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, zatim g α u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Zamjenom dobivenih vrijednosti u formulu ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, dobivamo da

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Prema tablici neodređenih integrala imamo da jedan od antiderivata funkcije 2 z 2 + 9 poprima vrijednost 2 3 a r c t g z 3 . Zatim, primjenom Newton-Leibnizove formule, dobivamo to

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 π1 = π3 π1

Nalaz se može izvesti bez upotrebe formule ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Ako metoda zamjene koristi integral oblika ∫ 1 x 2 x - 9 d x , tada možemo doći do rezultata ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Odavde ćemo izvršiti izračune koristeći Newton-Leibniz formulu i izračunati definitivni integral. Shvaćamo to

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a 3 π 2 π 2 π \u003d π 18

Rezultati su se poklopili.

Odgovor: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integracija po dijelovima u proračunu određenog integrala

Ako je na segmentu [ a ; b ] funkcije u (x) i v (x) su definirane i kontinuirane, tada su njihove derivacije prvog reda v " (x) u (x) integrabilne, pa iz ovog intervala za integrabilnu funkciju u " (x) v ( x) istinita je jednakost ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x.

Tada se može koristiti formula, potrebno je izračunati integral ∫ a b f (x) d x , a ∫ f (x) d x ga je bilo potrebno pronaći integracijom po dijelovima.

Primjer 5

Izračunajte određeni integral ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Odluka

Funkcija x sin x 3 + π 6 je integrabilna na segmentu - π 2; 3 π 2 , pa je kontinuirano.

Neka je u (x) \u003d x, zatim d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x, i d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x, i v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Iz formule ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x dobivamo da

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Rješenje primjera može se izvesti i na drugi način.

Pronađite skup antiderivata funkcije x sin x 3 + π 6 integracijom po dijelovima koristeći Newton-Leibnizovu formulu:

∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Odgovor: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter