Premier niveau

Équations exponentielles. Guide complet (2019)

Bonjour! Aujourd'hui, nous allons discuter avec vous de la manière de résoudre des équations qui peuvent être soit élémentaires (et j'espère qu'après avoir lu cet article, elles le seront presque toutes pour vous), soit celles qui sont habituellement données « à remplir ». Apparemment pour enfin s'endormir. Mais je vais essayer de faire tout mon possible pour que vous n’ayez plus de problèmes face à ce type d’équations. Je ne tournerai plus autour du pot, mais je l'ouvrirai tout de suite petit secret: aujourd'hui nous allons étudier équations exponentielles.

Avant de passer à l’analyse des moyens de les résoudre, je vais immédiatement vous présenter une série de questions (assez réduites) que vous devriez répéter avant de vous précipiter pour aborder ce sujet. Alors, pour obtenir meilleur résultat, S'il te plaît, répéter:

1. Propriétés et
2. Solution et équations

Répété? Incroyable! Il ne vous sera alors pas difficile de remarquer que la racine de l'équation est un nombre. Comprenez-vous exactement comment j'ai fait ? Est-ce vrai? Alors continuons. Maintenant, répondez à ma question : qu'est-ce qui est égal à la puissance trois ? Vous avez absolument raison: . Quelle puissance de deux fait huit ? C'est vrai - le troisième ! Parce que. Eh bien, essayons maintenant de résoudre le problème suivant : permettez-moi de multiplier le nombre par lui-même une fois et d'obtenir le résultat. La question est : combien de fois ai-je multiplié par moi-même ? Vous pouvez bien sûr vérifier cela directement :

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( aligner)

Ensuite, vous pouvez conclure que j'ai multiplié par moi-même. Sinon, comment pouvez-vous vérifier cela ? Voici comment procéder : directement par définition de diplôme : . Mais, vous devez l'admettre, si je vous demandais combien de fois deux doit être multiplié par lui-même pour obtenir, disons, vous me diriez : je ne me tromperai pas et je ne multiplierai pas par lui-même jusqu'à ce que je sois bleu au visage. Et il aurait tout à fait raison. Parce que comment peux-tu notez brièvement toutes les étapes(et la brièveté est la sœur du talent)

où - ce sont les mêmes "fois", quand vous multipliez par lui-même.

Je pense que vous savez (et si vous ne savez pas, répétez les diplômes de toute urgence, très urgence !) qu'alors mon problème s'écrira sous la forme :

Comment pouvez-vous raisonnablement conclure que :

Alors, inaperçu, j'ai noté le plus simple équation exponentielle :

Et je l'ai même trouvé racine. Ne pensez-vous pas que tout est complètement trivial ? Je pense exactement la même chose. Voici un autre exemple pour vous :

Mais que faire? Après tout, cela ne peut pas être écrit comme une puissance d’un nombre (raisonnable). Ne désespérons pas et notons que ces deux nombres s’expriment parfaitement par la puissance du même nombre. Lequel? Droite: . Ensuite, l'équation d'origine est transformée sous la forme :

Où, comme vous l'avez déjà compris, . Ne tardons plus et écrivons-le définition:

Dans notre cas: .

Ces équations sont résolues en les réduisant à la forme :

suivi de la résolution de l'équation

En fait, nous avons fait cela dans l’exemple précédent : nous avons obtenu ce qui suit : Et nous avons résolu l'équation la plus simple.

Cela ne semble rien de compliqué, non ? Pratiquons d'abord les plus simples exemples:

Nous voyons encore une fois que les côtés droit et gauche de l’équation doivent être représentés comme des puissances d’un nombre. Certes, à gauche cela a déjà été fait, mais à droite il y a un numéro. Mais ce n’est pas grave, car mon équation se transformera miraculeusement en ceci :

Que devais-je utiliser ici ? Quelle règle ? Règle des « degrés dans les degrés » qui dit :

Et si:

Avant de répondre à cette question, remplissons le tableau suivant :

Il nous est facile de remarquer que moins il y en a, plus moins de valeur, mais néanmoins, toutes ces valeurs sont supérieures à zéro. ET IL EN EST TOUJOURS TOUJOURS !!! La même propriété est vraie POUR TOUTE BASE AVEC TOUT INDICATEUR !! (pour tout et). Alors que pouvons-nous conclure sur l’équation ? Voici ce que c'est : c'est n'a pas de racines! Comme toute équation n’a pas de racines. Maintenant, pratiquons et Résolvons des exemples simples :

Allons vérifier:

1. Ici, rien ne vous sera demandé si ce n'est la connaissance des propriétés des diplômes (que d'ailleurs je vous ai demandé de répéter !) En règle générale, tout mène à la plus petite base : , . Alors l’équation originale sera équivalente à la suivante : Tout ce dont j’ai besoin est d’utiliser les propriétés des puissances : Lors de la multiplication de nombres avec les mêmes bases, les puissances sont ajoutées et lors de la division, elles sont soustraites. J'obtiendrai alors : Eh bien, maintenant, en toute conscience, je vais passer de l'équation exponentielle à l'équation linéaire : \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\fin(aligner)

2. Dans le deuxième exemple, nous devons être plus prudents : le problème est que sur le côté gauche, nous ne pouvons pas représenter le même nombre comme une puissance. Dans ce cas il est parfois utile représenter les nombres comme un produit de puissances avec pour des raisons différentes, mais avec les mêmes indicateurs :

Le côté gauche de l’équation ressemblera à : Qu’est-ce que cela nous a donné ? Voici quoi : Les nombres avec des bases différentes mais les mêmes exposants peuvent être multipliés.Dans ce cas, les bases sont multipliées, mais l'indicateur ne change pas :

Dans ma situation, cela donnera :

\begin(aligner)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\fin(aligner)

Pas mal, non ?

3. Je n’aime pas quand, inutilement, j’ai deux termes d’un côté de l’équation et aucun de l’autre (parfois, bien sûr, cela est justifié, mais ce n’est plus le cas maintenant). Je vais déplacer le terme moins vers la droite :

Maintenant, comme avant, j’écrirai tout en termes de puissances de trois :

J'ajoute les degrés à gauche et j'obtiens une équation équivalente

Vous pouvez facilement trouver sa racine :

4. Comme dans le troisième exemple, le terme moins a sa place à droite !

A ma gauche, presque tout va bien, sauf quoi ? Oui, le « mauvais degré » des deux me dérange. Mais je peux facilement résoudre ce problème en écrivant : . Eurêka - à gauche toutes les bases sont différentes, mais tous les degrés sont les mêmes ! Multiplions-nous immédiatement !

Là encore, tout est clair : (si vous ne comprenez pas comment j'ai obtenu comme par magie la dernière égalité, faites une pause d'une minute, respirez et relisez très attentivement les propriétés du degré. Qui a dit qu'on pouvait sauter une degré avec un exposant négatif ? Eh bien, ici, je suis à peu près la même chose que personne). Maintenant j'obtiendrai :

\begin(aligner)
& ((2)^(4\gauche((x) -9 \droite)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\fin(aligner)

Voici quelques problèmes à mettre en pratique, dont je ne donnerai que les réponses (mais sous une forme « mixte »). Résolvez-les, vérifiez-les, et vous et moi continuerons nos recherches !

Prêt? Réponses comme ceux-ci :

1. n'importe quel chiffre

D'accord, d'accord, je plaisantais ! Voici quelques esquisses de solutions (certaines très brèves !)

Ne pensez-vous pas que ce n'est pas une coïncidence si une fraction à gauche est l'autre « inversée » ? Ce serait un péché de ne pas en profiter :

Cette règle est très souvent utilisée pour résoudre équations exponentielles, souviens-toi bien !

Alors l’équation originale deviendra comme ceci :

En résolvant cette équation quadratique, vous obtiendrez les racines suivantes :

2. Autre solution : diviser les deux côtés de l'équation par l'expression de gauche (ou de droite). Je divise par ce qui est à droite, j'obtiens :

Où (pourquoi ?!)

3. Je n’ai même pas envie de me répéter, tout a déjà été tellement « mâché ».

4. équivalent équation quadratique, racines

5. Vous devez utiliser la formule donnée dans le premier problème, vous obtiendrez alors cela :

L’équation s’est transformée en une identité triviale qui est vraie pour tous. Alors la réponse est n’importe quel nombre réel.

Eh bien, maintenant vous avez pratiqué la résolution équations exponentielles simples. Maintenant, je veux vous en donner quelques-uns exemples de vie, ce qui vous aidera à comprendre pourquoi ils sont en principe nécessaires. Ici, je vais donner deux exemples. L’un d’eux est assez quotidien, mais l’autre est plus susceptible d’avoir un intérêt scientifique que pratique.

Exemple 1 (mercantile) Laissez-vous avoir des roubles, mais vous voulez les transformer en roubles. La banque vous propose de retirer cet argent à un taux annuel avec capitalisation mensuelle des intérêts (cumul mensuel). La question est : pendant combien de mois faut-il ouvrir un dépôt pour atteindre le montant final requis ? Une tâche assez banale, n'est-ce pas ? Néanmoins, sa solution est associée à la construction de l'équation exponentielle correspondante : Soit la somme initiale, - le montant final, - taux d'intérêt de la période, - nombre de périodes. Alors:

Dans notre cas (si le tarif est annuel, alors il est calculé mensuellement). Pourquoi est-il divisé par ? Si vous ne connaissez pas la réponse à cette question, souvenez-vous du sujet « » ! On obtient alors cette équation :

Cette équation exponentielle ne peut être résolue qu'à l'aide d'une calculatrice (son apparence fait allusion à cela, et cela nécessite une connaissance des logarithmes, dont nous ferons connaissance un peu plus tard), ce que je ferai : ... Ainsi, pour recevoir un million, nous devrons effectuer un dépôt pour un mois ( pas très vite, non ?).

Exemple 2 (plutôt scientifique). Malgré son certain « isolement », je vous recommande de faire attention à lui : il « se glisse régulièrement à l'examen d'État unifié !! (le problème est tiré de la version « réelle ») Lors de la désintégration d'un isotope radioactif, sa masse diminue selon la loi, où (mg) est la masse initiale de l'isotope, (min.) est le temps écoulé depuis la le moment initial, (min.) est la demi-vie. Au moment initial, la masse de l'isotope est de mg. Sa demi-vie est min. Au bout de combien de minutes la masse de l'isotope sera-t-elle égale à mg ? Ce n'est pas grave : on prend et substitue simplement toutes les données dans la formule qui nous est proposée :

Divisons les deux parties par, "dans l'espoir" qu'à gauche nous obtenions quelque chose de digeste :

Eh bien, nous avons beaucoup de chance ! C’est à gauche, alors passons à l’équation équivalente :

Où est min.

Comme vous pouvez le constater, les équations exponentielles ont complètement application réelle sur la pratique. Maintenant, je veux vous montrer une autre façon (simple) de résoudre des équations exponentielles, qui consiste à retirer le facteur commun des parenthèses, puis à regrouper les termes. N'ayez pas peur de mes propos, vous avez déjà découvert cette méthode en 7e lorsque vous étudiiez les polynômes. Par exemple, si vous deviez factoriser l'expression :

Regroupons : les premier et troisième termes, ainsi que les deuxième et quatrième. Il est clair que le premier et le troisième sont la différence des carrés :

et le deuxième et le quatrième ont un facteur commun de trois :

Alors l’expression originale est équivalente à ceci :

Où dériver le facteur commun n’est plus difficile :

Ainsi,

C'est à peu près ce que nous ferons lors de la résolution d'équations exponentielles : rechercher le « point commun » entre les termes et le retirer des parenthèses, et ensuite - quoi qu'il arrive, je crois que nous aurons de la chance =)) Par exemple :

A droite c'est loin d'être une puissance de sept (j'ai vérifié !) Et à gauche - c'est un peu mieux, on peut bien sûr "couper" le facteur a du deuxième à partir du premier terme, puis traiter avec ce que tu as, mais soyons plus prudents avec toi. Je ne veux pas m'occuper des fractions qui se forment inévitablement lors de la "sélection", alors ne devrais-je pas plutôt les supprimer ? Alors je n'aurai pas de fractions : comme on dit, les loups sont nourris et les moutons sont en sécurité :

Calculez l'expression entre parenthèses. Comme par magie, comme par magie, il s'avère que cela (étonnamment, mais à quoi d'autre devrions-nous nous attendre ?).

Ensuite, nous réduisons les deux côtés de l’équation de ce facteur. On obtient : , de.

Voici un exemple plus compliqué (un peu, en fait) :

Quel problème! Nous n'avons pas de terrain d'entente ici ! On ne sait pas vraiment quoi faire maintenant. Faisons ce que nous pouvons : d’abord, déplaçons les « quatre » d’un côté et les « cinq » de l’autre :

Supprimons maintenant le « général » à gauche et à droite :

Et maintenant ? Quel est l’intérêt d’un groupe aussi stupide ? À première vue, cela n'est pas visible du tout, mais regardons plus en profondeur :

Eh bien, maintenant nous allons nous assurer qu'à gauche nous n'avons que l'expression c, et à droite - tout le reste. Comment faisons-nous cela? Voici comment procéder : divisez d'abord les deux côtés de l'équation par (pour éliminer l'exposant de droite), puis divisez les deux côtés par (pour éliminer le facteur numérique à gauche). Finalement on obtient :

Incroyable! A gauche nous avons une expression, et à droite nous avons une expression simple. On conclut alors immédiatement que

Voici un autre exemple à renforcer :

Je vais donner sa solution brève (sans m'embêter avec des explications), essayez de comprendre vous-même toutes les « subtilités » de la solution.

Passons maintenant à la consolidation finale du matériel couvert. Essayez de résoudre vous-même les problèmes suivants. Je vais juste donner de brèves recommandations et conseils pour les résoudre :

1. Retirons le facteur commun entre parenthèses : Où :
2. Présentons la première expression sous la forme : , divisez les deux côtés par et obtenez cela
3. , puis l'équation d'origine est transformée sous la forme : Eh bien, maintenant un indice : cherchez où vous et moi avons déjà résolu cette équation !
4. Imaginez comment, comment, ah, eh bien, puis divisez les deux côtés par, pour obtenir l'équation exponentielle la plus simple.
5. Sortez-le des parenthèses.
6. Sortez-le des parenthèses.

ÉQUATIONS EXPONENTAIRES. NIVEAU MOYEN

Je suppose qu'après avoir lu le premier article, qui parlait de que sont les équations exponentielles et comment les résoudre, tu as maîtrisé le minimum nécessaire connaissances nécessaires pour résoudre des exemples simples.

Je vais maintenant examiner une autre méthode pour résoudre des équations exponentielles, c'est

« méthode d'introduction d'une nouvelle variable » (ou de remplacement). Il résout les problèmes les plus « difficiles » sur le thème des équations exponentielles (et pas seulement des équations). Cette méthode est l’une des plus fréquemment utilisées en pratique. Tout d'abord, je vous recommande de vous familiariser avec le sujet.

Comme vous l'avez déjà compris d'après son nom, l'essence de cette méthode est d'introduire un tel changement de variable que votre équation exponentielle se transformera miraculeusement en une équation que vous pourrez facilement résoudre. Il ne vous reste plus qu'à faire un « remplacement inversé » après avoir résolu cette « équation très simplifiée » : c'est-à-dire le retour du remplacé au remplacé. Illustrons ce que nous venons de dire avec un exemple très simple :

Exemple 1:

Cette équation est résolue à l’aide d’une « simple substitution », comme l’appellent de manière désobligeante les mathématiciens. En fait, le remplacement ici est le plus évident. Il suffit de voir ça

L’équation originale se transformera alors en ceci :

Si nous imaginons également comment, alors il est absolument clair ce qui doit être remplacé : bien sûr, . Que devient alors l’équation originale ? Voici quoi :

Vous pouvez facilement retrouver ses racines par vous-même : . Que devons-nous faire maintenant? Il est temps de revenir à la variable d'origine. Qu'est-ce que j'ai oublié de mentionner ? A savoir : lors du remplacement d'un certain degré par une nouvelle variable (c'est-à-dire lors du remplacement d'un type), je m'intéresserai à que des racines positives ! Vous pouvez facilement répondre vous-même pourquoi. Ainsi, vous et moi ne sommes pas intéressés, mais la deuxième racine nous convient tout à fait :

Alors d'où.

Répondre:

Comme vous pouvez le voir, dans l’exemple précédent, un remplaçant demandait simplement nos mains. Malheureusement, ce n'est pas toujours le cas. Cependant, n’allons pas directement aux choses tristes, mais pratiquons avec un autre exemple avec un remplacement assez simple.

Exemple 2.

Il est clair que nous devrons très probablement effectuer un remplacement (c'est la plus petite des puissances incluses dans notre équation), mais avant d'introduire un remplacement, notre équation doit y être « préparée », à savoir : , . Ensuite, vous pouvez remplacer, j'obtiens ainsi l'expression suivante :

Oh, horreur : une équation cubique avec des formules absolument terribles pour sa solution (enfin, en termes généraux). Mais ne désespérons pas tout de suite, mais réfléchissons à ce que nous devrions faire. Je suggère de tricher : nous savons que pour obtenir une « belle » réponse, nous devons l'obtenir sous la forme d'une puissance de trois (pourquoi, hein ?). Essayons de deviner au moins une racine de notre équation (je vais commencer par deviner avec des puissances de trois).

Première supposition. Pas une racine. Hélas et ah...

.
Le côté gauche est égal.
Partie droite : !
Manger! J'ai deviné la première racine. Désormais, les choses vont devenir plus faciles !

Connaissez-vous le système de division en « coin » ? Bien sûr que c’est le cas, vous l’utilisez lorsque vous divisez un nombre par un autre. Mais peu de gens savent qu’on peut faire la même chose avec les polynômes. Il existe un théorème merveilleux :

S'appliquant à ma situation, cela me dit qu'il est divisible sans reste par. Comment s’effectue la division ? C'est comme ça:

Je regarde par quel monôme je dois multiplier pour obtenir Clearly, puis :

Je soustrais l'expression résultante, j'obtiens :

Maintenant, par quoi dois-je multiplier pour obtenir ? Il est clair que sur, alors j'obtiendrai :

et soustrayez à nouveau l'expression résultante de l'expression restante :

Eh bien, la dernière étape consiste à multiplier par et à soustraire de l'expression restante :

Hourra, la division est terminée ! Qu’avons-nous accumulé en privé ? Par lui-même: .

Nous obtenons alors le développement suivant du polynôme original :

Résolvons la deuxième équation :

Il a des racines :

Alors l'équation originale :

a trois racines :

Nous écarterons bien entendu la dernière racine, puisqu’elle est inférieure à zéro. Et les deux premiers après remplacement inverse nous donneront deux racines :

Répondre: ..

Je ne voulais pas du tout vous effrayer avec cet exemple ; mon but était plutôt de montrer que même si nous avions un remplacement assez simple, il conduisait néanmoins à des résultats assez simples. équation complexe, dont la solution a nécessité de notre part des compétences particulières. Eh bien, personne n’est à l’abri de cela. Mais le remplacement dans dans ce casétait assez évident.

Voici un exemple avec un remplacement légèrement moins évident :

Ce que nous devons faire n’est pas du tout clair : le problème est que dans notre équation il y a deux bases différentes et qu’une base ne peut pas être obtenue à partir de l’autre en l’élevant à une puissance (raisonnable, naturellement). Cependant, que voit-on ? Les deux bases ne diffèrent que par le signe, et leur produit est la différence des carrés égal à un :

Définition:

Ainsi, les nombres qui sont les bases dans notre exemple sont conjugués.

Dans ce cas, la démarche intelligente serait multipliez les deux côtés de l’équation par le nombre conjugué.

Par exemple, le côté gauche de l'équation deviendra égal à et le côté droit. Si nous effectuons une substitution, alors notre équation originale deviendra comme ceci :

ses racines, alors, et en nous souvenant de cela, nous comprenons cela.

Répondre: , .

En règle générale, la méthode de remplacement est suffisante pour résoudre la plupart des équations exponentielles « scolaires ». Les tâches suivantes sont tirées de l'examen d'État unifié C1 ( niveau augmenté des difficultés). Vous êtes déjà suffisamment instruit pour résoudre ces exemples par vous-même. Je ne donnerai que le remplacement requis.

1. Résous l'équation:
2. Trouvez les racines de l'équation :
3. Résous l'équation: . Trouvez toutes les racines de cette équation qui appartiennent au segment :

Et maintenant quelques brèves explications et réponses :

1. Ici, il nous suffit de constater que... L'équation d'origine sera alors équivalente à ceci : Cette équation peut être résolue en remplaçant Faites vous-même les autres calculs. Au final, votre tâche se résumera à résoudre des problèmes trigonométriques simples (en fonction du sinus ou du cosinus). Nous examinerons des solutions à des exemples similaires dans d’autres sections.
2. Ici, vous pouvez même vous passer de substitution : déplacez simplement le sous-trahend vers la droite et représentez les deux bases par des puissances de deux : , puis passez directement à l'équation quadratique.
3. La troisième équation est également résolue de manière assez classique : imaginons comment. Ensuite, en remplaçant, on obtient une équation quadratique : alors,

   Vous savez déjà ce qu'est un logarithme, n'est-ce pas ? Non? Alors lisez le sujet de toute urgence !

   La première racine n’appartient évidemment pas au segment, mais la seconde n’est pas claire ! Mais nous le saurons très bientôt ! Puisque donc (c’est une propriété du logarithme !) comparons :

   Soustrayons des deux côtés, on obtient alors :

   Côté gauche peut être représenté comme suit :

   multiplier les deux côtés par :

   peut être multiplié par, alors

   Comparez ensuite :

   depuis lors:

   Alors la deuxième racine appartient à l'intervalle requis

   Répondre:

Comme tu vois, la sélection des racines des équations exponentielles nécessite suffisamment connaissance approfondie propriétés des logarithmes, je vous conseille donc d'être aussi prudent que possible lors de la résolution d'équations exponentielles. Vous l’aurez compris, en mathématiques, tout est lié ! Comme le disait mon professeur de mathématiques : « les mathématiques, comme l’histoire, ne peuvent pas être lues du jour au lendemain ».

En règle générale, tout La difficulté de résoudre les problèmes C1 réside précisément dans la sélection des racines de l’équation. Pratiquons avec un autre exemple :

Il est clair que l’équation elle-même est résolue tout simplement. En effectuant une substitution, nous réduisons notre équation originale à la suivante :

Regardons d'abord la première racine. Comparons et : depuis, alors. (propriété fonction logarithmique, à). Il est alors clair que la racine première n’appartient pas à notre intervalle. Maintenant la deuxième racine : . Il est clair que (puisque la fonction at est croissante). Reste à comparer et...

depuis, en même temps. De cette façon, je peux « enfoncer une cheville » entre le et. Cette cheville est un nombre. La première expression est inférieure et la seconde est plus grande. Alors la deuxième expression est supérieure à la première et la racine appartient à l’intervalle.

Répondre: .

Enfin, regardons un autre exemple d'équation où la substitution est assez non standard :

Commençons tout de suite par ce qui peut être fait et ce qui, en principe, peut être fait, mais il vaut mieux ne pas le faire. Vous pouvez tout imaginer grâce aux puissances de trois, deux et six. Où cela mène-t-il ? Cela ne mènera à rien : un fouillis de diplômes dont certains seront bien difficiles à se débarrasser. Que faut-il alors ? Notons que a Et qu'est-ce que cela nous donne ? Et le fait qu’on puisse réduire la solution de cet exemple à la solution d’une équation exponentielle assez simple ! Tout d’abord, réécrivons notre équation comme suit :

Divisons maintenant les deux côtés de l'équation résultante par :

Eurêka ! Maintenant on peut remplacer, on obtient :

Eh bien, maintenant c'est à votre tour de résoudre des problèmes exemplaires, et je ne leur donnerai que brefs commentaires pour ne pas vous égarer ! Bonne chance!

1. Le plus difficile ! C'est tellement difficile de voir un remplaçant ici ! Néanmoins, cet exemple peut être complètement résolu en utilisant mettre en évidence un carré complet. Pour le résoudre, il suffit de noter que :

Alors voici votre remplaçant :

(Veuillez noter qu'ici, lors de notre remplacement, nous ne pouvons pas éliminer la racine négative !!! Pourquoi en pensez-vous ?)

Maintenant, pour résoudre l’exemple, il vous suffit de résoudre deux équations :

Les deux sont résolus " remplacement standard"(mais le deuxième dans un exemple !)

2. Notez-le et effectuez un remplacement.

3. Décomposez le nombre en facteurs premiers entre eux et simplifiez l'expression résultante.

4. Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par (ou, si vous préférez) et effectuez la substitution ou.

5. Notez que les nombres et sont conjugués.

ÉQUATIONS EXPONENTAIRES. NIVEAU AVANCÉ

De plus, regardons une autre manière - résoudre des équations exponentielles à l'aide de la méthode du logarithme. Je ne peux pas dire que la résolution d’équations exponentielles à l’aide de cette méthode soit très populaire, mais dans certains cas seulement, cela peut nous amener à la bonne décision notre équation. Il est particulièrement souvent utilisé pour résoudre ce qu'on appelle « équations mixtes" : c'est-à-dire ceux où se produisent des fonctions de différents types.

Par exemple, une équation de la forme :

dans le cas général, il ne peut être résolu qu'en prenant des logarithmes des deux côtés (par exemple, à la base), dans lesquels l'équation originale se transformera en ce qui suit :

Regardons l'exemple suivant :

Il est clair que seule l'ODZ de la fonction logarithmique nous intéresse. Cependant, cela découle non seulement de l'ODZ du logarithme, mais aussi d'une autre raison. Je pense qu’il ne vous sera pas difficile de deviner de quoi il s’agit.

Prenons le logarithme des deux côtés de notre équation à la base :

Comme vous pouvez le constater, prendre le logarithme de notre équation originale nous a rapidement conduit à la bonne (et belle !) réponse. Pratiquons avec un autre exemple :

Il n’y a rien de mal ici non plus : prenons le logarithme des deux côtés de l’équation à la base, nous obtenons alors :

Faisons un remplacement :

Cependant, nous avons raté quelque chose ! Avez-vous remarqué où j'ai fait une erreur ? Après tout, alors :

ce qui ne satisfait pas à l’exigence (pensez à d’où cela vient !)

Répondre:

Essayez d'écrire la solution des équations exponentielles ci-dessous :

Comparez maintenant votre décision avec ceci :

1. Logarithmonons les deux côtés à la base, en tenant compte de ce qui suit :

(la deuxième racine ne nous convient pas en raison du remplacement)

2. Logarithme à la base :

Transformons l'expression résultante sous la forme suivante :

ÉQUATIONS EXPONENTAIRES. BRÈVE DESCRIPTION ET FORMULES DE BASE

Équation exponentielle

Équation de la forme :

appelé l'équation exponentielle la plus simple.

Propriétés des diplômes

Approches de solution

• Réduction sur la même base
• Réduction au même exposant
• Remplacement variable
• Simplifier l'expression et appliquer l'une des solutions ci-dessus.

Équations exponentielles. Comme vous le savez, l'examen d'État unifié comprend équations simples. Nous en avons déjà envisagé quelques-uns - ceux-ci sont logarithmiques, trigonométriques, rationnels. Voici les équations exponentielles.

Dans un article récent nous avons travaillé avec des expressions exponentielles, cela nous sera utile. Les équations elles-mêmes sont résolues simplement et rapidement. Il vous suffit de connaître les propriétés des exposants et... À propos de çaPlus loin.

Listons les propriétés des exposants :

La puissance zéro de n’importe quel nombre est égale à un.

Un corollaire de cette propriété :

Un peu plus de théorie.

Une équation exponentielle est une équation contenant une variable dans l'exposant, c'est-à-dire une équation de la forme :

F(X) expression qui contient une variable

Méthodes de résolution d'équations exponentielles

1. Grâce aux transformations, l'équation peut être réduite à la forme :

Ensuite on applique la propriété :

2. Après avoir obtenu une équation de la forme un F (X) = b en utilisant la définition du logarithme, on obtient :

3. Grâce aux transformations, vous pouvez obtenir une équation de la forme :

Logarithme appliqué :

Exprimez et trouvez x.

Dans les tâches Options d'examen d'État unifié Il suffira d'utiliser la première méthode.

Autrement dit, il est nécessaire de représenter les côtés gauche et droit sous la forme de pouvoirs dotés de la même base, puis nous égalisons les exposants et résolvons l'équation linéaire habituelle.

Considérons les équations :

Trouvez la racine de l'équation 4 1–2x = 64.

Il faut s’assurer que les côtés gauche et droit contiennent des expressions exponentielles de même base. On peut représenter 64 par 4 puissance 3. On obtient :

4 1–2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Examen:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Réponse 1

Trouver la racine de l'équation 3 x–18 = 1/9.

Il est connu que

Donc 3 x-18 = 3 -2

Les bases sont égales, on peut assimiler les indicateurs :

x – 18 = – 2

x = 16

Examen:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Réponse : 16

Trouvez la racine de l'équation :

Représentons la fraction 1/64 comme un quart à la puissance trois :

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Examen:

Réponse : 11

Trouvez la racine de l'équation :

Imaginons 1/3 comme 3 –1 et 9 comme 3 au carré, nous obtenons :

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

Nous pouvons maintenant assimiler les indicateurs :

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Examen:

Réponse : 5

26654. Trouvez la racine de l'équation :

Solution:

Réponse : 8h75

En effet, quelle que soit la puissance à laquelle on élève un nombre positif a, on ne peut pas obtenir un nombre négatif.

Toute équation exponentielle après transformations appropriées est réduite à la résolution d'une ou plusieurs équations simples.Dans cette section, nous examinerons également la résolution de quelques équations, ne la manquez pas !C'est tout. Bonne chance à toi!

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Exemples:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Comment résoudre des équations exponentielles

Lors de la résolution d'une équation exponentielle, nous nous efforçons de l'amener à la forme \(a^(f(x))=a^(g(x))\), puis effectuons la transition vers l'égalité des exposants, c'est-à-dire :

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Par exemple:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Important! De la même logique découlent deux exigences pour une telle transition :
- numéro dans la gauche et la droite devraient être identiques ;
- les degrés à gauche et à droite doivent être « purs », c'est-à-dire qu'il ne devrait y avoir aucune multiplication, division, etc.

Par exemple:

Pour réduire l'équation à la forme \(a^(f(x))=a^(g(x))\) et sont utilisés.

Exemple . Résolvez l'équation exponentielle \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Solution:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Nous savons que \(27 = 3^3\). En tenant compte de cela, nous transformons l'équation.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Par la propriété de la racine \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) on obtient que \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Ensuite, en utilisant la propriété de degré \((a^b)^c=a^(bc)\), nous obtenons \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Nous savons également que \(a^b·a^c=a^(b+c)\). En appliquant cela au côté gauche, nous obtenons : \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Rappelez-vous maintenant que : \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Cette formule peut également être utilisée dans verso: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Alors \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		En appliquant la propriété \((a^b)^c=a^(bc)\) au côté droit, on obtient : \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Et maintenant nos bases sont égales et il n'y a pas de coefficients interférents, etc. Nous pouvons donc faire la transition.
		Exemple . Résolvez l'équation exponentielle \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Solution: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Nous utilisons à nouveau la propriété de puissance \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) dans la direction opposée. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Rappelez-vous maintenant que \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) En utilisant les propriétés des degrés, on transforme : \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Nous examinons attentivement l'équation et voyons que le remplacement \(t=2^x\) se suggère. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Cependant, nous avons trouvé les valeurs de \(t\), et nous avons besoin de \(x\). Nous revenons aux X en effectuant un remplacement inversé. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformons la deuxième équation en utilisant la propriété de puissance négative... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...et nous décidons jusqu'à la réponse. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Répondre : \(-1; 1\). La question demeure : comment comprendre quand utiliser quelle méthode ? Cela vient avec l’expérience. Jusqu'à ce que vous l'obteniez, utilisez-le recommandation générale pour des solutions tâches complexes- "Si vous ne savez pas quoi faire, faites ce que vous pouvez." Autrement dit, cherchez comment vous pouvez transformer l'équation en principe et essayez de le faire - et si que se passait-il ? L'essentiel est de n'effectuer que des transformations basées sur des mathématiques. Équations exponentielles sans solutions Examinons deux autres situations qui déroutent souvent les étudiants : - un nombre positif à la puissance est égal à zéro, par exemple \(2^x=0\) ; - un nombre positif à la puissance est égal à nombre négatif, par exemple, \(2^x=-4\). Essayons de résoudre par force brute. Si x est un nombre positif, alors à mesure que x grandit, la puissance totale \(2^x\) ne fera qu'augmenter : \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Aussi par. Il reste des X négatifs. En nous souvenant de la propriété \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), on vérifie : \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Même si le nombre diminue à chaque pas, il n'atteindra jamais zéro. Le degré négatif ne nous a donc pas sauvé. Nous arrivons à une conclusion logique : Un nombre positif, dans quelque mesure que ce soit, restera un nombre positif. Ainsi, les deux équations ci-dessus n’ont pas de solutions. Équations exponentielles avec différentes bases En pratique, on rencontre parfois des équations exponentielles avec des bases différentes, non réductibles les unes aux autres, et en même temps avec les mêmes exposants. Ils ressemblent à ceci : \(a^(f(x))=b^(f(x))\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres positifs. Par exemple: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) De telles équations peuvent facilement être résolues en divisant par l'un des côtés de l'équation (généralement divisé par le côté droit, c'est-à-dire par \(b^(f(x))\). Vous pouvez diviser de cette façon car un nombre positif est positif à toute puissance (c’est-à-dire que nous ne divisons pas par zéro). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Exemple . Résolvez l'équation exponentielle \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Solution: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Ici, nous ne pourrons pas transformer un cinq en trois, ou vice versa (du moins sans utiliser ). Cela signifie que nous ne pouvons pas arriver à la forme \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Cependant, les indicateurs sont les mêmes. Divisons l'équation par le côté droit, c'est-à-dire par \(3^(x+7)\) (nous pouvons le faire car nous savons que trois ne sera nullement nul). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Rappelez-vous maintenant la propriété \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) et utilisez-la à gauche dans la direction opposée. A droite, on réduit simplement la fraction. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Il semblerait que les choses ne se soient pas améliorées. Mais rappelez-vous une autre propriété de la puissance : \(a^0=1\), en d'autres termes : "tout nombre à la puissance zéro est égal à \(1\)." L’inverse est également vrai : « un peut être représenté par n’importe quel nombre à la puissance zéro ». Profitons-en en faisant en sorte que la base de droite soit la même que celle de gauche. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voilà ! Débarrassons-nous des bases. Nous écrivons une réponse. Répondre : \(-7\). Parfois, la « similitude » des exposants n’est pas évidente, mais une utilisation habile des propriétés des exposants résout ce problème. Exemple . Résolvez l'équation exponentielle \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Solution: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) L'équation s'annonce bien triste... Non seulement les motifs ne peuvent être réduits à le même numéro(sept ne sera en aucun cas égal à \(\frac(1)(3)\)), donc les exposants sont également différents... Cependant, utilisons deux dans l'exposant de la puissance gauche. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) En nous souvenant de la propriété \((a^b)^c=a^(b·c)\) , nous transformons depuis la gauche : \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Maintenant, en nous souvenant de la propriété de degré négatif \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), nous transformons depuis la droite : \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Alléluia! Les indicateurs sont les mêmes ! En agissant selon le schéma qui nous est déjà familier, nous résolvons avant la réponse. Répondre : \(2\).

Conférence : « Méthodes de résolution d'équations exponentielles. »

1 . Équations exponentielles.

Les équations contenant des inconnues dans les exposants sont appelées équations exponentielles. La plus simple d'entre elles est l'équation ax = b, où a > 0, a ≠ 1.

1) En b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 fonction exponentielle, n'a pas de solution.

2) Pour b > 0, en utilisant la monotonie de la fonction et le théorème racine, l'équation a une racine unique. Pour le trouver, b doit être représenté sous la forme b = aс, аx = bс ó x = c ou x = logab.

Équations exponentielles par transformations algébriques conduisent à des équations standards, qui sont résolues à l’aide des méthodes suivantes :

1) méthode de réduction à une base ;

2) méthode d'évaluation ;

3) méthode graphique ;

4) méthode d'introduction de nouvelles variables ;

5) méthode de factorisation ;

6) exponentielle – équations de puissance ;

7) démonstratif avec un paramètre.

2 . Méthode de réduction à une base.

La méthode est basée sur propriété suivante degrés : si deux degrés sont égaux et que leurs bases sont égales, alors leurs exposants sont égaux, c'est-à-dire qu'il faut essayer de réduire l'équation à la forme

Exemples. Résous l'équation:

1 . 3x = 81 ;

Représentons le côté droit de l'équation sous la forme 81 = 34 et écrivons l'équation équivalente à l'original 3 x = 34 ; x = 4. Réponse : 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">et passons à l'équation des exposants 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4 ; x = 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Notez que les nombres 0,2, 0,04, √5 et 25 représentent des puissances de 5. Profitons-en et transformons l'équation originale comme suit :

, d'où 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, d'où on trouve la solution x = -1. Réponse 1.

5. 3x = 5. Par définition du logarithme x = log35. Réponse : log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Réécrivons l'équation sous la forme 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, c'est-à-dire.png" width="181" height="49 src="> D'où x – 4 =0, x = 4. Réponse : 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. En utilisant les propriétés des puissances, on écrit l'équation sous la forme 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 puis 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, c'est-à-dire x+1 = 2, x =1. Réponse 1.

Banque à problèmes n°1.

Résous l'équation:

Essai n°1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) pas de racines
	1) 7;1 2) pas de racines 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Essai n°2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) pas de racines 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Méthode d'évaluation.

Théorème racine: si la fonction f(x) augmente (diminue) sur l'intervalle I, le nombre a est n'importe quelle valeur prise par f sur cet intervalle, alors l'équation f(x) = a a une racine unique sur l'intervalle I.

Lors de la résolution d'équations à l'aide de la méthode d'estimation, ce théorème et les propriétés de monotonie de la fonction sont utilisés.

Exemples. Résoudre des équations : 1. 4x = 5 – x.

Solution. Réécrivons l'équation comme 4x +x = 5.

1. si x = 1, alors 41+1 = 5, 5 = 5 est vrai, ce qui signifie que 1 est la racine de l'équation.

Fonction f(x) = 4x – augmente sur R, et g(x) = x – augmente sur R => h(x)= f(x)+g(x) augmente sur R, comme somme des fonctions croissantes, alors x = 1 est la seule racine de l'équation 4x = 5 – x. Réponse 1.

2.

Solution. Réécrivons l'équation sous la forme .

1. si x = -1, alors , 3 = 3 est vrai, ce qui signifie que x = -1 est la racine de l'équation.

2. prouver qu'il est le seul.

3. Fonction f(x) = - diminue sur R, et g(x) = - x – diminue sur R=> h(x) = f(x)+g(x) – diminue sur R, comme la somme de fonctions décroissantes. Cela signifie que, selon le théorème racine, x = -1 est la seule racine de l'équation. Réponse 1.

Banque à problèmes n°2. Résous l'équation

une) 4x + 1 =6 – x ;

b)

c) 2x – 2 =1 – x ;

4. Méthode d'introduction de nouvelles variables.

La méthode est décrite au paragraphe 2.1. L'introduction d'une nouvelle variable (substitution) s'effectue généralement après transformations (simplification) des termes de l'équation. Regardons des exemples.

Exemples. R. Résous l'équation: 1. .

Réécrivons l'équation différemment : https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> c'est-à-dire.png" width="210" height = "45">

Solution. Réécrivons l'équation différemment :

Désignons https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ne convient pas.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - équation irrationnelle. On remarque que

La solution de l’équation est x = 2,5 ≤ 4, ce qui signifie que 2,5 est la racine de l’équation. Réponse : 2.5.

Solution. Réécrivons l'équation sous la forme et divisons les deux côtés par 56x+6 ≠ 0. Nous obtenons l'équation

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Les racines de l'équation quadratique sont t1 = 1 et t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solution . Réécrivons l'équation sous la forme

et notons qu'il s'agit d'une équation homogène du deuxième degré.

Divisez l'équation par 42x, nous obtenons

Remplaçons https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Réponse : 0 ; 0,5.

Banque à problèmes n°3. Résous l'équation

b)

G)

Essai n°3 avec un choix de réponses. Niveau minimum.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) pas de racines 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) pas de racines 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Essai n°4 avec un choix de réponses. Niveau général.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) pas de racines

5. Méthode de factorisation.

1. Résolvez l'équation : 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , d'où

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solution. Mettons 6x entre parenthèses sur le côté gauche de l'équation et 2x sur le côté droit. Nous obtenons l'équation 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ou 6x = 2x.

Puisque 2x >0 pour tout x, nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par 2x sans craindre de perdre des solutions. Nous obtenons 3x = 1ó x = 0.

3.

Solution. Résolvons l'équation en utilisant la méthode de factorisation.

Sélectionnons le carré du binôme

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 est la racine de l'équation.

Équation x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Essai n°6 Niveau général.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponentielle – équations de puissance.

À côté des équations exponentielles se trouvent les équations dites de puissance exponentielle, c'est-à-dire les équations de la forme (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Si l'on sait que f(x)>0 et f(x) ≠ 1, alors l'équation, comme l'équation exponentielle, est résolue en égalisant les exposants g(x) = f(x).

Si la condition n'exclut pas la possibilité de f(x)=0 et f(x)=1, alors nous devons considérer ces cas lors de la résolution d'une équation exponentielle.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Solution. x2 +2x-8 – a du sens pour tout x, car c'est un polynôme, ce qui signifie que l'équation est équivalente à la totalité

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Équations exponentielles avec paramètres.

1. Pour quelles valeurs du paramètre p l'équation 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) a-t-elle une solution unique ?

Solution. Introduisons le remplacement 2x = t, t > 0, alors l'équation (1) prendra la forme t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminant de l'équation (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

L'équation (1) a une solution unique si l'équation (2) a une racine positive. Ceci est possible dans les cas suivants.

1. Si D = 0, c'est-à-dire p = 1, alors l'équation (2) prendra la forme t2 – 2t + 1 = 0, donc t = 1, donc l'équation (1) a une solution unique x = 0.

2. Si p1, alors 9(p – 1)2 > 0, alors l'équation (2) a deux racines différentes t1 = p, t2 = 4p – 3. Les conditions du problème sont satisfaites par un ensemble de systèmes

En substituant t1 et t2 dans les systèmes, nous avons

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solution. Laisser alors l'équation (3) prendra la forme t2 – 6t – a = 0. (4)

Trouvons les valeurs du paramètre a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (4) satisfait à la condition t > 0.

Introduisons la fonction f(t) = t2 – 6t – a. Les cas suivants sont possibles.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} trinôme quadratique f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Cas 2. L'équation (4) a une solution positive unique si

D = 0, si a = – 9, alors l'équation (4) prendra la forme (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Cas 3. L'équation (4) a deux racines, mais l'une d'elles ne satisfait pas l'inégalité t > 0. Ceci est possible si

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Ainsi, pour a 0, l’équation (4) a une seule racine positive . Alors l'équation (3) a une solution unique

Lorsqu'un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

si un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
si a = – 9, alors x = – 1 ;

si un  0, alors

Comparons les méthodes de résolution des équations (1) et (3). A noter que lors de la résolution de l'équation (1) on a réduit à une équation quadratique dont le discriminant est un carré parfait ; Ainsi, les racines de l'équation (2) ont été immédiatement calculées à l'aide de la formule des racines d'une équation quadratique, puis des conclusions ont été tirées concernant ces racines. L'équation (3) a été réduite à une équation quadratique (4), dont le discriminant n'est pas un carré parfait, donc lors de la résolution de l'équation (3), il est conseillé d'utiliser des théorèmes sur l'emplacement des racines d'un trinôme quadratique et un modèle graphique. Notez que l'équation (4) peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta.

Résolvons des équations plus complexes.

Problème 3 : Résoudre l’équation

Solution. ODZ : x1, x2.

Introduisons un remplacement. Soit 2x = t, t > 0, alors suite aux transformations l'équation prendra la forme t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Trouvons les valeurs de a pour lesquelles au moins une racine de l'équation (*) satisfait à la condition t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Réponse : si a > – 13, a  11, a  5, alors si a – 13,

a = 11, a = 5, alors il n'y a pas de racines.

Bibliographie.

1. Fondements Guzeev de la technologie éducative.

2. Technologie Guzeev : de la réception à la philosophie.

M. « Directeur d'école » n°4, 1996

3. Guzeev et formes d'organisation entraînement.

4. Guzeev et la pratique de la technologie éducative intégrale.

M. " Éducation publique", 2001

5. Guzeev à partir des formes d'une leçon - séminaire.

Mathématiques à l'école n°2, 1987 pp. 9 – 11.

6. Technologies éducatives Séleuko.

M. « Éducation publique », 1998

7. Les écoliers d'Episheva étudient les mathématiques.

M. "Lumières", 1990

8. Ivanova prépare des cours - des ateliers.

Mathématiques à l'école n°6, 1990 p. 37-40.

9. Le modèle d’enseignement des mathématiques de Smirnov.

Mathématiques à l'école n°1, 1997 p. 32 – 36.

10. Méthodes Tarasenko d'organiser les travaux pratiques.

Mathématiques à l'école n°1, 1993 p. 27 – 28.

11. À propos d'un des types de travail individuel.

Mathématiques à l'école n°2, 1994, pp. 63 – 64.

12. Khazankine Compétences créatives les écoliers.

Mathématiques à l'école n°2, 1989 p. dix.

13. Scanavi. Editeur, 1997

14. et autres. L'algèbre et les débuts de l'analyse. Matériel didactique Pour

15. Tâches de Krivonogov en mathématiques.

M. «Premier septembre», 2002

16. Tcherkassov. Manuel pour les lycéens et

entrer dans les universités. «A S T - école de presse», 2002

17. Zhevnyak pour ceux qui entrent à l'université.

« Revue » de Minsk et de la Fédération de Russie, 1996

18. Écrit D. Préparation à l'examen de mathématiques. M. Rolf, 1999

19. etc. Apprendre à résoudre des équations et des inégalités.

M. "Intellect - Centre", 2003

20. etc. Matériel pédagogique et de formation pour la préparation à l'EGE.

M. "Renseignement - Centre", 2003 et 2004.

21 et autres. Centre d'essais du ministère de la Défense de la Fédération de Russie, 2002, 2003.

22. Équations de Goldberg. "Quantique" n°3, 1971

23. Volovich M. Comment réussir à enseigner les mathématiques.

Mathématiques, 1997 n°3.

24 Okunev pour la leçon, les enfants ! M. Éducation, 1988

25. Iakimanskaïa – apprentissage orientéÀ l'école.

26. Les Liimets travaillent en classe. M. Connaissance, 1975

Au stade de la préparation au test final, les lycéens doivent améliorer leurs connaissances sur le thème « Équations exponentielles ». L'expérience des années passées indique que de telles tâches posent certaines difficultés aux écoliers. Par conséquent, les lycéens, quel que soit leur niveau de préparation, doivent maîtriser parfaitement la théorie, mémoriser les formules et comprendre le principe de résolution de telles équations. Ayant appris à faire face à ce type de problème, les diplômés peuvent compter sur des scores élevés lors de la réussite de l'examen d'État unifié en mathématiques.

Préparez-vous pour les tests d'examen avec Shkolkovo !

En examinant les matières qu'ils ont couvertes, de nombreux étudiants sont confrontés au problème de trouver les formules nécessaires pour résoudre des équations. Un manuel scolaire n'est pas toujours à portée de main et la sélection des informations nécessaires sur un sujet sur Internet prend beaucoup de temps.

Le portail pédagogique Shkolkovo invite les étudiants à utiliser notre base de connaissances. Nous mettons en œuvre complètement nouvelle méthode préparation à l'examen final. En étudiant sur notre site Web, vous serez en mesure d'identifier les lacunes dans les connaissances et de prêter attention précisément aux tâches qui posent le plus de difficultés.

Les enseignants de Shkolkovo ont rassemblé, systématisé et présenté tout le nécessaire pour réussite Matériel d'examen d'État unifié sous la forme la plus simple et la plus accessible.

Les définitions et formules de base sont présentées dans la section « Contexte théorique ».

Pour mieux comprendre le matériel, nous vous recommandons de vous entraîner à réaliser les devoirs. Examinez attentivement les exemples d'équations exponentielles avec solutions présentés sur cette page pour comprendre l'algorithme de calcul. Après cela, procédez à l'exécution des tâches dans la section « Répertoires ». Vous pouvez commencer par les tâches les plus simples ou passer directement à la résolution d'équations exponentielles complexes à plusieurs inconnues ou . La base de données d'exercices sur notre site Internet est constamment complétée et mise à jour.

Les exemples avec des indicateurs qui vous ont posé des difficultés peuvent être ajoutés aux « Favoris ». De cette façon, vous pourrez les trouver rapidement et discuter de la solution avec votre professeur.

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