Escribe la ecuación del avión que pasa. Ecuación de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada

En este material, veremos cómo encontrar la ecuación de un plano si conocemos las coordenadas de tres puntos diferentes que no se encuentran en la misma línea recta. Para hacer esto, debemos recordar qué es un sistema de coordenadas rectangular en un espacio tridimensional. Para empezar, introduciremos el principio básico. ecuación dada y mostrarle exactamente cómo usarlo para resolver problemas específicos.

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Primero, debemos recordar un axioma que dice así:

Definición 1

Si tres puntos no coinciden entre sí y no se encuentran en la misma línea, entonces en el espacio tridimensional solo pasa un plano a través de ellos.

En otras palabras, si tenemos tres puntos diferentes cuyas coordenadas no coinciden y que no pueden estar conectados por una línea recta, entonces podemos determinar el plano que pasa por ellos.

Digamos que tenemos un sistema de coordenadas rectangular. Denotémoslo O x y z. Contiene tres puntos M con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), que no se pueden conectar línea recta. En base a estas condiciones, podemos escribir la ecuación del avión que necesitamos. Hay dos enfoques para resolver este problema.

1. El primer enfoque utiliza la ecuación del plano general. En forma de letra, se escribe como A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Con su ayuda, puede especificar en un sistema de coordenadas rectangular un cierto plano alfa que pasa por el primero Punto dado M1 (x1, y1, z1). Resulta que el vector normal del plano α tendrá coordenadas A, B, C.

Definición de norte

Conociendo las coordenadas del vector normal y las coordenadas del punto por el que pasa el avión, podemos escribir la ecuación general de este plano.

Esto es lo que partiremos en el futuro.

Así, según las condiciones del problema, tenemos las coordenadas del punto deseado (incluso tres) por el que pasa el avión. Para encontrar la ecuación, debes calcular las coordenadas de su vector normal. Denotémoslo n → .

Recordemos la regla: cualquier vector distinto de cero de un plano dado es perpendicular al vector normal del mismo plano. Entonces tenemos que n → será perpendicular a los vectores compuestos por los puntos originales M 1 M 2 → y M 1 M 3 → . Entonces podemos denotar n → como un producto vectorial de la forma M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Dado que M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) y M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (Las pruebas de estas igualdades se dan en el artículo dedicado al cálculo de las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de puntos), entonces resulta que:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Si calculamos el determinante, obtendremos las coordenadas del vector normal n → que necesitamos. Ahora podemos escribir la ecuación que necesitamos para un avión que pasa por tres puntos dados.

2. El segundo método para encontrar la ecuación que pasa por M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), se basa en un concepto como la coplanaridad de vectores.

Si tenemos un conjunto de puntos M (x, y, z), entonces en un sistema de coordenadas rectangulares definen un plano para los puntos dados M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3 ) sólo en el caso en que los vectores M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ), M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) y M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) serán coplanares .

En el diagrama se verá así:

Esto significará que trabajo mixto los vectores M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → serán iguales a cero: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0, ya que esta es la condición principal para la coplanaridad : M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) y M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Escribamos la ecuación resultante en forma de coordenadas:

Después de calcular el determinante, podemos obtener la ecuación plana que necesitamos para tres puntos que no se encuentran en la misma recta M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

De la ecuación resultante se puede pasar a la ecuación del plano en segmentos o a la ecuación normal del plano, si las condiciones del problema lo requieren.

En el siguiente párrafo daremos ejemplos de cómo se implementan en la práctica los enfoques que hemos indicado.

Ejemplos de problemas para componer una ecuación de un plano que pasa por 3 puntos.

Anteriormente, identificamos dos enfoques que se pueden utilizar para encontrar la ecuación deseada. Veamos cómo se utilizan para resolver problemas y cuándo debes elegir cada uno.

Ejemplo 1

Hay tres puntos que no se encuentran en la misma recta, con coordenadas M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Escribe una ecuación para el avión que pasa por ellos.

Solución

Usamos ambos métodos alternativamente.

1. Encuentra las coordenadas de los dos vectores que necesitamos M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Ahora calculemos su producto vectorial. No describiremos los cálculos del determinante:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Tenemos un vector normal del plano que pasa por los tres puntos requeridos: n → = (- 5, 30, 2) . A continuación, debemos tomar uno de los puntos, por ejemplo, M 1 (- 3, 2, - 1), y escribir la ecuación del plano con el vector n → = (- 5, 30, 2). Obtenemos que: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Esta es la ecuación que necesitamos para un avión que pasa por tres puntos.

2. Adoptemos un enfoque diferente. Escribamos la ecuación para un plano con tres puntos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) en la siguiente forma:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Aquí puede sustituir datos del enunciado del problema. Dado que x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, al final obtenemos:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Obtuvimos la ecuación que necesitábamos.

Respuesta:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Pero, ¿qué pasa si los puntos dados todavía se encuentran en la misma línea recta y necesitamos crear una ecuación plana para ellos? Aquí hay que decir de inmediato que esta condición no será del todo correcta. Por estos puntos puede pasar un número infinito de aviones, por lo que es imposible calcular una única respuesta. Consideremos tal problema para demostrar la incorrección de tal formulación de la pregunta.

Ejemplo 2

Tenemos un sistema de coordenadas rectangular en un espacio tridimensional, en el que se colocan tres puntos con coordenadas M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1 , 1). Es necesario escribir una ecuación para el avión que lo atraviesa.

Solución

Usemos el primer método y comencemos calculando las coordenadas de dos vectores M 1 M 2 → y M 1 M 3 →. Calculemos sus coordenadas: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

El producto cruzado será igual a:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Dado que M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, entonces nuestros vectores serán colineales (vuelve a leer el artículo sobre ellos si olvidaste la definición de este concepto). Así, los puntos iniciales M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) están en la misma recta, y nuestro problema tiene infinitos opciones de respuesta.

Si utilizamos el segundo método, obtendremos:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

De la igualdad resultante también se deduce que los puntos dados M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) están en la misma recta.

Si desea encontrar al menos una respuesta a este problema de número infinito sus opciones, debe realizar los siguientes pasos:

1. Escribe la ecuación de la recta M 1 M 2, M 1 M 3 o M 2 M 3 (si es necesario, mira el material sobre esta acción).

2. Tome un punto M 4 (x 4, y 4, z 4), que no se encuentra en la línea recta M 1 M 2.

3. Escribe la ecuación de un plano que pasa por tres puntos diferentes M 1, M 2 y M 4 que no se encuentran en la misma recta.

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Este artículo da una idea de cómo crear una ecuación para un plano que pasa por un punto determinado en el espacio tridimensional perpendicular a una línea determinada. Analicemos el algoritmo dado usando el ejemplo de resolución de problemas típicos.

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Encontrar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado en el espacio perpendicular a una línea dada

Sea en él un espacio tridimensional y un sistema de coordenadas rectangular O x y z. También se dan el punto M 1 (x 1, y 1, z 1), la línea a y el plano α que pasa por el punto M 1 perpendicular a la línea a. Es necesario anotar la ecuación del plano α.

Antes de comenzar a resolver este problema, recordemos el teorema de geometría del programa de estudios para los grados 10-11, que dice:

Definición 1

Por un punto dado en el espacio tridimensional pasa un solo plano perpendicular a una línea recta dada.

Ahora veamos cómo encontrar la ecuación de este único plano que pasa por el punto inicial y es perpendicular a la línea dada.

Es posible escribir la ecuación general de un plano si se conocen las coordenadas de un punto perteneciente a ese plano, así como las coordenadas del vector normal del plano.

Las condiciones del problema nos dan las coordenadas x 1, y 1, z 1 del punto M 1 por el que pasa el plano α. Si determinamos las coordenadas del vector normal del plano α, podremos escribir la ecuación requerida.

El vector normal del plano α, dado que es distinto de cero y se encuentra en la recta a, perpendicular al plano α, será cualquier vector director de la recta a. Así, el problema de encontrar las coordenadas del vector normal del plano α se transforma en el problema de determinar las coordenadas del vector director de la recta a.

Se pueden determinar las coordenadas del vector director de la recta a. diferentes metodos: depende de la opción de especificar la recta a en las condiciones iniciales. Por ejemplo, si la línea recta a en el enunciado del problema está dada por ecuaciones canónicas de la forma

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

o ecuaciones paramétricas de la forma:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

entonces el vector director de la recta tendrá coordenadas ax, ay y az. En el caso de que la línea recta a esté representada por dos puntos M 2 (x 2, y 2, z 2) y M 3 (x 3, y 3, z 3), las coordenadas del vector director se determinarán como ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Definición 2

Algoritmo para encontrar la ecuación de un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada:

Determinamos las coordenadas del vector director de la recta a: a → = (a x, a y, a z) ;

Definimos las coordenadas del vector normal del plano α como las coordenadas del vector director de la recta a:

norte → = (A, B, C), donde A = a x , B = a y , C = a z;

Escribimos la ecuación del plano que pasa por el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) y que tiene un vector normal. norte → = (A, B, C) en la forma A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Esta será la ecuación requerida de un plano que pasa por un punto dado en el espacio y es perpendicular a una línea dada.

La ecuación general resultante del avión es: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 permite obtener la ecuación del plano en segmentos o la ecuación normal del plano.

Resolvamos varios ejemplos usando el algoritmo obtenido anteriormente.

Ejemplo 1

Se da un punto M 1 (3, - 4, 5), por el cual pasa el avión, y este plano es perpendicular a la línea de coordenadas O z.

Solución

el vector de dirección de la línea de coordenadas O z será el vector de coordenadas k ⇀ = (0, 0, 1). Por tanto, el vector normal del plano tiene coordenadas (0, 0, 1). Escribamos la ecuación de un plano que pasa por un punto dado M 1 (3, - 4, 5), cuyo vector normal tiene coordenadas (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Respuesta: z – 5 = 0 .

Consideremos otra forma de resolver este problema:

Ejemplo 2

Un plano que es perpendicular a la recta Oz estará dado por una ecuación plana general incompleta de la forma C z + D = 0, C ≠ 0. Determinemos los valores de C y D: aquellos en los que el avión pasa por un punto determinado. Sustituimos las coordenadas de este punto en la ecuación C z + D = 0, obtenemos: C · 5 + D = 0. Aquellos. Los números C y D están relacionados por la relación - D C = 5. Tomando C = 1, obtenemos D = - 5.

Sustituyamos estos valores en la ecuación C z + D = 0 y obtengamos la ecuación requerida de un plano perpendicular a la recta O z y que pasa por el punto M 1 (3, - 4, 5).

Se verá así: z – 5 = 0.

Respuesta: z – 5 = 0 .

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para un plano que pasa por el origen y es perpendicular a la recta x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Solución

Con base en las condiciones del problema, se puede argumentar que el vector director de una línea recta dada puede tomarse como el vector normal n → de un plano dado. Así: n → = (- 3 , - 7 , 2 ) . Escribamos la ecuación de un plano que pasa por el punto O (0, 0, 0) y tiene un vector normal n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Hemos obtenido la ecuación requerida de un plano que pasa por el origen de coordenadas perpendicular a una recta dada.

Respuesta:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Ejemplo 4

Se da un sistema de coordenadas rectangular O x y z en un espacio tridimensional, en él hay dos puntos A (2, - 1, - 2) y B (3, - 2, 4). El plano α pasa por el punto A perpendicular a la recta A B. Es necesario crear una ecuación para el plano α en segmentos.

Solución

El plano α es perpendicular a la recta A B, entonces el vector A B → será el vector normal del plano α. Las coordenadas de este vector se definen como la diferencia entre las coordenadas correspondientes de los puntos B (3, - 2, 4) y A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1, - 1, 6)

La ecuación general del avión se escribirá de la siguiente manera:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Ahora compongamos la ecuación requerida del plano en segmentos:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Respuesta:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

También cabe señalar que existen problemas cuyo requisito es escribir una ecuación de un plano que pasa por un punto determinado y es perpendicular a dos planos determinados. En general, la solución a este problema es construir una ecuación para un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada, porque dos planos que se cruzan definen una línea recta.

Ejemplo 5

Se da un sistema de coordenadas rectangular O x y z, en él hay un punto M 1 (2, 0, - 5). También se dan las ecuaciones de dos planos 3 x + 2 y + 1 = 0 y x + 2 z – 1 = 0, que se cortan a lo largo de la recta a. Es necesario crear una ecuación para un plano que pasa por el punto M 1 perpendicular a la recta a.

Solución

Determinemos las coordenadas del vector director de la recta a. Es perpendicular tanto al vector normal n 1 → (3, 2, 0) del plano n → (1, 0, 2) como al vector normal 3 x + 2 y + 1 = 0 del x + 2 z - 1 = 0 avión.

Luego, como vector director α → línea a, tomamos el producto vectorial de los vectores n 1 → y n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Así, el vector n → = (4, - 6, - 2) será el vector normal del plano perpendicular a la recta a. Escribamos la ecuación requerida del avión:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Respuesta: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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Para que un solo plano pueda pasar por tres puntos cualesquiera en el espacio, es necesario que estos puntos no se encuentren en la misma línea recta.

Considere los puntos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) en el sistema de coordenadas cartesiano general.

Para que un punto arbitrario M(x, y, z) esté en el mismo plano que los puntos M 1, M 2, M 3, es necesario que los vectores sean coplanares.

(
) = 0

De este modo,

Ecuación de un plano que pasa por tres puntos:

Ecuación de un plano dados dos puntos y un vector colineal al plano.

Sean dados los puntos M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) y el vector
.

Creemos una ecuación para un plano que pasa por los puntos dados M 1 y M 2 y un punto arbitrario M (x, y, z) paralelo al vector. .

Vectores
y vector
debe ser coplanar, es decir

(
) = 0

Ecuación plana:

Ecuación de un plano usando un punto y dos vectores,

colineal al plano.

Sean dos vectores
Y
, planos colineales. Entonces, para un punto arbitrario M(x, y, z) perteneciente al plano, los vectores
debe ser coplanar.

Ecuación plana:

Ecuación de un plano por punto y vector normal. .

Teorema. Si se da un punto M en el espacio 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), entonces la ecuación del plano que pasa por el punto M 0 perpendicular al vector normal (A, B, C) tiene la forma:

A(X – X 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Prueba. Para un punto arbitrario M(x, y, z) perteneciente al plano, componemos un vector. Porque vector es el vector normal, entonces es perpendicular al plano y, por tanto, perpendicular al vector
. Entonces el producto escalar

= 0

Así, obtenemos la ecuación del plano.

El teorema está demostrado.

Ecuación de un plano en segmentos.

Si en la ecuación general Ax + Bi + Cz + D = 0 dividimos ambos lados por (-D)

,

reemplazando
, obtenemos la ecuación del plano en segmentos:

Los números a, b, c son los puntos de intersección del plano con los ejes x, y, z, respectivamente.

Ecuación de un plano en forma vectorial.

Dónde

- vector de radio del punto actual M(x, y, z),

Un vector unitario que tiene la dirección de una perpendicular que cae sobre un plano desde el origen.

,  y  son los ángulos que forma este vector con los ejes x, y, z.

p es la longitud de esta perpendicular.

En coordenadas, esta ecuación se ve así:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distancia desde un punto a un plano.

La distancia desde un punto arbitrario M 0 (x 0, y 0, z 0) al plano Ax+By+Cz+D=0 es:

Ejemplo. Encuentra la ecuación del plano, sabiendo que el punto P(4; -3; 12) es la base de la perpendicular que cae desde el origen a este plano.

Entonces A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, usamos la fórmula:

A(x-x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Ejemplo. Encuentre la ecuación de un plano que pasa por dos puntos P(2; 0; -1) y

Q(1; -1; 3) perpendicular al plano 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vector normal al plano 3x + 2y – z + 5 = 0
paralelo al plano deseado.

Obtenemos:

Ejemplo. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2, -1, 4) y

B(3, 2, -1) perpendicular al plano X + en + 2z – 3 = 0.

La ecuación requerida del avión tiene la forma: A X+B y+C z+ D = 0, vector normal a este plano (A B C). Vector
(1, 3, -5) pertenece al plano. El plano que nos dan, perpendicular al deseado, tiene un vector normal (1, 1, 2). Porque Los puntos A y B pertenecen a ambos planos, y los planos son mutuamente perpendiculares, entonces

Entonces el vector normal (11, -7, -2). Porque El punto A pertenece al plano deseado, entonces sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de este plano, es decir. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

En total obtenemos la ecuación del avión: 11 X - 7y – 2z – 21 = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación del plano, sabiendo que el punto P(4, -3, 12) es la base de la perpendicular que cae desde el origen a este plano.

Encontrar las coordenadas del vector normal.
= (4, -3, 12). La ecuación requerida del avión tiene la forma: 4 X – 3y + 12z+ D = 0. Para encontrar el coeficiente D, sustituimos las coordenadas del punto P en la ecuación:

16 + 9 + 144 + D = 0

En total, obtenemos la ecuación requerida: 4 X – 3y + 12z – 169 = 0

Ejemplo. Se dan las coordenadas de los vértices de la pirámide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Encuentra la longitud del borde A 1 A 2.

Encuentre el ángulo entre los bordes A 1 A 2 y A 1 A 4.

Encuentre el ángulo entre el borde A 1 A 4 y la cara A 1 A 2 A 3.

Primero encontramos el vector normal a la cara A 1 A 2 A 3 como producto cruzado de vectores
Y
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Encontremos el ángulo entre el vector normal y el vector.
.

-4 – 4 = -8.

El ángulo deseado  entre el vector y el plano será igual a  = 90 0 - .

Encuentra el área de la cara A 1 A 2 A 3.

Encuentra el volumen de la pirámide.

Encuentra la ecuación del plano A 1 A 2 A 3.

Usemos la fórmula para la ecuación de un plano que pasa por tres puntos.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Cuando se utiliza la versión para computadora “ curso superior de matematicas”Puedes ejecutar un programa que resolverá el ejemplo anterior para cualquier coordenada de los vértices de la pirámide.

Para iniciar el programa, haga doble clic en el icono:

En la ventana del programa que se abre, ingrese las coordenadas de los vértices de la pirámide y presione Enter. De esta forma, se pueden obtener todos los puntos de decisión uno por uno.

Nota: Para ejecutar el programa, debe estar instalado en su computadora el programa Maple ( Waterloo Maple Inc.) de cualquier versión, comenzando con MapleV Release 4.

13.Ángulo entre planos, distancia de un punto a un plano.

Sean los planos α y β que se cruzan a lo largo de una línea recta c.
El ángulo entre planos es el ángulo entre perpendiculares a la línea de su intersección trazada en estos planos.

En otras palabras, en el plano α trazamos una recta a perpendicular a c. En el plano β - la recta b, también perpendicular a c. Ángulo entre los planos α y β igual al ángulo entre las líneas a y b.

Tenga en cuenta que cuando dos planos se cruzan, en realidad se forman cuatro ángulos. ¿Los ves en la foto? Como el ángulo entre los planos que tomamos. picante esquina.

Si el ángulo entre los planos es de 90 grados, entonces los planos perpendicular,

Esta es la definición de perpendicularidad de los planos. Al resolver problemas de estereometría, también utilizamos signo de perpendicularidad de planos:

Si el plano α pasa por la perpendicular al plano β, entonces los planos α y β son perpendiculares..

distancia de un punto a un plano

Consideremos el punto T, definido por sus coordenadas:

T = (x 0, y 0, z 0)

Consideremos también el plano α, dado por la ecuación:

Hacha + Por + Cz + D = 0

Entonces la distancia L desde el punto T al plano α se puede calcular mediante la fórmula:

En otras palabras, sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación del plano y luego dividimos esta ecuación por la longitud del vector normal n al plano:

El número resultante es la distancia. Veamos cómo funciona este teorema en la práctica.

Ya hemos derivado las ecuaciones paramétricas de una línea recta en un plano, obtengamos las ecuaciones paramétricas de una línea recta, que se define en un sistema de coordenadas rectangular en un espacio tridimensional.

Dejemos que un sistema de coordenadas rectangular se fije en un espacio tridimensional. Oxyz. Definamos una línea recta en ella. a(ver la sección sobre métodos para definir una línea en el espacio), indicando el vector dirección de la línea y las coordenadas de algún punto de la recta . Partiremos de estos datos a la hora de elaborar ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio.

Sea un punto arbitrario en el espacio tridimensional. Si restamos de las coordenadas del punto METRO coordenadas del punto correspondiente m 1, luego obtendremos las coordenadas del vector (ver el artículo encontrar las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de los puntos de su final y comienzo), es decir, .

Obviamente, el conjunto de puntos define una recta. A si y sólo si los vectores y son colineales.

Anotemos la condición necesaria y suficiente para la colinealidad de vectores. Y : , donde hay algún número real. La ecuación resultante se llama ecuación vectorial-paramétrica de la recta en un sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio tridimensional. La ecuación vectorial-paramétrica de una línea recta en forma de coordenadas tiene la forma y representa ecuaciones paramétricas de la recta a. El nombre "paramétrico" no es casual, ya que las coordenadas de todos los puntos de la línea se especifican mediante el parámetro.

Pongamos un ejemplo de ecuaciones paramétricas de una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular. Oxyz en el espacio: . Aquí

15.Ángulo entre una recta y un plano. El punto de intersección de una recta con un plano.

Cada ecuación de primer grado con respecto a las coordenadas. x, y, z

Hacha + Por + Cz +D = 0 (3.1)

define un plano, y viceversa: cualquier plano puede representarse mediante la ecuación (3.1), que se llama ecuación plana.

Vector norte(A, B, C) ortogonal al plano se llama vector normal avión. En la ecuación (3.1), los coeficientes A, B, C no son iguales a 0 al mismo tiempo.

Casos especiales de la ecuación (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - el avión pasa por el origen.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - el plano es paralelo al eje Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - el avión pasa por el eje Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - el plano es paralelo al plano Oyz.

Ecuaciones de planos coordenados: x = 0, y = 0, z = 0.

Se puede especificar una línea recta en el espacio:

1) como línea de intersección de dos planos, es decir sistema de ecuaciones:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) por sus dos puntos M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2), entonces la recta que pasa por ellos viene dada por las ecuaciones:

3) el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) que le pertenece y el vector a(m, n, p), colineal con él. Entonces la línea recta está determinada por las ecuaciones:

. (3.4)

Las ecuaciones (3.4) se llaman ecuaciones canónicas de la recta.

Vector a llamado vector de dirección recta.

Obtenemos ecuaciones paramétricas de la recta igualando cada una de las relaciones (3.4) al parámetro t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Sistema de resolución (3.2) como sistema ecuaciones lineales relativamente desconocido X Y y, llegamos a las ecuaciones de la recta en proyecciones o para dadas las ecuaciones de la recta:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

De las ecuaciones (3.6) podemos pasar a las ecuaciones canónicas, encontrando z de cada ecuación e igualando los valores resultantes:

.

De las ecuaciones generales (3.2) se puede pasar a las canónicas de otra forma, si se encuentra algún punto en esta recta y su vector director norte= [norte 1 , norte 2 ], donde norte 1 (A 1, B 1, C 1) y norte 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - vectores normales de planos dados. Si uno de los denominadores metro, norte o R en las ecuaciones (3.4) resulta ser igual a cero, entonces el numerador de la fracción correspondiente debe establecerse igual a cero, es decir sistema

es equivalente al sistema ; dicha línea recta es perpendicular al eje Ox.

Sistema es equivalente al sistema x = x 1, y = y 1; la línea recta es paralela al eje Oz.

Ejemplo 1.15. Escribe una ecuación para el plano, sabiendo que el punto A(1,-1,3) sirve como base de una perpendicular trazada desde el origen hasta este plano.

Solución. Según las condiciones del problema, el vector OA(1,-1,3) es un vector normal del plano, entonces su ecuación se puede escribir como
x-y+3z+D=0. Sustituyendo las coordenadas del punto A(1,-1,3) perteneciente al plano, encontramos D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Entonces x-y+3z-11=0.

Ejemplo 1.16. Escribe una ecuación para un avión que pasa por el eje Oz y forma un ángulo de 60 grados con el plano 2x+y-z-7=0.

Solución. El plano que pasa por el eje Oz viene dado por la ecuación Ax+By=0, donde A y B no desaparecen simultáneamente. Que B no
es igual a 0, A/Bx+y=0. Usando la fórmula del coseno para el ángulo entre dos planos

.

decidir ecuación cuadrática 3m 2 + 8m - 3 = 0, encuentra sus raíces
m 1 = 1/3, m 2 = -3, de donde obtenemos dos planos 1/3x+y = 0 y -3x+y = 0.

Ejemplo 1.17. Componga las ecuaciones canónicas de la recta:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Solución. Las ecuaciones canónicas de la recta tienen la forma:

Dónde m, n, p- coordenadas del vector director de la línea recta, x1, y1, z1- coordenadas de cualquier punto perteneciente a una línea. Una línea recta se define como la línea de intersección de dos planos. Para encontrar un punto perteneciente a una recta, se fija una de las coordenadas (la forma más sencilla es establecer, por ejemplo, x=0) y el sistema resultante se resuelve como un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Entonces, sea x=0, entonces y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, por lo tanto y=-1, z=1. Encontramos las coordenadas del punto M(x 1, y 1, z 1) perteneciente a esta recta: M (0,-1,1). El vector director de una recta es fácil de encontrar, conociendo los vectores normales de los planos originales. norte 1 (5,1,1) y norte 2 (2,3,-2). Entonces

Las ecuaciones canónicas de la recta tienen la forma: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Ejemplo 1.18. En la viga definida por los planos 2x-y+5z-3=0 y x+y+2z+1=0, encuentre dos planos perpendiculares, uno de los cuales pasa por el punto M(1,0,1).

Solución. La ecuación de la viga definida por estos planos tiene la forma u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, donde u y v no desaparecen simultáneamente. Reescribamos la ecuación de la viga de la siguiente manera:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Para seleccionar un plano de la viga que pasa por el punto M, sustituimos las coordenadas del punto M en la ecuación de la viga. Obtenemos:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, o v = - u.

Luego encontramos la ecuación del plano que contiene M sustituyendo v = - u en la ecuación de la viga:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Porque u¹0 (de lo contrario v=0, y esto contradice la definición de viga), entonces tenemos la ecuación del plano x-2y+3z-4=0. El segundo plano perteneciente a la viga debe ser perpendicular a ella. Anotemos la condición para la ortogonalidad de los planos:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, o v = - 19/5u.

Esto significa que la ecuación del segundo plano tiene la forma:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 o 9x +24y + 13z + 34 = 0

Supongamos que necesitamos encontrar la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados que no se encuentran en la misma recta. Denotando sus vectores de radio por y el vector de radio actual por , podemos obtener fácilmente la ecuación requerida en forma vectorial. De hecho, los vectores deben ser coplanares (todos se encuentran en el plano deseado). Por tanto, el producto vectorial-escalar de estos vectores debe ser igual a cero:

Ésta es la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados, en forma vectorial.

Pasando a las coordenadas, obtenemos la ecuación en coordenadas:

Si tres puntos dados estuvieran en la misma recta, entonces los vectores serían colineales. Por lo tanto, los elementos correspondientes de las dos últimas líneas del determinante en la ecuación (18) serían proporcionales y el determinante sería idénticamente igual a cero. En consecuencia, la ecuación (18) sería idéntica para cualquier valor de x, y y z. Geométricamente, esto significa que por cada punto del espacio pasa un plano en el que se encuentran los tres puntos dados.

Observación 1. El mismo problema se puede resolver sin utilizar vectores.

Denotando las coordenadas de los tres puntos dados, respectivamente, escribimos la ecuación de cualquier plano que pase por el primer punto:

Para obtener la ecuación del plano deseado, es necesario exigir que la ecuación (17) sea satisfecha por las coordenadas de otros dos puntos:

A partir de las ecuaciones (19), es necesario determinar la relación entre dos coeficientes y el tercero e ingresar los valores encontrados en la ecuación (17).

Ejemplo 1. Escribe una ecuación para un plano que pasa por los puntos.

La ecuación del avión que pasa por el primero de estos puntos será:

Las condiciones para que el avión (17) pase por otros dos puntos y por el primer punto son:

Sumando la segunda ecuación a la primera encontramos:

Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos:

Sustituyendo en la ecuación (17) en lugar de A, B, C, respectivamente, 1, 5, -4 (números proporcionales a ellos), obtenemos:

Ejemplo 2. Escribe una ecuación para un plano que pasa por los puntos (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

La ecuación de cualquier plano que pase por el punto (0, 0, 0) será]

Las condiciones para el paso de este avión por los puntos (1, 1, 1) y (2, 2, 2) son:

Reduciendo la segunda ecuación a 2, vemos que para determinar dos incógnitas, existe una ecuación con

De aquí obtenemos. Ahora sustituyendo el valor del plano en la ecuación, encontramos:

Esta es la ecuación del plano deseado; depende de lo arbitrario

cantidades B, C (es decir, de la relación, es decir, hay un número infinito de planos que pasan por tres puntos dados (tres puntos dados se encuentran en la misma línea recta).

Observación 2. El problema de dibujar un plano a través de tres puntos dados que no se encuentran en la misma línea se resuelve fácilmente en vista general, si utilizamos determinantes. De hecho, dado que en las ecuaciones (17) y (19) los coeficientes A, B, C no pueden ser simultáneamente iguales a cero, entonces, considerando estas ecuaciones como un sistema homogéneo con tres incógnitas A, B, C, escribimos un necesario y suficiente. condición para la existencia de una solución de este sistema distinta de cero (Parte 1, Capítulo VI, § 6):

Habiendo expandido este determinante a los elementos de la primera fila, obtenemos una ecuación de primer grado con respecto a las coordenadas actuales, que quedará satisfecha, en particular, por las coordenadas de los tres puntos dados.

También puedes verificar esto último directamente sustituyendo las coordenadas de cualquiera de estos puntos en lugar de . En el lado izquierdo obtenemos un determinante en el que los elementos de la primera fila son ceros o hay dos filas idénticas. Por tanto, la ecuación construida representa un plano que pasa por los tres puntos dados.