ماذا يعني العثور على أصغر قيمة للدالة. أكبر وأصغر قيم للدالة في مقطع

تذكرنا عملية العثور على أصغر وأكبر قيم لدالة ما على مقطع ما برحلة رائعة حول كائن (رسم بياني لوظيفة) على طائرة هليكوبتر بإطلاق النار من مدفع بعيد المدى في نقاط معينة والاختيار من بينها هذه النقاط خاصة جدا لطلقات التحكم. يتم تحديد النقاط بطريقة معينة ووفقًا لقواعد معينة. بأية قواعد؟ سوف نتحدث عن هذا أكثر.

إذا كانت الوظيفة ذ = F(x) مستمر على المقطع [ أ, ب] ، ثم تصل إلى هذا الجزء الأقل و أعلى القيم . يمكن أن يحدث هذا إما في النقاط القصوىأو في نهايات المقطع. لذلك ، لتجد الأقل و أكبر قيم الدالة ، مستمر على الفاصل الزمني [ أ, ب] ، تحتاج إلى حساب قيمها بالكامل نقاط حرجةوفي نهايات المقطع ، ثم اختر أصغرها وأكبرها.

لنفترض ، على سبيل المثال ، أنه مطلوب للتعريف أعلى قيمةالمهام F(x) في المقطع [ أ, ب]. للقيام بذلك ، ابحث عن جميع نقاطه الحرجة التي تقع على [ أ, ب] .

نقطة حرجة يسمى النقطة التي وظيفة محددة، وهي المشتقإما أن يكون صفرًا أو غير موجود. ثم يجب عليك حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة. وأخيرًا ، يجب على المرء أن يقارن قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة وفي نهايات المقطع ( F(أ) و F(ب)). سيكون أكبر هذه الأرقام أكبر قيمة للدالة في الفترة [أ, ب] .

مشكلة البحث أصغر قيم الدالة .

نحن نبحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة معًا

مثال 1. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء [-1, 2] .

قرار. نجد مشتقة هذه الدالة. ساوي المشتق بصفر () واحصل على نقطتين حرجتين: و. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة في مقطع معين ، يكفي حساب قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة ، نظرًا لأن النقطة لا تنتمي إلى المقطع [-1 ، 2]. قيم الوظائف هذه هي كما يلي: ، ،. إنه يتبع هذا أصغر قيمة للدالة(مميزة باللون الأحمر على الرسم البياني أدناه) ، تساوي -7 ، يتم الوصول إليها في الطرف الأيمن من المقطع - عند النقطة ، و أعظم(أحمر أيضًا على الرسم البياني) يساوي 9 ، - عند النقطة الحرجة.

إذا كانت الوظيفة متصلة في فاصل زمني معين ولم يكن هذا الفاصل الزمني مقطعًا (ولكنه ، على سبيل المثال ، فاصل زمني ؛ الفرق بين الفاصل الزمني والمقطع: لم يتم تضمين نقاط حدود الفاصل في الفاصل الزمني ، ولكن يتم تضمين نقاط حدود المقطع في المقطع) ، ثم من بين قيم الوظيفة قد لا يكون هناك أصغر وأكبر. لذلك ، على سبيل المثال ، الوظيفة الموضحة في الشكل أدناه متصلة على]-، + ∞ [وليس لها أكبر قيمة.

ومع ذلك ، بالنسبة لأي فترة زمنية (مغلقة أو مفتوحة أو لانهائية) ، فإن الخاصية التالية للوظائف المستمرة تبقى ثابتة.

مثال 4. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء [-1, 3] .

قرار. نجد مشتق هذه الدالة كمشتق من حاصل القسمة:

.

نحن نساوي المشتقة بالصفر ، وهو ما يعطينا نقطة حرجة واحدة:. إنه ينتمي إلى الفاصل الزمني [-1 ، 3]. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة في مقطع معين ، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

دعونا نقارن هذه القيم. الخلاصة: تساوي -5 / 13 عند النقطة و أعظم قيمةيساوي 1 عند هذه النقطة.

نواصل البحث عن القيم الأصغر والأكبر للوظيفة معًا

يوجد مدرسون ، فيما يتعلق بموضوع العثور على أصغر وأكبر قيم للدالة ، لا يقدمون للطلاب أمثلة أكثر تعقيدًا من تلك التي تم أخذها في الاعتبار للتو ، أي تلك التي تكون فيها الوظيفة كثيرة الحدود أو الكسر ، البسط ومقامها كثيرات الحدود. لكننا لن نقتصر على مثل هذه الأمثلة ، حيث يوجد بين المعلمين عشاق لجعل الطلاب يفكرون بالكامل (جدول المشتقات). لذلك ، سيتم استخدام اللوغاريتم والدالة المثلثية.

مثال 6. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء .

قرار. نجد مشتقة هذه الدالة كـ مشتق من المنتج :

نحن نساوي المشتق بالصفر ، وهو ما يعطينا نقطة حرجة واحدة:. إنه ينتمي إلى الجزء. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة في مقطع معين ، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

نتيجة جميع الإجراءات: تصل الوظيفة أصغر قيمة ، تساوي 0 ، عند نقطة وعند نقطة و أعظم قيمةيساوي ه² ، عند هذه النقطة.

مثال 7. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء .

قرار. نجد مشتق هذه الوظيفة:

يساوي المشتق بصفر:

النقطة الحرجة الوحيدة تنتمي إلى المقطع. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة في مقطع معين ، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

خاتمة: تصل الدالة إلى أدنى قيمة لها، يساوي ، عند النقطة و أعظم قيمة، يساوي ، عند هذه النقطة.

في المسائل المتطرفة المطبقة ، يتم تقليل إيجاد أصغر (أكبر) قيم دالة ، كقاعدة عامة ، لإيجاد الحد الأدنى (الحد الأقصى). لكن ليست الحدود الدنيا أو القصوى بحد ذاتها هي التي لها أهمية عملية أكبر ، ولكن قيم الحجة التي يتم تحقيقها من خلالها. عند حل المشكلات التطبيقية ، تنشأ صعوبة إضافية - تجميع الوظائف التي تصف الظاهرة أو العملية قيد الدراسة.

المثال 8يجب أن يكون الخزان بسعة 4 ، على شكل خط متوازي بقاعدة مربعة ومفتوح من الأعلى ، معلبًا. ماذا يجب أن تكون أبعاد الخزان لتغطيته بأقل كمية من المواد؟

قرار. اسمحوا ان x- جانب القاعدة ح- ارتفاع الخزان ، س- مساحة سطحه بدون غطاء ، الخامس- حجمه. يتم التعبير عن مساحة سطح الخزان بالصيغة ، أي هي دالة لمتغيرين. للتعبير سكدالة لمتغير واحد ، نستخدم حقيقة أنه من أين. استبدال التعبير الموجود حفي صيغة س:

دعونا نفحص هذه الوظيفة لأقصى حد. يتم تعريفه وقابل للتفاضل في كل مكان في] 0 و + [و

.

نحن نساوي المشتق بصفر () ونوجد النقطة الحرجة. بالإضافة إلى ذلك ، عندما لا يكون المشتق موجودًا ، لكن هذه القيمة غير مدرجة في مجال التعريف وبالتالي لا يمكن أن تكون نقطة نهائية. لذا ، - النقطة الحرجة الوحيدة. دعنا نتحقق من وجود الحد الأقصى باستخدام الثانية علامة كافية. لنجد المشتق الثاني. عندما يكون المشتق الثاني أكبر من صفر (). هذا يعني أنه عندما تصل الوظيفة إلى الحد الأدنى . لأن هذا الحد الأدنى - الحد الأقصى الوحيد لهذه الوظيفة ، هو أصغر قيمة لها. لذلك ، يجب أن يكون جانب قاعدة الخزان مساويًا لـ 2 متر وارتفاعه.

المثال 9من فقرة أ، الواقعة على خط السكة الحديد ، حتى هذه النقطة مع، على مسافة منه ليجب نقل البضائع. تكلفة نقل وحدة وزن لكل وحدة مسافة بالسكك الحديدية تساوي وتساوي تكلفة نقلها بالطرق السريعة. إلى أي نقطة مخطوط سكة حديديةيجب بناء طريق سريع بحيث يتم نقل البضائع من لكنفي معكان الأكثر اقتصادا ABمن المفترض أن تكون السكة الحديدية مستقيمة)؟

دعونا نرى كيفية استكشاف دالة باستخدام الرسم البياني. اتضح أنه بالنظر إلى الرسم البياني ، يمكنك معرفة كل ما يثير اهتمامنا ، وهو:

• نطاق الوظيفة
• نطاق الوظيفة
• وظيفة الأصفار
• فترات الزيادة والنقصان
• النقاط العالية والمنخفضة
• أكبر وأصغر قيمة للدالة في المقطع.

دعنا نوضح المصطلحات:

الإحداثي السينيهو التنسيق الأفقي للنقطة.
تنسيق- تنسيق عمودي.
الإحداثي السيني- المحور الأفقي ، وغالبًا ما يسمى المحور.
المحور ص - محور رأسي، أو المحور.

جدال حادهو متغير مستقل تعتمد عليه قيم الوظيفة. غالبا ما يشار.
بمعنى آخر ، نحن أنفسنا نختار ونستبدل في صيغة الدالة ونحصل على.

اِختِصاصالدوال - مجموعة قيم الوسيطة التي توجد لها الوظيفة (وتلك فقط).
يشار إليه: أو.

في الشكل لدينا ، مجال الوظيفة هو قطعة. يتم رسم الرسم البياني للوظيفة في هذا الجزء. هنا فقط وظيفة معينةيوجد.

نطاق الوظيفةهي مجموعة القيم التي يأخذها المتغير. في الشكل الخاص بنا ، هذه شريحة - من أدنى قيمة إلى أعلى قيمة.

الأصفار الوظيفية- النقاط التي تكون فيها قيمة الوظيفة مساوية للصفر ، أي. في الشكل لدينا ، هذه هي النقاط و.

قيم الدالة موجبةأين . في الشكل لدينا ، هذه هي الفترات و.
قيم الدالة سالبةأين . لدينا هذه الفترة (أو الفترة) من إلى.

أهم المفاهيم - زيادة الوظائف وتناقصهافي بعض مجموعة. كمجموعة ، يمكنك أن تأخذ مقطعًا أو فاصلًا زمنيًا أو اتحادًا للفواصل الزمنية أو خط الأعداد بالكامل.

وظيفة يزيد

بمعنى آخر ، كلما انتقل الرسم البياني إلى اليمين وأعلى.

وظيفة تناقصفي المجموعة إن وجدت وتنتمي إلى المجموعة ، فإن عدم المساواة تعني عدم المساواة.

لوظيفة متناقصة قيمة أكبريتوافق مع القيمة الأقل. يتجه الرسم البياني لليمين ولأسفل.

في الشكل الخاص بنا ، تزداد الدالة في الفترة الزمنية وتنقص في الفترات الزمنية و.

دعونا نحدد ما هو الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظيفة.

أقصى نقطة- هذه نقطة داخلية في مجال التعريف ، بحيث تكون قيمة الوظيفة فيها أكبر من جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
بمعنى آخر ، النقطة القصوى هي نقطة ، قيمة الوظيفة التي عندها أكثرمما كانت عليه في البلدان المجاورة. هذا "تل" محلي على الرسم البياني.

في الشكل لدينا - الحد الأقصى للنقطة.

نقطة منخفضة- نقطة داخلية في مجال التعريف ، بحيث تكون قيمة الوظيفة فيها أقل من جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
أي أن الحد الأدنى للنقطة هو أن قيمة الوظيفة فيها أقل من القيم المجاورة. على الرسم البياني ، هذه "حفرة" محلية.

في الشكل لدينا - النقطة الدنيا.

النقطة هي الحدود. إنها ليست نقطة داخلية في مجال التعريف وبالتالي فهي لا تتناسب مع تعريف النقطة القصوى. بعد كل شيء ، ليس لديها جيران على اليسار. بنفس الطريقة ، لا يمكن أن يكون هناك حد أدنى على الرسم البياني الخاص بنا.

يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط بشكل جماعي النقاط القصوى للدالة. في حالتنا ، هذا هو و.

ولكن ماذا لو كنت بحاجة إلى البحث ، على سبيل المثال ، وظيفة الحد الأدنىعلى الخفض؟ في هذه القضيةإجابه: . لان وظيفة الحد الأدنىهي قيمتها عند الحد الأدنى.

وبالمثل ، فإن الحد الأقصى للدالة هو. يتم الوصول إليه عند هذه النقطة.

يمكننا القول أن القيم القصوى للدالة تساوي و.

في بعض الأحيان في المهام التي تحتاج إلى البحث عنها أكبر وأصغر قيم للدالةعلى جزء معين. لا تتطابق بالضرورة مع التطرف.

في حالتنا هذه أصغر قيمة للدالةفي الفترة الزمنية يساوي الحد الأدنى للدالة ويتزامن معه. لكن أكبر قيمة لها في هذا الجزء تساوي. يتم الوصول إليه في الطرف الأيسر من المقطع.

على أي حال ، يتم تحقيق أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة على مقطع ما إما عند النقاط القصوى أو في نهايات المقطع.

غالبًا ما يكون مطلوبًا في الفيزياء والرياضيات إيجاد أصغر قيمة للدالة. كيف نفعل هذا ، سنقول الآن.

كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة: التعليمات

1. لحساب أصغر قيمة لدالة مستمرة في فترة زمنية معينة ، عليك اتباع هذه الخوارزمية:
2. أوجد مشتق دالة.
3. أوجد في قطعة معينة النقاط التي تساوي فيها المشتقة صفرًا ، وكذلك جميع النقاط الحرجة. ثم اكتشف قيم الدالة عند هذه النقاط ، أي حل المعادلة حيث x يساوي صفرًا. اكتشف القيم الأصغر.
4. اكتشف قيمة الوظيفة عند نقاط النهاية. حدد أصغر قيمة للدالة عند هذه النقاط.
5. قارن البيانات المستلمة مع أصغر قيمة. سيكون أصغر الأرقام المستلمة هو أصغر قيمة للدالة.

لاحظ أنه في حالة عدم وجود وظيفة في المقطع أصغر النقاط، مما يعني أنه في هذا الجزء يزيد أو ينقص. لذلك ، يجب حساب أصغر قيمة على الأجزاء المحدودة من الوظيفة.

في جميع الحالات الأخرى ، يتم حساب قيمة الوظيفة وفقًا للخوارزمية المحددة. في كل خطوة من خطوات الخوارزمية ، ستحتاج إلى حل بسيط معادلة خط مستقيمبجذر واحد. حل المعادلة باستخدام الرسم لتجنب الأخطاء.

كيف تجد أصغر قيمة لدالة في مقطع نصف مفتوح؟ على نصف مفتوح أو فترة مفتوحةدالة ، يجب العثور على أصغر قيمة على النحو التالي. عند نقاط نهاية قيمة الوظيفة ، احسب حد الجانب الواحد للدالة. بعبارة أخرى ، قم بحل معادلة يتم فيها إعطاء نقاط الاتجاه بالقيمة a + 0 و b + 0 ، حيث a و b هما اسمي النقاط الحرجة.

أنت الآن تعرف كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة. الشيء الرئيسي هو إجراء جميع الحسابات بشكل صحيح ودقيق وبدون أخطاء.

في هذا المقال سوف أتحدث عنه خوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر قيمةالوظيفة ، الحد الأدنى والحد الأقصى من النقاط.

من الناحية النظرية ، سنحتاج بالتأكيد جدول مشتقو قواعد التمايز. كل شيء في هذا المنتدى:

خوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر القيم.

أجد أنه من الأسهل أن أشرح مثال محدد. يعتبر:

مثال:أوجد أكبر قيمة للدالة y = x ^ 5 + 20x ^ 3–65x في المقطع [–4 ؛ 0].

الخطوة 1.نأخذ المشتق.

ص "= (x ^ 5 + 20x ^ 3–65x)" = 5x ^ 4 + 20 * 3x ^ 2 - 65 = 5x ^ 4 + 60x ^ 2 - 65

الخطوة 2إيجاد النقاط القصوى.

النقطة القصوىنقوم بتسمية النقاط التي تصل عندها الوظيفة إلى الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمتها.

للعثور على النقاط القصوى ، من الضروري مساواة مشتق الدالة بالصفر (y "= 0)

5x ^ 4 + 60x ^ 2-65 = 0

الآن نحل هذه المعادلة البيكادراتية والجذور التي تم إيجادها هي النقاط القصوى.

لقد قمت بحل هذه المعادلات عن طريق استبدال t = x ^ 2 ، ثم 5t ^ 2 + 60t - 65 = 0.

قلل المعادلة بمقدار 5 ، نحصل على: t ^ 2 + 12t - 13 = 0

د = 12 ^ 2 - 4 * 1 * (- 13) = 196

T_ (1) = (-12 + sqrt (196)) / 2 = (-12 + 14) / 2 = 1

T_ (2) = (-12 - الجذر التربيعي (196)) / 2 = (-12-14) / 2 = -13

نجري الاستبدال العكسي x ^ 2 = t:

X_ (1 و 2) = ± sqrt (1) = ± 1
x_ (3 و 4) = ± sqrt (-13) (نستبعد ، لا يمكن أن يكون الجذر تحت الجذر أرقام سالبة(ما لم نتحدث بالطبع عن الأعداد المركبة)

المجموع: x_ (1) = 1 و x_ (2) = -1 - هذه هي نقاطنا القصوى.

الخطوه 3حدد أكبر وأصغر قيمة.

طريقة الاستبدال.

في الحالة ، حصلنا على المقطع [ب] [- 4 ؛ 0]. لم يتم تضمين النقطة x = 1 في هذا المقطع. لذلك نحن لا نعتبرها. لكن بالإضافة إلى النقطة x = -1 ، نحتاج أيضًا إلى النظر في الحدود اليمنى واليسرى للقطاع ، أي النقطتين -4 و 0. للقيام بذلك ، نعوض بكل هذه النقاط الثلاث في الدالة الأصلية. لاحظ أن الأصل هو المعطى في الشرط (y = x ^ 5 + 20x ^ 3–65x) ، يبدأ البعض بالتعويض في المشتق ...

ص (-1) = (-1) ^ 5 + 20 * (- 1) ^ 3 - 65 * (- 1) = -1 - 20 + 65 = [ب] 44
ص (0) = (0) ^ 5 + 20 * (0) ^ 3-65 * (0) = 0
ص (-4) = (-4) ^ 5 + 20 * (- 4) ^ 3-65 * (- 4) = -1024-1280 + 260 = -2044

هذا يعني أن القيمة القصوى للدالة هي [b] 44 ويتم الوصول إليها عند النقاط [b] -1 ، والتي تسمى النقطة القصوى للدالة في المقطع [-4 ؛ 0].

قررنا وحصلنا على إجابة ، نحن رائعون ، يمكنك الاسترخاء. لكن توقف! ألا تعتقد أن عد ص (-4) معقد جدًا بطريقة ما؟ في ظروف زمنية محدودة يفضل استخدام طريقة أخرى أسميها كالتالي:

من خلال فترات الثبات.

تم العثور على هذه الفجوات لمشتق الدالة ، أي لمعادلتنا البيكوادر.

أفعل ذلك بالطريقة التالية. أرسم خط اتجاه. لقد قمت بتعيين النقاط: -4 ، -1 ، 0 ، 1. على الرغم من حقيقة أن 1 لم يتم تضمينه في المقطع المحدد ، إلا أنه لا يزال يتعين ملاحظته من أجل تحديد فترات الثبات بشكل صحيح. لنأخذ عددًا أكبر من 1 عدة مرات ، دعنا نقول 100 ، استبدلها ذهنيًا في معادلتنا ثنائية التكافؤ 5 (100) ^ 4 + 60 (100) ^ 2 - 65. حتى بدون احتساب أي شيء ، يصبح من الواضح أنه عند النقطة 100 الوظيفة لها علامة زائد. هذا يعني أنه بالنسبة للفترات من 1 إلى 100 ، فإنه يحتوي على علامة زائد. عند المرور من خلال 1 (ننتقل من اليمين إلى اليسار) ، ستتغير الوظيفة إلى علامة ناقص. عند المرور عبر النقطة 0 ، ستحتفظ الوظيفة بعلامتها ، لأن هذه ليست سوى حدود المقطع ، وليس جذر المعادلة. عند المرور عبر -1 ، ستتغير الوظيفة مرة أخرى إلى علامة الجمع.

من الناحية النظرية ، نعلم أن مكان اشتقاق الوظيفة (وقد رسمنا هذا من أجلها) يغير علامة من زائد إلى ناقص (النقطة -1 في حالتنا)تصل الوظيفة الحد الأقصى المحلي (ص (-1) = 44 كما تم حسابه سابقًا)في هذا الجزء (هذا واضح جدًا من الناحية المنطقية ، توقفت الوظيفة عن الزيادة ، حيث وصلت إلى الحد الأقصى وبدأت في الانخفاض).

تبعا لذلك ، حيث يكون مشتق الوظيفة علامة التغييرات من ناقص إلى زائد، حقق الحد الأدنى المحلي للدالة. نعم ، نعم ، وجدنا أيضًا أن النقطة الدنيا المحلية هي 1 ، و y (1) هي الحد الأدنى للقيمةوظائف في مقطع ، دعنا نقول من -1 إلى +. يرجى ملاحظة أن هذا ليس سوى حد أدنى محلي ، أي حد أدنى في جزء معين. نظرًا لأن الحد الأدنى الفعلي (العالمي) للدالة سيصل إلى مكان ما هناك ، في-.

في رأيي ، الطريقة الأولى أبسط من الناحية النظرية ، والطريقة الثانية أبسط من حيث العمليات الحسابية ، ولكنها أكثر صعوبة من الناحية النظرية. بعد كل شيء ، في بعض الأحيان هناك حالات لا تتغير فيها الوظيفة عند المرور بجذر المعادلة ، وفي الواقع يمكنك الخلط بين هذه الحدود القصوى والدنيا المحلية والعالمية ، على الرغم من أنه سيتعين عليك إتقان ذلك جيدًا على أي حال إذا كنت تخطط للدخول إلى جامعة تقنية (ولماذا عليك إجراء امتحان الملف الشخصي وحل هذه المهمة). لكن الممارسة والممارسة فقط ستعلمك كيفية حل هذه المشكلات مرة واحدة وإلى الأبد. ويمكنك التدريب على موقعنا. هنا .

إذا كان لديك أي أسئلة ، أو كان هناك شيء غير واضح ، فتأكد من طرحه. يسعدني الرد عليكم وإجراء التغييرات والإضافات على المقال. تذكر أننا نصنع هذا الموقع معًا!

دع الدالة $ z = f (x، y) $ تُعرَّف وتستمر في بعض المجالات المغلقة المحدودة $ D $. دع الدالة المعينة لها مشتقات جزئية محدودة من الدرجة الأولى في هذه المنطقة (مع استثناء محتمل لعدد محدود من النقاط). للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة لمتغيرين في منطقة مغلقة معينة ، يلزم وجود ثلاث خطوات لخوارزمية بسيطة.

خوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة $ z = f (x، y) $ في المجال المغلق $ D $.

1. أوجد النقاط الحرجة للدالة $ z = f (x، y) $ التي تنتمي إلى المنطقة $ D $. حساب قيم الدالة في النقاط الحرجة.
2. تحقق من سلوك الدالة $ z = f (x، y) $ على حدود المنطقة $ D $ بإيجاد نقاط القيم القصوى والصغرى الممكنة. احسب قيم الدالة عند النقاط التي تم الحصول عليها.
3. من قيم الوظائف التي تم الحصول عليها في الفقرتين السابقتين ، اختر الأكبر والأصغر.

ما هي النقاط الحرجة؟ اظهر المخفي

تحت نقاط حرجةتشير إلى نقاط حيث تكون كل من المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى مساوية للصفر (أي $ \ frac (\ جزئي z) (\ جزئي x) = 0 $ و $ \ frac (\ جزئي z) (\ جزئي y) = 0 $) أو لا يوجد مشتق جزئي واحد على الأقل.

غالبًا ما يتم استدعاء النقاط التي تكون فيها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى مساوية للصفر نقاط ثابتة. وبالتالي ، فإن النقاط الثابتة هي مجموعة فرعية من النقاط الحرجة.

مثال 1

أوجد القيم القصوى والدنيا للدالة $ z = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $ في المنطقة المغلقة التي يحدها الخطوط $ x = 3 $ ، $ y = 0 $ و $ y = x + 1 دولار.

سوف نتبع ما ورد أعلاه ، لكن أولاً سنتعامل مع رسم منطقة معينة ، والتي سنشير إليها بالحرف $ D $. لقد أعطينا معادلات من ثلاثةخطوط مستقيمة تحد من هذه المنطقة. يمر الخط المستقيم $ x = 3 $ عبر النقطة $ (3؛ 0) $ موازية للمحور y (المحور Oy). الخط المستقيم $ y = 0 $ هي معادلة محور الاحداثي (محور الثور). حسنًا ، لإنشاء خط مستقيم $ y = x + 1 $ ، فلنجد نقطتين نرسم من خلالها هذا الخط المستقيم. يمكنك بالطبع استبدال قيمتين عشوائيتين بدلاً من $ x $. على سبيل المثال ، عند استبدال $ x = 10 $ ، نحصل على: $ y = x + 1 = 10 + 1 = 11 $. لقد وجدنا النقطة $ (10؛ 11) $ الموجودة على السطر $ y = x + 1 $. ومع ذلك ، فمن الأفضل إيجاد تلك النقاط حيث يتقاطع الخط $ y = x + 1 $ مع الخطوط $ x = 3 $ و $ y = 0 $. لماذا هو أفضل؟ لأننا سنضع زوجًا من الطيور بحجر واحد: سنحصل على نقطتين لبناء الخط المستقيم $ y = x + 1 $ وفي نفس الوقت سنكتشف في أي نقطة يتقاطع هذا الخط المستقيم مع الخطوط الأخرى التي تربط المعطى مساحة. السطر $ y = x + 1 $ يتقاطع مع السطر $ x = 3 $ عند النقطة $ (3؛ 4) $ ، والخط $ y = 0 $ - عند النقطة $ (- 1؛ 0) $. من أجل عدم تشويش مسار الحل بالتفسيرات المساعدة ، سأضع مسألة الحصول على هاتين النقطتين في ملاحظة.

كيف تم الحصول على النقاط $ (3؛ 4) $ و $ (- 1؛ 0) $؟ اظهر المخفي

لنبدأ من نقطة تقاطع المستقيمين $ y = x + 1 $ و $ x = 3 $. تنتمي إحداثيات النقطة المرغوبة إلى كل من الخطين الأول والثاني ، لذلك للعثور على إحداثيات غير معروفة ، تحتاج إلى حل نظام المعادلات:

$$ \ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & ص = س + 1 ؛ \\ & س = 3. \ نهاية (محاذاة) \ يمين. $$

حل مثل هذا النظام تافه: استبدال $ x = 3 $ في المعادلة الأولى: $ y = 3 + 1 = 4 $. النقطة $ (3؛ 4) $ هي نقطة التقاطع المرغوبة للخطين $ y = x + 1 $ و $ x = 3 $.

لنجد الآن نقطة تقاطع الخطين $ y = x + 1 $ و $ y = 0 $. مرة أخرى ، نؤلف ونحل نظام المعادلات:

$$ \ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & y = x + 1 ؛ \\ & y = 0. \ end (محاذاة) \ يمين. $$

بالتعويض عن $ y = 0 $ في المعادلة الأولى ، نحصل على: $ 0 = x + 1 $ ، $ x = -1 $. النقطة $ (- 1 ؛ 0) $ هي نقطة التقاطع المرغوبة للخطين $ y = x + 1 $ و $ y = 0 $ (محور abscissa).

كل شيء جاهز لبناء رسم سيبدو كالتالي:

يبدو سؤال المذكرة واضحًا ، لأنه يمكن رؤية كل شيء من الشكل. ومع ذلك ، يجدر بنا أن نتذكر أن الرسم لا يمكن أن يكون بمثابة دليل. الرقم مجرد توضيح للوضوح.

تم تعيين مساحتنا باستخدام معادلات الخطوط التي تحددها. من الواضح أن هذه الخطوط تحدد المثلث ، أليس كذلك؟ أو ليس واضحًا تمامًا؟ أو ربما حصلنا على منطقة مختلفة ، تحدها نفس الخطوط:

طبعا الشرط يقول ان المنطقة مغلقة وبالتالي فالصورة المعروضة خاطئة. ولكن لتجنب مثل هذا الغموض ، من الأفضل تحديد المناطق من خلال عدم المساواة. نحن مهتمون بجزء المستوى الموجود أسفل الخط $ y = x + 1 $؟ حسنًا ، إذن $ y ≤ x + 1 $. يجب أن تقع منطقتنا فوق الخط $ y = 0 $؟ رائع ، لذا $ y ≥ 0 $. بالمناسبة ، يتم دمج المتباينتين الأخيرتين بسهولة في واحدة: $ 0 ≤ y ≤ x + 1 $.

$$ \ يسار \ (\ يبدأ (محاذاة) & 0 ≤ ذ ≤ س + 1 ؛ \\ & س ≤ 3. \ نهاية (محاذاة) \ يمين. $$

هذه التفاوتات تحدد المجال $ D $ ، وتعرفه بشكل فريد ، دون أي غموض. لكن كيف يساعدنا هذا في السؤال في بداية الحاشية؟ سيساعد ذلك أيضًا :) نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت النقطة $ M_1 (1؛ 1) $ تنتمي إلى المنطقة $ D $. لنقم بالتعويض عن $ x = 1 $ و $ y = 1 $ في نظام المتباينات التي تحدد هذه المنطقة. إذا تم استيفاء كلا التفاوتين ، فإن النقطة تكمن داخل المنطقة. إذا لم يتم استيفاء واحدة على الأقل من عدم المساواة ، فإن النقطة لا تنتمي إلى المنطقة. لذا:

$$ \ يسار \ (\ تبدأ (محاذاة) & 0 ≤ 1 ≤ 1 + 1 ؛ \\ & 1 ≤ 3. \ نهاية (محاذاة) \ يمين. \ ؛ \ ؛ \ يسار \ (\ تبدأ (محاذاة) & 0 ≤ 1 ≤ 2 ؛ \\ & 1 ≤ 3. \ نهاية (محاذاة) \ يمين. $$

كلا التفاوتات صحيحة. النقطة $ M_1 (1؛ 1) $ تنتمي إلى المنطقة $ D $.

الآن حان دور التحقيق في سلوك الوظيفة على حدود المجال ، أي اذهب إلى. لنبدأ بالخط المستقيم $ y = 0 $.

يحدد الخط المستقيم $ y = 0 $ (محور الإحداثي) المنطقة $ D $ تحت الشرط $ -1 ≤ x ≤ 3 $. عوّض $ y = 0 $ في وظيفة معينة$ z (x، y) = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. سيتم الإشارة إلى دالة الاستبدال الناتجة لمتغير واحد $ x $ على أنها $ f_1 (x) $:

$$ f_1 (x) = z (x، 0) = x ^ 2 + 2x \ cdot 0-0 ^ 2-4x = x ^ 2-4x. $$

الآن بالنسبة للدالة $ f_1 (x) $ ، نحتاج إلى إيجاد أكبر وأصغر قيمة في الفترة $ -1 ≤ x ≤ 3 $. أوجد مشتق هذه الدالة وعدله بالصفر:

$$ f_ (1) ^ (") (x) = 2x-4 ؛ \\ 2x-4 = 0 ؛ \ ؛ x = 2. $$

تنتمي القيمة $ x = 2 $ إلى المقطع $ -1 ≤ x ≤ 3 $ ، لذلك نضيف أيضًا $ M_2 (2؛ 0) $ إلى قائمة النقاط. بالإضافة إلى ذلك ، نحسب قيم الدالة $ z $ في نهايات المقطع $ -1 ≤ x ≤ 3 $ ، أي عند النقاط $ M_3 (-1 ؛ 0) $ و $ M_4 (3 ؛ 0) $. بالمناسبة ، إذا كانت النقطة $ M_2 $ لا تنتمي إلى المقطع قيد الدراسة ، فلن تكون هناك بالطبع حاجة لحساب قيمة الدالة $ z $ فيها.

لذا ، لنحسب قيم الدالة $ z $ عند النقاط $ M_2 $ ، $ M_3 $ ، $ M_4 $. يمكنك بالطبع استبدال إحداثيات هذه النقاط في التعبير الأصلي $ z = x ^ 2 + 2xy-y ^ 2-4x $. على سبيل المثال ، بالنسبة للنقطة $ M_2 $ نحصل على:

$$ z_2 = z (M_2) = 2 ^ 2 + 2 \ cdot 2 \ cdot 0-0 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4. $$

ومع ذلك ، يمكن تبسيط الحسابات قليلاً. للقيام بذلك ، تجدر الإشارة إلى أنه في المقطع $ M_3M_4 $ لدينا $ z (x، y) = f_1 (x) $. سأوضحها بالتفصيل:

\ start (محاذاة) & z_2 = z (M_2) = z (2،0) = f_1 (2) = 2 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4 ؛ \\ & z_3 = z (M_3) = z (- 1.0) = f_1 (-1) = (- 1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5 ؛ \\ & z_4 = z (M_4) = z (3،0) = f_1 (3) = 3 ^ 2-4 \ cdot 3 = -3. نهاية (محاذاة)

بالطبع ، ليست هناك حاجة عادةً لمثل هذه السجلات التفصيلية ، وسنبدأ في المستقبل في كتابة جميع الحسابات بطريقة أقصر:

$$ z_2 = f_1 (2) = 2 ^ 2-4 \ cdot 2 = -4 ؛ \ ؛ z_3 = f_1 (-1) = (- 1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5 ؛ \ ؛ z_4 = f_1 (3) = 3 ^ 2-4 \ cdot 3 = -3. $$

لننتقل الآن إلى الخط المستقيم $ x = 3 $. يحد هذا السطر المجال $ D $ تحت الشرط $ 0 ≤ y ≤ 4 $. عوّض $ x = 3 $ في الدالة المعطاة $ z $. نتيجة لهذا الاستبدال ، نحصل على الوظيفة $ f_2 (y) $:

$$ f_2 (y) = z (3، y) = 3 ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot y-y ^ 2-4 \ cdot 3 = -y ^ 2 + 6y-3. $$

بالنسبة للدالة $ f_2 (y) $ ، تحتاج إلى إيجاد أكبر وأصغر قيمة في الفترة $ 0 ≤ y ≤ 4 $. أوجد مشتق هذه الدالة وعدله بالصفر:

$$ f_ (2) ^ (") (y) = - 2y + 6 ؛ \\ -2y + 6 = 0 ؛ \ ؛ y = 3. $$

تنتمي القيمة $ y = 3 $ إلى المقطع $ 0 ≤ y ≤ 4 $ ، لذلك نضيف $ M_5 (3 ؛ 3) $ إلى النقاط التي تم العثور عليها سابقًا. بالإضافة إلى ذلك ، من الضروري حساب قيمة الوظيفة $ z $ عند النقاط الموجودة في نهايات المقطع $ 0 ≤ y ≤ 4 $ ، أي عند النقطتين $ M_4 (3؛ 0) $ و $ M_6 (3؛ 4) $. عند النقطة $ M_4 (3؛ 0) $ قمنا بالفعل بحساب قيمة $ z $. دعونا نحسب قيمة الدالة $ z $ عند النقطتين $ M_5 $ و $ M_6 $. دعني أذكرك أنه في المقطع $ M_4M_6 $ لدينا $ z (x، y) = f_2 (y) $ ، لذلك:

\ ابدأ (محاذاة) & z_5 = f_2 (3) = - 3 ^ 2 + 6 \ cdot 3-3 = 6 ؛ & z_6 = f_2 (4) = - 4 ^ 2 + 6 \ cdot 4-3 = 5. نهاية (محاذاة)

وأخيرًا ، ضع في اعتبارك الحد الأخير لـ $ D $ ، أي السطر $ y = x + 1 $. يحد هذا الخط المنطقة $ D $ تحت الشرط $ -1 ≤ x ≤ 3 $. بالتعويض عن $ y = x + 1 $ في الدالة $ z $ ، سيكون لدينا:

$$ f_3 (x) = z (x، x + 1) = x ^ 2 + 2x \ cdot (x + 1) - (x + 1) ^ 2-4x = 2x ^ 2-4x-1. $$

مرة أخرى لدينا دالة متغير واحد $ x $. ومرة أخرى ، تحتاج إلى إيجاد أكبر وأصغر قيم لهذه الدالة في المقطع $ -1 ≤ x ≤ 3 $. أوجد مشتق الدالة $ f_ (3) (x) $ وعدله بالصفر:

$$ f_ (3) ^ (") (x) = 4x-4 ؛ \\ 4x-4 = 0 ؛ \ ؛ x = 1. $$

القيمة $ x = 1 $ تنتمي إلى الفترة $ -1 x ≤ 3 $. إذا كان $ x = 1 $ ، فإن $ y = x + 1 = 2 $. دعنا نضيف $ M_7 (1؛ 2) $ إلى قائمة النقاط ونكتشف قيمة الدالة $ z $ في هذه المرحلة. النقاط الموجودة في نهايات المقطع -1 $ x ≤ 3 $ ، أي النقاط $ M_3 (-1؛ 0) $ و $ M_6 (3؛ 4) $ تم اعتبارها سابقًا ، لقد وجدنا بالفعل قيمة الوظيفة فيها.

$$ z_7 = f_3 (1) = 2 \ cdot 1 ^ 2-4 \ cdot 1-1 = -3. $$

اكتملت الخطوة الثانية من الحل. لدينا سبع قيم:

$$ z_1 = -2 ؛ \ ؛ z_2 = -4 ؛ \ ؛ z_3 = 5 ؛ \ ؛ z_4 = -3 ؛ \ ؛ z_5 = 6 ؛ \ ؛ z_6 = 5 ؛ \ ؛ z_7 = -3. $$

دعنا ننتقل إلى. باختيار القيم الأكبر والأصغر من تلك الأرقام التي تم الحصول عليها في الفقرة الثالثة ، سيكون لدينا:

$$ z_ (دقيقة) = - 4 ؛ \ ؛ z_ (الحد الأقصى) = 6. $$

تم حل المشكلة ، يبقى فقط كتابة الإجابة.

إجابه: $ z_ (دقيقة) = - 4 ؛ \ ؛ z_ (الحد الأقصى) = 6 دولارات.

المثال رقم 2

أوجد أكبر وأصغر قيم للدالة $ z = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y $ في المنطقة $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $.

دعونا نبني الرسم أولا. المعادلة $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $ (هذا هو خط الحدود للمنطقة المعينة) تحدد دائرة مركزها في الأصل (أي عند النقطة $ (0؛ 0) $) ونصف قطرها 5. إن المتباينة $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $ تحقق كل النقاط داخل وحول الدائرة المذكورة.

سوف نعمل. لنجد المشتقات الجزئية ونوجد النقاط الحرجة.

$$ \ فارك (\ جزئية ض) (\ س جزئية) = 2 س -12 ؛ \ فارك (\ جزئية ض) (\ ص جزئية) = 2 ص + 16. $$

لا توجد نقاط لا توجد عندها المشتقات الجزئية الموجودة. دعونا نكتشف في أي نقطة يكون كلا المشتقين الجزئيين مساويًا للصفر في نفس الوقت ، أي البحث عن نقاط ثابتة.

$$ \ left \ (\ start (align) & 2x-12 = 0؛ \\ & 2y + 16 = 0. \ end (align) \ right. \؛ \؛ \ left \ (\ start (align) & x = 6 ؛ \\ & y = -8. \ end (محاذاة) \ يمين. $$

حصلنا على نقطة ثابتة $ (6؛ -8) $. ومع ذلك ، فإن النقطة التي تم العثور عليها لا تنتمي إلى المنطقة $ D $. من السهل إظهار ذلك دون اللجوء إلى الرسم. دعنا نتحقق مما إذا كانت المتباينة $ x ^ 2 + y ^ 2 ≤ 25 $ ، والتي تحدد مجالنا $ D $ ، ثابتة. إذا كان $ x = 6 $ ، و $ y = -8 $ ، فإن $ x ^ 2 + y ^ 2 = 36 + 64 = 100 $ ، أي عدم المساواة $ x ^ 2 + y ^ 2 25 $ غير راضٍ. الخلاصة: النقطة $ (6؛ -8) $ لا تنتمي إلى المنطقة $ D $.

وبالتالي ، لا توجد نقاط حرجة داخل $ D $. هيا بنا نمضي قدما ل. نحن بحاجة إلى التحقيق في سلوك الوظيفة على حدود منطقة معينة ، أي على الدائرة $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $. يمكنك بالطبع التعبير عن $ y $ بدلالة $ x $ ، ثم استبدال التعبير الناتج في الدالة $ z $. من معادلة الدائرة نحصل على: $ y = \ sqrt (25-x ^ 2) $ أو $ y = - \ sqrt (25-x ^ 2) $. بالتعويض ، على سبيل المثال ، $ y = \ sqrt (25-x ^ 2) $ في الوظيفة المحددة ، سيكون لدينا:

$$ z = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y = x ^ 2 + 25-x ^ 2-12x + 16 \ sqrt (25-x ^ 2) = 25-12x + 16 \ sqrt (25-x ^ 2) ؛ \ ؛ \ ؛ -5≤ × 5. $$

سيكون الحل الإضافي مطابقًا تمامًا لدراسة سلوك الوظيفة على حدود المنطقة في المثال السابق رقم 1. ومع ذلك ، يبدو لي أنه من المعقول في هذه الحالة تطبيق طريقة لاغرانج. نحن مهتمون فقط بالجزء الأول من هذه الطريقة. بعد تطبيق الجزء الأول من طريقة لاغرانج ، نحصل على النقاط التي ندرس عندها الدالة $ z $ للحد الأدنى والأقصى للقيم.

نقوم بتكوين وظيفة لاغرانج:

$$ F = z (x، y) + \ lambda \ cdot (x ^ 2 + y ^ 2-25) = x ^ 2 + y ^ 2-12x + 16y + \ lambda \ cdot (x ^ 2 + y ^ 2 -25). $$

نجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج ونؤلف نظام المعادلات المقابل:

$$ F_ (x) ^ (") = 2x-12 + 2 \ lambda x؛ \؛ \؛ F_ (y) ^ (") = 2y + 16 + 2 \ lambda y. \\ \ left \ (\ start (محاذاة) & 2x-12 + 2 \ lambda x = 0؛ \\ & 2y + 16 + 2 \ lambda y = 0؛ \\ & x ^ 2 + y ^ 2-25 = 0. \ end (محاذاة) \ يمين. \ ؛ \ ؛ \ يسار \ (\ ابدأ (محاذاة) & x + \ lambda x = 6 ؛ \\ & y + \ lambda y = -8 ؛ \\ & x ^ 2 + y ^ 2 = 25. \ end ( محاذاة) \ حق

لحل هذا النظام ، دعنا نشير على الفور إلى أن $ \ lambda \ neq -1 $. لماذا $ \ lambda \ neq -1 $؟ دعنا نحاول استبدال $ \ lambda = -1 $ في المعادلة الأولى:

$$ x + (- 1) \ cdot x = 6 ؛ \ ؛ س س = 6 ؛ \ ؛ 0 = 6. $$

التناقض الناتج $ 0 = 6 $ يقول أن القيمة $ \ lambda = -1 $ غير صالحة. الخرج: $ \ lambda \ neq -1 $. دعنا نعبر عن $ x $ و $ y $ بدلالة $ \ lambda $:

\ ابدأ (محاذاة) & x + \ lambda x = 6 ؛ \ ؛ س (1+ \ لامدا) = 6 ؛ \ ؛ س = \ فارك (6) (1+ \ لامدا). \\ & y + \ lambda y = -8 ؛ \ ؛ ص (1+ \ لامدا) = - 8 ؛ \ ؛ ص = \ فارك (-8) (1+ \ لامدا). نهاية (محاذاة)

أعتقد أنه يتضح هنا سبب اشتراطنا تحديدًا للشرط $ \ lambda \ neq -1 $. تم إجراء ذلك لملاءمة التعبير $ 1 + \ lambda $ في المقامات دون تدخل. أي للتأكد من أن المقام هو $ 1 + \ lambda \ neq 0 $.

دعونا نستبدل التعبيرات التي تم الحصول عليها لـ $ x $ و $ y $ في المعادلة الثالثة للنظام ، أي في $ x ^ 2 + y ^ 2 = 25 $:

$$ \ يسار (\ فارك (6) (1+ \ لامدا) \ يمين) ^ 2 + \ يسار (\ فارك (-8) (1+ \ لامدا) \ يمين) ^ 2 = 25 ؛ \ \ فارك ( 36) ((1+ \ لامدا) ^ 2) + \ فارك (64) ((1+ \ لامدا) ^ 2) = 25 ؛ \ \ فارك (100) ((1+ \ لامدا) ^ 2) = 25 ؛ \ ؛ (1+ \ لامدا) ^ 2 = 4. $$

ويترتب على المساواة الناتجة أن $ 1 + \ lambda = 2 $ أو $ 1 + \ lambda = -2 $. ومن ثم ، لدينا قيمتان للمعامل $ \ lambda $ وهما: $ \ lambda_1 = 1 $ ، $ \ lambda_2 = -3 $. وفقًا لذلك ، نحصل على زوجين من القيم $ x $ و $ y $:

\ ابدأ (محاذاة) & x_1 = \ frac (6) (1+ \ lambda_1) = \ frac (6) (2) = 3 ؛ \ ؛ y_1 = \ frac (-8) (1+ \ lambda_1) = \ frac (-8) (2) = - 4. \\ & x_2 = \ frac (6) (1+ \ lambda_2) = \ frac (6) (- 2) = - 3 ؛ \ ؛ y_2 = \ frac (-8) (1+ \ lambda_2) = \ frac (-8) (- 2) = 4. نهاية (محاذاة)

إذن ، حصلنا على نقطتين من أقصى حد ممكن شرطي ، أي $ M_1 (3 ؛ -4) $ و M_2 دولار (-3 ؛ 4) دولار. أوجد قيم الدالة $ z $ عند النقطتين $ M_1 $ و $ M_2 $:

\ ابدأ (محاذاة) & z_1 = z (M_1) = 3 ^ 2 + (- 4) ^ 2-12 \ cdot 3 + 16 \ cdot (-4) = - 75 ؛ \\ & z_2 = z (M_2) = (- 3) ^ 2 + 4 ^ 2-12 \ cdot (-3) +16 \ cdot 4 = 125. نهاية (محاذاة)

يجب أن نختار أكبر وأصغر القيم من تلك التي حصلنا عليها في الخطوتين الأولى والثانية. لكن في هذه الحالة ، يكون الخيار صغيرًا :) لدينا:

$$ z_ (دقيقة) = - 75 ؛ \ ؛ z_ (الحد الأقصى) = 125. $$

إجابه: $ z_ (دقيقة) = - 75 ؛ \ ؛ z_ (الحد الأقصى) = 125 دولار.