Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом. Линейные уравнения с параметром

Уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают из года в год в список заданий типа B и C на едином государственном экзамене ЕГЭ. Однако среди большого числа уравнений с параметрами есть те, которые с легкостью могут быть решены графическим способом. Рассмотрим этот метод на примере решения нескольких задач.

Найти сумму целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 2x – 3| = a имеет четыре корня.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, построим на одной координатной плоскости графики функций

y = |x 2 – 2x – 3| и y = a.

График первой функции y = |x 2 – 2x – 3| будет получен из графика параболы y = x 2 – 2x – 3 путем симметричного отображения относительно оси абсцисс той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика, находящаяся выше оси абсцисс, останется без изменений.

Проделаем это поэтапно. Графиком функции y = x 2 – 2x – 3 является парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы построить ее график, найдем координаты вершины. Это можно сделать по формуле x 0 = -b/2a. Таким образом, x 0 = 2/2 = 1. Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставим полученное значение для x 0 в уравнение рассматриваемой функции. Получим, что y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; -4).

Далее нужно найти точки пересечения ветвей параболы с осями координат. В точках пересечения ветвей параболы с осью абсцисс значение функции равно нулю. Поэтому решим квадратное уравнение x 2 – 2x – 3 = 0. Его корни и будут искомыми точками. По теореме Виета имеем x 1 = -1, x 2 = 3.

В точках пересечения ветвей параболы с осью ординат значение аргумента равно нулю. Таким образом, точка y = -3 есть точка пересечения ветвей параболы с осью y. Полученный график изображен на рисунке 1.

Чтобы получить график функции y = |x 2 – 2x – 3|, отобразим симметрично относительно оси x часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс. Полученный график изображен на рисунке 2.

График функции y = a – это прямая, параллельная оси абсцисс. Он изображен на рисунке 3. С помощью рисунка и находим, что графики имеют четыре общие точки (а уравнение – четыре корня), если a принадлежит интервалу (0; 4).

Целые значения числа a из полученного интервала: 1; 2; 3. Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем сумму этих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Ответ: 6.

Найти среднее арифметическое целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 4|x| – 1| = a имеет шесть корней.

Начнем с построения графика функции y = |x 2 – 4|x| – 1|. Для этого воспользуемся равенством a 2 = |a| 2 и выделим полный квадрат в подмодульном выражении, написанном в правой части функции:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Тогда исходная функция будет иметь вид y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Для построения графика этой функции строим последовательно графики функций:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – парабола с вершиной в точке с координатами (2; -5); (Рис. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – часть построенной в пункте 1 параболы, которая находится справа от оси ординат, симметрично отображается слева от оси Oy; (Рис. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – часть построенного в пункте 2 графика, которая находится ниже оси x, отображается симметрично относительно оси абсцисс наверх. (Рис. 3).

Рассмотрим получившиеся рисунки:

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси абсцисс.

С помощью рисунка делаем вывод, что графики функций имеют шесть общих точек (уравнение имеет шесть корней), если a принадлежит интервалу (1; 5).

Это можно видеть на следующем рисунке:

Найдем среднее арифметическое целых значений параметра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Ответ: 3.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Для того чтобы наиболее полно раскрыть возможности этого метода, будем рассматривать основные типы задач.

Образцы заданий при отработке знаний и умений при решении задач с параметрами графическим методом (координатная плоскость )

Задание 1.

При каких значениях a уравнение = имеет два корня?

Решение.

Переходим к равносильной системе:

Эта система на координатной плоскости (;) задаёт кривую. Ясно, что все точки этой дуги параболы (и только они) имеют координаты, удовлетворяющие исходному уравнению. Поэтому число решений уравнения при каждом фиксированном значении параметра , равно количеству точек пересечения кривой с горизонтальной прямой, соответствующей этому значению параметра.

Очевидно при указанные прямые пересекают график в двух точках, что равносильно исходному уравнению иметь два корня.

Ответ: при.

Задание 2.

Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение.

Решение.

Перепишем исходную систему в таком виде:

Все решения этой системы (пары вида) образуют область, показанную на рисунке штриховкой. Требование единственности решения данной системы на графический язык переводится так: горизонтальные прямые должны иметь с полученной областью только одну общую точку. Легко заметить, что лишь прямые и удовлетворяют выдвинутому требованию.

Ответ: или.

Только что разобранные две задачи позволяют дать более конкретные рекомендации по сравнению с приведёнными раннее:

попытаться выразить параметр через переменную, т. е получить равенства вида, затем

на плоскости строить график функции.

Задание 3.

При каких значениях а уравнение имеет ровно три корня?

Решение.

Имеем

График этой совокупности – объединение «уголка» и параболы. Очевидно, лишь прямая пересекает полученное объединение в трёх точках.

Ответ: .

Замечание: Параметр обычно рассматривается как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причём «равноправная» с другими, присутствующими в задаче. При таком взгляде на параметр формы задают функции не с одной, а с двумя переменными.

Задание 4.

Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет одно решение.

Решение.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Находим корни квадратного трёхчлена:

С помощью полученной системы легко построить график исходного уравнения. Именно наличие «проколов» в этом графике позволяет при и = иметь уравнению единственное решение. Это определяющий фактор в решении.

Ответ : и.

Задание 5.

При каких значениях параметра, а уравнение имеет единственное решение.

Решение.

Запишем систему, равносильную исходному уравнению

Отсюда получаем

Строим график и будем проводить прямые перпендикулярные оси а .

Первые два неравенства системы задают множество точек, показанное штриховкой, причём в это множество не входят гиперболы и.

Тогда отрезок и луч, отрезок и луч, лежащие соответственно на прямых и , являются графиком исходного уравнения. Одно решение будет, если 2 < < или < или = .

Ответ : 2 < < или < или = .

Задание 6.

Найти все значения параметра а , при которых уравнение

имеет ровно два различных решения

Решение.

Рассмотрим совокупность двух систем

Если , то.

Если < , то.

Отсюда

или

Параболы и прямая имеют две общие точки: А (-2; - 2), В (-1; -1), причём, В – вершина первой параболы, D – вершина второй. Итак, график исходного уравнения показан на рисунке.

Должно быть ровно два различных решения. Это выполняется при или.

Ответ: или.

Задание 7.

Найдите множество всех чисел, для каждого из которых уравнение

имеет только два различных корня.

Решение.

Перепишем данное уравнение в виде

Корни уравнения, при условии, что.

Строим график данного уравнения. В данном случае график удобно строить, отнеся переменной ось ординат. Здесь ответ «считываем» вертикальными прямыми, получим, что данное уравнение имеет только два различных корня при = -1 или или.

Пунктиры говорят о том, что.

Ответ: при = -1 или или.

Задание 8.

Для каких в множестве решений неравенства содержится промежуток.

Решение.

Запишем совокупность двух систем, равносильную исходному уравнению:

или

Поскольку в решение первой системы ни а не может входить отрезок, то необходимые исследования проведём для второй системы.

Имеем

Обозначим . Тогда второе неравенство системы принимает вид < - и на координатной плоскости задаёт множество, показанное на рисунке.

С помощью рисунка устанавливаем, что при в полученном множестве содержатся все точки, абсциссы в которых пробегают все значения промежутка

Тогда, отсюда.

Ответ : .

Задание 9.

Найти все неотрицательные числа, при которых существует единственное число, удовлетворяющее системе

Решение.

Имеем,

Первое уравнение на координатной плоскости задаёт семейство вертикальных прямых. Прямые и разбивают плоскости на четыре области. Некоторые из них являются решениями неравенства системы. Конкретно какие – можно установить, взяв из каждой области по пробной точке. Та область, точка которой удовлетворяет неравенству, является его решением (такой приём ассоциируется с методом интервалов при решении неравенств с одной переменной). Строим прямые

Например, берём точку и подставляем в Координаты точки удовлетворяют неравенству.

Получаем две области (I ) и (II ), но, учитывая, что по условию, мы берём только область (I ). Строим прямые , k .

Итак, исходной системе удовлетворяют все точки (и только они), лежащие на лучах и выделенные на чертеже жирными линиями, (т. е. строим точки в заданной области).

Теперь надо найти единственное при фиксированном. Строим параллельные прямые, пересекающие ось. и находим где будет одна точка пересечения с прямой .

Находим по рисунку, что требование единственности решение достигается, если (при уже 2 точки),

где - ордината точки пересечения прямых и,

где – ордината точки пресечения прямых и.

Итак, получаем < .

Ответ: < .

Задание 10.

При каких значениях параметра, а система имеет решения?

Решение.

Разложим на множители левую часть неравенства системы, имеем

Строим прямые и. Показываем на рисунке штриховкой множество точек плоскости, удовлетворяющее неравенству системы.

Строим гиперболу = .

Тогда абсциссы выделенных дуг гиперболы – решения исходной системы. M , P , N , Q – узловые точки. Найдём их абсциссы.

Для точек P , Q имеем

Остаётся записать ответ: или.

Ответ: или.

Задание 11.

Найти все значения, при которых любое решение неравенства по модулю не превосходит двух ().

Решение .

Перепишем данное неравенство в таком виде. Построим графики уравнений и =.

«Методом интервалов» устанавливаем, что решением исходного неравенства будут заштрихованные области.

Теперь строим область и смотрим, какая её часть попадает в заштрихованную область.

Т.е. теперь, если при каком – то фиксированном значении прямая в пересечении с полученной областью даёт лишь точки, абсциссы которых удовлетворяют условию < 2, то – одно из искомых значений параметра.

Итак, мы видим, что.

Ответ: .

Задание 12.

При каких значениях параметра множество решений неравенства содержит не более четырёх целых значений?

Решение.

Преобразуем данное неравенство к виду. Это неравенство равносильно совокупности двух систем

или

Изображаем с помощью этой совокупности решение исходного неравенства.

Проведём прямые, где. Тогда значение, для которого прямая пересекает прямые не более чем в четырёх точках из отмеченного множества, будет искомым. Итак, мы видим, что или или.

Ответ: или или.

Задание 13.

При каких значениях параметра а имеет решения система

Решение.

Корни квадратного трёхчлена и.

Тогда

Строим прямые и.

Методом «интервалов» находим решение неравенства системы (заштрихованная область).

Та часть окружности с центром в начале координат и радиуса 2, которая попадает в заштрихованную область и будет решением данной системы. .

Значения и находим из системы

Значеня и – из системы.

Ответ:

Задание 14.

В зависимости от значений параметра а решить неравенство > .

Решение.

Перепишем данное неравенство в виде и рассмотрим функцию , которую, раскрывая модули, запишем так:

Строим график. График разбивает координатную плоскость на две области. Взяв т. (0;0) и подставив и в исходное неравенство, получим, что 0 > 1, и поэтому исходное неравенство выполняется в области лежащей выше графика.

Непосредственно из рисунка получаем:

при решений нет;

при ;

при.

Ответ: при решений нет;

при ;

при.

Задание 15.

Найдите все значения параметра, при котором система неравенств

удовлетворяется лишь при одном.

Решение.

Перепишем данную систему в таком виде:

Построим область, задаваемую данной системой.

1) , – вершина параболы.

2) - прямая, проходящая через точки и.

Требование единственности решения на графический язык переводится так: горизонтальные прямые с полученной областью должны иметь только одну общую точку. Выдвинутому требованию удовлетворяют прямые и, где – ордината точки пересечения параболы и прямой.

Найдём значение:

= (не подходит по смыслу задачи),

Находим ординату:

Ответ: ,

Задание 16.

Найти все значения параметра а, при которых система неравенств

удовлетворяет лишь при одном х.

Решение .

Построим параболы и штриховкой покажем решение последней системы.

1) , .

2) , .

Из рисунка видно, что условие задачи выполняется при или.

Ответ: или.

Задание 17.

При каких значениях уравнение имеет ровно три корня.

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности

График совокупности - объединение графиков параболы и уголка.

Прямые пересекают полученное объединение в трёх точках.

Ответ: при.

Задание 18.

При каких значениях уравнение имеет ровно три решения.

Решение.

Преобразуем левую часть данного уравнения. Получим квадратное уравнение относительно.

Получим уравнение

Которое равносильно совокупности

Объединение графиков парабол есть решение совокупности.

Находим ординату очки пересечения парабол:

Считываем нужную информацию с рисунка: данное уравнение имеет три решения при или

Ответ: при или

Задание 19.

В зависимости от параметра определить число корней уравнения

Решение .

Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно а.

,

.

Получаем совокупность

Строим графики уравнений совокупности и отвечаем на поставленный вопрос задачи.

Ответ: : нет решений;

: одно решение;

: два решения;

или: три решения;

или: четыре решения.

Задание 20.

Сколько решений имеет система

Решение.

Ясно, что количество корней второго уравнения системы равно числу решений самой системы.

Имеем, .

Рассмотрев это уравнение как квадратное относительно, получаем совокупность.

Теперь обращение к координатной плоскости делает задачу простой. Координаты точек пересечения находим, решив уравнение

Отсюда

Вершины парабол и.

Ответ: : четыре решения;

: два решения;

: одно решение;

: нет решений.

Задание 21.

Найти все действительные значения параметра, для которых уравнение имеет только два различных корня. Запишите эти корни.

Решение .

Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в скобках:

Изобразим множество решений данного уравнения в координатной плоскости, построив графики при условии, что

Считываем с рисунка нужную информацию. Итак, данное уравнение имеет два различных корня при (и) и при (и)

Ответ: при (и) и

при (и).

Задание 2 2 .

Решить систему неравенств:

Решение.

Строим в плоскости графики параболы и прямой.

Все точки закрашенной области – решение системы. Разобьём построенную область на две части.

Если и, то нет решений.

Если, то абсциссы точек закрашенной области будут больше абсцисс точек прямой, но меньше абсцисс (большего корня уравнения) параболы.

Выразим через из уравнения прямой:

Найдём корни уравнения:

Тогда.

Если же, то.

Ответ: при и 1 нет решений;

при;

при.

Задание 23.

Решить систему неравенств

Решение.

– вершина параболы.

Вершина параболы.

Находим абсциссы точек пересечения парабол:

Закрашенная область – решение системы. Разбиваем её на две части.

В уравнениях парабол выражаем через:

Записываем ответ:

если и, то нет решений;

если, то < ;

если, то.

Задание 24.

При каких значениях, а уравнение не имеет решений?

Решение.

Уравнение равносильно системе

Построим множество решений системы.

Три кусочка параболы решение данного уравнения.

Найдем при котором и исключим его.

Итак, при нет решений;

при нет решений;

(замечание: при остальных а есть одно или два решения).

Ответ: ; .

Задание 25.

При каких действительных значениях параметра существует хотя бы одно, удовлетворяющее условиям:

Решение.

Решим графически «методом интервалов» неравенство в и построим график. Посмотрим, какая часть графика попадает в построенную область решения неравенства, и найдём соответствующие значения а .

Строим графики прямых и

Они разбивают координатную плоскость на 4 области.

«Методом интервалов» решим графически последнее неравенство.

Заштрихованная область является его решением. В эту область попадает часть графика параболы. На интервале; (по условию неравенство системы строгое) существуют, удовлетворяющие условиям данной системы.

Ответ:

Задание 26.

Найдите все значения параметра, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства.

Решение.

Построим множество решений неравенства («методом интервалов»). Затем построим «полосу» Искомые значения параметра q те, при которых ни одна из точек указанных областей не принадлежит «полосе»

Ответ: или.

Задание 27.

При каких значениях параметра, уравнение имеет единственное решение.

Решение.

Разложим на множители числитель дроби.

Данное уравнение равносильно системе:

Построим график совокупности в координатной плоскости.

или

– точка пересечения прямых и. График совокупности - объединение прямых.

«Выкалываем» точки графика с абсциссами,.

Проводим прямые и смотрим, где существует одна точка пересечения с графиком.

Очевидно, что только при или данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: или.

Задание 28.

При каких действительных значениях параметра система неравенств не имеет решений.

Решение.

Множество точек плоскости заштрихованной области удовлетворяет данной системе неравенств.

Строим прямые. По рисунку определяем, что при (- абсцисса точки пересечения гиперболы и прямой) прямые не пересекают заштрихованную область.

Ответ: при.

Задание 29.

При каких значениях параметра а система имеет единственное решение.

Решение.

Перейдём к системе, равносильной данной.

В координатной плоскости построим графики парабол и Вершины парабол соответственно точки и.

Вычислим абсциссы точек пересечения парабол, решив уравнение

Заштрихованная область – решения системы неравенств. Прямые и

имеет с закрашенной областью одну общую точку.

Ответ: при и.

Задание 30.

Решите неравенство:

Решение.

В зависимости от параметра найдём значение.

Неравенство будем решать «методом интервалов».

Построим параболы

: .

Вычислим координаты точки пересечения парабол:

Точки закрашенной области удовлетворяют данному неравенству. Проведя прямую, разобьём эту область на три части.

1) Если, то нет решений.

2)Если, то в уравнении выразим через :

Таким образом, в области I имеем.

Если, то смотрим:

а) область II .

Выразим в уравнении через .

Меньший корень,

Больший корень.

Итак, в области II имеем.

б) область III : .

Ответ: при нет решений;

при

при, .

Литература:

Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1994.

П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.

Фаддеев Д. К. Алгебра 6 – 8. – М.: Просвещение, 1983 (б – ка учителя математики).

А. Х. Шахмейстер. Уравнения и неравенства с параметрами. Под редакцией Б. Г. Зива. С – Петербург. Москва. 2004.

В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. Задачи с параметрами Минск «Асар», 2002.

А. Х. Шахмейстер. Задачи с параметрами в ЕГЭ. Издательство Московского университета, ЧеРо на Неве МЦНМО.