Uch turdagi parallelepiped. To'rtburchak parallelepiped

Geometriyada asosiy tushunchalar tekislik, nuqta, to'g'ri chiziq va burchakdir. Ushbu atamalardan foydalanib, siz har qanday geometrik figurani tasvirlashingiz mumkin. Ko'p yuzlilar odatda ko'proq ma'noda tavsiflanadi oddiy raqamlar aylana, uchburchak, kvadrat, to'rtburchak va boshqalar kabi bir tekislikda yotadigan . Ushbu maqolada biz parallelepiped nima ekanligini ko'rib chiqamiz, parallelepipedlarning turlarini, uning xususiyatlarini, qanday elementlardan iboratligini tavsiflaymiz, shuningdek, parallelepipedning har bir turi uchun maydon va hajmni hisoblashning asosiy formulalarini beramiz.

Ta'rif

Uch o'lchovli fazodagi parallelepiped prizma bo'lib, uning barcha tomonlari parallelogrammlardir. Shunga ko'ra, u faqat uchta juft parallel parallelogramm yoki oltita yuzga ega bo'lishi mumkin.

Parallelepipedni tasavvur qilish uchun oddiy standart g'ishtni tasavvur qiling. G'isht - yaxshi misol hatto bola ham tasavvur qila oladigan to'rtburchaklar parallelepiped. Boshqa misollar orasida ko'p qavatli binolar mavjud panelli uylar, shkaflar, saqlash idishlari oziq-ovqat mahsulotlari tegishli shakl va boshqalar.

Shaklning xilma-xilligi

Faqat ikkita turdagi parallelepipedlar mavjud:

1. To'rtburchaklar, barcha yon tomonlari asosga 90 ° burchak ostida joylashgan va to'rtburchaklardir.
2. Eğimli, yon qirralari poydevorga ma'lum bir burchak ostida joylashgan.

Bu raqamni qanday elementlarga bo'lish mumkin?

• Boshqa har qanday geometrik figurada bo'lgani kabi, parallelepipedda umumiy qirrali har qanday 2 yuz qo'shni deb ataladi va unga ega bo'lmaganlar parallel (parallel qarama-qarshi tomonlari juft bo'lgan parallelogramma xususiyatiga asoslanadi).
• Parallelepipedning bir yuzida yotmaydigan uchlari qarama-qarshi deyiladi.
• Bunday cho'qqilarni bog'laydigan segment diagonaldir.
• Kuboidning bir cho'qqisida tutashgan uch chetining uzunligi uning o'lchamlari (ya'ni uzunligi, kengligi va balandligi).

Shakl xususiyatlari

1. U har doim diagonalning o'rtasiga nisbatan nosimmetrik tarzda qurilgan.
2. Barcha diagonallarning kesishish nuqtasi har bir diagonalni ikkita teng segmentga ajratadi.
3. Qarama-qarshi yuzlar uzunligi teng va parallel chiziqlar ustida yotadi.
4. Agar siz parallelepipedning barcha o'lchamlari kvadratlarini qo'shsangiz, natijada olingan qiymat diagonal uzunligi kvadratiga teng bo'ladi.

Hisoblash formulalari

Parallelepipedning har bir alohida holati uchun formulalar boshqacha bo'ladi.

Ixtiyoriy parallelepiped uchun uning hajmi teng ekanligi haqiqatdir mutlaq qiymat bir tepadan chiqadigan uch tomon vektorlarining uch karra skalyar ko'paytmasi. Biroq, ixtiyoriy parallelepipedning hajmini hisoblash uchun formula yo'q.

To'rtburchaklar parallelepiped uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - raqamning hajmi;
• Sb - lateral sirt maydoni;
• Sp - maydon to'liq sirt;
• a - uzunlik;
• b - kenglik;
• c - balandlik.

Barcha tomonlari kvadratlardan iborat bo'lgan parallelepipedning yana bir alohida holati kubdir. Agar kvadratning har qanday tomoni a harfi bilan belgilangan bo'lsa, unda ushbu raqamning sirt maydoni va hajmi uchun quyidagi formulalardan foydalanish mumkin:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S - rasmning maydoni,
• V - rasmning hajmi,
• a - figuraning yuzining uzunligi.

Biz ko'rib chiqayotgan parallelepipedning oxirgi turi to'g'ri parallelepipeddir. To'g'ri parallelepiped va kuboid o'rtasidagi farq nima, deb so'raysiz. Gap shundaki, to'rtburchaklar parallelepipedning asosi har qanday parallelogram bo'lishi mumkin, lekin to'g'ri parallelepipedning asosi faqat to'rtburchak bo'lishi mumkin. Agar poydevorning perimetrini barcha tomonlari uzunliklari yig‘indisiga teng Po deb belgilab, balandligini h harfi bilan belgilasak, umumiy miqdorning hajmi va maydonlarini hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalanishga haqlimiz. va lateral yuzalar.

Parallelepiped - asoslari parallelogramm bo'lgan prizma. Bunday holda, barcha qirralar bo'ladi parallelogrammalar.
Har bir parallelepipedni uchta prizma deb hisoblash mumkin turli yo'llar bilan, chunki har ikki qarama-qarshi yuz asos sifatida olinishi mumkin (5-rasmda ABCD va A"B"C"D" yoki ABA"B" va CDC"D" yoki VSV"C" va ADA"D" yuzlari) .
Ko'rib chiqilayotgan tananing o'n ikkita qirrasi bor, to'rtta teng va bir-biriga parallel.
Teorema 3 . Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va ularning har birining o'rtasiga to'g'ri keladi.
Parallelepiped ABCDA"B"C"D" (5-rasm) to'rt diagonali AC, BD, CA, DB"ga ega. Ularning har ikkisining oʻrta nuqtalari, masalan, AC va BD” mos kelishini isbotlashimiz kerak.Bu shundan kelib chiqadiki, ABC“D” figurasi teng va parallel tomonlar AB va C "D" parallelogrammdir.
Ta'rif 7 . To'g'ri parallelepiped - parallelepiped ham to'g'ri prizma, ya'ni yon qirralari asos tekisligiga perpendikulyar bo'lgan parallelepiped.
Ta'rif 8 . To'g'ri to'rtburchak parallelepiped asosi to'rtburchak bo'lgan to'g'ri parallelepipeddir. Bunday holda, uning barcha yuzlari to'rtburchaklar bo'ladi.
To'rtburchak parallelepiped to'g'ri prizmani ifodalaydi, uning qaysi yuzini asos qilib olishimizdan qat'iy nazar, chunki uning har bir qirrasi bir xil cho'qqidan chiqadigan qirralarga perpendikulyar va shuning uchun bu qirralar bilan aniqlangan yuzlar tekisliklariga perpendikulyar bo'ladi. . Bundan farqli o'laroq, to'g'ri, lekin to'rtburchaklar bo'lmagan parallelepipedni faqat bitta usulda to'g'ri prizma sifatida ko'rish mumkin.
Ta'rif 9 . To'g'ri burchakli parallelepipedning ikkitasi bir-biriga parallel bo'lmagan uchta chetining uzunligi (masalan, bitta cho'qqidan chiqadigan uchta qirrasi) uning o'lchamlari deb ataladi. Tegishli o'lchamlarga ega bo'lgan ikkita to'rtburchaklar parallelepipedlar bir-biriga tengdir.
Ta'rif 10 .Kub to'rtburchaklar parallelepiped bo'lib, uning barcha uch o'lchami bir-biriga teng, shuning uchun uning barcha yuzlari kvadratdir. Qirralari teng bo'lgan ikkita kub tengdir.
Ta'rif 11 . Barcha qirralari bir-biriga teng va barcha yuzlarining burchaklari teng yoki bir-birini to'ldiruvchi qiya parallelepiped romboedr deyiladi.
Rombedrning barcha yuzlari teng romblardir. (Ba'zi kristallar rombedr shakliga ega, ular bor katta ahamiyatga ega, masalan, Islandiya shpati kristallari.) Rombedrda siz shunday cho'qqi (va hatto ikkita qarama-qarshi cho'qqi) topishingiz mumkin, shunda unga qo'shni barcha burchaklar bir-biriga teng bo'ladi.
Teorema 4 . To'g'ri burchakli parallelepipedning diagonallari bir-biriga teng. Diagonalning kvadrati uch o'lchamdagi kvadratlarning yig'indisiga teng.
To'g'ri burchakli ABCDA"B"C"D" parallelepipedida (6-rasm) AC" va BD" diagonallari teng, chunki ABC"D" to'rtburchak to'rtburchakdir (AB to'g'ri chiziq ECB tekisligiga perpendikulyar" C", BC yotadi").
Bundan tashqari, gipotenuzaning kvadrati haqidagi teorema asosida AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2. Lekin xuddi shu teorema asosida AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; demak, biz ega:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

Parallelepiped - bu geometrik shakl, ularning barcha 6 yuzi parallelogrammdir.

Ushbu parallelogrammalarning turiga qarab, ular mavjud quyidagi turlar parallelepiped:

• Streyt;
• moyil;
• to'rtburchaklar.

Toʻgʻri parallelepiped toʻrtburchak prizma boʻlib, uning qirralari asos tekisligi bilan 90° burchak hosil qiladi.

To'rtburchak parallelepiped to'rtburchak prizma bo'lib, uning barcha yuzlari to'rtburchaklardir. Kub xilma-xildir to'rtburchak prizma, unda barcha yuzlar va qirralar bir-biriga teng.

Shaklning xususiyatlari uning xususiyatlarini oldindan belgilaydi. Bularga quyidagi 4 ta bayonot kiradi:

Yuqoridagi barcha xususiyatlarni eslab qolish juda oddiy, ular tushunish oson va geometrik jismning turi va xususiyatlaridan kelib chiqqan holda mantiqiy ravishda olinadi. Biroq, oddiy bayonotlar qaror qabul qilishda juda foydali bo'lishi mumkin tipik vazifalar Yagona davlat imtihoni va testdan o'tish uchun vaqtni tejaydi.

Parallelepiped formulalari

Muammoga javob topish uchun faqat rasmning xususiyatlarini bilish etarli emas. Geometrik jismning maydoni va hajmini topish uchun sizga ba'zi formulalar kerak bo'lishi mumkin.

Poydevorlarning maydoni parallelogramm yoki to'rtburchakning mos keladigan ko'rsatkichi bilan bir xil tarzda topiladi. Siz parallelogrammning asosini o'zingiz tanlashingiz mumkin. Qoidaga ko'ra, muammolarni hal qilishda asosi to'rtburchaklar bo'lgan prizma bilan ishlash osonroq.

Test topshiriqlarida parallelepipedning lateral yuzasini topish formulasi ham kerak bo'lishi mumkin.

Yagona davlat imtihonining odatiy vazifalarini hal qilish misollari

1-mashq.

Berilgan: o'lchamlari 3, 4 va 12 sm bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped.
Kerakli shaklning asosiy diagonallaridan birining uzunligini toping.
Yechim: Geometrik muammoning har qanday yechimi to'g'ri va aniq chizmani qurish bilan boshlanishi kerak, unda "berilgan" va kerakli qiymat ko'rsatiladi. Quyidagi rasmda misol ko'rsatilgan to'g'ri dizayn vazifa shartlari.

Tuzilgan chizmani o'rganib chiqib, geometrik jismning barcha xususiyatlarini eslab, biz yagona narsaga keldik to'g'ri yo'l yechimlar. Parallelepipedning 4-xususiyatidan foydalanib, quyidagi ifodani olamiz:

Oddiy hisob-kitoblardan keyin b2=169 ifodasini olamiz, shuning uchun b=13. Vazifaga javob topildi, uni qidirish va chizish uchun 5 daqiqadan ko'proq vaqt sarflashingiz kerak.

dan tarjima qilingan yunon tili parallelogramma tekislikni bildiradi. Parallelepiped - poydevorida parallelogramm bo'lgan prizma. Parallelogrammaning besh turi mavjud: qiya, tekis va kuboid. Kub va rombedr ham parallelepipedga tegishli va uning xilma-xilligi hisoblanadi.

Asosiy tushunchalarga o'tishdan oldin, ba'zi ta'riflarni beraylik:

• Parallelepipedning diagonali - parallelepipedning bir-biriga qarama-qarshi bo'lgan uchlarini birlashtiruvchi segment.
• Agar ikkita yuzning umumiy chekkasi bo'lsa, biz ularni qo'shni qirralar deb atashimiz mumkin. Agar umumiy chekka bo'lmasa, unda yuzlar qarama-qarshi deb ataladi.
• Bir yuzda yotmaydigan ikkita cho'qqi qarama-qarshi deyiladi.

Parallelepiped qanday xususiyatlarga ega?

1. Qarama-qarshi tomonlarda yotgan parallelepipedning yuzlari bir-biriga parallel va bir-biriga teng.
2. Agar siz bir cho'qqidan ikkinchisiga diagonallarni chizsangiz, bu diagonallarning kesishish nuqtasi ularni ikkiga bo'ladi.
3. Poydevorga bir xil burchak ostida yotgan parallelepipedning tomonlari teng bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, birgalikda yo'naltirilgan tomonlarning burchaklari bir-biriga teng bo'ladi.

Qanday turdagi parallelepipedlar mavjud?

Endi qanaqa parallelepipedlar borligini aniqlaylik. Yuqorida aytib o'tilganidek, bu raqamning bir nechta turlari mavjud: to'g'ri, to'rtburchaklar, moyil parallelepiped, shuningdek, kub va rombedr. Ular bir-biridan qanday farq qiladi? Hammasi ularni tashkil etuvchi tekisliklar va ular hosil qiladigan burchaklar haqida.

Keling, sanab o'tilgan parallelepiped turlarining har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

• Nomidan aniq bo'lganidek, eğimli parallelepipedning eğimli yuzlari bor, ya'ni poydevorga nisbatan 90 daraja burchak ostida bo'lmagan yuzlar.
• Ammo to'g'ri parallelepiped uchun poydevor va chekka orasidagi burchak to'liq to'qson daraja. Aynan shuning uchun bu turdagi parallelepipedlar shunday nomga ega.
• Agar parallelepipedning barcha yuzlari bir xil kvadratlar bo'lsa, bu raqamni kub deb hisoblash mumkin.
• To'rtburchak parallelepiped bu nomni uni tashkil etuvchi tekisliklar tufayli oldi. Agar ularning barchasi to'rtburchaklar (shu jumladan asos) bo'lsa, bu kuboiddir. Ushbu turdagi parallelepiped juda tez-tez uchramaydi. Yunon tilidan tarjima qilingan rombedron yuz yoki asosni anglatadi. Bu yuzlari romb bo'lgan uch o'lchamli figuraga berilgan nom.

Parallelepiped uchun asosiy formulalar

Parallelepipedning hajmi poydevor maydoni va uning poydevorga perpendikulyar balandligi ko'paytmasiga teng.

Yon yuzaning maydoni poydevor va balandlikning perimetri mahsulotiga teng bo'ladi.
Asosiy ta'riflar va formulalarni bilib, siz asosiy maydon va hajmni hisoblashingiz mumkin. Baza sizning ixtiyoringiz bilan tanlanishi mumkin. Biroq, qoida tariqasida, to'rtburchak asos sifatida ishlatiladi.

Yoki (ekvivalent) oltita yuzli va ularning har biri - ko'pburchak. parallelogramma.

Parallelepiped turlari

Bir necha turdagi parallelepipedlar mavjud:

• Kuboid - bu barcha yuzlari to'rtburchaklar bo'lgan parallelepiped.
• To'g'ri parallelepiped - bu to'rtburchaklar bo'lgan 4 ta lateral yuzli parallelepiped.
• Nishabli parallelepiped - yon yuzlari asoslarga perpendikulyar bo'lmagan parallelepiped.

Muhim elementlar

Parallelepipedning umumiy qirrasi bo'lmagan ikki yuzi qarama-qarshi, umumiy chetiga ega bo'lgan yuzlari esa qo'shni deyiladi. Parallelepipedning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita uchi qarama-qarshi deyiladi. Qarama-qarshi cho'qqilarni bog'laydigan segment parallelepipedning diagonali deyiladi. To'g'ri burchakli parallelepipedning umumiy uchiga ega bo'lgan uchta chetining uzunligi uning o'lchamlari deb ataladi.

Xususiyatlari

• Parallelepiped diagonalining o'rtasiga nisbatan simmetrikdir.
• Ulari parallelepiped yuzasiga tegishli bo'lgan va uning diagonalining o'rtasidan o'tadigan har qanday segment uning yarmiga bo'linadi; xususan, parallelepipedning barcha diagonallari bir nuqtada kesishadi va u bilan ikkiga bo'linadi.
• Parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari parallel va tengdir.
• To'rtburchaklar parallelepipedning diagonal uzunligining kvadrati uning uch o'lchami kvadratlarining yig'indisiga teng.

Asosiy formulalar

To'g'ri parallelepiped

Yanal sirt maydoni S b =P o *h, bu erda P o - asosning perimetri, h - balandlik

Umumiy sirt maydoni S p =S b +2S o, bu erda S o - tayanch maydoni

Ovoz balandligi V=S o *h

To'rtburchak parallelepiped

Yanal sirt maydoni S b =2c(a+b), bu yerda a, b asosning tomonlari, c to‘rtburchak parallelepipedning yon qirrasi.

Umumiy sirt maydoni S p =2(ab+bc+ac)

Ovoz balandligi V=abc, bu erda a, b, c to'rtburchaklar parallelepipedning o'lchamlari.

Kub

Sirt maydoni: $S=6a^2$
Ovoz balandligi: $V=a^3$, Qayerda $a$- kubning cheti.

Har qanday parallelepiped

Eğimli parallelepipeddagi hajm va nisbatlar ko'pincha vektor algebrasi yordamida aniqlanadi. Parallelepipedning hajmi aralash mahsulotning mutlaq qiymatiga teng uchta vektor, parallelepipedning bir tepadan chiqadigan uch tomoni bilan belgilanadi. Parallelepiped tomonlarining uzunliklari va ular orasidagi burchaklar o'rtasidagi munosabat ko'rsatilgan uchta vektorning Gram determinanti ularning kvadratiga teng degan fikrni beradi. aralash mahsulot :215 .

Matematik tahlilda

IN matematik tahlil n o'lchamli kuboid ostida $B$ ko'p narsalarni tushunish $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ mehribon $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

"Parallepiped" maqolasi haqida sharh yozing

Eslatmalar

Havolalar

To'g'ri To'g'ri qavariq bo'lmagan Qavariq formulalar, teoremalar, nazariyalar Boshqa

Parallelepipedni tavsiflovchi parcha

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine... [Raqiblar shu kasallik tufayli yarashgan, deyishadi.]
Angina so'zi katta zavq bilan takrorlandi.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Qadimgi graf juda ta’sirli, deyishadi. Shifokor kelganida u boladek yig‘lab yubordi. Bu xavfli ishni aytdi.]
- Oh, ce serait une perte terrible. C"est une femme ravissante. [Oh, bu katta yo‘qotish bo‘lardi. Bunday yoqimli ayol.]
- Vous parlez de la pauvre comtesse, - dedi Anna Pavlovna yaqinlashib. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde", dedi Anna Pavlovna uning ishtiyoqidan jilmayib. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merit. Elle est bien malheureuse, [Siz bechora grafinya haqida gapiryapsiz... Men uning sog'lig'ini bilish uchun yubordim. Ular menga u o'zini biroz yaxshi his qilayotganini aytishdi. Oh, shubhasiz, bu dunyodagi eng yoqimli ayol. Biz turli lagerlarga mansubmiz, lekin bu meni uning xizmatlari uchun hurmat qilishimga to'sqinlik qilmaydi. U juda baxtsiz.] - qo'shimcha qildi Anna Pavlovna.
Anna Pavlovna bu so'zlari bilan grafinyaning kasalligi ustidan sir pardasini biroz ko'tarayotganiga ishongan bir beparvo yigit mashhur shifokorlar chaqirilmaganidan hayratda qolishga ruxsat berdi, lekin grafinya xavfli bo'lishi mumkin bo'lgan charlatan tomonidan davolanmoqda. davolar.
— Vos information peuvent etre meilleures que les miennes, — Anna Pavlovna birdan tajribasiz odamga zahar bilan hujum qildi. Yosh yigit. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Ispanya. [Sizning xabarlaringiz menikidan ko'ra aniqroq bo'lishi mumkin... lekin men yaxshi manbalar Bilaman, bu shifokor juda bilimdon va mohir inson. Bu Ispaniya qirolichasining hayot shifokori.] - Shunday qilib, yigitni yo'q qilib, Anna Pavlovna Bilibinga o'girildi, u boshqa davrada terini oldi va aftidan, un mot deyish uchun uni bo'shatib yubormoqchi bo'lib gapirdi. avstriyaliklar haqida.
“Je trouve que c"est charmant! [Menga maftunkor tuyuladi!]”, dedi u Vitgenshteyn olgan Avstriya bayroqlari Venaga yuborilgan diplomatik qog‘oz, le heros de Petropol [Petropol qahramoni] haqida. Peterburgda chaqirilgan).
- Qanday, bu qanday? - Anna Pavlovna unga o'girilib, sukunatni uyg'otib, o'zi allaqachon bilgan ovozni eshitish uchun.
Va Bilibin o'zi tuzgan diplomatik jo'natmaning quyidagi asl so'zlarini takrorladi:
"L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," dedi Bilibin, "drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [Imperator Avstriya bannerlarini, haqiqiy yo'ldan tashqarida topib olgan do'stona va yo'qolgan bannerlarni yuboradi.], ” Bilibin tugatdi , terini yumshatib.
"Maftunkor, jozibali, [Go'zal, maftunkor", dedi shahzoda Vasiliy.
"C"est la route de Varsovie peut être, [Bu Varshava yo‘lidir, balki.] - dedi baland ovozda va kutilmaganda shahzoda Gippolit. Hamma uning nima demoqchi ekanligini tushunmay, orqasiga qaradi. Shahzoda Gippolit ham orqasiga qaradi. atrofida quvnoq hayrat bilan u, boshqalar kabi, o'zining diplomatik faoliyati davomida, bu tarzda aytilgan so'zlar to'satdan juda hazil bo'lib chiqqanini bir necha bor payqagan edi. "Balki, bu juda yaxshi bo'ladi", deb o'yladi u, "haqiqatan ham, buni o'sha erda tartibga solish mumkin." Noqulay sukunat hukm surdi, o'sha etarli darajada vatanparvarlik yuzi ichkariga kirdi va u jilmayib, Ippolitga barmog'ini silkitib, knyaz Vasiliyni stolga taklif qildi va unga ikkita sham va qo'lyozmani taqdim qilib, hamma narsa jim bo'ldi .