Maktab kursida planimetriyani o'rgatish

Tomonlari mos ravishda parallel boʻlgan burchaklar xossasi haqidagi teorema berilgan burchaklarning ikkalasi ham oʻtkir, yoki ikkalasi ham oʻtkir yoki ularning biri oʻtkir, ikkinchisi oʻtkir boʻlgan holatlar uchun koʻrib chiqilishi kerak.

Teorema topadi keng qo'llanilishi turli figuralarning xususiyatlarini va, xususan, to'rtburchakni o'rganishda.

Teoremalarni shakllantirishda ba'zan topiladigan, mos keladigan parallel tomonlari bo'lgan burchaklarning tomonlari bir xil yoki qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lishi mumkinligini ko'rsatish keraksiz deb hisoblanadi. Agar biz "yo'nalish" atamasini ishlatadigan bo'lsak, unda bu so'z bilan nimani tushunish kerakligini aniqlab olish kerak bo'ladi. Tomonlari mos ravishda parallel boʻlgan burchaklar ikkalasi ham oʻtkir yoki ikkalasi ham oʻtkir boʻlsa, lekin burchaklardan biri oʻtkir, ikkinchisi oʻtkir boʻlsa, ularning yigʻindisi 2d ga teng boʻlishiga oʻquvchilar eʼtiborini qaratish kifoya.

Tomonlari mos keladigan perpendikulyar bo'lgan burchaklar haqidagi teorema to'g'ri keladigan parallel tomonlarga ega bo'lgan burchaklar xossasi haqidagi teoremadan so'ng darhol berilishi mumkin. O’quvchilarga mos ravishda parallel va perpendikulyar tomonlari bo’lgan burchaklarning xossalarini moslamalar va mashina qismlarida qo’llashga misollar keltiriladi.

Uchburchak burchaklarining yig'indisi

Uchburchak burchaklarining yig‘indisi haqidagi teoremani chiqarishda ko‘rgazmali qurollardan foydalanish mumkin. ABC uchburchagi kesiladi, uning burchaklari raqamlanadi, keyin ular kesiladi va bir-biriga qo'llaniladi. l+2+3=2d bo'lib chiqadi. ABC uchburchakning C cho'qqisidan CD balandligini torting va uchburchakni balandlik yarmiga bo'linadigan qilib egib oling, ya'ni. C cho'qqisi D nuqtaga tushdi - balandlikning asosi. MN egilish chizig'i ABC uchburchakning o'rta chizig'idir. Keyin ular egiladilar teng yonli uchburchaklar AMD va DNB balandliklari bo'yicha, A va B uchlari D nuqtaga to'g'ri keladi va l+2+3=2d.

Shuni esda tutish kerakki, geometriyaning tizimli kursida ko'rgazmali qurollardan foydalanish taklifning mantiqiy isbotini eksperimental tekshirish bilan almashtirish uchun mo'ljallanmagan. Ko‘rgazmali qurollar o‘quvchilarning u yoki bu geometrik fakt, u yoki bu geometrik figuraning xossalari va uning alohida elementlarining nisbiy o‘rnini tushunishlarini osonlashtirishi kerak. Uchburchak burchagining o'lchamini aniqlashda talabalarga uchburchakning tashqi burchagi to'g'risidagi ilgari muhokama qilingan teoremani eslatish va uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema qurish va hisoblash yo'li bilan aniqlashga imkon berishini ko'rsatishi kerak. ularga qo'shni bo'lmagan tashqi va ichki burchaklar orasidagi sonli munosabat.

Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema natijasida to'g'ri burchakli uchburchakda 30 gradus burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq gipotenuzaning yarmiga teng ekanligi isbotlangan.

Materialni o'rganish jarayonida talabalar savollar berishlari kerak va oddiy vazifalar, yangi materialni yaxshiroq o'zlashtirishga yordam berish. Masalan, Qaysi chiziqlar parallel deyiladi?

Ko'ndalangning qaysi holatida ikkita parallel chiziq hosil qilgan barcha burchaklar va bu ko'ndalang teng?

Poydevorga parallel bo'lgan uchburchakda chizilgan to'g'ri chiziq undan kichik uchburchakni kesib tashlaydi. Kesilgan uchburchak va berilgan uchburchak mos ekanligini isbotlang.

Agar burchaklardan biri 72 gradus ekanligi ma'lum bo'lsa, ikkita parallel va ko'ndalang bo'lgan barcha burchaklarni hisoblang.

Ichki bir tomonlama burchaklar mos ravishda 540 va 1230 ga teng. Chiziqlar parallel bo'lishi uchun chiziqlardan birini ko'ndalang bilan kesishgan nuqtasi atrofida necha gradusga aylantirish kerak?

Quyidagilarning bissektrisalari: a) ikkita parallel toʻgʻri va koʻndalangdan hosil boʻlgan ikkita teng, lekin qarama-qarshi boʻlmagan burchaklar parallel, b) bir xil toʻgʻri va koʻndalang boʻlgan ikkita teng boʻlmagan burchaklar perpendikulyar ekanligini isbotlang.

Ikkita parallel AB va CD to'g'ri chiziq va bu chiziqlarni K va L nuqtalarda kesib o'tuvchi EF sekant berilgan. AKL va BKL burchaklarining chizilgan KM va KN bissektorlari CD to'g'ri chiziqdagi MN segmentini kesib tashladi. Parallellar orasiga o'ralgan KL sekant segmenti a ga teng ekanligi ma'lum bo'lsa, MN uzunligini toping.

Uchburchakning turi qanday: a) har qanday ikkita burchak yig‘indisi d dan katta, b) ikki burchak yig‘indisi d ga teng, c) ikki burchak yig‘indisi d dan kichik? Javob: a) o'tkir burchakli, b) to'rtburchakli, v) o'tkir burchakli. Uchburchakning tashqi burchaklarining yig‘indisi necha marta? miqdoridan ortiq uning ichki burchaklari? Javob: 2 marta.

Uchburchakning barcha tashqi burchaklari: a) o'tkir, b) o'tmas, v) to'g'ri bo'lishi mumkinmi? Javob: a) yo'q, b) ha, v) yo'q.

Qaysi uchburchakning har bir tashqi burchagi ichki burchakdan ikki baravar katta? Javob: teng tomonli.

Parallel chiziqlar texnikasini o'rganishda tarixiy, nazariy va uslubiy adabiyotlar parallel chiziqlar tushunchasini to'liq shakllantirish.

1-TEOREMA.O'zaro perpendikulyar tomonlari bo'lgan burchaklarning tengligi:Agar
ham o'tkir yoki ikkalasi ham o'tkir va
,
, Bu
. TEOREMA 2. Trapetsiya o'rta chizig'ining xossalari:A) trapetsiyaning o‘rta chizig‘i trapetsiya asoslariga parallel;B) o'rta chiziq trapetsiya asoslari yig'indisining yarmiga teng;C) o'rta chiziq (va faqat u) trapetsiya asoslari orasiga o'ralgan har qanday segmentni ikkiga bo'ladi. Bu xususiyatlar uchburchakning o'rta chizig'i uchun ham amal qiladi, agar biz uchburchakni "buzilgan" trapezoid deb hisoblasak, uning asoslaridan biri nolga teng uzunlikka ega. TEOREMA 3. Uchburchak medianalari, bissektrisalari, balandliklarining kesishish nuqtalari haqida:A) uchburchakning uchta medianasi bir nuqtada kesishadi (u uchburchakning og'irlik markazi deb ataladi) va bu nuqtada cho'qqidan sanab, 2: 1 nisbatda bo'linadi;B) uchburchakning uchta bissektrisasi bir nuqtada kesishadi;C) uchta balandlik bir nuqtada kesishadi (u uchburchakning ortomarkazi deyiladi).TEOREMA 4. Toʻgʻri burchakli uchburchakdagi mediananing xossasi:to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga chizilgan mediana uning yarmiga teng. Qarama-qarshi teorema ham to'g'ri: agar uchburchakda medianalardan biri chizilgan tomonning yarmiga teng bo'lsa, bu uchburchak to'g'ri burchakli.TEOREMA 5. uchburchakning ichki burchagi bissektrisasining xossasi:Uchburchakning ichki burchagining bissektrisasi u chizilgan tomonni qarama-qarshi tomonlarga proportsional qismlarga ajratadi:
TEOREMA 6. To'g'ri burchakli uchburchakdagi metrik munosabatlar:AgaraVab- oyoqlar,c- gipotenuza,h- balandlik, Va - oyoqlarning gipotenuzaga proyeksiyalari, keyin: a)
; b)
; V)
; G)
; d)
TEOREMA 7. Uchburchak turini tomonlariga qarab aniqlash:Maylia, b, c– uchburchakning tomonlari, c eng katta tomoni; Keyin:Agar
, keyin uchburchak o'tkir;B) agar
, keyin uchburchak to'g'ri burchakli;B) agar
, u holda uchburchak to'liq bo'ladi.TEOREMA 8. Paralelogrammadagi metrik munosabatlar:Paralelogramma diagonallarining kvadratlari yig'indisi uning barcha tomonlari kvadratlarining yig'indisiga teng:
. Geometrik muammolarni hal qilishda siz ko'pincha ikkita segment (yoki burchak) tengligini o'rnatishingiz kerak. Ko'rsataylik Ikki segmentning tengligini geometrik isbotlashning uchta asosiy usuli: 1) segmentlarni ikkita uchburchakning tomonlari deb hisoblang va bu uchburchaklar teng ekanligini isbotlang; 2) segmentlarni uchburchakning tomonlari sifatida ifodalang va bu uchburchak teng yonli ekanligini isbotlang; 3 ) segmentni almashtiring A teng segment , va segment b – unga teng va segmentlarning tengligini isbotlang va. Vazifa 1.Ikki o'zaro perpendikulyar chiziq tomonlarni kesib o'tadiAB, Miloddan avvalgi, CD, ADkvadratA B C DnuqtalardaE, F, K, Lmos ravishda. Buni isbotlangE.K. = FL(1-sonli vazifa uchun rasmga qarang).R

Guruch. №1 vazifaga

Yechim: 1. Ikki segmentning tengligi uchun yuqoridagi yo'llarning birinchisidan foydalanib, biz segmentlarni chizamiz
Va
- keyin bizni qiziqtirgan segmentlar E.K. Va FL ikkita to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlariga aylanadi EPK Va FML(1-sonli vazifa uchun rasmga qarang). 2

Guruch. №1 vazifaga

Bizda ... bor: PK = FM(batafsil ma'lumot: PK = AD, AD = AB, AB = FM, degani,PK = FM), (tomonlari o'zaro perpendikulyar bo'lgan burchaklar sifatida, 1-teorema). Bu degani (oyoq va o'tkir burchak bo'ylab). To'g'ri burchakli uchburchaklarning tengligidan ularning gipotenuslari teng ekanligi kelib chiqadi, ya'ni. segmentlar E.K. Va FL. ■ E'tibor bering, geometrik masalalarni yechishda siz ko'pincha qo'shimcha konstruktsiyalarni bajarishingiz kerak bo'ladi, masalan: rasmdagilardan biriga parallel yoki perpendikulyar to'g'ri chiziq chizish (1-topshiriqda qilganimiz kabi); uchburchakni parallelogramm hosil qilish uchun uning medianasini ikki baravar oshirish (buni 2-masalada qilamiz), yordamchi bissektrisa chizish. Doira bilan bog'liq foydali qo'shimcha inshootlar mavjud. Vazifa 2.Partiyalar
tenga, b, c. Medianni hisoblang , c tomoniga chizilgan (2-masala uchun rasmga qarang).R

Guruch. № 2 muammoga

Yechim: to‘ldirish orqali medianani ikki baravar oshiring
ACVR parallelogrammasiga va bu parallelogramma 8 teoremasini qo'llaymiz: , ya'ni.
, biz qaerdan topamiz:
Vazifa 3.Har qanday uchburchakda medianalar yig'indisi perimetrning ¾ qismidan katta, lekin perimetrdan kichik ekanligini isbotlang.R
yechim: 1. Keling, ko'rib chiqaylik
(3-muammo uchun rasmga qarang) Bizda:
;
. Chunki AM + MS > AC, Bu
(1) P

Guruch. № 3 muammoga

AMB va BMC uchburchaklari uchun shunga o'xshash fikr yuritib, biz quyidagilarni olamiz:
(2)
(3) (1), (2), (3) tengsizliklarni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:
, T
.e. medianalar yig'indisi perimetrning ¾ qismidan katta ekanligini isbotladik. 2. Uchburchakni parallelogrammgacha yakunlab, BD medianasini ikki baravar oshiramiz (3-masala uchun rasmga qarang). Keyin dan
olamiz: B.K. < Miloddan avvalgi + CK, bular.
(4) Xuddi shunday:
(5)

Guruch. № 3 muammoga

(6) (4), (5), (6) tengsizliklarni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz: , ya'ni. medianalarning yig'indisi perimetrdan kichik. ■ Vazifa 4.To'g'ri burchakli bo'lmagan uchburchakda bissektrisa ekanligini isbotlang to'g'ri burchak mediana va bir xil cho'qqidan chizilgan balandlik orasidagi burchakni ikkiga bo'ladi.R
yechim: ACB to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsin,
, CH – balandlik, CD – bissektrisa, SM – mediana. Keling, quyidagi belgini kiritamiz: (4-masala uchun rasmga qarang). 1.
O'zaro perpendikulyar tomonlari bo'lgan burchaklar sifatida (). 2

Guruch. № 4 muammoga

Chunki
(4-teoremaga qarang), keyin SM = MV, keyin esa dan
deb xulosa qilamiz
Shunday qilib, 3. Chunki va (axir, CD bissektrisa), buni isbotlash kerak edi. ■ Vazifa 5.Yonlari bilan parallelogrammadaa Vabichki burchaklarning bissektrisalari chiziladi (5-masala uchun rasmga qarang). Bissektrisalar kesishmasida hosil bo‘lgan to‘rtburchak diagonallarining uzunliklarini toping.Yechim: 1 . AE - bissektrisa
, BP - bissektrisa
(rasmga qarang). chunki parallelogrammada
bular. keyin Bu shuni anglatadiki, ABC uchburchakda A va B burchaklar yig'indisi 90 0 ga teng, u holda K burchak 90 0 ga teng, ya'ni AE va BP bissektrisalari o'zaro perpendikulyar. A
AE va DQ, BP va CF, CF va DQ bissektrisalarining o'zaro perpendikulyarligi mantiqiy isbotlangan. OUTPUT: KLMN - to'g'ri burchakli to'rtburchaklar, ya'ni. to'rtburchak. To'rtburchakning diagonallari teng, shuning uchun ulardan birining uzunligini topish kifoya, masalan, KM. 2

Guruch. № 5 muammoga

Keling, ko'rib chiqaylik
Uning AK bor - bissektrisa ham, balandlik ham. Bu shuni anglatadiki, birinchi navbatda, ABP uchburchagi isosceles, ya'ni. AB = AP = b, va ikkinchidan, AK segmenti bir vaqtning o'zida ABP uchburchakning medianasi, ya'ni. K - BP bissektrisasining o'rtasi. M ning DQ bissektrisaning o'rta nuqtasi ekanligi xuddi shunday isbotlangan. 3. KM segmentini ko'rib chiqing. U BP va DQ segmentlarini ikkiga bo'ladi. Ammo parallelogrammning o'rta chizig'i (parallelogramma ekanligini unutmang maxsus holat trapezoid; Agar biz trapetsiyaning o'rta chizig'i haqida gapirishimiz mumkin bo'lsa, biz bir xil xususiyatlarga ega bo'lgan parallelogrammning o'rta chizig'i haqida ham gapirishimiz mumkin) K va M nuqtalaridan o'tadi (2-teoremaga qarang). Bu shuni anglatadiki, KM o'rta chiziqdagi segmentdir va shuning uchun
.4. Chunki
Va
, keyin KMDP parallelogrammdir va shuning uchun. Javob:
■ Aslida, muammoni hal qilish jarayonida (1 va 2-bosqichlarda) biz juda ko'p isbotladik muhim mulk: trapetsiyaning yon tomoniga tutash burchaklarning bissektrisalari trapetsiyaning o'rta chizig'ida yotgan nuqtada to'g'ri burchak ostida kesishadi. Shuni ta'kidlash kerakki, geometrik masalalarda tenglamalar tuzishning asosiy usuli hisoblanadi usuliqo'llab-quvvatlash elementi, bu quyidagicha: bir xil element (tomon, burchak, maydon, radius va boshqalar) ma'lum va noma'lum miqdorlar orqali ikkita bilan ifodalanadi. turli yo'llar bilan va olingan ifodalar tenglashtiriladi. Ko'pincha, mos yozuvlar elementi sifatida maydon tanlanadiraqamlar. Keyin biz foydalanadigan tenglamani qurish uchun aytamiz hudud usuli. Maktab o'quvchilariga asosiy muammolarni hal qilishni o'rgatish kerak, ya'ni. bular. Ular boshqa ko'plab vazifalarning tarkibiy qismlari sifatida kiritilgan. Bular, masalan, uchburchakning asosiy elementlarini: mediana, balandlik, bissektrisa, chizilgan va aylana radiuslari, maydonini topish masalalari. Z muammo 6.ABC uchburchagida AB va BC tomonlari teng, BH esa balandlikdir. BC tomonida nuqta olinadiDshunday qilib
(6-masala uchun rasmga qarang). Segment qanday nisbatdaADVN balandligini ajratadi?Yechim: 1. BD = bo'lsin a, keyin CD = 4 a, AB = 5a.2

Guruch. № 6 muammoga

Keling, segmentni chizamiz
(6-masala uchun rasmga qarang) NK ACD uchburchakning oʻrta chizigʻi boʻlgani uchun DK = KC = 2 a .3. VNK uchburchagini ko'rib chiqing. Bizda: BD = a,DK = 2 a Va
. Thales teoremasiga ko'ra
Lekin
Bu degani
■ Agar masala istalgan miqdordagi miqdorlarning nisbatini topishni talab qilsa, u holda, qoida tariqasida, masala hal qilinadi. yordamchi parametr usuli yordamida. Bu shuni anglatadiki, muammoni hal qilishning boshida biz ba'zilarini e'lon qilamiz chiziqli qiymat ma'lum, uni, masalan, harf bilan bildiradi A, va keyin uni orqali ifodalang A nisbati topilishi talab qilinadigan miqdorlar. Kerakli munosabat kompilyatsiya qilinganda, yordamchi parametr A kichrayib bormoqda. Biz muammoda aynan shunday harakat qildik . Bizning maslahatimiz: miqdorlar nisbatini topish kerak bo'lgan muammolarni hal qilishda (xususan, burchakni aniqlash masalalarida - axir, qoida tariqasida, burchakni hisoblashda haqida gapiramiz uni topish haqida trigonometrik funktsiya, ya'ni. tomonlarning munosabatlari haqida to'g'ri uchburchak), o'quvchilarni echishning birinchi bosqichi sifatida yordamchi parametrning kiritilishini ajratib ko'rsatishga o'rgatish kerak. Yordamchi parametr usuli bu erdagi muammolarda ham qo'llaniladi geometrik shakl o'xshashligiga qadar aniqlanadi. Vazifa 7.To'g'ri to'rtburchakka tomonlari 10, 17 va 21 sm ga teng bo'lgan uchburchak ichiga shunday yozilganki, uning ikkita uchi uchburchakning bir tomonida, qolgan ikkita uchi uchburchakning qolgan ikki tomonida bo'ladi. To'rtburchakning perimetri 22,5 sm ekanligi ma'lum bo'lsa, uning tomonlarini toping.R
qaror . 1. Avvalo, uchburchakning turini aniqlaymiz. Bizda: 10 2 = 100; 17 2 = 289; 21 2 = 441. 21 2 > 10 2 + 17 2 boʻlgani uchun uchburchak toʻgʻri burchakli boʻladi (7-teoremaga qarang), yaʼni toʻrtburchakni unga faqat bitta usulda yozish mumkin: uning ikkita uchini kattaroq joyga qoʻyish orqali. ABC uchburchagining tomoni (7-rasmga qarang), bu erda AC = 21 sm, AB = 10 sm, BC = 17 sm 2

Odatda, burchaklar mos keladigan parallel tomonlari yoki mos keladigan perpendikulyar tomonlari bilan ko'rib chiqiladi. Keling, birinchi ishni ko'rib chiqaylik.

Ikkita ABC va DEF burchaklari berilgan. Ularning tomonlari mos ravishda parallel: AB || DE va ​​BC || E.F. Bunday ikki burchak yo teng bo'ladi yoki ularning yig'indisi 180° ga teng bo'ladi. Quyidagi rasmda birinchi holatda ∠ABC = ∠DEF, ikkinchisida ∠ABC + ∠DEF = 180°.

Bu haqiqatan ham shunday ekanligining isboti quyidagilardan iborat.

Birinchi rasmda bo'lgani kabi, mos keladigan parallel tomonlari bo'lgan burchaklarni ko'rib chiqing. Shu bilan birga, biz AB va EF to'g'ri chiziqlarni kesishguncha uzaytiramiz. Kesishish nuqtasini G harfi bilan belgilaymiz. Bundan tashqari, keyingi isbotning aniqligi uchun rasmda BC tomoni kengaytirilgan.

BC va EF chiziqlar parallel bo'lganligi sababli, agar AB to'g'ri chiziq ulardan birini kesib o'tsa, ikkinchisini kesishishi aniq. Ya'ni, AB chizig'i ikkita parallel chiziq uchun sekantdir. Ma'lumki, bu holda sekantdagi ko'ndalang burchaklar teng, bir tomonlama burchaklar 180 ° gacha qo'shiladi va mos keladigan burchaklar tengdir.

Ya'ni, biz B va G cho'qqilarida qanday burchak juftligini (bir burchakdan bir burchakdan, ikkinchisi ikkinchidan) olishimizdan qat'i nazar, biz doimo teng burchaklarni yoki 180 ° gacha qo'shilgan burchaklarni olamiz.

Biroq, AB va DE chiziqlari ham parallel. Ular uchun EF to'g'ri chiziq sekantdir. Bu shuni anglatadiki, G va E burchaklarining har qanday juftlari qo'shilishi 180 ° ga yoki bir-biriga teng bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, B va E cho'qqilardagi juft burchaklar bu qoidaga bo'ysunadi.

Masalan, ∠ABC va ∠DEF burchaklarini ko'rib chiqing. ABC burchagi burchakka teng BGE, chunki bu burchaklar BC va EF parallel chiziqlariga to'g'ri keladi. O'z navbatida, BGE burchagi DEF burchagiga teng, chunki AB va DE parallel bo'lganda bu burchaklar mos keladi. Shunday qilib, ∠ABC va ∠DEF isbotlangan.

Endi ∠ABC va ∠DEG burchaklarini ko'rib chiqing. ABC burchagi BGE burchagiga teng. Lekin ∠BGE va ∠DEG - bir tomonlama burchaklar bo'lib, ular ko'ndalang (EF) bilan kesishgan parallel chiziqlar (AB || DE). Ma'lumki, bunday burchaklar qo'shilib 180 ° ga etadi. Birinchi rasmdagi ikkinchi holatga qarasak, ikkinchi rasmdagi ABC va DEG juft burchaklariga mos kelishini tushunamiz.

Shunday qilib, ikkita turli burchaklar, uning tomonlari mos ravishda parallel yoki bir-biriga teng yoki 180 ° gacha qo'shiladi. Teorema isbotlangan.

Maxsus holatga e'tibor berish kerak - burchaklar burilganda. Bunday holda, ular bir-biriga teng bo'lishi aniq.

Endi mos keladigan perpendikulyar tomonlari bo'lgan burchaklarni ko'rib chiqing. Bu holat yanada murakkab ko'rinadi, chunki o'zaro tartibga solish burchaklari yanada xilma-xildir. Quyidagi rasmda burchaklarni mos keladigan perpendikulyar tomonlar bilan qanday joylashtirish mumkinligiga uchta misol ko'rsatilgan. Biroq, har ikkala holatda ham birinchi burchakning bir tomoni (yoki uning kengaytmasi) ikkinchi burchakning bir tomoniga perpendikulyar, birinchi burchakning ikkinchi tomoni esa ikkinchi burchakning ikkinchi tomoniga perpendikulyar.

Keling, holatlardan birini ko'rib chiqaylik. Bunda biz bir burchagiga bissektrisa chizamiz va uning ixtiyoriy nuqtasi orqali uning burchagining tomonlariga perpendikulyarlar o'tkazamiz.

Bu erda tomonlari mos ravishda perpendikulyar bo'lgan ABC va DEF burchaklari: AB ⊥ DE va ​​BC ⊥ EF. ABC burchagi bissektrisasida G nuqta olinadi, u orqali bir xil burchakka perpendikulyarlar o'tkaziladi: GH ⊥ AB va GI ⊥ BC.

BGH va BGI uchburchaklarini ko'rib chiqing. Ular to'rtburchaklar, chunki H va I burchaklar to'g'ri burchaklardir. Ularda B uchidagi burchaklar teng, chunki BG ABC burchagining bissektrisasidir. Shuningdek, ko'rib chiqilayotgan uchburchaklarning BG tomoni umumiy bo'lib, ularning har biri uchun gipotenuzadir. Ma'lumki, to'g'ri burchakli uchburchaklar, agar ularning gipotenuslari va ulardan biri teng bo'lsa, konngruentdir. o'tkir burchaklar. Shunday qilib, ∆BGH = ∆BGI.

∆BGH = ∆BGI bo'lgani uchun, u holda ∠BGH = ∠BGI bo'ladi. Shuning uchun HGI burchagini bu ikki burchakning yig'indisi sifatida emas, balki ulardan biri 2 ga ko'paytirilishi mumkin: ∠HGI = ∠BGH * 2.

ABC burchagini ikkita burchak yig‘indisi sifatida ifodalash mumkin: ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Komponent burchaklari bir-biriga teng bo'lganligi sababli (ular bissektrisa bilan tuzilganligi sababli), ABC burchagini ulardan birining ko'paytmasi va 2 raqami sifatida ko'rsatish mumkin: ∠ABC = ∠GBH * 2.

BGH va GBH burchaklari to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklari va shuning uchun qo'shilishi 90 ° ga etadi. Olingan tenglikni ko'rib chiqamiz:

∠BGH + ∠GBH = 90°
∠HGI = ∠BGH * 2
∠ABC = ∠GBH * 2

Keling, oxirgi ikkitasini qo'shamiz:

∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2

Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:

∠HGI + ∠ABC = 2(∠BGH + ∠GBH)

Qavslardagi burchaklarning yig'indisi 90° bo'lganligi sababli, HGI va ABC burchaklarining yig'indisi 180° ga teng ekanligi ma'lum bo'ladi:

∠ABC + ∠HGI = 2 * 90 ° = 180 °

Shunday qilib, HGI va ABC burchaklarining yig'indisi 180 ° ekanligini isbotladik. Keling, yana chizmaga qaraylik va e'tiborimizni ABC burchagi mos keladigan perpendikulyar tomonlarga ega bo'lgan burchakka qaytaramiz. Bu DEF burchagi.

GI va EF chiziqlar bir-biriga parallel, chunki ularning ikkalasi ham bir xil BC chizig'iga perpendikulyar. Va siz bilganingizdek, bir xil chiziqqa perpendikulyar bo'lgan chiziqlar bir-biriga parallel. Xuddi shu sababga ko'ra DE || GH.

Oldin isbotlanganidek, mos ravishda parallel tomonlari bo'lgan burchaklar qo'shilib 180 ° ga teng yoki bir-biriga teng. Bu ∠DEF = ∠HGI yoki ∠DEF + ∠HGI = 180° ekanligini bildiradi.

Biroq, ∠ABC + ∠HGI = 180 °. Bundan kelib chiqadiki, mos keladigan perpendikulyar tomonlarda burchaklar teng yoki 180 ° gacha bo'ladi.

Garchi ichida Ushbu holatda faqat miqdorni isbotlash bilan cheklandik. Ammo agar biz EF tomonini teskari yo'nalishda aqliy ravishda kengaytirsak, biz ABC burchagiga teng burchakni ko'ramiz va shu bilan birga uning tomonlari ham ABC burchagiga perpendikulyar. Bunday burchaklarning tengligini tomonlari mos ravishda parallel bo'lgan burchaklarni hisobga olgan holda isbotlash mumkin: ∠DEF va ∠HGI.

53. Burchaklar ( ichki burchaklar) uchburchak uchta burchak deyiladi, ularning har biri uchburchakning uchlaridan chiqadigan va qolgan ikkita uchidan o'tadigan uchta nurdan hosil bo'ladi.

54. Uchburchaklar yig'indisi teoremasi. Uchburchak burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.

55. Tashqi burchak uchburchakning burchagi - bu uchburchakning qaysidir burchagiga tutashgan burchak.

56. Tashqi burchak uchburchakning uchburchakning unga qo'shni bo'lmagan ikkita burchagi yig'indisiga teng.

57. Agar barcha uch burchak uchburchak achchiq, keyin uchburchak chaqiriladi o'tkir burchakli.

58. Agar burchaklaridan biri uchburchak to'mtoq, keyin uchburchak chaqiriladi to'g'ri burchakli.

59. Agar burchaklaridan biri uchburchak Streyt, keyin uchburchak chaqiriladi to'rtburchaklar.

60. To'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotgan tomoni deyiladi gipotenuza(yunoncha gyipotenusa - "shartlanuvchi") va to'g'ri burchak hosil qiluvchi ikki tomon - oyoqlar(Lotin so'zi katetos - "plumb") .

61. Uchburchakning tomonlari va burchaklari orasidagi munosabatlar haqida teorema. Uchburchakda qarshi kattaroq tomoni kattaroq burchak mavjud va orqaga, Kattaroq tomon kattaroq burchakka qarama-qarshi yotadi.

62. To‘g‘ri burchakli uchburchakda Gipotenuza oyoqdan uzunroq.

chunki Kattaroq tomon har doim katta burchakka qarama-qarshi yotadi.

Teng yonli uchburchakning belgilari.

Agar uchburchakda bo'lsa ikki burchak teng, keyin u teng yon tomonlardir;

Agar uchburchakda bo'lsa bissektrisa mediana yoki balandlikdir,
u holda bu uchburchak teng yon tomonlardir;

Agar uchburchakda bo'lsa mediana bissektrisa yoki balandlikdir, Bu

bu uchburchak teng yon tomonli;

Agar uchburchakda bo'lsa balandligi median yoki bissektrisadir,

u holda bu uchburchak teng yon tomonlardir.

64. Teorema. Uchburchak tengsizligi. Uchburchakning har bir tomonining uzunligi va farqidan kattaroqdir miqdoridan kamroq qolgan ikki tomonning uzunligi:

To'g'ri burchakli uchburchak burchaklarining xossalari.

To'g'ri burchakli uchburchakning ikkita o'tkir burchagi yig'indisi 90 ° ga teng.

A + B = 90°

66. To'g'ri uchburchak xususiyati.

30° burchakka qarama-qarshi yotgan toʻgʻri burchakli uchburchakning oyogʻi gipotenuzaning yarmiga teng.

Agar/ A = 30 °, keyin BC = ½ AB

67. To'g'ri burchakli uchburchakning xossalari.

a) To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i gipotenuzaning yarmiga teng bo'lsa, bu oyoqqa qarama-qarshi burchak 30 ° ga teng.

Agar BC = ½ AB bo'lsa, u holda / B = 30°

B) Gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng.

median CF = ½ AB

Ikki tomondagi to'g'ri burchakli uchburchaklar tengligi belgisi.

Agar bitta to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari mos ravishda boshqasining oyoqlariga teng bo'lsa, bunday uchburchaklar mos keladi.

Tegishli tomonlari parallel bo'lgan burchaklar uchun quyidagi takliflar to'g'ri keladi:

1. Agar bir burchakning a va b tomonlari mos ravishda boshqa burchakning a va b tomonlariga parallel boʻlsa va ular bilan bir xil yoʻnalishlarga ega boʻlsa, burchaklar teng boʻladi.

2. Agar bir xil parallellik sharti ostida a va b tomonlari a va b tomonlarga qarama-qarshi o'rnatilsa, u holda burchaklar ham teng bo'ladi.

3. Nihoyat, a va tomonlari parallel va bir xil yo'naltirilgan bo'lsa va tomonlar parallel va qarama-qarshi yo'naltirilgan bo'lsa, u holda burchaklar bir-birini teskari yo'naltirilguncha to'ldiradi.

Isbot. Keling, ushbu takliflarning birinchisini isbotlaylik. Burchaklarning tomonlari parallel va teng yo'naltirilgan bo'lsin (191-rasm). Burchaklarning uchlarini to'g'ri chiziq bilan bog'laymiz.

Bunday holda, ikkita holat mumkin: to'g'ri chiziq burchaklar ichida yoki bu burchaklardan tashqarida o'tadi (191-rasm, b). Ikkala holatda ham dalil aniq: shuning uchun birinchi holatda

lekin biz uni qayerdan olamiz? Ikkinchi holatda bizda bor

va natija yana tengliklardan kelib chiqadi

Biz 2 va 3-takliflarning isbotlarini o'quvchiga qoldiramiz. Aytishimiz mumkinki, agar burchaklarning tomonlari mos ravishda parallel bo'lsa, u holda burchaklar teng yoki qarama-qarshi burchakka qo'shiladi.

Shubhasiz, agar ikkalasi bir vaqtning o'zida o'tkir bo'lsa yoki ikkalasi ham o'tkir bo'lsa, ular teng bo'ladi va ulardan biri o'tkir, ikkinchisi o'tkir bo'lsa, ularning yig'indisi teng bo'ladi.

Tegishli perpendikulyar tomonlari bo'lgan burchaklar to'g'ri burchakka qadar bir-biriga teng yoki to'ldiruvchidir.

Isbot. a qandaydir burchak bo'lsin (192-rasm), va O to'g'ri chiziqlar hosil qilgan burchakning tepasi bo'lsin, shuning uchun bu ikki to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan to'rtta burchakdan istalgani bo'lsin; Burchakni (ya'ni, uning ikkala tomonini) O cho'qqisi atrofida to'g'ri burchak ostida aylantiramiz; biz unga teng burchakni olamiz, lekin uning tomonlari shaklda ko'rsatilgan aylantirilgan burchakning tomonlariga perpendikulyar. 192 orqali Ular hosil qiluvchi to'g'ri chiziqlarga parallel berilgan burchak A. Demak, burchaklar burchaklarning teng yoki umumiy teskari burchak hosil qilishini bildiradi.