O'xshamaydigan maxrajli oddiy kasrlarni qanday ayirish mumkin. Oddiy kasrlarni ayirish: qoidalar, misollar, yechimlar

Ushbu darsda qo'shish va ayirish haqida gap boradi. algebraik kasrlar Bilan turli xil maxrajlar. Biz turli xil maxrajli umumiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni allaqachon bilamiz. Buning uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. Shu bilan birga, biz allaqachon algebraik kasrlarni umumiy maxrajga kamaytirishni bilamiz. Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish eng muhim va qiyin mavzular 8-sinf kursida. Bundan tashqari, bu mavzu siz kelajakda o'rganadigan algebra kursining ko'plab mavzularida paydo bo'ladi. Darsning bir qismi sifatida biz har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek tahlil qilamiz. butun chiziq tipik misollar.

Keling, ko'rib chiqaylik eng oddiy misol Uchun oddiy kasrlar.

1-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Kasrlarni qo'shish qoidasini eslaylik. Boshlash uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Rolda umumiy maxraj oddiy kasrlar uchun stendlar eng kichik umumiy karra Asl maxrajlarning (LCM).

Ta'rif

Eng kam natural son, bu bir vaqtning o'zida va raqamlariga bo'linadi.

LCM ni topish uchun maxrajlarni qismlarga ajratish kerak asosiy omillar, va keyin ikkala maxrajning kengayishida paydo bo'ladigan barcha asosiy omillarni tanlang.

; . Keyin raqamlarning LCM ikkita ikkita va ikkita uchlikni o'z ichiga olishi kerak: .

Umumiy maxrajni topgandan so'ng, har bir kasr uchun qo'shimcha koeffitsientni topishingiz kerak (aslida umumiy maxrajni mos keladigan kasrning maxrajiga bo'ling).

Keyin har bir kasr hosil bo'lgan qo'shimcha omilga ko'paytiriladi. Biz oldingi darslarda qo'shish va ayirishni o'rgangan bir xil maxrajli kasrlarni olamiz.

Biz olamiz: .

Javob:.

Keling, har xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shishni ko'rib chiqaylik. Birinchidan, maxrajlari sonlar bo'lgan kasrlarni ko'rib chiqaylik.

2-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Yechim algoritmi avvalgi misolga mutlaqo o'xshash. Bu kasrlarning umumiy maxrajini topish oson: va ularning har biri uchun qo'shimcha omillar.

.

Javob:.

Shunday qilib, keling, shakllantiramiz Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish algoritmi:

1. Kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini toping.

2. Har bir kasr uchun qo‘shimcha ko‘paytmalarni toping (umumiy maxrajni berilgan kasrning maxrajiga bo‘lish orqali).

3. Numeratorlarni mos keladigan qo'shimcha omillarga ko'paytiring.

4. O‘xshash maxrajli kasrlarni qo‘shish va ayirish qoidalaridan foydalanib, kasrlarni qo‘shish yoki ayirish.

Keling, maxraji harfli ifodalarni o'z ichiga olgan kasrlarga misolni ko'rib chiqaylik.

3-misol. Kasrlarni qo'shish: .

Yechim:

Ikkala maxrajdagi harf ifodalari bir xil bo'lgani uchun raqamlar uchun umumiy maxrajni topishingiz kerak. Yakuniy umumiy maxraj quyidagicha ko'rinadi: . Shunday qilib, ushbu misolning yechimi quyidagicha ko'rinadi:.

Javob:.

4-misol. Kasrlarni ayirish: .

Yechim:

Agar umumiy maxrajni tanlashda "aldash" imkoni bo'lmasa (uni faktorlarga qo'sha olmaysiz yoki qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini ishlata olmaysiz), u holda umumiy maxraj sifatida ikkala kasrning maxrajlarining mahsulotini olishingiz kerak.

Javob:.

Umuman olganda, bunday misollarni echishda, eng ko'p qiyin vazifa umumiy maxrajni topishdan iborat.

Keling, yanada murakkab misolni ko'rib chiqaylik.

5-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

Umumiy maxrajni topishda, avvalo, asl kasrlarning maxrajlarini faktorlarga ajratishga harakat qilish kerak (umumiy maxrajni soddalashtirish uchun).

Bu alohida holatda:

Keyin umumiy maxrajni aniqlash oson: .

Biz qo'shimcha omillarni aniqlaymiz va ushbu misolni hal qilamiz:

Javob:.

Endi maxrajlari har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rnatamiz.

6-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

Javob:.

7-misol. Soddalashtiring: .

Yechim:

.

Javob:.

Keling, ikkita emas, balki uchta kasr qo'shilgan misolni ko'rib chiqaylik (axir, qo'shish va ayirish qoidalari Ko'proq kasrlar bir xil bo'lib qoladi).

8-misol. Soddalashtiring: .

Bittasi eng muhim fanlar, qo'llanilishi kimyo, fizika va hatto biologiya kabi fanlarda ko'rish mumkin, bu matematikadir. Ushbu fanni o'rganish sizga ba'zi aqliy fazilatlarni rivojlantirish va diqqatni jamlash qobiliyatini yaxshilash imkonini beradi. Matematika kursida alohida e'tiborga loyiq mavzulardan biri kasrlarni qo'shish va ayirishdir. Ko'pgina talabalar o'qishni qiyinlashtiradi. Ehtimol, bizning maqolamiz ushbu mavzuni yaxshiroq tushunishga yordam beradi.

Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qanday ayirish mumkin

Kasrlar - bu turli xil operatsiyalarni bajarishingiz mumkin bo'lgan bir xil raqamlar. Ularning butun sonlardan farqi maxrajning mavjudligidadir. Shuning uchun kasrlar bilan amallarni bajarishda ularning ayrim xususiyatlari va qoidalarini o'rganish kerak. Eng oddiy holat - maxrajlari bir xil son sifatida ifodalangan oddiy kasrlarni ayirish. Agar siz oddiy qoidani bilsangiz, ushbu amalni bajarish qiyin bo'lmaydi:

• Bir kasrdan soniyani ayirish uchun kamaytirilayotgan kasr sonidan ayirilgan kasrning payini ayirish kerak. Bu raqamni ayirma soniga yozamiz va maxrajni bir xil qoldiramiz: k/m - b/m = (k-b)/m.

Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni ayirish misollari

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

"7" kasrning hisoblagichidan biz ayirilishi kerak bo'lgan "3" kasrning sonini ayirib, "4" ni olamiz. Biz bu raqamni javobning numeratoriga yozamiz va maxrajga birinchi va ikkinchi kasrlarning maxrajlarida bo'lgan raqamni qo'yamiz - "19".

Quyidagi rasmda yana bir nechta shunga o'xshash misollar ko'rsatilgan.

Keling, maxrajlari o'xshash bo'lgan kasrlarni ayirish uchun murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

“29” kasr sonidan keyingi barcha kasrlarning soni - “3”, “8”, “2”, “7” navbat bilan ayirish yo'li bilan kamaytiriladi. Natijada, biz javobning numeratoriga yozgan "9" natijasini olamiz va maxrajda biz barcha kasrlarning maxrajlarida bo'lgan raqamni yozamiz - "47".

Bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni qo'shish

Oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish xuddi shu printsipga amal qiladi.

• Maxrajlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shish uchun sonlarni qo'shish kerak. Olingan son yig'indining numeratoridir va maxraj bir xil bo'lib qoladi: k/m + b/m = (k + b)/m.

Keling, misol yordamida bu qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Kasrning birinchi hadining hisoblagichiga - "1" - kasrning ikkinchi hadining hisoblagichi - "2" qo'shing. Natija - "3" - yig'indining numeratoriga yoziladi va maxraj kasrlarda mavjud bo'lgani kabi qoladi - "4".

Turli xil maxrajli kasrlar va ularni ayirish

Biz allaqachon bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlar bilan operatsiyani ko'rib chiqdik. Ko'rib turganimizdek, bilish oddiy qoidalar, bunday misollarni yechish juda oson. Ammo har xil denominatorlarga ega bo'lgan kasrlar bilan operatsiyani bajarish kerak bo'lsa-chi? Ko'pgina o'rta maktab o'quvchilari bunday misollar bilan sarosimaga tushishadi. Ammo bu erda ham, agar siz yechim tamoyilini bilsangiz, misollar endi siz uchun qiyin bo'lmaydi. Bu erda ham qoida bor, ularsiz bunday kasrlarni echish mumkin emas.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun ularni bir xil eng kichik maxrajga kamaytirish kerak.



Buni qanday qilish haqida batafsilroq gaplashamiz.

Kasrning xossasi

Bir necha kasrni bir xil maxrajga keltirish uchun eritmada kasrning asosiy xususiyatidan foydalanish kerak: pay va maxrajni bo'lish yoki ko'paytirishdan keyin. bir xil raqam berilganga teng kasr olasiz.

Shunday qilib, masalan, 2/3 kasrda "6", "9", "12" va hokazo kabi maxrajlar bo'lishi mumkin, ya'ni u "3" ga karrali har qanday son shakliga ega bo'lishi mumkin. Numerator va maxrajni "2" ga ko'paytirgandan so'ng, biz 4/6 kasrni olamiz. Asl kasrning sonini va maxrajini "3" ga ko'paytirgandan so'ng, biz 6/9 ni olamiz va "4" raqami bilan shunga o'xshash amalni bajarsak, biz 8/12 ni olamiz. Bitta tenglikni quyidagicha yozish mumkin:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Qanday qilib bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga aylantirish mumkin

Keling, bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga qanday kamaytirishni ko'rib chiqaylik. Misol uchun, quyidagi rasmda ko'rsatilgan kasrlarni olaylik. Avval qaysi raqam ularning barchasi uchun maxraj bo'lishi mumkinligini aniqlashingiz kerak. Ishni osonlashtirish uchun keling, mavjud maxrajlarni faktorlarga ajratamiz.

1/2 kasrning maxraji va 2/3 kasrni koeffitsientlarga ajratish mumkin emas. 7/9 maxraji ikkita omilga ega 7/9 = 7/(3 x 3), kasrning maxraji 5/6 = 5/(2 x 3). Endi biz ushbu to'rtta kasr uchun qaysi omillar eng kichik bo'lishini aniqlashimiz kerak. Birinchi kasr maxrajda “2” raqamiga ega bo‘lgani uchun u barcha maxrajlarda bo‘lishi kerak, 7/9 kasrda ikkita uchlik bor, ya’ni ularning har ikkalasi ham maxrajda bo‘lishi kerak. Yuqoridagilarni hisobga olib, maxraj uchta omildan iborat ekanligini aniqlaymiz: 3, 2, 3 va 3 x 2 x 3 = 18 ga teng.



Keling, birinchi kasrni ko'rib chiqaylik - 1/2. Uning maxrajida "2" bor, lekin bitta "3" raqami yo'q, lekin ikkita bo'lishi kerak. Buning uchun biz maxrajni ikki uchga ko'paytiramiz, lekin kasrning xususiyatiga ko'ra, hisobni ikki uch barobarga ko'paytirishimiz kerak:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Qolgan kasrlar bilan bir xil operatsiyalarni bajaramiz.

• 2/3 - maxrajda bitta uch va bitta ikkitasi yo'q:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 yoki 7/(3 x 3) - maxrajda ikkitasi etishmayapti:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 yoki 5/(2 x 3) - maxrajda uchtasi etishmayapti:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Hammasi birgalikda quyidagicha ko'rinadi:



Turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlarni qanday ayirish va qo'shish

Yuqorida aytib o'tilganidek, maxrajlari har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish yoki ayirish uchun ularni bir xil maxrajga qisqartirish kerak, keyin esa bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni ayirish qoidalaridan foydalanish kerak, ular allaqachon muhokama qilingan.

Keling, buni misol sifatida ko'rib chiqaylik: 4/18 - 3/15.

18 va 15 sonlarning karralisini toping:

• 18 raqami 3 x 2 x 3 dan iborat.
• 15 raqami 5 x 3 dan iborat.
• Umumiy ko'paytma quyidagi omillar bo'ladi: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Maxraj topilgandan so'ng, har bir kasr uchun har xil bo'ladigan koeffitsientni hisoblash kerak, ya'ni faqat maxrajni emas, balki sonni ham ko'paytirish kerak bo'lgan sonni hisoblash kerak. Buning uchun biz topgan sonni (umumiy karrali) qo'shimcha omillarni aniqlash kerak bo'lgan kasrning maxrajiga bo'ling.

• 90 15 ga bo'linadi. Natijada "6" soni 3/15 uchun ko'paytiruvchi bo'ladi.
• 90 18 ga bo'linadi. Natijada "5" soni 4/18 uchun ko'paytiruvchi bo'ladi.

Bizning yechimimizning keyingi bosqichi har bir kasrni "90" maxrajiga kamaytirishdir.

Bu qanday amalga oshirilganligi haqida biz allaqachon gaplashdik. Keling, bu misolda qanday yozilganligini ko'rib chiqaylik:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Agar kasrlar kichik raqamlarga ega bo'lsa, quyidagi rasmda ko'rsatilgan misolda bo'lgani kabi, umumiy maxrajni aniqlashingiz mumkin.



Xuddi shu narsa turli xil denominatorlarga ega bo'lganlar uchun ham amal qiladi.

Ayirish va butun qismlarga ega bo'lish

Biz allaqachon kasrlarni ayirish va ularni qo'shishni batafsil ko'rib chiqdik. Ammo kasr mavjud bo'lsa, qanday ayirish kerak butun qismi? Yana bir nechta qoidalardan foydalanamiz:

• Butun qismga ega bo'lgan barcha kasrlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiring. Gapirmoqda oddiy so'zlar bilan, butun qismini olib tashlang. Buning uchun butun qismning sonini kasrning maxrajiga ko'paytiring va hosil bo'lgan ko'paytmani hisoblagichga qo'shing. Ushbu harakatlardan keyin chiqadigan raqam hisoblagichdir noto'g'ri kasr. Maxraj o'zgarishsiz qoladi.
• Agar kasrlar turli xil maxrajlarga ega bo'lsa, ularni bir xil maxrajga qisqartirish kerak.
• Xuddi shu maxrajlar bilan qo'shish yoki ayirish amallarini bajaring.
• Noto'g'ri kasrni olganingizda, butun qismni tanlang.



Butun qismlarga ega kasrlarni qo'shish va ayirishning yana bir usuli mavjud. Buning uchun amallar butun qismlar bilan alohida, kasrlar bilan esa alohida bajariladi va natijalar birgalikda qayd etiladi.



Keltirilgan misol bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlardan iborat. Agar maxrajlar boshqacha bo'lsa, ular bir xil qiymatga keltirilishi kerak, so'ngra misolda ko'rsatilganidek, amallarni bajarish kerak.

Butun sonlardan kasrlarni ayirish

Kasrlar bilan ishlashning yana bir turi - bu kasrni ayirish kerak bo'lgan holat, birinchi qarashda bunday misolni yechish qiyin. Biroq, bu erda hamma narsa juda oddiy. Buni hal qilish uchun siz butun sonni kasrga va ayirilgan kasrdagi bir xil maxrajga aylantirishingiz kerak. Keyinchalik, bir xil maxrajlar bilan ayirishga o'xshash ayirishni bajaramiz. Bir misolda u shunday ko'rinadi:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Ushbu maqolada berilgan kasrlarni ayirish (6-sinf) ko'proq yechish uchun asosdir murakkab misollar, ular keyingi darslarda muhokama qilinadi. Bu mavzu bo'yicha bilimlar keyinchalik funksiyalar, hosilalar va hokazolarni yechish uchun ishlatiladi. Shuning uchun yuqorida muhokama qilingan kasrlar bilan operatsiyalarni tushunish va tushunish juda muhimdir.

Farzandingiz olib keldi Uy vazifasi maktabdan va uni qanday hal qilishni bilmayapsizmi? Unda bu mini dars siz uchun!

O'nli kasrlarni qanday qo'shish kerak

Ustunga o'nlik kasrlarni qo'shish qulayroqdir. Qo'shishni amalga oshirish uchun o'nli kasrlar, siz bitta oddiy qoidaga amal qilishingiz kerak:

• O'rin joyi ostida, vergul vergul ostida bo'lishi kerak.

Misolda ko'rib turganingizdek, butun birliklar bir-birining ostida joylashgan, o'ninchi va yuzinchi raqamlar bir-birining ostida joylashgan. Endi biz vergulni e'tiborsiz qoldirib, raqamlarni qo'shamiz. Vergul bilan nima qilish kerak? Vergul butun son toifasida turgan joyga ko'chiriladi.

Maxrajlari teng bo‘lgan kasrlarni qo‘shish

Umumiy maxraj bilan qo'shishni amalga oshirish uchun siz maxrajni o'zgarishsiz saqlashingiz, sonlarning yig'indisini topib, umumiy yig'indi bo'ladigan kasrni olishingiz kerak.

Umumiy ko'plik usuli yordamida har xil maxrajli kasrlarni qo'shish

Siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan birinchi narsa - bu denominatorlar. Maxrajlar har xil, ular bir-biriga boʻlinmaydimi, toʻgʻrimi tub sonlar. Avval siz uni bitta umumiy maxrajga olib kelishingiz kerak, buni qilishning bir necha yo'li mavjud:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, bu misolni hal qilish uchun biz 2 maxrajga bo'linadigan eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) topishimiz kerak. a va b ning eng kichik karralini belgilash uchun - LCM (a;b). Bu misolda LCM (3;4)=12. Biz tekshiramiz: 12:3=4; 12:4=3.
• Biz omillarni ko'paytiramiz va natijada olingan raqamlarni qo'shamiz, biz 13/12 - noto'g'ri kasrni olamiz.

• Noto'g'ri kasrni to'g'ri kasrga aylantirish uchun payni maxrajga bo'lamiz, biz butun sonni olamiz 1, qolgan 1 - son va 12 - maxraj.

O'zaro ko'paytirish usuli yordamida kasrlarni qo'shish

Turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlarni qo'shish uchun "xochdan o'tish" formulasidan foydalanadigan yana bir usul mavjud. Bu maxrajlarni tenglashtirishning kafolatlangan usuli bo'lib, buni amalga oshirish uchun hisoblagichlarni bir kasrning maxraji bilan ko'paytirish kerak va aksincha. Agar siz hozir bo'lsangiz dastlabki bosqich kasrlarni o'rganish, keyin bu usul har xil maxrajli kasrlarni qo'shishda to'g'ri natijani olishning eng oddiy va eng aniq usuli hisoblanadi.

Miloddan avvalgi V asrda qadimgi yunon faylasufi Eleyalik Zenon o'zining mashhur aporiyalarini tuzgan, ulardan eng mashhuri "Axilles va toshbaqa" aporiyasidir. Bu qanday eshitiladi:

Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenon aporiyasini u yoki bu tarzda ko‘rib chiqdilar. Shok shu qadar kuchli ediki " ...munozaralar shu kungacha davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslar mohiyati bo‘yicha umumiy fikrga kela olmadi... masalani o‘rganishga jalb qilindi; matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.

Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqaga yetib olgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.

Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles bilan yuguradi doimiy tezlik. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o'rinda yana bir jihatga e'tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlash mumkin emas. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men nimani ta'kidlamoqchiman Maxsus e'tibor, shundan iboratki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlarni beradi.

Chorshanba, 4-iyul, 2018-yil

To'plam va multiset o'rtasidagi farqlar Vikipediyada juda yaxshi tasvirlangan. Ko'raylikchi.

Ko'rib turganingizdek, "to'plamda ikkita bir xil element bo'lishi mumkin emas", lekin to'plamda bir xil elementlar mavjud bo'lsa, bunday to'plam "ko'p to'plam" deb ataladi. Aqlli mavjudotlar bunday bema'ni mantiqni hech qachon tushunmaydilar. Bu "to'liq" so'zidan aqlga ega bo'lmagan gapiradigan to'tiqushlar va o'qitilgan maymunlarning darajasi. Matematiklar oddiy murabbiy sifatida harakat qilib, bizga o'zlarining bema'ni g'oyalarini targ'ib qilishadi.

Bir vaqtlar ko'prikni qurgan muhandislar ko'prikni sinovdan o'tkazayotganda ko'prik ostidagi qayiqda bo'lishgan. Agar ko'prik qulab tushsa, o'rtamiyona muhandis o'zi yaratgan vayronalar ostida vafot etdi. Agar ko'prik yukga bardosh bera olsa, iste'dodli muhandis boshqa ko'priklarni qurdi.

Matematiklar "menga e'tibor bering, men uydaman" yoki to'g'rirog'i, "matematika mavhum tushunchalarni o'rganadi" iborasi orqasida qanchalik yashirinmasin, ularni haqiqat bilan chambarchas bog'laydigan bitta kindik bor. Bu kindik puldir. Qo'llanilishi mumkin matematik nazariya matematiklarning o'zlariga qo'yadi.

Biz matematikani juda yaxshi o'rgandik va hozir biz kassada o'tirib, oyliklarni beramiz. Shunday qilib, bir matematik bizga pul uchun keladi. Biz unga to'liq miqdorni hisoblaymiz va stolimizga turli xil qoziqlarga joylashtiramiz, ularga bir xil nomdagi veksellarni joylashtiramiz. Keyin biz har bir qoziqdan bitta hisob-kitobni olib, matematikaga uning "matematik ish haqi" ni beramiz. Keling, matematikaga bir xil elementlari bo'lmagan to'plam bir xil elementlarli to'plamga teng emasligini isbotlagandagina qolgan hisob-kitoblarni olishini tushuntirib beraylik. Qiziq shu erda boshlanadi.

Avvalo, deputatlarning mantig‘i ishlaydi: “Buni boshqalarga ham qo‘llash mumkin, lekin menga emas!”. Keyin ular bizni bir xil nomdagi veksellar turli xil veksel raqamlariga ega ekanligiga ishontirishni boshlaydilar, ya'ni ularni bir xil elementlar deb hisoblash mumkin emas. Mayli, maoshlarni tangalarda hisoblaylik - tangalarda raqamlar yo'q. Bu erda matematik fizikani hayajon bilan eslay boshlaydi: har xil tangalar har xil miqdordagi axloqsizlikka ega, kristal tuzilishi va atomlarning joylashishi har bir tanga uchun o'ziga xosdir ...

Va endi menda eng ko'p narsa bor qiziqish so'rang: ko'p to'plam elementlari to'plam elementlariga aylanadigan chiziq qayerda va aksincha? Bunday chiziq mavjud emas - hamma narsani shamanlar hal qiladi, fan bu erda yolg'on gapirishga ham yaqin emas.

Mana qarang. Biz maydon maydoni bir xil bo'lgan futbol stadionlarini tanlaymiz. Maydonlarning maydonlari bir xil - bu bizda multiset borligini anglatadi. Ammo o'sha stadionlarning nomlariga qarasak, ko'pchilikni olamiz, chunki nomlar boshqacha. Ko'rib turganingizdek, bir xil elementlar to'plami ham to'plam, ham multisetdir. Qanday to'g'ri? Va bu erda matematik-shaman-o'tkir yengidan ko'zni chiqarib, bizga to'plam yoki multiset haqida gapira boshlaydi. Qanday bo'lmasin, u bizni haq ekanligiga ishontiradi.

Zamonaviy shamanlar to'plamlar nazariyasi bilan qanday ishlashini, uni haqiqatga bog'lashini tushunish uchun bitta savolga javob berish kifoya: bir to'plamning elementlari boshqa to'plamning elementlaridan qanday farq qiladi? Men sizga hech qanday "yaxlit bir butun sifatida tasavvur qilinmaydigan" yoki "bir butun sifatida tasavvur qilib bo'lmaydigan" holda ko'rsataman.

Yakshanba, 18-mart, 2018-yil

Raqam raqamlarining yig'indisi - bu matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan shamanlarning daf bilan raqsi. Ha, matematika darslarida bizga son raqamlari yig'indisini topish va undan foydalanish o'rgatiladi, lekin shuning uchun ular shamanlar, o'z avlodlariga o'z mahoratlari va donoligini o'rgatishlari kerak, aks holda shamanlar shunchaki o'lib ketadi.

Sizga dalil kerakmi? Vikipediyani oching va "Raqam raqamlari yig'indisi" sahifasini topishga harakat qiling. U mavjud emas. Matematikada biron bir raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun ishlatiladigan formula yo'q. Axir, raqamlar biz raqamlarni yozadigan grafik belgilardir va matematika tilida vazifa quyidagicha yangraydi: "Har qanday raqamni ifodalovchi grafik belgilar yig'indisini toping." Matematiklar bu muammoni hal qila olmaydilar, ammo shamanlar buni osonlikcha hal qilishlari mumkin.

Keling, berilgan sonning raqamlari yig'indisini topish uchun nima va qanday qilishimizni aniqlaymiz. Shunday qilib, 12345 raqamiga ega bo'lamiz. Bu raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun nima qilish kerak? Keling, barcha bosqichlarni tartibda ko'rib chiqaylik.

1. Raqamni qog'ozga yozing. Biz nima qildik? Biz raqamni grafik raqam belgisiga aylantirdik. Bu matematik operatsiya emas.

2. Olingan bitta rasmni alohida raqamlarni o'z ichiga olgan bir nechta rasmga kesib tashladik. Rasmni kesish matematik operatsiya emas.

3. Alohida grafik belgilarni raqamlarga aylantirish. Bu matematik operatsiya emas.

4. Olingan raqamlarni qo'shing. Endi bu matematika.

12345 raqamining raqamlari yig'indisi 15 ga teng. Bu matematiklar foydalanadigan shamanlardan "kesish va tikish kurslari". Lekin bu hammasi emas.

Matematik nuqtai nazardan, sonni qaysi sanoq sistemasida yozishimiz muhim emas. Shunday qilib, ichida turli tizimlar Hisoblashda bir xil sonning raqamlari yig'indisi boshqacha bo'ladi. Matematikada sanoq sistemasi sonning o'ng tomonida pastki belgisi sifatida ko'rsatilgan. Katta raqam 12345 bilan men boshimni aldashni xohlamayman, keling, maqoladagi 26 raqamini ko'rib chiqaylik. Bu sonni ikkilik, sakkizlik, o‘nlik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida yozamiz. Biz har bir qadamni mikroskop ostida ko'rib chiqmaymiz. Keling, natijani ko'rib chiqaylik.

Ko'rib turganingizdek, turli sanoq tizimlarida bir xil son raqamlari yig'indisi har xil bo'ladi. Bu natijaning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. Bu xuddi to'rtburchakning maydonini metr va santimetrda aniqlaganingiz bilan bir xil, siz butunlay boshqacha natijalarga erishasiz.

Nol barcha sanoq tizimlarida bir xil ko'rinadi va raqamlar yig'indisiga ega emas. Bu haqiqat foydasiga yana bir dalil. Matematiklar uchun savol: matematikada raqam bo'lmagan narsa qanday qilib belgilanadi? Nima, matematiklar uchun raqamlardan boshqa hech narsa yo'q? Men shamanlar uchun ruxsat berishim mumkin, ammo olimlar uchun emas. Haqiqat faqat raqamlardan iborat emas.

Olingan natija sanoq sistemalarining sonlar uchun o'lchov birliklari ekanligiga dalil sifatida qaralishi kerak. Axir, biz raqamlarni turli o'lchov birliklari bilan taqqoslay olmaymiz. Agar bir xil miqdorning turli o'lchov birliklari bilan bir xil harakatlar olib kelsa turli natijalar ularni solishtirgandan so'ng, bu matematikaga hech qanday aloqasi yo'qligini anglatadi.

Haqiqiy matematika nima? Bu matematik operatsiya natijasi raqamning o'lchamiga, ishlatiladigan o'lchov birligiga va bu harakatni kim bajarishiga bog'liq bo'lmaganda.

Eshikda imzo qo'ying U eshikni ochadi va aytadi:

Oh! Bu ayollar hojatxonasi emasmi?
- Yosh ayol! Bu jannatga ko'tarilish paytida qalblarning muqaddasligini o'rganish uchun laboratoriya! Yuqorida halo va yuqoriga o'q. Yana qanday hojatxona?

Ayol... Yuqoridagi halo va pastga o'q erkakdir.

Agar bunday dizayn san'ati asari kuniga bir necha marta ko'z oldingizda porlab tursa,

Shunda siz to'satdan mashinangizda g'alati belgini topsangiz ajablanarli emas:

Shaxsan men najas qilayotgan odamda minus to'rt darajani ko'rishga harakat qilaman (bitta rasm) (bir nechta rasmlarning kompozitsiyasi: minus belgisi, to'rtinchi raqam, daraja belgisi). Men esa bu qizni ahmoq deb o‘ylamayman, yo‘q fizika fanidan bilimga ega. U shunchaki grafik tasvirlarni idrok etishning kuchli stereotipiga ega. Va matematiklar buni bizga doimo o'rgatadi. Mana bir misol.

1A "minus to'rt daraja" yoki "bir a" emas. Bu "pooping man" yoki o'n oltilik tizimda "yigirma olti" raqami. Ushbu sanoq tizimida doimiy ravishda ishlaydigan odamlar avtomatik ravishda raqam va harfni bitta grafik belgi sifatida qabul qiladilar.

Numerator va bo'linadigan narsa maxrajdir.

Kasrni yozish uchun avval hisoblagichni yozing, so'ngra raqam ostiga gorizontal chiziq chizing va chiziq ostiga maxrajni yozing. Numerator va maxrajni ajratib turuvchi gorizontal chiziq kasr chizig'i deyiladi. Ba'zan u qiya "/" yoki "∕" sifatida tasvirlangan. Bunda hisob satrning chap tomoniga, maxraj esa o'ng tomoniga yoziladi. Shunday qilib, masalan, "uchdan ikki" kasr 2/3 sifatida yoziladi. Aniqlik uchun hisoblagich odatda satrning yuqori qismida, maxraj esa pastki qismida yoziladi, ya'ni 2/3 o'rniga siz quyidagilarni topishingiz mumkin: ⅔.

Kasrlar ko'paytmasini hisoblash uchun birinchi navbatda bittaning payini ko'paytiring kasrlar numerator uchun farq qiladi. Natijani yangining numeratoriga yozing kasrlar. Shundan so'ng, denominatorlarni ko'paytiring. Yangiga umumiy qiymatni kiriting kasrlar. Masalan, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Bir kasrni ikkinchi kasrga bo'lish uchun birinchi navbatda birinchisining sonini ikkinchisining maxrajiga ko'paytirish kerak. Ikkinchi kasr (bo'luvchi) bilan ham xuddi shunday qiling. Yoki barcha harakatlarni bajarishdan oldin, birinchi navbatda, bo'linuvchini "aylantiring", agar siz uchun qulayroq bo'lsa: maxraj hisoblagich o'rnida paydo bo'lishi kerak. Keyin dividendning maxrajini bo'luvchining yangi maxrajiga ko'paytiring va sonlarni ko'paytiring. Masalan, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Manbalar:

• Asosiy kasr masalalari

Kasr sonlar bilan ifodalanishi mumkin turli shakllarda aniq qiymat miqdorlar. Butun sonlar bilan bir xil matematik operatsiyalarni kasrlar bilan bajarishingiz mumkin: ayirish, qo'shish, ko'paytirish va bo'lish. Qaror qabul qilishni o'rganish kasrlar, biz ularning ba'zi xususiyatlarini esga olishimiz kerak. Ular turiga bog'liq kasrlar, butun qismning, umumiy maxrajning mavjudligi. Ba'zi arifmetik amallar bajarilgandan so'ng natijaning kasr qismini kamaytirishni talab qiladi.

Sizga kerak bo'ladi

• - kalkulyator

Ko'rsatmalar

Raqamlarga diqqat bilan qarang. Agar kasrlar orasida o'nli va tartibsizlar bo'lsa, ba'zida birinchi navbatda o'nli kasrlar bilan amallarni bajarish, keyin ularni tartibsiz shaklga o'tkazish qulayroqdir. Tarjima qila olasizmi kasrlar bu shaklda dastlab, sanoqdagi kasrdan keyin qiymat yoziladi va maxrajga 10 qo'yiladi. Agar kerak bo'lsa, yuqoridagi va pastdagi raqamlarni bitta bo'linuvchiga bo'lish orqali kasrni kamaytiring. Butun qism ajratilgan kasrlar uni maxrajga ko'paytirish va natijaga hisoblagichni qo'shish orqali noto'g'ri shaklga aylantirilishi kerak. Bu qiymat yangi numeratorga aylanadi kasrlar. Dastlab noto'g'ri qismdan butun qismni tanlash uchun kasrlar, siz hisoblagichni maxrajga bo'lishingiz kerak. dan butun natijani yozing kasrlar. Va bo'linishning qolgan qismi yangi hisoblagich, maxrajga aylanadi kasrlar u o'zgarmaydi. Butun qismli kasrlar uchun avval butun son, keyin esa kasr qismlari uchun amallarni alohida bajarish mumkin. Masalan, 1 2/3 va 2 ¾ yig'indisini hisoblash mumkin:
- Kasrlarni noto'g'ri shaklga o'tkazish:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- atamalarning alohida butun va kasr qismlari yig'indisi:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Ularni “:” ajratgich yordamida qayta yozing va oddiy bo‘linish bilan davom eting.

Yakuniy natijaga erishish uchun pay va maxrajni bitta butun songa bo'lish orqali hosil bo'lgan kasrni kamaytiring. Ushbu holatda. Bunday holda, chiziq ustida va ostida butun sonlar bo'lishi kerak.

Eslatma

Maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar bilan arifmetikani bajarmang. Shunday raqam tanlangki, har bir kasrning pay va maxrajini unga ko'paytirsangiz, ikkala kasrning maxrajlari teng bo'ladi.

Foydali maslahat

Yozish paytida kasr sonlar Dividend satrning tepasida yoziladi. Bu miqdor kasrning numeratori sifatida belgilanadi. Kasrning bo'luvchisi yoki maxraji chiziq ostida yoziladi. Masalan, bir yarim kilogramm guruch kasr sifatida quyidagicha yoziladi: 1 ½ kg guruch. Agar kasrning maxraji 10 bo'lsa, kasr kasr deyiladi. Bunda numerator (dividend) butun qismning o'ng tomoniga vergul bilan ajratilgan holda yoziladi: 1,5 kg guruch. Hisoblash qulayligi uchun bunday kasr har doim noto'g'ri shaklda yozilishi mumkin: 1 2/10 kg kartoshka. Soddalashtirish uchun siz hisoblagich va maxraj qiymatlarini bitta butun songa bo'lish orqali kamaytirishingiz mumkin. Ushbu misolda siz 2 ga bo'lishingiz mumkin. Natijada 1 1/5 kg kartoshka bo'ladi. Arifmetikani bajarmoqchi bo'lgan raqamlar bir xil shaklda berilganligiga ishonch hosil qiling.