Uchburchak - bu hamma uchun tanish figura. Va bu uning shakllarining boy xilma-xilligiga qaramay. To'rtburchak, teng tomonli, o'tkir, teng yonli, o'tmas. Ularning har biri qaysidir ma'noda farq qiladi. Ammo har kim uchun siz uchburchakning maydonini topishingiz kerak.

Tomonlar yoki balandliklar uzunligini ishlatadigan barcha uchburchaklar uchun umumiy formulalar

Ularda qabul qilingan belgilar: tomonlar - a, b, c; a, n in, n bilan mos keladigan tomonlardagi balandliklar.

1. Uchburchakning maydoni ½, tomon va undan ayirib tashlangan balandlikning mahsuloti sifatida hisoblanadi. S = ½ * a * n a. Boshqa ikki tomon uchun formulalar xuddi shunday yozilishi kerak.

2. Yarim perimetr paydo bo'lgan Heron formulasi (u odatda to'liq perimetrdan farqli ravishda kichik p harfi bilan belgilanadi). Yarim perimetrni quyidagicha hisoblash kerak: barcha tomonlarni qo'shing va ularni 2 ga bo'ling. Yarim perimetr formulasi: p = (a+b+c) / 2. Keyin ​​rasm quyidagicha ko'rinadi: S = √ (p * (p - a) * ( r - v) * (r - s)).

3. Agar siz yarim perimetrdan foydalanishni xohlamasangiz, unda faqat tomonlarning uzunligini o'z ichiga olgan formula foydali bo'ladi: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Bu avvalgisidan bir oz uzunroq, ammo agar siz yarim perimetrni qanday topishni unutgan bo'lsangiz, yordam beradi.

Uchburchak burchaklarining umumiy formulalari

Formulalarni o'qish uchun zarur belgilar: a, b, g - burchaklar. Ular mos ravishda a, b, c tomonlariga qarama-qarshi yotadi.

1. Unga ko'ra, ikki tomonning yarmi ko'paytmasi va ular orasidagi burchak sinusi uchburchakning maydoniga teng. Ya'ni: S = ½ a * b * sin g. Qolgan ikkita holat uchun formulalar xuddi shunday yozilishi kerak.

2. Uchburchakning maydonini bir tomondan va uchta ma'lum burchakdan hisoblash mumkin. S = (a 2 * sin b * sin g) / (2 sin a).

3. Bundan tashqari, bitta bilan formula mavjud taniqli partiya va ikkita qo'shni burchak. Bu shunday ko'rinadi: S = c 2 / (2 (ctg a + ctg b)).

Oxirgi ikkita formula eng oddiy emas. Ularni eslab qolish juda qiyin.

Chizilgan yoki chegaralangan doiralarning radiuslari ma'lum bo'lgan vaziyatning umumiy formulalari

Qo'shimcha belgilar: r, R - radiuslar. Birinchisi chizilgan doira radiusi uchun ishlatiladi. Ikkinchisi tasvirlangan uchun.

1. Uchburchakning maydoni hisoblangan birinchi formula yarim perimetr bilan bog'liq. S = r * r. Uni yozishning yana bir usuli: S = ½ r * (a + b + c).

2. Ikkinchi holda, siz uchburchakning barcha tomonlarini ko'paytirishingiz va ularni aylana radiusini to'rt barobarga bo'lishingiz kerak bo'ladi. To'g'ridan-to'g'ri ifodada u quyidagicha ko'rinadi: S = (a * b * c) / (4R).

3. Uchinchi holat tomonlarni bilmasdan qilish imkonini beradi, lekin sizga har uch burchakning qiymatlari kerak bo'ladi. S = 2 R 2 * sin a * sin b * sin g.

Maxsus holat: to'g'ri burchakli uchburchak

Bu eng ko'p oddiy holat, chunki faqat ikkala oyoqning uzunligi talab qilinadi. Ular lotin a va b harflari bilan belgilanadi. Kvadrat to'g'ri uchburchak unga qo'shilgan to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng.

Matematik jihatdan u quyidagicha ko'rinadi: S = ½ a * b. Bu eslash eng oson. To'rtburchakning maydoni formulasiga o'xshab ko'rinadiganligi sababli, yarmini ko'rsatadigan faqat kasr paydo bo'ladi.

Maxsus holat: teng yonli uchburchak

Uning ikkita teng tomoni borligi sababli, uning maydoni uchun ba'zi formulalar biroz soddalashtirilgan ko'rinadi. Masalan, maydonni hisoblaydigan Heron formulasi teng yonli uchburchak, quyidagi shaklni oladi:

S = ½ in √((a + ½ dyuym)*(a - ½ dyuym)).

Agar siz uni o'zgartirsangiz, u qisqaroq bo'ladi. Bunday holda, teng yonli uchburchak uchun Heron formulasi quyidagicha yoziladi:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Agar tomonlar va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, maydon formulasi ixtiyoriy uchburchakka qaraganda biroz soddaroq ko'rinadi. S = ½ a 2 * sin b.

Maxsus holat: teng qirrali uchburchak

Odatda muammolarda uning tomoni ma'lum yoki uni qandaydir tarzda aniqlash mumkin. Keyin bunday uchburchakning maydonini topish formulasi quyidagicha:

S = (a 2 √3) / 4.

Agar uchburchak katakli qog'ozda tasvirlangan bo'lsa, maydonni topish muammolari

Eng oddiy holat - to'g'ri burchakli uchburchak chizilgan bo'lsa, uning oyoqlari qog'ozning chiziqlariga to'g'ri keladi. Keyin faqat oyoqlarga mos keladigan hujayralar sonini hisoblashingiz kerak. Keyin ularni ko'paytiring va ikkiga bo'ling.

Uchburchak o'tkir yoki o'tkir bo'lsa, uni to'rtburchakka chizish kerak. Keyin olingan rasmda 3 ta uchburchak bo'ladi. Ulardan biri muammoda berilgan. Va qolgan ikkitasi yordamchi va to'rtburchaklardir. Oxirgi ikkita maydonni yuqorida tavsiflangan usul yordamida aniqlash kerak. Keyin to'rtburchakning maydonini hisoblang va undan yordamchilar uchun hisoblanganlarni ayiring. Uchburchakning maydoni aniqlanadi.

Uchburchakning birorta tomoni qog'ozning chiziqlariga to'g'ri kelmagan vaziyat ancha murakkabroq bo'lib chiqadi. Keyin uni to'rtburchaklar ichiga yozish kerak, shunda asl figuraning uchlari uning yon tomonlarida yotadi. Bunday holda, uchta yordamchi to'g'ri burchakli uchburchak bo'ladi.

Heron formulasidan foydalangan holda muammoga misol

Vaziyat. Ba'zi uchburchakning ma'lum tomonlari bor. Ular 3, 5 va 6 sm ga teng, siz uning maydonini topishingiz kerak.

Endi yuqoridagi formuladan foydalanib, uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin. Kvadrat ildiz ostida to'rtta raqamning mahsuloti: 7, 4, 2 va 1. Ya'ni, maydon √(4 * 14) = 2 √(14) ga teng.

Agar kattaroq aniqlik talab qilinmasa, u holda siz 14 ning kvadrat ildizini olishingiz mumkin. U 3,74 ga teng. Keyin maydon 7,48 bo'ladi.

Javob. S = 2 √14 sm 2 yoki 7,48 sm 2.

To'g'ri uchburchak bilan bog'liq misol muammosi

Vaziyat. To'g'ri burchakli uchburchakning bir oyog'i ikkinchisidan 31 sm kattaroq, agar uchburchakning maydoni 180 sm 2 bo'lsa, ularning uzunligini bilishingiz kerak.
Yechim. Biz ikkita tenglamalar tizimini yechishimiz kerak. Birinchisi hudud bilan bog'liq. Ikkinchisi, muammoda berilgan oyoqlarning nisbati bilan.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Birinchidan, "a" qiymati birinchi tenglamaga almashtirilishi kerak. Ma'lum bo'lishicha: 180 = ½ (+ 31 da) * in. U faqat bitta noma'lum miqdorga ega, shuning uchun uni hal qilish oson. Qavslarni ochgandan so'ng biz olamiz kvadrat tenglama: in 2 + 31 in - 360 = 0. U "in" uchun ikkita qiymatni beradi: 9 va - 40. Ikkinchi raqam javob sifatida mos emas, chunki uchburchak tomonining uzunligi manfiy bo'lishi mumkin emas. qiymat.

Ikkinchi oyog'ini hisoblash qoladi: natijada olingan raqamga 31 ni qo'shing 40. Bular muammoda qidirilayotgan miqdorlar.

Javob. Uchburchakning oyoqlari 9 va 40 sm.

Uchburchakning maydoni, tomoni va burchagi orqali tomonni topish masalasi

Vaziyat. Muayyan uchburchakning maydoni 60 sm 2 ga teng. Agar ikkinchi tomoni 15 sm va ular orasidagi burchak 30º bo'lsa, uning bir tomonini hisoblash kerak.

Yechim. Qabul qilingan belgiga asoslanib, kerakli tomon "a", ma'lum tomon "b", berilgan burchak "g" dir. Keyin maydon formulasini quyidagicha qayta yozish mumkin:

60 = ½ a * 15 * gunoh 30º. Bu erda 30 daraja sinus 0,5 ga teng.

O'zgarishlardan so'ng "a" 60 / (0,5 * 0,5 * 15) ga teng bo'ladi. Ya'ni 16.

Javob. Kerakli tomoni 16 sm.

To‘g‘ri burchakli uchburchak ichiga chizilgan kvadrat haqidagi masala

Vaziyat. Tomoni 24 sm boʻlgan kvadratning tepasi uchburchakning toʻgʻri burchagiga toʻgʻri keladi. Qolgan ikkitasi yon tomonlarda yotadi. Uchinchisi gipotenuzaga tegishli. Oyoqlardan birining uzunligi 42 sm. To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni nima?

Yechim. Ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Birinchisi, vazifada ko'rsatilgan. Ikkinchisi asl uchburchakning ma'lum oyog'iga asoslangan. Ular o'xshashdir, chunki ular umumiy burchakka ega va parallel chiziqlar bilan hosil bo'ladi.

Keyin ularning oyoqlarining nisbati teng bo'ladi. Kichikroq uchburchakning oyoqlari 24 sm (kvadrat tomoni) va 18 sm (berilgan oyog'i 42 sm minus kvadrat tomoni 24 sm) ga teng. Katta uchburchakning mos keladigan oyoqlari 42 sm va x sm ni tashkil qiladi, bu uchburchakning maydonini hisoblash uchun kerak bo'ladi.

18/42 = 24 / x, ya'ni x = 24 * 42 / 18 = 56 (sm).

Keyin maydon 56 va 42 ning ikkiga bo'lingan ko'paytmasiga teng, ya'ni 1176 sm 2.

Javob. Kerakli maydon 1176 sm 2 ni tashkil qiladi.

Qarama-qarshi tepadan) va olingan mahsulotni ikkiga bo'ling. Bu shunday ko'rinadi:

S = ½ * a * h,

Qayerda:
S - uchburchakning maydoni,
a - uning tomonining uzunligi,
h - bu tomonga tushirilgan balandlik.

Yon uzunligi va balandligi bir xil o'lchov birliklarida ko'rsatilishi kerak. Bunday holda, uchburchakning maydoni tegishli "" birliklarida olinadi.

Misol.
20 sm uzunlikdagi skalen uchburchakning bir tomonida qarama-qarshi cho'qqidan 10 sm uzunlikdagi perpendikulyar tushiriladi.
Uchburchakning maydoni talab qilinadi.
Yechim.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (sm²).

Agar masshtabli uchburchakning istalgan ikki tomonining uzunligi va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, formuladan foydalaning:

S = ½ * a * b * sing,

Bu yerda: a, b - ikkita ixtiyoriy tomonning uzunliklari, g - ular orasidagi burchak.

Amalda, masalan, o'lchashda yer uchastkalari, yuqoridagi formulalardan foydalanish ba'zan qiyin, chunki u qo'shimcha konstruktsiyalar va burchak o'lchovlarini talab qiladi.

Agar siz masshtabli uchburchakning uch tomonining uzunligini bilsangiz, Heron formulasidan foydalaning:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - uchburchak tomonlarining uzunliklari,
p – yarim perimetri: p = (a+b+c)/2.

Agar barcha tomonlarning uzunligiga qo'shimcha ravishda uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi ma'lum bo'lsa, unda quyidagi ixcham formuladan foydalaning:

bu yerda: r – chizilgan aylana radiusi (r – yarim perimetr).

Masshtabli uchburchakning maydonini va uning tomonlari uzunligini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

Bu yerda: R – aylana radiusi.

Agar siz uchburchakning bir tomonining uzunligini va uchta burchakni bilsangiz (asosan, ikkitasi etarli - uchinchisining qiymati uchburchakning uchta burchagi yig'indisi tengligidan hisoblanadi - 180º), keyin foydalaning formula:

S = (a² * sinb * sing)/2sina,

bu yerda a - a tomoniga qarama-qarshi burchakning qiymati;
b, g - uchburchakning qolgan ikki burchagining qiymatlari.

Topish zarurati turli elementlar, shu jumladan hududlar uchburchak, miloddan avvalgi ko'p asrlarda bilimdon astronomlar orasida paydo bo'lgan Qadimgi Gretsiya. Kvadrat uchburchak hisoblash mumkin turli yo'llar bilan turli formulalar yordamida. Hisoblash usuli qaysi elementlarga bog'liq uchburchak ma'lum.

Ko'rsatmalar

Agar shartdan biz ikki tomonning b, c va ular hosil qilgan burchakning qiymatlarini bilsak, u holda maydon uchburchak ABC quyidagi formula bo'yicha topiladi:
S = (bcsin?)/2.

Agar shartdan biz a, b tomonlarning qiymatlarini va ular hosil qilmaydigan burchakni bilsak, u holda maydon uchburchak ABC quyidagicha topiladi:
Burchakni topish?, gunoh? = bsin?/a, keyin burchakning o'zini aniqlash uchun jadvaldan foydalaning.
Burchakni topish?, ? = 180°-?-?.
Biz maydonning o'zini S = (absin?)/2 topamiz.

Agar shartdan biz faqat uchta tomonning qiymatlarini bilsak uchburchak a, b va c, keyin maydon uchburchak ABC quyidagi formula bo'yicha topiladi:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , bu yerda p yarim perimetr p = (a+b+c)/2

Agar muammoli sharoitlardan biz balandlikni bilsak uchburchak h va bu balandlik tushirilgan tomon, keyin maydon uchburchak ABC formula bo'yicha:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Agar tomonlarning ma'nolarini bilsak uchburchak a, b, c va bu haqda tasvirlangan radius uchburchak R, keyin buning maydoni uchburchak ABC quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = abc/4R.
Agar uchta tomon a, b, c va chizilgan radiusi ma'lum bo'lsa, u holda maydon uchburchak ABC quyidagi formula bo'yicha topiladi:
S = pr, bu erda p - yarim perimetr, p = (a+b+c)/2.

Agar ABC teng yonli bo'lsa, maydon quyidagi formula bo'yicha topiladi:
S = (a^2v3)/4.
Agar ABC uchburchagi teng yonli bo'lsa, maydon quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = (cv (4a ^ 2-c ^ 2)) / 4, bu erda c - uchburchak.
Agar ABC uchburchagi to'g'ri burchakli bo'lsa, maydon quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = ab/2, bu erda a va b - oyoqlar uchburchak.
Agar ABC uchburchagi to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsa, u holda maydon quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S = c ^ 2/4 = a ^ 2/2, bu erda c - gipotenuza uchburchak, a=b – oyoq.

Mavzu bo'yicha video

Manbalar:

• uchburchakning maydonini qanday o'lchash kerak

Maslahat 3: Agar burchak ma'lum bo'lsa, uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Hududni topish uchun faqat bitta parametrni (burchakni) bilish etarli emas tre kvadrat . Agar mavjud bo'lsa qo'shimcha o'lchamlar, keyin maydonni aniqlash uchun burchak qiymati ham ma'lum o'zgaruvchilardan biri sifatida ishlatiladigan formulalardan birini tanlashingiz mumkin. Eng ko'p ishlatiladigan bir nechta formulalar quyida keltirilgan.

Ko'rsatmalar

Agar ikki tomon tomonidan hosil qilingan burchakning (g) o'lchamiga qo'shimcha ravishda tre kvadrat , bu tomonlarning (A va B) uzunliklari ham ma'lum, keyin kvadrat Shaklning (S) tomonlari uzunliklari va bu ma'lum burchak sinusining yarmi ko'paytmasi sifatida aniqlanishi mumkin: S=½×A×B×sin(g).

Hudud tushunchasi

Har qanday geometrik figuraning, xususan, uchburchakning maydoni tushunchasi kvadrat kabi raqam bilan bog'liq bo'ladi. Har qanday geometrik shaklning birlik maydoni uchun tomoni bir ga teng bo'lgan kvadratning maydonini olamiz. To'liqlik uchun geometrik shakllarning maydonlari tushunchasi uchun ikkita asosiy xususiyatni eslaylik.

Mulk 1: Agar geometrik raqamlar teng bo'lsa, ularning maydonlari ham tengdir.

Mulk 2: Har qanday raqamni bir nechta raqamlarga bo'lish mumkin. Bundan tashqari, asl rasmning maydoni uning barcha tarkibiy qismlarining maydonlari yig'indisiga teng.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Shubhasiz, uchburchakning tomonlaridan biri to'rtburchakning diagonali bo'lib, uning bir tomoni uzunligi $5$ (chunki $5$ katakchalar mavjud), ikkinchisi $6$ (chunki $6$ hujayralar mavjud). Shunday qilib, bu uchburchakning maydoni bunday to'rtburchakning yarmiga teng bo'ladi. To'rtburchakning maydoni

Keyin uchburchakning maydoni teng bo'ladi

Javob: $15$.

Keyinchalik, uchburchaklar maydonlarini topishning bir necha usullarini ko'rib chiqamiz, ya'ni balandlik va asosdan foydalanib, Heron formulasi va teng qirrali uchburchakning maydoni.

Uchburchakning balandligi va poydevoridan foydalanib, uning maydonini qanday topish mumkin

Teorema 1

Uchburchakning maydonini tomonning uzunligi va uning balandligining yarmi ko'paytmasi sifatida topish mumkin.

Matematik jihatdan bu shunday ko'rinadi

$S=\frac(1)(2)ah$

bu yerda $a$ - tomonning uzunligi, $h$ - unga chizilgan balandlik.

Isbot.

$AC=a$ bo'lgan $ABC$ uchburchagini ko'rib chiqaylik. Bu tomonga $BH$ balandligi chiziladi, bu $h$ ga teng. Keling, uni $AXYC$ kvadratiga 2-rasmdagidek quramiz.

$AXBH$ toʻrtburchakning maydoni $h\cdot AH$, toʻrtburchakning maydoni $HBYC$ $h\cdot HC$. Keyin

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Shunday qilib, 2-xususiyat bo'yicha uchburchakning talab qilinadigan maydoni ga teng

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)ah$

Teorema isbotlangan.

2-misol

Hujayraning maydoni birga teng bo'lsa, quyidagi rasmda uchburchakning maydonini toping

Bu uchburchakning asosi $9$ ga teng (chunki $9$ $9$ kvadratlari). Balandligi ham $9$. Keyin 1-teorema bo'yicha biz olamiz

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Javob: $40,5$.

Heron formulasi

Teorema 2

Agar bizga $a$, $b$ va $g$ uchburchakning uchta tomoni berilsa, uning maydonini quyidagicha topish mumkin.

$S=\sqrt(r(r-a)(r-b)(r-g))$

bu yerda $r$ bu uchburchakning yarim perimetrini bildiradi.

Isbot.

Quyidagi rasmni ko'rib chiqing:

Pifagor teoremasi bo'yicha $ABH$ uchburchagidan olamiz

$CBH$ uchburchagidan Pifagor teoremasiga ko'ra bizda bor

$h^2=a^2-(b-x)^2$

$h^2=a^2-b^2+2bx-x^2$

Bu ikki munosabatdan biz tenglikni olamiz

$g^2-x^2=a^2-b^2+2bx-x^2$

$x=\frac(g^2-a^2+b^2)(2b)$

$h^2=g^2-(\frac(g^2-a^2+b^2)(2b))^2$

$h^2=\frac((a^2-(g-b)^2)((g+b)^2-a^2))(4b^2)$

$h^2=\frac((a-g+b)(a+g-b)(g+b-a)(g+b+a))(4b^2)$

$r=\frac(a+b+g)(2)$ bo'lgani uchun $a+b+g=2r$, ya'ni

$h^2=\frac(2r(2r-2g)(2r-2b)(2r-2a))(4b^2)$

$h^2=\frac(4r(r-a)(r-b)(r-g))(b^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4r(r-a)(r-b)(r-g))(b^2))$

$h=\frac(2)(b)\sqrt(r(r-a)(r-b)(r-g))$

1-teorema bo'yicha biz olamiz

$S=\frac(1)(2) bh=\frac(b)(2)\cdot \frac(2)(b) \sqrt(r(r-a)(r-b)(r-g) )=\sqrt(r(r-a)(r-b)(r-g))$

Uchburchak mana shunday geometrik shakl, bu bitta chiziqda yotmaydigan nuqtalarda tutashadigan uchta chiziqdan iborat. Chiziqlarning ulanish nuqtalari uchburchakning uchlari bo'lib, ular lotin harflari bilan belgilanadi (masalan, A, B, C). Uchburchakning birlashtiruvchi to'g'ri chiziqlari segmentlar deb ataladi, ular ham odatda lotin harflari bilan belgilanadi. Farqlash quyidagi turlari uchburchaklar:

• To'rtburchak.
• O'tkir.
• O'tkir burchakli.
• Ko'p tomonli.
• Teng tomonli.
• Izossellar.

Uchburchakning maydonini hisoblash uchun umumiy formulalar

Uzunlik va balandlikka asoslangan uchburchakning maydoni uchun formula

S= a*h/2,
bu erda a - uchburchakning maydoni topilishi kerak bo'lgan tomonining uzunligi, h - poydevorga chizilgan balandlikning uzunligi.

Heron formulasi

S=√r*(r-a)*(r-b)*(p-c),
√ qayerda Kvadrat ildiz, p - uchburchakning yarim perimetri, a,b,c uchburchakning har bir tomonining uzunligi. Uchburchakning yarim perimetrini p=(a+b+c)/2 formulasi yordamida hisoblash mumkin.

Segmentning burchagi va uzunligiga asoslangan uchburchakning maydoni uchun formula

S = (a*b*sin(a))/2,
Qayerda b, c uchburchak tomonlarining uzunligi, sin(a) ikki tomon orasidagi burchakning sinusidir.

Chizilgan doira va uch tomonning radiusi berilgan uchburchakning maydoni uchun formula

S=p*r,
Bu erda p - maydoni topilishi kerak bo'lgan uchburchakning yarim perimetri, r - bu uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi.

Uch tomonli uchburchakning maydoni va uning atrofida aylananing radiusi uchun formula

S= (a*b*c)/4*R,
Bu erda a,b,c - uchburchakning har bir tomonining uzunligi, R - uchburchak atrofida aylana radiusi.

Nuqtalarning dekart koordinatalaridan foydalangan holda uchburchak maydoni uchun formula

Nuqtalarning dekart koordinatalari xOy sistemasidagi koordinatalar bolib, bu erda x abscissa, y ordinatadir. Tekislikdagi xOy dekart koordinatalar tizimi O nuqtada boshi umumiy bo'lgan Ox va Oy o'zaro perpendikulyar son o'qlaridir. Agar bu tekislikdagi nuqtalarning koordinatalari A(x1, y1), B(x2, y2) ko'rinishda berilgan bo'lsa. ) va C(x3, y3 ), keyin quyidagi formuladan foydalanib, uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin. vektor mahsuloti ikkita vektor.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
qaerda || modulni anglatadi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

To'g'ri burchakli uchburchak - bu bir burchagi 90 gradus bo'lgan uchburchak. Uchburchakda faqat bitta burchak bo'lishi mumkin.

Ikki tomondan to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formula

S= a*b/2,
Bu erda a,b - oyoqlarning uzunligi. Oyoqlar to'g'ri burchakka ulashgan tomonlardir.

Gipotenuza va o'tkir burchakka asoslangan to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formula

S = a*b*sin(a)/ 2,
bu yerda a, b uchburchakning oyoqlari, sin(a) esa a, b chiziqlar kesishgan burchak sinusidir.

Yon va qarama-qarshi burchakka asoslangan to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formula

S = a*b/2*tg(b),
bu yerda a, b uchburchakning oyoqlari, tan(b) a, b oyoqlari tutashgan burchak tangensi.

Teng yonli uchburchakning maydonini qanday hisoblash mumkin

Teng yon tomonli uchburchak - bu ikkita teng tomoni bo'lgan uchburchak. Bu tomonlar tomonlar deb ataladi, ikkinchi tomoni esa asosdir. Teng yonli uchburchakning maydonini hisoblash uchun siz quyidagi formulalardan birini qo'llashingiz mumkin.

Teng yonli uchburchakning maydonini hisoblashning asosiy formulasi

S=h*c/2,
Bu erda c - uchburchakning asosi, h - uchburchakning poydevoriga tushirilgan balandligi.

Yon va asosga asoslangan teng yonli uchburchak formulasi

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
Bu erda c - uchburchakning asosi, a - teng yonli uchburchakning tomonlaridan birining o'lchami.

Teng tomonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Teng tomonli uchburchak - bu barcha tomonlari teng bo'lgan uchburchak. Teng tomonli uchburchakning maydonini hisoblash uchun siz quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:
S = (√3*a*a)/4,
bu yerda a - teng yonli uchburchak tomonining uzunligi.

Yuqoridagi formulalar sizga uchburchakning kerakli maydonini hisoblash imkonini beradi. Shuni esda tutish kerakki, uchburchaklar maydonini hisoblash uchun siz uchburchak turini va hisoblash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan mavjud ma'lumotlarni hisobga olishingiz kerak.

Uchburchakning maydonini aniqlash uchun siz turli formulalardan foydalanishingiz mumkin. Barcha usullardan eng oson va tez-tez ishlatiladigan balandlikni taglikning uzunligiga ko'paytirish va keyin natijani ikkiga bo'lishdir. Biroq bu usul yagonadan uzoqda. Quyida turli formulalar yordamida uchburchakning maydonini qanday topish mumkinligini o'qishingiz mumkin.

Biz alohida uchburchak turlarining maydonini hisoblash usullarini ko'rib chiqamiz - to'rtburchaklar, teng yonli va teng tomonli. Biz har bir formulaga uning mohiyatini tushunishga yordam beradigan qisqa tushuntirish bilan birga beramiz.

Uchburchak maydonini topishning universal usullari

Quyidagi formulalarda maxsus belgilar qo'llaniladi. Biz ularning har birini hal qilamiz:

• a, b, c - biz ko'rib chiqayotgan rasmning uch tomonining uzunliklari;
• r - aylana radiusi, bu bizning uchburchakka yozilishi mumkin;
• R - uning atrofida tasvirlanishi mumkin bo'lgan aylananing radiusi;
• a - b va c tomonlar hosil qilgan burchakning kattaligi;
• b - a va c orasidagi burchakning kattaligi;
• g - a va b tomonlar hosil qilgan burchak kattaligi;
• h - a burchakdan a tomoniga tushirilgan uchburchakmizning balandligi;
• p - a, b va c tomonlari yig'indisining yarmi.

Nima uchun uchburchakning maydonini shu tarzda topishingiz mumkinligi mantiqan aniq. Uchburchakni osongina parallelogrammga aylantirish mumkin, unda uchburchakning bir tomoni diagonal vazifasini bajaradi. Parallelogrammning maydoni uning tomonlaridan birining uzunligini unga chizilgan balandlik qiymatiga ko'paytirish yo'li bilan topiladi. Diagonal bu shartli parallelogrammani 2 ta bir xil uchburchakka ajratadi. Shuning uchun, bizning asl uchburchakning maydoni ushbu yordamchi parallelogramm maydonining yarmiga teng bo'lishi aniq.

S=½ a b sin g

Ushbu formulaga ko'ra, uchburchakning maydoni uning ikki tomonining uzunligini, ya'ni a va b ni ular hosil qilgan burchakning sinusiga ko'paytirish orqali topiladi. Bu formula avvalgisidan mantiqiy ravishda olingan. Agar balandlikni b burchakdan b tomoniga tushirsak, u holda to'g'ri burchakli uchburchakning xossalariga ko'ra, a tomonning uzunligini g burchak sinusiga ko'paytirganda uchburchakning balandligini, ya'ni h ni olamiz. .

Ko'rib chiqilayotgan shaklning maydoni aylana radiusining yarmini uning perimetriga ko'paytirish orqali topiladi. Boshqacha qilib aytganda, biz ko'rsatilgan aylananing yarim perimetri va radiusining mahsulotini topamiz.

S= a b c/4R

Ushbu formulaga ko'ra, bizga kerak bo'lgan qiymatni rasmning tomonlari mahsulotini uning atrofida tasvirlangan doiraning 4 radiusiga bo'lish orqali topish mumkin.

Ushbu formulalar universaldir, chunki ular har qanday uchburchakning (shkala, teng yonli, teng qirrali, to'rtburchaklar) maydonini aniqlashga imkon beradi. Buni ko'proq ishlatish ham mumkin murakkab hisob-kitoblar, biz bu haqda batafsil to'xtalmaymiz.

O'ziga xos xususiyatlarga ega uchburchaklar sohalari

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin? Bu raqamning o'ziga xosligi shundaki, uning ikki tomoni bir vaqtning o'zida uning balandligidir. Agar a va b oyoq bo'lsa va c gipotenuzaga aylansa, u holda maydonni quyidagicha topamiz:

Teng yonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin? Uning uzunligi a bo'lgan ikki tomoni va uzunligi b bo'lgan bir tomoni bor. Demak, uning maydonini a tomon kvadratining ko'paytmasini g burchak sinusiga 2 ga bo'lish yo'li bilan aniqlash mumkin.

Teng tomonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin? Unda barcha tomonlarning uzunligi a ga, barcha burchaklarning kattaligi a ga teng. Uning balandligi a tomoni uzunligi va 3 kvadrat ildizining yarmiga teng. Muntazam uchburchakning maydonini topish uchun a tomonning kvadratini 3 ning kvadrat ildiziga ko'paytirish va 3 ga bo'lish kerak. 4.