Bo'lim natural sonlar, ayniqsa, polisemantiklar, amalga oshirish uchun qulaydir maxsus usul, deb nomlangan ustunga bo'linish (ustun ichida). Ismni ham topishingiz mumkin burchak bo'limi. Darhol ta'kidlab o'tamizki, ustundan ham natural sonlarni qoldiqsiz bo'lish, ham natural sonlarni qoldiqga bo'lish mumkin.

Ushbu maqolada biz bo'linish qancha vaqt davomida bajarilishini ko'rib chiqamiz. Bu erda biz ro'yxatga olish qoidalari va barcha oraliq hisob-kitoblar haqida gapiramiz. Birinchidan, ko‘p xonali natural sonni ustunga bo‘lish masalasiga e’tibor qarataylik bir xonali raqam. Shundan so'ng, biz dividend ham, bo'luvchi ham ko'p qiymatli natural sonlar bo'lgan holatlarga to'xtalamiz. Ushbu maqolaning butun nazariyasi yechim jarayonining batafsil tushuntirishlari va rasmlari bilan natural sonlar ustuniga bo'linishning odatiy misollari bilan ta'minlangan.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ustunga bo'lishda qayd etish qoidalari

Keling, natural sonlarni ustunga bo'lishda dividend, bo'luvchi, barcha oraliq hisob-kitoblar va natijalarni yozish qoidalarini o'rganishdan boshlaylik. Darhol aytaylik, ustunlarni bo'linishni qog'ozda katakli chiziq bilan yozma ravishda bajarish eng qulaydir - bu bilan kerakli qator va ustundan chetga chiqish ehtimoli kamroq bo'ladi.

Birinchidan, dividend va bo'luvchi chapdan o'ngga bir qatorda yoziladi, shundan so'ng yozma raqamlar orasiga shaklning belgisi chiziladi. Masalan, agar dividend soni 6 105 va bo'luvchisi 5 5 bo'lsa, ustunga bo'lishda ularning to'g'ri belgilanishi quyidagicha bo'ladi:

Uzun bo'linishda dividend, bo'luvchi, qism, qoldiq va oraliq hisoblarni qayerga yozishni ko'rsatish uchun quyidagi diagrammaga qarang.

Yuqoridagi diagrammadan ko'rinib turibdiki, gorizontal chiziq ostidagi bo'luvchining ostiga kerakli qism (yoki qoldiq bilan bo'linganda to'liq bo'lmagan qism) yoziladi. Va oraliq hisob-kitoblar dividend ostida amalga oshiriladi va siz sahifada bo'sh joy mavjudligi haqida oldindan g'amxo'rlik qilishingiz kerak. Bunday holda, siz qoidaga amal qilishingiz kerak: dividend va bo'linuvchi yozuvlardagi belgilar sonidagi farq qanchalik ko'p bo'lsa, shuncha ko'p joy talab qilinadi. Masalan, 614 808 natural sonni ustun bilan 51 234 ga bo‘lishda (614 808 olti xonali son, 51 234 besh xonali son, yozuvlardagi belgilar sonining farqi 6−5 = 1), oraliq. hisob-kitoblarni talab qiladi kamroq joy 8,058 va 4 sonlarini bo'lishdan ko'ra (bu erda raqamlar sonining farqi 4−1=3). So'zlarimizni tasdiqlash uchun biz ushbu natural sonlar ustuniga bo'linishning to'liq yozuvlarini taqdim etamiz:

Endi siz to'g'ridan-to'g'ri natural sonlarni ustunga bo'lish jarayoniga o'tishingiz mumkin.

Natural sonni bir xonali natural songa ustun bo'lish, ustunga bo'lish algoritmi

Bir xonali natural sonni boshqasiga bo'lish juda oddiy ekanligi aniq va bu raqamlarni ustunga bo'lish uchun hech qanday sabab yo'q. Biroq, ushbu oddiy misollar bilan dastlabki uzoq bo'linish ko'nikmalarini mashq qilish foydali bo'ladi.

Misol.

Keling, 8 dan 2 gacha bo'lgan ustun bilan bo'linishimiz kerak.

Yechim.

Albatta, biz ko'paytirish jadvali yordamida bo'linishni amalga oshirishimiz mumkin va darhol 8:2=4 javobini yozamiz.

Lekin biz bu raqamlarni ustun bilan qanday ajratishga qiziqamiz.

Birinchidan, biz dividend 8 va bo'luvchi 2 ni metodga muvofiq yozamiz:

Endi biz dividendda bo'luvchi necha marta borligini aniqlashni boshlaymiz. Buning uchun bo'linuvchini ketma-ket 0, 1, 2, 3, ... raqamlariga ko'paytiramiz, natijada dividendga teng son (yoki qolgan bo'linish bo'lsa, dividenddan katta raqam bo'ladi. ). Agar biz dividendga teng raqam olsak, uni darhol dividend ostida yozamiz va bo'linuvchi o'rniga biz bo'luvchini ko'paytirgan sonni yozamiz. Agar biz dividenddan kattaroq raqam olsak, bo'linuvchi ostida biz oxirgi bosqichda hisoblangan sonni yozamiz va to'liq bo'lmagan qism o'rniga biz oxirgi bosqichda bo'luvchi ko'paytirilgan sonni yozamiz.

Keling: 2·0=0 ; 2 1=2; 2·2=4; 2·3=6; 2·4=8. Biz dividendga teng raqam oldik, shuning uchun biz uni dividend ostida yozamiz va bo'linma o'rniga 4 raqamini yozamiz. Bunday holda, kirish qabul qilinadi keyingi ko'rinish:

Bir xonali natural sonlarni ustun bilan bo'lishning yakuniy bosqichi qoladi. Dividend ostida yozilgan raqam ostida siz gorizontal chiziq chizishingiz kerak va bu chiziq ustidagi raqamlarni ustundagi natural sonlarni ayirish bilan bir xil tarzda ayirishingiz kerak. Ayirish natijasida hosil bo'lgan raqam bo'linishning qolgan qismi bo'ladi. Agar u nolga teng bo'lsa, asl sonlar qoldiqsiz bo'linadi.

Bizning misolimizda biz olamiz

Endi bizning oldimizda 8 raqamining ustunini 2 ga bo'lishning tugallangan yozuvi bor. Ko'ramizki, 8:2 nisbati 4 ga teng (qolgan qismi esa 0).

Javob:

8:2=4 .

Endi ustun bir xonali natural sonlarni qoldiq bilan qanday ajratishini ko'rib chiqamiz.

Misol.

Ustun yordamida 7 ni 3 ga bo'ling.

Yechim.

Yoniq dastlabki bosqich kirish quyidagicha ko'rinadi:

Biz dividendda necha marta bo'luvchi borligini aniqlashni boshlaymiz. Biz 3 ni 0, 1, 2, 3 va boshqalarga ko'paytiramiz. biz dividend 7 ga teng yoki undan katta raqamni olguncha. Biz 3·0=0 ni olamiz<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (agar kerak bo'lsa, natural sonlarni taqqoslash maqolasiga qarang). Dividend ostida biz 6 raqamini yozamiz (u oxirgi bosqichda olingan) va to'liq bo'lmagan qism o'rniga biz 2 raqamini yozamiz (ko'paytirish oxirgi bosqichda amalga oshirilgan).

Ayirishni bajarish qoladi va 7 va 3 bir xonali natural sonlar ustuniga bo'linish tugallanadi.

Shunday qilib, qisman qism 2 ga, qolgan qismi esa 1 ga teng.

Javob:

7:3=2 (qolgan. 1) .

Endi siz ko'p xonali natural sonlarni ustunlar bo'yicha bir xonali natural sonlarga bo'lishga o'tishingiz mumkin.

Endi biz buni aniqlaymiz uzoq bo'linish algoritmi. Har bir bosqichda 140 288 ko‘p xonali natural sonni bir xonali natural son 4 ga bo‘lish natijasida olingan natijalarni taqdim etamiz. Ushbu misol tasodifan tanlanmagan, chunki uni hal qilishda biz barcha mumkin bo'lgan nuanslarga duch kelamiz va ularni batafsil tahlil qilishimiz mumkin.

Avval biz dividend yozuvida chapdagi birinchi raqamga qaraymiz. Agar bu raqam bilan aniqlangan raqam bo'linuvchidan katta bo'lsa, keyingi xatboshida biz bu raqam bilan ishlashimiz kerak. Agar bu raqam bo'luvchidan kichik bo'lsa, biz dividendlar to'g'risidagi yozuvning chap tomonidagi keyingi raqamni hisobga olishimiz kerak va ko'rib chiqilayotgan ikki raqam bilan aniqlangan raqam bilan ishlashni davom ettirishimiz kerak. Qulaylik uchun biz o'z belgimizda ishlaydigan raqamni ta'kidlaymiz.

140288 dividend belgisida chapdan birinchi raqam 1 raqamidir. 1 raqami bo'luvchi 4 dan kichik, shuning uchun biz dividend yozuvida chapdagi keyingi raqamga ham qaraymiz. Shu bilan birga, biz 14 raqamini ko'ramiz, bu bilan biz yanada ishlashimiz kerak. Biz bu raqamni dividendlar yozuvida ta'kidlaymiz.

Ikkinchidan to'rtinchigacha bo'lgan keyingi bosqichlar natural sonlarni ustunga bo'lish tugaguniga qadar tsiklik ravishda takrorlanadi.

Endi biz ishlayotgan sonda boʻluvchi necha marta borligini aniqlashimiz kerak (qulaylik uchun bu sonni x deb belgilaymiz). Buning uchun bo'luvchini ketma-ket 0, 1, 2, 3, ... ga ko'paytiramiz, toki biz x sonini yoki x dan katta sonni olamiz. X soni olinganda, biz uni ustundagi natural sonlarni ayirishda qo'llaniladigan qayd qilish qoidalariga muvofiq ajratilgan raqam ostiga yozamiz. Ko'paytirish amalga oshirilgan raqam algoritmning birinchi o'tishida qism o'rniga yoziladi (algoritmning 2-4 nuqtasining keyingi o'tishlarida bu raqam allaqachon mavjud raqamlarning o'ng tomoniga yoziladi). Biz x sonidan kattaroq raqamni olganimizda, belgilangan raqam ostida biz oxirgi bosqichda olingan raqamni yozamiz va qism o'rniga (yoki mavjud raqamlarning o'ng tomonida) raqamni yozamiz: bu ko'paytirish oxirgidan oldingi bosqichda amalga oshirildi. (Biz yuqorida muhokama qilingan ikkita misolda shunga o'xshash harakatlar qildik).

14 ga teng yoki 14 dan katta bo'lgan son olinmaguncha 4 bo'luvchini 0, 1, 2, ... raqamlariga ko'paytiring. Bizda 4·0=0 bor<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Oxirgi bosqichda biz 14 dan katta bo'lgan 16 raqamini olganimiz sababli, ta'kidlangan raqam ostida biz oxirgi bosqichda olingan 12 raqamini yozamiz va bo'linma o'rniga biz 3 raqamini yozamiz, chunki oxirgi nuqtada ko'paytirish aynan u tomonidan amalga oshirildi.


Ushbu bosqichda tanlangan raqamdan ustun yordamida uning ostida joylashgan raqamni olib tashlang. Ayirma natijasi gorizontal chiziq ostida yoziladi. Biroq, agar ayirish natijasi nolga teng bo'lsa, uni yozish kerak emas (agar o'sha nuqtadagi ayirish uzoq bo'linish jarayonini to'liq yakunlaydigan eng oxirgi harakat bo'lmasa). Bu erda, o'zingizning nazoratingiz uchun, ayirish natijasini bo'luvchi bilan solishtirish va uning bo'luvchidan kichikligiga ishonch hosil qilish noto'g'ri bo'lmaydi. Aks holda, qayerdadir xatoga yo'l qo'yilgan.

Biz 12 raqamini 14 raqamidan ustun bilan ayirishimiz kerak (yozuvning to'g'riligi uchun biz ayirilayotgan raqamlarning chap tomoniga minus belgisini qo'yishni unutmasligimiz kerak). Ushbu harakatni tugatgandan so'ng, gorizontal chiziq ostida 2 raqami paydo bo'ldi. Endi biz olingan sonni bo'linuvchi bilan taqqoslash orqali hisob-kitoblarimizni tekshiramiz. 2 raqami bo'luvchi 4 dan kichik bo'lgani uchun, keyingi nuqtaga ishonch bilan o'tishingiz mumkin.


Endi, u erda joylashgan raqamlarning o'ng tomonidagi gorizontal chiziq ostida (yoki biz nolni yozmagan joyning o'ng tomonida) biz dividend belgisida bir xil ustunda joylashgan raqamni yozamiz. Agar ushbu ustunda dividendlar qaydnomasida raqamlar bo'lmasa, ustunga bo'linish shu erda tugaydi. Shundan so'ng biz gorizontal chiziq ostida hosil bo'lgan raqamni tanlaymiz, uni ishchi raqam sifatida qabul qilamiz va u bilan algoritmning 2 dan 4 gacha bo'lgan nuqtalarini takrorlaymiz.

2 raqamining o'ng tomonidagi gorizontal chiziq ostida biz 0 raqamini yozamiz, chunki bu ustundagi 140,288 dividend yozuvida 0 raqami mavjud. Shunday qilib, gorizontal chiziq ostida 20 raqami hosil bo'ladi.


Biz ushbu 20 raqamini tanlaymiz, uni ishchi raqam sifatida qabul qilamiz va u bilan algoritmning ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi nuqtalarining harakatlarini takrorlaymiz.

Biz 20 raqamini yoki 20 dan katta raqamni olmagunimizcha 4 bo'luvchini 0, 1, 2, ... ko'paytiring. Bizda 4·0=0 bor<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Biz ayirishni ustun shaklida bajaramiz. Biz teng natural sonlarni ayirayotganimiz sababli, teng natural sonlarni ayirish xossasi tufayli natija nolga teng. Biz nolni yozmaymiz (chunki bu ustun bilan bo'linishning yakuniy bosqichi emas), lekin biz uni yozishimiz mumkin bo'lgan joyni eslaymiz (qulaylik uchun biz bu joyni qora to'rtburchak bilan belgilaymiz).


Esda tutilgan joyning o'ng tomonidagi gorizontal chiziq ostida biz 2 raqamini yozamiz, chunki bu ustunda 140 288 dividend qaydnomasida aynan shu narsa bor. Shunday qilib, gorizontal chiziq ostida biz 2 raqamiga egamiz.


Biz 2 raqamini ishchi raqam sifatida olamiz, uni belgilaymiz va biz yana bir bor algoritmning 2-4 nuqtasi harakatlarini bajarishimiz kerak bo'ladi.

Biz bo'luvchini 0, 1, 2 va boshqalarga ko'paytiramiz va natijada olingan raqamlarni belgilangan 2 raqami bilan taqqoslaymiz. Bizda 4·0=0 bor<2 , 4·1=4>2. Shuning uchun, belgilangan raqam ostida biz 0 raqamini yozamiz (u oxirgi bosqichda olingan) va raqamning o'ng tomonidagi qism o'rniga biz allaqachon 0 raqamini yozamiz (oxirgi bosqichda biz 0 ga ko'paytirdik. ).


Biz ayirishni ustunda bajaramiz, gorizontal chiziq ostida 2 raqamini olamiz. Olingan sonni bo'linuvchi 4 bilan solishtirib, o'zimizni tekshiramiz. 2 yildan beri<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


2 raqamining o'ng tomonidagi gorizontal chiziq ostida 8 raqamini qo'shing (chunki u dividendlar bo'yicha yozuvning ushbu ustunida 140 288). Shunday qilib, gorizontal chiziq ostida 28 raqami paydo bo'ladi.


Biz bu raqamni ishchi raqam sifatida qabul qilamiz, uni belgilaymiz va 2-4 bosqichlarni takrorlaymiz.

Agar siz hozirgacha ehtiyot bo'lsangiz, bu erda hech qanday muammo bo'lmasligi kerak. Barcha kerakli qadamlarni bajarib, quyidagi natijaga erishiladi.

2, 3, 4-bandlardagi qadamlarni oxirgi marta bajarish qoladi (buni sizga qoldiramiz), shundan so'ng siz 140,288 va 4 natural sonlarini ustunga bo'lishning to'liq rasmini olasiz:

E'tibor bering, 0 raqami eng pastki qatorda yozilgan. Agar bu ustunga bo'linishning oxirgi bosqichi bo'lmasa (ya'ni, dividendlar yozuvida o'ngdagi ustunlarda raqamlar qoldirilgan bo'lsa), unda biz bu nolni yozmagan bo'lardik.

Shunday qilib, 140,288 ko'p xonali natural sonni bir xonali natural son 4 ga bo'linishning tugallangan bo'linishini ko'rib chiqamiz, biz bo'linish 35,072 raqamini ko'ramiz (va bo'linishning qolgan qismi nolga teng, u eng pastki qatorda joylashgan. ).

Albatta, natural sonlarni ustunga bo'lishda siz o'zingizning barcha harakatlaringizni bunday batafsil tasvirlab berolmaysiz. Sizning yechimlaringiz quyidagi misollar kabi ko'rinadi.

Misol.

Agar dividend 7 136 bo'lsa va bo'linuvchi bir xonali natural son 9 bo'lsa, uzun bo'linishni bajaring.

Yechim.

Natural sonlarni ustunlarga bo'lish algoritmining birinchi bosqichida biz shakl yozuvini olamiz.

Algoritmning ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi nuqtalaridagi harakatlar bajarilgandan so'ng, ustunlarni bo'linish yozuvi shaklga ega bo'ladi.

Tsiklni takrorlash bizda bo'ladi

Yana bir o'tish bizga 7,136 va 9 natural sonlarining ustun bo'linishining to'liq rasmini beradi.

Shunday qilib, qisman qism 792, qolgan qismi esa 8 ga teng.

Javob:

7 136:9=792 (qolgan 8) .

Va bu misol uzoq bo'linish qanday bo'lishi kerakligini ko'rsatadi.

Misol.

7 042 035 natural sonini bir xonali natural son 7 ga bo‘ling.

Yechim.

Bo'linishning eng qulay usuli - ustun bo'yicha.

Javob:

7 042 035:7=1 006 005 .

Ko'p xonali natural sonlarni ustunga bo'lish

Biz sizni xursand qilishga shoshilamiz: agar siz ushbu maqolaning oldingi bandidan ustun bo'linish algoritmini puxta o'zlashtirgan bo'lsangiz, unda siz qanday bajarishni deyarli bilasiz. ko'p xonali natural sonlarni ustunga bo'lish. Bu to'g'ri, chunki algoritmning 2-4 bosqichlari o'zgarishsiz qoladi va birinchi nuqtada faqat kichik o'zgarishlar paydo bo'ladi.

Ko'p xonali natural sonlarni ustunga bo'lishning birinchi bosqichida siz dividend yozuvida chapdagi birinchi raqamga emas, balki ularning soni yozuvdagi raqamlar soniga teng bo'lgan raqamga qarashingiz kerak. bo'luvchining. Agar bu raqamlar bilan aniqlangan raqam bo'linuvchidan katta bo'lsa, keyingi xatboshida biz bu raqam bilan ishlashimiz kerak. Agar bu raqam bo'luvchidan kichik bo'lsa, biz dividend yozuvida chap tomondagi keyingi raqamni hisobga olishimiz kerak. Shundan so'ng, algoritmning 2, 3 va 4-bandlarida ko'rsatilgan harakatlar yakuniy natija olinmaguncha bajariladi.

Ko'p qiymatli natural sonlar uchun ustunlarga bo'linish algoritmini misollarni yechishda amalda qo'llashni ko'rishgina qoladi.

Misol.

5,562 va 206 ko‘p xonali natural sonlarni ustunlarga bo‘linishni bajaramiz.

Yechim.

206 bo'luvchi 3 ta raqamni o'z ichiga olganligi sababli, biz 5,562 dividendning chap tomonidagi birinchi 3 ta raqamga qaraymiz. Bu raqamlar 556 raqamiga to'g'ri keladi. 556 soni 206 bo'luvchidan katta bo'lgani uchun biz 556 raqamini ishchi raqam sifatida qabul qilamiz, uni tanlaymiz va algoritmning keyingi bosqichiga o'tamiz.

Endi biz 206 bo'luvchini 0, 1, 2, 3, ... raqamlariga ko'paytiramiz, shunda biz 556 ga teng yoki 556 dan katta bo'lgan sonni olamiz. Bizda (agar ko'paytirish qiyin bo'lsa, tabiiy sonlarni ustunga ko'paytirish yaxshidir): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Biz 556 raqamidan kattaroq raqamni olganimiz sababli, ta'kidlangan raqam ostida biz 412 raqamini yozamiz (u oxirgi bosqichda olingan) va qism o'rniga biz 2 raqamini yozamiz (chunki biz uni ko'paytirdik. oxirgi bosqichda). Ustun bo'linishi yozuvi quyidagi shaklda bo'ladi:

Biz ustunni olib tashlashni amalga oshiramiz. Biz 144 farqini olamiz, bu raqam bo'luvchidan kamroq, shuning uchun siz kerakli harakatlarni xavfsiz bajarishingiz mumkin.

Raqamning o'ng tomonidagi gorizontal chiziq ostida biz 2 raqamini yozamiz, chunki u ushbu ustundagi 5562 dividend yozuvida:

Endi biz 1442 raqami bilan ishlaymiz, uni tanlaymiz va yana ikkidan to'rtinchi bosqichga o'tamiz.

1442 raqamini yoki 1442 dan katta raqamni olmaguningizcha 206 bo'luvchini 0, 1, 2, 3, ... ga ko'paytiring. Keling: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Biz ayirishni ustunda bajaramiz, biz nolga erishamiz, lekin biz uni darhol yozmaymiz, faqat uning o'rnini eslaymiz, chunki bo'linish shu erda tugaydimi yoki takrorlash kerakmi, bilmaymiz. algoritm qadamlari yana:

Endi biz eslab qolgan pozitsiyaning o'ng tomonidagi gorizontal chiziq ostida hech qanday raqam yoza olmasligimizni ko'ramiz, chunki bu ustundagi dividendlar yozuvida hech qanday raqam yo'q. Shuning uchun, bu ustun bo'linishini yakunlaydi va biz kirishni yakunlaymiz:

• Matematika. Umumta’lim muassasalarining 1, 2, 3, 4-sinflari uchun har qanday darsliklar.
• Matematika. Umumta’lim muassasalarining 5-sinfi uchun har qanday darsliklar.

O'nli kasrlarni natural sonlarga qanday ajratish mumkin? Keling, misollar yordamida qoida va uning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

O'nli kasrni natural songa bo'lish uchun quyidagilar kerak:

1) vergulni e'tiborsiz qoldirib, o'nli kasrni songa bo'ling;

2) butun qismning bo'linishi tugagach, qismga vergul qo'ying.

Misollar.

O'nli kasrlarni ajratish:

O'nli kasrni natural songa bo'lish uchun vergulga e'tibor bermasdan bo'ling. 5 6 ga bo'linmaydi, shuning uchun biz ko'rsatkichga nol qo'yamiz. Butun qismning bo'linishi tugallandi, biz qismga vergul qo'yamiz. Biz nolni tushiramiz. 50 ni 6 ga bo'ling. 8 ni oling. 6∙8=48. 50 dan biz 48 ni ayitamiz, qolgan 2. Biz olib tashlaymiz 4. 24 ni 6 ga bo'lamiz. Biz 4 ni olamiz. Qolgan nolga teng, bu bo'linish tugaganligini bildiradi: 5,04: 6 = 0,84.

2) 19,26: 18

Vergulni e'tiborsiz qoldirib, o'nli kasrni natural songa bo'ling. 19 ni 18 ga bo'ling. Barcha qismning bo'linishi tugallandi, qismga vergul qo'ying. 19 dan 18 ni ayiramiz. Qolgan 1 ga teng. 2 ni olib tashlaymiz. 12 ni 18 ga bo'linmaydi, bo'lakda esa nol yozamiz. Biz 6 ni tushiramiz. 126 ni 18 ga bo'lamiz, biz 7 ni olamiz. Bo'linish tugadi: 19,26: 18 = 1,07.

86 ni 25 ga bo'ling. 25∙3=75 ni oling. 86 dan 75 ni ayiramiz. Qolgan 11. Butun qismning bo'linishi tugallandi, qismga vergul qo'yamiz. Biz 5 ni tushiramiz. Biz 25∙4=100 ni olamiz. 115 dan 100 ni ayiramiz. Qolgan 15 ga teng. Nolni olib tashlaymiz. 150 ni 25 ga bo'lamiz. Biz 6 ni olamiz. Bo'linish tugadi: 86,5: 25 = 3,46.

4) 0,1547: 17

Nol 17 ga bo'linmaydi; biz nolni qismga yozamiz. Butun qismning bo'linishi tugallandi, biz qismga vergul qo'yamiz. Biz 1 ni tushiramiz. 1 17 ga bo'linmaydi, biz bo'lakda nol yozamiz. Biz 5 ni tushiramiz. 15 17 ga bo'linmaydi, biz bo'lakda nol yozamiz. Biz 4 ni olib tashlaymiz. 154 ni 17 ga bo'lamiz. Har biri 9 dan 17∙9=153 ni olamiz. 154 dan 153 ni ayiramiz. Qolgan 1 ni olib tashlaymiz 7. 17 ni 17 ga bo'lamiz 1 ni olamiz. Bo'linish tugadi: 0,1547: 17 = 0,0091.

5) O'nli kasrni ikkita natural sonni bo'lishda ham olish mumkin.

17 ni 4 ga bo'lganda, biz har bir qismni 4 ga bo'lamiz. 4∙4=16. 17 dan 16 ni olib tashlaymiz. Qolgan 1 ga teng. Nolni olib tashlaymiz. 10 ni 4 ga bo'ling. 2 ni oling. 4∙2=8. 10 dan 8 ni olib tashlaymiz. Qolgan 2. Nolni olib tashlaymiz. 20 ni 4 ga bo'ling. Har biri 5 tadan bo'linish tugallandi: 17: 4 = 4.25.

O'nli kasrlarni natural sonlarga bo'lishning yana bir nechta misollari:

Ushbu matematik dastur yordamida polinomlarni ustunlar bo'yicha ajratishingiz mumkin.
Ko'phadni ko'phadga bo'lish dasturi faqat masalaga javob bermaydi, u tushuntirishlar bilan batafsil yechim beradi, ya'ni. matematika va/yoki algebra bo'yicha bilimlarni sinash uchun yechim jarayonini ko'rsatadi.

Ushbu dastur umumta'lim maktablarining o'rta maktab o'quvchilari uchun test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rishda, Yagona davlat imtihonidan oldin bilimlarni sinovdan o'tkazishda va ota-onalar uchun matematika va algebra fanlaridan ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilishda foydali bo'lishi mumkin. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki matematika yoki algebra uy vazifasini imkon qadar tezroq bajarishni xohlaysizmi? Bunday holda siz bizning dasturlarimizdan batafsil echimlar bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning aka-ukalaringiz yoki opa-singillaringizni o'qitishingiz va/yoki o'qitishingiz mumkin, shu bilan birga muammolarni hal qilish sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Agar kerak bo'lsa yoki polinomni soddalashtiring yoki polinomlarni ko'paytirish, u holda buning uchun bizda alohida dastur mavjud Ko'phadni soddalashtirish (ko'paytirish).

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Sizda AdBlock yoqilgan bo'lishi mumkin.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, so'rovingiz navbatga qo'yildi.
Bir necha soniya ichida yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...

Agar Siz yechimdagi xatolikni payqagan, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Esdan chiqarma qaysi vazifani ko'rsating nimani hal qilasiz maydonlarga kiring.

Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

Ko'phadni ko'phadga (binomga) ustun (burchak) orqali bo'lish

Algebrada polinomlarni ustun (burchak) bilan bo'lish- f(x) ko'phadni darajasi f(x) ko'phadning darajasidan kichik yoki teng bo'lgan g(x) ko'phadga (binomial) bo'lish algoritmi.

Ko'p nomli ko'p nomga bo'linish algoritmi qo'lda osonlik bilan amalga oshirilishi mumkin bo'lgan sonlarni ustunlarga bo'lishning umumlashtirilgan shaklidir.

\(f(x) \) va \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \) har qanday polinomlar uchun \(q(x) \) va \(r() polinomlari mavjud. x ) \), shunday
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
va \(r(x)\) \(g(x)\) dan past darajaga ega.

Ko‘phadlarni ustunga (burchakka) bo‘lish algoritmining maqsadi berilgan dividend uchun \(q(x) \) va qolgan qismini \(r(x) \) topishdir \(f(x) \) va nolga teng bo'lmagan bo'luvchi \(g(x) \)

Misol

Bir ko‘phadni boshqa ko‘phadga (binomiyga) ustun (burchak) yordamida ajratamiz:
\(\katta \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Ushbu polinomlarning qismi va qolgan qismini quyidagi amallarni bajarish orqali topish mumkin:
1. Dividendning birinchi elementini boʻluvchining eng yuqori elementiga boʻling, natijani \((x^3/x = x^2)\) qatori ostiga qoʻying.

3. Ko‘paytirishdan keyin olingan ko‘phadni dividenddan ayiring, natijani \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-) qatori ostiga yozing. 42) \)

4. Dividend sifatida chiziq ostida yozilgan ko'phaddan foydalanib, oldingi 3 qadamni takrorlang.

5. 4-bosqichni takrorlang.

6. Algoritmning oxiri.
Demak, \(q(x)=x^2-9x-27\) koʻphad koʻphadlar boʻlinish qismi, \(r(x)=-123\) koʻphadlar boʻlinishining qolgan qismidir.

Ko'phadlarni bo'lish natijasi ikkita tenglik shaklida yozilishi mumkin:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
yoki
\(\katta(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \katta(\frac(-123)(x-3)) \)

Ko'p xonali raqamlarni ustunga bo'lishning eng oson usuli. Ustun bo'linishi ham deyiladi burchak bo'limi.

Ustun bo'yicha bo'linishni boshlashdan oldin, biz ustunga bo'linishning yozish shaklini batafsil ko'rib chiqamiz. Birinchidan, dividendni yozing va uning o'ng tomoniga vertikal chiziq qo'ying:

Vertikal chiziq orqasida, dividendga qarama-qarshi bo'lib, bo'luvchini yozing va uning ostiga gorizontal chiziq torting:

Gorizontal chiziq ostida hosil bo'lgan qism bosqichma-bosqich yoziladi:

Oraliq hisob-kitoblar dividendlar ostida yoziladi:

Ustun bo'yicha yozishning to'liq shakli quyidagicha:

Qanday qilib ustun bo'yicha bo'linadi

Aytaylik, biz 780 ni 12 ga bo'lishimiz kerak, amalni ustunga yozamiz va bo'linishga o'tamiz:

Ustunlarni ajratish bosqichma-bosqich amalga oshiriladi. Biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - to'liq bo'lmagan dividendni aniqlash. Biz dividendning birinchi raqamiga qaraymiz:

bu raqam 7 ga teng, chunki u bo'luvchidan kichik, biz undan bo'linishni boshlay olmaymiz, ya'ni dividenddan boshqa raqamni olishimiz kerak, 78 soni bo'luvchidan katta, shuning uchun bo'linishni undan boshlaymiz:

Bizning holatlarimizda 78 raqami bo'ladi to'liq bo'linmaydigan, u to'liq bo'lmagan deb ataladi, chunki u bo'linuvchining faqat bir qismidir.

To'liq bo'lmagan dividendni aniqlagandan so'ng, biz ko'rsatkichda qancha raqam bo'lishini bilib olamiz, buning uchun to'liq bo'lmagan dividenddan keyin dividendda qancha raqam qolganligini hisoblashimiz kerak, bizning holatlarimizda faqat bitta raqam - 0, bu ko'rsatkich 2 ta raqamdan iborat bo'lishini anglatadi.

Bo'limda bo'lishi kerak bo'lgan raqamlar sonini bilib, uning o'rniga nuqta qo'yishingiz mumkin. Agar bo'linishni yakunlashda raqamlar soni ko'rsatilgan nuqtalardan ko'p yoki kamroq bo'lsa, unda biror joyda xatolik yuz berdi:

Keling, ajratishni boshlaylik. 78 sonida 12 soni necha marta borligini aniqlashimiz kerak. Buning uchun to‘liq bo‘lmagan dividendga imkon qadar yaqin raqam olinmaguncha bo‘luvchini 1, 2, 3, ... natural sonlariga ketma-ket ko‘paytiramiz. yoki unga teng, lekin undan oshmasligi kerak. Shunday qilib, biz 6 raqamini olamiz, uni bo'linuvchining ostiga yozamiz va 78 dan (ustunni olib tashlash qoidalariga muvofiq) 72 ni (12 6 = 72) ayiramiz. 78 dan 72 ni ayirgandan so'ng, qolgan 6 bo'ladi:

E'tibor bering, bo'limning qolgan qismi raqamni to'g'ri tanlaganimizni ko'rsatadi. Agar qoldiq bo'luvchiga teng yoki undan katta bo'lsa, biz raqamni to'g'ri tanlamadik va biz kattaroq raqamni olishimiz kerak.

Olingan qoldiqga - 6, dividendning keyingi raqamini qo'shing - 0. Natijada, biz to'liq bo'lmagan dividendni olamiz - 60. 60 sonida 12 necha marta borligini aniqlang. Biz 5 raqamini olamiz, uni yozamiz. 6 raqamidan keyin bo'linish va 60 dan 60 ni ayirish ( 12 5 = 60). Qolgan nolga teng:

Dividendda boshqa raqam qolmaganligi sababli, 780 12 ga to'liq bo'lingan degan ma'noni anglatadi. Uzoq bo'linishni bajarish natijasida biz qismni topdik - bu bo'linuvchi ostida yozilgan:

Keling, qism nolga teng bo'lgan misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, 9027 ni 9 ga bo'lish kerak.

Biz to'liq bo'lmagan dividendni aniqlaymiz - bu raqam 9. Bo'limga 1 ni yozamiz va 9 dan 9 ni chiqaramiz. Qolgan nolga teng. Odatda, agar oraliq hisob-kitoblarda qoldiq nolga teng bo'lsa, u yozilmaydi:

Biz dividendning keyingi raqamini olib tashlaymiz - 0. Nolni istalgan raqamga bo'lishda nol bo'lishini eslaymiz. Biz oraliq hisob-kitoblarda nolni yozamiz (0: 9 = 0) va 0 dan 0 ni ayirib tashlaymiz, odatda, oraliq hisob-kitoblarni chalkashtirib yubormaslik uchun, nol bilan hisob-kitoblar yozilmaydi.

Biz dividendning keyingi raqamini olib tashlaymiz - 2. Oraliq hisob-kitoblarda to'liq bo'lmagan dividend (2) bo'luvchidan (9) kichik ekanligi ma'lum bo'ldi. Bunday holda, qismga nol yozing va dividendning keyingi raqamini olib tashlang:

27 sonida 9 soni necha marta borligini aniqlaymiz. 3 raqamini olamiz, uni qism sifatida yozamiz va 27 dan 27 ni ayiramiz. Qolgan nolga teng:

Dividendda boshqa raqam qolmaganligi sababli, bu 9027 raqami to'liq 9 ga bo'linganligini anglatadi:

Keling, dividend nol bilan tugaydigan misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, 3000 ni 6 ga bo'lish kerak.

Biz to'liq bo'lmagan dividendni aniqlaymiz - bu 30 raqami. Biz qismga 5 ni yozamiz va 30 dan 30 ni ayiramiz. Qolgan nolga teng. Yuqorida aytib o'tilganidek, oraliq hisob-kitoblarda qolganlarga nol yozish shart emas:

Biz dividendning keyingi raqamini - 0 ni olib tashlaymiz. Nolni istalgan raqamga bo'lish nolga teng bo'lganligi sababli, biz qismga nol yozamiz va oraliq hisob-kitoblarda 0 dan 0 ni ayiramiz:

Biz dividendning keyingi raqamini olib tashlaymiz - 0. Biz qismga yana bir nol yozamiz va oraliq hisob-kitoblarda 0 dan 0 ni ayirib tashlaymiz, chunki oraliq hisob-kitoblarda nol bilan hisoblash odatda yozilmaydi, yozuvni faqat qoldirib, qisqartirish mumkin. qolgan - 0. Hisoblashning eng oxirida qolgan qismida nol odatda bo'linish tugallanganligini ko'rsatish uchun yoziladi:

Dividendda boshqa raqam qolmaganligi sababli, 3000 6 ga to'liq bo'linadi:

Ustunni qoldiq bilan bo'lish

Aytaylik, 1340 ni 23 ga bo'lish kerak.

Biz to'liq bo'lmagan dividendni aniqlaymiz - bu 134 raqami. Bo'limga 5 ni yozamiz va 134 dan 115 ni ayiramiz. Qolgan 19:

Biz dividendning navbatdagi raqamini - 0ni olib tashlaymiz. 190 sonida 23 necha marta borligini aniqlaymiz. 8 raqamini olamiz, uni qismga yozamiz va 190 dan 184 ni ayitamiz. Qolgan 6 ni olamiz:

Dividendda boshqa raqam qolmaganligi sababli, bo'linish tugadi. Natijada to'liq bo'lmagan qism 58 va qolgan 6:

1340: 23 = 58 (qolgan 6)

Dividend bo'luvchidan kam bo'lsa, qolgan qismga bo'linish misolini ko'rib chiqish qoladi. Keling, 3 ni 10 ga bo'lishimiz kerak. Biz 10 hech qachon 3 sonida mavjud emasligini ko'ramiz, shuning uchun biz 0 ni qism sifatida yozamiz va 3 dan 0 ni ayiramiz (10 · 0 = 0). Gorizontal chiziq chizing va qolgan qismini yozing - 3:

3: 10 = 0 (qolgan 3)

Uzoq bo'linish kalkulyatori

Ushbu kalkulyator sizga uzun bo'linishni amalga oshirishga yordam beradi. Shunchaki dividend va bo'luvchini kiriting va Hisoblash tugmasini bosing.

Bo'lim ko'p xonali yoki ko'p xonali raqamlarni yozma ravishda ishlab chiqarish qulay ustunda. Keling, buni qanday qilishni aniqlaylik. Keling, ko'p xonali sonni bir xonali songa bo'lishdan boshlaylik va dividendning raqamini asta-sekin oshiramiz.

Shunday qilib, bo'linaylik 354 yoqilgan 2 . Birinchidan, ushbu raqamlarni rasmda ko'rsatilgandek joylashtiramiz:

Dividendni chapga, bo'luvchini o'ngga joylashtiramiz va bo'linuvchining tagiga qism yoziladi.

Endi biz dividendni chapdan o'ngga bo'linuvchiga bo'linishni boshlaymiz. topamiz birinchi to'liq bo'lmagan dividend, buning uchun chapdagi birinchi raqamni, bizning holatlarimizda 3 ni oling va uni bo'linuvchi bilan solishtiring.

3 Ko'proq 2 , anglatadi 3 va to'liq bo'lmagan dividend mavjud. Biz qismga nuqta qo'yamiz va bo'limda yana qancha raqam bo'lishini aniqlaymiz - to'liq bo'lmagan dividendni tanlagandan keyin dividendda qolgan raqam. Bizning holatda, bo'linma dividend bilan bir xil raqamlarga ega, ya'ni eng muhim raqam yuzlab bo'ladi:

Uchun 3 ga bo'linadi 2 2 ga ko'paytirish jadvalini eslab, raqamni toping, 2 ga ko'paytirilganda biz 3 dan kichik bo'lgan eng katta mahsulotni olamiz.

2 × 1 = 2 (2< 3)

2 × 2 = 4 (4 > 3)

2 Ozroq 3 , A 4 ko'proq, ya'ni biz birinchi misolni va ko'paytuvchini olamiz 1 .

Keling, yozamiz 1 birinchi nuqta o'rnidagi qismga (yuzlik joyida) va topilgan mahsulotni dividend ostiga yozing:

Endi biz birinchi to'liq bo'lmagan dividend va topilgan qism va bo'luvchining mahsuloti o'rtasidagi farqni topamiz:

Olingan qiymat bo'linuvchi bilan taqqoslanadi. 15 Ko'proq 2 , ya'ni biz ikkinchi to'liq bo'lmagan dividendni topdik. Bo'lish natijasini topish uchun 15 yoqilgan 2 ko'paytirish jadvalini yana eslang 2 va eng kichik mahsulotni toping 15 :

2 × 7 = 14 (14< 15)

2 × 8 = 16 (16 > 15)

Kerakli multiplikator 7 , biz uni ikkinchi nuqta o'rniga qism sifatida yozamiz (o'nlikda). Biz ikkinchi to'liq bo'lmagan dividend va topilgan qism va bo'luvchining mahsuloti o'rtasidagi farqni topamiz:

Biz bo'linishni davom ettiramiz, nima uchun topamiz uchinchi to'liq bo'lmagan dividend. Biz dividendning keyingi raqamini tushiramiz:

Biz to'liq bo'lmagan dividendni 2 ga bo'lamiz, natijada olingan qiymatni bo'lim birliklari toifasiga kiritamiz. Keling, bo'linishning to'g'riligini tekshiramiz:

2 × 7 = 14

Uchinchi to'liq bo'lmagan dividendni bo'linuvchiga bo'lish natijasini yozamiz va farqni topamiz:

Biz farqni nolga tenglashtirdik, ya'ni bo'linish amalga oshirildi To'g'ri.

Keling, vazifani murakkablashtiramiz va boshqa misol keltiramiz:

1020 ÷ 5

Keling, misolimizni ustunga yozamiz va birinchi to'liq bo'lmagan qismni aniqlaymiz:

Dividendning minglab o'rni 1 , bo'luvchi bilan solishtiring:

1 < 5

Biz to'liq bo'lmagan dividendga yuzlab joylarni qo'shamiz va taqqoslaymiz:

10 > 5 - biz to'liq bo'lmagan dividendni topdik.

Biz ajratamiz 10 yoqilgan 5 , olamiz 2 , natijani qismga yozing. To'liq bo'lmagan dividend va bo'luvchi va topilgan qismni ko'paytirish natijasi o'rtasidagi farq.

10 – 10 = 0

0 biz yozmaymiz, biz dividendning keyingi raqamini - o'nlik raqamini qoldiramiz:

Biz ikkinchi to'liq bo'lmagan dividendni bo'linuvchi bilan taqqoslaymiz.

2 < 5

To'liq bo'lmagan dividendga yana bitta raqam qo'shishimiz kerak, buning uchun biz o'nlik raqamiga qo'yamiz 0 :

20 ÷ 5 = 4

Javobni qism birliklari toifasida yozamiz va tekshiramiz: mahsulotni ikkinchi to'liq bo'lmagan dividend ostida yozamiz va farqni hisoblaymiz. olamiz 0 , anglatadi to'g'ri hal qilingan misol.

Va ustunga bo'lish uchun yana ikkita qoida:

1. Agar dividend va bo'luvchining pastki tartibli raqamlarida nol bo'lsa, ularni bo'lishdan oldin kamaytirish mumkin, masalan:

Dividendning pastki tartib raqamidagi qancha nollarni olib tashlaymiz, biz bo'linuvchining pastki tartibli raqamlaridagi bir xil miqdordagi nollarni olib tashlaymiz.

2. Agar bo'lingandan keyin dividendda nollar qolsa, ular ko'rsatkichga o'tkazilishi kerak:

Shunday qilib, ustunga bo'linganda harakatlar ketma-ketligini shakllantiramiz.

1. Dividendni chapga, bo'luvchini o'ngga qo'ying. Biz dividendni to'liq bo'lmagan dividendlarni ajratib, ularni bo'linuvchiga bo'lish orqali ajratamiz. To'liq bo'lmagan dividenddagi raqamlar chapdan o'ngga yuqoridan pastgacha taqsimlanadi.
2. Agar dividend va bo'luvchining pastki raqamlarida nol bo'lsa, ularni bo'lishdan oldin kamaytirish mumkin.
3. Birinchi to'liq bo'lmagan bo'luvchini aniqlaymiz:

A) to'liq bo'lmagan bo'linuvchiga dividendning eng yuqori raqamini tanlang;

b) to'liq bo'lmagan dividendni bo'luvchi bilan solishtiring, agar bo'luvchi katta bo'lsa, nuqtaga o'ting (V), agar kamroq bo'lsa, biz to'liq bo'lmagan dividendni topdik va nuqtaga o'tishimiz mumkin 4 ;

V) to'liq bo'lmagan dividendga keyingi raqamni qo'shing va nuqtaga o'ting (b).

1. Bo'limda nechta raqam bo'lishini aniqlaymiz va bo'linma o'rniga (bo'luvchi ostida) qancha raqam bo'lsa, shuncha nuqta qo'yamiz. Birinchi to'liq bo'lmagan dividend uchun bitta nuqta (bitta raqam) va qolgan nuqtalar (raqamlar) to'liq bo'lmagan dividendni tanlagandan keyin dividendda qolgan raqamlar soni bilan bir xil bo'ladi.
2. Biz toʻliq boʻlmagan dividendni boʻluvchiga boʻlamiz, buning uchun biz boʻluvchiga koʻpaytirilsa, toʻliq boʻlmagan dividendga teng yoki undan kichik boʻlgan sonni topamiz;
3. Topilgan sonni keyingi qism raqami (nuqta) o'rniga yozamiz va uni bo'linuvchiga ko'paytirish natijasini to'liq bo'lmagan dividend ostida yozamiz va ularning farqini topamiz.
4. Agar topilgan farq to'liq bo'lmagan dividenddan kam yoki teng bo'lsa, biz to'liq bo'lmagan dividendni bo'luvchiga to'g'ri bo'ldik.
5. Agar dividendda hali ham raqamlar qolsa, biz bo'linishni davom ettiramiz, aks holda biz nuqtaga o'tamiz 10 .
6. Biz dividendning keyingi raqamini farqga tushiramiz va keyingi to'liq bo'lmagan dividendni olamiz:

a) to'liq bo'lmagan dividendni bo'luvchi bilan solishtiring, agar bo'luvchi katta bo'lsa, u holda (b) nuqtaga o'ting, agar kamroq bo'lsa, biz to'liq bo'lmagan dividendni topdik va 4-bandga o'tishimiz mumkin;

b) to'liq bo'lmagan dividendga dividendning keyingi raqamini qo'shing va ko'rsatkichdagi keyingi raqam (nuqta) o'rniga 0 yozing;

c) (a) nuqtaga o'ting.

10. Agar qoldiqsiz bo'linishni bajargan bo'lsak va oxirgi topilgan farq ga teng bo'lsa 0 , keyin biz bo'linishni to'g'ri bajardi.

Biz ko'p xonali sonni bir xonali songa bo'lish haqida gapirdik. Agar bo'linuvchi kattaroq bo'lsa, bo'linish xuddi shu tarzda amalga oshiriladi: