Турбулентный поток жидкости. Турбулентное течение жидкости в трубах. Устойчивость режима ламинарного течения в трубопроводе

Гидродинамика является важнейшим разделом физики, который изучает законы движения жидкости в зависимости от внешних условий. Важным вопросом, который рассматривается в гидродинамике, является вопрос определения ламинарного и турбулентного течения жидкости.

Что такое жидкость?

Чтобы лучше понять вопрос ламинарного и турбулентного течения жидкости, необходимо для начала рассмотреть, что собой представляет эта субстанция.

Жидкостью в физике называют одно из 3-х агрегатных состояний материи, которое при заданных условиях способно сохранять свой объем, но которая при воздействии минимальных тангенциальных сил изменяет свою форму и начинает течь. В отличие от твердого тела, в жидкости не возникают силы сопротивления внешнему воздействию, которые бы стремились вернуть ее исходную форму. От газов же жидкость отличается тем, что она способна сохранять свой объем при постоянном внешнем давлении и температуре.

Параметры, описывающие свойства жидкостей

Вопрос ламинарного и турбулентного течение определяется, с одной стороны, свойствами системы, в которой рассматривается движение жидкости, с другой же стороны, характеристиками текучей субстанции. Приведем основные свойства жидкостей:

• Плотность. Любая жидкость является однородной, поэтому для ее характеристики используют эту физическую величину, отражающую количество массы текучей субстанции, которая приходится на ее единицу объема.
• Вязкость. Эта величина характеризует трение, которое возникает между различными слоями жидкости в процессе ее течения. Так как в жидкостях потенциальная энергия молекул приблизительно равна их кинетической энергии, то она обуславливает наличие некоторой вязкости в любых реальных текучих субстанциях. Это свойство жидкостей является причиной потери энергии в процессе их течения.
• Сжимаемость. При увеличении внешнего давления всякая текучая субстанция уменьшает свой объем, однако, для жидкостей это давление должно быть достаточно велико, чтобы незначительно уменьшить занимаемый ими объем, поэтому для большинства практических случаев, это агрегатное состояние полагают несжимаемым.
• Поверхностное натяжение. Эта величина определяется работой, которую необходимо затратить, чтобы образовать единицу поверхности жидкости. Существование поверхностного натяжения обусловлено наличием сил межмолекулярного взаимодействия в жидкостях, и определяет их капиллярные свойства.

Ламинарное течение

Изучая вопрос турбулентного и ламинарного течения, рассмотрим сначала последнее. Если для жидкости, которая находится в трубе, создать разность давлений на концах этой трубы, то она начнет течь. Если течение субстанции является спокойным, и каждые ее слой перемещается вдоль плавной траектории, которая не пересекает линии движения других слоев, тогда говорят о ламинарном режиме течения. Во время него каждая молекула жидкости перемещается вдоль трубы по определенной траектории.

Особенностями ламинарного течения являются следующие:

• Перемешивания между отдельными слоями текучей субстанции не существует.
• Слои, находящиеся ближе к оси трубы, движутся с большей скоростью, чем те, которые расположены на ее периферии. Этот факт связан с наличием сил трения между молекулами жидкости и внутренней поверхностью трубы.

Примером ламинарного течения являются параллельные струи воды, которые вытекают из душа. Если в ламинарный поток добавить несколько капель красителя, то можно видеть, как они вытягиваются в струю, которая продолжает свое плавное течение, не перемешиваясь в объеме жидкости.

Турбулентное течение

Этот режим кардинальным образом отличается от ламинарного. Турбулентное течение представляет собой хаотический поток, в котором каждая молекула движется по произвольной траектории, которую можно предсказать лишь в начальный момент времени. Для этого режима характерны завихрения и кругообразные движения небольших объемов в потоке жидкости. Тем не менее, несмотря на хаотичность траекторий отдельных молекул, общий поток движется в определенном направлении, и эту скорость можно характеризовать некоторой средней величиной.

Примером турбулентного течения является поток воды в горной реке. Если капнуть краситель в такой поток, то можно видеть, что в первоначальный момент времени появится струя, которая начнет испытывать искажения и небольшие завихрения, а затем исчезнет, перемешавшись во всем объеме жидкости.

От чего зависит режим течения жидкости?

Ламинарный или турбулентный режимы течения зависят от соотношения двух величин: вязкости текучей субстанции, определяющей трение между слоями жидкости, и инерционных сил, которые описывают скорость потока. Чем более вязкая субстанция, и чем меньше скорость ее течения, тем выше вероятность появления ламинарного потока. Наоборот, если вязкость жидкости мала, а скорость ее передвижения велика, то поток будет турбулентным.

Ниже приводится видео, которое наглядно поясняет особенности рассматриваемых режимов течения субстанции.

Как определить режим течения?

Для практики этот вопрос очень важен, поскольку ответ на него связан с особенностями движения объектов в текучей среде и величиной энергетических потерь.

Переход между ламинарным и турбулентным режимами течения жидкости можно оценить, если использовать так называемые числа Рейнольдса. Они являются безразмерной величиной и названы в честь фамилии ирландского инженера и физика Осборна Рейнольдса, который в конце XIX века предложил их использовать для практического определения режима движения текучей субстанции.

Рассчитать число Рейнольдса (ламинарное и турбулентное течение жидкости в трубе), можно по следующей формуле: Re = ρ*D*v/μ, где ρ и μ - плотность и вязкость субстанции, соответственно, v - средняя скорость ее течения, D - диаметр трубы. В формуле числитель отражает инерционные силы или поток, а знаменатель определяет силы трения или вязкость. Отсюда можно сделать вывод, что, если число Рейнольдса для рассматриваемой системы имеет большую величину, значит, жидкость течет в турбулентном режиме, и наоборот, маленькие числа Рейнольдса говорят о существовании ламинарного потока.

Конкретные значения чисел Рейнольдса и их использование

Как было сказано выше, можно использовать для определения ламинарного и турбулентного течения число Рейнольдса. Проблема состоит в том, что оно зависит от особенностей системы, например, если труба будет иметь неровности на своей внутренней поверхности, то турбулентное течение воды в ней начнется при меньших скоростях потока, чем в гладкой.

Статистические данные многих экспериментов показали, что независимо от системы и природы текучей субстанции, если число Рейнольдса меньше 2000, то имеет место ламинарное движение, если же оно больше 4000, то поток становится турбулентным. Промежуточные значения чисел (от 2000 до 4000) говорят о наличии переходного режима.

Указанные числа Рейнольдса используются для определения движения различных технических объектов и аппаратов в текучих средах, для исследования течения воды по трубам разной формы, а также играют важную роль при изучении некоторых биологических процессов, например, движение микроорганизмов в кровяных сосудах человека.

Турбулентное течение характеризуется быстрыми и случайными флуктуациями скорости, давления и концентрации около их средних значений. Этими флуктуациями, как правило, интересуются лишь при статистическом описании систем. Поэтому в качестве первого шага при изучении турбулентного течения обычно рассматривают уравнения для средних величин, которые, как считается, описывают течение. При этом для некоторых средних величин получаются дифференциальные уравнения, в которые входят моменты высших порядков. Таким образом, этот метод не позволяет непосредственно вычислить любую среднюю величину. Задача о турбулентном течении имеет прямую аналогию в кинетической теории газов, где детали случайного движения молекул несущественны, и интерес представляют лишь некоторые средние измеримые величины.

Во многих случаях можно найти простое решение уравнения движения (94-4), описывающее ламинарное течение, однако наблюдаемое течение при этом турбулентно. Это обстоятельство привело к исследованиям устойчивости ламинарного течения. Вопрос об устойчивости течения формулируется следующим образом: если течение возмущается на бесконечно малую величину, то будет ли возмущение возрастать в пространстве и времени или же оно затухнет и течение останется ламинарным? Этот вопрос обычно решается путем линеаризации задачи вблизи основного, ламинарного решения. Получаемые результаты иногда согласуются с экспериментально наблюдаемыми условиями перехода к турбулентности или к более сложному ламинарному течению, как в случае вихрей Тейлора при течении между вращающимися цилиндрами (разд. 4). Иногда имеется

значительное расхождение с экспериментом, как в случае пуазейлевского течения в трубе.

Для турбулентного течения средние значения можно определить как средние по времени, например

Период времени U, по которому проводится усреднение, должен быть большим по сравнению с периодом флуктуаций, который можно оценить как 0,01 с.

Для ламинарного течения напряжение дается равенством (94-1), определяющим закон Ньютона для вязкого течения. Однако в турбулентном течении имеется дополнительный механизм переноса импульса, обусловленный тем фактом, что случайные флуктуации скорости стремятся передавать импульс в область с меньшим количеством движения. Таким образом, полное среднее напряжение, или лоток импульса, равно сумме вязкого и турбулентного потоков импульса:

где вязкий поток импульса определяется усредненным по времени уравнением (94-1), а турбулентный поток импульса будет получен в настоящем разделе несколько позднее.

Вдали от твердой стенки преобладает перенос импульса по турбулентному механизму. Однако вблизи твердой поверхности турбулентные флуктуации гасятся, вследствие чего доминирует вязкий перенос импульса. Поэтому напряжение трения на стенке по-прежнему определяется равенством

относящимся к течению в трубе радиуса R. Затухание флуктуаций вблизи твердой поверхности вполне естественно, поскольку жидкость не может пересечь границу раздела с твердым телом.

Природу турбулентного потока импульса можно выяснить, усредняя по времени уравнение движения (93-4):

Здесь через обозначен тот же тензор напряжений, который раньше обозначался . Этот тензор для ньютоновских жидкостей задается равенством (94-1).

Введем отклонение от средних по времени значений скорости и давления:

Назовем v флуктуацией скорости или флуктуирующей частью скорости. Несколько правил усреднения по времени следует непосредственно из определения (98-1). Так, временное среднее суммы равно сумме средних по времени:

Среднее значение производной равно производной от среднего по времени: . В общем случае среднее по времени от нелинейного члена даст более одного члена. Например, Конечно, среднее по времени от флуктуации равно нулю:

Мы считаем, что характеристики жидкости, например , и т. д., постоянны, поскольку даже при таких допущениях задача о турбулентном течении остается трудной и поскольку несжимаемые жидкости также подвержены турбулентному течению. В действительности сжимаемый ламинарный пограничный слой может быть более устойчивым, чем несжимаемый. С учетом этих замечаний усреднение по времени уравнения движения (98-4) дает

Усредненное по времени уравнение непрерывности (93-3) имеет вид

Среднее вязкое напряжение находится усреднением по времени равенства (94-1):

Эти уравнения совпадают с уравнениями, имевшимися до усреднения, за исключением того, что в уравнении движения (98-6) появляется член - . Если выразить турбулентный поток импульса как

и записать полное среднее напряжение в соответствии с равенством (98-2), то уравнение движения приобретает вид

Это уравнение весьма похоже на то, каким оно было до усреднения.

Эти выкладки иллюстрируют происхождение турбулентного потока импульса или так называемого напряжения Рейнольдса, определяемого равенством (98-9). Турбулентный механизм переноса импульса до некоторой степени аналогичен механизму переноса импульса в газах, с той лишь разницей, что в газах перенос осуществляется за счет случайного движения молекул, а в жидкостях - за счет случайного движения больших молекулярных агрегатов.

Видно, что процесс усреднения не позволяет надежно предсказать напряжение Рейнольдса. Не располагая фундаментальной теорией, многие авторы с переменным успехом писали эмпирические выражения для . Возможно, стоит подчеркнуть, что между турбулентным напряжением и производными скорости нет простого соотношения, как это имеет место для вязкого напряжения в ньютоновской жидкости, где является характеристикой состояния, зависящей лишь от температуры, давления и состава.

Многие практические задачи по турбулентности включают область вблизи твердой поверхности, поскольку по своему смыслу именно эта область служит местом зарождения турбулентности и поскольку именно в этой области требуется вычислять напряжения трения и скорости массопереноса. Делалось много попыток изучить экспериментальные данные с целью обобщения свойств разных характеристик турбулентного переноса вблизи поверхности. К таким характеристикам относятся средние высших порядков, например напряжение Рейнольдса, вытекающие из усреднения уравнений движения и конвективной диффузии. Это обобщение имеет вид универсального закона распределения скоростей вблизи поверхности. Тот же результат можно выразить с помощью турбулентной вязкости и турбулентной кинематической вязкости - коэффициентов, связывающих турбулентный перенос с градиентами скорости. Эти коэффициенты существенно зависят от расстояния до стенки и потому не являются фундаментальными характеристиками жидкости. Такого рода информация часто получается при изучении полностью развитого течения в трубе или некоторых простых пограничных слоев.

При изучении турбулентного течения вблизи поверхности твердого тела показано, что соотношение, называемое универсальным профилем скорости, справедливо для средней тангенциальной скорости, зависимость которой от расстояния до твердой поверхности изображена на рис. 98-1. Это соотношение описывает полностью развитое турбулентное течение вблизи гладкой

стенки и справедливо как для течения в трубе, так и для турбулентных пограничных слоев. В выражение для турбулентного профиля скорости входит напряжение трения то на стенке:

Заметим, что вдали от стенки средняя скорость изменяется линейно с логарифмом расстояния до стенки, а вблизи - возрастает линейно с расстоянием.

Рис. 98-1. Универсальный профиль скорости при полностью развитом турбулентном течении.

Основные особенности кривой воспроизводятся следующими приближенными формулами:

В логарифмической области

Здесь член, включающий зависимость профиля скорости от у, не, зависит от вязкости, которая входит лишь в аддитивную постоянную.

Из рис. 98-1 видно, что напряжение Рейнольдса зависит от расстояния до стенки. Обычно эта зависимость выражается через турбулентную вязкость , определяемую соотношением

Введение позволяет выражать эмпирические данные через турбулентную вязкость. Поскольку турбулентное течение вблизи стенки не может быть изотропным, для выражения других составляющих напряжения Рейнольдса, вероятно, требуется другая турбулентная вязкость даже при том же расстоянии до стенки.

Рис. 98-2. Турбулентная вязкость в виде универсальной функции расстояния до твердой поверхности.

Универсальный профиль скорости (рис. 98-1), по-видимому, справедлив лишь в области вблизи стенки, где напряжение трения существенно постоянно. Этот профиль должен нарушиться вблизи центра трубы, где напряжение падает до нуля. Если предположить, что напряжение трения постоянно по всей области, где справедлив универсальный профиль скорости, то можно получить представление о характере изменения с расстоянием до стенки:

Отсюда видно, что отношение также должно быть универсальной функцией расстояния до стенки выраженного в единицах . Рис. 98-2 получен дифференцированием универсального профиля скорости, изображенного на рис. 98-1. Таким методом получить точные данные для вблизи стенки невозмлжно,

можно, поскольку в этой области . Однако эта задача не имеет особого значения, так как в задачи гидродинамики входит лишь сумма

Универсальный профиль скорости - один из немногих выводов, полученных в теории турбулентного течения вблизи стенки. Этот профиль широко используется в тех случаях, когда экспериментальные наблюдения невозможны. Таким образом, универсальный профиль служит основой полуэмпирической теории турбулентного течения, которая применяется к гидродинамике турбулентных пограничных слоев, к массопереносу в турбулентных пограничных слоях, а также во входной области в случае полностью развитого течения в трубе.

Движение жидкости, наблюдаемое при больших скоростях, называют турбулентный режим движения жидкости. В этом случае в движении жидкости нет видимой закономерности. Отдельные частицы перемешиваются между собой и движутся по самым причудливым все время меняющимся траекториям весьма сложной формы.

Турбулентный режим движения в опытах

Для более конкретного представления турбулентного режима движения жидкости рассмотрим опыт Рейнольдса. Подробное описание .

При добавлении краски в поток жидкости движущейся с небольшой скоростью красная краска будет двигаться ровной струйкой.

При увеличении скорости потока движение частиц так же увеличится. Струйка краски будет колебаться как на указано на рисунке.

При открытии крана и увеличении расхода через трубку, поток краски будет всё более интенсивнее перемешиваться с основным потоком жидкости, образуя всё больше вихрей.

Несмотря на кажущуюся беспорядочность движения частиц и изменения их скорости, величина средней скорости в достаточно большом промежутке времени остается постоянной.

Турбулентный режим движения жидкости всегда характеризуется пульсация скоростей. Под действием пульсации частицы жидкости, движущиеся в главном (осевом) направлении потока, получают, кроме того, так же и поперечные перемещения, вследствие чего между соседними слоями жидкости возникает обмен частицами, вызывающими непрерывное перемешивание жидкости.

Однако у стенок, ограничивающих поток, имеют место совсем иные, особые условия для движения жидкости. Наличие твердых границ делает поперечные движения частиц невозможными. Поэтому перемешивание жидкости здесь не происходит и частицы движутся по извилистым траекториям, почти параллельно стенкам.

Переход ламинарного режима в турбулентный

Все выше описанное позволяет установить следующую схему движения потока жидкости, обычно и принимаемую за основную рабочую схему при исследовании турбулентного режима.

По этой схеме у стенок образуется весьма тонкий слой, в котором движение жидкости происходит по законам ламинарного режима . Основная же центральная часть потока (ядро), связанная с этим слоем, называемым вязким (или ламинарным) подслоем, короткой переходной зоной, движется турбулентно с почти одинаковой для всех частиц жидкости средней скоростью.

Наличие вязкого (ламинарного) подслоя доказано экспериментально в результате весьма тщательных и точных измерений. Толщина этого слоя очень мала и обычно определяется долями миллиметра. Она зависит от числа Рейнольдса, и тем меньше, чем больше это число, т.е. чем больше турбулентность потока.

При значениях Re < 100 000 толщину вязкого подслоя в трубе круглого сечения можно определить по следующей формуле:

δ = 62,8 * d * Re -0,875

где d – диаметр трубы.

Из чего следует, что движение жидкости при турбулентном режиме течения должно всегда происходить со значительно большей затратой энергии, чем при ламинарном.

При ламинарном режиме энергия расходуется только на преодоление сил внутреннего трения между движущимися с различной скоростью соседними слоями жидкости. При турбулентном режиме, кроме этого, значительная энергия затрачивается на процесс перемешивания, вызывающий в жидкости дополнительные касательные напряжения.

Формула турбулентного режима течения

В старых теориях о турбулентном режиме принималось, что у стенок, ограничивающих поток, образуется некоторый неподвижный слой, по которому со значительными скоростями движется вся остальная масса жидкости.

Наличие этого неподвижного слоя с неизбежностью приводило к неправдоподобным выводам о “разрыве” скоростей, т.е. к такому закону распределения скоростей в поперечном сечении, при котором имеет место внезапное скачкообразное изменение скорости от нуля в неподвижном слое до конечной величины в остальной части потока.

Современные теории турбулентного режима течения исходят из схемы Л. Прандтля, который установил теоретический закон распределения скоростей в поперечном сечении потока.

По этому закону скорость в какой-нибудь точке сечения, например цилиндрической трубы, на расстоянии y от ее оси определяется формулой.

где υ0 – осевая скорость
r – радиус трубы
χ - числовой коэффициент, определяемый опытным путем
υ * - динамическая скорость, определяется по формуле

Для практического применения применяют выведенные из указанной выше формулы.

Для гладких труб

Для шероховатых труб

Для того, чтобы в трубе установилось распределение скоростей, соответствующее турбулентному режиму, жидкость должна пройти от входного сечения трубы некоторый определенный участок, называемый начальным участком турбулентного режима.

Длина этого участка определяется по формуле

L нач = 0,639*Re0.25 * d

Где d – диаметр трубы
Re – число Рейнольдса

Высказанные таким образом соображения о механизме движения и распределении скоростей в турбулентном потоке подтверждаются большим числом опытных данных. Из их рассмотрения следует, что при турбулентном режиме, как и нужно было ожидать, скорости распределяются по сечению более равномерно, чем при ламинарном режиме.

Для иллюстрации этого положения приведена картинка с нарисованными на ней кривыми распределения скоростей для потока жидкости в цилиндрической трубе при турбулентном режиме(сплошная линия) и при ламинарном режиме (пунктир).

При турбулентном режиме отношение средней скорости к максимальной осевой υср / υ0 изменяется от 0,75 до 0,90, в то время как при ламинарном режиме это отношении равно 0,5.

При этом следует иметь ввиду, что чем больше число Рейнольдса, т.е. чем интенсивнее происходит процесс перемешивания жидкости, тем больше будет это соотношение.

Видео по теме

Турбулентность наступает после превышения некоторого критического значения числа Рейнольдса, но в некоторых случаях она может возникнуть самопроизвольно.

Например, в случае перепада давления когда соседние области потока движутся рядом или проникают одна в другую, при воздействии силы тяжести или когда жидкая среда обтекает непроницаемую поверхность.

Структура турбулентного потока. Отличи­тельной особенностью турбулентного движения жидкости является хаотическое движение час­тиц в потоке. Однако при этом часто можно на­ блюдать и некоторую закономерность в таком

движении. С помощью термогидрометра, прибора позволяющего фиксировать изменение скорости в точке замера, можно снять кривую скорости. Если выбрать интервал времени достаточной продолжительности, то окажется, что колебания скорости наблюдаются око­ло некоторого уровня и этот уровень сохраняется постоянным при выборе различных ин­тервалов времени. Величина скорости в данной точке в данный момент времени носит на­звание мгновенной скорости. График изменения мгновенной скорости во времени u(t) представлена на рисунке. Если выбрать на кривой скоростей некоторый интервал времени и провести интегрирование кривой скоростей, а затем найти среднюю величину, то такая величина носит название осреднённой скорости

Разница между мнгновенной и осреднённой скоростью называется скоростью пуль­сации и".

Если величины осреднённых скоростей в различные интервалы времени будут оставаться постоянными, то такое турбулентное движение жидкости будет устано­вившемся.

При неустановившемся турбулентном движении жидкости величины щсреднённых скоростей меняются во времени

Пульсация жидкости является причиной перемешивания жидкости в потоке. Интен­сивность перемешивания зависит, как известно, от числа Рейнольдса, т.е. при сохранении прочих условий от скорости движения жидкости. Таким образом, в конкретном потоке

жидкости (вязкость жидкости и размеры сечения определены первичными условиями) характер её движения зависит от скоро­сти. Для турбулентного потока это имеет решающее значение. Так в периферийных слоях жидкости скорости всегда будут ми­нимальными, и режим движения в этих слоях естественно будет ламинарным. Увеличение скорости до критического значения приведёт к смене режима движения жидкости с ламинарного ре­жима на турбулентный режим. Т.е. в реальном потоке присутствуют оба режима как ла­минарный, так и турбулентный.

Таким образом, поток жидкости состоит из ламинарной зоны (у стенки канала) и турбулентного ядра течения (в центре) и, поскольку скорость к центру турбулентного по-

тока нарастает интенсивно, то толщина периферийного ламинарного слоя чаще всего не­значительна, и, естественно, сам слой называется ламинарной плёнкой, толщина которой зависит от скорости движения жидкости.

Гидравлически гладкие и шероховатые трубы. Состояние стенок трубы в значитель­ной мере влияет на поведение жидкости в турбу­лентном потоке. Так при ламинарном движении жидкость движется медленно и плавно, спокойно обтекая на своём пути незначительные препятст­вия. Возникающие при этом местные сопротивления настолько ничтожны, что их величи­ной можно пренебречь. В турбулентном же потоке такие малые препятствия служат ис­точником вихревого движения жидкости, что приводит к возрастанию этих малых мест­ных гидравлических сопротивлений, которыми мы в ламинарном потоке пренебрегли. Та­кими малыми препятствиями на стенке трубы являются её неровности. Абсолютная вели­чина таких неровностей зависит от качества обработки трубы. В гидравлике эти неровно­сти называются выступами шероховатости, они обозначаются литерой .

В зависимости от соотношения толщины ламинарной плёнки и величины выступов шероховатости будет меняться характер движения жидкости в потоке. В случае, когда толщина ламинарной плёнки велика по сравнению с величиной выступов шероховатости ( , выступы шероховатости погружены в ламинарную плёнку и турбулентному ядру течения они недоступны (их наличие не сказывается на потоке). Такие трубы называются гидравлически гладкими (схема 1 на рисунке). Когда размер выступов шероховатости превышает толщину ламинарной плёнки, то плёнка теряет свою сплошность, и выступы шероховатости становятся источником многочисленных вихрей, что существенно сказы­вается на потоке жидкости в целом. Такие трубы называются гидравлически шероховаты­ми (или просто шероховатыми) (схема 3 на рисунке). Естественно, существует и проме­жуточный вид шероховатости стенки трубы, когда выступы шероховатости становятся соизмеримыми с толщиной ламинарной плёнки (схема 2 на рисунке). Толщину ла-

минарной плёнки можно оценить исходя из эмпирического уравнения

Касательные напряжения в турбулентном потоке. В турбулентном потоке величина касательных напряжений должна быть больше, чем в ламинарном, т.к. к касательным на­пряжениям, определяемым при перемещении вязкой жидкости вдоль трубы следует доба­вить дополнительные касательные напряжения, вызываемые перемешиванием жидкости.

Рассмотрим этот процесс подробнее. В турбулентном потоке вместе с перемещением частицы жидкости вдоль оси трубы со скоростью и эта же частица жидкости одновремен­но переносятся в перпендикулярном направлении из одного слоя жидкости в другой со скоростью равной скорости пульсации и. Выделим элементарную площадку dS, распо­ложенную параллельно оси трубы. Через эту площадку из одного слоя в другой будет пе­ремещаться жидкость со скоростью пульсации при этом расход жидко­сти составит:

Масса жидкости dM r , переместившаяся через площадку за время dt будет:

За счёт горизонтальной составляющей скорости пульсации и" х эта масса получит в новом слое жидко­сти приращение количества движения dM ,

Если переток жидкости осуществлялся в слой, двигающийся с большей скоростью, то, следовательно, приращение количества движения будет соответствовать импульсу силы dT, направленной в сторону противоположную движению жидкости, т.е. скорости и" х:

^

Для осреднённых значений скорости:

Следует отметить, что при перемещении частиц жидкости из одного слоя в дру­гой они не мгновенно приобретают скорость нового слоя, а лишь через некоторое вре­мя; за это время частицы успеют углубиться в новый слой на некоторое расстояние /, называемое длиной пути перемешивания.

Теперь рассмотрим некоторую частицу жидкости находящуюся в точке А Пусть эта частица переместилась в соседний слой жидкости и углубилась в него на длину пу­ти перемешивания, т.е. оказалась в точке В. Тогда расстояние между этими точками будет равно /. Если скорость жидкости в точке А будет равна и, тогда скорость в точке

В будет равна.

Сделаем допущения, что пульсации скорости пропорциональны приращению скорости объёма жидкости. Тогда:

Полученная зависимость носит название формулы Прандтля и является за­коном в теории турбулентного трения так же как закон вязкостного трения для ла­минарного движения жидкости. , Перепишем последнюю зависимость в форме:

Здесь коэффициент , называемый коэффициентом турбулентного обмена

играет роль динамического коэффициента вязкости, что подчёркивает общность основ теории Ньютона и Прандтля. Теоретически полное касательное напряжение должно быть равно:

* "

но первое слагаемое в правой части равенства мало по сравнению со вторым и его величиной можно пренебречь

Распределение скоростей по сечению турбулентного потока. Наблюдения за величи­нами осреднённых скоростей в турбулентном потоке жидкости показали, что эпюра осреднённых скоростей в турбулентном потоке в значительной степени сгла­жена и практически скорости в разных точках живого сечения равны средней скорости. Сопоставляя эпюры скоростей турбулентного потока (эпюра 1) и ламинар­ного потока позволяют сделать вывод о практически равномерном распределении скоро­стей в живом сечении. Работами Прандтля было установлено, что закон изменения каса­тельных напряжений по сечению потока близок к логарифмическому закону. При некото­рых допущениях: течение вдоль бесконечной плоскости и равенстве касательных напря­жений во всех точках на поверхности

После интегрирования:

Последнее выражение преобразуется к следующему виду:

Развивая теорию Прандтля, Никурадзе и Рейхардт предложили аналогичную зависи­мость для круглых труб.

Потери напора на трение в турбулентном потоке жидкости. При исследовании во­проса об определении коэффициента потерь напора на трение в гидравлически гладких трубах можно прийти к мнению, что этот коэффициент целиком зависит от числа Рей-нольдса. Известны эмпирические формулы для определения коэффициента трения, наибо­лее широкое распространение получила формула Блазиуса:

По данным многочисленных экспериментов формула Блазиуса подтверждается в пределах значений числа Рейнольдса от до 1-10 5 . Другой распространённой эмпири­ческой формулой для определения коэффициента Дарси является формула П.К. Конакова:

Формула П.К. Конакова имеет более широкий диапазон применения до значений числа Рейнольдса в несколько миллионов. Почти совпадающие значения по точности и области применения имеет формула Г.К. Филоненко:

Изучение движения жидкости по шероховатым трубам в области, где потери напора определяются только шероховатостью стенок труб, и не зависят от скорости

движения жидкости, т.е. от числа Рейнольдса осуществлялось Прандтлем и Никурадзе. В результате их экспериментов на моделях с искусственной шероховатостью была установ­лена зависимость для коэффициента Дарси для этой так называемой квадратичной облас­ти течения жидкости.

Турбулентное движение жидкости наиболее часто встречается как в трубах, так и в различных открытых руслах. В связи со сложностью турбулентного движения механизм турбулентности потока до настоящего времени все еще недостаточно полно изучен.

Для турбулентного движения характерно неупорядоченное перемещение частиц жидкости. Происходит движение частиц в продольном, вертикальном и поперечном направлениях, в результате этого наблюдается интенсивное перемешивание их в потоке. Частицы жидкости описывают весьма сложные траектории движения. При соприкосновении турбулентного потока с шероховатой поверхностью русла частицы приходят во вращательное движение, т.е. возникают местные вихри различного размера.

Скорость в точке турбулентного потока жидкости получила название местной (актуальной) мгновенной скорости . Мгновенная скорость по координатным осям х , у , z - , ,:

- продольная составляющая скорости по направлению движения потока;

- окружная составляющая;

- поперечная составляющая скорости.

.

Все составляющие мгновенной скорости (, ,)меняются во времени. Изменения составляющих мгновенной скорости во времени называются пульсацией скорости по координатным осям. Следовательно, турбулентное движение в действительности является неустановившимся (нестационарным).

Скорости в определенной точке турбулентного потока жидкости можно измерить, например, с помощью лазерного прибора (ЛДИС). В результате измерений зафиксируется пульсация скоростей по направлениям х , у , z .

На рис. 4.7 изображен график пульсации продольной мгновенной скорости во времени при условии установившегося движения жидкости. Продольные скорости непрерывно изменяются, колебания их происходят около некоторой постоянной скорости. Выделим на графике два достаточно больших отрезка времени и Определим за время и среднюю по времени скорость .

Рис. 4.7. График пульсации продольной мгновенной скорости

Осредненная (средняя по времени) скорость может быть найдена так:

и
. (4.70)

Величина будет одинаковой на отрезках времени и. На рис. 4.7 площадь прямоугольников высотой и шириной или
будет равновелика площади, заключенной между пульсационной линией и значениями времени (отрезок и
), что и следует из зависимостей (4.70).

Разность между фактической мгновенной скоростью и осредненным значением - пульсационная составляющая в продольном направлении движения :

. (4.71)

Сумма пульсационных скоростей за принятые отрезки времени в рассматриваемой точке потока будет равна нулю.

На рис. 4.8 показан график пульсации поперечной мгновенной скорости . Для рассматриваемых отрезков времени

и
. (4.72)

Рис. 4.8. График пульсации поперечной мгновенной скорости

Сумма положительных площадей на графике, ограниченном пульсационной кривой, равна сумме отрицательных площадей. Пульсационная скорость в поперечном направлении равна поперечной скорости ,
.

В результате пульсации между соседними слоями жидкости возникает интенсивный обмен частицами, что приводит к непрерывному перемешиванию. Обмен частицами и, соответственно, массами жидкости в потоке в поперечном направлении приводит к обмену количеством движения (
).

В связи с введением понятия осредненной скорости турбулентный поток заменяется моделью потока, частицы которого движутся со скоростями, равными определенным продольным скоростям , и гидростатические давления в разных точках потока жидкости будут равны осредненным давлениям р . Согласно рассматриваемой модели поперечные мгновенные скорости
, т.е. будет отсутствовать поперечный массообмен частицами между горизонтальными слоями движущейся жидкости. Модель такого потока называется осредненным потоком. Такую модель турбулентного потока предложили Рейнольдс и Буссинеск (1895-1897). Приняв такую модель, можно рассматривать турбулентное движение как движение установившееся . Если в турбулентном потоке осредненная продольная скорость является постоянной, тогда условно можно принять струйчатую модель движения жидкости. На практике при решении инженерных практических задач рассматриваются только осредненные скорости, а также распределение этих скоростей в живом сечении, которые характеризуются эпюрой скоростей. Средняя скорость в турбулентном потокеV - средняя скорость из осредненных местных скоростей в разных точках.