Solusyon ng mga halimbawa ng modular inequalities. Mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus. Bagong pagtingin sa solusyon

Ngayon, mga kaibigan, walang uhog at damdamin. Sa halip, ipadadala kita sa labanan kasama ang isa sa mga pinakakakila-kilabot na kalaban sa kursong algebra sa ika-8-9 na baitang nang walang karagdagang tanong.

Oo, naunawaan mo nang tama ang lahat: pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may isang modulus. Titingnan namin ang apat na pangunahing pamamaraan kung saan matututunan mong lutasin ang tungkol sa 90% ng mga problemang ito. Paano ang iba pang 10%? Well, pag-uusapan natin sila sa isang hiwalay na aralin. :)

Gayunpaman, bago pag-aralan ang anumang mga trick doon, nais kong alalahanin ang dalawang katotohanan na kailangan mo nang malaman. Kung hindi, nanganganib na hindi mo maintindihan ang materyal ng aralin ngayon.

Ang kailangan mo nang malaman

Ang Captain Evidence, kumbaga, ay nagpapahiwatig na upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang modulus, kailangan mong malaman ang dalawang bagay:

1. Paano nareresolba ang mga hindi pagkakapantay-pantay?
2. Ano ang modyul.

Magsimula tayo sa pangalawang punto.

Depinisyon ng Module

Simple lang ang lahat dito. Mayroong dalawang kahulugan: algebraic at graphic. Magsimula tayo sa algebra:

Kahulugan. Ang module ng numerong $x$ ay alinman sa numero mismo, kung ito ay hindi negatibo, o ang bilang na kabaligtaran nito, kung ang orihinal na $x$ ay negatibo pa rin.

Ito ay nakasulat tulad nito:

\[\kaliwa| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

nagsasalita simpleng wika, ang modulus ay "isang numero na walang minus". At ito ay nasa duality na ito (sa isang lugar na hindi mo kailangang gumawa ng anuman sa orihinal na numero, ngunit sa isang lugar kailangan mong alisin ang ilang minus doon) at ang lahat ng kahirapan para sa mga baguhan na mag-aaral ay namamalagi.

meron pa ba geometric na kahulugan. Kapaki-pakinabang din na malaman ito, ngunit tatalakayin lamang natin ito sa kumplikado at ilang mga espesyal na kaso, kung saan ang geometric na diskarte ay mas maginhawa kaysa sa algebraic (spoiler: hindi ngayon).

Kahulugan. Hayaang markahan ang puntong $a$ sa totoong linya. Pagkatapos ang module na $\left| Ang x-a \right|$ ay ang distansya mula sa puntong $x$ hanggang sa puntong $a$ sa linyang ito.

Kung gumuhit ka ng isang larawan, makakakuha ka ng ganito:

Sa isang paraan o iba pa, ang pangunahing pag-aari nito ay sumusunod kaagad mula sa kahulugan ng module: ang modulus ng isang numero ay palaging isang hindi negatibong halaga. Ang katotohanang ito ay magiging isang pulang thread na tumatakbo sa buong kwento natin ngayon.

Solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Paraan ng Spacing

Ngayon harapin natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay. Napakarami ng mga ito, ngunit ang ating gawain ngayon ay kayang lutasin ang hindi bababa sa pinakasimpleng mga ito. Ang mga bumababa sa mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin sa paraan ng mga pagitan.

Mayroon akong dalawang malalaking tutorial sa paksang ito (sa pamamagitan ng paraan, napaka, VERY kapaki-pakinabang - Inirerekumenda ko ang pag-aaral):

1. Ang paraan ng agwat para sa mga hindi pagkakapantay-pantay (lalo na panoorin ang video);
2. Ang mga fractional-rational inequalities ay isang napakalaking aral, ngunit pagkatapos nito ay wala ka nang anumang katanungan na natitira.

Kung alam mo ang lahat ng ito, kung ang pariralang "lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay tungo sa equation" ay hindi mo gustong pumatay sa pader, kung gayon handa ka na: maligayang pagdating sa impiyerno sa pangunahing paksa ng aralin. :)

1. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng form na "Module less than function"

Ito ay isa sa mga pinaka-madalas na nakakaharap na mga gawain na may mga module. Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo:

\[\kaliwa| f\right| \ltg\]

Ang anumang bagay ay maaaring kumilos bilang mga function na $f$ at $g$, ngunit kadalasan ang mga ito ay polynomial. Mga halimbawa ng gayong hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\kanan| \ltx+7; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kaliwa(x+1 \kanan) \lt 0; \\ & \kaliwa| ((x)^(2))-2\kaliwa| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Lahat ng mga ito ay literal na malulutas sa isang linya ayon sa scheme:

\[\kaliwa| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \tama.\kanan)\]

Madaling makita na aalisin natin ang module, ngunit sa halip ay nakakakuha tayo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay (o, na parehong bagay, isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay). Ngunit ang paglipat na ito ay ganap na isinasaalang-alang ang lahat posibleng mga problema: kung ang numero sa ilalim ng modulus ay positibo, gumagana ang pamamaraan; kung negatibo, gumagana pa rin ito; at kahit na may pinakamaraming hindi sapat na function bilang kapalit ng $f$ o $g$, gagana pa rin ang paraan.

Naturally, ang tanong ay lumitaw: hindi ba mas madali? Sa kasamaang palad, hindi mo magagawa. Ito ang buong punto ng modyul.

Ngunit sapat na ang pamimilosopo. Lutasin natin ang ilang problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 2x+3\kanan| \ltx+7\]

Desisyon. Kaya, mayroon kaming isang klasikal na hindi pagkakapantay-pantay ng anyo na "ang module ay mas mababa kaysa sa" - kahit na walang pagbabago. Nagtatrabaho kami ayon sa algorithm:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \kaliwa| 2x+3\kanan| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Huwag magmadali upang buksan ang mga bracket na nauuna sa isang "minus": posible na dahil sa pagmamadali ay makakagawa ka ng nakakasakit na pagkakamali.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Ang problema ay nabawasan sa dalawang elementarya na hindi pagkakapantay-pantay. Pansinin namin ang kanilang mga solusyon sa parallel real lines:

Intersection ng marami

Ang intersection ng mga set na ito ang magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Desisyon. Ang gawaing ito ay medyo mas mahirap. Upang magsimula, ihiwalay namin ang module sa pamamagitan ng paglipat ng pangalawang termino sa kanan:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Malinaw, mayroon kaming hindi pagkakapantay-pantay ng form na "mas mababa ang module", kaya't tinanggal namin ang module ayon sa kilalang algorithm:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ngayon pansinin: may magsasabi na medyo pervert ako sa lahat ng mga bracket na ito. Ngunit muli kong ipinapaalala sa iyo na ang aming pangunahing layunin ay wastong lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay at makuha ang sagot. Sa ibang pagkakataon, kapag ganap mong pinagkadalubhasaan ang lahat ng inilarawan sa araling ito, maaari mong ilihis ang iyong sarili ayon sa gusto mo: buksan ang mga bracket, magdagdag ng mga minus, atbp.

For starters, aalis na lang tayo dobleng minus kaliwa:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kaliwa(x+1\kanan)\]

Ngayon buksan natin ang lahat ng mga bracket sa double inequality:

Lumipat tayo sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pagkakataong ito ang mga kalkulasyon ay magiging mas seryoso:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( align)\kanan.\]

Ang parehong mga hindi pagkakapantay-pantay ay parisukat at nalutas sa pamamagitan ng paraan ng agwat (kaya nga sinasabi ko: kung hindi mo alam kung ano ito, mas mahusay na huwag kumuha ng mga module pa). Dumaan kami sa equation sa unang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang output ay naging isang hindi kumpletong quadratic equation, na nalutas sa elementarya. Ngayon harapin natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Doon kailangan mong ilapat ang teorama ni Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Minarkahan namin ang nakuha na mga numero sa dalawang magkatulad na linya (hiwalay para sa unang hindi pagkakapantay-pantay at hiwalay para sa pangalawa):

Muli, dahil nilulutas namin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, interesado kami sa intersection ng mga shaded set: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ito ang sagot.

Sagot: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Sa tingin ko pagkatapos ng mga halimbawang ito ang scheme ng solusyon ay napakalinaw:

1. Ihiwalay ang module sa pamamagitan ng paglipat ng lahat ng iba pang termino sa kabaligtaran ng hindi pagkakapantay-pantay. Kaya nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng form na $\left| f\right| \ltg$.
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng pag-alis ng module tulad ng inilarawan sa itaas. Sa isang punto, kakailanganing lumipat mula sa isang dobleng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isang sistema ng dalawang independiyenteng mga expression, na ang bawat isa ay maaaring malutas nang hiwalay.
3. Sa wakas, nananatili lamang ang pagtawid sa mga solusyon ng dalawang independiyenteng expression na ito - at iyon lang, makukuha natin ang huling sagot.

Ang isang katulad na algorithm ay umiiral para sa mga hindi pagkakapantay-pantay susunod na uri kapag ang module ay mas malaki kaysa sa function. Gayunpaman, mayroong isang pares ng mga seryosong "ngunit". Pag-uusapan natin ang mga "ngunit" na ito ngayon.

2. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong "Module is greater than function"

Ganito ang hitsura nila:

\[\kaliwa| f\right| \gt g\]

Katulad ng nauna? Mukhang. Gayunpaman, ang mga naturang gawain ay nalutas sa isang ganap na naiibang paraan. Sa pormal, ang scheme ay ang mga sumusunod:

\[\kaliwa| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Sa madaling salita, isinasaalang-alang namin ang dalawang kaso:

1. Una, binabalewala lang natin ang module - nilulutas natin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay;
2. Pagkatapos, sa katunayan, binubuksan namin ang module na may minus sign, at pagkatapos ay i-multiply namin ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa −1, na may isang palatandaan.

Sa kasong ito, ang mga pagpipilian ay pinagsama sa isang square bracket, i.e. Mayroon kaming kumbinasyon ng dalawang kinakailangan.

Bigyang-pansin muli: bago sa amin ay hindi isang sistema, ngunit isang pinagsama-samang, samakatuwid sa sagot, ang mga set ay pinagsama, hindi intersected. Ito ay isang pangunahing pagkakaiba mula sa nakaraang talata!

Sa pangkalahatan, maraming mga mag-aaral ang may maraming pagkalito sa mga unyon at interseksyon, kaya't tingnan natin ang isyung ito minsan at para sa lahat:

• Ang "∪" ay isang tanda ng pagkakadugtong. Sa katunayan, ito ay isang naka-istilong titik na "U", na nagmula sa amin sa Ingles at ito ay isang pagdadaglat para sa "Union", i.e. "Mga Asosasyon".
• Ang "∩" ay ang intersection sign. Ang crap na ito ay hindi nagmula saanman, ngunit lumitaw lamang bilang isang pagsalungat sa "∪".

Para mas madaling matandaan, idagdag lang ang mga binti sa mga palatandaang ito upang makagawa ng mga baso (huwag mo lang akong akusahan na nagsusulong ng pagkagumon sa droga at alkoholismo ngayon: kung seryoso mong pinag-aaralan ang araling ito, kung gayon ikaw ay adik na sa droga):

Isinalin sa Russian, nangangahulugan ito ng sumusunod: ang unyon (koleksyon) ay kinabibilangan ng mga elemento mula sa parehong mga hanay, samakatuwid, hindi bababa sa bawat isa sa kanila; ngunit ang intersection (system) ay kinabibilangan lamang ng mga elementong nasa unang hanay at sa pangalawa. Samakatuwid, ang intersection ng mga set ay hindi kailanman mas malaki kaysa sa source set.

Kaya naging mas malinaw? Iyan ay mahusay. Magpatuloy tayo sa pagsasanay.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Desisyon. Kumilos kami ayon sa scheme:

\[\kaliwa| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ tama.\]

Niresolba namin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay ng populasyon:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Minarkahan namin ang bawat resultang set sa linya ng numero, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga ito:

Unyon ng mga hanay

Malinaw na ang sagot ay $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sagot: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gtx\]

Desisyon. Well? Hindi, pareho lang. Dumaan tayo mula sa isang hindi pagkakapantay-pantay na may isang modulus patungo sa isang hanay ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Niresolba natin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay. Sa kasamaang palad, ang mga ugat ay hindi magiging napakahusay doon:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, mayroon ding kaunting laro:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Ngayon kailangan nating markahan ang mga numerong ito sa dalawang axes - isang axis para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay. Gayunpaman, dapat na markahan ang mga puntos tamang ayos: Kung mas malaki ang numero, mas malayong ilipat ang punto sa kanan.

At narito kami ay naghihintay para sa isang setup. Kung malinaw ang lahat sa mga numerong $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (ang mga termino sa numerator ng una ang fraction ay mas mababa sa mga termino sa numerator ng pangalawa , kaya mas maliit din ang kabuuan), na may mga numerong $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ wala ring kahirapan (isang positibong numero na halatang mas negatibo), ngunit sa huling mag-asawa, ang lahat ay hindi gaanong simple. Alin ang mas malaki: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Ang pag-aayos ng mga puntos sa mga linya ng numero at, sa katunayan, ang sagot ay depende sa sagot sa tanong na ito.

Kaya't ihambing natin:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Ibinukod namin ang ugat, nakakuha ng mga di-negatibong numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, kaya may karapatan kaming i-square ang magkabilang panig:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Sa palagay ko ay walang utak na $4\sqrt(13) \gt 3$, kaya $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, sa wakas ang mga punto sa mga palakol ay isasaayos tulad nito:

Kaso pangit ang ugat

Ipaalala ko sa iyo na nilulutas namin ang isang set, kaya ang sagot ay ang unyon, at hindi ang intersection ng mga shaded set.

Sagot: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

Tulad ng nakikita mo, mahusay ang aming scheme para sa pareho mga simpleng gawain, at para sa mga napakahigpit. Ang tanging bagay" kahinaan"Sa diskarteng ito, kailangan mong ihambing nang tama ang mga hindi makatwirang numero (at maniwala ka sa akin: hindi lamang ito mga ugat). Ngunit isang hiwalay (at napakaseryosong aral) ang ilalaan sa mga tanong ng paghahambing. At magpatuloy kami.

3. Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga hindi negatibong "buntot"

Kaya nakarating kami sa pinakakawili-wili. Ito ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo:

\[\kaliwa| f\right| \gt\left| g\right|\]

Sa pangkalahatan, ang algorithm na pag-uusapan natin ngayon ay totoo lamang para sa module. Gumagana ito sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay kung saan may mga garantisadong di-negatibong expression sa kaliwa at kanan:

Ano ang gagawin sa mga gawaing ito? Tandaan lamang:

Sa mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga di-negatibong buntot, ang magkabilang panig ay maaaring itaas sa anumang natural na kapangyarihan. Walang karagdagang mga paghihigpit.

Una sa lahat, magiging interesado kami sa pag-squaring - sinusunog nito ang mga module at ugat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Huwag lamang malito ito sa pagkuha ng ugat ng parisukat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Hindi mabilang na mga pagkakamali ang nagawa kapag nakalimutan ng isang mag-aaral na mag-install ng module! Ngunit iyon ay isang ganap na naiibang kuwento (parang hindi makatwirang equation), kaya hindi na natin ito papasok ngayon. Mas mahusay na lutasin natin ang ilang mga problema:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Desisyon. Agad nating napapansin ang dalawang bagay:

1. Ay hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga puntos sa linya ng numero ay puputulin.
2. Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay malinaw na hindi negatibo (ito ay isang pag-aari ng module: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Samakatuwid, maaari nating parisukat ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay upang maalis ang modulus at malutas ang problema gamit ang karaniwang paraan ng pagitan:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Sa huling hakbang, dinaya ko ng kaunti: Binago ko ang pagkakasunod-sunod ng mga termino, gamit ang parity ng modulus (sa katunayan, pinarami ko ang expression na $1-2x$ sa −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Malutas namin sa pamamagitan ng paraan ng agwat. Lumipat tayo mula sa hindi pagkakapantay-pantay patungo sa equation:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Markahan namin ang nahanap na mga ugat sa linya ng numero. Muli: ang lahat ng mga punto ay may kulay dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit!

Pag-alis ng module sign

Hayaan akong ipaalala sa iyo para sa lalo na matigas ang ulo: kinukuha namin ang mga palatandaan mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay, na isinulat bago lumipat sa equation. At pinipinta namin ang mga lugar na kinakailangan sa parehong hindi pagkakapantay-pantay. Sa aming kaso, ito ay $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Ayan yun. Nalutas ang problema.

Sagot: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Desisyon. Ginagawa namin ang lahat ng pareho. Hindi ako magkokomento - tingnan lamang ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.

I-square natin ito:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \kanan| \kanan))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ at ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Paraan ng espasyo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Mayroon lamang isang ugat sa linya ng numero:

Ang sagot ay isang buong saklaw

Sagot: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Isang maliit na tala tungkol sa huling gawain. Tulad ng tumpak na nabanggit ng isa sa aking mga mag-aaral, ang parehong mga expression ng submodule sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay malinaw na positibo, kaya ang modulus sign ay maaaring tanggalin nang walang pinsala sa kalusugan.

Ngunit ito ay isang ganap na naiibang antas ng pag-iisip at ibang diskarte - maaari itong tawaging kondisyon na paraan ng mga kahihinatnan. Tungkol sa kanya - sa isang hiwalay na aralin. At ngayon lumipat tayo sa huling bahagi ng aralin ngayon at isaalang-alang ang isang unibersal na algorithm na palaging gumagana. Kahit na ang lahat ng nakaraang diskarte ay walang kapangyarihan. :)

4. Paraan ng enumeration ng mga opsyon

Paano kung ang lahat ng mga trick na ito ay hindi gumana? Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi bababa sa hindi negatibong mga buntot, kung imposibleng ihiwalay ang module, kung sa lahat ng sakit-kalungkutan-pagnanasa?

Pagkatapos ay ang "mabigat na artilerya" ng lahat ng matematika ay pumasok sa eksena - ang paraan ng enumeration. Tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus, ganito ang hitsura:

1. Isulat ang lahat ng mga expression ng submodule at ipantay ang mga ito sa zero;
2. Lutasin ang mga resultang equation at markahan ang mga natagpuang ugat sa isang linya ng numero;
3. Ang tuwid na linya ay hahatiin sa ilang mga seksyon, kung saan ang bawat module ay may nakapirming palatandaan at samakatuwid ay hindi malabo na lumalawak;
4. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat naturang seksyon (maaari mong hiwalay na isaalang-alang ang mga ugat ng hangganan na nakuha sa talata 2 - para sa pagiging maaasahan). Pagsamahin ang mga resulta - ito ang magiging sagot. :)

Well, paano? mahina? Madali lang! Sa loob lamang ng mahabang panahon. Tingnan natin sa pagsasanay:

Gawain. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

\[\kaliwa| x+2 \kanan| \lt\kaliwa| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Desisyon. Ang crap na ito ay hindi kumukulo sa mga hindi pagkakapantay-pantay tulad ng $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ o $\left| f\right| \lt\kaliwa| g \right|$, kaya sige na.

Sinusulat namin ang mga expression ng submodule, itinutumbas ang mga ito sa zero at hanapin ang mga ugat:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end(align)\]

Sa kabuuan, mayroon kaming dalawang ugat na naghahati sa linya ng numero sa tatlong seksyon, sa loob kung saan ang bawat module ay natatangi:

Hinahati ang linya ng numero sa pamamagitan ng mga zero ng submodular function

Isaalang-alang natin ang bawat seksyon nang hiwalay.

1. Hayaan ang $x \lt -2$. Pagkatapos ang parehong mga expression ng submodule ay negatibo, at ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isinulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Nakakuha kami ng medyo simpleng hadlang. I-intersect natin ito sa orihinal na pagpapalagay na $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Malinaw, ang variable na $x$ ay hindi maaaring sabay na mas mababa sa −2 ngunit mas malaki sa 1.5. Walang mga solusyon sa lugar na ito.

1.1. Magkahiwalay nating isaalang-alang ang boundary case: $x=-2$. I-substitute na lang natin ang numerong ito sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay at suriin: may hawak ba ito?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \kaliwa| -3 \kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Malinaw, ang kadena ng mga kalkulasyon ay humantong sa amin sa maling hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mali rin, at ang $x=-2$ ay hindi kasama sa sagot.

2. Ngayon hayaan ang $-2 \lt x \lt 1$. Magbubukas na ang kaliwang module na may "plus", ngunit ang kanan ay may "minus" pa rin. Meron kami:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Muli kaming bumalandra sa orihinal na kinakailangan:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

At muli, ang walang laman na hanay ng mga solusyon, dahil walang mga numero na parehong mas mababa sa −2.5 at mas malaki sa −2.

2.1. At muli espesyal na kaso: $x=1$. Pinapalitan namin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \kaliwa| 3\kanan| \lt\kaliwa| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Katulad ng nakaraang "espesyal na kaso", ang numerong $x=1$ ay malinaw na hindi kasama sa sagot.

3. Ang huling piraso ng linya: $x \gt 1$. Dito lahat ng module ay pinalawak na may plus sign:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

At muli, i-intersect namin ang natagpuang set na may orihinal na pagpilit:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \kanan)\]

Sa wakas! Natagpuan namin ang pagitan, na siyang magiging sagot.

Sagot: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Sa wakas, isang tala na maaaring magligtas sa iyo mula sa mga hangal na pagkakamali kapag nilulutas ang mga tunay na problema:

Ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na may mga module ay karaniwang tuluy-tuloy na mga set sa linya ng numero - mga pagitan at mga segment. Ang mga nakahiwalay na punto ay mas bihira. At kahit na mas madalas, nangyayari na ang mga hangganan ng solusyon (ang dulo ng segment) ay nag-tutugma sa hangganan ng saklaw na isinasaalang-alang.

Dahil dito, kung ang mga hangganan (ang parehong "mga espesyal na kaso") ay hindi kasama sa sagot, ang mga lugar sa kaliwa-kanan ng mga hangganang ito ay halos tiyak na hindi rin isasama sa sagot. At kabaliktaran: ang hangganan ay pumasok bilang tugon, na nangangahulugan na ang ilang mga lugar sa paligid nito ay magiging mga tugon din.

Isaisip ito kapag sinusuri mo ang iyong mga solusyon.

Mathematics ay isang simbolo ng karunungan ng agham,

isang halimbawa ng pang-agham na mahigpit at pagiging simple,

ang pamantayan ng pagiging perpekto at kagandahan sa agham.

Russian pilosopo, propesor A.V. Voloshinov

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng modulo

Ang pinakamahirap na problemang lutasin sa matematika ng paaralan ay ang mga hindi pagkakapantay-pantay, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign. Upang matagumpay na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang alamin nang mabuti ang mga katangian ng modyul at magkaroon ng mga kasanayan sa paggamit nito.

Mga pangunahing konsepto at katangian

Module ( ganap na halaga) totoong numero ipinapahiwatig at tinukoy bilang mga sumusunod:

Ang mga simpleng katangian ng modyul ay kinabibilangan ng mga sumusunod na ugnayan:

AT .

Tandaan, na ang huling dalawang pag-aari ay nagtataglay para sa anumang kahit na antas.

Gayundin, kung , saan , pagkatapos at

Mas kumplikadong mga katangian ng module, na maaaring epektibong magamit sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga module, ay nabuo sa pamamagitan ng mga sumusunod na theorems:

Teorama 1.Para sa anumang analytic function at ang hindi pagkakapantay-pantay.

Teorama 2. Pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay.

Teorama 3. Pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay.

Ang pinakakaraniwang hindi pagkakapantay-pantay sa matematika ng paaralan, naglalaman ng mga hindi kilalang variable sa ilalim ng modulo sign, ay mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo at saan ilang positibong pare-pareho.

Teorama 4. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay, at ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantaybumababa sa paglutas ng hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay at .

Ang theorem na ito ay isang partikular na kaso ng Theorems 6 at 7.

Mas kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay, na naglalaman ng modyul ay mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo, at .

Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng gayong mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring buuin gamit ang sumusunod na tatlong teorema.

Teorama 5. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

AT (1)

Patunay. Simula noon

Ito ay nagpapahiwatig ng bisa ng (1).

Teorama 6. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Patunay. Bilang , pagkatapos ay mula sa hindi pagkakapantay-pantay sinusundan iyon . Sa ilalim ng kondisyong ito, ang hindi pagkakapantay-pantayat sa kasong ito ang pangalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (1) ay lumalabas na hindi naaayon.

Napatunayan na ang theorem.

Teorama 7. Hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng kumbinasyon ng isang hindi pagkakapantay-pantay at dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

AT (3)

Patunay. Dahil , pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay palaging pinapatay, kung .

Hayaan , pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantayay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay, mula sa kung saan ang hanay ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay sumusunod at .

Napatunayan na ang theorem.

Isipin mo tipikal na mga halimbawa paglutas ng mga problema sa paksang "Hindi pagkakapantay-pantay, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang modulus

Karamihan simpleng paraan Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus ay ang pamamaraan, batay sa pagpapalawak ng modyul. Ang pamamaraang ito ay generic, gayunpaman, sa pangkalahatang kaso, ang paggamit nito ay maaaring humantong sa napakahirap na mga kalkulasyon. Samakatuwid, dapat ding malaman ng mga mag-aaral ang iba pang (mas mahusay) na pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Sa partikular, kailangang magkaroon ng mga kasanayan sa paglalapat ng mga theorems, ibinigay sa artikulong ito.

Halimbawa 1Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (4)

Desisyon.Ang hindi pagkakapantay-pantay (4) ay malulutas sa pamamagitan ng "klasikal" na pamamaraan - ang moduli expansion method. Sa layuning ito, sinisira namin ang numerical axis tuldok at pagitan at isaalang-alang ang tatlong mga kaso.

1. Kung , kung gayon , , , at hindi pagkakapantay-pantay (4) ang nasa anyo o .

Dahil ang kaso ay isinasaalang-alang dito, , ay isang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (4).

2. Kung , pagkatapos ay mula sa hindi pagkakapantay-pantay (4) makuha namin o . Dahil ang intersection ng mga pagitan at ay walang laman, pagkatapos ay walang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (4) sa itinuturing na pagitan.

3. Kung , pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay (4) ay kumukuha ng anyo o . Obvious naman yun ay isa ring solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (4).

Sagot: , .

Halimbawa 2 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.

Desisyon. Ipagpalagay natin na . Bilang , pagkatapos ay ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay ay tumatagal ng anyo o . Simula noon at samakatuwid ay sumusunod o .

Gayunpaman, samakatuwid o.

Halimbawa 3 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (5)

Desisyon. Bilang , kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay (5) ay katumbas ng mga hindi pagkakapantay-pantay o . Mula rito, ayon sa Theorem 4, mayroon tayong isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay at .

Sagot: , .

Halimbawa 4Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (6)

Desisyon. Tukuyin natin ang . Pagkatapos mula sa hindi pagkakapantay-pantay (6) nakukuha natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay , , o .

Mula rito, gamit ang paraan ng pagitan, nakukuha namin. Bilang , tapos dito meron tayong system of inequalities

Ang solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema (7) ay ang pagsasama ng dalawang pagitan at , at ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay. Ito ay nagpapahiwatig , na ang solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (7) ay ang pagsasama ng dalawang pagitan at .

Sagot: ,

Halimbawa 5Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (8)

Desisyon. Binabago namin ang hindi pagkakapantay-pantay (8) gaya ng sumusunod:

O kaya .

Paglalapat ng paraan ng pagitan, nakakakuha tayo ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (8).

Sagot: .

Tandaan. Kung ilalagay natin at sa kondisyon ng Theorem 5, pagkatapos ay makukuha natin .

Halimbawa 6 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (9)

Desisyon. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay (9) ito ay sumusunod. Binabago namin ang hindi pagkakapantay-pantay (9) gaya ng sumusunod:

O kaya

Mula noon o .

Sagot: .

Halimbawa 7Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (10)

Desisyon. Simula at , pagkatapos o .

Kaugnay nito at ang hindi pagkakapantay-pantay (10) ay nasa anyo

O kaya

. (11)

Ito ay sumusunod mula dito na o . Since , then inequality (11) also implies or .

Sagot: .

Tandaan. Kung ilalapat natin ang Theorem 1 sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (10), pagkatapos makuha namin . Mula dito at mula sa hindi pagkakapantay-pantay (10) ito ay sumusunod, iyon o . Bilang , pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay (10) ay kumukuha ng anyo o .

Halimbawa 8 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (12)

Desisyon. Simula noon at ang hindi pagkakapantay-pantay (12) ay nagpapahiwatig o . Gayunpaman, samakatuwid o. Mula dito nakukuha natin o .

Sagot: .

Halimbawa 9 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (13)

Desisyon. Ayon sa Theorem 7, ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (13) ay o .

Hayaan mo na. Sa kasong ito at ang hindi pagkakapantay-pantay (13) ay nasa anyo o .

Kung pagsasamahin natin ang mga pagitan at , pagkatapos ay makakakuha tayo ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (13) ng anyo.

Halimbawa 10 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (14)

Desisyon. Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay (14) sa isang katumbas na anyo: . Kung ilalapat natin ang Theorem 1 sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, makukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay .

Mula dito at mula sa Theorem 1 ito ay sumusunod, na ang hindi pagkakapantay-pantay (14) ay nasisiyahan para sa anumang mga halaga.

Sagot: anumang numero.

Halimbawa 11. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (15)

Desisyon. Paglalapat ng Theorem 1 sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (15), nakukuha namin . Mula dito at mula sa hindi pagkakapantay-pantay (15) ay sumusunod sa equation, na mukhang.

Ayon sa Theorem 3, ang equation ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay. Mula dito nakukuha natin.

Halimbawa 12.Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (16)

Desisyon. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay (16), ayon sa Theorem 4, nakukuha natin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantayginagamit namin ang Theorem 6 at makuha ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantaymula sa kung saan sumusunod.

Isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay. Ayon sa Theorem 7, nakakakuha tayo ng isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay at . Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng populasyon ay humahawak para sa anumang tunay.

Samakatuwid, ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay (16) ay.

Halimbawa 13Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (17)

Desisyon. Ayon sa Theorem 1, maaari tayong sumulat

(18)

Isinasaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay (17), napagpasyahan namin na ang parehong hindi pagkakapantay-pantay (18) ay nagiging mga pagkakapantay-pantay, i.e. mayroong isang sistema ng mga equation

Sa pamamagitan ng Theorem 3 sistemang ito ang mga equation ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

o

Halimbawa 14Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

. (19)

Desisyon. Simula noon . I-multiply natin ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (19) sa expression , na para sa anumang mga halaga ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga. Pagkatapos ay nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay (19), ng anyo

Mula dito kami kumukuha o , saan . Simula at kung gayon ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (19) ay at .

Sagot: , .

Para sa mas malalim na pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang module, ipinapayong sumangguni sa mga tutorial., nakalista sa listahan ng mga inirerekomendang pagbabasa.

1. Koleksyon ng mga gawain sa matematika para sa mga aplikante sa mga teknikal na unibersidad / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Mundo at Edukasyon, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: mga pamamaraan para sa paglutas at pagpapatunay ng mga hindi pagkakapantay-pantay. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264 p.

3. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: hindi karaniwang mga pamamaraan pagtugon sa suliranin. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.

Mayroon ka bang anumang mga katanungan?

Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

modulo na numero ang numerong ito mismo ay tinatawag kung ito ay hindi negatibo, o ang parehong numero sa kabaligtaran ng tanda kung ito ay negatibo.

Halimbawa, ang modulus ng 6 ay 6, at ang modulus ng -6 ay 6 din.

Iyon ay, ang modulus ng isang numero ay nauunawaan bilang isang ganap na halaga, ganap na halaga ang numerong ito, anuman ang tanda nito.

Tinutukoy bilang sumusunod: |6|, | X|, |a| atbp.

(Para sa higit pang mga detalye, tingnan ang seksyong "Module of Number").

Mga Equation ng Modulo.

Halimbawa 1 . lutasin ang equation|10 X - 5| = 15.

Desisyon.

Alinsunod sa panuntunan, ang equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Nagpasya kami:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Sagot: X 1 = 2, X 2 = -1.

Halimbawa 2 . lutasin ang equation|2 X + 1| = X + 2.

Desisyon.

Dahil ang modulus ay isang di-negatibong numero, kung gayon X+ 2 ≥ 0. Alinsunod dito:

X ≥ -2.

Gumagawa kami ng dalawang equation:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Nagpasya kami:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Ang parehong mga numero ay mas malaki kaysa sa -2. Kaya pareho ang mga ugat ng equation.

Sagot: X 1 = -1, X 2 = 1.

Halimbawa 3 . lutasin ang equation

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Desisyon.

Ang equation ay may katuturan kung ang denominator ay hindi katumbas ng zero - kaya kung X≠ 1. Isaalang-alang natin ang kundisyong ito. Ang aming unang aksyon ay simple - hindi lamang namin inaalis ang fraction, ngunit binabago namin ito sa paraang makuha ang module sa pinakadalisay nitong anyo:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Ngayon mayroon lamang tayong expression sa ilalim ng modulus sa kaliwang bahagi ng equation. Move on.
Ang modulus ng isang numero ay isang hindi negatibong numero - iyon ay, dapat itong mas malaki sa o katumbas ng zero. Alinsunod dito, nalulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Kaya, mayroon tayong pangalawang kundisyon: ang ugat ng equation ay dapat na hindi bababa sa 3/4.

Alinsunod sa panuntunan, binubuo namin ang isang hanay ng dalawang equation at lutasin ang mga ito:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Nakatanggap kami ng dalawang tugon. Suriin natin kung sila ang mga ugat ng orihinal na equation.

Mayroon kaming dalawang kundisyon: ang ugat ng equation ay hindi maaaring katumbas ng 1, at ito ay dapat na hindi bababa sa 3/4. I.e X ≠ 1, X≥ 3/4. Pareho sa mga kundisyong ito ay tumutugma sa isa lamang sa dalawang sagot na natanggap - ang numero 2. Kaya, ito lamang ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot: X = 2.

Mga hindi pagkakapantay-pantay sa modulus.

Halimbawa 1 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay| X - 3| < 4

Desisyon.

Sinasabi ng panuntunan ng module:

|a| = a, kung a ≥ 0.

|a| = -a, kung a < 0.

Ang modulus ay maaaring magkaroon ng parehong di-negatibo at negatibong numero. Kaya kailangan nating isaalang-alang ang parehong mga kaso: X- 3 ≥ 0 at X - 3 < 0.

1) Kailan X- 3 ≥ 0 ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling ganito, tanging walang modulo sign:
X - 3 < 4.

2) Kailan X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Pagbukas ng mga bracket, nakukuha namin:

-X + 3 < 4.

Kaya, mula sa dalawang kondisyong ito, napunta tayo sa pagsasama ng dalawang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Lutasin natin ang mga ito:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Kaya, sa aming sagot mayroon kaming unyon ng dalawang set:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Tinutukoy namin ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga. Ito ay -1 at 7. Kasabay nito X mas malaki sa -1 ngunit mas mababa sa 7.
Bukod sa, X≥ 3. Samakatuwid, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang buong hanay ng mga numero mula -1 hanggang 7, hindi kasama ang mga matinding numerong ito.

Sagot: -1 < X < 7.

O kaya: X ∈ (-1; 7).

Mga add-on.

1) May mas simple at maikling paraan mga solusyon sa ating hindi pagkakapantay-pantay - graphical. Upang gawin ito, gumuhit ng pahalang na axis (Larawan 1).

Pagpapahayag | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X sa puntong 3 mas mababa sa apat na yunit. Minarkahan namin ang numero 3 sa axis at binibilang ang 4 na dibisyon sa kaliwa at kanan nito. Sa kaliwa ay darating tayo sa punto -1, sa kanan - sa puntong 7. Kaya, ang mga puntos X nakita lang namin ng hindi kinukwenta.

Bukod dito, ayon sa kondisyon ng hindi pagkakapantay-pantay, ang -1 at 7 mismo ay hindi kasama sa hanay ng mga solusyon. Kaya, nakuha namin ang sagot:

1 < X < 7.

2) Ngunit may isa pang solusyon na mas simple kaysa sa graphical na paraan. Upang gawin ito, ang aming hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na iharap sa sumusunod na anyo:

4 < X - 3 < 4.

Kung tutuusin, ganito ito ayon sa tuntunin ng modyul. Ang di-negatibong numero 4 at ang katulad na negatibong numero -4 ay ang mga hangganan ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Halimbawa 2 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay| X - 2| ≥ 5

Desisyon.

Malaki ang pagkakaiba ng halimbawang ito sa nauna. Kaliwang bahagi mas malaki sa 5 o katumbas ng 5. Mula sa isang geometric na punto ng view, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang lahat ng mga numero na nasa layo na 5 unit o higit pa mula sa punto 2 (Fig. 2). Ang graph ay nagpapakita na ang mga ito ay ang lahat ng mga numero na mas mababa sa o katumbas ng -3 at mas malaki kaysa sa o katumbas ng 7. Kaya, natanggap na namin ang sagot.

Sagot: -3 ≥ X ≥ 7.

Sa kahabaan ng paraan, malulutas namin ang parehong hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng libreng termino sa kaliwa at kanan na may kabaligtaran na palatandaan:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Ang sagot ay pareho: -3 ≥ X ≥ 7.

O kaya: X ∈ [-3; 7]

Nalutas ang halimbawa.

Halimbawa 3 . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Desisyon.

Numero X maaaring positibo, negatibo o sero. Samakatuwid, kailangan nating isaalang-alang ang lahat ng tatlong mga pangyayari. Tulad ng alam mo, ang mga ito ay isinasaalang-alang sa dalawang hindi pagkakapantay-pantay: X≥ 0 at X < 0. При X≥ 0, isinusulat lang namin ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, kung wala lang ang modulo sign:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Ngayon para sa pangalawang kaso: kung X < 0. Модулем negatibong numero ay ang parehong numero na may kabaligtaran na tanda. Iyon ay, isinusulat namin ang numero sa ilalim ng modulus na may kabaligtaran na tanda at muling aalisin ang modulus sign:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Pagpapalawak ng mga bracket:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Kaya, nakatanggap kami ng dalawang sistema ng mga equation:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Kailangan nating lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga sistema - na nangangahulugang kailangan nating hanapin ang mga ugat ng dalawang quadratic equation. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang mga kaliwang bahagi ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa zero.

Magsimula tayo sa una:

6X 2 - X - 2 = 0.

Paano lutasin ang isang quadratic equation - tingnan ang seksyong "Quadric Equation". Papangalanan namin kaagad ang sagot:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Mula sa unang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, nakuha namin na ang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay ang buong hanay ng mga numero mula -1/2 hanggang 2/3. Isinulat namin ang unyon ng mga solusyon para sa X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Ngayon lutasin natin ang pangalawang quadratic equation:

6X 2 + X - 2 = 0.

Ang mga ugat nito:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Konklusyon: kailan X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Pagsamahin natin ang dalawang sagot at makuha ang huling sagot: ang solusyon ay ang buong hanay ng mga numero mula -2/3 hanggang 2/3, kasama ang mga matinding numerong ito.

Sagot: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

O kaya: X ∈ [-2/3; 2/3].

Ang mga pamamaraan (panuntunan) para sa pagbubunyag ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay binubuo sa sunud-sunod na pagsisiwalat ng mga module, habang gumagamit ng mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng mga function ng submodule. Sa huling bersyon, maraming hindi pagkakapantay-pantay ang nakukuha kung saan nakahanap sila ng mga agwat o pagitan na nakakatugon sa kalagayan ng problema.

Lumipat tayo sa paglutas ng mga halimbawa na karaniwan sa pagsasanay.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa mga module

Ang ibig sabihin ng linear ay mga equation kung saan ang variable ay pumapasok sa equation nang linearly.

Halimbawa 1. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay

Desisyon:
Ito ay sumusunod mula sa kondisyon ng problema na ang mga module ay nagiging zero sa x=-1 at x=-2. Hinahati ng mga puntong ito ang numerical axis sa mga pagitan

Sa bawat isa sa mga agwat na ito, nalulutas namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, una sa lahat, gumuhit kami ng mga graphic na guhit ng mga lugar ng patuloy na pag-sign ng mga submodular na pag-andar. Ang mga ito ay inilalarawan bilang mga lugar na may mga palatandaan ng bawat isa sa mga function.

o mga pagitan na may mga palatandaan ng lahat ng mga function.

Sa unang agwat, buksan ang mga module

I-multiply namin ang parehong bahagi sa minus one, habang ang sign sa hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran. Kung mahirap para sa iyo na masanay sa panuntunang ito, maaari mong ilipat ang bawat isa sa mga bahagi na lampas sa tanda upang maalis ang minus. Sa huli, matatanggap mo

Ang intersection ng set x>-3 na may lugar kung saan nalutas ang mga equation ay ang pagitan (-3;-2) . Para sa mga mas madaling maghanap ng mga solusyon sa graphical na paraan, maaari mong iguhit ang intersection ng mga lugar na ito

Pangkalahatang intersection ng mga lugar ang magiging solusyon. Sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang mga gilid ay hindi kasama. Kung hindi mahigpit ay sinusuri sa pamamagitan ng pagpapalit.

Sa pangalawang pagitan, nakukuha namin

Ang seksyon ay ang pagitan (-2; -5/3). Sa graphically, ang magiging hitsura ng solusyon

Sa ikatlong pagitan, nakukuha namin

Ang kundisyong ito ay hindi nagbibigay ng mga solusyon sa kinakailangang domain.

Dahil ang dalawang solusyon na natagpuan (-3;-2) at (-2;-5/3) ay may hangganan sa puntong x=-2 , sinusuri din namin ito.

Kaya ang puntong x=-2 ay ang solusyon. Karaniwang desisyon sa pag-iisip na ito, ito ay magmumukhang (-3; 5/3).

Halimbawa 2. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Desisyon:
Ang mga zero ng mga function ng submodule ay ang mga puntos na x=2, x=3, x=4 . Kapag ang mga halaga ng mga argumento ay mas mababa kaysa sa mga puntong ito, ang mga pag-andar ng submodule ay negatibo, at kapag ang mga halaga ay malaki, sila ay positibo.

Hinahati ng mga punto ang totoong axis sa apat na pagitan. Binubuksan namin ang mga module ayon sa mga agwat ng patuloy na pag-sign at lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay.

1) Sa unang agwat, ang lahat ng mga submodular na pag-andar ay negatibo, samakatuwid, kapag nagpapalawak ng mga module, binabago namin ang sign sa kabaligtaran.

Ang intersection ng mga nahanap na halaga ng x na may itinuturing na agwat ay ang hanay ng mga puntos

2) Sa pagitan ng mga puntos na x=2 at x=3, ang unang submodule function ay positibo, ang pangalawa at pangatlo ay negatibo. Ang pagpapalawak ng mga module, nakukuha namin

isang hindi pagkakapantay-pantay na, sa intersection sa pagitan ng kung saan tayo nilulutas, ay nagbibigay ng isang solusyon - x=3.

3) Sa pagitan ng mga puntos na x=3 at x=4, ang una at pangalawang submodule function ay positibo, at ang pangatlo ay negatibo. Batay dito, nakukuha natin

Ang kundisyong ito ay nagpapakita na ang buong pagitan ay masisiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay sa mga module.

4) Para sa mga halaga x>4, lahat ng mga function ay sign-positive. Kapag nagpapalawak ng mga module, hindi namin binabago ang kanilang sign.

Ang nahanap na kondisyon sa intersection na may pagitan ay nagbibigay ng sumusunod na hanay ng mga solusyon

Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay nalutas sa lahat ng mga pagitan, nananatili itong hanapin ang karaniwang halaga ng lahat ng nahanap na halaga ng x. Ang solusyon ay dalawang pagitan

Ang halimbawang ito ay nalutas.

Halimbawa 3. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
||x-1|-5|>3-2x

Desisyon:
Mayroon kaming hindi pagkakapantay-pantay sa isang module mula sa isang module. Ang ganitong mga hindi pagkakapantay-pantay ay inihayag habang ang mga module ay nakapugad, simula sa mga mas malalim na inilagay.

Ang submodule function na x-1 ay na-convert sa zero sa puntong x=1 . Para sa mas maliliit na halaga na lampas sa 1 ito ay negatibo at positibo para sa x>1 . Batay dito, binuksan namin ang panloob na module at isinasaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay sa bawat isa sa mga pagitan.

Una isaalang-alang ang pagitan mula sa minus infinity hanggang sa isa

Ang submodule function ay zero sa puntong x=-4 . Para sa mas maliliit na halaga ito ay positibo, para sa mas malalaking halaga ito ay negatibo. Palawakin ang module para sa x<-4:

Sa intersection sa lugar kung saan namin isinasaalang-alang, nakakakuha kami ng isang hanay ng mga solusyon

Ang susunod na hakbang ay palawakin ang module sa pagitan (-4; 1)

Isinasaalang-alang ang lugar ng pagpapalawak ng module, nakuha namin ang pagitan ng mga solusyon

TANDAAN: kung nakakuha ka ng dalawang agwat na may hangganan sa isang karaniwang punto sa mga iregularidad na may mga module, kung gayon, bilang panuntunan, ito rin ay isang solusyon.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang suriin.

Sa kasong ito, pinapalitan natin ang puntong x=-4.

Kaya x=-4 ang solusyon.
Palawakin ang panloob na module para sa x>1

Ang pagpapaandar ng submodule ay negatibo para sa x<6.
Ang pagpapalawak ng module, nakukuha namin

Ang kundisyong ito sa seksyong may pagitan (1;6) ay nagbibigay ng walang laman na hanay ng mga solusyon.

Para sa x>6 nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

Ang paglutas din ay nakakuha kami ng isang walang laman na set.
Dahil sa lahat ng nasa itaas, ang tanging solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay ang sumusunod na agwat.

Mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga module na naglalaman ng mga quadratic equation

Halimbawa 4. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
|x^2+3x|>=2-x^2

Desisyon:
Ang submodule function ay naglalaho sa mga puntong x=0, x=-3. Sa pamamagitan ng simpleng pagpapalit ng minus one

itinakda namin na ito ay mas mababa sa zero sa pagitan (-3; 0) at positibong lampas dito.
Palawakin ang module sa mga lugar kung saan positibo ang function ng submodule

Ito ay nananatiling upang matukoy ang mga lugar kung saan ang square function ay positibo. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang mga ugat quadratic equation

Para sa kaginhawahan, pinapalitan namin ang puntong x=0, na kabilang sa pagitan (-2;1/2). Ang function ay negatibo sa pagitan na ito, kaya ang solusyon ay ang mga sumusunod na set x

Dito, ang mga bracket ay nagpapahiwatig ng mga gilid ng mga lugar na may mga solusyon; ito ay sinadya, na isinasaalang-alang ang sumusunod na panuntunan.

TANDAAN: Kung ang hindi pagkakapantay-pantay sa mga module, o isang simpleng hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon ang mga gilid ng mga nahanap na lugar ay hindi mga solusyon, ngunit kung ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit (), kung gayon ang mga gilid ay mga solusyon (ipinahiwatig ng mga square bracket).

Ang panuntunang ito ay ginagamit ng maraming guro: kung ang isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay ibinigay, at sumulat ka ng isang parisukat na bracket ([,]) sa solusyon sa panahon ng mga kalkulasyon, awtomatiko nilang ituring na ito ay isang hindi tamang sagot. Gayundin, kapag ang pagsubok, kung ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay tinukoy, pagkatapos ay kabilang sa mga solusyon, maghanap ng mga lugar na may mga square bracket.

Sa pagitan (-3; 0), pagpapalawak ng module, binabago namin ang sign ng function sa kabaligtaran

Isinasaalang-alang ang saklaw ng pagbubunyag ng hindi pagkakapantay-pantay, ang solusyon ay magkakaroon ng form

Kasama ang nakaraang lugar, magbibigay ito ng dalawang kalahating pagitan

Halimbawa 5. Humanap ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
9x^2-|x-3|>=9x-2

Desisyon:
Ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay ibinigay, ang submodule function na kung saan ay katumbas ng zero sa puntong x=3. Sa mas maliit na halaga ito ay negatibo, sa mas malaking halaga ito ay positibo. Pinalawak namin ang module sa pagitan ng x<3.

Paghahanap ng discriminant ng equation

at mga ugat

Ang pagpapalit sa zero point, nalaman namin na sa pagitan [-1/9; 1] ang quadratic function ay negatibo, samakatuwid ang interval ay isang solusyon. Susunod, buksan ang module para sa x>3