Paano lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng square root. Paano malutas ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobrang...")

Ano "square inequality"? Hindi tanong!) Kung kukuha ka anuman quadratic equation at baguhin ang sign sa loob nito "=" (katumbas) sa anumang icon ng hindi pagkakapantay-pantay ( > ≥ < ≤ ≠ ), nakakakuha tayo ng quadratic inequality. Halimbawa:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Well, nakuha mo ang ideya ...)

Sadya kong iniugnay ang mga equation at inequalities dito. Ang katotohanan ay ang unang hakbang sa paglutas anuman parisukat na hindi pagkakapantay-pantay - lutasin ang equation kung saan ginawa ang hindi pagkakapantay-pantay na ito. Para sa kadahilanang ito, ang kawalan ng kakayahang magpasya quadratic equation awtomatikong humahantong sa ganap na kabiguan sa mga hindi pagkakapantay-pantay. Malinaw ba ang pahiwatig?) Kung mayroon man, tingnan kung paano lutasin ang anumang mga quadratic equation. Detalyadong lahat doon. At sa araling ito ay haharapin natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na handa para sa solusyon ay may anyo: kaliwa - square trinomial palakol 2 +bx+c, sa kanan - zero. Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring maging anumang bagay. Narito ang unang dalawang halimbawa ay handa na para sa isang desisyon. Ang ikatlong halimbawa ay kailangan pa ring ihanda.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga icon ng hindi pagkakapantay-pantay? Mga hindi pagkakapantay-pantay ng icon higit pa (> ), o mas maliit (< ) ay tinatawag mahigpit. May mga icon higit pa o katumbas (≥ ), mas mababa o katumbas (≤ ) ay tinatawag hindi mahigpit. Icon hindi pantay (≠ ) ay nag-iisa, ngunit kailangan mo ring lutasin ang mga halimbawa na may tulad na icon sa lahat ng oras. At gagawin namin.)

Ang icon mismo ay walang gaanong epekto sa proseso ng solusyon. Ngunit sa dulo ng solusyon, kapag pumipili ng pangwakas na sagot, ang kahulugan ng icon ay lilitaw nang buong lakas! Tulad ng makikita natin sa ibaba, sa mga halimbawa. May mga biro...

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay, tulad ng mga pagkakapantay-pantay, ay tapat at hindi tapat. Ang lahat ay simple dito, walang mga trick. Sabihin nating 5 > 2 ay ang tamang hindi pagkakapantay-pantay. 5 < 2 ay hindi tama.

Ang ganitong paghahanda ay gumagana para sa hindi pagkakapantay-pantay anumang uri at simple sa horror.) Kailangan mo lang gawin nang tama ang dalawang (dalawa lang!) elementarya na aksyon. Ang mga pagkilos na ito ay pamilyar sa lahat. Ngunit, na karaniwan, ang mga hamba sa mga pagkilos na ito ay ang pangunahing pagkakamali sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, oo ... Samakatuwid, ang mga pagkilos na ito ay dapat na ulitin. Ang mga pagkilos na ito ay tinatawag na ganito:

Mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

Ang mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay halos kapareho ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga equation. Sa totoo lang, ito ang pangunahing problema. Ang mga pagkakaiba ay dumaan sa ulo at ... dumating.) Samakatuwid, i-highlight ko ang mga pagkakaibang ito sa partikular. Kaya, ang unang magkaparehong pagbabago ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

1. Ang parehong numero o expression ay maaaring idagdag (ibawas) sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Anuman. Hindi magbabago ang inequality sign.

Sa pagsasagawa, ang panuntunang ito ay inilalapat bilang paglipat ng mga termino mula sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa kanang bahagi (at kabaliktaran) na may pagbabago sa tanda. Sa pagbabago sa tanda ng termino, hindi hindi pagkakapantay-pantay! Ang one-on-one na panuntunan ay kapareho ng panuntunan para sa mga equation. Ngunit ang mga sumusunod na magkaparehong pagbabago sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay malaki ang pagkakaiba sa mga nasa equation. Kaya i-highlight ko ang mga ito sa pula:

2. Ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply (hatiin) ng parehopositibonumero. Para sa anumangpositibo Hindi magbabago.

3. Ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply (hatiin) ng parehonegatibo numero. Para sa anumangnegatibonumero. Ang inequality sign mula ditoay magbabago sa kabaligtaran.

Naaalala mo (umaasa...) na ang isang equation ay maaaring i-multiply/divided sa kahit ano. At para sa anumang numero, at para sa isang expression na may x. Hangga't hindi ito zero. Siya, ang equation, ay hindi mainit o malamig mula rito.) Hindi ito nagbabago. Ngunit ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay mas sensitibo sa multiplikasyon/dibisyon.

halimbawa ng paglalarawan para sa mahabang memorya. Sumulat kami ng hindi pagkakapantay-pantay na hindi nagdudulot ng mga pagdududa:

5 > 2

I-multiply ang magkabilang panig +3, makuha namin:

15 > 6

Mayroon bang anumang pagtutol? Walang mga pagtutol.) At kung i-multiply natin ang parehong bahagi ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay sa -3, makuha namin:

15 > -6

At ito ay isang tahasang kasinungalingan.) Isang ganap na kasinungalingan! Niloloko ang mga tao! Ngunit sa sandaling mabaligtad ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, lahat ay nahuhulog sa lugar:

15 < -6

Tungkol sa kasinungalingan at panlilinlang - hindi lang ako nagmumura.) "Nakalimutan kong palitan ang inequality sign..."- Ito bahay pagkakamali sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay. Napakaraming tao ang nasaktan ng walang kabuluhan at hindi komplikadong panuntunang ito! Sino ang nakalimutan ...) Kaya't sumusumpa ako. Baka maalala...)

Ang mga taong lalo na maasikaso ay mapapansin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring i-multiply ng isang expression na may x. Igalang ang matulungin!) At bakit hindi? Simple lang ang sagot. Hindi namin alam ang tanda ng expression na ito na may x. Maaari itong maging positibo, negatibo ... Samakatuwid, hindi natin alam kung anong inequality sign ang ilalagay pagkatapos ng multiplikasyon. Baguhin ito o hindi? Hindi alam. Siyempre, ang limitasyong ito (ang pagbabawal sa pagpaparami / paghahati ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang expression na may x) ay maaaring lampasan. Kung kailangan mo talaga. Ngunit ito ay isang paksa para sa iba pang mga aralin.

Iyan ang lahat ng magkatulad na pagbabago ng hindi pagkakapantay-pantay. Hayaan akong ipaalala muli sa iyo na gumagana sila para sa anuman hindi pagkakapantay-pantay. At ngayon maaari kang lumipat sa mga partikular na uri.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay. Solusyon, mga halimbawa.

Ang mga linear inequalities ay tinatawag na inequalities kung saan ang x ay nasa unang degree at walang dibisyon ng x. Uri:

x+3 > 5x-5

Paano nareresolba ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito? Ang mga ito ay napakadaling malutas! Namely: sa tulong binabawasan namin ang pinakanalilitong linear inequality diretso sa sagot. Iyan ang buong solusyon. I-highlight ko ang mga pangunahing punto ng solusyon. Upang maiwasan ang mga hangal na pagkakamali.)

Nalutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito:

x+3 > 5x-5

Malulutas namin sa parehong paraan bilang isang linear equation. Sa tanging pagkakaiba:

Bigyang-pansin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay!

Ang unang hakbang ay ang pinakakaraniwan. Sa x - sa kaliwa, walang x - sa kanan ... Ito ang unang magkaparehong pagbabago, simple at walang problema.) Huwag lamang kalimutang baguhin ang mga palatandaan ng mga inilipat na miyembro.

Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili:

x-5x > -5-3

Nagpapakita kami ng mga katulad.

Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili:

4x > -8

Ito ay nananatiling ilapat ang huling magkaparehong pagbabagong-anyo: hatiin ang parehong bahagi ng -4.

Hatiin sa pamamagitan ng negatibo numero.

Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mababaligtad:

X < 2

Ito ang sagot.

Ito ay kung paano malulutas ang lahat ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

Pansin! Ang point 2 ay iginuhit na puti, i.e. hindi pininturahan. Walang laman sa loob. Ibig sabihin hindi siya kasama sa sagot! Sinadya ko siyang iguhit nang napakalusog. Ang ganitong punto (walang laman, hindi malusog!)) sa matematika ay tinatawag punched out point.

Ang natitirang mga numero sa axis ay maaaring markahan, ngunit hindi kinakailangan. Ang mga extraneous na numero na hindi nauugnay sa ating hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring nakakalito, oo ... Kailangan mo lamang tandaan na ang pagtaas ng mga numero ay napupunta sa direksyon ng arrow, i.e. mga numero 3, 4, 5, atbp. ay sa kanan dalawa, at ang mga numero 1, 0, -1, atbp. - pa-kaliwa.

Hindi pagkakapantay-pantay x < 2 - mahigpit. Ang X ay mahigpit na mas mababa sa dalawa. Kapag may pagdududa, ang tseke ay simple. Pinapalitan namin ang isang nagdududa na numero sa hindi pagkakapantay-pantay at iniisip: "Ang dalawa ay mas mababa sa dalawa? Siyempre hindi!" Eksakto. Hindi pagkakapantay-pantay 2 < 2 mali. Ang isang deuce ay hindi mabuti para sa isang sagot.

Sapat na ba ang isang single? tiyak. Mas kaunti ... At ang zero ay mabuti, at -17, at 0.34 ... Oo, lahat ng mga numero na mas mababa sa dalawa ay mabuti! At kahit 1.9999 .... Kahit kaunti, ngunit mas kaunti!

Kaya't minarkahan namin ang lahat ng mga numerong ito sa axis ng numero. paano? Mayroong mga pagpipilian dito. Ang unang pagpipilian ay pagpisa. I-hover namin ang mouse sa ibabaw ng larawan (o pindutin ang larawan sa tablet) at makita na ang lugar ng bola x na tumutugma sa kondisyon ng x ay may kulay. < 2 . Iyon lang.

Isaalang-alang natin ang pangalawang opsyon sa pangalawang halimbawa:

X ≥ -0,5

Gumuhit ng isang axis, markahan ang numero -0.5. Ganito:

Napansin mo ba ang pagkakaiba?) Aba, oo, mahirap hindi mapansin... Itim ang tuldok na ito! Pininturahan. Nangangahulugan ito na -0.5 kasama sa sagot. Dito pala, sinusuri at lituhin ang isang tao. Pinapalitan namin:

-0,5 ≥ -0,5

Paano kaya? Ang -0.5 ay hindi hihigit sa -0.5! Mayroong higit pang icon...

ayos lang. Sa isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, lahat ng bagay na akma sa icon ay angkop. At katumbas magkasya at higit pa mabuti. Samakatuwid, -0.5 ay kasama sa tugon.

Kaya, minarkahan namin ang -0.5 sa axis, nananatili itong markahan ang lahat ng mga numero na mas malaki kaysa sa -0.5. Sa pagkakataong ito ay minarkahan ko ang lugar angkop na mga halaga xx kadena(mula sa salita arko) kaysa sa pagpisa. Mag-hover sa larawan at tingnan ang bow na ito.

Walang partikular na pagkakaiba sa pagitan ng pagpisa at mga arko. Gawin ang sinasabi ng guro. Kung walang guro, iguhit ang mga braso. Sa mas maraming mahirap na gawain hindi gaanong nakikita ang pagtatabing. Maaari kang malito.

Ito ay kung paano iginuhit ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa axis. Dumaan tayo sa susunod na singularidad ng hindi pagkakapantay-pantay.

Sumulat ng sagot para sa hindi pagkakapantay-pantay.

Maganda ito sa mga equation.) Natagpuan namin ang x, at isinulat namin ang sagot, halimbawa: x \u003d 3. Sa hindi pagkakapantay-pantay, mayroong dalawang anyo ng pagsulat ng mga sagot. Isa - sa anyo ng pangwakas na hindi pagkakapantay-pantay. Mabuti para sa mga simpleng kaso. Halimbawa:

X< 2.

Ito ay isang kumpletong sagot.

Minsan kinakailangan na isulat ang parehong bagay, ngunit sa ibang anyo, sa pamamagitan ng mga numerical gaps. Pagkatapos ang entry ay nagsimulang magmukhang napaka-agham):

x ∈ (-∞; 2)

Sa ilalim ng icon ∈ pagtatago ng salita "pag-aari".

Ganito ang nakasulat sa entry: x ay kabilang sa pagitan mula sa minus infinity hanggang dalawa hindi kasama. Medyo lohikal. Ang X ay maaaring maging anumang numero mula sa lahat ng posibleng numero mula minus infinity hanggang dalawa. Ang Double X ay hindi maaaring, na kung ano ang sinasabi sa atin ng salita "hindi kasama".

Nasaan sa sagot yan "hindi kasama"? Ang katotohanang ito ay nabanggit sa sagot. bilog panaklong kaagad pagkatapos ng deuce. Kung ang deuce ay kasama, ang panaklong ay magiging parisukat. Heto na: ]. AT susunod na halimbawa ginagamit ang bracket na ito.

Isulat natin ang sagot: x ≥ -0,5 sa pamamagitan ng mga pagitan:

x ∈ [-0.5; +∞)

Binabasa: x ay kabilang sa pagitan mula sa minus 0.5, kabilang ang, hanggang plus infinity.

Hindi kailanman makakapag-on ang Infinity. Ito ay hindi isang numero, ito ay isang simbolo. Samakatuwid, sa ganitong mga entry, ang infinity ay palaging magkakasabay na may panaklong.

Ang paraan ng pag-record na ito ay maginhawa para sa mga kumplikadong sagot na binubuo ng ilang mga puwang. Ngunit - para lamang sa mga huling sagot. Sa mga intermediate na resulta, kung saan ang isang karagdagang solusyon ay inaasahan, ito ay mas mahusay na gamitin ang karaniwang form, sa form simpleng hindi pagkakapantay-pantay. Haharapin natin ito sa mga nauugnay na paksa.

Mga sikat na gawain na may hindi pagkakapantay-pantay.

Ang mga linear inequalities mismo ay simple. Samakatuwid, ang mga gawain ay kadalasang nagiging mas mahirap. Kaya, sa tingin ito ay kinakailangan. Ito, kung dahil sa ugali, ay hindi masyadong kaaya-aya.) Ngunit ito ay kapaki-pakinabang. Magpapakita ako ng mga halimbawa ng mga ganitong gawain. Hindi para matutunan mo ang mga ito, ito ay kalabisan. At upang hindi matakot kapag nakikipagkita sa mga katulad na halimbawa. Isang maliit na pag-iisip - at lahat ay simple!)

1. Maghanap ng anumang dalawang solusyon sa 3x - 3 hindi pagkakapantay-pantay< 0

Kung hindi masyadong malinaw kung ano ang gagawin, tandaan ang pangunahing tuntunin ng matematika:

Kung hindi mo alam ang gagawin, gawin mo ang iyong makakaya!

X < 1

E ano ngayon? Normal lang, walang espesyal. Ano ang tinatanong sa atin? Hinihiling sa amin na maghanap ng dalawang partikular na numero na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Yung. akma sa sagot. Dalawa anuman numero. Sa totoo lang, ito ay nakakahiya.) Ang isang pares ng 0 at 0.5 ay angkop. Isang mag-asawang -3 at -8. oo itong mag-asawa walang katapusang set! Ano ang tamang sagot?!

Sagot ko: lahat! Anumang pares ng mga numero, na ang bawat isa ay mas mababa sa isa, magiging tamang sagot. Isulat kung ano ang gusto mo. Tayo ay pumunta sa karagdagang.

2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

4x - 3 ≠ 0

Bihira ang mga ganitong trabaho. Ngunit, bilang mga auxiliary inequalities, kapag hinahanap ang ODZ, halimbawa, o kapag hinahanap ang domain ng isang function, sila ay nakakaharap sa lahat ng oras. Ang nasabing isang linear na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas bilang isang ordinaryong linear equation. Saanman lamang, maliban sa "=" sign ( katumbas) ilagay ang karatula " ≠ " (hindi pantay). Kaya darating ka sa sagot, na may tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:

X ≠ 0,75

Sa mas maraming mahirap na mga halimbawa mas mahusay na gawin ito sa ibang paraan. Gawing pantay ang hindi pagkakapantay-pantay. Ganito:

4x - 3 = 0

Kalmadong lutasin ito gaya ng itinuro, at makuha ang sagot:

x = 0.75

Ang pangunahing bagay, sa pinakadulo, kapag isinulat ang huling sagot, ay huwag kalimutan na natagpuan namin ang x, na nagbibigay ng pagkakapantay-pantay. At kailangan namin- hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, hindi lang natin kailangan itong X.) At kailangan natin itong isulat gamit ang tamang icon:

X ≠ 0,75

Sa diskarteng ito, lumalabas mas kaunting pagkakamali. Ang mga nag-solve ng mga equation sa makina. At para sa mga hindi malulutas ang mga equation, ang mga hindi pagkakapantay-pantay, sa katunayan, ay walang silbi ...) Isa pang halimbawa ng isang tanyag na gawain:

3. Hanapin ang pinakamaliit na integer na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay:

3(x - 1) < 5x + 9

Una, lutasin lang natin ang hindi pagkakapantay-pantay. Binubuksan namin ang mga bracket, ilipat, bigyan ang mga katulad ... Nakukuha namin:

X > - 6

Hindi ba nangyari!? Sinunod mo ba ang mga palatandaan? At sa likod ng mga palatandaan ng mga miyembro, at sa likod ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ...

Mag-imagine ulit tayo. Kailangan nating maghanap ng partikular na numero na tumutugma sa sagot at kundisyon "pinakamaliit na integer". Kung hindi ka agad napapansin, maaari kang kumuha ng anumang numero at alamin ito. Ang dalawa ay mas malaki kaysa sa minus anim? tiyak! Mayroon bang angkop na mas maliit na numero? Syempre. Halimbawa, ang zero ay mas malaki kaysa sa -6. At mas kaunti pa? Kailangan namin ang pinakamaliit na posible! Ang minus three ay higit pa sa minus six! Mahuhuli mo na ang pattern at ihinto ang hangal na pag-uuri ng mga numero, tama ba?)

Kumuha kami ng isang numero na mas malapit sa -6. Halimbawa, -5. Naisasagawa ang tugon, -5 > - 6. Makakahanap ka ba ng ibang numero na mas mababa sa -5 ngunit mas malaki sa -6? Maaari mong, halimbawa, -5.5 ... Tumigil! Sinabihan na kami buo desisyon! Hindi gumulong -5.5! Paano ang minus six? Eee! Ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, ang minus 6 ay hindi bababa sa minus 6!

Kaya ang tamang sagot ay -5.

Sana may pagpipilian ng halaga mula sa karaniwang solusyon malinaw lahat. Isa pang halimbawa:

4. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

7 < 3x+1 < 13

Paano! Ang ganitong ekspresyon ay tinatawag triple inequality. Sa mahigpit na pagsasalita, ito ay isang pinaikling notasyon ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Ngunit kailangan mo pa ring lutasin ang mga triple na hindi pagkakapantay-pantay sa ilang mga gawain ... Ito ay malulutas nang walang anumang mga sistema. Sa pamamagitan ng parehong magkatulad na pagbabago.

Kinakailangang pasimplehin, dalhin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa isang purong X. Pero... Anong lilipat saan!? Narito ang oras upang tandaan na ang paglilipat kaliwa-kanan ay pinaikling anyo ang unang magkaparehong pagbabago.

At ang buong anyo ay ganito: Maaari kang magdagdag / magbawas ng anumang numero o expression sa parehong bahagi ng equation (hindi pagkakapantay-pantay).

Mayroong tatlong bahagi dito. Kaya ilalapat namin ang magkatulad na pagbabago sa lahat ng tatlong bahagi!

Kaya, alisin natin ang nasa gitnang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Magbawas ng isa mula sa buong gitnang bahagi. Upang hindi magbago ang hindi pagkakapantay-pantay, ibawas natin ang isa sa natitirang dalawang bahagi. Ganito:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Mas mabuti na, tama?) Nananatiling hatiin ang lahat ng tatlong bahagi sa tatlo:

2 < X < 4

Iyon lang. Ito ang sagot. Ang X ay maaaring maging anumang numero mula dalawa (hindi kasama) hanggang apat (hindi kasama). Ang sagot na ito ay nakasulat din sa pagitan, ang mga naturang entry ay magiging sa mga square inequalities. Doon sila ang pinakakaraniwang bagay.

Sa pagtatapos ng aralin, uulitin ko ang pinakamahalagang bagay. Ang tagumpay sa paglutas ng mga linear inequalities ay nakasalalay sa kakayahang magbago at gawing simple ang mga linear equation. Kung kasabay sundin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, walang magiging problema. Ang nais ko sa iyo. walang problema.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Hindi alam ng lahat kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay, na sa kanilang istraktura ay may katulad at natatanging katangian may mga equation. Ang isang equation ay isang ehersisyo na binubuo ng dalawang bahagi, kung saan mayroong pantay na tanda, at sa pagitan ng mga bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mayroong mas malaki sa o mas mababa kaysa sa tanda. Kaya, bago makahanap ng solusyon sa isang partikular na hindi pagkakapantay-pantay, dapat nating maunawaan na ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa tanda ng numero (positibo o negatibo) kung ito ay kinakailangan upang i-multiply ang parehong mga bahagi sa pamamagitan ng anumang expression. Ang parehong katotohanan ay dapat isaalang-alang kung ang pag-squaring ay kinakailangan upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay, dahil ang pag-squaring ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpaparami.

Paano malutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Mas mahirap lutasin ang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay kaysa sa mga ordinaryong hindi pagkakapantay-pantay. Kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng klase 9, isaalang-alang kongkretong mga halimbawa. Dapat itong maunawaan na bago malutas ang mga quadratic inequalities (systems) o anumang iba pang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang lutasin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay nang hiwalay, at pagkatapos ay ihambing ang mga ito. Ang solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay magiging positibo o negatibong sagot (kung ang sistema ay may solusyon o wala).

Ang gawain ay upang malutas ang isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

Lutasin natin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay nang hiwalay

Bumubuo kami ng linya ng numero kung saan inilalarawan namin ang hanay ng mga solusyon

Dahil ang hanay ay ang unyon ng mga hanay ng mga solusyon, ang hanay na ito sa linya ng numero ay dapat na may salungguhit ng hindi bababa sa isang linya.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang modulus

Ipapakita ng halimbawang ito kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang modulus. Kaya mayroon kaming isang kahulugan:

Kailangan nating lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Bago malutas ang gayong hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan upang mapupuksa ang module (sign)

Sumulat kami, batay sa data ng kahulugan:

Ngayon ay kinakailangan upang malutas ang bawat isa sa mga sistema nang hiwalay.

Bumuo tayo ng isang linya ng numero, kung saan ilalarawan natin ang mga hanay ng mga solusyon.

Bilang resulta, mayroon kaming isang koleksyon na pinagsasama ang maraming solusyon.

Paglutas ng Quadratic Inequalities

Gamit ang number line, isaalang-alang ang halimbawa ng paglutas ng mga quadratic inequalities. Mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay:

Alam namin na ang graph ng isang square trinomial ay isang parabola. Alam din natin na ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas kung a>0.

x2-3x-4< 0

Gamit ang Vieta theorem, makikita natin ang mga ugat x 1 = - 1; x 2 = 4

Gumuhit tayo ng parabola, o sa halip, ang sketch nito.

Kaya, nalaman namin na ang mga halaga ng square trinomial ay magiging mas mababa sa 0 sa segment mula - 1 hanggang 4.

Maraming tao ang may mga tanong kapag nilulutas ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay tulad ng g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Sa katunayan, mayroong ilang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, kaya maaari mong gamitin upang malutas kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay graphic na paraan.

Solusyon ng mga fractional inequalities

Ang isang mas maingat na diskarte ay kinakailangan fractional inequalities. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa proseso ng paglutas ng ilang mga fractional inequalities, ang tanda ay maaaring magbago. Bago lutasin ang mga fractional inequalities, kailangan mong malaman na ang paraan ng pagitan ay ginagamit upang malutas ang mga ito. Dapat na katawanin ang fractional inequality sa paraang ang isang bahagi ng sign ay mukhang fractional rational expression, at ang pangalawa - "- 0". Ang pagbabago ng hindi pagkakapantay-pantay sa ganitong paraan, nakukuha natin bilang resulta f(x)/g(x) > (.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan

Ang pamamaraan ng agwat ay batay sa paraan ng kumpletong induction, iyon ay, kinakailangan na dumaan sa lahat posibleng mga opsyon. Ang pamamaraang ito Maaaring hindi kailanganin ang mga solusyon para sa mga mag-aaral sa Baitang 8, dahil alam nila kung paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa Baitang 8, na siyang pinakasimpleng pagsasanay. Ngunit para sa mas lumang mga klase, ang pamamaraang ito ay kailangang-kailangan, dahil nakakatulong ito upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng fractional. Ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang diskarteng ito ay batay din sa isang pag-aari ng isang tuluy-tuloy na pag-andar bilang pagpapanatili ng tanda sa pagitan ng mga halaga kung saan ito ay nagiging 0.

Mag-plot tayo ng polynomial. Ito ay isang tuluy-tuloy na function na tumatagal sa halaga ng 0 3 beses, iyon ay, ang f(x) ay magiging katumbas ng 0 sa mga puntong x 1 , x 2 at x 3 , ang mga ugat ng polynomial. Sa pagitan ng mga puntong ito, ang tanda ng pag-andar ay napanatili.

Dahil kailangan namin ang sign ng function upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)>0, pumasa kami sa linya ng coordinate, na iniiwan ang graph.

f(x)>0 para sa x(x 1 ; x 2) at para sa x(x 3 ;)

f (x) x (-; x 1) at para sa x (x 2; x 3)

Malinaw na ipinapakita ng graph ang mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay f(x)f(x)>0 (ang solusyon para sa unang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa asul, at ang solusyon para sa pangalawa ay nasa pula). Upang matukoy Upang matukoy ang tanda ng isang function sa isang pagitan, sapat na alam mo ang tanda ng function sa isa sa mga punto. Ang diskarteng ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang kaliwang bahagi ay naka-factor, dahil sa gayong mga hindi pagkakapantay-pantay medyo madaling mahanap ang mga ugat.

Maraming tao ang nag-iisip na ang mga exponential inequalities ay isang bagay na napakakomplikado at hindi maintindihan. At ang pag-aaral na lutasin ang mga ito ay halos isang mahusay na sining, na tanging ang Pinili lamang ang nakakaunawa...

Kumpletong kalokohan! Ang mga exponential inequalities ay madali. At palagi silang madaling lutasin. Well, halos palagi. :)

Ngayon ay susuriin natin ang paksang ito sa malayo at malawak. Ang araling ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang para sa mga nagsisimula pa lamang na maunawaan ang seksyong ito ng matematika ng paaralan. Magsimula tayo sa mga simpleng gawain at magpatuloy tayo sa higit pa mahirap na mga tanong. Hindi magkakaroon ng tinny ngayon, ngunit ang mababasa mo ngayon ay sapat na upang malutas ang karamihan sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa lahat ng uri ng kontrol at pansariling gawain. At sa pagsusulit mo rin dito.

Gaya ng dati, magsimula tayo sa isang kahulugan. Ang exponential inequality ay anumang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng exponential function. Sa madaling salita, maaari itong palaging bawasan sa isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo

\[((a)^(x)) \gt b\]

Kung saan ang papel ng $b$ ay maaaring karaniwang numero, at marahil isang bagay na medyo mas mahirap. Mga halimbawa? oo pakiusap:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\end(align)\]

Sa tingin ko ang kahulugan ay malinaw: mayroong isang exponential function na $((a)^(x))$, ito ay inihambing sa isang bagay, at pagkatapos ay hiniling na hanapin ang $x$. Sa partikular na mga klinikal na kaso, sa halip na ang variable na $x$, maaari silang maglagay ng ilang function na $f\left(x \right)$ at sa gayon ay medyo kumplikado ang hindi pagkakapantay-pantay. :)

Siyempre, sa ilang mga kaso, ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring magmukhang mas malala. Halimbawa:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

O kahit na ito:

Sa pangkalahatan, ang pagiging kumplikado ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring ibang-iba, ngunit sa huli ay bumaba pa rin sila sa isang simpleng konstruksyon $((a)^(x)) \gt b$. At kahit papaano ay haharapin natin ang gayong disenyo (lalo na sa mga klinikal na kaso, kapag walang naiisip, ang logarithms ay makakatulong sa atin). Samakatuwid, ngayon ay matututunan natin kung paano lutasin ang gayong mga simpleng konstruksyon.

Solusyon sa pinakasimpleng exponential inequalities

Tingnan natin ang isang bagay na napakasimple. Halimbawa, narito ito:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Malinaw, ang numero sa kanan ay maaaring muling isulat bilang kapangyarihan ng dalawa: $4=((2)^(2))$. Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isinulat sa isang napaka-maginhawang anyo:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

At ngayon ang mga kamay ay nangangati na "i-cross out" ang mga deuces, na nakatayo sa mga base ng mga degree, upang makuha ang sagot $x \gt 2$. Ngunit bago natin i-cross out ang anuman, tandaan natin ang kapangyarihan ng dalawa:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Tulad ng nakikita mo, mas malaki ang numero sa exponent, mas malaki ang output number. "Salamat, Cap!" bulalas ng isa sa mga estudyante. Iba ba ang nangyayari? Sa kasamaang palad, nangyayari ito. Halimbawa:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Dito rin, ang lahat ay lohikal: mas malaki ang antas, mas maraming beses na ang bilang na 0.5 ay pinarami ng sarili nito (iyon ay, nahahati ito sa kalahati). Kaya, ang resultang pagkakasunud-sunod ng mga numero ay bumababa, at ang pagkakaiba sa pagitan ng una at pangalawang pagkakasunud-sunod ay nasa base lamang:

• Kung ang base ng degree na $a \gt 1$, pagkatapos ay habang lumalaki ang exponent na $n$, ang bilang na $((a)^(n))$ ay lalago din;
• Sa kabaligtaran, kung $0 \lt a \lt 1$, pagkatapos ay habang lumalaki ang exponent na $n$, bababa ang bilang na $((a)^(n))$.

Sa pagbubuod ng mga katotohanang ito, nakukuha natin ang pinakamahalagang pahayag kung saan nakabatay ang buong solusyon. exponential inequalities:

Kung $a \gt 1$, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $x \gt n$. Kung $0 \lt a \lt 1$, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na $x \lt n$.

Sa madaling salita, kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa, maaari mo lamang itong alisin - hindi magbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. At kung ang base ay mas mababa sa isa, maaari rin itong alisin, ngunit ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay kailangan ding baguhin.

Tandaan na hindi namin isinasaalang-alang ang $a=1$ at $a\le 0$ na mga opsyon. Dahil sa mga kasong ito ay walang katiyakan. Ipagpalagay kung paano lutasin ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form na $((1)^(x)) \gt 3$? Ang isa sa anumang kapangyarihan ay muling magbibigay ng isa - hinding hindi tayo makakakuha ng tatlo o higit pa. Yung. walang solusyon.

Sa mga negatibong batayan, ito ay mas kawili-wili. Isaalang-alang, halimbawa, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

\[((\kaliwa(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]

Sa unang sulyap, ang lahat ay simple:

tama? Pero hindi! Ito ay sapat na upang palitan sa halip na $x$ ng isang pares ng mga numero at isang pares kakaibang numero para masiguradong mali ang solusyon. Tingnan mo:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang mga palatandaan ay kahalili. Ngunit mayroon pa ring mga fractional degrees at iba pang lata. Paano, halimbawa, mag-uutos na magbilang ng $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus two na itinaas sa ugat ng pito)? Hindi pwede!

Samakatuwid, para sa katiyakan, ipinapalagay namin na sa lahat ng exponential inequalities (at mga equation, sa paraan, din) $1\ne a \gt 0$. At pagkatapos ang lahat ay malulutas nang napakasimple:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Sa pangkalahatan, muling tandaan ang pangunahing panuntunan: kung ang base sa exponential equation ay mas malaki kaysa sa isa, maaari mo lamang itong alisin; at kung ang base ay mas mababa sa isa, maaari din itong alisin, ngunit babaguhin nito ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.

Mga halimbawa ng solusyon

Kaya, isaalang-alang ang ilang simpleng exponential inequalities:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Ang pangunahing gawain ay pareho sa lahat ng kaso: upang bawasan ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa pinakasimpleng anyo na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Ito ang gagawin natin ngayon sa bawat hindi pagkakapantay-pantay, at sa parehong oras ay uulitin natin ang mga katangian ng mga kapangyarihan at ang exponential function. Kaya tara na!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Ano ang maaaring gawin dito? Well, sa kaliwa mayroon na tayong demonstrative expression - walang kailangang baguhin. Ngunit sa kanan ay may ilang uri ng kalokohan: isang fraction, at kahit isang ugat sa denominator!

Gayunpaman, tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga fraction at kapangyarihan:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Ano ang ibig sabihin nito? Una, madali nating maalis ang fraction sa pamamagitan ng paggawa nito sa isang negatibong exponent. At pangalawa, dahil ang denominator ay ang ugat, ito ay magiging maganda upang gawing isang degree - sa pagkakataong ito na may isang fractional exponent.

Ilapat natin ang mga pagkilos na ito nang sunud-sunod sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay at tingnan kung ano ang mangyayari:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Huwag kalimutan na kapag nagtataas ng isang degree sa isang kapangyarihan, ang mga exponents ng mga degree na ito ay idinagdag. Sa pangkalahatan, kapag nagtatrabaho sa mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay, talagang kinakailangang malaman ang hindi bababa sa pinakasimpleng mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

sa totoo lang, huling tuntunin kaka-apply lang namin. Samakatuwid, ang aming orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat gaya ng sumusunod:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Ngayon ay inaalis namin ang deuce sa base. Mula sa 2 > 1, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling pareho:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Iyan ang buong solusyon! Ang pangunahing kahirapan ay wala sa exponential function, ngunit sa karampatang pagbabago ng orihinal na expression: kailangan mong maingat at sa lalong madaling panahon dalhin ito sa pinakasimpleng anyo nito.

Isaalang-alang ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Kaya-kaya. Narito kami ay naghihintay para sa mga decimal fraction. Tulad ng sinabi ko ng maraming beses, sa anumang mga expression na may kapangyarihan, dapat mong alisin ang mga decimal fraction - kadalasan ito ang tanging paraan upang makakita ng mabilis at madaling solusyon. Narito ang aalisin natin:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ kanan))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\kaliwa(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\end(align)\]

Bago sa amin ay muli ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay, at kahit na may base na 1/10, i.e. mas mababa sa isa. Buweno, tinanggal namin ang mga base, sabay-sabay na binabago ang tanda mula sa "mas kaunti" patungo sa "mas malaki", at nakukuha namin:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Nakuha namin ang huling sagot: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Pakitandaan na ang sagot ay eksaktong set, at sa anumang kaso ay ang pagbuo ng form na $x \lt -1$. Dahil pormal na ang ganitong konstruksiyon ay hindi isang set sa lahat, ngunit isang hindi pagkakapantay-pantay na may paggalang sa variable na $x$. Oo, ito ay napaka-simple, ngunit hindi ito ang sagot!

Mahalagang paalaala. Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring malutas sa ibang paraan - sa pamamagitan ng pagbabawas ng parehong bahagi sa isang kapangyarihan na may base na mas malaki kaysa sa isa. Tingnan mo:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Pagkatapos ng naturang pagbabago, muli tayong nakakakuha ng exponential inequality, ngunit may base na 10 > 1. At nangangahulugan ito na maaari mo lamang i-cross out ang sampu - hindi magbabago ang inequality sign. Nakukuha namin:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay eksaktong pareho. Kasabay nito, iniligtas namin ang aming sarili mula sa pangangailangang baguhin ang sign at sa pangkalahatan ay naaalala ang ilang mga patakaran doon. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Gayunpaman, huwag hayaan na matakot ka. Anuman ang nasa mga tagapagpahiwatig, ang teknolohiya para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay mismo ay nananatiling pareho. Samakatuwid, una nating tandaan na 16 = 2 4 . Isulat muli natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ang katotohanang ito:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hooray! Nakuha namin ang karaniwang square inequality! Ang tanda ay hindi nagbago kahit saan, dahil ang base ay isang deuce - isang numero na mas malaki kaysa sa isa.

Mga function na zero sa linya ng numero

Inayos namin ang mga palatandaan ng function na $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - malinaw naman, ang graph nito ay magiging parabola na may mga sanga sa itaas, kaya magkakaroon ng "pluses ” sa mga gilid. Interesado kami sa rehiyon kung saan ang function ay mas mababa sa zero, i.e. $x\in \left(2;5 \right)$ ang sagot sa orihinal na problema.

Sa wakas, isaalang-alang ang isa pang hindi pagkakapantay-pantay:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Muli naming nakikita ang isang exponential function na may isang decimal fraction sa base. I-convert natin ang fraction na ito sa isang common fraction:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\kaliwa(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

AT kasong ito sinamantala namin ang pahayag na ibinigay kanina - binawasan namin ang base sa numero 5\u003e 1 upang gawing simple ang aming karagdagang desisyon. Gawin natin ang parehong sa kanang bahagi:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Isulat muli natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, isinasaalang-alang ang parehong mga pagbabago:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]

Ang mga base sa magkabilang panig ay pareho at mas malaki kaysa sa isa. Walang ibang mga termino sa kanan at kaliwa, kaya "pinutol" lang namin ang lima at nakakakuha kami ng napakasimpleng expression:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Dito kailangan mong mag-ingat. Maraming mga estudyante ang gustong kunin ang square root ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay at magsulat ng isang bagay tulad ng $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Hindi mo dapat gawin ito, dahil ang ugat ng eksaktong parisukat ay ang modulus, at hindi nangangahulugang ang orihinal na variable:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

Gayunpaman, ang pagtatrabaho sa mga module ay hindi ang pinaka-kaaya-ayang karanasan, tama? Kaya hindi kami magtatrabaho. Sa halip, ililipat lang namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa at lutasin ang karaniwang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Muli, minarkahan namin ang mga nakuha na puntos sa linya ng numero at tingnan ang mga palatandaan:

Pakitandaan: ang mga tuldok ay may kulay.

Dahil nilulutas namin ang isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang lahat ng mga punto sa graph ay may kulay. Samakatuwid, ang magiging sagot ay: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ay hindi isang interval, ngunit isang segment.

Sa pangkalahatan, nais kong tandaan na walang kumplikado sa exponential inequalities. Ang kahulugan ng lahat ng mga pagbabagong ginawa namin ngayon ay bumaba sa isang simpleng algorithm:

• Hanapin ang base kung saan babawasan namin ang lahat ng antas;
• Maingat na magsagawa ng mga pagbabagong-anyo upang makakuha ng hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Siyempre, sa halip na ang mga variable na $x$ at $n$, maaaring marami pa kumplikadong mga pag-andar, ngunit ang kahulugan nito ay hindi magbabago;
• I-cross out ang mga base ng mga degree. Sa kasong ito, maaaring magbago ang inequality sign kung ang base $a \lt 1$.

Sa katunayan, ito ay isang unibersal na algorithm para sa paglutas ng lahat ng gayong hindi pagkakapantay-pantay. At lahat ng iba pang sasabihin sa iyo sa paksang ito ay tiyak na mga trick at trick upang pasimplehin at pabilisin ang pagbabago. Narito ang isa sa mga trick na pag-uusapan natin ngayon. :)

paraan ng rasyonalisasyon

Isaalang-alang ang isa pang batch ng hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Well, ano ang espesyal sa kanila? Magaan din ang mga ito. Bagaman, huminto! Ang pi ba ay nakataas sa isang kapangyarihan? Anong klaseng kalokohan?

At paano itaas ang numerong $2\sqrt(3)-3$ sa isang kapangyarihan? O $3-2\sqrt(2)$? Ang mga compiler ng mga problema ay halatang uminom ng masyadong maraming "Hawthorn" bago umupo sa trabaho. :)

Sa katunayan, walang mali sa mga gawaing ito. Paalalahanan kita: ang exponential function ay isang expression ng form na $((a)^(x))$, kung saan ang base na $a$ ay anumang positibong numero, maliban sa isa. Ang bilang na π ay positibo - alam na natin ito. Ang mga numerong $2\sqrt(3)-3$ at $3-2\sqrt(2)$ ay positibo rin - madali itong makita kung ihahambing natin ang mga ito sa zero.

Lumalabas na ang lahat ng "nakakatakot" na hindi pagkakapantay-pantay na ito ay hindi naiiba sa mga simpleng tinalakay sa itaas? At ginagawa nila ito sa parehong paraan? Oo, ganap na tama. Gayunpaman, gamit ang kanilang halimbawa, nais kong isaalang-alang ang isang trick na nakakatipid ng maraming oras sa independiyenteng trabaho at pagsusulit. Pag-uusapan natin ang paraan ng rasyonalisasyon. Kaya pansin:

Anumang exponential inequality ng form na $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ay katumbas ng inequality $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.

Iyan ang buong pamamaraan. :) Naisip mo ba na magkakaroon ng ilang uri ng susunod na laro? Walang ganito! Ngunit ang simpleng katotohanang ito, na literal na nakasulat sa isang linya, ay lubos na magpapasimple sa ating gawain. Tingnan mo:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Wala nang mga exponential function! At hindi mo na kailangang tandaan kung ang tanda ay nagbabago o hindi. Pero meron bagong problema: ano ang gagawin sa nakakatuwang multiplier na \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Hindi namin alam kung ano ito eksaktong halaga mga numero π. Gayunpaman, ang kapitan ay tila nagpapahiwatig ng halata:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Sa pangkalahatan, ang eksaktong halaga ng π ay hindi gaanong nakakaabala sa amin - mahalaga lamang para sa amin na maunawaan na sa anumang kaso $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ay isang positibong pare-pareho, at maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay nito:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, sa isang tiyak na punto, kailangan naming hatiin sa minus one, at nagbago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa dulo, pinalawak ko ang square trinomial ayon sa Vieta theorem - malinaw na ang mga ugat ay katumbas ng $((x)_(1))=5$ at $((x)_(2))=- 1$. Pagkatapos ang lahat ay napagpasyahan klasikal na pamamaraan mga pagitan:

Malutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan

Ang lahat ng mga puntos ay nabutas dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Interesado kami sa lugar na may mga negatibong halaga, kaya ang sagot ay $x\in \left(-1;5 \right)$. Yan ang solusyon. :)

Lumipat tayo sa susunod na gawain:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Simple lang ang lahat dito, dahil may unit sa kanan. At natatandaan namin na ang isang yunit ay anumang numero na nakataas sa kapangyarihan ng zero. Kahit na ang numerong ito ay isang hindi makatwirang expression, nakatayo sa base sa kaliwa:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\kanan))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\end(align)\]

Kaya't mangatwiran tayo:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ito ay nananatiling lamang upang harapin ang mga palatandaan. Ang multiplier na $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ay hindi naglalaman ng variable na $x$ - ito ay pare-pareho lang, at kailangan nating malaman ang sign nito. Upang gawin ito, tandaan ang sumusunod:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]

Ito ay lumiliko na ang pangalawang kadahilanan ay hindi lamang isang pare-pareho, ngunit isang negatibong pare-pareho! At kapag hinati nito, ang tanda ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay magbabago sa kabaligtaran:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Ngayon ang lahat ay nagiging medyo halata. Mga ugat square trinomial sa kanan: $((x)_(1))=0$ at $((x)_(2))=2$. Minarkahan namin ang mga ito sa linya ng numero at tinitingnan ang mga palatandaan ng function $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Ang kaso kapag kami ay interesado sa mga lateral interval

Interesado kami sa mga agwat na minarkahan ng plus sign. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot:

Lumipat tayo sa susunod na halimbawa:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]

Well, ang lahat ay medyo halata dito: ang mga base ay mga kapangyarihan ng parehong bilang. Samakatuwid, isusulat ko ang lahat nang maikli:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Pababa \\ ((\kaliwa(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\kaliwa(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kaliwa(16-x\kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, sa proseso ng mga pagbabagong-anyo, kailangan nating dumami isang negatibong numero, kaya nagbago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pinakadulo, muli kong inilapat ang teorama ni Vieta upang i-factorize ang isang square trinomial. Bilang resulta, ang magiging sagot ay ang mga sumusunod: $x\in \left(-8;4 \right)$ - mapapatunayan ito ng mga nagnanais sa pamamagitan ng pagguhit ng linya ng numero, pagmamarka ng mga puntos at pagbibilang ng mga palatandaan. Pansamantala, magpapatuloy tayo sa huling hindi pagkakapantay-pantay mula sa ating "set":

\[((\kaliwa(3-2\sqrt(2) \kanan)))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Tulad ng nakikita mo, ang base ay muling isang hindi makatwirang numero, at ang yunit ay muli sa kanan. Samakatuwid, muling isinulat namin ang aming exponential inequality gaya ng sumusunod:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]

I-rationalize natin:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Gayunpaman, medyo halata na ang $1-\sqrt(2) \lt 0$, dahil $\sqrt(2)\approx 1.4... \gt 1$. Samakatuwid, ang pangalawang kadahilanan ay muli isang negatibong pare-pareho, kung saan ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring hatiin:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrix)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Lumipat sa ibang base

Ang isang hiwalay na problema sa paglutas ng mga exponential inequalities ay ang paghahanap para sa "tama" na batayan. Sa kasamaang palad, sa unang sulyap sa gawain, malayo sa palaging halata kung ano ang dapat gawin bilang batayan, at kung ano ang gagawin bilang antas ng batayan na ito.

Ngunit huwag mag-alala: walang magic at "lihim" na teknolohiya dito. Sa matematika, anumang kasanayang hindi ma-algoritmo ay madaling mabuo sa pamamagitan ng pagsasanay. Ngunit para dito kailangan mong lutasin ang mga problema ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, ito ay:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]

Magulo? Nakakatakot? Oo, ito ay mas madali kaysa sa isang manok sa aspalto! Subukan Natin. Unang hindi pagkakapantay-pantay:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Well, sa tingin ko ang lahat ay malinaw dito:

Isinulat namin muli ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, binabawasan ang lahat sa base na "dalawa":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Oo, oo, naunawaan mo nang tama: Inilapat ko lang ang paraan ng rasyonalisasyon na inilarawan sa itaas. Ngayon kailangan nating magtrabaho nang mabuti: nakakuha tayo ng fractional-rational inequality (ito ang may variable sa denominator), kaya bago i-equate ang isang bagay sa zero, kailangan mong dalhin ang lahat sa karaniwang denominador at alisin ang patuloy na multiplier.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Ngayon ginagamit namin ang karaniwang paraan ng pagitan. Mga numerator zero: $x=\pm 4$. Ang denominator ay napupunta sa zero lamang kapag $x=0$. Sa kabuuan, mayroong tatlong puntos na dapat markahan sa linya ng numero (lahat ng mga puntos ay pinutol, dahil ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit). Nakukuha namin:

Higit pa mahirap kaso: tatlong ugat

Tulad ng maaari mong hulaan, ang pagpisa ay minarkahan ang mga pagitan kung saan ang expression sa kaliwa ay kumukuha ng mga negatibong halaga. Samakatuwid, dalawang agwat ang mapupunta sa huling sagot nang sabay-sabay:

Ang mga dulo ng mga pagitan ay hindi kasama sa sagot dahil ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Walang karagdagang pagpapatunay ng sagot na ito ay kinakailangan. Kaugnay nito, ang mga exponential inequalities ay mas simple kaysa sa logarithmic: walang DPV, walang mga paghihigpit, atbp.

Lumipat tayo sa susunod na gawain:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Wala ring mga problema dito, dahil alam na natin na $\frac(1)(3)=(3)^(-1))$, kaya ang buong hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat muli ng ganito:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\kaliwa(-2\kanan)\kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Pakitandaan: sa ikatlong linya, nagpasya akong huwag mag-aksaya ng oras sa mga bagay at agad na hatiin ang lahat sa pamamagitan ng (−2). Pumasok si Minul sa unang bracket (ngayon ay may mga plus sa lahat ng dako), at ang deuce ay nabawasan na may palaging multiplier. Ito mismo ang dapat mong gawin kapag gumagawa ng mga tunay na kalkulasyon sa independyente at kontrol sa trabaho- hindi na kailangang direktang ipinta ang bawat aksyon at pagbabago.

Susunod, ang pamilyar na paraan ng mga pagitan ay papasok. Mga zero ng numerator: ngunit wala. Dahil magiging negatibo ang discriminant. Sa turn, ang denominator ay nakatakda sa zero lamang kapag $x=0$ — tulad ng huling pagkakataon. Well, malinaw na ang fraction ay kukuha ng mga positibong halaga sa kanan ng $x=0$, at mga negatibo sa kaliwa. Dahil interesado lang kami sa mga negatibong halaga, ang huling sagot ay $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

At ano ang dapat gawin sa mga decimal fraction sa exponential inequalities? Iyan ay tama: alisin ang mga ito sa pamamagitan ng pag-convert sa kanila sa mga ordinaryong. Narito kami ay nagsasalin:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \kanan))^(x)). \\\end(align)\]

Well, ano ang nakuha natin sa mga base ng exponential function? At nakakuha kami ng dalawang magkaparehong katumbas na numero:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kaliwa(((\kaliwa(\frac(4)(25) \kanan)))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kaliwa(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]

Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Siyempre, kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag, na nangyari sa pangalawang linya. Bilang karagdagan, kinakatawan namin ang yunit sa kanan, bilang isang kapangyarihan din sa base 4/25. Ito ay nananatili lamang sa pangangatwiran:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Tandaan na $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, i.e. ang pangalawang kadahilanan ay negatibong pare-pareho, at kapag hinati nito, magbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Sa wakas, ang huling hindi pagkakapantay-pantay mula sa kasalukuyang "set":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Sa prinsipyo, ang ideya ng solusyon dito ay malinaw din: lahat exponential function, na bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, ay dapat bawasan sa base na "3". Ngunit para dito kailangan mong mag-tinker ng kaunti sa mga ugat at degree:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Dahil sa mga katotohanang ito, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat gaya ng sumusunod:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Bigyang-pansin ang ika-2 at ika-3 linya ng mga kalkulasyon: bago gumawa ng isang bagay na may hindi pagkakapantay-pantay, siguraduhing dalhin ito sa form na pinag-usapan natin mula sa simula ng aralin: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Hangga't mayroon kang kaliwa o kanang kaliwang multiplier, dagdag na constant, atbp., walang rasyonalisasyon at "pagtawid" sa mga lugar na maaaring isagawa! Hindi mabilang na mga gawain ang nagawang mali dahil sa hindi pag-unawa dito simpleng katotohanan. Ako mismo ay patuloy na nagmamasid sa problemang ito sa aking mga mag-aaral noong nagsisimula pa lamang kaming mag-analisa ng exponential at logarithmic inequalities.

Ngunit bumalik sa aming gawain. Subukan natin sa oras na ito na gawin nang walang rasyonalisasyon. Naaalala namin: ang base ng degree ay mas malaki kaysa sa isa, kaya ang mga triple ay maaaring i-cross out - ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay hindi magbabago. Nakukuha namin:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Iyon lang. Panghuling sagot: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Ang pag-highlight ng isang matatag na expression at pagpapalit ng isang variable

Bilang konklusyon, iminumungkahi kong lutasin ang apat pang exponential inequalities, na medyo mahirap para sa mga hindi handa na mga mag-aaral. Upang makayanan ang mga ito, kailangan mong tandaan ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga degree. Sa partikular, ang paglalagay ng mga karaniwang salik sa labas ng mga bracket.

Ngunit ang pinakamahalagang bagay ay ang matutong umunawa: kung ano talaga ang maaaring i-bracket. Ang ganitong expression ay tinatawag na stable - maaari itong ipahiwatig ng isang bagong variable at sa gayon ay mapupuksa ang exponential function. Kaya, tingnan natin ang mga gawain:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Magsimula tayo sa pinakaunang linya. Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito nang hiwalay:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Tandaan na $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, kaya ang kanang bahagi ay maaaring isulat muli:

Tandaan na walang ibang exponential function maliban sa $((5)^(x+1))$ sa hindi pagkakapantay-pantay. At sa pangkalahatan, ang variable na $x$ ay hindi nangyayari kahit saan pa, kaya magpakilala tayo ng bagong variable: $((5)^(x+1))=t$. Nakukuha namin ang sumusunod na konstruksyon:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Bumalik tayo sa orihinal na variable ($t=((5)^(x+1))$), at sa parehong oras tandaan na 1=5 0 . Meron kami:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Iyan ang buong solusyon! Sagot: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Lumipat tayo sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Lahat ay pareho dito. Tandaan na $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Pagkatapos kaliwang bahagi maaaring isulat muli:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Ito ay humigit-kumulang kung paano mo kailangang gumawa ng desisyon sa tunay na kontrol at independiyenteng trabaho.

Well, subukan natin ang isang bagay na mas mahirap. Halimbawa, narito ang isang hindi pagkakapantay-pantay:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Ano ang problema dito? Una sa lahat, ang mga base ng exponential function sa kaliwa ay magkakaiba: 5 at 25. Gayunpaman, 25 \u003d 5 2, kaya ang unang termino ay maaaring mabago:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Tulad ng nakikita mo, sa una dinala namin ang lahat parehong batayan, at pagkatapos ay napansin na ang unang termino ay madaling nabawasan sa pangalawa - ito ay sapat na upang palawakin ang exponent. Ngayon ay maaari na nating ligtas na ipakilala ang isang bagong variable: $((5)^(2x+2))=t$, at ang buong hindi pagkakapantay-pantay ay muling isusulat tulad nito:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Muli, walang problema! Panghuling sagot: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Paglipat sa panghuling hindi pagkakapantay-pantay sa aralin ngayon:

\[((\kaliwa(0,5 \kanan)))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Ang unang bagay na dapat tandaan ay, siyempre, desimal sa base ng unang antas. Ito ay kinakailangan upang mapupuksa ito, at sa parehong oras dalhin ang lahat ng mga exponential function sa parehong base - ang bilang na "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=(2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\kaliwa(((2)^(4)) \kanan))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Mahusay, ginawa namin ang unang hakbang - ang lahat ay humantong sa parehong pundasyon. Ngayon kailangan nating i-highlight itakda ang expression. Tandaan na $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Kung magpapakilala tayo ng bagong variable na $((2)^(4x+6))=t$, kung gayon ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(align)\]

Natural, ang tanong ay maaaring lumabas: paano natin nalaman na 256 = 2 8 ? Sa kasamaang palad, dito kailangan mo lamang malaman ang mga kapangyarihan ng dalawa (at sa parehong oras ang mga kapangyarihan ng tatlo at lima). Well, o hatiin ang 256 sa 2 (maaari mong hatiin, dahil ang 256 ay isang even na numero) hanggang makuha natin ang resulta. Magiging ganito ang hitsura nito:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Ganoon din sa tatlo (mga numero 9, 27, 81 at 243 ang mga kapangyarihan nito), at sa pito (mga numero 49 at 343 ay maganda ring tandaan). Well, ang lima ay mayroon ding "magandang" degree na kailangan mong malaman:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ at ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Siyempre, kung nais mo, ang lahat ng mga numerong ito ay maaaring maibalik sa iyong isip sa pamamagitan lamang ng pagpaparami ng mga ito nang paisa-isa. Gayunpaman, kapag kailangan mong lutasin ang ilang exponential inequalities, at ang bawat susunod ay mas mahirap kaysa sa nauna, ang huling bagay na gusto mong isipin ay ang kapangyarihan ng ilang numero doon. At sa ganitong kahulugan, ang mga problemang ito ay mas kumplikado kaysa sa "klasikal" na hindi pagkakapantay-pantay, na nalutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan.