Formula ng pag-asa sa matematika. Mga discrete na random variable

- ang bilang ng mga lalaki sa 10 bagong silang.

Malinaw na ang bilang na ito ay hindi alam nang maaga, at sa susunod na sampung anak na ipinanganak ay maaaring mayroong:

O mga lalaki - isa at isa lamang ng mga nakalistang opsyon.

At, upang mapanatili ang hugis, isang maliit na pisikal na edukasyon:

- long jump distance (sa ilang unit).

Kahit na ang master ng sports ay hindi mahuhulaan ito :)

Gayunpaman, ano ang iyong mga hypotheses?

2) Continuous random variable - tumatagal lahat mga numerong halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusang saklaw.

Tandaan : mga pagdadaglat DSV at NSV ay popular sa pang-edukasyon na panitikan

Una, suriin natin ang isang discrete random variable, pagkatapos - tuloy-tuloy.

Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable

- Ito pagkakaayon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng dami na ito at ang kanilang mga posibilidad. Kadalasan, ang batas ay nakasulat sa isang talahanayan:

Ang termino ay medyo karaniwan hilera pamamahagi, ngunit sa ilang mga sitwasyon ito ay tila hindi maliwanag, at samakatuwid ay susundin ko ang "batas".

At ngayon napaka mahalagang punto : dahil ang random variable kinakailangan tatanggapin isa sa mga halaga, pagkatapos ay mabubuo ang kaukulang mga kaganapan buong grupo at ang kabuuan ng mga probabilidad ng kanilang paglitaw ay katumbas ng isa:

o, kung nakasulat na nakatiklop:

Kaya, halimbawa, ang batas ng probability distribution ng mga puntos na pinagsama sa isang die ay mayroon susunod na view:

Walang komento.

Maaaring nasa ilalim ka ng impresyon na ang isang discrete random variable ay maaari lamang kumuha ng "magandang" integer value. Iwaksi natin ang ilusyon - maaari silang maging anuman:

Halimbawa 1

Ang ilang laro ay may sumusunod na batas sa pamamahagi ng kabayaran:

…marahil matagal mo nang pinapangarap ang mga ganoong gawain :) Hayaan mong sabihin ko sa iyo ang isang sikreto - ako rin. Lalo na pagkatapos ng trabaho teorya sa larangan.

Desisyon: dahil ang isang random na variable ay maaaring tumagal lamang ng isa sa tatlong mga halaga, ang mga kaukulang kaganapan ay nabuo buong grupo , na nangangahulugan na ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng isa:

Inilalantad namin ang "partisan":

– sa gayon, ang posibilidad na manalo ng mga conventional unit ay 0.4.

Kontrol: kung ano ang kailangan mong tiyakin.

Sagot:

Ito ay hindi pangkaraniwan kapag ang batas sa pamamahagi ay kailangang i-compile nang nakapag-iisa. Para sa paggamit na ito klasikal na kahulugan ng posibilidad, multiplication / addition theorems para sa mga probabilities ng kaganapan at iba pang chips tervera:

Halimbawa 2

Mayroong 50 mga tiket sa lottery sa kahon, 12 sa mga ito ay nanalo, at 2 sa kanila ay nanalo ng 1000 rubles bawat isa, at ang natitira - 100 rubles bawat isa. Bumuo ng batas sa pamamahagi random variable– ang halaga ng mga panalo kung ang isang tiket ay kinuha nang random mula sa kahon.

Desisyon: tulad ng napansin mo, kaugalian na ilagay ang mga halaga ng isang random na variable pataas na ayos. Samakatuwid, nagsisimula kami sa pinakamaliit na panalo, at lalo na ang mga rubles.

Sa kabuuan, mayroong 50 - 12 = 38 tulad ng mga tiket, at ayon sa klasikal na kahulugan:
ay ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na tiket ay hindi manalo.

Ang natitirang mga kaso ay simple. Ang posibilidad na manalo ng rubles ay:

Pagsusuri: - at ito ay isang partikular na kaaya-ayang sandali ng gayong mga gawain!

Sagot: ang kinakailangang batas sa pamamahagi ng kabayaran:

Ang susunod na gawain para sa malayang solusyon:

Halimbawa 3

Ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target ay . Gumawa ng batas sa pamamahagi para sa isang random na variable - ang bilang ng mga hit pagkatapos ng 2 shot.

... I knew that you missed him :) Naalala namin multiplication at addition theorems. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang batas sa pamamahagi ay ganap na naglalarawan ng isang random na variable, ngunit sa pagsasagawa ito ay kapaki-pakinabang (at kung minsan ay mas kapaki-pakinabang) na malaman lamang ang ilan sa mga ito. mga katangiang numero .

Pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable

nagsasalita simpleng wika, Ito average na inaasahang halaga na may paulit-ulit na pagsubok. Hayaan ang isang random na variable na kumuha ng mga halaga na may mga probabilidad ayon sa pagkakabanggit. Kung gayon ang mathematical na inaasahan ng random variable na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga gawa lahat ng mga halaga nito sa pamamagitan ng kaukulang mga probabilidad:

o sa nakatiklop na anyo:

Kalkulahin natin, halimbawa, ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable - ang bilang ng mga puntos na ibinaba sa isang dice:

Ngayon, alalahanin natin ang ating hypothetical na laro:

Lumilitaw ang tanong: kumikita ba ang paglalaro ng larong ito? ... sino ang may anumang mga impression? Kaya't hindi mo masasabing "offhand"! Ngunit ang tanong na ito ay madaling masagot sa pamamagitan ng pagkalkula ng inaasahan sa matematika, sa esensya - weighted average mga posibilidad na manalo:

Kaya, ang matematikal na inaasahan ng larong ito natatalo.

Huwag magtiwala sa mga impression - magtiwala sa mga numero!

Oo, dito maaari kang manalo ng 10 o kahit na 20-30 beses sa isang hilera, ngunit sa katagalan ay hindi maiiwasang mapahamak tayo. At hindi ko ipapayo sa iyo na maglaro ng mga ganoong laro :) Well, marahil lamang para sa kasiyahan.

Mula sa lahat ng nasa itaas, ito ay sumusunod na ang mathematical na inaasahan ay HINDI isang RANDOM na halaga.

Malikhaing gawain para sa independiyenteng pananaliksik:

Halimbawa 4

Naglalaro si Mr X ng European roulette ayon sa sumusunod na sistema: palagi siyang tumataya ng 100 rubles sa pula. Bumuo ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable - ang kabayaran nito. Kalkulahin ang mathematical na inaasahan ng mga panalo at bilugan ito sa kopecks. Magkano karaniwan natatalo ba ang manlalaro sa bawat daang taya?

Sanggunian : Ang European roulette ay naglalaman ng 18 pula, 18 itim at 1 berdeng sektor ("zero"). Sa kaganapan ng isang "pula" na bumagsak, ang manlalaro ay binabayaran ng dobleng taya, kung hindi, ito ay mapupunta sa kita ng casino

Mayroong maraming iba pang mga sistema ng roulette kung saan maaari kang lumikha ng iyong sariling mga talahanayan ng posibilidad. Ngunit ito ang kaso kapag hindi namin kailangan ng anumang mga batas at talahanayan sa pamamahagi, dahil tiyak na ang inaasahan ng matematika ng manlalaro ay eksaktong pareho. Mga pagbabago lamang mula sa system patungo sa system

Ang susunod na pinakamahalagang pag-aari ng isang random na variable pagkatapos ng inaasahan sa matematika ay ang pagkakaiba nito, na tinukoy bilang ang ibig sabihin ng parisukat ng paglihis mula sa mean:

Kung tinukoy noon, ang variance VX ang magiging inaasahang halaga. Isa itong katangian ng "scatter" ng distribusyon ng X.

Bilang isang simpleng halimbawa pagkalkula ng pagkakaiba-iba, ipagpalagay na ginawa lamang kami ng isang alok na hindi namin maaaring tanggihan: may nagbigay sa amin ng dalawang sertipiko upang lumahok sa parehong lottery. Ang mga tagapag-ayos ng lottery ay nagbebenta ng 100 tiket bawat linggo, na nakikilahok sa isang hiwalay na draw. Ang isa sa mga tiket na ito ay pinili sa isang draw sa pamamagitan ng pare-parehong random na proseso - bawat tiket ay may pantay na pagkakataon na mapili - at ang may-ari ng masuwerteng tiket na iyon ay tumatanggap ng isang daang milyong dolyar. Ang natitirang 99 na may hawak ng tiket sa lottery ay walang nanalo.

Maaari naming gamitin ang regalo sa dalawang paraan: alinman sa bumili ng dalawang tiket sa parehong lottery, o isang tiket bawat isa upang lumahok sa dalawang magkaibang loterya. Ano ang pinakamahusay na diskarte? Subukan nating pag-aralan. Upang gawin ito, tinutukoy namin sa pamamagitan ng mga random na variable na kumakatawan sa laki ng aming mga panalo sa una at pangalawang tiket. Ang inaasahang halaga sa milyon ay

at ang parehong ay totoo para sa mga inaasahang halaga ay additive, kaya ang aming average na kabuuang kabayaran ay magiging

anuman ang diskarte na pinagtibay.

Gayunpaman, mukhang magkaiba ang dalawang estratehiya. Lampasin natin ang mga inaasahang halaga at pag-aralan ang buong pamamahagi ng posibilidad

Kung bumili tayo ng dalawang tiket sa iisang lottery, mayroon tayong 98% na tsansa na walang manalo at 2% na tsansa na manalo ng 100 milyon. Kung bumili tayo ng mga tiket para sa iba't ibang mga draw, ang mga numero ay ang mga sumusunod: 98.01% - ang pagkakataon na hindi manalo ng anuman, na medyo mas mataas kaysa dati; 0.01% - isang pagkakataon na manalo ng 200 milyon, mas kaunti rin kaysa dati; at ang tsansa na manalo ng 100 milyon ay 1.98%. Kaya, sa pangalawang kaso, ang pamamahagi ng magnitude ay medyo mas nakakalat; ang average, $100 milyon, ay medyo mas malamang, habang ang mga sukdulan ay mas malamang.

Ito ang konsepto ng scatter ng isang random variable na nilayon upang ipakita ang pagkakaiba. Sinusukat namin ang pagkalat sa pamamagitan ng parisukat ng paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito. Kaya, sa kaso 1, ang pagkakaiba ay magiging

sa kaso 2, ang pagkakaiba ay

Tulad ng aming inaasahan, ang huling halaga ay medyo mas malaki, dahil ang pamamahagi sa kaso 2 ay medyo mas nakakalat.

Kapag nagtatrabaho kami sa mga pagkakaiba-iba, ang lahat ay parisukat, kaya ang resulta ay maaaring maging napakalaking bilang. (Ang multiplier ay isang trilyon, iyon ay dapat na kahanga-hanga

kahit na ang mga manlalaro ay nakasanayan na sa mataas na pusta.) Kuwadrado na ugat mula sa pagpapakalat. Ang resultang numero ay tinatawag na standard deviation at karaniwang tinutukoy ng Greek letter a:

Ang mga karaniwang paglihis para sa aming dalawang diskarte sa lottery ay . Sa ilang mga paraan, ang pangalawang opsyon ay humigit-kumulang $71,247 na mas mapanganib.

Paano nakakatulong ang pagkakaiba sa pagpili ng isang diskarte? Hindi malinaw. Ang diskarte na may mas malaking pagkakaiba ay mas mapanganib; ngunit ano ang mas mabuti para sa ating pitaka - panganib o ligtas na paglalaro? Magkaroon tayo ng pagkakataong bumili ng hindi dalawang tiket, ngunit lahat ng isang daan. Pagkatapos ay maaari naming ginagarantiyahan ang isang panalo sa isang lottery (at ang pagkakaiba ay magiging zero); o maaari kang maglaro sa isang daang iba't ibang mga draw, walang makukuhang may posibilidad, ngunit may hindi zero na pagkakataong manalo ng hanggang dolyar. Ang pagpili ng isa sa mga alternatibong ito ay lampas sa saklaw ng aklat na ito; ang magagawa lang natin dito ay ipaliwanag kung paano gawin ang mga kalkulasyon.

Sa katunayan, mayroong isang mas madaling paraan upang kalkulahin ang pagkakaiba kaysa sa direktang paggamit ng kahulugan (8.13). (Mayroong lahat ng dahilan upang maghinala ng ilang nakatagong matematika dito; kung hindi, bakit ang pagkakaiba sa mga halimbawa ng lottery ay magiging isang integer multiple) Mayroon kaming

dahil ito ay isang pare-pareho; kaya naman,

"Ang dispersion ay ang mean ng square minus ang square ng mean"

Halimbawa, sa problema sa lottery, ang mean ay o Subtraction (ng parisukat ng mean) ay nagbibigay ng mga resulta na nakuha na natin kanina sa mas mahirap na paraan.

Gayunpaman, mayroong higit pa simpleng formula, naaangkop kapag kinakalkula namin para sa independiyenteng X at Y. Mayroon kaming

dahil, tulad ng alam natin, para sa mga independiyenteng random na variable Kaya,

"Ang pagkakaiba-iba ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba-iba" Kaya, halimbawa, ang pagkakaiba-iba ng halaga na maaaring mapanalunan sa isang tiket sa lottery ay katumbas ng

Samakatuwid, ang pagkakaiba-iba ng kabuuang panalo para sa dalawang tiket sa lottery sa dalawang magkaibang (independiyente) na mga loterya ay magiging Ang katumbas na halaga ng pagkakaiba para sa mga independiyenteng tiket sa lottery ay magiging

Ang pagkakaiba-iba ng kabuuan ng mga puntos na pinagsama sa dalawang dice ay maaaring makuha gamit ang parehong formula, dahil mayroong isang kabuuan ng dalawang independiyenteng random na mga variable. Meron kami

para sa tamang kubo; samakatuwid, sa kaso ng isang displaced center of mass

samakatuwid, kung ang sentro ng masa ng parehong mga cube ay inilipat. Tandaan na sa huling kaso, mas malaki ang pagkakaiba, bagama't nangangailangan ito ng average na 7 nang mas madalas kaysa sa kaso ng mga regular na dice. Kung ang aming layunin ay upang gumulong ng mas masuwerteng pito, kung gayon ang pagkakaiba ay hindi ang pinakamahusay na tagapagpahiwatig ng tagumpay.

Okay, naitatag namin kung paano kalkulahin ang pagkakaiba. Ngunit hindi pa kami nagbibigay ng sagot sa tanong kung bakit kinakailangan upang kalkulahin ang pagkakaiba-iba. Ginagawa ito ng lahat, ngunit bakit? Ang pangunahing dahilan ay ang hindi pagkakapantay-pantay ng Chebyshev na nagsasaad mahalagang ari-arian pagpapakalat:

(Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay naiiba sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng Chebyshev para sa mga kabuuan, na naranasan natin sa Kabanata 2.) Sa pamamagitan ng husay, (8.17) ay nagsasaad na ang isang random na variable na X ay bihirang kumuha ng mga halaga na malayo sa ibig sabihin nito kung ang pagkakaiba nito ay VX ay maliit. Patunay

ang pagkilos ay napakasimple. Talaga,

paghahati sa pamamagitan ng pagkumpleto ng patunay.

Kung tukuyin natin ang mathematical expectation sa pamamagitan ng a at ang standard deviation - sa pamamagitan ng a at palitan ng (8.17) ng kung gayon ang kundisyon ay nagiging samakatuwid, nakukuha natin mula sa (8.17)

Kaya, ang X ay nasa loob ng - beses sa karaniwang paglihis ng average nito maliban sa mga kaso kung saan ang posibilidad ay hindi lalampas sa Random na halaga ay nasa loob ng 2a ng hindi bababa sa 75% ng mga pagsubok; mula hanggang - hindi bababa sa 99%. Ito ang mga kaso ng hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev.

Kung maghagis ka ng ilang beses ng dice, ang kabuuang iskor sa lahat ng throws ay halos palaging, para sa mga malalaki ito ay magiging malapit sa Ang dahilan para dito ay ang mga sumusunod:

Samakatuwid, mula sa hindi pagkakapantay-pantay ng Chebyshev, nakuha namin na ang kabuuan ng mga puntos ay nasa pagitan

para sa hindi bababa sa 99% ng lahat ng mga rolyo ng tamang dice. Halimbawa, ang kabuuang isang milyong tosses na may posibilidad na higit sa 99% ay nasa pagitan ng 6.976 milyon at 7.024 milyon.

Sa pangkalahatang kaso, hayaan ang X na maging anumang random na variable sa probability space P na may finite mathematical expectation at isang finite standard deviation a. Pagkatapos ay maaari naming ipakilala sa pagsasaalang-alang ang probability space Пп, na ang elementarya na mga kaganapan ay -sequences kung saan ang bawat isa , at ang probabilidad ay tinukoy bilang

Kung tutukuyin natin ngayon ang mga random na variable sa pamamagitan ng formula

pagkatapos ay ang halaga

ay ang kabuuan ng mga independiyenteng random na mga variable, na tumutugma sa proseso ng pagsusuma ng mga independiyenteng pagsasakatuparan ng dami X sa P. Ang inaasahan sa matematika ay magiging katumbas ng at ang standard deviation - ; samakatuwid, ang ibig sabihin ng halaga ng mga pagsasakatuparan,

ay nasa hanay mula sa hindi bababa sa 99% ng yugto ng panahon. Sa madaling salita, kung pipiliin natin ang isang sapat na malaking bilang, kung gayon ang arithmetic mean ng mga independiyenteng pagsubok ay halos palaging magiging napakalapit sa inaasahang halaga (Sa mga aklat-aralin ng teorya ng posibilidad, ang isang mas malakas na teorama ay napatunayan, na tinatawag na malakas na batas ng malaki. mga numero; ngunit kailangan din namin ng isang simpleng resulta ng hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev, na kakalabas lang namin.)

Minsan hindi natin alam ang mga katangian ng probability space, ngunit kailangan nating tantyahin ang mathematical expectation ng isang random variable X sa pamamagitan ng paulit-ulit na obserbasyon sa halaga nito. (Halimbawa, maaaring gusto natin ang average na temperatura ng tanghali sa Enero sa San Francisco; o maaari nating malaman ang pag-asa sa buhay kung saan dapat ibatay ng mga ahente ng seguro ang kanilang mga kalkulasyon.) Kung mayroon tayong mga independiyenteng empirical na obserbasyon sa ating pagtatapon, maaari nating ipagpalagay na ang ang tunay na inaasahan sa matematika ay humigit-kumulang katumbas ng

Maaari mo ring tantyahin ang pagkakaiba-iba gamit ang formula

Sa pagtingin sa formula na ito, maaaring isipin ng isa na mayroong isang typographical error sa loob nito; Tila dapat mayroong tulad sa (8.19), dahil ang tunay na halaga ng pagkakaiba ay tinutukoy sa (8.15) sa pamamagitan ng mga inaasahang halaga. Gayunpaman, ang pagbabago dito ay nagbibigay-daan sa amin upang makakuha ng mas mahusay na pagtatantya, dahil sumusunod ito mula sa kahulugan (8.20) na

Narito ang patunay:

(Sa pagkalkula na ito, umaasa kami sa kalayaan ng mga obserbasyon kapag pinalitan namin ng )

Sa pagsasagawa, upang suriin ang mga resulta ng isang eksperimento na may random na variable X, karaniwang kinakalkula ng isa ang empirical mean at ang empirical standard deviation at pagkatapos ay isusulat ang sagot sa form Narito, halimbawa, ang mga resulta ng paghagis ng isang pares ng dice, tama daw.

Tulad ng alam na, ang batas sa pamamahagi ay ganap na nagpapakilala sa isang random na variable. Gayunpaman, ang batas sa pamamahagi ay kadalasang hindi alam at kailangang limitahan ng isa ang sarili sa mas kaunting impormasyon. Minsan mas kumikita pa ang paggamit ng mga numero na naglalarawan ng isang random na variable sa kabuuan; ang mga naturang numero ay tinatawag numerical na katangian ng isang random na variable. Ang pag-asa sa matematika ay isa sa mga mahalagang katangian ng numero.

Ang inaasahan sa matematika, tulad ng ipapakita sa ibaba, ay humigit-kumulang katumbas ng average na halaga ng random variable. Upang malutas ang maraming mga problema, sapat na malaman ang inaasahan sa matematika. Halimbawa, kung alam na ang pag-asa sa matematika ng bilang ng mga puntos na naitala ng unang tagabaril ay mas malaki kaysa sa pangalawa, kung gayon ang unang tagabaril, sa karaniwan, ay nagpapatumba ng mas maraming puntos kaysa sa pangalawa, at samakatuwid ay mas mahusay kaysa sa shoot. ang ikalawa. Bagama't ang pag-asa sa matematika ay nagbibigay ng mas kaunting impormasyon tungkol sa isang random na variable kaysa sa batas ng pamamahagi nito, ngunit para sa paglutas ng mga problema tulad ng ibinigay at marami pang iba, sapat na ang kaalaman sa inaasahan sa matematika.

§ 2. Mathematical expectation ng isang discrete random variable

inaasahan sa matematika Ang isang discrete random variable ay tinatawag na kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga nito at ang kanilang mga probabilidad.

Hayaan ang random variable X maaari lamang kumuha ng mga halaga X 1 , X 2 , ..., X P , na ang mga probabilidad ay magkapareho R 1 , R 2 , . . ., R P . Tapos yung mathematical expectation M(X) random variable X ay tinukoy ng pagkakapantay-pantay

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x n p n .

Kung isang discrete random variable X tumatagal sa isang mabibilang na hanay ng mga posibleng halaga, kung gayon

M(X)=

bukod pa rito, umiiral ang mathematical na inaasahan kung ang serye sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ganap na nagtatagpo.

Magkomento. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang mathematical na inaasahan ng isang discrete random variable ay isang non-random (constant) variable. Inirerekomenda namin na tandaan mo ang pahayag na ito, dahil paulit-ulit itong ginagamit sa susunod. Sa paglaon ay ipapakita na ang mathematical na inaasahan ng isang tuluy-tuloy na random variable ay isa ring pare-parehong halaga.

Halimbawa 1 Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable X, alam ang batas ng pamamahagi nito:

Desisyon. Ang nais na pag-asa sa matematika ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga probabilidad:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Halimbawa 2 Hanapin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan PERO sa isang pagsubok, kung ang posibilidad ng isang kaganapan PERO ay katumbas ng R.

Desisyon. Random na halaga X - bilang ng mga paglitaw ng kaganapan PERO sa isang pagsubok - maaaring tumagal lamang ng dalawang halaga: X 1 = 1 (pangyayari PERO nangyari) na may posibilidad R at X 2 = 0 (pangyayari PERO hindi nangyari) na may posibilidad q= 1 -R. Ang nais na inaasahan sa matematika

M(X)= 1* p+ 0* q= p

Kaya, ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan sa isang pagsubok ay katumbas ng posibilidad ng kaganapang ito. Ang resultang ito ay gagamitin sa ibaba.

§ 3. Probabilistikong kahulugan ng pag-asa sa matematika

Hayaang gumawa P mga pagsusulit kung saan ang random variable X tinanggap t 1 halaga ng beses X 1 , t 2 halaga ng beses X 2 ,...,m k halaga ng beses x k , at t 1 + t 2 + …+t sa = p. Pagkatapos ay ang kabuuan ng lahat ng mga halaga na kinuha X, ay katumbas ng

X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X sa t sa .

Hanapin ang arithmetic mean ng lahat ng mga halaga na tinatanggap bilang isang random na variable, kung saan hinahati namin ang nahanap na kabuuan sa kabuuang bilang ng mga pagsubok:

= (X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X sa t sa)/P,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X sa (t sa /P). (*)

Napapansin na ang relasyon m 1 / n- kamag-anak na dalas W 1 mga halaga X 1 , m 2 / n - kamag-anak na dalas W 2 mga halaga X 2 atbp., isinusulat namin ang kaugnayan (*) tulad ng sumusunod:

=X 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + X sa W k . (**)

Ipagpalagay natin na ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki. Kung gayon ang relatibong dalas ay humigit-kumulang katumbas ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapan (ito ay mapapatunayan sa Kabanata IX, § 6):

W 1 p 1 , W 2 p 2 , …, W k p k .

Ang pagpapalit ng mga relatibong frequency na may kaugnayan (**) sa mga katumbas na probabilidad, nakuha namin

x 1 p 1 + X 2 R 2 + … + X sa R sa .

Ang kanang bahagi ng tinatayang pagkakapantay-pantay na ito ay M(X). Kaya,

M(X).

Ang probabilistikong kahulugan ng resulta na nakuha ay ang mga sumusunod: ang inaasahan sa matematika ay humigit-kumulang katumbas ng(mas tumpak, mas marami ang bilang ng mga pagsubok) ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng random variable.

Puna 1. Madaling makita na ang mathematical na inaasahan ay mas malaki kaysa sa pinakamaliit at mas mababa kaysa sa pinakamalaking posibleng mga halaga. Sa madaling salita, sa axis ng numero, ang mga posibleng halaga ay matatagpuan sa kaliwa at kanan ng inaasahang halaga. Sa ganitong kahulugan, ang inaasahan ay nagpapakilala sa lokasyon ng pamamahagi at samakatuwid ay madalas na tinutukoy bilang sentro ng pamamahagi.

Ang terminong ito ay hiniram sa mekanika: kung ang masa R 1 , R 2 , ..., R P matatagpuan sa mga puntong may abscissas x 1 , X 2 , ..., X n, at
pagkatapos ay ang abscissa ng sentro ng grabidad

x c =
.

Kung ganoon
= M (X) at
nakukuha natin M(X)= x kasama .

Kaya, ang inaasahan sa matematika ay ang abscissa ng sentro ng grabidad ng system materyal na puntos, na ang mga abscissas ay katumbas ng mga posibleng halaga ng random variable, at ang mga masa ay katumbas ng kanilang mga probabilities.

Puna 2. Ang pinagmulan ng terminong "expectation" ay nauugnay sa unang panahon ng paglitaw ng probability theory (XVI-XVII na siglo), nang ang saklaw nito ay limitado sa pagsusugal. Interesado ang manlalaro sa average na halaga ng inaasahang kabayaran, o, sa madaling salita, ang mathematical na inaasahan ng kabayaran.

Inaasahang halaga

Pagpapakalat tuluy-tuloy na random na variable X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa buong axis na Ox, ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay:

Pagtatalaga ng serbisyo. Online na calculator dinisenyo upang malutas ang mga problema kung saan alinman density ng pamamahagi f(x) , o distribution function F(x) (tingnan ang halimbawa). Karaniwan sa ganitong mga gawain ay kinakailangan upang mahanap mathematical expectation, standard deviation, plot the functions f(x) and F(x).

Pagtuturo. Piliin ang uri ng input data: distribution density f(x) o distribution function F(x) .

Given the distribution density f(x) Given the distribution function F(x)

Ang density ng pamamahagi f(x) ay ibinibigay:

Ang distribution function na F(x) ay ibinigay:

Ang tuluy-tuloy na random variable ay tinutukoy ng probability density
(Batas sa pamamahagi ng Rayleigh - ginagamit sa engineering ng radyo). Hanapin ang M(x) , D(x) .

Ang random variable X ay tinatawag tuloy-tuloy , kung ang function ng pamamahagi nito F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay ginagamit upang kalkulahin ang mga probabilities ng isang random variable na nahuhulog sa isang naibigay na agwat:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
saka, para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, hindi mahalaga kung ang mga hangganan nito ay kasama sa pagitan na ito o hindi:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densidad ng pamamahagi Ang tuluy-tuloy na random variable ay tinatawag na function
f(x)=F'(x) , derivative ng distribution function.

Mga Katangian ng Densidad ng Distribusyon

1. Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay hindi negatibo (f(x) ≥ 0) para sa lahat ng mga halaga ng x.
2. Kondisyon ng normalisasyon:

Ang geometric na kahulugan ng kondisyon ng normalisasyon: ang lugar sa ilalim ng curve ng density ng pamamahagi ay katumbas ng isa.
3. Ang posibilidad na matamaan ang isang random na variable X sa pagitan mula α hanggang β ay maaaring kalkulahin ng formula

Sa geometriko, ang posibilidad ng isang tuluy-tuloy na random variable X na bumabagsak sa pagitan (α, β) ay katumbas ng lugar curvilinear trapezoid sa ilalim ng kurba ng density ng pamamahagi batay sa agwat na ito.
4. Ang distribution function ay ipinahayag sa mga tuntunin ng density tulad ng sumusunod:

Ang halaga ng density ng pamamahagi sa puntong x ay hindi katumbas ng posibilidad na kunin ang halagang ito; para sa isang tuluy-tuloy na random variable, maaari lamang nating pag-usapan ang posibilidad na mahulog sa isang naibigay na agwat. Hayaan )