Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta online. Fundamentos da teoria das probabilidades. Expectativa matemática de valor
Leia também
Expectativa matemática (valor médio) variável aleatória X dado em um espaço de probabilidade discreto é chamado de número m =M[X]=∑x i p i se a série converge absolutamente.
Objetivo do serviço. Usando o serviço em modo online expectativa matemática, variância e desvio padrão são calculados(consultar exemplo). Além disso, um gráfico da função de distribuição F(X) é traçado.
Propriedades da expectativa matemática de uma variável aleatória
- A expectativa matemática de um valor constante é igual a si mesmo: M[C]=C, C – constante;
- M=C M[X]
- A expectativa matemática da soma das variáveis aleatórias é igual à soma de suas expectativas matemáticas: M=M[X]+M[Y]
- A expectativa matemática do produto de variáveis aleatórias independentes é igual ao produto de suas expectativas matemáticas: M=M[X] M[Y] , se X e Y forem independentes.
Propriedades de dispersão
- A variância de um valor constante é zero: D(c)=0.
- O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado: D(k*X)= k 2 D(X).
- Se as variáveis aleatórias X e Y forem independentes, então a variância da soma é igual à soma das variâncias: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Se as variáveis aleatórias X e Y forem dependentes: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- A seguinte fórmula computacional é válida para dispersão:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Exemplo. As expectativas matemáticas e variâncias de duas variáveis aleatórias independentes X e Y são conhecidas: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Encontre a expectativa matemática e a variância da variável aleatória Z=9X-8Y+7.
Solução. Com base nas propriedades da expectativa matemática: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Com base nas propriedades de dispersão: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmo para cálculo de expectativa matemática
Propriedades de variáveis aleatórias discretas: todos os seus valores podem ser renumerados números naturais; cada valor está associado a uma probabilidade diferente de zero.- Multiplicamos os pares um por um: x i por p i .
- Adicione o produto de cada par x i p i .
Por exemplo, para n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Exemplo nº 1.
| XI | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| eu | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Encontramos a expectativa matemática usando a fórmula m = ∑x i p i .
Expectativa M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Encontramos a variância usando a fórmula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Variância D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Desvio padrão σ(x).
σ = quadrado(D[X]) = quadrado(7,69) = 2,78
Exemplo nº 2. Uma variável aleatória discreta tem a seguinte série de distribuição:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Solução. O valor de a é encontrado a partir da relação: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ou 0,24=3 a , de onde a = 0,08
Exemplo nº 3. Determine a lei de distribuição de uma variável aleatória discreta se sua variância for conhecida e x 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Solução.
Aqui você precisa criar uma fórmula para encontrar a variância d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
onde a expectativa m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Para nossos dados
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ou -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Conseqüentemente, precisamos encontrar as raízes da equação, e haverá duas delas.
x 3 = 8, x 3 = 12
Escolha aquele que satisfaz a condição x 1
Lei de distribuição de uma variável aleatória discreta
x1 =6; x2=9; x3=12; x 4 = 15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Expectativa e variância são as características numéricas mais comumente usadas de uma variável aleatória. Eles caracterizam as características mais importantes da distribuição: sua posição e grau de dispersão. Em muitos problemas práticos, uma característica completa e exaustiva de uma variável aleatória - a lei de distribuição - ou não pode ser obtida ou não é necessária. Nestes casos, limita-se a uma descrição aproximada de uma variável aleatória usando características numéricas.
O valor esperado costuma ser chamado simplesmente de valor médio de uma variável aleatória. A dispersão de uma variável aleatória é uma característica da dispersão, a dispersão de uma variável aleatória em torno de sua expectativa matemática.
Expectativa de uma variável aleatória discreta
Abordemos o conceito de expectativa matemática, primeiro com base na interpretação mecânica da distribuição de uma variável aleatória discreta. Deixe a massa unitária ser distribuída entre os pontos do eixo x x1 , x 2 , ..., x n, e cada ponto material tem uma massa correspondente de p1 , p 2 , ..., p n. É necessário selecionar um ponto no eixo das abcissas, caracterizando a posição de todo o sistema de pontos materiais, levando em consideração suas massas. É natural considerar o centro de massa do sistema de pontos materiais como tal. Esta é a média ponderada da variável aleatória X, para a qual a abscissa de cada ponto xeu entra com um “peso” igual à probabilidade correspondente. O valor médio da variável aleatória obtida desta forma Xé chamada de expectativa matemática.
A expectativa matemática de uma variável aleatória discreta é a soma dos produtos de todos os seus valores possíveis e as probabilidades desses valores:
Exemplo 1. Uma loteria ganha-ganha foi organizada. Existem 1.000 ganhos, dos quais 400 são 10 rublos. 300 - 20 rublos cada. 200 - 100 rublos cada. e 100-200 rublos cada. Qual é o ganho médio de quem compra um bilhete?
Solução. Encontraremos os ganhos médios se dividirmos o valor total dos ganhos, que é 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rublos, por 1.000 (valor total dos ganhos). Então obtemos 50.000/1.000 = 50 rublos. Mas a expressão para cálculo dos ganhos médios pode ser apresentada da seguinte forma:
Por outro lado, nestas condições, o valor do ganho é uma variável aleatória, que pode assumir valores de 10, 20, 100 e 200 rublos. com probabilidades iguais a 0,4, respectivamente; 0,3; 0,2; 0,1. Consequentemente, o ganho médio esperado é igual à soma dos produtos do tamanho dos ganhos e da probabilidade de recebê-los.
Exemplo 2. A editora decidiu publicar um novo livro. Ele planeja vender o livro por 280 rublos, dos quais ele próprio receberá 200, 50 para a livraria e 30 para o autor. A tabela fornece informações sobre os custos de publicação de um livro e a probabilidade de venda de um determinado número de exemplares do livro.
Encontre o lucro esperado do editor.
Solução. A variável aleatória “lucro” é igual à diferença entre o rendimento das vendas e o custo dos custos. Por exemplo, se 500 cópias de um livro forem vendidas, a receita da venda será 200 * 500 = 100.000 e o custo de publicação será de 225.000 rublos. Assim, a editora enfrenta uma perda de 125.000 rublos. A tabela a seguir resume os valores esperados da variável aleatória - lucro:
| Número | Lucro xeu | Probabilidade peu | xeu p eu |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Assim, obtemos a expectativa matemática do lucro do editor:
.
Exemplo 3. Probabilidade de acertar com um tiro p= 0,2. Determine o consumo de projéteis que forneçam uma expectativa matemática do número de acertos igual a 5.
Solução. A partir da mesma fórmula de expectativa matemática que usamos até agora, expressamos x- consumo de casca:
.
Exemplo 4. Determine a expectativa matemática de uma variável aleatória x número de acertos com três tiros, se a probabilidade de acerto com cada tiro p = 0,4 .
Dica: encontre a probabilidade de valores de variáveis aleatórias por Fórmula de Bernoulli .
Propriedades da expectativa matemática
Vamos considerar as propriedades da expectativa matemática.
Propriedade 1. A expectativa matemática de um valor constante é igual a esta constante:
Propriedade 2. O fator constante pode ser retirado do sinal da expectativa matemática:
Propriedade 3. A expectativa matemática da soma (diferença) das variáveis aleatórias é igual à soma (diferença) de suas expectativas matemáticas:
Propriedade 4. A expectativa matemática de um produto de variáveis aleatórias é igual ao produto de suas expectativas matemáticas:
Propriedade 5. Se todos os valores de uma variável aleatória X diminuir (aumentar) pelo mesmo número COM, então sua expectativa matemática diminuirá (aumentará) no mesmo número:
Quando você não pode se limitar apenas à expectativa matemática
Na maioria dos casos, apenas a expectativa matemática não pode caracterizar suficientemente uma variável aleatória.
Deixe as variáveis aleatórias X E S são dados pelas seguintes leis de distribuição:
| Significado X | Probabilidade |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Significado S | Probabilidade |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
As expectativas matemáticas dessas quantidades são as mesmas - iguais a zero:
No entanto, seus padrões de distribuição são diferentes. Valor aleatório X só pode assumir valores que diferem pouco da expectativa matemática, e a variável aleatória S pode assumir valores que se desviam significativamente da expectativa matemática. Um exemplo semelhante: o salário médio não permite avaliar a proporção de trabalhadores com salários altos e baixos. Em outras palavras, não se pode julgar a partir da expectativa matemática quais desvios dela, pelo menos em média, são possíveis. Para fazer isso, você precisa encontrar a variância da variável aleatória.
Variância de uma variável aleatória discreta
Variância variável aleatória discreta Xé chamada de expectativa matemática do quadrado de seu desvio da expectativa matemática:
Desvio padrão de uma variável aleatória X o valor aritmético da raiz quadrada de sua variância é chamado:
.
Exemplo 5. Calcular variâncias e desvios padrão de variáveis aleatórias X E S, cujas leis de distribuição são fornecidas nas tabelas acima.
Solução. Expectativas matemáticas de variáveis aleatórias X E S, conforme encontrado acima, são iguais a zero. De acordo com a fórmula de dispersão em E(X)=E(sim)=0 obtemos:
Então os desvios padrão das variáveis aleatórias X E S inventar
.
Assim, com as mesmas expectativas matemáticas, a variância da variável aleatória X muito pequeno, mas uma variável aleatória S- significativo. Isto é uma consequência das diferenças na sua distribuição.
Exemplo 6. O investidor possui 4 projetos de investimento alternativos. A tabela resume o lucro esperado nesses projetos com a probabilidade correspondente.
| Projeto 1 | Projeto 2 | Projeto 3 | Projeto 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Encontre para cada alternativa a expectativa matemática, a variância e o desvio padrão.
Solução. Vamos mostrar como esses valores são calculados para a 3ª alternativa:
A tabela resume os valores encontrados para todas as alternativas.
Todas as alternativas têm as mesmas expectativas matemáticas. Isso significa que, no longo prazo, todos terão a mesma renda. O desvio padrão pode ser interpretado como uma medida de risco – quanto maior for, maior será o risco do investimento. Um investidor que não queira muito risco escolherá o projeto 1 por apresentar o menor desvio padrão (0). Caso o investidor prefira risco e retornos elevados em curto prazo, então ele escolherá o projeto com maior desvio padrão – projeto 4.
Propriedades de dispersão
Vamos apresentar as propriedades de dispersão.
Propriedade 1. A variância de um valor constante é zero:
Propriedade 2. O fator constante pode ser retirado do sinal de dispersão elevando-o ao quadrado:
.
Propriedade 3. A variância de uma variável aleatória é igual à expectativa matemática do quadrado desse valor, da qual é subtraído o quadrado da expectativa matemática do próprio valor:
,
Onde 
.
Propriedade 4. A variância da soma (diferença) das variáveis aleatórias é igual à soma (diferença) de suas variâncias:
Exemplo 7. Sabe-se que uma variável aleatória discreta X leva apenas dois valores: −3 e 7. Além disso, a expectativa matemática é conhecida: E(X) = 4 . Encontre a variância de uma variável aleatória discreta.
Solução. Vamos denotar por p a probabilidade com que uma variável aleatória assume um valor x1 = −3 . Então a probabilidade do valor x2 = 7 será 1 - p. Vamos derivar a equação para a expectativa matemática:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
onde obtemos as probabilidades: p= 0,3 e 1 - p = 0,7 .
Lei da distribuição de uma variável aleatória:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Calculamos a variância desta variável aleatória usando a fórmula da propriedade 3 de dispersão:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Encontre você mesmo a expectativa matemática de uma variável aleatória e, em seguida, observe a solução
Exemplo 8. Variável aleatória discreta X leva apenas dois valores. Aceita o maior dos valores 3 com probabilidade 0,4. Além disso, a variância da variável aleatória é conhecida D(X) = 6 . Encontre a expectativa matemática de uma variável aleatória.
Exemplo 9. Existem 6 bolas brancas e 4 bolas pretas em uma urna. São retiradas 3 bolas da urna. O número de bolas brancas entre as bolas sorteadas é uma variável aleatória discreta X. Encontre a expectativa matemática e a variância desta variável aleatória.
Solução. Valor aleatório X pode assumir valores 0, 1, 2, 3. As probabilidades correspondentes podem ser calculadas a partir de regra de multiplicação de probabilidade. Lei da distribuição de uma variável aleatória:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Daí a expectativa matemática desta variável aleatória:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
A variância de uma determinada variável aleatória é:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Expectativa e variância de uma variável aleatória contínua
Para uma variável aleatória contínua, a interpretação mecânica da expectativa matemática manterá o mesmo significado: o centro de massa para uma unidade de massa distribuída continuamente no eixo x com densidade f(x). Ao contrário de uma variável aleatória discreta, cujo argumento de função xeu muda abruptamente; para uma variável aleatória contínua, o argumento muda continuamente. Mas a expectativa matemática de uma variável aleatória contínua também está relacionada ao seu valor médio.
Para encontrar a expectativa matemática e a variância de uma variável aleatória contínua, você precisa encontrar integrais definidas . Se a função densidade de uma variável aleatória contínua for dada, ela entra diretamente no integrando. Se uma função de distribuição de probabilidade for dada, ao diferenciá-la, você precisará encontrar a função de densidade.
A média aritmética de todos os valores possíveis de uma variável aleatória contínua é chamada de expectativa matemática, denotado por ou .
– o número de meninos entre 10 recém-nascidos.
É absolutamente claro que este número não é conhecido antecipadamente, e os próximos dez filhos nascidos podem incluir:
Ou meninos - um e somente um das opções listadas.
E, para manter a forma, um pouco de educação física:
– distância do salto em distância (em algumas unidades).
Mesmo um mestre dos esportes não pode prever isso :)
No entanto, suas hipóteses?
2) Variável aleatória contínua – aceita Todos valores numéricos de algum intervalo finito ou infinito.
Observação : as abreviaturas DSV e NSV são populares na literatura educacional
Primeiro, vamos analisar a variável aleatória discreta, então - contínuo.
Lei de distribuição de uma variável aleatória discreta
- Esse correspondência entre os valores possíveis desta quantidade e suas probabilidades. Na maioria das vezes, a lei está escrita em uma tabela: 
O termo é usado com bastante frequência linha
distribuição, mas em algumas situações parece ambíguo, por isso vou seguir a "lei".
E agora ponto muito importante: já que a variável aleatória Necessariamente aceitará um dos valores, então os eventos correspondentes formam grupo completo e a soma das probabilidades de sua ocorrência é igual a um:
ou, se escrito condensado:
Assim, por exemplo, a lei da distribuição de probabilidade dos pontos lançados em um dado tem a seguinte forma: 
Sem comentários.
Você pode ter a impressão de que uma variável aleatória discreta só pode assumir valores inteiros “bons”. Vamos dissipar a ilusão - eles podem ser qualquer coisa:
Exemplo 1
Algum jogo tem a seguinte lei de distribuição vencedora: 
...você provavelmente já sonha com essas tarefas há muito tempo :) Vou te contar um segredo - eu também. Especialmente depois que terminei de trabalhar teoria de campo.
Solução: como uma variável aleatória pode assumir apenas um de três valores, os eventos correspondentes formam grupo completo, o que significa que a soma de suas probabilidades é igual a um: 
Expondo o “partidário”: 
– assim, a probabilidade de ganhar unidades convencionais é de 0,4.
Controle: era disso que precisávamos ter certeza.
Responder:
Não é incomum que você mesmo precise redigir uma lei de distribuição. Para isso eles usam definição clássica de probabilidade, teoremas de multiplicação/adição para probabilidades de eventos e outras fichas tervera:
Exemplo 2
A caixa contém 50 bilhetes de loteria, dos quais 12 são vencedores, sendo que 2 deles ganham 1.000 rublos cada, e o restante - 100 rublos cada. Elabore uma lei para a distribuição de uma variável aleatória - o tamanho dos ganhos, se um bilhete for sorteado aleatoriamente da caixa.
Solução: como você notou, os valores de uma variável aleatória geralmente são colocados em em ordem ascendente. Portanto, começamos com os menores ganhos, nomeadamente rublos.
Existem 50 desses ingressos no total - 12 = 38, e de acordo com definição clássica:
– a probabilidade de um bilhete sorteado aleatoriamente ser perdedor.
Em outros casos, tudo é simples. A probabilidade de ganhar rublos é:
Confira: – e este é um momento particularmente agradável de tais tarefas!
Responder: a lei desejada de distribuição de ganhos: 
A tarefa a seguir deve ser resolvida por você mesmo:
Exemplo 3
A probabilidade de o atirador acertar o alvo é . Elabore uma lei de distribuição para uma variável aleatória - o número de acertos após 2 disparos.
...Eu sabia que você sentia falta dele :) Vamos lembrar teoremas de multiplicação e adição. A solução e a resposta estão no final da lição.
A lei de distribuição descreve completamente uma variável aleatória, mas na prática pode ser útil (e às vezes mais útil) conhecer apenas parte dela características numéricas .
Expectativa de uma variável aleatória discreta
Em termos simples, isso é valor médio esperado quando o teste é repetido muitas vezes. Deixe a variável aleatória assumir valores com probabilidades 
respectivamente. Então a expectativa matemática desta variável aleatória é igual a soma de produtos todos os seus valores às probabilidades correspondentes:
ou entrou em colapso: 
Vamos calcular, por exemplo, a expectativa matemática de uma variável aleatória - o número de pontos lançados em um dado:
Agora vamos lembrar nosso jogo hipotético: 
Surge a pergunta: é lucrativo jogar este jogo? ...quem tem alguma impressão? Então você não pode dizer isso “de improviso”! Mas esta questão pode ser facilmente respondida calculando a expectativa matemática, essencialmente - média ponderada por probabilidade de ganhar:
Assim, a expectativa matemática deste jogo perdendo.
Não confie nas suas impressões – confie nos números!
Sim, aqui você pode ganhar 10 e até 20-30 vezes seguidas, mas no longo prazo enfrentaremos a ruína inevitável. E eu não aconselharia você a jogar esses jogos :) Bem, talvez apenas para se divertir.
De tudo o que foi dito acima, segue-se que a expectativa matemática não é mais um valor ALEATÓRIO.
Tarefa criativa para pesquisa independente:
Exemplo 4
O Sr. X joga roleta europeia usando o seguinte sistema: ele aposta constantemente 100 rublos no “vermelho”. Elabore uma lei de distribuição de uma variável aleatória - seus ganhos. Calcule a expectativa matemática de ganhos e arredonde-a para o copeque mais próximo. Quantos média O jogador perde por cada cem que aposta?
Referência : A roleta europeia contém 18 setores vermelhos, 18 pretos e 1 setor verde (“zero”). Se aparecer um “vermelho”, o jogador recebe o dobro da aposta, caso contrário, vai para o rendimento do casino
Existem muitos outros sistemas de roleta para os quais você pode criar suas próprias tabelas de probabilidades. Mas este é o caso quando não precisamos de quaisquer leis de distribuição e tabelas, porque foi estabelecido com certeza que a expectativa matemática do jogador será exatamente a mesma. A única coisa que muda de sistema para sistema é
O conceito de expectativa matemática pode ser considerado usando o exemplo do lançamento de um dado. A cada lançamento, os pontos perdidos são registrados. Para expressá-los, são utilizados valores naturais na faixa de 1 a 6.
Após um certo número de lançamentos, por meio de cálculos simples, é possível encontrar a média aritmética dos pontos lançados.
Assim como a ocorrência de qualquer um dos valores do intervalo, esse valor será aleatório.
E se você aumentar o número de lançamentos várias vezes? Com um grande número de lançamentos, a média aritmética dos pontos se aproximará de um número específico, que na teoria das probabilidades é chamado de expectativa matemática.
Portanto, por expectativa matemática entendemos o valor médio de uma variável aleatória. Este indicador também pode ser apresentado como uma soma ponderada de valores prováveis.
Este conceito possui vários sinônimos:
- valor médio;
- valor médio;
- indicador de tendência central;
- primeiro momento.
Em outras palavras, nada mais é do que um número em torno do qual se distribuem os valores de uma variável aleatória.
Em diferentes esferas da atividade humana, as abordagens para compreender as expectativas matemáticas serão um pouco diferentes.
Pode ser considerado como:
- o benefício médio obtido na tomada de uma decisão, quando tal decisão é considerada do ponto de vista da teoria dos grandes números;
- a quantidade possível de ganhos ou perdas (teoria do jogo), calculada em média para cada aposta. Na gíria, soam como “vantagem do jogador” (positiva para o jogador) ou “vantagem do cassino” (negativa para o jogador);
- porcentagem do lucro recebido dos ganhos.
A expectativa não é obrigatória para absolutamente todas as variáveis aleatórias. Está ausente para quem tem discrepância na soma ou integral correspondente.
Propriedades da expectativa matemática
Como qualquer parâmetro estatístico, a expectativa matemática possui as seguintes propriedades:
Fórmulas básicas para expectativa matemática
O cálculo da expectativa matemática pode ser realizado tanto para variáveis aleatórias caracterizadas tanto pela continuidade (fórmula A) quanto pela discrição (fórmula B):
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, onde xi são os valores da variável aleatória, pi são as probabilidades:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, onde f(x) é a densidade de probabilidade dada.
Exemplos de cálculo de expectativa matemática
Exemplo A.
É possível descobrir a altura média dos anões no conto de fadas da Branca de Neve. Sabe-se que cada um dos 7 anões tinha uma certa altura: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 e 0,81m.
O algoritmo de cálculo é bastante simples:
- encontramos a soma de todos os valores do indicador de crescimento (variável aleatória):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Divida o valor resultante pelo número de gnomos:
6,31:7=0,90.
Assim, a altura média dos gnomos em um conto de fadas é de 90 cm. Em outras palavras, esta é a expectativa matemática do crescimento dos gnomos.
Fórmula de trabalho - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6
Implementação prática da expectativa matemática
O cálculo do indicador estatístico de expectativa matemática é utilizado em diversas áreas da atividade prática. Em primeiro lugar, estamos a falar da esfera comercial. Afinal, a introdução deste indicador pela Huygens está associada à determinação das chances que podem ser favoráveis, ou, pelo contrário, desfavoráveis, para algum evento.
Esse parâmetro é muito utilizado para avaliar riscos, principalmente quando se trata de aplicações financeiras.
Assim, nos negócios, o cálculo da expectativa matemática atua como método de avaliação de risco no cálculo dos preços.
Este indicador também pode ser utilizado para calcular a eficácia de determinadas medidas, por exemplo, a proteção do trabalho. Graças a ele, você pode calcular a probabilidade de ocorrência de um evento.
Outra área de aplicação deste parâmetro é a gestão. Também pode ser calculado durante o controle de qualidade do produto. Por exemplo, usando mat. expectativas, você pode calcular o número possível de peças defeituosas produzidas.
A expectativa matemática também se mostra indispensável na realização do processamento estatístico dos resultados obtidos durante a pesquisa científica. Ele permite calcular a probabilidade de um resultado desejado ou indesejável de um experimento ou estudo dependendo do nível de cumprimento da meta. Afinal, sua conquista pode estar associada a ganhos e benefícios, e seu fracasso pode estar associado a perdas ou prejuízos.
Usando expectativa matemática em Forex
A aplicação prática deste parâmetro estatístico é possível na realização de transações no mercado de câmbio. Com sua ajuda, você pode analisar o sucesso das transações comerciais. Além disso, um aumento no valor esperado indica um aumento no seu sucesso.
Também é importante lembrar que a expectativa matemática não deve ser considerada o único parâmetro estatístico utilizado para analisar o desempenho de um trader. A utilização de diversos parâmetros estatísticos juntamente com o valor médio aumenta significativamente a precisão da análise.
Este parâmetro provou ser bom no monitoramento de observações de contas de negociação. Graças a ele é realizada uma rápida avaliação do trabalho realizado na conta de depósito. Nos casos em que a atividade do trader é bem-sucedida e ele evita perdas, não é recomendado utilizar exclusivamente o cálculo da expectativa matemática. Nestes casos, os riscos não são levados em consideração, o que reduz a eficácia da análise.
Estudos realizados sobre as táticas dos traders indicam que:
- As táticas mais eficazes são aquelas baseadas na entrada aleatória;
- As menos eficazes são as táticas baseadas em informações estruturadas.
Para alcançar resultados positivos, não menos importantes são:
- táticas de gestão de dinheiro;
- estratégias de saída.
Usando um indicador como a expectativa matemática, você pode prever qual será o lucro ou perda ao investir 1 dólar. Sabe-se que este indicador, calculado para todos os jogos praticados no casino, é favorável ao estabelecimento. É isso que permite que você ganhe dinheiro. No caso de uma longa série de jogos, a probabilidade de um cliente perder dinheiro aumenta significativamente.
Os jogos disputados por jogadores profissionais são limitados a curtos períodos de tempo, o que aumenta a probabilidade de vitória e reduz o risco de derrota. O mesmo padrão é observado na realização de operações de investimento.
Um investidor pode ganhar uma quantia significativa tendo expectativas positivas e realizando um grande número de transações em um curto período de tempo.
A expectativa pode ser pensada como a diferença entre o percentual de lucro (PW) multiplicado pelo lucro médio (AW) e a probabilidade de perda (PL) multiplicada pela perda média (AL).
Como exemplo podemos considerar o seguinte: posição – 12,5 mil dólares, carteira – 100 mil dólares, risco de depósito – 1%. A rentabilidade das transações é de 40% dos casos com lucro médio de 20%. Em caso de perda, a perda média é de 5%. O cálculo da expectativa matemática para a transação dá um valor de US$ 625.
A próxima propriedade mais importante de uma variável aleatória após a expectativa matemática é sua dispersão, definida como o desvio quadrático médio da média:
Se denotado por então, a variância VX será o valor esperado. Esta é uma característica da “dispersão” da distribuição de X.
Como um exemplo simples de cálculo de variância, digamos que acabamos de receber uma oferta que não podemos recusar: alguém nos deu dois certificados para a mesma loteria. Os organizadores da loteria vendem 100 bilhetes todas as semanas, participando de um sorteio separado. O sorteado seleciona um desses bilhetes por meio de um processo aleatório uniforme - cada bilhete tem chances iguais de ser selecionado - e o dono desse bilhete da sorte recebe cem milhões de dólares. Os restantes 99 titulares de bilhetes de loteria não ganham nada.
Podemos usar o presente de duas maneiras: comprar dois bilhetes em uma loteria ou um para participar de duas loterias diferentes. Qual estratégia é melhor? Vamos tentar analisar isso. Para fazer isso, denotaremos por variáveis aleatórias o tamanho dos nossos ganhos no primeiro e no segundo bilhetes. O valor esperado em milhões é
e o mesmo é verdade para os valores esperados são aditivos, então nosso retorno total médio será
independentemente da estratégia adotada.
No entanto, as duas estratégias parecem diferentes. Vamos além dos valores esperados e estudar a distribuição de probabilidade completa
Se comprarmos dois bilhetes na mesma loteria, nossas chances de não ganhar nada serão de 98% e 2% - as chances de ganhar 100 milhões. Se comprarmos ingressos para sorteios diferentes, os números serão os seguintes: 98,01% - chance de não ganhar nada, que é um pouco maior que antes; 0,01% - chance de ganhar 200 milhões, também um pouco mais que antes; e a chance de ganhar 100 milhões agora é de 1,98%. Assim, no segundo caso, a distribuição de magnitudes é um pouco mais dispersa; o valor médio, US$ 100 milhões, é um pouco menos provável, enquanto os extremos são mais prováveis.
É este conceito de propagação de uma variável aleatória que a dispersão pretende refletir. Medimos o spread através do quadrado do desvio de uma variável aleatória em relação à sua expectativa matemática. Assim, no caso 1 a variância será
no caso 2 a variância é
Como esperávamos, este último valor é ligeiramente maior, uma vez que a distribuição no caso 2 é um pouco mais dispersa.
Quando trabalhamos com variâncias, tudo é elevado ao quadrado, então o resultado pode ser números bem grandes. (O multiplicador é de um trilhão, o que deve ser impressionante
até mesmo jogadores acostumados a apostas grandes.) Para converter valores em uma escala original mais significativa, muitas vezes é obtida a raiz quadrada da variância. O número resultante é chamado de desvio padrão e geralmente é denotado pela letra grega a:
Os desvios padrão de magnitude para nossas duas estratégias de loteria são . De certa forma, a segunda opção é cerca de US$ 71.247 mais arriscada.
Como a variância ajuda na escolha de uma estratégia? Não está claro. Uma estratégia com maior variância é mais arriscada; mas o que é melhor para a nossa carteira – risco ou jogo seguro? Tenhamos a oportunidade de comprar não dois ingressos, mas cem. Então poderíamos garantir ganhar uma loteria (e a variância seria zero); ou você poderia jogar em cem sorteios diferentes, não obtendo nada com probabilidade, mas tendo uma chance diferente de zero de ganhar até dólares. A escolha de uma dessas alternativas está além do escopo deste livro; tudo o que podemos fazer aqui é explicar como fazer os cálculos.
Na verdade, existe uma maneira mais simples de calcular a variância do que diretamente usando a definição (8.13). (Há todos os motivos para suspeitar de algum tipo de matemática oculta aqui; caso contrário, por que a variância nos exemplos de loteria acabaria sendo um múltiplo inteiro? Temos
desde então - constante; por isso,
“A variância é a média do quadrado menos o quadrado da média.”
Por exemplo, no problema da loteria, o valor médio acaba sendo ou a subtração (o quadrado da média) dá resultados que já obtivemos anteriormente de uma forma mais difícil.
Existe, no entanto, uma fórmula ainda mais simples que se aplica quando calculamos X e Y independentes.
já que, como sabemos, para variáveis aleatórias independentes Portanto,
“A variância da soma das variáveis aleatórias independentes é igual à soma das suas variâncias.” Assim, por exemplo, a variância do valor que pode ser ganho com um bilhete de loteria é igual a
Portanto, a dispersão dos ganhos totais de dois bilhetes de loteria em duas loterias diferentes (independentes) será O valor de dispersão correspondente para bilhetes de loteria independentes será
A variância da soma dos pontos lançados em dois dados pode ser obtida pela mesma fórmula, pois é a soma de duas variáveis aleatórias independentes. Nós temos
para o cubo correto; portanto, no caso de um centro de massa deslocado
portanto, se ambos os cubos tiverem um centro de massa deslocado. Observe que neste último caso a variância é maior, embora assuma um valor médio de 7 com mais frequência do que no caso dos dados normais. Se nosso objetivo é obter mais setes da sorte, então a variância não é o melhor indicador de sucesso.
Ok, estabelecemos como calcular a variância. Mas ainda não demos uma resposta à questão de por que é necessário calcular a variância. Todo mundo faz isso, mas por quê? A principal razão é a desigualdade de Chebyshev, que estabelece uma importante propriedade de dispersão:
(Essa desigualdade difere das desigualdades de Chebyshev para somas que encontramos no Capítulo 2.) Em um nível qualitativo, (8.17) afirma que a variável aleatória X raramente assume valores distantes de sua média se sua variância VX for pequena. Prova
a gestão é extraordinariamente simples. Realmente,
a divisão por completa a prova.
Se denotarmos a expectativa matemática por a e o desvio padrão por a e substituirmos em (8.17) por então a condição se transforma em portanto, obtemos de (8.17)
Assim, X estará dentro de - vezes o desvio padrão de sua média, exceto nos casos em que a probabilidade não exceda. A variável aleatória estará dentro de 2a de pelo menos 75% das tentativas; variando de a - pelo menos 99%. Estes são casos da desigualdade de Chebyshev.
Se você jogar alguns dados uma vez, a soma total de pontos em todos os lançamentos será quase sempre próxima de. A razão para isso é a seguinte: a variância dos lançamentos independentes será A variância em significa o desvio padrão de tudo.
Portanto, da desigualdade de Chebyshev obtemos que a soma dos pontos ficará entre
pelo menos 99% de todos os lançamentos de dados corretos. Por exemplo, o resultado de um milhão de lançamentos com probabilidade superior a 99% estará entre 6,976 milhões e 7,024 milhões.
Em geral, seja X qualquer variável aleatória no espaço de probabilidade Π tendo uma expectativa matemática finita e um desvio padrão finito a. Então podemos considerar o espaço de probabilidade Pn, cujos eventos elementares são -sequências onde cada um, e a probabilidade é definida como
Se agora definirmos variáveis aleatórias pela fórmula
então o valor
será a soma das variáveis aleatórias independentes, que corresponde ao processo de soma das realizações independentes do valor X em P. A expectativa matemática será igual a e o desvio padrão - ; portanto, o valor médio das realizações,
variará de a em pelo menos 99% do período de tempo. Em outras palavras, se você escolher um valor grande o suficiente, a média aritmética dos testes independentes estará quase sempre muito próxima do valor esperado (nos livros didáticos de teoria da probabilidade, um teorema ainda mais forte é provado, chamado de lei forte dos grandes números; mas para nós, o simples corolário da desigualdade de Chebyshev, que acabamos de retirar.)
Às vezes não conhecemos as características do espaço de probabilidade, mas precisamos estimar a expectativa matemática de uma variável aleatória X usando observações repetidas de seu valor. (Por exemplo, podemos querer a temperatura média do meio-dia de Janeiro em São Francisco; ou podemos querer saber a esperança de vida na qual os agentes de seguros devem basear os seus cálculos.) Se tivermos observações empíricas independentes à nossa disposição, podemos assumir que o a verdadeira expectativa matemática é aproximadamente igual
Você também pode estimar a variação usando a fórmula
Olhando para esta fórmula, você pode pensar que há um erro tipográfico nela; Parece que deveria estar lá como em (8.19), uma vez que o verdadeiro valor da dispersão é determinado em (8.15) através dos valores esperados. No entanto, substituir aqui por permite-nos obter uma melhor estimativa, uma vez que decorre da definição (8.20) que
Aqui está a prova:
(Neste cálculo contamos com a independência das observações quando substituímos por)
Na prática, para avaliar os resultados de um experimento com uma variável aleatória X, geralmente calcula-se a média empírica e o desvio padrão empírico e depois escreve-se a resposta na forma Aqui, por exemplo, estão os resultados do lançamento de um par de dados, presumivelmente correto.