Równania wykładnicze i nierówności. Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych

Rozważmy przykład: rozwiąż nierówność (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Zauważ, że 4 = (0,5) 2 . Wtedy nierówność przyjmie postać (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Otrzymujemy: 7 - 3*x>-2.

Stąd: x<3.

Odpowiedź: x<3.

Gdyby podstawa nierówności była większa od jedności, to przy pozbywaniu się podstawy nie byłoby potrzeby zmiany znaku nierówności.

Na tej lekcji przyjrzymy się różnym nierównościom wykładniczym i nauczymy się, jak je rozwiązywać, w oparciu o technikę rozwiązywania najprostszych nierówności wykładniczych

1. Definicja i własności funkcji wykładniczej

Przypomnijmy definicję i podstawowe własności funkcji wykładniczej. Rozwiązanie wszystkich równań wykładniczych i nierówności opiera się na tych własnościach.

Funkcja wykładnicza jest funkcją postaci , gdzie podstawa jest stopniem, a tutaj x jest zmienną niezależną, argumentem; y jest zmienną zależną, funkcją.

Ryż. 1. Wykres funkcji wykładniczej

Wykres przedstawia wykładniki rosnące i malejące, ilustrując funkcję wykładniczą o podstawie odpowiednio większej niż jeden i mniejszej niż jeden, ale większej niż zero.

Obie krzywe przechodzą przez punkt (0;1)

Własności funkcji wykładniczej:

Domena: ;

Zakres wartości: ;

Funkcja jest monotoniczna, rośnie wraz z, maleje wraz z.

Funkcja monotoniczna przyjmuje każdą ze swoich wartości podając wartość pojedynczego argumentu.

Kiedy , gdy argument rośnie od minus do plus nieskończoności, funkcja rośnie od zera włącznie do plus nieskończoności, tj. dla danych wartości argumentu mamy funkcję rosnącą monotonicznie (). Przeciwnie, gdy argument rośnie od minus do plus nieskończoności, funkcja maleje od nieskończoności do zera włącznie, czyli dla danych wartości argumentu mamy funkcję malejącą monotonicznie ().

2. Najprostsze nierówności wykładnicze, metoda rozwiązania, przykład

Na podstawie powyższego przedstawiamy metodę rozwiązywania prostych nierówności wykładniczych:

Technika rozwiązywania nierówności:

Wyrównaj podstawy stopni;

Porównaj wskaźniki, utrzymując lub zmieniając znak nierówności na przeciwny.

Rozwiązanie złożonych nierówności wykładniczych zwykle polega na sprowadzeniu ich do najprostszych nierówności wykładniczych.

Podstawa stopnia jest większa od jedności, co oznacza, że ​​znak nierówności zostaje zachowany:

Przekształćmy prawą stronę zgodnie z właściwościami stopnia:

Podstawa stopnia jest mniejsza niż jeden, znak nierówności należy odwrócić:

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, rozwiązujemy odpowiednie równanie kwadratowe:

Korzystając z twierdzenia Viety, znajdujemy pierwiastki:

Gałęzie paraboli są skierowane w górę.

Mamy zatem rozwiązanie nierówności:

Łatwo zgadnąć, że prawą stronę można przedstawić jako potęgę z wykładnikiem zerowym:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności się nie zmienia, otrzymujemy:

Przypomnijmy technikę rozwiązywania takich nierówności.

Rozważ funkcję ułamkowo-wymierną:

Znajdujemy dziedzinę definicji:

Znajdowanie pierwiastków funkcji:

Funkcja ma jeden pierwiastek,

Wybieramy przedziały znaku stałego i wyznaczamy znaki funkcji na każdym przedziale:

Ryż. 2. Przedziały stałości znaku

W ten sposób otrzymaliśmy odpowiedź.

Odpowiedź:

3. Rozwiązywanie standardowych nierówności wykładniczych

Rozważmy nierówności z tymi samymi wskaźnikami, ale różnymi podstawami.

Jedną z właściwości funkcji wykładniczej jest to, że dla dowolnej wartości argumentu przyjmuje ona wartości ściśle dodatnie, co oznacza, że ​​można ją podzielić na funkcję wykładniczą. Podzielmy podaną nierówność przez jej prawą stronę:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności zostaje zachowany.

Zilustrujmy rozwiązanie:

Rysunek 6.3 przedstawia wykresy funkcji i . Oczywiście, gdy argument jest większy od zera, wykres funkcji jest wyższy, funkcja ta jest większa. Gdy wartości argumentów są ujemne, funkcja spada, jest mniejsza. Jeśli argument jest równy, funkcje są równe, co oznacza, że ​​ten punkt jest również rozwiązaniem danej nierówności.

Ryż. 3. Ilustracja na przykład 4

Przekształćmy podaną nierówność ze względu na własności stopnia:

Oto kilka podobnych terminów:

Podzielmy obie części na:

Teraz kontynuujemy rozwiązanie podobnie jak w przykładzie 4, dzieląc obie części przez:

Podstawa stopnia jest większa niż jeden, znak nierówności pozostaje:

4. Graficzne rozwiązanie nierówności wykładniczych

Przykład 6 - Rozwiąż nierówność graficznie:

Przyjrzyjmy się funkcjom po lewej i prawej stronie i zbudujmy wykres dla każdej z nich.

Funkcja jest wykładnicza i rośnie w całej swojej dziedzinie definicji, tj. Dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu.

Funkcja jest liniowa i maleje w całej swojej dziedzinie definicji, czyli dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu.

Jeśli te funkcje się przecinają, czyli układ ma rozwiązanie, to rozwiązanie takie jest unikalne i można je łatwo odgadnąć. Aby to zrobić, iterujemy po liczbach całkowitych ()

Łatwo zauważyć, że korzeniem tego układu jest:

Zatem wykresy funkcji przecinają się w punkcie z argumentem równym jeden.

Teraz musimy uzyskać odpowiedź. Znaczenie danej nierówności jest takie, że wykładnik musi być większy lub równy funkcji liniowej, to znaczy być wyższy lub z nią pokrywać się. Odpowiedź jest oczywista: (rysunek 6.4)

Ryż. 4. Ilustracja przykładowa 6

Przyjrzeliśmy się więc rozwiązaniu różnych standardowych nierówności wykładniczych. Następnie przejdziemy do rozważenia bardziej złożonych nierówności wykładniczych.

Bibliografia

Mordkovich A. G. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Drop. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Oświecenie.

Matematyka. md. Matematyka-powtórka. kom. Różnić się. kemsu. ru.

Praca domowa

1. Algebra i początki analizy, klasy 10-11 (A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr 472, 473;

2. Rozwiąż nierówność:

3. Rozwiąż nierówność.

Uniwersytet Państwowy w Biełgorodzie

DZIAŁ algebrę, teorię liczb i geometrię

Temat pracy: Równania i nierówności potęg wykładniczych.

Praca dyplomowa student Wydziału Fizyki i Matematyki

Doradca naukowy:

______________________________

Recenzent: _______________________________

________________________

Biełgorod. 2006

Wstęp.

„...radość widzenia i zrozumienia…”

A. Einsteina.

W tej pracy starałem się przekazać moje doświadczenie jako nauczyciela matematyki, choć w pewnym stopniu oddać mój stosunek do jej nauczania - ludzkiego przedsięwzięcia, w którym nauki matematyczne, pedagogika, dydaktyka, psychologia, a nawet filozofia są ze sobą zaskakująco powiązane.

Miałem okazję pracować z dziećmi i absolwentami, z dziećmi na skraju rozwoju intelektualnego: tymi, które były zarejestrowane u psychiatry i które naprawdę interesowały się matematyką

Miałem okazję rozwiązać wiele problemów metodologicznych. Postaram się opowiedzieć o tych, które udało mi się rozwiązać. Ale jeszcze więcej zawiodło i nawet w tych, które wydają się zostać rozwiązane, pojawiają się nowe pytania.

Ale jeszcze ważniejsze od samego doświadczenia są refleksje i wątpliwości nauczyciela: dlaczego to jest właśnie to, to doświadczenie?

A lato jest teraz inne, a rozwój edukacji stał się ciekawszy. „Pod Jowiszami” nie jest dziś poszukiwaniem mitycznego optymalnego systemu nauczania „wszystkich i wszystkiego”, ale samego dziecka. Ale potem - z konieczności - nauczyciel.

W szkolnym toku algebry i na początku analizy, w klasach 10-11, przy zdaniu Unified State Exam dla kursu w szkole średniej i na egzaminach wstępnych na uniwersytety spotyka się równania i nierówności zawierające niewiadomą w podstawie i wykładnikach - te są równaniami wykładniczymi i nierównościami.

W szkole poświęca się im niewiele uwagi, w podręcznikach praktycznie nie ma zadań na ten temat. Wydaje mi się jednak, że opanowanie metodologii ich rozwiązywania jest bardzo przydatne: zwiększa zdolności umysłowe i twórcze uczniów, a przed nami otwierają się zupełnie nowe horyzonty. Rozwiązując problemy, studenci nabywają pierwsze umiejętności pracy badawczej, wzbogacają swoją kulturę matematyczną i rozwijają zdolności logicznego myślenia. Dzieci w wieku szkolnym rozwijają takie cechy osobowości, jak determinacja, wyznaczanie celów i niezależność, które przydadzą im się w późniejszym życiu. Istnieje także powtarzanie, rozszerzanie i głęboka asymilacja materiału edukacyjnego.

Pracę nad tym tematem w ramach mojej pracy magisterskiej zacząłem od napisania zajęć. W trakcie dogłębnych studiów i analizy literatury matematycznej na ten temat zidentyfikowałem najodpowiedniejszą metodę rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych.

Polega na tym, że oprócz ogólnie przyjętego podejścia przy rozwiązywaniu równań wykładniczych (przyjmuje się, że podstawa jest większa niż 0) i przy rozwiązywaniu tych samych nierówności (przyjmuje się, że podstawa jest większa niż 1 lub większa niż 0, ale mniejsza niż 1) , rozważane są również przypadki, gdy podstawy są ujemne, równe 0 i 1.

Z analizy pisemnych prac egzaminacyjnych uczniów wynika, że ​​brak uwzględnienia w podręcznikach szkolnych zagadnienia o ujemnej wartości argumentu funkcji wykładniczej nastręcza im szereg trudności i prowadzi do błędów. A problemy mają też na etapie usystematyzowania uzyskanych wyników, gdzie w wyniku przejścia do równania – konsekwencji lub nierówności – w konsekwencji mogą pojawić się obce pierwiastki. W celu wyeliminowania błędów stosujemy test z wykorzystaniem pierwotnego równania lub nierówności oraz algorytm rozwiązywania równań wykładniczych, lub plan rozwiązywania nierówności wykładniczych.

Uważam, że aby studenci pomyślnie zdali egzaminy końcowe i wstępne, należy zwracać większą uwagę na rozwiązywanie równań wykładniczych i nierówności na zajęciach lub dodatkowo w zajęciach fakultatywnych i klubowych.

Zatem temat moją tezę zdefiniowano następująco: „Równania potęg wykładniczych i nierówności”.

Cele tej pracy to:

1. Przeanalizuj literaturę na ten temat.

2. Podaj pełną analizę rozwiązań równań wykładniczych i nierówności.

3. Podaj wystarczającą liczbę przykładów różnego typu na ten temat.

4. Sprawdź na zajęciach klasowych, fakultatywnych i klubowych, jak będą postrzegane proponowane metody rozwiązywania równań wykładniczych i nierówności. Podaj odpowiednie zalecenia dotyczące studiowania tego tematu.

Temat Nasze badania mają na celu opracowanie metodologii rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych.

Cel i przedmiot badań wymagał rozwiązania następujących problemów:

1. Przestudiuj literaturę na temat: „Równania potęg wykładniczych i nierówności”.

2. Opanować techniki rozwiązywania równań wykładniczych i nierówności.

3. Wybierz materiał szkoleniowy i opracuj system ćwiczeń na różnych poziomach na temat: „Rozwiązywanie równań wykładniczych i nierówności”.

W trakcie badań magisterskich przeanalizowano ponad 20 prac dotyczących zastosowania różnych metod rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych. Stąd dostajemy.

Plan pracy dyplomowej:

Wstęp.

Rozdział I. Analiza literatury dotyczącej tematu badań.

Rozdział II. Funkcje i ich własności stosowane w rozwiązywaniu równań wykładniczych i nierówności.

II.1. Funkcja potęgowa i jej własności.

II.2. Funkcja wykładnicza i jej własności.

Rozdział III. Rozwiązywanie równań potęg wykładniczych, algorytm i przykłady.

Rozdział IV. Rozwiązywanie nierówności wykładniczych, plan rozwiązania i przykłady.

Rozdział V. Doświadczenia w prowadzeniu zajęć z dziećmi w wieku szkolnym na ten temat.

1.Materiały szkoleniowe.

2.Zadania do samodzielnego rozwiązania.

Wniosek. Wnioski i oferty.

Wykaz używanej literatury.

W rozdziale I dokonano analizy literatury

Wiele osób uważa, że ​​nierówności wykładnicze są czymś złożonym i niezrozumiałym. I że nauczenie się ich rozwiązywania to niemal wielka sztuka, którą tylko Wybrani są w stanie pojąć...

Kompletny nonsens! Nierówności wykładnicze są łatwe. I zawsze można je rozwiązać w prosty sposób. No prawie zawsze :)

Dzisiaj przyjrzymy się temu tematowi od wewnątrz i od zewnątrz. Ta lekcja będzie bardzo przydatna dla tych, którzy dopiero zaczynają rozumieć tę część matematyki szkolnej. Zacznijmy od prostych problemów i przejdźmy do bardziej złożonych. Ciężkiej pracy dzisiaj nie będzie, ale to co teraz przeczytasz wystarczy, żeby rozwiązać większość nierówności we wszelkiego rodzaju testach i samodzielnej pracy. I na tym twoim egzaminie też.

Jak zawsze zacznijmy od definicji. Nierówność wykładnicza to dowolna nierówność zawierająca funkcję wykładniczą. Innymi słowy, zawsze można to sprowadzić do nierówności formy

\[((a)^(x)) \gt b\]

Gdzie rolą $b$ może być zwykła liczba, a może coś trudniejszego. Przykłady? Tak proszę:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ kwadrat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(align)\]

Myślę, że znaczenie jest jasne: istnieje funkcja wykładnicza $((a)^(x))$, jest ona porównywana z czymś, a następnie proszona o znalezienie $x$. W szczególnie klinicznych przypadkach zamiast zmiennej $x$ można postawić jakąś funkcję $f\left(x \right)$ i w ten sposób nieco skomplikować nierówność :)

Oczywiście w niektórych przypadkach nierówność może wydawać się poważniejsza. Na przykład:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Albo nawet to:

Ogólnie rzecz biorąc, złożoność takich nierówności może być bardzo różna, ale ostatecznie sprowadzają się one do prostej konstrukcji $((a)^(x)) \gt b$. I jakoś wymyślimy taką konstrukcję (w szczególnie przypadkach klinicznych, gdy nic nie przychodzi nam do głowy, pomogą nam logarytmy). Dlatego teraz nauczymy Cię, jak rozwiązywać takie proste konstrukcje.

Rozwiązywanie prostych nierówności wykładniczych

Rozważmy coś bardzo prostego. Na przykład to:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Oczywiście liczbę po prawej stronie można przepisać jako potęgę dwójki: $4=((2)^(2))$. Zatem pierwotną nierówność można zapisać w bardzo wygodnej formie:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

A teraz aż mnie swędzą ręce, żeby „skreślić” dwójki w podstawach potęg, żeby otrzymać odpowiedź $x \gt 2$. Ale zanim cokolwiek skreślimy, przypomnijmy sobie potęgę dwójki:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Jak widać, im większa liczba w wykładniku, tym większa liczba wyjściowa. „Dzięki, Cap!” – zawoła jeden z uczniów. Czy jest inaczej? Niestety, to się zdarza. Na przykład:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ prawo))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Tutaj również wszystko jest logiczne: im większy stopień, tym więcej razy liczba 0,5 jest mnożona przez siebie (tj. Dzielona na pół). Zatem wynikowy ciąg liczb jest malejący, a różnica między pierwszą a drugą sekwencją występuje tylko w podstawie:

• Jeśli podstawa stopnia $a \gt 1$, to wraz ze wzrostem wykładnika $n$ liczba $((a)^(n))$ również wzrośnie;
• I odwrotnie, jeśli $0 \lt a \lt 1$, to wraz ze wzrostem wykładnika $n$ liczba $((a)^(n))$ będzie się zmniejszać.

Podsumowując te fakty, otrzymujemy najważniejsze stwierdzenie, na którym opiera się całe rozwiązanie nierówności wykładniczych:

Jeśli $a \gt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $x \gt n$. Jeśli $0 \lt a \lt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $x \lt n$.

Innymi słowy, jeśli podstawa jest większa niż jedność, możesz ją po prostu usunąć - znak nierówności nie ulegnie zmianie. A jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, można ją również usunąć, ale jednocześnie będziesz musiał zmienić znak nierówności.

Należy pamiętać, że nie uwzględniliśmy opcji $a=1$ i $a\le 0$. Ponieważ w takich przypadkach pojawia się niepewność. Powiedzmy, jak rozwiązać nierówność postaci $((1)^(x)) \gt 3$? Jeden do dowolnej potęgi znowu da jeden - nigdy nie dostaniemy trzech lub więcej. Te. nie ma rozwiązań.

Z powodów negatywnych wszystko jest jeszcze bardziej interesujące. Rozważmy na przykład tę nierówność:

\[((\lewo(-2 \prawo))^(x)) \gt 4\]

Na pierwszy rzut oka wszystko jest proste:

Prawidłowy? Ale nie! Wystarczy zastąpić kilka liczb parzystych i kilka nieparzystych zamiast $x$, aby mieć pewność, że rozwiązanie jest błędne. Spójrz:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Jak widać, znaki są naprzemienne. Ale są też potęgi ułamkowe i inne bzdury. Jak na przykład zamówić obliczenie $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dwa do potęgi siedem)? Nie ma mowy!

Dlatego dla pewności zakładamy, że we wszystkich nierównościach wykładniczych (a przy okazji także w równaniach) $1\ne a \gt 0$. A potem wszystko zostało rozwiązane bardzo prosto:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Ogólnie rzecz biorąc, pamiętaj jeszcze raz o głównej zasadzie: jeśli podstawa równania wykładniczego jest większa niż jeden, możesz ją po prostu usunąć; a jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, można ją również usunąć, ale znak nierówności ulegnie zmianie.

Przykłady rozwiązań

Przyjrzyjmy się zatem kilku prostym nierównościom wykładniczym:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Podstawowe zadanie we wszystkich przypadkach jest takie samo: sprowadzić nierówności do najprostszej postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Dokładnie to samo teraz zrobimy z każdą nierównością, jednocześnie powtarzając własności stopni i funkcji wykładniczych. Więc chodźmy!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Co możesz tutaj zrobić? Cóż, po lewej stronie mamy już orientacyjne wyrażenie - nic nie trzeba zmieniać. Ale po prawej stronie jest jakiś badziew: ułamek, a nawet pierwiastek z mianownika!

Pamiętajmy jednak o zasadach pracy z ułamkami i potęgami:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Co to znaczy? Po pierwsze, możemy łatwo pozbyć się ułamka, zamieniając go na potęgę o wykładniku ujemnym. A po drugie, skoro mianownik ma pierwiastek, fajnie byłoby zamienić go na potęgę - tym razem z wykładnikiem ułamkowym.

Zastosujmy te działania sekwencyjnie do prawej strony nierówności i zobaczmy, co się stanie:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \prawo))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \lewo(-1 \prawo)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nie zapominaj, że podnosząc stopień do potęgi, wykładniki tych stopni sumują się. Ogólnie rzecz biorąc, pracując z równaniami wykładniczymi i nierównościami, absolutnie konieczne jest poznanie przynajmniej najprostszych zasad pracy z potęgami:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Właściwie właśnie zastosowaliśmy ostatnią zasadę. Dlatego nasza pierwotna nierówność zostanie przepisana w następujący sposób:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Teraz pozbywamy się tej dwójki u podstawy. Ponieważ 2 > 1, znak nierówności pozostanie taki sam:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie! Główna trudność wcale nie polega na funkcji wykładniczej, ale na właściwej transformacji pierwotnego wyrażenia: musisz ostrożnie i szybko doprowadzić je do najprostszej formy.

Rozważmy drugą nierówność:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tak sobie. Tutaj czekają na nas ułamki dziesiętne. Jak mówiłem wiele razy, w każdym wyrażeniu z potęgami należy pozbyć się ułamków dziesiętnych - często jest to jedyny sposób na szybkie i proste rozwiązanie. Tutaj pozbędziemy się:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Strzałka w prawo ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\lewo(\frac(1)(10) \prawo))^(2)). \\\end(align)\]

Tutaj znowu mamy najprostszą nierówność i to nawet o podstawie 1/10, tj. mniej niż jeden. Cóż, usuwamy podstawy, jednocześnie zmieniając znak z „mniej” na „więcej” i otrzymujemy:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Uwaga: odpowiedź jest właśnie zbiorem, a w żadnym wypadku konstrukcją w postaci $x \lt -1$. Bo formalnie taka konstrukcja nie jest w ogóle zbiorem, tylko nierównością względem zmiennej $x$. Tak, to bardzo proste, ale to nie jest odpowiedź!

Ważna uwaga. Nierówność tę można rozwiązać w inny sposób - sprowadzając obie strony do potęgi o podstawie większej niż jeden. Spójrz:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Strzałka w prawo ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Po takim przekształceniu ponownie otrzymamy nierówność wykładniczą, ale o podstawie 10 > 1. Oznacza to, że możemy po prostu skreślić dziesiątkę – znak nierówności nie ulegnie zmianie. Otrzymujemy:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Jak widać, odpowiedź była dokładnie taka sama. Jednocześnie uchroniliśmy się od konieczności zmiany znaku i ogólnie pamiętamy o wszelkich zasadach :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Jednak nie pozwól, aby Cię to przestraszyło. Bez względu na to, co znajduje się we wskaźnikach, sama technologia rozwiązywania nierówności pozostaje taka sama. Dlatego zauważmy najpierw, że 16 = 2 4. Przepiszmy pierwotną nierówność, biorąc pod uwagę ten fakt:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Brawo! Mamy zwykłą nierówność kwadratową! Znak nigdzie się nie zmienił, ponieważ podstawa to dwa - liczba większa niż jeden.

Zera funkcji na osi liczbowej

Ustawiamy znaki funkcji $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - oczywiście jej wykres będzie parabolą z gałęziami w górę, więc będą „plusy” " na bokach. Nas interesuje obszar, w którym funkcja jest mniejsza od zera, tj. $x\in \left(2;5 \right)$ jest odpowiedzią na pierwotny problem.

Na koniec rozważmy inną nierówność:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ponownie widzimy funkcję wykładniczą z ułamkiem dziesiętnym u podstawy. Zamieniamy ten ułamek na ułamek zwykły:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\lewo(((5)^(-1)) \prawo))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

W tym przypadku skorzystaliśmy z uwagi podanej wcześniej - w celu uproszczenia dalszego rozwiązania zredukowaliśmy bazę do liczby 5 > 1. Zróbmy to samo z prawą stroną:

\[\frac(1)(25)=((\lewo(\frac(1)(5) \prawo))^(2))=((\lewo(((5)^(-1)) \ prawo))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Przepiszmy pierwotną nierówność uwzględniając obie transformacje:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Podstawy po obu stronach są takie same i przekraczają jeden. Po prawej i lewej stronie nie ma innych terminów, więc po prostu „przekreślamy” piątki i otrzymujemy bardzo proste wyrażenie:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Tutaj trzeba zachować większą ostrożność. Wielu uczniów lubi po prostu wyciągać pierwiastek kwadratowy z obu stron nierówności i zapisywać coś w rodzaju $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. W żadnym wypadku nie powinno się tego robić , ponieważ pierwiastkiem dokładnego kwadratu jest moduł, a w żadnym wypadku zmienna pierwotna:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\lewo| x\prawo|\]

Jednak praca z modułami nie należy do najprzyjemniejszych, prawda? Więc nie będziemy pracować. Zamiast tego po prostu przesuwamy wszystkie wyrazy w lewo i rozwiązujemy zwykłą nierówność za pomocą metody przedziałowej:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(wyrównaj)$

Ponownie zaznaczamy uzyskane punkty na osi liczbowej i patrzymy na znaki:

Ponieważ rozwiązywaliśmy nieścisłą nierówność, wszystkie punkty na wykresie zostały zacienione. Dlatego odpowiedź będzie następująca: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nie jest przedziałem, ale segmentem.

Ogólnie rzecz biorąc, chciałbym zauważyć, że nie ma nic skomplikowanego w nierównościach wykładniczych. Znaczenie wszystkich przekształceń, które dzisiaj wykonaliśmy, sprowadza się do prostego algorytmu:

• Znajdź podstawę, do której sprowadzimy wszystkie stopnie;
• Ostrożnie wykonaj przekształcenia, aby otrzymać nierówność w postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Oczywiście zamiast zmiennych $x$ i $n$ mogą istnieć znacznie bardziej złożone funkcje, ale znaczenie się nie zmieni;
• Przekreśl podstawy stopni. W tym przypadku znak nierówności może się zmienić, jeśli podstawa $a \lt 1$.

W rzeczywistości jest to uniwersalny algorytm rozwiązywania wszystkich takich nierówności. A wszystko inne, co Ci powiedzą na ten temat, to tylko konkretne techniki i triki, które uproszczą i przyspieszą transformację. Porozmawiamy teraz o jednej z tych technik :)

Metoda racjonalizacji

Rozważmy inny zestaw nierówności:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Co więc jest w nich takiego wyjątkowego? Są lekkie. Chociaż przestań! Czy liczbę π podniesiono do jakiejś potęgi? Co za bezsens?

Jak podnieść liczbę $2\sqrt(3)-3$ do potęgi? Lub $3-2\sqrt(2)$? Autorzy problemu najwyraźniej wypili za dużo Hawthorn, zanim zabrali się do pracy :)

Tak naprawdę nie ma nic strasznego w tych zadaniach. Przypomnę: funkcja wykładnicza jest wyrażeniem w postaci $((a)^(x))$, gdzie podstawą $a$ jest dowolna liczba dodatnia z wyjątkiem jedności. Liczba π jest dodatnia – to już wiemy. Liczby $2\sqrt(3)-3$ i $3-2\sqrt(2)$ są również dodatnie - łatwo to sprawdzić, jeśli porównasz je z zerem.

Okazuje się, że wszystkie te „przerażające” nierówności rozwiązuje się tak samo jak proste omówione powyżej? I czy są one rozwiązywane w ten sam sposób? Tak, to całkowicie słuszne. Jednak na ich przykładzie chciałbym rozważyć jedną technikę, która znacznie oszczędza czas na samodzielnej pracy i egzaminach. Porozmawiamy o metodzie racjonalizacji. Zatem uwaga:

Dowolna nierówność wykładnicza postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ po prawej) \gt 0 $.

To jest cała metoda. :) Myślałeś, że będzie jakaś inna gra? Nic takiego! Ale ten prosty fakt, zapisany dosłownie w jednym wierszu, znacznie uprości naszą pracę. Spójrz:

\[\begin(macierz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Zatem nie ma już funkcji wykładniczych! I nie musisz pamiętać, czy znak się zmienia, czy nie. Ale pojawia się nowy problem: co zrobić z tym cholernym mnożnikiem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nie wiemy, jaka jest dokładna wartość liczby π. Jednak kapitan wydaje się wskazywać na oczywistość:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\około 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Ogólnie rzecz biorąc, dokładna wartość π tak naprawdę nas nie dotyczy - ważne jest tylko, abyśmy zrozumieli, że w każdym przypadku $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. jest to stała dodatnia i możemy przez nią podzielić obie strony nierówności:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać, w pewnym momencie musieliśmy podzielić przez minus jeden - i zmienił się znak nierówności. Na koniec rozwinąłem trójmian kwadratowy korzystając z twierdzenia Viety - oczywiste jest, że pierwiastki są równe $((x)_(1))=5$ i $((x)_(2))=-1$ . Następnie wszystko rozwiązuje się klasyczną metodą interwałową:

Wszystkie punkty są usuwane, ponieważ pierwotna nierówność jest ścisła. Nas interesuje region o wartościach ujemnych, więc odpowiedź brzmi $x\in \left(-1;5 \right)$. To jest rozwiązanie.

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\lewo(2\sqrt(3)-3 \prawo))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Wszystko tutaj jest ogólnie proste, ponieważ po prawej stronie znajduje się jednostka. I pamiętamy, że jeden to dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej. Nawet jeśli ta liczba jest wyrażeniem irracjonalnym u podstawy po lewej stronie:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \prawo))^(0)); \\\end(align)\]

Cóż, racjonalizujmy:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Pozostaje tylko znaleźć znaki. Współczynnik $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nie zawiera zmiennej $x$ - jest to po prostu stała i musimy znaleźć jej znak. Aby to zrobić, zwróć uwagę na następujące kwestie:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(macierz)\]

Okazuje się, że drugi czynnik nie jest tylko stałą, ale stałą ujemną! A przy dzieleniu przez nią znak pierwotnej nierówności zmienia się na przeciwny:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Teraz wszystko staje się zupełnie oczywiste. Pierwiastki trójmianu kwadratowego po prawej stronie to: $((x)_(1))=0$ i $((x)_(2))=2$. Zaznaczamy je na osi liczbowej i patrzymy na znaki funkcji $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Nas interesują interwały oznaczone znakiem plus. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź:

Przejdźmy do następnego przykładu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ prawo))^(16-x))\]

Cóż, tutaj wszystko jest zupełnie oczywiste: w podstawach znajdują się potęgi tej samej liczby. Dlatego napiszę wszystko krótko:

\[\begin(macierz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\lewo(((3)^(-2)) \prawo))^(16-x)) \\\end(macierz)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ lewo(16-x \prawo))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać w procesie transformacji musieliśmy pomnożyć przez liczbę ujemną, więc zmienił się znak nierówności. Na sam koniec ponownie zastosowałem twierdzenie Viety do rozłożenia na czynniki trójmianu kwadratowego. W rezultacie odpowiedź będzie następująca: $x\in \left(-8;4 \right)$ - każdy może to sprawdzić rysując oś liczbową, zaznaczając punkty i licząc znaki. Tymczasem przejdziemy do ostatniej nierówności z naszego „zbioru”:

\[((\lewo(3-2\sqrt(2) \prawo))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Jak widać, u podstawy znów znajduje się liczba niewymierna, a po prawej stronie znowu jednostka. Dlatego przepisujemy naszą nierówność wykładniczą w następujący sposób:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ prawo))^(0))\]

Stosujemy racjonalizację:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Jednakże jest całkiem oczywiste, że $1-\sqrt(2) \lt 0$, ponieważ $\sqrt(2)\około 1,4... \gt 1$. Dlatego drugi czynnik jest ponownie stałą ujemną, na którą można podzielić obie strony nierówności:

\[\begin(macierz) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(macierz)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Przenieś się do innej bazy

Osobnym problemem przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych jest poszukiwanie „właściwej” bazy. Niestety, nie zawsze na pierwszy rzut oka przy zadaniu jest oczywiste, co przyjąć za podstawę i co zrobić w zależności od stopnia tej podstawy.

Ale nie martw się: nie ma tu żadnej magii ani „tajnej” technologii. W matematyce każdą umiejętność, której nie można poddać algorytmizacji, można łatwo rozwinąć poprzez praktykę. Ale w tym celu będziesz musiał rozwiązać problemy o różnych poziomach złożoności. Na przykład tak:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ koniec(wyrównaj)\]

Trudny? Straszny? To łatwiejsze niż uderzenie kurczaka w asfalt! Spróbujmy. Pierwsza nierówność:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Cóż, myślę, że tutaj wszystko jest jasne:

Przepisujemy pierwotną nierówność, redukując wszystko do podstawy dwa:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Tak, tak, dobrze słyszałeś: właśnie zastosowałem opisaną powyżej metodę racjonalizacji. Teraz musimy pracować ostrożnie: mamy nierówność ułamkowo-wymierną (to taka, która ma zmienną w mianowniku), więc zanim zrównamy cokolwiek do zera, musimy sprowadzić wszystko do wspólnego mianownika i pozbyć się stałego czynnika .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Teraz używamy standardowej metody interwałowej. Zera licznika: $x=\pm 4$. Mianownik dąży do zera tylko wtedy, gdy $x=0$. Na osi liczbowej należy zaznaczyć w sumie trzy punkty (wszystkie punkty są zaznaczone, ponieważ znak nierówności jest ścisły). Otrzymujemy:

Jak można się domyślić, cieniowanie oznacza te przedziały, w których wyrażenie po lewej stronie przyjmuje wartości ujemne. Dlatego ostateczna odpowiedź będzie obejmować dwa przedziały jednocześnie:

Końce przedziałów nie są uwzględnione w odpowiedzi, ponieważ pierwotna nierówność była ścisła. Nie jest wymagana dalsza weryfikacja tej odpowiedzi. Pod tym względem nierówności wykładnicze są znacznie prostsze niż nierówności logarytmiczne: bez ODZ, bez ograniczeń itp.

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Tutaj też nie ma żadnych problemów, skoro wiemy już, że $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, więc całą nierówność można przepisać następująco:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\lewo(-2 \prawo) \prawo. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Uwaga: w trzeciej linii postanowiłem nie tracić czasu na drobiazgi i od razu podzielić wszystko przez (-2). Minul wszedł do pierwszego nawiasu (teraz wszędzie są plusy), a dwa zmniejszono o stały współczynnik. Dokładnie tak należy postępować przygotowując realne obliczenia do pracy samodzielnej i testowej - nie trzeba opisywać każdej akcji i transformacji.

Następnie w grę wchodzi znana metoda interwałów. Zera licznikowe: ale ich nie ma. Ponieważ dyskryminator będzie ujemny. Z kolei mianownik jest resetowany dopiero wtedy, gdy $x=0$ - tak jak ostatnim razem. Otóż ​​jasne jest, że na prawo od $x=0$ ułamek będzie przyjmować wartości dodatnie, a na lewo - ujemne. Ponieważ interesują nas wartości ujemne, ostateczna odpowiedź brzmi: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Co należy zrobić z ułamkami dziesiętnymi w nierównościach wykładniczych? Zgadza się: pozbądź się ich, zamieniając je w zwykłe. Tutaj przetłumaczymy:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\prawo))^(x)). \\\end(align)\]

Co więc otrzymaliśmy z podstaw funkcji wykładniczych? I otrzymaliśmy dwie wzajemnie odwrotne liczby:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ prawo))^(x))=((\lewo(((\lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(-1)) \prawo))^(x))=((\ lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(-x))\]

Zatem pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \prawo))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Oczywiście przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie ich wykładniki sumują się, co miało miejsce w drugim wierszu. Dodatkowo reprezentowaliśmy jednostkę po prawej stronie, również jako potęgę w podstawie 4/25. Pozostaje tylko racjonalizować:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Zauważ, że $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi czynnik jest stałą ujemną i przy dzieleniu przez niego znak nierówności ulegnie zmianie:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Strzałka w prawo x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Na koniec ostatnia nierówność z bieżącego „zbioru”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

W zasadzie idea rozwiązania tutaj jest również jasna: wszystkie funkcje wykładnicze zawarte w nierówności należy sprowadzić do podstawy „3”. Ale w tym celu będziesz musiał trochę majstrować przy korzeniach i mocach:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Biorąc te fakty pod uwagę, pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Zwróć uwagę na drugą i trzecią linię obliczeń: zanim zrobisz cokolwiek z nierównością, pamiętaj o doprowadzeniu jej do postaci, o której mówiliśmy na samym początku lekcji: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Tak długo, jak masz pewne lewoskrętne czynniki, dodatkowe stałe itp. po lewej lub prawej stronie, nie można dokonywać racjonalizacji ani „przekreślania” podstaw! Niezliczone zadania zostały wykonane niepoprawnie z powodu niezrozumienia tego prostego faktu. Sam stale obserwuję ten problem u moich uczniów, kiedy dopiero zaczynamy analizować nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Wróćmy jednak do naszego zadania. Spróbujmy obejść się tym razem bez racjonalizacji. Pamiętajmy: podstawa stopnia jest większa od jedności, więc trójki można po prostu skreślić – znak nierówności się nie zmieni. Otrzymujemy:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

To wszystko. Ostateczna odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolowanie stabilnego wyrażenia i zastępowanie zmiennej

Podsumowując, proponuję rozwiązać jeszcze cztery nierówności wykładnicze, które są już dość trudne dla nieprzygotowanych studentów. Aby sobie z nimi poradzić, należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami. W szczególności wyjmowanie wspólnych czynników z nawiasów.

Ale najważniejsze jest, aby nauczyć się rozumieć, co dokładnie można wyjąć z nawiasów. Takie wyrażenie nazywamy stabilnym - można je oznaczyć nową zmienną i w ten sposób pozbyć się funkcji wykładniczej. Spójrzmy więc na zadania:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Zacznijmy od pierwszej linijki. Zapiszmy tę nierówność osobno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Zauważ, że $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, więc prawa ręka stronę można przepisać:

Zauważ, że w nierówności nie ma innych funkcji wykładniczych poza $((5)^(x+1))$. I ogólnie zmienna $x$ nie występuje nigdzie indziej, więc wprowadźmy nową zmienną: $((5)^(x+1))=t$. Otrzymujemy następującą konstrukcję:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\wiek 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Wracamy do pierwotnej zmiennej ($t=((5)^(x+1))$), pamiętając jednocześnie, że 1=5 0 . Mamy:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie! Odpowiedź: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Przejdźmy do drugiej nierówności:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tutaj wszystko jest takie samo. Zauważ, że $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Następnie lewą stronę można przepisać:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \prawo. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Strzałka w prawo x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

W przybliżeniu tak trzeba sporządzić rozwiązanie do prawdziwych testów i samodzielnej pracy.

Cóż, spróbujmy czegoś bardziej skomplikowanego. Oto na przykład nierówność:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Jaki jest tutaj problem? Przede wszystkim podstawy funkcji wykładniczych po lewej stronie są różne: 5 i 25. Jednak 25 = 5 · 2, więc pierwszy wyraz można przekształcić:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Jak widać, najpierw sprowadziliśmy wszystko do tej samej podstawy, a potem zauważyliśmy, że pierwszy wyraz można łatwo sprowadzić do drugiego - wystarczy rozwinąć wykładnik. Teraz możesz już bezpiecznie wprowadzić nową zmienną: $((5)^(2x+2))=t$, a cała nierówność zostanie przepisana następująco:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

I znowu żadnych trudności! Ostateczna odpowiedź: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Przejdźmy do ostatniej nierówności na dzisiejszej lekcji:

\[((\lewo(0,5 \prawo))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest oczywiście ułamek dziesiętny w podstawie pierwszej potęgi. Trzeba się go pozbyć, a jednocześnie doprowadzić wszystkie funkcje wykładnicze do tej samej podstawy - liczby „2”:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\lewo(((2)^(-1)) \prawo))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Strzałka w prawo ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Świetnie, zrobiliśmy pierwszy krok – wszystko doprowadziło do tego samego fundamentu. Teraz musisz wybrać stabilne wyrażenie. Zauważ, że $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jeśli wprowadzimy nową zmienną $((2)^(4x+6))=t$, to pierwotną nierówność można zapisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Naturalnie może pojawić się pytanie: jak odkryliśmy, że 256 = 2 · 8? Niestety, tutaj wystarczy znać potęgę dwójki (a jednocześnie potęgę trójki i piątki). Cóż, albo podziel 256 przez 2 (możesz podzielić, ponieważ 256 to liczba parzysta), aż otrzymamy wynik. Będzie to wyglądać mniej więcej tak:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

To samo dotyczy trójki (liczby 9, 27, 81 i 243 to jej stopnie) i siódemki (liczby 49 i 343 też warto zapamiętać). Cóż, ta piątka ma również „piękne” stopnie naukowe, które musisz znać:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Oczywiście, jeśli chcesz, wszystkie te liczby można przywrócić w umyśle, po prostu mnożąc je sukcesywnie przez siebie. Jeśli jednak musisz rozwiązać kilka nierówności wykładniczych, a każda kolejna jest trudniejsza od poprzedniej, to ostatnią rzeczą, o której chcesz myśleć, są potęgi niektórych liczb. I w tym sensie problemy te są bardziej złożone niż „klasyczne” nierówności rozwiązywane metodą przedziałową.

Lekcja i prezentacja na temat: „Równania wykładnicze i nierówności wykładnicze”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 11
Podręcznik interaktywny dla klas 9–11 „Trygonometria”
Podręcznik interaktywny dla klas 10–11 „Logarity”

Definicja równań wykładniczych

Definicja. Równania postaci: $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdzie $a>0$, $a≠1$ nazywane są równaniami wykładniczymi.

Pamiętając o twierdzeniach, które badaliśmy w temacie „ Funkcja wykładnicza„, możemy wprowadzić nowe twierdzenie:
Twierdzenie. Równanie wykładnicze$a^(f(x))=a^(g(x))$, gdzie $a>0$, $a≠1$ jest równoważne równaniu $f(x)=g(x)$.

Przykłady równań wykładniczych

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Wtedy nasze równanie można przepisać: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
2 x + 0,2 = 0,2 dolara.
$x=0$.
Odpowiedź: $x = 0 $.

C) Pierwotne równanie jest równoważne równaniu: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ i $x_2=-3$.
Odpowiedź: $x_1=6$ i $x_2=-3$.

Przykład.
Rozwiąż równanie: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Rozwiązanie:
Wykonajmy po kolei serię działań i sprowadźmy obie strony naszego równania do tych samych podstaw.
Wykonajmy szereg operacji po lewej stronie:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Przejdźmy do prawej strony:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Oryginalne równanie jest równoważne równaniu:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odpowiedź: $x = 0 $.

Przykład.
Rozwiąż równanie: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Rozwiązanie:
Przepiszmy nasze równanie: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Dokonajmy zmiany zmiennych, niech $a=3^x$.
W nowym równanie zmienne przyjmie postać: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ i $a_2=3$.
Dokonajmy odwrotnej zamiany zmiennych: $3^x=-12$ i $3^x=3$.
Na ostatniej lekcji dowiedzieliśmy się, że wyrażenia wykładnicze mogą przyjmować tylko wartości dodatnie, pamiętaj o wykresie. Oznacza to, że pierwsze równanie nie ma rozwiązań, drugie równanie ma jedno rozwiązanie: $x=1$.
Odpowiedź: $x = 1 $.

Przypomnijmy, jak rozwiązywać równania wykładnicze:
1. Metoda graficzna. Reprezentujemy obie strony równania w postaci funkcji i budujemy ich wykresy, znajdujemy punkty przecięcia wykresów. (Użyliśmy tej metody na ostatniej lekcji).
2. Zasada równości wskaźników. Zasada opiera się na fakcie, że dwa wyrażenia with na tej samej podstawie są równe wtedy i tylko wtedy, gdy stopnie (wskaźniki) tych podstaw są równe. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Zmienna metoda wymiany. Ta metoda Warto skorzystać, jeśli równanie przy zamianie zmiennych upraszcza swoją postać i jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania.

Przykład.
Rozwiąż układ równań: $\begin (przypadki) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (przypadki)$.
Rozwiązanie.
Rozważmy oba równania układu osobno:
27 $^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
3 $^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Rozważmy drugie równanie:
4 $^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Skorzystajmy z metody zmiany zmiennych, niech $y=2^(x+y)$.
Wówczas równanie przyjmie postać:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ i $y_2=-3$.
Przejdźmy do zmiennych początkowych, z pierwszego równania otrzymujemy $x+y=2$. Drugie równanie nie ma rozwiązań. Potem nasze układ początkowy równania są równoważne układowi: $\begin (przypadki) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (przypadki)$.
Odejmij drugą część od pierwszego równania i otrzymaj: $\begin (przypadki) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (przypadki)$.
$\begin (przypadki) y=-1, \\ x=3. \end (przypadki)$.
Odpowiedź: $(3;-1)$.

Nierówności wykładnicze

Twierdzenie. Jeśli $a>1$, to nierówność wykładnicza$a^(f(x))>a^(g(x))$ jest równoważne nierówności $f(x)>g(x)$.
Jeśli $0 a^(g(x))$ jest równoważne nierówności $f(x)

Przykład.
Rozwiąż nierówności:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Rozwiązanie.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Nasza nierówność jest równoważna nierówności:
2x+3>4$.
2x>1$.
$x > 0,5 $.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) W naszym równaniu podstawą jest stopień jest mniejsza niż 1, wówczas Zastępując nierówność równoważną, należy zmienić znak.
2x-4>2$.
$x>3$.

C) Nasza nierówność jest równoważna nierówności:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Skorzystajmy z metody rozwiązania przedziałowego:
Odpowiedź: $(-∞;-5]U)