Wykres równania liniowego dwóch zmiennych. §22. wykres równania liniowego dwóch zmiennych

Wiesz, że każda uporządkowana para liczb odpowiada konkretnemu punktowi na płaszczyźnie współrzędnych. Ponieważ każde rozwiązanie równania z dwiema zmiennymi x i y jest uporządkowaną parą liczb, wszystkie jego rozwiązania można przedstawić za pomocą punktów na płaszczyźnie współrzędnych. W tych punktach odcięta jest wartością zmiennej x, a rzędna jest odpowiadającą wartością zmiennej y. Otrzymujemy zatem wykres równania z dwiema zmiennymi.

Pamiętać!

Wykres równania z dwiema zmiennymi jest obrazem na płaszczyźnie współrzędnych wszystkich punktów, których współrzędne spełniają dane równanie.

Spójrz na rysunki 64 i 65. Widzisz wykres równania 0,5 x - y = 2, gdzie x jest parzystą liczbą jednocyfrową (Rysunek 64) oraz wykres równania x 2 + y 2 = 4 (Rysunek 64) 65). Pierwszy wykres zawiera tylko cztery punkty, ponieważ zmienne x i y mogą przyjmować tylko cztery wartości. Drugi wykres to linia na płaszczyźnie współrzędnych. Zawiera wiele punktów, ponieważ zmienna x może przyjmować dowolną wartość od -2 do 2, a takich liczb jest wiele. Istnieje również wiele odpowiednich wartości. Różnią się od 2 do 2.

Rysunek 66 przedstawia wykres równania x + y = 4. W przeciwieństwie do wykresu równania x 2 + y 2 = 4 (patrz ryc. 65), każdemu punktowi odciętemu tego wykresu odpowiada pojedyncza rzędna. Oznacza to, że Rysunek 66 przedstawia wykres funkcji. Przekonaj się, że wykres równania na rysunku 64 jest także wykresem funkcji.

notatka

Nie każde równanie ma wykres funkcji, ale każdy wykres funkcji jest wykresem jakiegoś równania.

Równanie x + y = 4 jest równaniem liniowym z dwiema zmiennymi. Po rozwiązaniu tego dla y otrzymujemy: y = -x + 4. Otrzymaną równość można rozumieć jako wzór określający funkcję liniową y = -x + 4. Wykres takiej funkcji jest linią prostą. Zatem wykres równania liniowego x + y = 4, pokazany na rysunku 66, jest linią prostą.

Czy można powiedzieć, że wykres dowolnego równania liniowego dwóch zmiennych jest linią prostą? NIE. Przykładowo równanie liniowe 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 spełnia dowolna para liczb, dlatego na wykresie tego równania znajdują się wszystkie punkty płaszczyzny współrzędnych.

Dowiedzmy się, jaki jest wykres równania liniowego z dwiema zmiennymi ax + bу + c = 0 w zależności od wartości współczynników a, b i c. Takie przypadki są możliwe.

Niech a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Wtedy równanie ax + by + c = 0 można przedstawić jako:

Otrzymaliśmy równość określającą funkcję liniową y(x). Jego wykres, a co za tym idzie wykres tego równania, jest linią prostą, która nie przechodzi przez początek współrzędnych (ryc. 67).

2. Niech a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0. Wtedy równanie ax + by + c = 0 przyjmuje postać ax + by + 0 = 0 lub y = x.

Otrzymaliśmy równość, która określa bezpośrednią proporcjonalność do y(x). Jego wykres, a co za tym idzie wykres tego równania, jest linią prostą przechodzącą przez początek współrzędnych (ryc. 68).

3. Niech a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Wtedy równanie ax + by + c = 0 przyjmuje postać ax + 0 ∙ y + c = 0 lub x = -.

Otrzymana równość nie określa funkcji y(). Równość tę spełniają takie pary liczb (x; y), w których x = , a y jest dowolną liczbą. Na płaszczyźnie współrzędnych punkty te leżą na linii prostej równoległej do osi OY. Zatem wykres tego równania jest linią prostą równoległą do osi rzędnych (ryc. 69).

4. Niech a ≠ 0, b = 0, c = 0. Wtedy równanie ax + by + c = 0 przyjmuje postać ax + 0 ∙ y + 0 = 0 lub x = 0.

Równość tę spełniają takie pary liczb (x; y), w których x = 0, a y jest dowolną liczbą. Na płaszczyźnie współrzędnych punkty te leżą na osi OY. Zatem wykres tego równania jest linią prostą pokrywającą się z osią rzędnych.

5. Niech a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠0. Następnie równanie ax + bу + c = 0 przyjmuje postać 0 ∙ x + by + c = 0 lub y = -. Ta równość definiuje funkcję y(x), która przyjmuje te same wartości dla dowolnych wartości x, czyli jest stała. Jego wykres, a co za tym idzie wykres tego równania, jest linią prostą równoległą do osi odciętej (ryc. 70).

6. Niech a = 0, b ≠ 0, c = 0. Wtedy równanie ax + by + c = 0 przyjmuje postać 0 ∙ x + by + 0 = 0, czyli b = 0. Otrzymaliśmy stałą funkcję y( x), w którym każdy punkt wykresu leży na osi OX. Zatem wykres tego równania jest linią prostą pokrywającą się z osią odciętych.

7. Niech a = 0, b = 0, c ≠ 0. Wtedy równanie ax + by + c = 0 przyjmuje postać 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, czyli 0 ∙ x + 0 ∙ b = c . A takie równanie liniowe nie ma rozwiązań, więc jego wykres nie zawiera ani jednego punktu na płaszczyźnie współrzędnych.

8. Niech a = 0, b = 0, c = 0. Wtedy równanie ax + by + c = 0 przyjmuje postać 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0, czyli 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 Takie równanie liniowe ma wiele rozwiązań, zatem jego wykresem jest cała płaszczyzna współrzędnych.

Możemy podsumować uzyskane wyniki.

Wykres równania liniowego z dwiema zmiennymi ax + bу + с = 0:

Jest prosty, jeśli a ≠ 0 lub b ≠ 0;

Jest całą płaszczyzną, jeśli a = 0, b = 0 i c = 0;

Nie zawiera ani jednego punktu płaszczyzny współrzędnych, jeśli a = 0, b = 0 i c ≠ 0.

Zadanie. Narysuj równanie 2x - y - 3 = 0

Rozwiązania. Równanie 2x - y - 3 = 0 jest liniowe. Zatem jej wykresem jest linia y = 2x - 3. Aby ją skonstruować wystarczy wskazać dwa punkty należące do tej prostej. Zróbmy tabelę wartości y dla dwóch dowolnych wartości x, na przykład dla x = 0 i x = 2 (Tabela 27).

Tabela 27

Na płaszczyźnie współrzędnych wyznaczamy punkty o współrzędnych (0; -3) i (2; 1) i przeciągamy przez nie linię prostą (ryc. 70). Ta linia prosta jest pożądanym wykresem równania 2x - y - 3 = 0.

Czy można zidentyfikować wykres równania liniowego z dwiema zmiennymi i wykres równania pierwszego stopnia z dwiema zmiennymi? Nie, ponieważ istnieją równania liniowe, które nie są równaniami pierwszego stopnia. Są to na przykład równanie 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0.

Notatka:

Wykres równania liniowego dwóch zmiennych może być linią prostą, całą płaszczyzną lub nie zawierać ani jednego punktu na płaszczyźnie współrzędnych;

Wykres równania pierwszego stopnia dwóch zmiennych jest zawsze prosty.

Dowiedz się więcej

1. Niech a ≠ 0. Wtedy ogólne rozwiązanie równania można również przedstawić w postaci: X = - y -. Otrzymaliśmy funkcję liniową x(y). Jej wykres jest linią prostą. Aby skonstruować taki wykres, konieczne jest odmienne połączenie osi współrzędnych: pierwsza oś współrzędnych (zmienna niezależna) jest uważana za oś wzmacniacza operacyjnego, a druga (zmienna zależna)

Oś OX. Wtedy wygodnie jest ustawić oś OU poziomo, a oś OX

Pionowo (ryc. 72). Wykres równania w tym przypadku również będzie różnie umiejscowiony na płaszczyźnie współrzędnych w zależności od oznaczeń współczynników b i c. Odkryj to sam.

2. Nikołaj Nikołajewicz Bogolubow (1909-1992) – wybitny rosyjski matematyk i mechanik, fizyk teoretyczny, założyciel szkół naukowych z zakresu mechaniki nieliniowej i fizyki teoretycznej, akademik Akademii Nauk Ukraińskiej SRR (1948) i Akademii Nauk ZSRR (od 1953 r.). Urodzony w Niżnym Nowogrodzie w Imperium Rosyjskim. W 1921 rodzina przeniosła się do Kijowa. Po ukończeniu siedmioletniej szkoły Bogolyubov samodzielnie studiował fizykę i matematykę, a od 14 roku życia brał już udział w seminarium na Wydziale Fizyki Matematycznej Uniwersytetu Kijowskiego pod kierunkiem akademika D. A. Grave’a. W 1924 roku w wieku 15 lat wiek letni Bogolyubov napisał swoją pierwszą pracę naukową, a w następnym roku został przyjęty przez akademików do szkoły podyplomowej ANURSR. M. Kryłowa, którą ukończył w 1929 roku, uzyskując stopień doktora nauk matematycznych w wieku 20 lat.

W 1929 s. MM. Bogolubow został pracownikiem naukowym Ukraińskiej Akademii Nauk, a w 1934 r. rozpoczął pracę dydaktyczną na Uniwersytecie Kijowskim (od 1936 r. – profesor). Od końca lat 40. XX w. Jednocześnie pracował w Rosji. Był dyrektorem Wspólnego Instytutu Badań Jądrowych, a później dyrektorem Instytutu Matematycznego im. A. Stekłowa w Moskwie, wykładał na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym im. Michaiła Łomonosowa. W 1966 roku został pierwszym dyrektorem utworzonego przez siebie Instytutu Fizyki Teoretycznej Ukraińskiej Akademii Nauk w Kijowie, a jednocześnie (1963-1988) był pracownikiem naukowym i sekretarzem Wydziału Matematyki Ukraińskiej Akademii Nauk w Kijowie. Akademia Nauk ZSRR.

MM. Bogolubow - dwukrotnie Bohater Pracy Socjalistycznej (1969,1979), odznaczony Nagrodą Lenina (1958), Nagrodą Państwową ZSRR (1947.1953,1984), Złotym Medalem. Akademia Nauk ZSRR im. M. V. Łomonosowa (1985).

21 września 2009 roku na fasadzie Czerwonego Budynku Kijowskiego Uniwersytetu Narodowego im. Tarasa Szewczenki odsłonięto tablicę pamiątkową poświęconą wybitnemu akademikowi Nikołajowi Bogolubowowi z okazji setnej rocznicy jego urodzin.

W 1992 roku Narodowa Akademia Nauk Ukrainy ufundowała Nagrodę N.M. Bogolyubova NAS Ukrainy, przyznawaną przez Wydział Matematyki NAS Ukrainy za wybitną pracę naukową w dziedzinie matematyki i fizyki teoretycznej. Na cześć naukowca nazwano małą planetę „22616 Bogolyubov”.

PAMIĘTAJ O WAŻNYM

1. Jaki jest wykres równania liniowego dwóch zmiennych?

2. W każdym przypadku wykres równania z dwiema zmiennymi jest linią prostą; samolot?

3. W jakim przypadku wykres równania liniowego dwóch zmiennych przechodzi przez początek?

ROZWIĄZYWAĆ PROBLEMY

1078 . Który z rysunków 73-74 przedstawia wykres równania liniowego dwóch zmiennych? Wyjaśnij swoją odpowiedź.

1079 . Przy jakich wartościach współczynników a, b i c jest topór linii prostej + bу + c = 0.

1) przechodzi przez początek;

2) równolegle do osi x;

3) równolegle do osi rzędnych;

4) pokrywa się z osią odciętych;

5) pokrywa się z osią rzędnych?

1080 . Nie wykonując konstrukcji, określ, czy punkt należy do wykresu równania liniowego z dwiema zmiennymi 6x - 2y + 1 = 0:

1)A(-1;2,5); 2)B(0;3,5); 3) C(-2; 5,5); 4)D(1,5;5).

1081 . Nie wykonując konstrukcji, określ, czy punkt należy do wykresu równania liniowego z dwiema zmiennymi 3x + 3y - 5 = 0:

1) A (-1; ); 2) B (0; 1).

1082

1) 2x + y - 4 = 0 jeśli x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0 jeśli x = 2;

2) 4x - 2y + 5 = 0 jeśli x = 0; 4) -5x - y + 6 = 0 jeśli x = 2.

1083 . Mając równanie liniowe dwóch zmiennych, znajdź wartość y odpowiadającą podanej wartości x:

1)3x - y + 2 = 0 jeśli x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0 jeśli x = 2.

1084

1) 2x + y - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;

2) 6x - 2 lata + 12 = 0; 5)-x - 2y + 4 = 0; 8)-2у + 4 = 0;

3) 5x - 10 lat = 0; 6)x - y = 0; 9) x - y = 0.

1085 . Utwórz wykres równania liniowego z dwiema zmiennymi:

1) 4x + y - 3 = 0; 4) 10x - 5 lat - 1 = 0;

2) 9x - 3 lata + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;

3) -4x - 8y = 0; 6) y - 3 = 0.

1086 . Znajdź współrzędne punktu przecięcia wykresu równania liniowego z dwiema zmiennymi 2x - 3y - 18 = 0 z osią:

1) osie; 2) osie.

1087 . Znajdź współrzędne punktu przecięcia wykresu równania liniowego z dwiema zmiennymi 5x + 4y - 20 = 0 z osią:

1) osie; 2) osie.

1088 . Na linii prostej, będącej wykresem równania 0,5 x + 2y - 4 = 0, wskazany jest punkt. Znajdź rzędną tego punktu, jeśli jego odcięta wynosi:

5) 4(x - y) = 4 - 4y;

6) 7x - 2y = 2(1 + 3,5 x).

1094 . Wykres równania liniowego dwóch zmiennych przechodzi przez punkt A(3; -2). Znajdź nieznany współczynnik równania:

1) topór + 3 lata - 3 = 0;

2) 2x - o + 8 = 0;

3)-x + 3y - c = 0.

1095 . Określ rodzaj czworokąta, którego wierzchołki są punktami przecięcia wykresów równań:

x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0

1096 . Wykreśl równanie:

1) a - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ za + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ za + 0 ∙ b + 5 = 0.

WPROWADŹ TO W PRAKTYKĘ

1097 . Utwórz równanie liniowe z dwiema zmiennymi na podstawie następujących danych: 1) 3 kg słodyczy i 2 kg ciastek kosztuje 120 UAH; 2) 2 długopisy są o 20 UAH droższe niż 5 ołówków. Narysuj wykres utworzonego równania.

1098 . Utwórz wykres równania problemu dotyczącego: 1) liczby dziewcząt i chłopców w twojej klasie; 2) zakup notesów w linie i w kratkę.

PRZEGLĄDAJ PROBLEMY

1099. Turysta przeszedł w ciągu godziny 12 km. W jakim czasie turysta przejedzie z tą samą prędkością odległość 20 km?

1100. Jaka powinna być prędkość pociągu według nowego rozkładu jazdy, aby odległość między dwiema stacjami pokonała w ciągu 2,5 godziny, jeżeli według starego rozkładu, jadąc z prędkością 100 km/h, pokonała ją w 3 godziny?

§ 1 Dobór pierwiastków równań w sytuacjach rzeczywistych

Rozważmy tę realną sytuację:

Mistrz i uczeń wspólnie wykonali 400 niestandardowych części. Ponadto mistrz pracował przez 3 dni, a uczeń przez 2 dni. Ile części wykonała każda osoba?

Stwórzmy algebraiczny model tej sytuacji. Pozwól mistrzowi wyprodukować części w ciągu 1 dnia. A uczeń tkwi w szczegółach. Następnie mistrz wykona 3 części w 3 dni, a uczeń 2 części w 2 dni. Razem wyprodukują 3 + 2 części. Ponieważ zgodnie z warunkiem wyprodukowano w sumie 400 części, otrzymujemy równanie:

Wynikowe równanie nazywa się równaniem liniowym dwóch zmiennych. Tutaj musimy znaleźć parę liczb x i y, dla których równanie przybierze postać prawdziwej równości liczbowej. Zauważ, że jeśli x = 90, y = 65, to otrzymujemy równość:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Ponieważ uzyskano poprawną równość liczbową, rozwiązaniem tego równania będzie para liczb 90 i 65. Jednak znalezione rozwiązanie nie jest jedyne. Jeśli x = 96 i y = 56, to otrzymujemy równość:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Jest to również prawdziwa równość liczbowa, co oznacza, że ​​para liczb 96 i 56 jest również rozwiązaniem tego równania. Ale para liczb x = 73 i y = 23 nie będzie rozwiązaniem tego równania. Tak naprawdę 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 da nam niepoprawną równość liczbową 265 = 400. Należy zauważyć, że jeśli rozważymy równanie w odniesieniu do tej rzeczywistej sytuacji, to pojawią się pary liczb, które będąc rozwiązanie tego równania nie będzie rozwiązaniem problemu. Na przykład kilka liczb:

x = 200 i y = -100

jest rozwiązaniem równania, ale student nie potrafi zrobić -100 części, a zatem taka para liczb nie może być odpowiedzią na pytanie. Zatem w każdej konkretnej sytuacji rzeczywistej konieczne jest rozsądne podejście do wyboru pierwiastków równania.

Podsumujmy pierwsze wyniki:

Równanie w postaci ax + bу + c = 0, gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami, nazywa się równaniem liniowym z dwiema zmiennymi.

Rozwiązaniem równania liniowego dwóch zmiennych jest para liczb odpowiadających x i y, dla których równanie zamienia się w prawdziwą równość liczbową.

§ 2 Wykres równania liniowego

Już sam zapis pary (x;y) skłania do zastanowienia się nad możliwością przedstawienia jej jako punktu o współrzędnych xy y na płaszczyźnie. Oznacza to, że możemy otrzymać model geometryczny konkretnej sytuacji. Rozważmy na przykład równanie:

2x + y - 4 = 0

Wybierzmy kilka par liczb, które będą rozwiązaniami tego równania i skonstruujmy punkty o znalezionych współrzędnych. Niech to będą punkty:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).

Zauważ, że wszystkie punkty leżą na tej samej prostej. Linia ta nazywana jest wykresem równania liniowego dwóch zmiennych. Jest to graficzny (lub geometryczny) model danego równania.

Jeśli para liczb (x;y) jest rozwiązaniem równania

ax + vy + c = 0, to punkt M(x;y) należy do wykresu równania. Można powiedzieć odwrotnie: jeśli punkt M(x;y) należy do wykresu równania ax + y + c = 0, to para liczb (x;y) jest rozwiązaniem tego równania.

Z kursu geometrii wiemy:

Do wykreślenia linii prostej potrzebne są 2 punkty, zatem do narysowania wykresu równania liniowego z dwiema zmiennymi wystarczą znajomości tylko 2 par rozwiązań. Jednak odgadywanie korzeni nie zawsze jest wygodną i racjonalną procedurą. Możesz działać według innej zasady. Ponieważ odcięta punktu (zmienna x) jest zmienną niezależną, można jej nadać dowolną dogodną wartość. Podstawiając tę ​​liczbę do równania, znajdujemy wartość zmiennej y.

Podajmy na przykład równanie:

Niech x = 0, wtedy otrzymamy 0 - y + 1 = 0 lub y = 1. Oznacza to, że jeśli x = 0, to y = 1. Rozwiązaniem tego równania jest para liczb (0;1). Ustalmy inną wartość zmiennej x: x = 2. Otrzymujemy wówczas 2 - y + 1 = 0 lub y = 3. Para liczb (2;3) jest również rozwiązaniem tego równania. Korzystając z dwóch znalezionych punktów, można już zbudować wykres równania x - y + 1 = 0.

Możesz to zrobić: najpierw przypisz określoną wartość zmiennej y, a dopiero potem oblicz wartość x.

§ 3 Układ równań

Znajdź dwie liczby naturalne, których suma wynosi 11, a różnica wynosi 1.

Aby rozwiązać ten problem, najpierw tworzymy model matematyczny (mianowicie algebraiczny). Niech pierwszą liczbą będzie x, a drugą liczbą y. Następnie suma liczb x + y = 11 i różnica liczb x - y = 1. Ponieważ oba równania dotyczą tych samych liczb, warunki te muszą być spełnione jednocześnie. Zwykle w takich przypadkach stosuje się specjalny zapis. Równania zapisuje się jedno pod drugim i łączy w nawiasach klamrowych.

Taki zapis nazywamy układem równań.

Skonstruujmy teraz zbiory rozwiązań każdego równania, tj. wykresy każdego z równań. Weźmy pierwsze równanie:

Jeśli x = 4, to y = 7. Jeśli x = 9, to y = 2.

Narysujmy linię prostą przez punkty (4;7) i (9;2).

Weźmy drugie równanie x - y = 1. Jeśli x = 5, to y = 4. Jeśli x = 7, to y = 6. Rysujemy również linię prostą przez punkty (5;4) i (7;6 ). Otrzymaliśmy model geometryczny problemu. Interesująca nas para liczb (x;y) musi być rozwiązaniem obu równań. Na rysunku widzimy pojedynczy punkt leżący na obu prostych; jest to punkt przecięcia prostych.

Jego współrzędne to (6;5). Dlatego rozwiązaniem problemu będzie: pierwsza wymagana liczba to 6, druga to 5.

Lista wykorzystanej literatury:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasa w 2 częściach, Część 1, Podręcznik dla instytucji kształcenia ogólnego / A.G. Mordkowicz. – wyd. 10, poprawione – Moskwa, „Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasa w 2 częściach, część 2, Książka problemów dla instytucji edukacyjnych / [A.G. Mordkovich i inni]; pod redakcją A.G. Mordkovich – wydanie 10, poprawione – Moskwa, „Mnemosyne”, 2007
3. JEJ. Tulchinskaya, Algebra 7. klasa. Ankieta Blitz: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących, wydanie 4, poprawione i rozszerzone, Moskwa, „Mnemosyne”, 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. klasa. Tematyczne arkusze testowe w nowej formie dla uczniów szkół ogólnokształcących pod redakcją A.G. Mordkovich, Moskwa, „Mnemosyne”, 2011
5. Aleksandrowa Los Angeles Algebra w klasie 7. Niezależne prace dla uczniów szkół ogólnokształcących pod redakcją A.G. Mordkovich – wydanie VI, stereotypowe, Moskwa, „Mnemosyne”, 2010

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Funkcja liniowa Algebra klasy 7. Lekcja nr 6 -7. Płaszczyzna współrzędnych. Równanie liniowe z dwiema zmiennymi i jego wykres 07.06.2012 1 www.konspekturoka.ru

Cele: 07.06.2012 Przypomnijmy sobie koncepcję płaszczyzny współrzędnych. Rozważmy obraz punktu na płaszczyźnie współrzędnych. Podaj pojęcie równania z dwiema zmiennymi, ich rozwiązanie i wykres równania. Dowiedz się, jak wykreślić równanie liniowe z dwiema zmiennymi. Poznaj algorytm wykreślania równania liniowego z dwiema zmiennymi. 2www.konspekturoka.ru

O x y 1 Dwie wzajemnie prostopadłe osie liczbowe tworzą prostokątny układ współrzędnych 1 - 1 - 1 I II III I V Kąty współrzędnych Rzędna (oś oy) Odcięta (oś wół) Pamiętajmy! 07.06.2012 3 www.konspekturoka.ru

O x y 1 x = -3 Y = 3 x = -5 y = -2 X = 4 y = -5 x = 2 Y = 5 07.06.2012 www.konspekturoka.ru 4 Pamiętajmy! Algorytm wyznaczania współrzędnych punktu M(a; b) Poprowadź przez ten punkt linię prostą równoległą do osi y i znajdź współrzędne punktu przecięcia tej prostej z osią x - będzie to odcięta punktu. 2. Poprowadź przez ten punkt linię równoległą do osi x i znajdź współrzędną punktu przecięcia tej prostej z osią y - będzie to rzędna punktu. A B 5 2 C 4 -5 M -2 -5 3 -3 B(2;5); C(4;-5); M(-5;-2); A(-3;3)

A (-4; 6) B (5; -3) C (2; 0) D (0; -5) Pamiętaj! Algorytm konstruowania punktu M(a; b) Skonstruuj linię prostą x = a. Skonstruuj prostą y = b. Znajdź punkt przecięcia skonstruowanych linii - będzie to punkt M(a; b) 6 -4 5 -3 -5 2 07.06.2012 5 www.konspekturoka.ru

07.06.2012 www.konspekturoka.ru 6 Równanie postaci: a x + b = 0 nazywa się równaniem liniowym z jedną zmienną (gdzie x jest zmienną, a i b to niektóre liczby). Uwaga! x – zmienna wchodzi do równania koniecznie w pierwszym stopniu. (45 - y) + 18 = 58 równanie liniowe z jedną zmienną 3x² + 6x + 7 = 0 równanie nieliniowe z jedną zmienną Pamiętajmy!

ax + by + c = 0 Równanie liniowe z dwiema zmiennymi 07.06.2012 7 www.konspekturoka.ru Rozwiązaniem równania z dwiema niewiadomymi jest para zmiennych, po podstawieniu której równanie staje się prawdziwą równością liczbową. Równanie w postaci: nazywa się równaniem liniowym z dwiema zmiennymi (gdzie x, y to zmienne, a, b i c to pewne liczby). (x;y)

07.06.2012 www.konspekturoka.ru 8 Rozwiązanie równania liniowego z jedną zmienną oznacza znalezienie takich wartości zmiennej, dla których równanie zamienia się w poprawną równość liczbową. (x; y)-? Takich rozwiązań jest nieskończenie wiele.

07.06.2012 www.konspekturoka.ru 9 Równanie liniowe z dwiema zmiennymi ma właściwości takie jak równania z jedną zmienną. Jeśli w równaniu przesuniemy wyraz z jednej części do drugiej, zmieniając jego znak, otrzymamy równanie równoważne. 2. Jeśli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez liczbę (różną od zera), otrzymamy równanie równoważne.

07.06.2012 www.konspekturoka.ru 10 Równania równoważne Ponieważ wyraz 4y³ został przeniesiony z lewej strony na prawą, równania z dwiema zmiennymi o tych samych pierwiastkach nazywane są równoważnymi.

07.06.2012 www.konspekturoka.ru 11 O x y 1 Przykład 1 Narysuj rozwiązania równania liniowego z dwiema zmiennymi x + y – 3 = 0 punktów w płaszczyźnie współrzędnych. 1. Wybierzmy kilka par liczb spełniających równanie: (3; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5). 2. Skonstruuj punkty w xOy: A(3; 0), B(2; 1), C(1; 2), E(0; 3), M(-2; 5). 3 E(0; 3) 1 2 C(1; 2) 1 2 B(2; 1) 3 A(3; 0) -2 5 M(-2; 5) 3. Połącz wszystkie kropki. Uwaga! Wszystkie punkty leżą na tej samej linii prostej. W przyszłości: do skonstruowania linii prostej wystarczą 2 punkty m m - wykres równania x + y - 3 = 0 Mówią: m - model geometryczny równania x + y - 3 = 0 -4 7 P(- 4; 7) P(-4; 7 ) to para należąca do prostej i będąca rozwiązaniem równania

07.06.2012 www.konspekturoka.ru 12 Wniosek: Jeśli (-4; 7) jest parą liczb spełniającą równanie, to punkt P(-4; 7) należy do prostej t P(-4;7) należy do prostej t , wówczas para(-4;7) jest rozwiązaniem równania. Nawzajem:

07.06.2012 www.konspekturoka.ru 13 Twierdzenie: Wykres dowolnego równania liniowego ax + by + c = 0 jest linią prostą. Aby skonstruować wykres, wystarczy znaleźć współrzędne dwóch punktów. Sytuacja rzeczywista (model werbalny) Model algebraiczny Model geometryczny Suma dwóch liczb wynosi 3. x + y = 3 (równanie liniowe z dwiema zmiennymi) linia t (wykres równania liniowego z dwiema zmiennymi) x + y – 3 = 0

07.06.2012 www.konspekturoka.ru 14 x y 1 Przykład 2 Skonstruuj wykres równania 3 x - 2y + 6 = 0 1. Niech x = 0, podstawiamy do równania 3· 0 - 2y + 6 = 0 - 2y + 6 = 0 - 2y = - 6 y = - 6: (-2) y = 3 (0;3) - para liczb, jest rozwiązanie 2. Niech y = 0, podstaw 3 x - 2 0 + 6 = 0 3x + do równania 6 = 0 3x = - 6 x = - 6: 3 x = - 2 (-2;0) - para liczb, jest rozwiązanie 3. Skonstruuj punkty i połącz je linia prosta 0 3 -2 3 x - 2y + 6 = 0

07.06.2012 www.konspekturoka.ru 15 Algorytm konstruowania wykresu równania ax + b y + c = 0 Nadaj zmiennej x określoną wartość x ₁; znajdź z równania ax + b y + c = 0 odpowiednią wartość y ₁. Otrzymujemy (x₁;y₁). 2. Nadaj zmiennej x określoną wartość x ₂; znajdź z równania ax + b y + c = 0 odpowiednią wartość y ₂. Otrzymujemy (x ₂; y ₂). 3. Skonstruuj punkty (x₁; y₁), (x₂; y₂) na płaszczyźnie współrzędnych i połącz je linią prostą. 4. Linia prosta – mamy wykres równania.

07.06.2012 16 www.konspekturoka.ru Odpowiedz na pytania: Co nazywa się płaszczyzną współrzędnych? Jaki jest algorytm znajdowania współrzędnych punktu na płaszczyźnie współrzędnych? Jaki jest algorytm konstruowania punktu na płaszczyźnie współrzędnych? Formułować podstawowe własności równań. Jakie równania nazywane są równoważnymi? Jakie jest rozwiązanie równania liniowego z dwiema zmiennymi? 7. Jaki jest algorytm wykreślania równania liniowego dla dwóch zmiennych?

Definicja: ax + by + c = 0, gdzie a, b i c są liczbami (zwanymi także współczynnikami), a a i b nie są równe zeru, x i y są zmiennymi, zwanymi równaniem liniowym z równaniem postaci dwie zmienne. Przykład 1: 5 x – 2 y + 10 = 0 – równanie liniowe z dwiema zmiennymi: a = 5, b = -2, c = 10, x i y są zmiennymi. Przykład 2: – 4 x = 6 y – 14 – to także równanie liniowe z dwiema zmiennymi. Jeśli przeniesiemy wszystkie wyrazy równania na lewą stronę, otrzymamy to samo równanie zapisane w ogólnej postaci: – 4 x – 6 y + 14 = 0, gdzie a = – 4, b = – 6, c = 14, x i y – zmienne. Ogólna postać równania liniowego z dwiema zmiennymi to zapis: ax + by + c = 0, gdy wszystkie wyrazy równania są zapisane po lewej stronie znaku =, a zero po prawej stronie. Przykład 3: 3 z – 5 w + 15 = 0 – to także równanie liniowe dwóch zmiennych. W tym przypadku zmienne to z i w. Zmienne zamiast x i y mogą być dowolnymi literami alfabetu łacińskiego.

Zatem równanie liniowe z dwiema zmiennymi można nazwać dowolnym równaniem zawierającym dwie zmienne, z wyjątkiem dwóch przypadków: 1. Gdy zmienne w równaniu zostaną podniesione do potęgi innej niż pierwsza! Przykład 1: -5 x 2 + 3 y + 9 = 0 – nie jest równaniem liniowym, gdyż zmienna x jest do drugiej potęgi. Przykład 2: 6 x – y 5 + 12 = 0 – nie jest równaniem liniowym, gdyż zmienna y jest do potęgi piątej. 2. Gdy równanie zawiera zmienną w mianowniku! Przykład 3: 2 x + 3/y + 18 = 0 nie jest równaniem liniowym, ponieważ zmienna y zawarta jest w mianowniku. Przykład 4: 1/x – 2/y + 3 = 0 – nie jest równaniem liniowym, gdyż zmienne x i y zawarte są w mianowniku.

Definicja: Rozwiązaniem równania liniowego z dwiema zmiennymi ax + by + c = 0 jest dowolna para liczb (x; y), która po podstawieniu do tego równania daje prawdziwą równość. Przykład 1: Dla równania liniowego 5 x – 2 y + 10 = 0 rozwiązaniem jest para liczb (-4; -5). Łatwo to sprawdzić, podstawiając do równania x = -4 i y = -5: 5·(-4) – 2·(-5) + 10 = 0 -20 + 20 = 0 – prawidłowa równość. Przykład 2: Dla tego samego równania 5 x – 2 y + 10 = 0 para liczb (1; 4) nie jest rozwiązaniem: 5 1 – 2 4 + 10 = 0 5 – 8 + 10 = 0 7 = 0 – nie prawdziwa równość.

Dla dowolnego równania liniowego z dwiema zmiennymi można wybrać nieskończoną liczbę par liczb (x; y), które będą jego rozwiązaniami. Rzeczywiście, dla równania liniowego z poprzedniego przykładu 5 x – 2 y + 10 = 0, oprócz pary liczb (-4; -5), rozwiązaniami będą pary liczb: (0; 5), ( -2; 0), (2; 10), (-3; -2, 5), (-1; 2, 5) itd. Takie pary liczb można wybierać w nieskończoność. Uwaga: Rozwiązanie równania liniowego z dwiema zmiennymi podaje się w nawiasie, przy czym wartość zmiennej x jest zawsze zapisywana na pierwszym miejscu, a wartość zmiennej y zawsze na drugim miejscu!

Wykres równania liniowego z dwiema zmiennymi ax + by + c = 0 jest linią prostą. Przykładowo: wykres równania 2 x + y – 2 = 0 wygląda jak na rysunku. Wszystkie punkty na linii prostej na wykresie są rozwiązaniami danego równania liniowego. Wykres równania liniowego dwóch zmiennych jest modelem geometrycznym tego równania: za pomocą wykresu można zatem przedstawić nieskończoną liczbę rozwiązań równania liniowego dwóch zmiennych.

Jak wykreślić równanie liniowe ax + by + c = 0? Zapiszmy plan działania: 1. Ustalmy prostokątny układ współrzędnych, aby zobrazować wszystkie rozwiązania równania liniowego (x; y), skorzystamy z prostokątnego układu współrzędnych, w którym naniesiemy wartości zmiennej x wzdłuż osi Ox oraz wartości zmiennej y wzdłuż osi Oy. 2. Wybierz dwie pary liczb: (x1; y1) i (x2; y2), które są rozwiązaniami tego równania liniowego. Tak naprawdę możemy wybrać dowolną liczbę rozwiązań (x; y), wszystkie będą leżeć na tej samej linii prostej. Aby jednak narysować linię prostą - wykres równania liniowego, potrzebujemy tylko dwóch takich rozwiązań, ponieważ wiemy, że przez dwa punkty można poprowadzić tylko jedną prostą. Zwyczajowo zapisuje się wybrane rozwiązania w formie tabeli: x x1 x2 y y1 y2 3. Narysuj punkty (x1; y1) i (x2; y2) w prostokątnym układzie współrzędnych. Przez te dwa punkty poprowadź linię prostą - będzie to wykres równania ax + by + c = 0.

Przykład: zbudujmy wykres równania liniowego 5 x – 2 y + 10 = 0: 1. Ustalmy prostokątny układ współrzędnych x. Оу: 2. Wybierzmy dwa rozwiązania naszego równania i zapiszmy je -4 -2 x w tabelce: y -5 0 Dla równania 5 x – 2 y + 10 = 0 rozwiązaniami są np. pary liczb : (-4; - 5) i (-2; 0) (patrz slajd 5). Zapiszmy je w tabeli. Uwaga: para liczb (2; 10) jest również rozwiązaniem naszego równania (patrz slajd 5), ale konstruowanie współrzędnej y = 10 w naszym układzie współrzędnych jest niewygodne, ponieważ mamy tylko 7 komórek wzdłuż y- oś w górę i kontynuuj oś, nie ma miejsca. Zatem: aby zbudować wykres równania liniowego, z całego nieskończonego zbioru rozwiązań wybieramy takie pary liczb (x, y), które wygodniej jest skonstruować w prostokątnym układzie współrzędnych!

Przykład: zbudujmy wykres równania liniowego 5 x – 2 y + 10 = 0: x -4 -2 y -5 0 3. Zbudujmy wykres: Zbudujmy punkt (-4; -5) we współrzędnych system: Wykreślamy współrzędną -4 wzdłuż osi x. Wzdłuż osi y wykreślamy współrzędną -5. Na przecięciu współrzędnych otrzymujemy pierwszy punkt. Podobnie konstruujemy punkt o współrzędnych (-2; 0): Wzdłuż osi x nanosimy współrzędną -2. Wzdłuż osi y nakreślamy współrzędną 0. Na przecięciu współrzędnych otrzymujemy drugi punkt. -4 -2 0 -5 Narysuj linię prostą przez dwa punkty - wykres równania liniowego 5 x – 2 y + 10 = 0

Funkcja liniowa. Jeśli wyrazimy zmienną y z równania liniowego ax + by + c = 0, to znaczy przepiszmy równanie w postaci, w której y jest po lewej stronie równania, a wszystko inne po prawej: ax + by + c = 0 - przesuń topór i c w prawo o = – ax – с – wyrażmy y y = (– ax – с): b, gdzie b ≠ 0 у = – a/b · х – с/b, oznacz – a/b = k i – с/b = m y = kx + m – otrzymaliśmy prostszą reprezentację równania liniowego z dwiema zmiennymi. Zatem równanie liniowe z dwiema zmiennymi zapisane jako: y = kx + m, gdzie zmienne k i m są współczynnikami, nazywa się funkcją liniową. xy – Zmienna x nazywana jest zmienną niezależną lub argumentem. Zmienna y nazywana jest zmienną zależną lub wartością funkcji.

Wykres funkcji liniowej. Ponieważ funkcja liniowa jest specjalną formą równania liniowego z dwiema zmiennymi, a wykres równania liniowego jest linią prostą, możemy wyciągnąć następujący wniosek: wykres funkcji liniowej y = kx + m jest linią prostą . Jak wykreślić funkcję liniową? Ustalamy prostokątny układ współrzędnych. Znajdujemy pary liczb: (x1; y1) i (x2; y2), x x1 x2, które są rozwiązaniami funkcji liniowej yy1 y2 i zapisujemy je w tabeli. Aby znaleźć rozwiązania funkcji liniowej, nie trzeba ich wybierać w głowie, jak to zrobiliśmy w przypadku równania liniowego. Należy podać zmiennej x określone wartości x1 i x2 i podstawiając je kolejno do funkcji, obliczyć wartości y1 = kx 1 + m i y2 = kx 2 + m. Uwaga: zmiennej x można nadać absolutnie dowolne wartości, zaleca się jednak przyjmowanie liczb, które będzie nam wygodnie konstruować w prostokątnym układzie współrzędnych, na przykład liczby 0, 1, -1. 3. Konstruujemy punkty (x1; y1) i (x2; y2) i przeciągamy przez nie prostą - będzie to wykres funkcji liniowej.

Przykład 1: zbudujmy wykres funkcji liniowej y = 0,5 x + 4: 1. Ustalmy prostokątny układ współrzędnych. 2. Wypełnij tabelę: x 0 -2 y 4 3 Podajmy zmiennej x konkretne wartości x1 i x2: wygodniej jest przyjąć x1 = 0, ponieważ łatwiej jest policzyć z zerem, otrzymamy: y1 = 0,5 0 + 4 = 4 x2 można przyjąć jako równe 1, ale wtedy y2 będzie liczbą ułamkową: 0,5 1 + 4 = 4,5 - niewygodne jest konstruowanie go na płaszczyźnie współrzędnych; wygodniej jest to przyjąć x2 równe 2 lub -2. Niech x2 = -2, otrzymamy: y2 = 0,5·(-2) + 4 = -1 + 4 = 3 4 3 -2 0 3. Skonstruujmy punkty (0; 4) i (-2; 3) na płaszczyzna współrzędnych ) poprowadź przez te punkty linię prostą - otrzymamy wykres funkcji liniowej y = 0,5 x + 4

Przykład 2: zbudujmy wykres funkcji liniowej y = -2 x + 1: 1. Ustalmy prostokątny układ współrzędnych. 2. Wypełnij tabelkę: x 0 1 y 1 -1 Podajmy zmiennej x konkretne wartości x1 i x2: np. x1 = 0 otrzymamy: y1 = -2 0 + 1 = 1 1 1 -1 0 niech x2 = 1, otrzymamy: y2 = -2 1 + 1 = -2 + 1 = -1 3. Skonstruujmy punkty (0; 1) i (1; -1) na płaszczyźnie współrzędnych i przeprowadźmy przez nie linię prostą te punkty - otrzymujemy wykres funkcji liniowej y = -2 x + 1

Przykład 3: wykreśl funkcję liniową y = -2 x + 1 i znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na odcinku [-2; 3] 1. Zbudujmy wykres funkcji (patrz poprzedni slajd). Wartością funkcji jest wartość zmiennej y. Zatem musisz znaleźć y największe i y najmniejsze, jeśli zmienna x najmniejsza może przyjmować tylko wartości z przedziału [-2; 3]. 2. Zaznacz segment [-2; 3] 3. Przez końce odcinka rysujemy proste równoległe do osi Oy, Oy i zaznaczamy na wykresie punkty przecięcia tych prostych. Ponieważ zgodnie z warunkiem otrzymaliśmy odcinek, rysujemy zacienione punkty! 5 - największy 1 1 -2 0 3 najmniejszy - -5 4. Znajdź współrzędne otrzymanych punktów: y = 5 i y = -5. -5 Jest oczywiste, że największa wartość y pochodzi z przedziału [-5; 5] wynosi y = 5, a 5 jest najmniejsze - y = -5. -5

Opcja 3. Zadanie nr 1: zbuduj wykres funkcji liniowej y = 1/2 x – 2. 1. Wyznacz prostokątny układ współrzędnych. 2. Wypełnij tabelę: x 0 2 y -2 -1 Podajmy zmiennej x określone wartości x1 i x2: np. x1 = 0, otrzymamy: y1 = 1/2 0 – 2 = -2 niech x2 = 2, otrzymujemy: y2 = 1/2 · 2 – 2 = 1 – 2 = -1 0 2 -1 -2 3. Skonstruujmy punkty (0; -2) i (2; -1) na płaszczyźnie współrzędnych i poprowadź przez te punkty prostą - otrzymamy wykres funkcji liniowych y = 1/2 x – 2

Zadanie nr 1: Korzystając z wykresu, znajdź: a) najmniejszą i największą wartość funkcji na odcinku [-2; 4] Wartością funkcji jest wartość zmiennej y. Zatem musisz znaleźć y największe i y najmniejsze, jeśli zmienna x najmniejsza może przyjmować tylko wartości z przedziału [-2; 4]. 1. Zaznacz segment [-2; 4] 2. Przez końce odcinka aż do przecięcia z wykresem poprowadź linie proste równoległe do osi Oy. Оу Zaznaczamy na wykresie punkty przecięcia tych linii. Ponieważ zgodnie z warunkiem otrzymaliśmy odcinek, rysujemy zacienione punkty! największy - 0 -2 -1 -2 2 4 -3 - najmniejszy 3. Znajdź współrzędne uzyskanych punktów: y = 0 i y = -3. -3 Jest oczywiste, że największa wartość y pochodzi z przedziału [-3; 0] to y = 0, a najmniejsze to y = -3. -3

Zadanie nr 1: Korzystając z wykresu, znajdź: a) najmniejszą i największą wartość funkcji na odcinku [-2; 4] Uwaga: nie zawsze da się z wykresu dokładnie wyznaczyć współrzędne konkretnego punktu, wynika to z faktu, że rozmiary komórek w notatniku mogą nie być idealnie równe lub możemy narysować linię prostą przez dwa punkty trochę krzywo. A skutkiem takiego błędu może być to, że nieprawidłowo zostaną znalezione największe i najmniejsze wartości funkcji. Dlatego: jeśli znajdziemy współrzędne pewnych punktów na wykresie, koniecznie sprawdźmy to później, podstawiając znalezione współrzędne do równania funkcji! Sprawdź: zamieńmy współrzędne hnaima. = -2 i uncel. = -3 do funkcji y = 1/2 x – 2: -3 = 1/2 · (-2) – 2 -3 = -1 – 2 -3 = -3 – poprawnie. Zastąpmy współrzędne hnaib. = 4 i unaib. = 0 do funkcji y = 1/2 x – 2: 0 = 1/2 · 4 – 2 0=2– 2 0 = 0 – poprawnie. Odpowiedź: unaib = 0, unaim = -3

Zadanie nr 1: Korzystając z wykresu, znajdź: b) wartości zmiennej x, dla której y ≤ 0. Na płaszczyźnie współrzędnych wszystkie wartości zmiennej y - mniejsze od zera - znajdują się poniżej Wołu oś. Wół Zatem, aby rozwiązać nierówność y ≤ 0, należy wziąć pod uwagę część wykresu 2 znajdującą się poniżej osi Ox i wykorzystując lukę 4 -∞ 0 zapisać, jakie wartości przyjmuje zmienna -1 x . -2 1. Zaznaczmy część wykresu znajdującą się poniżej osi Wół 2. Zaznaczmy punkt przecięcia wykresu z osią Wół, Ox jest punktem o współrzędnej x = 4. Ponieważ nie mamy ścisłej nierówności „≤”, punkt należy zacienić! 3. Zaznacz część osi Ox odpowiadającą wybranej części wykresu, a Ox będzie pożądanym obszarem. Zapisujemy odpowiedź: x należy do przedziału (-∞; 4] – nawias kwadratowy, gdyż w warunku nierówność nie jest ścisła „≤” !

Zadanie nr 2: Znajdź współrzędne punktu przecięcia prostych y = 3 x i y = -2 x - 5 To zadanie można rozwiązać na dwa sposoby. Metoda 1 – graficzna: Zbudujmy wykresy tych funkcji liniowych w jednej płaszczyźnie współrzędnych: 1. Ustalmy prostokątny układ współrzędnych. 2. Wypełnij tabelę 0 x dla funkcji 0 y y = 3 x weź x1 = 0, otrzymamy: y1 = 3 0 = 0 3 1 3 weź x2 = 1, otrzymamy: y2 = 3 1 = 3 3. Konstruuj na płaszczyźnie współrzędnych punkty (0; 0) i (1; 3) narysuj wykres przechodzący przez te punkty - linię prostą. 0 1

Zadanie nr 2: Znajdź współrzędne punktu przecięcia prostych y = 3 x i y = -2 x - 5 4. Wypełnij tabelę 0 -1 x dla funkcji -5 -3 y = -2 x - 5 y bierzemy x1 = 0, otrzymujemy: y1 = -2 · 0 – 5 = -5 bierzemy x2 = -1, otrzymujemy: y2 = -2 · (-1) – 5 = 2 – 5 = -3 5. Konstrukcja punkty (0; -5) na płaszczyźnie współrzędnych i (-1; -3) 3 -1 0 1 -3 narysuj wykres -5 6 przechodzący przez te punkty. Znajdź odciętą i rzędną punktu przecięcia otrzymanych wykresów: x = -1 i y = -3. -3 Uwaga: jeśli rozwiązujemy graficznie, to gdy tylko znajdziemy odciętą i rzędną punktu przecięcia wykresów, musimy sprawdzić, podstawiając znalezione współrzędne do obu równań! Sprawdź: dla y = 3 x: -3 = 3 · (-1) dla y = -2 x – 5: -3 = -2 · (-1) – 5 -3 = -3 - poprawna Odpowiedź: (-1 ; -3)

Zadanie nr 2: Znajdź współrzędne punktu przecięcia prostych y = 3 x i y = -2 x - 5 Metoda 2 – analityczna: Niech te proste przetną się w punkcie A(x; y), współrzędne x i y, które musimy znaleźć. Rozważ funkcje y = 3 x i y = -2 x – 5 jako równania liniowe z dwiema zmiennymi. Ponieważ obie proste przechodzą przez punkt A, współrzędne tego punktu: para liczb (x; y) - jest rozwiązaniem obu równań, czyli należy tak dobrać parę liczb (x; y), że gdy podstawiając zarówno do pierwszego, jak i do drugiego równania, wynikiem jest poprawna równość. I tę parę liczb znajdziemy w następujący sposób: skoro lewe strony równań są równe y = y, to odpowiednio możemy przyrównać prawe strony tych równań: 3 x = -2 x – 5. Pisanie 3 x = -2 x – 5 – To jest równanie liniowe z jedną zmienną, rozwiążmy je i znajdźmy zmienną x: Rozwiązanie: 3 x = -2 x – 5 3 x + 2 x = -5 5 x = -5: 5 x = -1 Otrzymujemy x = -1. Teraz pozostaje tylko podstawić x = -1 do dowolnego równania i znaleźć zmienną y. Wygodniej jest podstawić do pierwszego równania y = 3 x, otrzymamy: y = 3 · (-1) = -3 Otrzymujemy punkt A o współrzędnych (-1; -3). Odpowiedź: (-1; -3)

Zadanie nr 3: a) Znajdź współrzędne punktów przecięcia wykresu równania liniowego 3 x + 5 y + 15 = 0 z osiami współrzędnych Wykres równania liniowego, jak już wiesz, to a linia prosta i może przecinać osie współrzędnych Ox i Oy w jednym punkcie , jeśli przechodzi przez początek układu współrzędnych i ten punkt (0; 0); lub w dwóch punktach: 1. (x; 0) – punkt przecięcia wykresu z osią Ox 2. (0; y) – punkt przecięcia wykresu z osią Oy. Znajdźmy te punkty: 1. Podstawiamy do równania wartość y = 0, otrzymujemy: 3 x + 5 0 + 15 = 0 - rozwiązujemy to równanie i znajdujemy x. 3 x + 15 = 0 3 x = -15 Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych: (-5; 0) – to jest punkt przecięcia x = -15: 3 wykresy z osią Ox x = -5 2. Zastąpmy do równania wartość x = 0 otrzymujemy: 3,0 + 5 y + 15 = 0 – rozwiązujemy to równanie i znajdujemy y. 5 y + 15 = 0 5 y = -15 Otrzymaliśmy punkt o współrzędnych: (0; -3) - jest to punkt przecięcia wykresu y = -15: 5 z osią Oy y = -3 Odpowiedź: ( -5; 0) i ( 0; -3)

Zadanie nr 3: b) Ustal, czy punkt C(1/3; -3, 2) należy do wykresu równania 3 x + 5 y + 15 = 0. Jeżeli punkt C(1/3; -3, 2 ) należy do wykresu tego równania, to jest rozwiązaniem tego równania, czyli podstawiając do równania wartości x = 1/3 i y = -3, 2 należy otrzymać poprawną równość! W przeciwnym razie, jeśli nie zostanie uzyskana prawdziwa równość, punkt ten nie należy do wykresu tego równania. Podstawiamy x = 1/3 i y = -3, 2 do równania i sprawdzamy: 3 1/3 + 5 (-3, 2) + 15 = 0 1 – 16 + 15 = 0 – 15 + 15 = 0 0 = 0 – prawdziwa równość. Zatem punkt C należy do wykresu równania 3 x + 5 y + 15 = 0 Odpowiedź: punkt C(1/3; -3, 2) należy do wykresu równania 3 x + 5 y + 15 = 0

Zadanie nr 4: a) Zdefiniuj funkcję liniową y = kx za pomocą wzoru, jeśli wiadomo, że jej wykres jest równoległy do ​​prostej 6 x - y - 5 = 0. b) Określ, czy podana funkcja liniowa rośnie, czy maleje. Twierdzenie o względnym położeniu wykresów funkcji liniowych: Dane dwie funkcje liniowe y = k 1 x + m 1 i y = k 2 x + m 2: Jeżeli k 1 = k 2, natomiast m 1 ≠ m 2, to wykresy z tych funkcji są równoległe. Jeżeli k 1 ≠ k 2 , oraz m 1 ≠ m 2 , to wykresy tych funkcji przecinają się. Jeśli k 1 = k 2 i m 1 = m 2 , to wykresy tych funkcji są zbieżne. a) Zgodnie z twierdzeniem o względnym położeniu wykresów funkcji liniowych: jeżeli proste y = kx i 6 x – y – 5 = 0 są równoległe, to współczynnik k funkcji y = kx, kx wynosi współczynnik k funkcji 6 x – y – 5 = 0. 0 Sprowadźmy równanie 6 x – y – 5 = 0 do postaci funkcji liniowej i wypiszmy jej współczynniki: 6 x – y – 5 = 0 – przesuwając -y w prawo, otrzymujemy: 6 x – 5 = y lub y = 6 x – 5, k = 6, m = – 5. 6 5 Zatem funkcja y = kx ma postać: y = 6 x . 6 x b) Funkcja rośnie, jeśli k > 0 i maleje, jeśli k 0! 0 Odpowiedź: y = 6 x, funkcja jest rosnąca. 6x

Zadanie nr 5: Przy jakiej wartości p znajduje się rozwiązanie równania 2 px + 3 y + 5 p = 0 para liczb (1, 5, -4)? Ponieważ para liczb (1, 5; -4) jest rozwiązaniem tego równania, podstawiamy wartości x = 1, 5 i y = -4 do równania 2 px + 3 y + 5 p = 0, otrzymujemy: 2 p 1 , 5 + 3 · (-4) + 5 p = 0 – wykonaj mnożenie 3 p – 12 + 5 p = 0 – rozwiąż równanie i znajdź p 3 p + 5 p = 12 8 p = 12: 8 p = 1, 5 Zatem dla p = 1,5 rozwiązaniem równania 2 px + 3 y + 5 p = 0 jest para liczb (1, 5; -4) Sprawdź: dla p = 1,5 otrzymujemy równanie: 2 1,5 x + 3 y + 5 1, 5 = 0 3 x + 3 y + 7, 5 = 0 – podstawiamy do tego równania x = 1, 5 i y = -4, otrzymujemy: 3 1, 5 + 3 (-4 ) + 7, 5 = 0 4, 5 – 12 + 7, 5 = 0 0 = 0 – poprawnie. Odpowiedź: p = 1,5