Определить кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение и примеры нахождения

10.10.2019

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz L 1 и L 2:

(1)

(2)

где M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) − точки, лежащие на прямых L 1 и L 2 , а q 1 ={m 1 , p 1 , l 1 } и q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 } − направляющие векторы прямых L 1 и L 2 , соответственно.

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

Метод 1. От точки M 1 прямой L 1 проводим плоскость α , перпендикулярно прямой L 2 . Находим точку M 3 (x 3 , y 3 , y 3) пересечения плоскости α и прямой L 3 . По сути мы находим проекцию точки M 1 на прямую L 2 . Как найти проекцию точки на прямую посмотрите . Далее вычисляем расстояние между точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 3 (x 3 , y 3 , z 3):

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L 1 и L 2:

Прямая L 2 проходит через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M

Подставляя значения m 2 , p 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 в (5) получим:

Найдем точку пересечения прямой L 2 и плоскости α , для этого построим параметрическое уравнение прямой L 2 .

Чтобы найти точку пересечения прямой L 2 и плоскости α , подставим значения переменных x , y , z из (7) в (6):

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L 2 и плоскости α :

Остается найти расстояние между точками M 1 и M 3:

L 1 и L 2 равно d =7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L 1 и L 2 (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L 1 и L 2 . Если направляющие векторы прямых L 1 и L 2 коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q 1 =λ q 2 , то прямые L 1 и L 2 параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q 1 дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d , разделив площадь на основание q 1 параллелограмма.

q 1:

Расстояние между прямыми L 1 и L 2 равно:

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

Прямая L 2 проходит через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) и имеет направляющий вектор

q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −4, 8}

Векторы q 1 и q 2 коллинеарны. Следовательно прямые L 1 и L 2 параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор ={x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Вычислим векторное произведение векторов и q 1 . Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k , а остальные строки заполнены элементами векторов и q 1:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q 1 будет вектор:

Ответ: Расстояние между прямыми L 1 и L 2 равно d =7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L 1 и L 2 (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L 1 и L 2 не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L 1 и L 2 нужно построить параллельные плоскости α 1 и α 2 так, чтобы прямая L 1 лежал на плоскости α 1 а прямая L 2 − на плоскости α 2 . Тогда расстояние между прямыми L 1 и L 2 равно расстоянию между плоскостями L 1 и L 2 (Рис. 3).

где n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 } − нормальный вектор плоскости α 1 . Для того, чтобы плоскость α 1 проходила через прямую L 1 , нормальный вектор n 1 должен быть ортогональным направляющему вектору q 1 прямой L 1 , т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , и подставляя в уравнение

Плоскости α 1 и α 2 параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn 1 ={A 1 , B 1 , C 1 } и n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 } этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n 2 совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

(33)

Решение. Прямая L 1 проходит через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) и имеет направляющий вектор q 1 ={m 1 , p 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

Прямая L 2 проходит через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) и имеет направляющий вектор q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

Построим плоскость α 1 , проходящую через прямую L 1 , параллельно прямой L 2 .

Поскольку плоскость α 1 проходит через прямую L 1 , то она проходит также через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) и нормальный вектор n 1 ={m 1 , p 1 , l 1 } плоскости α 1 перпендикулярна направляющему вектору q 1 прямой L 1 . Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

Так как плоскость α 1 должна быть параллельной прямой L 2 , то должна выполнятся условие:

Представим эти уравнения в матричном виде:

(40)

Решим систему линейных уравнений (40) отностительно A 1 , B 1 , C 1 , D 1.

В данной статье на примере решения задачи C2 из ЕГЭ разобран способ нахождения с помощью метода координат. Напомним, что прямые являются скрещивающи-мися, если они не лежат в одной плоскости. В частности, если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися (см. рисунок).

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:

Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.
Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.

Разберем данный алгоритм подробнее на примере решения задачи C2 из ЕГЭ по математике.

Расстояние между прямыми в пространстве

Задача. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 .

Рис. 1. Чертеж к задаче

Решение. Через середину диагонали куба DB 1 (точку O ) проведем прямую, параллельную прямой A 1 B . Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A 1 D 1 обозначаем соответственно N и M . Прямая MN лежит в плоскости MNB 1 и параллельна прямой A 1 B , которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A 1 B параллельна плоскости MNB 1 по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 2).

Рис. 2. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости

Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A 1 B до плоскости MNB 1 . Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA , ось Y — вдоль ребра BC , ось Z — вдоль ребра BB 1 (рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке

Находим уравнение плоскости MNB 1 в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M , N и B 1: Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой и получаем следующую систему уравнений:

Из второго уравнения системы получаем из третьего получаем после чего из первого получаем Подставляем полученные значения в общее уравнение прямой:

Замечаем, что иначе плоскость MNB 1 проходила бы через начало координат. Делим обе части этого уравнения на и получаем:

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле.

Геометрия. 11 класс

Тема урока: Расстояние между скрещивающимися прямыми

Тер-Ованесян Г.Л., учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса

г. Москва

Рассмотрим задачу на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми - это длина общего перпендикуляра к этим прямым.

Пусть нам дан куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 , ребро которого равно единице АВ=1. Нужно найти расстояние между прямыми АВ и DC 1: ρ(АВ;DС 1) - ?

Эти две прямые лежат в параллельных плоскостях: АВ лежит в плоскости АА 1 В 1 В, DС 1 лежит в плоскости D 1 DС 1 С. Найдем сначала перпендикуляр к этим двум плоскостям. Таких перпендикуляров на рисунке много. Это отрезок ВС, В 1 С 1 , А 1 D 1 и AD. Из них имеет смысл выбрать тот отрезок, который не только перпендикулярен этим плоскостям, а значит перпендикулярен и нашим прямым АВ и DC 1 , но и проходит через эти прямые. Такой отрезок - AD. Он одновременно перпендикулярен прямой АВ, потому что перпендикулярен плоскости АА 1 В 1 В и прямой DC 1 , потому что перпендикулярен плоскости D 1 DС 1 С. И значит, что AD - это общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым АВ и DC 1 . Расстояние между этими прямыми - длина этого перпендикуляра, то есть длина отрезка АD. Но AD - это ребро куба. Следовательно, расстояние равно 1:

ρ(АВ;DС 1)=AD=1

Рассмотрим ещё одну задачу, чуть более сложную, о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми.

Пусть нам дан опять куб, ребро которого равно единице. Нужно найти расстояние между диагоналями противоположных граней. То есть, дан куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 . Ребро АВ=1. Нужно найти расстояние между прямыми ВА 1 и DC 1: ρ(А 1 В;DС 1) - ?

Эти две прямые скрещивающиеся, значит, расстояние - это длина общего перпендикуляра. Можно не рисовать общий перпендикуляр, а сформулировать следующим образом: это длина перпендикуляра между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые. Прямая ВА 1 лежит в плоскости АВВ 1 А 1 , а прямая DC 1 лежит в плоскости D 1 DCC 1 . Они параллельны, значит, расстояние между ними и есть расстояние между этими прямыми. А расстояние между гранями куба - это длина ребра. Например, длина ребра ВС. Потому что ВС перпендикулярно и плоскости АВВ 1 А 1, и плоскости DСС 1 D 1 . Значит, расстояние между прямыми, данными в условии, равно расстоянию между параллельными плоскостями и равно 1:

ρ(А 1 В;DС 1)=ВС=1

Рассмотрим ещё одну задачу о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми.

Пусть у нас дана правильная треугольная призма, у которой известны все ребра. Нужно найти расстояние между ребрами верхнего и нижнего оснований. То есть нам дана призма АВСА 1 В 1 С 1 . Причем, АВ=3=АА 1 . Нужно найти расстояние между прямыми ВС и А 1 С 1: ρ(ВС;А 1 С 1) - ?

Поскольку эти прямые скрещиваются, то расстояние между ними - это длина общего перпендикуляра, или длина перпендикуляра к параллельным плоскостям, в которых они лежат. Найдем эти параллельные плоскости.

Прямая ВС лежит в плоскости АВС, а прямая А 1 С 1 лежит в плоскости А 1 В 1 С 1 . Эти две плоскости параллельны, поскольку это верхнее и нижнее основания призмы. Значит, расстояние между нашими прямыми - это расстояние между этими параллельными плоскостями. А расстояние между ними равно в точности длине бокового ребра АА 1 , то есть равно 3:

ρ(ВС;А 1 С 1)=АА 1 =3

В данной конкретной задаче можно найти не только длину общего перпендикуляра, но и построить его. Для этого мы из всех боковых рёбер выбираем такое, которое имеет общие точки с прямой ВС и А 1 С 1 . На нашем рисунке это ребро СС 1 . Оно будет перпендикулярно прямой А 1 С 1 , поскольку перпендикулярно плоскости верхнего основания, и прямой ВС, поскольку перпендикулярно плоскости нижнего основания. Таким образом, мы можем найти не только расстояние, но и построить этот общий перпендикуляр.

Сегодня на уроке мы вспомнили, как находить длину общего перпендикуляра между скрещивающимися прямыми.

Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =)

Две прямые пространства могут:

1) скрещиваться;

2) пересекаться в точке ;

3) быть параллельными ;

4) совпадать.

Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости . Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости .

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим две прямые пространства:

– прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Для лучшего понимания выполним схематический чертёж:

На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые.

Как разобраться с этими прямыми?

Так как известны точки , то легко найти вектор .

Если прямые скрещиваются , то векторы не компланарны (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, будет отлично от нуля: .

В случаях № 2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы компланарны , а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: .

Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что , следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

Если направляющие векторы коллинеарны , то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны.

Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают:

Пример 11

Выяснить взаимное расположение двух прямых

Решение : как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам:

1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:

2) Найдём вектор:

Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность.

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.

Вывод: прямые параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.

Ответ :

Интересный пример для самостоятельного решения:

Пример 12

Выяснить взаимное расположение прямых

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр.

И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны;-)

Задачи с прямой в пространстве

В заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно.

Скрещивающиеся прямые

Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:

Пример 13

Даны прямые . Требуется:

а) доказать, что прямые скрещиваются;

б) найти уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно данным прямым;

в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;

г) найти расстояние между прямыми.

Решение : Дорогу осилит идущий:

а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:

Найдём вектор:

Вычислим смешанное произведение векторов :

Таким образом, векторы не компланарны , а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать.

Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего.

б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку и перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:

Для разнообразия я разместил прямую ЗА прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.

Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.

По условию прямая должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор будет ортогонален направляющим векторам . Уже знакомый из Примера № 9 мотив, найдём векторное произведение:

Составим уравнения прямой «дэ» по точке и направляющему вектору :

Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде , но необходимости в этом нет никакой.

Для проверки необходимо подставить координаты точки в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два».

Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?

в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь.

Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.

– это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:

Вот наш красавец: – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.

Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.

Решение оформим по пунктам:

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО . Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам соответствует , обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:

Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных.

2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде:

Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:

Или:

3) Вектор , как и ранее найденный вектор , будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников . Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Есть две точки: .

Находим вектор:

4) Поскольку направляющие векторы коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:

Или покоординатно:

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера . Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение:

Таким образом: , а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.

5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения в наши точки:

Направляющий вектор особо не нужен, так как уже найден его коллега .

После длинного пути всегда интересно выполнить проверку.

:

Получены верные равенства.

Подставим координаты точки в уравнения :

Получены верные равенства.

6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой по точке (можно взять ) и направляющему вектору :

В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

г) Срубаем четвёртую голову дракона.

Способ первый . Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: .

Крайние точки общего перпендикуляра найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:

Способ второй . На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр.

В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
(вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых).

Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: .

Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: , вычислим его длину:

Таким образом:

Гордо выложим трофеи в один ряд:

Ответ :
а) , значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать;
б) ;
в) ;
г)

Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе:

Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости:

Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения . И сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!

Как найти точку пересечения пространственных прямых?

Пример 14

Найти точку пересечения прямых

Решение : Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:

Данная задача подробно рассматривалась в Примере № 7 данного урока (см. Уравнения прямой в пространстве ). А сами прямые, к слову, я взял из Примера № 12. Врать не буду, новые лень придумывать.

Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Точка пересечения прямых принадлежит прямой , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра :

Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:

Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:

Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере № 12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса , но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение:

Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда:

Подставим найденное значение параметра в уравнения:

Ответ :

Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения:
Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Дотошные читатели могу подставить координаты точки и в исходные канонические уравнения прямых.

Кстати, можно было поступить наоборот: точку найти через «эс нулевое», а проверить – через «тэ нулевое».

Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами.

Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?

(прямые пересекаются)

Пример 15

а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой (прямые пересекаются).

б) Найти расстояние от точки до прямой .

Примечание : оговорка «прямые пересекаются» – существенна . Через точку
можно провести бесконечно много перпендикулярных прямых, которые будут скрещиваться с прямой «эль». Единственное решение имеет место в случае, когда через данную точку проводится прямая, перпендикулярная двум заданным прямым (см. Пример № 13, пункт «б»).

а) Решение : Неизвестную прямую обозначим через . Выполним схематический чертёж:

Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, необходимо найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор , им и займемся. Точнее, возьмём за шкирку неизвестный конец вектора.

1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме:

Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра:

Или одной строкой:

2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю:

Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:

3) Значение параметра известно, найдём точку:

И направляющий вектор:
.

4) Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :

Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2:

Ответ :

Примечание : более строгая концовка решения оформляется так: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору . Действительно, если вектор является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор , естественно, тоже будет направляющим вектором данной прямой.

Проверка состоит из двух этапов:

1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;

2) подставляем координаты точки в уравнения каждой прямой, они должны «подходить» и там и там.

О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике.

Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости . Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате.

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

б) Решение : Найдём расстояние от точки до прямой .

Способ первый . Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки , то:

Способ второй . В практических задачах основание перпендикуляра частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой.

Расстояние от точки до прямой выражается формулой:
, где – направляющий вектор прямой «эль», а – произвольная точка, принадлежащая данной прямой.

1) Из уравнений прямой достаём направляющий вектор и самую доступную точку .

2) Точка известна из условия, заточим вектор:

3) Найдём векторное произведение и вычислим его длину:

4) Рассчитаем длину направляющего вектора:

5) Таким образом, расстояние от точки до прямой:

Определить кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение и примеры нахождения

Читайте также

Предупреждение

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Расстояние между прямыми в пространстве

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Задачи с прямой в пространстве

Скрещивающиеся прямые

Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

Как найти точку пересечения пространственных прямых?

Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?