Je li graf funkcije y kx b. Linearna funkcija

upute

Ako je graf pravac koji prolazi kroz ishodište koordinata i s osi OX tvori kut α (kut nagiba pravca prema pozitivnoj poluosi OX). Funkcija koja opisuje ovu liniju imat će oblik y = kx. Koeficijent proporcionalnosti k jednak je tan α. Ako pravac prolazi kroz 2. i 4. koordinatnu četvrtinu, tada je k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 i neka je funkcija rastuća na razne načine u odnosu na koordinatne ose. Ovo je linearna funkcija i ima oblik y = kx + b, gdje su varijable x i y na prvoj potenciji, a k i b mogu biti pozitivni ili negativni ili jednaki nuli. Pravac je paralelan s pravcem y = kx i odsijeca se na osi |b| jedinice. Ako je pravac paralelan s osi apscisa, tada je k = 0, ako je s osi ordinata, onda jednadžba ima oblik x = const.

Krivulja koja se sastoji od dvije grane smještene u različitim četvrtima i simetrične u odnosu na ishodište koordinata je hiperbola. Ovaj grafikon obrnuti odnos varijablu y iz x i opisuje se jednadžbom y = k/x. Ovdje je k ≠ 0 koeficijent proporcionalnosti. Štoviše, ako je k > 0, funkcija opada; ako k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в koordinatni kutovi.

Kvadratna funkcija ima oblik y = ax2 + bx + c, gdje su a, b i c konstantne veličine, a a  0. Ako je ispunjen uvjet b = c = 0, jednadžba funkcije izgleda ovako: y = ax2 ( najjednostavniji slučaj), a njegov graf je parabola koja prolazi kroz ishodište. Graf funkcije y = ax2 + bx + c ima isti oblik kao najjednostavniji slučaj funkcije, ali njegov vrh (točka presjeka s osi OY) ne leži u ishodištu.

Parabola je također graf funkcije potencije izražene jednadžbom y = xⁿ, ako je n bilo koji paran broj. Ako je n bilo koji neparan broj, graf takve funkcije snage će izgledati kao kubna parabola.
Ako je n bilo koji, jednadžba funkcije ima oblik. Graf funkcije za neparan n bit će hiperbola, a za parni n njihove će grane biti simetrične u odnosu na op os.

Još u školskim godinama funkcije se detaljno proučavaju i konstruiraju se njihovi grafikoni. Ali, nažalost, praktički ne podučavaju kako čitati graf funkcije i pronaći njen tip iz prikazanog crteža. Zapravo je prilično jednostavno ako se sjećate osnovnih tipova funkcija.

upute

Ako je prikazani graf , koji je kroz ishodište koordinata i s osi OX kut α (koji je kut nagiba pravca prema pozitivnoj poluosi), tada će funkcija koja opisuje takav pravac biti predstavljen kao y = kx. U ovom slučaju koeficijent proporcionalnosti k jednaka tangenti kut α.

Ako dani pravac prolazi kroz drugu i četvrtu koordinatnu četvrtinu, tada je k jednak 0 i funkcija raste. Neka prikazani grafikon bude ravna linija koja se na bilo koji način nalazi u odnosu na koordinatne osi. Zatim funkcija takvog grafička umjetnost bit će linearna, što je predstavljeno oblikom y = kx + b, gdje su varijable y i x na prvom mjestu, a b i k mogu poprimiti i negativne i pozitivne vrijednosti ili.

Ako je pravac paralelan s pravcem s grafom y = kx i odsijeca b jedinica na ordinatnoj osi, tada jednadžba ima oblik x = const, ako je graf paralelan s apscisnom osi, tada je k = 0.

Zakrivljena linija koja se sastoji od dvije grane, simetrične oko ishodišta i smještene u različitim četvrtima, je hiperbola. Takav graf prikazuje inverznu ovisnost varijable y o varijabli x i opisuje se jednadžbom oblika y = k/x, gdje k ​​ne bi trebao biti jednak nuli, jer je koeficijent obrnuta proporcionalnost. Štoviše, ako je vrijednost k veća od nule, funkcija opada; ako je k manji od nule, povećava se.

Ako je predloženi graf parabola koja prolazi kroz ishodište, njezina će funkcija, uz uvjet b = c = 0, imati oblik y = ax2. Ovo je najjednostavniji slučaj kvadratna funkcija. Graf funkcije oblika y = ax2 + bx + c imat će isti oblik kao i najjednostavniji slučaj, ali vrh (točka u kojoj graf siječe ordinatnu os) neće biti u ishodištu. U kvadratnoj funkciji, predstavljenoj oblikom y = ax2 + bx + c, vrijednosti a, b i c su konstantne, dok a nije jednak nuli.

Parabola također može biti graf funkcije potencije izražene jednadžbom oblika y = xⁿ samo ako je n bilo koji paran broj. Ako je vrijednost n neparan broj, takav graf funkcije snage bit će prikazan kubičnom parabolom. U slučaju da je varijabla n bilo koja negativan broj, jednadžba funkcije ima oblik .

Video na temu

Koordinata apsolutno bilo koje točke na ravnini određena je dvjema veličinama: duž apscisne osi i ordinatne osi. Skup mnogih takvih točaka predstavlja graf funkcije. Iz njega možete vidjeti kako se vrijednost Y mijenja ovisno o promjeni vrijednosti X. Također možete odrediti u kojem dijelu (intervalu) funkcija raste, au kojem opada.

upute

Što možete reći o funkciji ako je njen graf ravna linija? Pogledajte prolazi li ova linija kroz početnu točku koordinata (to jest, onu gdje su vrijednosti X i Y jednake 0). Ako prolazi, tada je takva funkcija opisana jednadžbom y = kx. Lako je razumjeti da što je veća vrijednost k, to će ravna linija biti bliže osi ordinata. A sama os Y zapravo korespondira beskonačno od velike važnosti k.

U ovom članku ćemo pogledati linearna funkcija, graf linearne funkcije i njezina svojstva. I, kao i obično, riješit ćemo nekoliko problema na ovu temu.

Linearna funkcija naziva funkcija oblika

U jednadžbi funkcije, broj s kojim množimo naziva se koeficijent nagiba.

Na primjer, u jednadžbi funkcije ;

u jednadžbi funkcije;

u jednadžbi funkcije;

u jednadžbi funkcije.

Graf linearne funkcije je pravac.

1 . Za iscrtavanje funkcije, potrebne su nam koordinate dviju točaka koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije vrijednosti x, zamijeniti ih u jednadžbi funkcije i pomoću njih izračunati odgovarajuće vrijednosti y.

Na primjer, za iscrtavanje grafa funkcije prikladno je uzeti i , tada će ordinate tih točaka biti jednake i .

Dobivamo točke A(0;2) i B(3;3). Spojimo ih i dobijemo graf funkcije:

2 . U jednadžbi funkcije, koeficijent je odgovoran za nagib grafa funkcije:

Title="k>0">!}

Koeficijent je odgovoran za pomicanje grafa duž osi:

Title="b>0">!}

Donja slika prikazuje grafove funkcija; ;

Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent Iznad nule pravo. Štoviše, nego više vrijednosti, što ravna linija ide strmije.

U svim funkcijama - vidimo da svi grafovi sijeku os OY u točki (0;3)

Sada pogledajmo grafove funkcija; ;

Ovaj put u svim funkcijama koeficijent manje od nule, a svi grafici funkcija su nagnuti lijevo.

Imajte na umu da što je veći |k|, to je ravna linija strmija. Koeficijent b je isti, b=3, a grafovi kao i u prethodnom slučaju sijeku os OY u točki (0;3)

Pogledajmo grafove funkcija; ;

Sada su koeficijenti u svim jednadžbama funkcije jednaki. I dobili smo tri paralelne crte.

Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafikoni sijeku os OY u različitim točkama:

Graf funkcije (b=3) siječe os OY u točki (0;3)

Graf funkcije (b=0) siječe os OY u točki (0;0) - ishodištu.

Graf funkcije (b=-2) siječe os OY u točki (0;-2)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda odmah možemo zamisliti kako izgleda graf funkcije.

Ako k<0 и b>0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako k>0 i b>0, tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako k>0 i b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako k<0 и b<0 , tada graf funkcije izgleda ovako:

Ako k=0, tada se funkcija pretvara u funkciju i njezin graf izgleda ovako:

Ordinate svih točaka na grafu funkcije su jednake

Ako b=0, tada graf funkcije prolazi kroz ishodište:

Ovaj graf izravne proporcionalnosti.

3. Želio bih posebno zabilježiti graf jednadžbe. Graf ove jednadžbe je pravac paralelan s osi čije sve točke imaju apscisu.

Na primjer, graf jednadžbe izgleda ovako:

Pažnja! Jednadžba nije funkcija, jer različite vrijednosti argumenta odgovaraju istoj vrijednosti funkcije, koja ne odgovara.

4 . Uvjet paralelnosti dviju linija:

Graf funkcije paralelno s grafom funkcije, Ako

5. Uvjet okomitosti dviju ravnih linija:

Graf funkcije okomito na graf funkcije, ja za

6. Točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osima.

S osi OY. Apscisa bilo koje točke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OY, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto x. Dobivamo y=b. To jest, točka sjecišta s osi OY ima koordinate (0; b).

S osi OX: Ordinata bilo koje točke koja pripada osi OX jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OX, trebate zamijeniti nulu u jednadžbi funkcije umjesto y. Dobivamo 0=kx+b. Odavde. To jest, točka sjecišta s osi OX ima koordinate (;0):

Pogledajmo rješavanje problema.

1 . Konstruirajte graf funkcije ako je poznato da ona prolazi točkom A(-3;2) i paralelna je s pravcem y=-4x.

Jednadžba funkcije ima dva nepoznata parametra: k i b. Stoga tekst zadatka mora sadržavati dva uvjeta koji karakteriziraju graf funkcije.

a) Iz činjenice da je graf funkcije paralelan s pravcem y=-4x, slijedi k=-4. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik

b) Samo moramo pronaći b. Poznato je da graf funkcije prolazi točkom A(-3;2). Ako točka pripada grafu funkcije, tada zamjenom njezinih koordinata u jednadžbu funkcije dobivamo ispravnu jednakost:

dakle b=-10

Dakle, moramo iscrtati funkciju

Znamo točku A(-3;2), uzmimo točku B(0;-10)

Stavimo ove točke u koordinatnu ravninu i spojimo ih ravnom crtom:

2. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke A(1;1); B(2;4).

Ako pravac prolazi kroz točke sa zadanim koordinatama, dakle, koordinate točaka zadovoljavaju jednadžbu pravca. To jest, ako koordinate točaka zamijenimo u jednadžbu ravne linije, dobit ćemo ispravnu jednakost.

Zamijenimo koordinate svake točke u jednadžbi i dobijemo sustav linearne jednadžbe.

Od druge jednadžbe sustava oduzmite prvu i dobijete . Zamijenimo vrijednost k u prvoj jednadžbi sustava i dobijemo b=-2.

Dakle, jednadžba pravca.

3. Grafički nacrtajte jednadžbu

Da biste saznali pri kojim je vrijednostima nepoznatog umnožak nekoliko faktora jednak nuli, potrebno je svaki faktor izjednačiti s nulom i uzeti u obzir svaki množitelj.

Ova jednadžba nema ograničenja za ODZ. Faktorizirajmo drugu zagradu i postavimo svaki faktor na nulu. Dobivamo skup jednadžbi:

Konstruirajmo grafove svih jednadžbi skupa u jednoj koordinatnoj ravnini. Ovo je graf jednadžbe :

4 . Konstruirajte graf funkcije ako je ona okomita na pravac i prolazi točkom M(-1;2)

Nećemo graditi graf, samo ćemo pronaći jednadžbu pravca.

a) Budući da je graf funkcije, ako je okomit na pravac, dakle, dakle. Odnosno, jednadžba funkcije ima oblik

b) Znamo da graf funkcije prolazi točkom M(-1;2). Zamijenimo njegove koordinate u jednadžbu funkcije. Dobivamo:

Odavde.

Stoga naša funkcija izgleda ovako: .

5 . Grafikirajte funkciju

Pojednostavimo izraz na desnoj strani jednadžbe funkcije.

Važno! Prije pojednostavljenja izraza, pronađimo njegov ODZ.

Nazivnik razlomka ne može biti nula, stoga title="x1">, title="x-1">.!}

Tada naša funkcija ima oblik:

Title="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Odnosno, trebamo izgraditi graf funkcije i na njemu izrezati dvije točke: s apscisama x=1 i x=-1:

“Kritične točke funkcije” - Kritične točke. Među kritičnim točkama postoje točke ekstrema. Preduvjet ekstremno. Odgovor: 2. Definicija. Ali, ako je f" (x0) = 0, tada nije nužno da će točka x0 biti točka ekstrema. Točke ekstrema (ponavljanje). Kritične točke funkcije. Točke ekstrema.

“Koordinatna ravnina 6. razred” - Matematika 6. razred. 1. X. 1. Odredi i zapiši koordinate točke A, B, C,D: -6. Koordinatna ravnina. O. -3. 7. U.

“Funkcije i njihovi grafovi” - Kontinuitet. Najveći i najmanja vrijednost funkcije. Koncept inverzna funkcija. Linearno. Logaritamski. Monotonija. Ako je k > 0, tada je formirani kut oštar, ako je k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

“Funkcije 9. razred” - Važeće računske operacije nad funkcijama. [+] – zbrajanje, [-] – oduzimanje, [*] – množenje, [:] – dijeljenje. U takvim slučajevima govorimo o grafički zadatak funkcije. Obrazovni razred elementarne funkcije. Funkcija snage y=x0.5. Iovlev Maxim Nikolaevich, učenik 9. razreda srednje škole RMOU Raduzhskaya.

“Lekcija Jednadžba tangente” - 1. Pojasnite pojam tangente na graf funkcije. Leibniz je razmatrao problem povlačenja tangente na proizvoljnu krivulju. ALGORITAM ZA RAZVOJ JEDNADŽBE ZA TANGENTU NA GRAF FUNKCIJE y=f(x). Tema lekcije: Test: pronađite izvod funkcije. Jednadžba tangente. Flukcija. 10. razred. Dešifrirajte ono što je Isaac Newton nazvao derivacijskom funkcijom.

“Izgradite graf funkcije” - Zadana je funkcija y=3cosx. Graf funkcije y=m*sin x. Grafički nacrtajte funkciju. Sadržaj: Dana je funkcija: y=sin (x+?/2). Istezanje grafa y=cosx duž y osi. Za nastavak kliknite na l. Tipka miša. Zadana je funkcija y=cosx+1. Pomak grafa y=sinx okomito. Zadana je funkcija y=3sinx. Horizontalni pomak grafa y=cosx.

U temi je ukupno 25 prezentacija

upute

Postoji nekoliko načina rješavanja linearnih funkcija. Nabrojimo većinu njih. Najčešće se koristi metoda korak po korak zamjene. U jednoj od jednadžbi potrebno je izraziti jednu varijablu kroz drugu i zamijeniti je u drugu jednadžbu. I tako sve dok u jednoj od jednadžbi ne ostane samo jedna varijabla. Da biste to riješili, trebate ostaviti varijablu s jedne strane znaka jednakosti (može biti s koeficijentom), a s druge strane znaka jednakosti sve numeričke podatke, ne zaboravite promijeniti predznak broja u suprotna kod prijenosa. Nakon što ste izračunali jednu varijablu, zamijenite je u druge izraze i nastavite s izračunima koristeći isti algoritam.

Na primjer, uzmimo linearni sustav funkcije, koji se sastoji od dvije jednadžbe:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Pogodno je izraziti x iz druge jednadžbe:
x=y+2.
Kao što vidite, prilikom prijenosa s jednog dijela jednakosti na drugi, promijenio se predznak y i varijabli, kao što je gore opisano.
Zamijenimo dobiveni izraz u prvu jednadžbu, čime smo iz nje isključili varijablu x:
2*(y+2)+y-7=0.
Proširivanje zagrada:
2y+4+y-7=0.
Sastavljamo varijable i brojeve i zbrajamo ih:
3u-3=0.
Premjestimo ga na desnu stranu jednadžbe i promijenimo predznak:
3y=3.
Podijelite po ukupni koeficijent, dobivamo:
y=1.
Zamjenjujemo dobivenu vrijednost u prvi izraz:
x=y+2.
Dobivamo x=3.

Drugi način rješavanja sličnih je zbrajanje dvije jednadžbe član po član kako bi se dobila nova s ​​jednom varijablom. Jednadžba se može pomnožiti s određenim koeficijentom, glavno je pomnožiti svaki član jednadžbe i ne zaboraviti, a zatim dodati ili oduzeti jednu jednadžbu. Ova metoda je vrlo ekonomična pri pronalaženju linearnog funkcije.

Uzmimo već poznati sustav jednadžbi s dvije varijable:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Lako je uočiti da je koeficijent varijable y identičan u prvoj i drugoj jednadžbi i razlikuje se samo predznakom. To znači da kada ove dvije jednadžbe zbrojimo član po član, dobivamo novu, ali s jednom varijablom.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Prenosimo numeričke podatke na desnu stranu jednadžbe, mijenjajući predznak:
3x=9.
Pronalaženje zajedničkog faktora jednaka koeficijentu, koji stoji na x i podijeli obje strane jednadžbe s njim:
x=3.
Rezultat se može zamijeniti u bilo koju jednadžbu sustava za izračun y:
x-y-2=0;
3-u-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.

Također možete izračunati podatke stvaranjem preciznog grafikona. Da biste to učinili, morate pronaći nule funkcije. Ako je jedna od varijabli jednaka nuli, tada se takva funkcija naziva homogenom. Nakon što riješite takve jednadžbe, dobit ćete dvije točke potrebne i dovoljne za konstruiranje ravne linije - jedna od njih će se nalaziti na x-osi, druga na y-osi.

Uzimamo bilo koju jednadžbu sustava i tamo mijenjamo vrijednost x=0:
2*0+y-7=0;
Dobivamo y=7. Tako će prva točka, nazovimo je A, imati koordinate A(0;7).
Kako bi se izračunala točka koja leži na x-osi, prikladno je zamijeniti vrijednost y=0 u drugu jednadžbu sustava:
x-0-2=0;
x=2.
Druga točka (B) će imati koordinate B (2;0).
Dobivene točke označimo na koordinatnoj mreži i kroz njih povučemo ravnu liniju. Ako ga iscrtate prilično točno, druge vrijednosti x i y mogu se izračunati izravno iz njega.