1. Momentni impuls, Mdt, koji djeluje na rotacijsko tijelo, jednak je promjeni njegovog kutnog momenta dL:
Mdt = d(J ω) ili Mdt = dL
Gdje je: Mdt – impuls momenta sile (umnožak momenta sile M s vremenskim intervalom dt)
Jdω = d(Jω) – promjena kutne količine gibanja tijela,
Jω = L - kutna količina gibanja tijela umnožak je momenta tromosti J i kutne brzine ω ω, a d(Jω) je dL.

2. Kinematičke karakteristike Rotaciju krutog tijela kao cjeline karakterizira kut φ, mjereno u kutnim stupnjevima ili radijanima, kutna brzina
ω = dφ/dt(mjereno u rad/s)
i kutno ubrzanje
ε = d²φ/dt² (mjereno u rad/s²).
Kod ravnomjerne rotacije (T okretaja u sekundi), frekvencija rotacije je broj okretaja tijela u jedinici vremena:
f = 1/T =ω/2
Period rotacije je vrijeme jednog punog okretaja. Period vrtnje T i njegova frekvencija f povezani su relacijom
T = 1/f

Linearna brzina točke koja se nalazi na udaljenosti R od osi rotacije

Kutna brzina rotacije tijela
ω = f/Dt = 2/T

Dinamičke karakteristike Svojstva krutog tijela tijekom njegove rotacije opisuju se momentom tromosti čvrsta. Ova je značajka uključena u diferencijalne jednadžbe, dobivenih iz Hamiltonovih ili Lagrangeovih jednadžbi. Kinetička energija rotacije može se napisati kao:
E=

U ovoj formuli moment tromosti igra ulogu mase, a kutna brzina igra ulogu normalna brzina. Moment tromosti izražava geometrijsku raspodjelu mase u tijelu i može se pronaći iz formule:

Moment tromosti mehaničkog sustava u odnosu na nepomičnu os a ("aksijalni moment tromosti") fizikalna je veličina Ja jednaka zbroju umnožaka masa svih n materijalne bodove sustava kvadratima njihovih udaljenosti od osi:
= ∑

Gdje je: mi masa i-te točke, ri udaljenost od i-te točke do osi. Aksijalni moment tromosti tijela Ja mjera je tromosti tijela pri rotacijskom gibanju oko osi a, kao što je masa tijela mjera njegove tromosti pri translatornom gibanju.

3. Visak predstavlja zatvoreni sustav.
Ako je visak u krajnja točka, njegova potencijalna energija je maksimalna, a kinetička energija jednaka nuli.
Čim se njihalo počne gibati, njegova se potencijalna energija smanjuje, a kinetička energija povećava.
U donjoj točki kinetička energija je maksimalna, a potencijalna minimalna. Nakon toga počinje obrnuti proces. Akumulirana kinetička energija pomiče njihalo prema gore i time povećava potencijalnu energiju njihala. Kinetička energija smanjuje dok se visak ponovno ne zaustavi u drugoj krajnjoj točki.
Možemo reći da se tijekom gibanja njihala događa prijelaz potencijalna energija na kinetičku i obrnuto.

Zbroj kinetičke i potencijalne energije tijela koja čine zatvoreni sustav i međusobno djeluju gravitacijskim i elastičnim silama ostaje konstantan.
Ili ovo: ukupna mehanička energija zatvorenog sustava tijela u interakciji s gravitacijskim i elastičnim silama ostaje nepromijenjena.
(Zbroj kinetičke i potencijalne energije tijela naziva se ukupna mehanička energija)

Da bismo izveli ovaj zakon, razmotrimo najjednostavniji slučaj rotacijskog gibanja materijalne točke. Rastavimo silu koja djeluje na materijalnu točku na dvije komponente: normalu - i tangentu - (sl. 4.3). Normalna komponenta sile dovest će do pojave normalnog (centripetalnog) ubrzanja: ; , gdje je r = OA - polumjer kruga.

Tangencijalna sila će uzrokovati pojavu tangencijalne akceleracije. U skladu s drugim Newtonovim zakonom, F t =ma t ili F cos a=ma t.

Izrazimo tangencijalno ubrzanje preko kutnog ubrzanja: a t =re. Tada je F cos a=mre. Pomnožimo ovaj izraz polumjerom r: Fr cos a=mr 2 e. Uvedimo oznaku r cos a = l , Gdje l - poluga sile, tj. duljina okomice spuštene s osi rotacije na pravac djelovanja sile. Od 2 = ja - moment tromosti materijalne točke, a produkt = Fl = M - moment sile, dakle

Umnožak momenta sile M za vrijeme trajanja njegove valjanosti dt naziva se momentni impuls. Produkt momenta tromosti ja kutnom brzinom w naziva se kutna količina gibanja tijela: L=Iw. Tada se osnovni zakon dinamike rotacijskog gibanja u obliku (4.5) može formulirati na sljedeći način: Moment momenta sile jednak je promjeni kutne količine gibanja tijela. U ovoj formulaciji ovaj zakon je sličan drugom Newtonovom zakonu u obliku (2.2).

Kraj posla -

Ova tema pripada odjeljku:

Kratki tečaj fizike

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ukrajine.. Odessa National Maritime Academy..

Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučamo pretragu u našoj bazi radova:

Što ćemo učiniti s primljenim materijalom:

Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

Cvrkut

Sve teme u ovom odjeljku:

Osnovne SI jedinice
Trenutno je općeprihvaćen Međunarodni sustav jedinica - SI. Ovaj sustav sadrži sedam osnovnih jedinica: metar, kilogram, sekunda, mol, amper, kelvin, kandela i dvije dodatne -

Mehanika
Mehanika – znanost o mehaničkom kretanju materijalna tijela i rezultirajuće interakcije između njih. Pod, ispod mehaničko kretanje razumjeti promjene u međusobnom spolu tijekom vremena

Normalno i tangencijalno ubrzanje
Riža. 1.4 Gibanje materijalne točke duž zakrivljene putanje

Newtonovi zakoni
Dinamika je grana mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela pod utjecajem sila koje na njih djeluju. Mehanika se temelji na Newtonovim zakonima. Prvi Newtonov zakon

Zakon očuvanja količine gibanja
Razmotrimo izvođenje zakona o održanju količine gibanja na temelju drugog i trećeg Newtonovog zakona.

Odnos između rada i promjene kinetičke energije
Riža. 3.3 Neka se tijelo mase m giba duž osi x pod

Odnos između rada i promjene potencijalne energije
Riža. 3.4 Tu vezu ćemo utvrditi na primjeru rada sile teže

Zakon održanja mehaničke energije
Razmotrimo zatvoreni konzervativni sustav tijela. To znači da na tijela sustava ne djeluju vanjske sile, već unutarnje sile po prirodi su konzervativni. Potpuno mehanički

sudari
Razmotrimo važna prilika međudjelovanja čvrstih tijela – sudari. Sudar (udar) je pojava konačne promjene brzina čvrstih tijela u vrlo kratkim vremenskim razdobljima kada ona nisu

Zakon održanja kutne količine gibanja
Razmotrimo izolirano tijelo, tj. tijelo na koje ne djeluje vanjski moment sile. Tada je Mdt = 0 i iz (4.5) slijedi d(Iw)=0, tj. Iw=konst. Ako se izolirani sustav sastoji

Žiroskop
Žiroskop je simetrično čvrsto tijelo koje se okreće oko osi koja se poklapa s osi simetrije tijela, prolazi kroz središte mase i odgovara najvećem momentu tromosti.

Opće karakteristike oscilatornih procesa. Harmonijske vibracije
Oscilacije su kretanja ili procesi koji imaju različite stupnjeve ponovljivosti tijekom vremena. U tehnici, uređaji koji koriste oscilatorne procese mogu izvoditi op.

Oscilacije opružnog njihala
Riža. 6.1 Pričvrstimo na kraj opruge tijelo mase m koje može

Energija harmonijske vibracije
Promotrimo sada na primjeru opružnog njihala procese promjene energije u harmonijskom titranju. Očito je da je ukupna energija opružnog njihala W=Wk+Wp, gdje je kinetička

Zbrajanje harmoničnih vibracija istog smjera
Rješenje niza pitanja, posebice zbrajanje nekoliko oscilacija istog smjera, znatno je olakšano ako se oscilacije prikažu grafički, u obliku vektora na ravnini. Dobivena

Prigušene oscilacije
U stvarnim uvjetima U sustavima koji osciliraju uvijek su prisutne sile otpora. Kao rezultat toga, sustav postupno troši svoju energiju za izvođenje rada protiv sila otpora i

Prisilne vibracije
U stvarnim uvjetima oscilirajući sustav postupno gubi energiju kako bi svladao sile trenja, pa su oscilacije prigušene. Da bi oscilacije bile neprigušene, potrebno je nekako

Elastični (mehanički) valovi
Proces širenja poremećaja u tvari ili polju, popraćen prijenosom energije, naziva se val. Elastični valovi - proces mehaničkog širenja u elastičnom mediju

Interferencija valova
Interferencija je pojava superpozicije valova iz dva koherentna izvora, uslijed čega dolazi do preraspodjele intenziteta valova u prostoru, tj. dolazi do smetnji

Stojeći valovi
Poseban slučaj interferencije je nastanak stojnih valova. Stojni valovi nastaju interferencijom dvaju koherentnih valova iste amplitude koji se međusobno šire. Ova situacija može izazvati probleme

Dopplerov efekt u akustici
Zvučni valovi su elastični valovi s frekvencijama od 16 do 20 000 Hz, koje percipiraju ljudski slušni organi. Zvučni valovi u tekućini i plinoviti mediji su uzdužni. U teško

Osnovna jednadžba molekularne kinetičke teorije plinova
Razmotrimo idealni plin kao najjednostavniji fizički model. Idealan plin je onaj za koji su ispunjeni sljedeći uvjeti: 1) dimenzije molekula su tako male da

Raspodjela molekula po brzini
Slika 16.1 Pretpostavimo da smo uspjeli izmjeriti brzine svih

Barometrijska formula
Razmotrimo ponašanje idealnog plina u gravitacijskom polju. Kao što znate, kako se dižete od površine Zemlje, pritisak atmosfere opada. Pronađimo ovisnost atmosferskog tlaka o nadmorskoj visini

Boltzmannova distribucija
Izrazimo tlak plina na visinama h i h0 kroz odgovarajući broj molekula po jedinici volumena i u0, uz pretpostavku da je na različitim visinama T = const: P =

Prvi zakon termodinamike i njegova primjena na izoprocese
Prvi zakon termodinamike je generalizacija zakona održanja energije uzimajući u obzir toplinske procese. Njegova formulacija: količina topline koja se prenosi sustavu troši se na obavljanje rada

Broj stupnjeva slobode. Unutarnja energija idealnog plina
Broj stupnjeva slobode je broj neovisnih koordinata koje opisuju kretanje tijela u prostoru. Materijalna točka ima tri stupnja slobode, od kada se giba u p

Adijabatski proces
Adijabat je proces koji se odvija bez izmjene topline s okolinom. U adijabatskom procesu dQ = 0, stoga je prvi zakon termodinamike u odnosu na ovaj proces

Reverzibilni i ireverzibilni procesi. Kružni procesi (ciklusi). Princip rada toplinskog stroja
Reverzibilni procesi su oni koji zadovoljavaju sljedeće uvjete. 1. Nakon prolaska kroz te procese i vraćanja termodinamičkog sustava u prvobitno stanje u

Idealan Carnotov toplinski motor
Riža. 25.1 Godine 1827. francuski vojni inženjer S. Carnot, re

Drugi zakon termodinamike
Prvi zakon termodinamike, koji je generalizacija zakona održanja energije uzimajući u obzir toplinske procese, ne ukazuje na smjer toka razne procese u prirodi. Da, prvo

Nemoguć je proces čiji bi jedini rezultat bio prijenos topline s hladnog tijela na vruće
U rashladni stroj toplina se prenosi s hladnog tijela ( zamrzivač) na zagrijaniju okoliš. Čini se da je to u suprotnosti s drugim zakonom termodinamike. Stvarno protiv toga

Entropija
Uvedimo sada novi parametar stanja termodinamičkog sustava - entropiju, koji se bitno razlikuje od ostalih parametara stanja po smjeru svoje promjene. Elementarna izdaja

Diskretnost električnog naboja. Zakon održanja električnog naboja
Izvor elektrostatičkog polja je električni naboj - unutarnja karakteristika elementarna čestica, što određuje njegovu sposobnost stupanja u elektromagnetske interakcije.

Energija elektrostatskog polja
Nađimo prvo energiju nabijenog ravnog kondenzatora. Očito je ta energija brojčano jednaka radu koji treba izvršiti da se kondenzator isprazni.

Glavne karakteristike struje
Električna struja je uređeno (usmjereno) kretanje nabijenih čestica. Jakost struje brojčano je jednaka naboju koji prolazi poprečni presjek vodič po jedinici

Ohmov zakon za homogeni dio lanca
Dio strujnog kruga koji ne sadrži izvor EMF naziva se homogenim. Ohm je eksperimentalno utvrdio da je jakost struje u homogenom dijelu kruga proporcionalna naponu i obrnuto proporcionalna

Joule-Lenzov zakon
Joule i, neovisno o njemu, Lenz eksperimentalno su ustanovili da je količina topline oslobođena u vodiču s otporom R tijekom vremena dt proporcionalna kvadratu struje, otporne

Kirchhoffova pravila
Riža. 39.1 Za proračun složenih sklopova istosmjerna struja korištenjem

Razlika potencijala kontakta
Ako se dva različita metalna vodiča dovedu u dodir, tada se elektroni mogu kretati s jednog vodiča na drugi i natrag. Ravnotežno stanje takvog sustava

Seebeckov učinak
Riža. 41.1 U zatvorenom krugu od dva različita metala po g

Peltier efekt
Drugi termoelektrični fenomen - Peltierov efekt - je onaj kod prolaska električna struja dodirom dva različita vodiča u njemu dolazi do oslobađanja ili apsorpcije

Izvođenje osnovnog zakona dinamike rotacijskog gibanja. Na izvođenje osnovne jednadžbe dinamike rotacijskog gibanja. Dinamika rotacijskog gibanja materijalne točke. U projekciji na tangencijalni pravac jednadžba gibanja će imati oblik: Ft = mt.

15. Izvođenje osnovnog zakona dinamike rotacijskog gibanja.

Riža. 8.5. Na izvođenje osnovne jednadžbe dinamike rotacijskog gibanja.

Dinamika rotacijskog gibanja materijalne točke.Razmotrimo česticu mase m koja rotira oko struje O po kružnici polumjera R , pod djelovanjem rezultantne sile F (vidi sliku 8.5). U inercijski sustav brojanje je pošteno 2 jao Newtonov zakon. Zapišimo to u odnosu na proizvoljni trenutak u vremenu:

F = m·a.

Normalna komponenta sile nije u stanju izazvati rotaciju tijela, pa ćemo razmotriti samo djelovanje njene tangencijalne komponente. U projekciji na tangencijalni pravac, jednadžba gibanja će imati oblik:

F t = m·a t .

Kako je a t = e·R, tada

F t = m e R (8.6)

Množenjem lijeve i desne strane jednadžbe skalarno s R, dobivamo:

F t R = m e R 2 (8,7)
M = tj. (8,8)

Jednadžba (8.8) predstavlja 2 jao Newtonov zakon (jednadžba dinamike) za rotacijsko gibanje materijalne točke. Može mu se dati vektorski karakter, uzimajući u obzir da prisutnost zakretnog momenta uzrokuje pojavu paralelnog vektora kutnog ubrzanja usmjerenog duž osi rotacije (vidi sl. 8.5):

M = I·e. (8,9)

Osnovni zakon dinamike materijalne točke tijekom rotacijskog gibanja može se formulirati na sljedeći način:

umnožak momenta tromosti i kutne akceleracije jednak je rezultirajućem momentu sila koje djeluju na materijalnu točku.

Kao i ostala djela koja bi vas mogla zanimati
3120.		Skupovi i operacije na njima	133 KB
	Skupovi i operacije nad njima Napišite program u kojem će se za konačne uređene skupove implementirati sve osnovne operacije pomoću algoritma spajanja. Dopušteno je organizirati skupove kao popis ili kao niz...
3121.		Pisanje programa koji implementira paralelni rad više procesa	121,5 KB
	Potrebno je napisati program koji implementira paralelni rad više procesa. Svaki proces se može sastojati od jedne ili više niti. Sve niti koje se izvode kao dio ovih procesa mogu se suspendirati i ponovno pokrenuti u nekom trenutku...
3122.		Implementacija paralelnog rada nekoliko procesa softverskom metodom	258 KB
	Prilikom pisanja programa pokazalo se da izlazne funkcije (Write) dostupne u Borland Pascalu nisu prikladne, jer u slučaju kada nekoliko procesa prikazuje informacije na ekranu, može se dogoditi
3123.		Platne kartice: Poslovna enciklopedija	115,64 MB
	Platne kartice: Poslovna enciklopedija Najvažniji društveno-politički problem koji se danas rješava bankarski sustav Rusija, -povećanje dostupnosti financijskih usluga za građane zemlje. Bankarska djelatnost vezana za...
3124.		Analitički proračun uvjeta rezanja pri tokarenju	42 KB
	Proračun režima rezanja pri tokarenju analitičkom metodom Svrha rada: proučiti metodologiju proračuna režima rezanja analitičkom metodom. Upoznati se i steći vještine rada s referentnom literaturom. Zadatak: Na tokarilici 16K20...
3125.		Proračun uvjeta rezanja pri glodanju	43 KB
	Proračun režima rezanja tijekom glodanja Svrha rada: Proučiti metodologiju dodjele režima rezanja pomoću tablica standarda. Upoznati se i steći vještine rada s propisima. Zadatak: Na horizontalnoj glodalici 6R82G, proizveden...
3126.		Odvjetništvo, javna i privatna provedba zakona	93 KB
	Zagovaranje, javno i privatno Agencije za provođenje zakona UVOD Odvjetništvo je dobrovoljno strukovno udruženje građana koje na zakonom propisan način obavlja obranu u istrazi, istrazi, u kaznenom sudu...
3127.		Potencijal poduzeća: formiranje i procjena	433 KB
	Teorijski dio: Komparativni pristup vrednovanju nekretnina i njegove metode: analogne tvrtke, transakcije, industrijski koeficijenti. Koncept cjenovnih multiplikatora i njihove vrste Komparativni pristup učinkovit je ako postoji aktivno tržište s...
3128.		Analiza solventnih poduzeća i razvoj metoda financijske sanacije	268,5 KB
	Uvod Financijski stabilan poslovni subjekt je onaj koji vlastitim sredstvima pokriva sredstva uložena u imovinu (dugotrajna imovina, nematerijalna imovina, obrtni kapital), ne dopušta neopravdana potraživanja i kredit...

Dinamika rotacijskog gibanja

Temelji i temelji se izračunavaju prema 2 granična stanja

	Prema nosivosti:	N– zadano proračunsko opterećenje na podlogu u najnepovoljnijoj kombinaciji; - nosivost(krajnje opterećenje) temelji za određeni smjer opterećenja N; - koeficijent uvjeta rada baze (<1); - коэффициент надежности (>1).
	Prema graničnim deformacijama:	- izračunato apsolutno slijeganje temelja; - izračunata relativna razlika slijeganja temelja; , - granične vrijednosti, odnosno, apsolutne i relativne razlike u slijeganju temelja (SNiP 2.02.01-83*)

Dinamika rotacijskog gibanja

Predgovor

Skrećem pozornost učenicima da se OVO gradivo u školi nije APSOLUTNO razmatralo (osim pojma momenta sile).

1. Zakon dinamike rotacijskog gibanja

a. Zakon dinamike rotacijskog gibanja

b. Trenutak moći

c. Moment par sila

d. Moment inercije

2. Momenti tromosti nekih tijela:

a. Prsten (cilindar tankih stijenki)

b. Cilindar debele stijenke

c. Puni cilindar

e. Tanka šipka

3. Steinerov teorem

4. Impuls tijela. Promjena kutne količine gibanja tijela. Impuls momenta. Zakon održanja kutne količine gibanja

5. Rotacijski rad

6. Kinetička energija rotacije

7. Usporedba veličina i zakona za translatorno i rotacijsko gibanje

1a. Promotrimo kruto tijelo koje se može okretati oko nepomične osi OO (sl. 3.1). Razbijmo ovo čvrsto tijelo na zasebne elementarne mase Δ m ja Rezultanta svih sila primijenjenih na Δ m i, označiti sa . Dovoljno je razmotriti slučaj kada sila leži u ravnini okomitoj na os rotacije: komponente sila paralelne s osi ne mogu utjecati na rotaciju tijela, jer je os nepomična. Tada će jednadžba drugog Newtonovog zakona za tangencijalne komponente sile i ubrzanja biti zapisana kao:

. (3.1)

Normalna komponenta sile daje centripetalno ubrzanje i ne utječe na kutno ubrzanje. Iz (1.27): ,gdje je radijus rotacije ja- ta točka. Zatim

. (3.2)

Pomnožimo obje strane (3.2) sa:

primijeti da

gdje je α kut između vektora sile i radijus vektora točke (slika 3.1), je okomica spuštena na liniju djelovanja sile iz središta rotacije (krak sile). Uvedimo pojam momenta sile.

1b. Trenutak moći u odnosu na os je vektor usmjeren duž osi rotacije i povezan sa smjerom sile po pravilu gimleta, čiji je modul jednak umnošku sile s njegovim krakom: . Rame moći l u odnosu na os rotacije – to je najkraća udaljenost od linije djelovanja sile do osi rotacije. Dimenzija momenta sile:

U vektorskom obliku, moment sile oko točke:

Vektor momenta sile okomit je i na silu i na radijus vektor točke njezine primjene:

Ako je vektor sile okomit na os, tada je vektor momenta sile usmjeren duž osi prema pravilu desnog vijka, a veličina momenta sile u odnosu na ovu os (projekcija na os) određena je formulom (3.4 ):

Moment sile ovisi i o veličini sile i o poluzi sile. Ako je sila paralelna s osi, tada je .

1c. Par sila - to su dvije sile jednake veličine i suprotnog smjera, čije se linije djelovanja ne podudaraju (slika 3.2). Krak para sila je udaljenost između linija djelovanja sila. Nađimo ukupni moment para sila u () u projekciji na os koja prolazi kroz točku O:

To jest, moment para sila jednak je umnošku veličine sile s plccho para:

. (3.6)

Vratimo se na (3.3). Uzimajući u obzir (3.4) i (3.6):

. (3.7)

1d. Definicija: naziva se skalarna veličina jednaka umnošku mase materijalne točke i kvadrata njezine udaljenosti od osi. moment tromosti materijalne točke u odnosu na os OO:

Dimenzija momenta tromosti

Vektori i podudaraju se u smjeru s osi rotacije i povezani su sa smjerom rotacije prema pravilu gimleta, stoga se jednakost (3.9) može prepisati u vektorskom obliku:

. (3.10)

Zbrojimo (3.10) sve elementarne mase na koje je tijelo podijeljeno:

. (3.11)

Ovdje se uzima u obzir da je kutna akceleracija svih točaka krutog tijela ista, te se može uzeti iz predznaka zbroja. Na lijevoj strani jednakosti nalazi se zbroj momenata svih sila (i vanjskih i unutarnjih) koje djeluju na svaku točku tijela. No, prema trećem Newtonovom zakonu, sile kojima točke tijela međusobno djeluju (unutarnje sile) jednake su veličine i suprotnog smjera te leže na istoj ravnici, pa se njihovi momenti međusobno poništavaju. Dakle, na lijevoj strani (3.11) ostaje samo ukupni moment vanjske sile: .

Zbroj umnožaka elementarnih masa i kvadrata njihovih udaljenosti od osi rotacije naziva se moment tromosti krutog tijela u odnosu na ovu os:

. (3.12)

Tako, ; - ovo je osnovni zakon dinamike rotacijskog gibanja krutog tijela (analog drugog Newtonovog zakona): kutna akceleracija tijela izravno je proporcionalna ukupnom momentu vanjskih sila, a obrnuto proporcionalna momentu tromosti tijela. :

. (3.13)

Moment inercije jačvrsto tijelo je mjera inertnih svojstava čvrstog tijela tijekom rotacijskog gibanja a slična je masi tijela u drugom Newtonovom zakonu. Ona značajno ne ovisi samo o masi tijela, već io njenom rasporedu u odnosu na os rotacije (u smjeru okomitom na os).

U slučaju kontinuirane raspodjele mase zbroj u (3.12) svodi se na integral po cijelom volumenu tijela:

2a. Moment tromosti tankog prstena oko osi koja prolazi kroz njegovo središte okomito na ravninu prstena.

,

budući da je za bilo koji element prstena njegova udaljenost od osi ista i jednaka polumjeru prstena: .

2b. Cilindar (disk) debelih stijenki s unutarnjim i vanjskim radijusom.

Izračunajmo moment tromosti homogenog diska s gustoćom ρ , visina h, unutarnji polumjer i vanjski radijus (slika 3.3) u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase okomito na ravninu diska. Podijelimo disk na tanke prstenove debljine i visine tako da unutarnji polumjer prstena bude jednak , a vanjski polumjer jednak . Volumen takvog prstena, gdje – područje baze tankog prstena. Njegova masa:

Zamijenimo u (3.14) i integrirajmo preko r():

Masa diska, zatim konačno:

. (3.17)

2c. Puni cilindar (disk).

U posebnom slučaju čvrstog diska ili cilindra s polumjerom R zamijenimo u (3.17) R 1 =0, R 2 =R i dobivamo:

. (3.18)

Moment tromosti lopte radijusa R a masa u odnosu na os koja prolazi kroz njezino središte (slika 3.4) jednaka je (bez dokaza):

2e. Moment tromosti tankog štapa mase i duljine u odnosu na os koja prolazi njegovim krajem okomito na štap (slika 3.5).

Podijelimo štap na infinitezimalne dijelove duljine. Masa takvog odjeljka. Zamijenimo u (3.14) i integrirajmo od 0 do :

Ako os prolazi kroz središte štapa okomito na njega, možete izračunati moment tromosti polovice štapa pomoću (3.20) i zatim ga udvostručiti:

. (3.21)

3. Ako je os rotacije ne radi kroz središte mase tijela (sl. 3.6), proračuni pomoću formule (3.14) mogu biti prilično složeni. U ovom slučaju, izračun momenta tromosti pojednostavljuje se korištenjem Steinerov teorem : moment tromosti tijela u odnosu na proizvoljnu os jednak je zbroju momenta tromosti ja c tijelo u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase tijela paralelno s tom osi i umnožak mase tijela s kvadratom udaljenosti između osi:

. (3.22)

Pogledajmo kako radi Steinerov teorem ako ga primijenimo na štap:

Lako je provjeriti da je dobiven identitet, budući da je u ovom slučaju udaljenost između osi jednaka polovici duljine šipke.

4. Impuls tijela. Promjena kutne količine gibanja tijela. Impuls momenta. Zakon održanja kutne količine gibanja.

Iz zakona dinamike rotacijskog gibanja i definicije kutne akceleracije slijedi:

.

Ako tada. Uvedimo kutnu količinu gibanja krutog tijela kao

Odnos (3.24) je osnovni zakon dinamike krutog tijela za rotacijsko gibanje. Može se prepisati ovako:

i onda će ovo biti analogno drugom Newtonovom zakonu za kretanje naprijed u obliku pulsa (2.5)

Izraz (3.24) može se integrirati:

i formulirati zakon promjene kutne količine gibanja: promjena kutne količine gibanja tijela jednaka je impulsu ukupnog momenta vanjskih sila . Veličina se naziva impuls momenta sile i slična je impulsu sile u formulaciji drugog Newtonovog zakona za translatorno gibanje (2.2); kutni moment je analogan momentu.

Dimenzija kutne količine gibanja

Kutni moment krutog tijela u odnosu na njegovu os rotacije je vektor usmjeren duž osi rotacije prema pravilu gimleta.

Kutni moment materijalne točke u odnosu na točku O (sl. 3.6) je:

gdje je radijus vektor materijalne točke, njezin moment. Vektor kutne količine gibanja usmjeren je prema pravilu gimleta okomito na ravninu u kojoj leže vektori i: na sl. 3.7 - prema nama zbog figure. Veličina kutne količine gibanja

Podijelimo kruto tijelo koje rotira oko osi na elementarne mase i zbrojimo kutnu količinu gibanja svake mase po cijelom tijelu (isto se može napisati u obliku integrala; to nije bitno):

.

Kako je kutna brzina svih točaka ista i usmjerena je duž osi rotacije, možemo zapisati u vektorskom obliku:

Time je dokazana ekvivalentnost definicija (3.23) i (3.26).

Ako je ukupni moment vanjskih sila jednak nuli, tada se kutna količina gibanja sustava ne mijenja(vidi 3.25):

. Ovo je zakon održanja kutne količine gibanja . To je moguće kada:

a) sustav je zatvoren (ili );

b) vanjske sile nemaju tangencijalne komponente (vektor sile prolazi kroz os/centar rotacije);

c) vanjske sile su paralelne s nepomičnom osi rotacije.

Primjeri korištenja/djelovanja zakona održanja kutne količine gibanja:

1. žiroskop;

2. Klupa Zhukovsky;

3. umjetnički klizač na ledu.

5. Rad u rotacijskom kretanju.

Neka se tijelo okrene za neki kut pod djelovanjem sile, a kut između pomaka i sile je jednak ; – radijus vektor točke primjene sile (sl. 3.8), tada je rad sile jednak.

U inercijalnom referentnom sustavu, kutna akceleracija koju postiže tijelo koje rotira oko fiksne osi proporcionalna je ukupnom momentu svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo, a obrnuto proporcionalna momentu tromosti tijela u odnosu na danu os:

Može se dati jednostavnija formulacija glavni zakon rotacijske dinamike (također se zove Newtonov drugi zakon za rotacijsko gibanje) : moment je jednak umnošku momenta tromosti i kutnog ubrzanja:

trenutak impulsa(kutni moment, kutni moment) tijela naziva se umnožak njegovog momenta tromosti i kutne brzine:

Zamah- vektorska količina. Njegov smjer poklapa se sa smjerom vektora kutne brzine.

Promjena kutne količine gibanja određena je na sljedeći način:

. (I.112)

Promjena kutne količine gibanja (uz stalni moment tromosti tijela) može nastati samo kao posljedica promjene kutne brzine i uvijek je posljedica djelovanja momenta sile.

Prema formuli, kao i formulama (I.110) i (I.112), promjena kutne količine gibanja može se prikazati kao:

. (I.113)

Produkt u formuli (I.113) naziva se impuls impulsa ili pokretačka snaga. Jednaka je promjeni kutne količine gibanja.

Formula (I.113) vrijedi pod uvjetom da se moment sile ne mijenja tijekom vremena. Ako moment sile ovisi o vremenu, tj. , To

. (I.114)

Formula (I.114) pokazuje da: promjena kutne količine gibanja jednaka je vremenskom integralu momenta sile. Osim toga, ako je ova formula predstavljena u obliku: , tada će definicija slijediti iz nje moment sile: trenutni moment je prva derivacija kutne količine gibanja u odnosu na vrijeme,

Izraz (I.115) je drugi oblik osnovna jednadžba (zakon ) dinamika rotacijskog gibanja krutog tijela u odnosu na fiksnu os: derivacija kutne količine gibanja krutog tijela u odnosu na os jednaka je momentu sile u odnosu na istu os.

Pitanje 15

Moment inercije

Moment tromosti sustava (tijela) u odnosu na zadanu os fizikalna je veličina jednaka zbroju umnožaka masa n materijalne točke sustava kvadratima njihove udaljenosti od osi koja se razmatra:

J=

Zbrajanje se vrši po svim elementarnim masama m(i) na koje je tijelo podijeljeno

U slučaju kontinuirane raspodjele mase, ovaj zbroj se svodi na integral

gdje se integracija provodi po cijelom volumenu tijela. Vrijednost z u ovom slučaju je funkcija položaja točke s koordinatama x, y, z.

Kao primjer, pronađimo moment tromosti homogenog čvrstog cilindra visine h i polumjera R u odnosu na njegovu geometrijsku os. Podijelimo cilindar u zasebne šuplje koncentrične cilindre infinitezimalne debljine dr s unutarnjim radijusom r i vanjskim radijusom r + dr. Moment tromosti svakog šupljeg cilindra d,/ = r^2 dm (budući da je dr≤r pretpostavljamo da je udaljenost svih točaka cilindra od osi jednaka r), gdje je dm masa cijelog elementa cilindar; njegov volumen je 2 πr hrd r. Ako je p gustoća materijala, tada je dm = 2πhpr^3d r. Zatim moment tromosti čvrstog cilindra

ali kako je πR^3h volumen cilindra, tada je njegova masa m= πR^2hp, a moment tromosti

Steinerov teorem

Moment tromosti tijela J u odnosu na proizvoljnu os jednak je njegovom momentu tromosti u odnosu na paralelnu os koja prolazi kroz središte mase C tijela, zbrojen s umnoškom mase tijela i kvadrata udaljenosti a između osi:

J= +ma^2

1. Moment tromosti homogenog ravnog tankog cilindričnog štapa duljina i masa u odnosu na os koja prolazi kroz njegovu sredinu i okomita je na njegovu duljinu:

2. Moment tromosti homogenog čvrstog cilindra(ili disk) polumjer i masa u odnosu na os simetrije koja je okomita na njegovu ravninu i prolazi kroz središte:

3. Moment tromosti cilindra polumjer, masa i visina u odnosu na os koja je okomita na njegovu visinu i prolazi kroz njegovu sredinu:

4. Moment inercije lopte(sfera tankih stijenki) polumjer i masa u odnosu na njezin promjer (ili os koja prolazi kroz središte kugle):

5. Moment tromosti štapa duljina i masa, u odnosu na os koja prolazi kroz jedan od njegovih krajeva i okomita na njegovu duljinu:

6. Moment tromosti šupljeg cilindra tankih stijenki polumjer i masa, u odnosu na os cilindra:

7. Moment tromosti cilindra s rupom(kotač, spojka):

,

gdje su i polumjeri cilindra i rupe u njemu. Kutna količina gibanja također je konstantna za otvorene sustave ako je rezultirajući moment vanjskih sila primijenjenih na sustav jednak nuli.

Žiroskop (primjer: vrcaljka) je simetrično tijelo koje velikom brzinom rotira oko svoje osi.

Kutni moment žiroskopa poklapa se s njegovom osi rotacije.

Električno punjenje je mjera sudjelovanja tijela u elektromagnetskim međudjelovanjima.

Postoje dvije vrste električni naboji, konvencionalno nazvani pozitivni i negativni.

Coulombov zakon:

.

Električno polje je poseban oblik materije kroz koji dolazi do interakcije između nabijenih čestica.

Napetost električno polje– vektorska fizikalna veličina. Smjer vektora napetosti podudara se u svakoj točki prostora sa smjerom sile koja djeluje na pozitivni probni naboj.

Električni vodovi Coulombova polja pozitivnih i negativnih točkastih naboja: