Napiši jednadžbu mimoilazeće ravnine. Jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac

U ovom materijalu ćemo pogledati kako pronaći jednadžbu ravnine ako znamo koordinate tri različite točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Da bismo to učinili, moramo se sjetiti što je pravokutni koordinatni sustav u trodimenzionalnom prostoru. Za početak ćemo predstaviti osnovni princip dana jednadžba i pokazati vam kako ga točno koristiti za rješavanje specifičnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo, moramo zapamtiti jedan aksiom, koji zvuči ovako:

Definicija 1

Ako se tri točke ne poklapaju jedna s drugom i ne leže na istoj liniji, tada u trodimenzionalnom prostoru kroz njih prolazi samo jedna ravnina.

Drugim riječima, ako imamo tri različite točke čije se koordinate ne podudaraju i koje se ne mogu spojiti ravnom linijom, tada možemo odrediti ravninu koja prolazi kroz njih.

Recimo da imamo pravokutni koordinatni sustav. Označimo ga O x y z. Sadrži tri točke M s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), koje se ne mogu povezati ravna crta. Na temelju ovih uvjeta možemo napisati jednadžbu ravnine koja nam je potrebna. Postoje dva pristupa rješavanju ovog problema.

1. Prvi pristup koristi jednadžbu opće ravnine. U obliku slova, piše se kao A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Uz njegovu pomoć, možete odrediti u pravokutnom koordinatnom sustavu određenu alfa ravninu koja prolazi kroz prvu dana točka M 1 (x 1, y 1, z 1) . Ispada da će vektor normale ravnine α imati koordinate A, B, C.

Definicija N

Poznavajući koordinate vektora normale i koordinate točke kroz koju prolazi ravnina, možemo napisati opću jednadžbu ove ravnine.

Od toga ćemo polaziti i ubuduće.

Dakle, prema uvjetima zadatka imamo koordinate željene točke (čak i tri) kroz koje prolazi ravnina. Da biste pronašli jednadžbu, morate izračunati koordinate njenog normalnog vektora. Označimo ga s n → .

Prisjetimo se pravila: svaki vektor dane ravnine koji nije nula okomit je na vektor normale iste ravnine. Tada imamo da će n → biti okomit na vektore sastavljene od izvornih točaka M 1 M 2 → i M 1 M 3 → . Tada možemo označiti n → kao vektorski produkt oblika M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Budući da je M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dokazi ovih jednakosti dani su u članku posvećenom izračunavanju koordinata vektora iz koordinata točaka), tada se ispostavlja da:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Izračunamo li determinantu, dobit ćemo koordinate vektora normale n → koje trebamo. Sada možemo napisati jednadžbu koja nam je potrebna za ravninu koja prolazi kroz tri zadane točke.

2. Drugi pristup pronalaženju jednadžbe koja prolazi kroz M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), temelji se na konceptu koplanarnosti vektora.

Ako imamo skup točaka M (x, y, z), tada one u pravokutnom koordinatnom sustavu određuju ravninu za zadane točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) samo u slučaju kada su vektori M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) bit će komplanarni .

Na dijagramu će izgledati ovako:

Ovo će značiti da mješoviti rad vektori M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → bit će jednaki nuli: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0, jer je to glavni uvjet za komplanarnost : M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) i M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Napišimo dobivenu jednadžbu u koordinatnom obliku:

Nakon što izračunamo determinantu, možemo dobiti potrebnu jednadžbu ravnine za tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M3 (x 3, y 3, z 3) .

Iz dobivene jednadžbe možete prijeći na jednadžbu ravnine u segmentima ili na normalnu jednadžbu ravnine, ako uvjeti zadatka to zahtijevaju.

U sljedećem paragrafu dat ćemo primjere kako se pristupi koje smo naveli provode u praksi.

Primjeri zadataka za sastavljanje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz 3 točke

Prethodno smo identificirali dva pristupa koji se mogu koristiti za pronalaženje željene jednadžbe. Pogledajmo kako se koriste za rješavanje problema i kada biste trebali odabrati koji od njih.

Primjer 1

Postoje tri točke koje ne leže na istom pravcu, s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Napiši jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz njih.

Riješenje

Obje metode koristimo naizmjenično.

1. Pronađite koordinate dva vektora koja su nam potrebna M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Izračunajmo sada njihov vektorski produkt. Nećemo opisivati ​​izračune determinante:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Imamo vektor normale ravnine koji prolazi kroz tri tražene točke: n → = (- 5, 30, 2) . Zatim trebamo uzeti jednu od točaka, na primjer, M 1 (- 3, 2, - 1), i napisati jednadžbu za ravninu s vektorom n → = (- 5, 30, 2). Dobivamo da je: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Ovo je jednadžba koja nam je potrebna za ravninu koja prolazi kroz tri točke.

2. Zauzmimo drugačiji pristup. Napišimo jednadžbu za ravninu s tri točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) u sljedeći obrazac:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Ovdje možete zamijeniti podatke iz izjave problema. Budući da je x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, na kraju dobijemo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Dobili smo jednadžbu koju smo trebali.

Odgovor:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Ali što ako zadane točke i dalje leže na istoj liniji i za njih trebamo izraditi jednadžbu ravnine? Ovdje se mora odmah reći da ovaj uvjet neće biti sasvim točan. Kroz takve točke može proći beskonačno mnogo ravnina, pa je nemoguće izračunati jedan odgovor. Razmotrimo takav problem kako bismo dokazali netočnost takve formulacije pitanja.

Primjer 2

Imamo pravokutni koordinatni sustav u trodimenzionalnom prostoru u kojem su postavljene tri točke s koordinatama M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1). , 1) . Potrebno je napisati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz nju.

Riješenje

Upotrijebimo prvu metodu i počnimo s izračunavanjem koordinata dvaju vektora M 1 M 2 → i M 1 M 3 →. Izračunajmo njihove koordinate: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Unakrsni proizvod će biti jednak:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Budući da je M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, tada će naši vektori biti kolinearni (ponovno pročitajte članak o njima ako ste zaboravili definiciju ovog pojma). Dakle, početne točke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) nalaze se na istoj liniji, a naš problem ima beskonačno mnogo mogućnosti odgovora.

Ako koristimo drugu metodu, dobit ćemo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iz dobivene jednakosti također slijedi da su zadane točke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) na istom pravcu.

Ako želite pronaći barem jedan odgovor na ovaj problem od beskonačan broj njegovih opcija, morate izvršiti sljedeće korake:

1. Zapišite jednadžbu pravca M 1 M 2, M 1 M 3 ili M 2 M 3 (po potrebi pogledajte materijal o ovoj radnji).

2. Uzmimo točku M 4 (x 4, y 4, z 4) koja ne leži na pravoj liniji M 1 M 2.

3. Napiši jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri različite točke M 1, M 2 i M 4 koje ne leže na istom pravcu.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ovaj članak daje ideju o tome kako napraviti jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku u trodimenzionalnom prostoru okomito na danu liniju. Analizirajmo zadani algoritam na primjeru rješavanja tipičnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru okomito na zadani pravac

Neka je u njemu zadan trodimenzionalni prostor i pravokutni koordinatni sustav O x y z. Dana je i točka M 1 (x 1, y 1, z 1), pravac a i ravnina α koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a. Potrebno je napisati jednadžbu ravnine α.

Prije nego počnemo rješavati ovaj problem, prisjetimo se geometrijskog teorema iz nastavnog plana i programa za 10-11 razred koji kaže:

Definicija 1

Kroz zadanu točku u trodimenzionalnom prostoru prolazi jedna ravnina okomita na zadanu ravnu crtu.

Sada pogledajmo kako pronaći jednadžbu ove jedne ravnine koja prolazi kroz početnu točku i okomita je na dani pravac.

Opću jednadžbu ravnine moguće je napisati ako su poznate koordinate točke koja pripada toj ravnini, kao i koordinate vektora normale ravnine.

Uvjeti zadatka daju nam koordinate x 1, y 1, z 1 točke M 1 kroz koju prolazi ravnina α. Odredimo li koordinate vektora normale ravnine α, tada ćemo moći napisati traženu jednadžbu.

Vektor normale ravnine α, budući da je različit od nule i leži na pravcu a, okomitom na ravninu α, bit će bilo koji vektor smjera pravca a. Time se problem određivanja koordinata vektora normale ravnine α transformira u problem određivanja koordinata vektora usmjerivača pravca a.

Koordinate vektora smjera pravca a mogu se odrediti različite metode: ovisi o mogućnosti zadavanja ravne linije a u početnim uvjetima. Na primjer, ako je pravac a u tvrdnji problema dan kanonskim jednadžbama oblika

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ili parametarske jednadžbe oblika:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

tada će vektor smjera pravca imati koordinate a x, a y i a z. U slučaju kada je pravac a predstavljen dvjema točkama M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), tada će koordinate vektora pravca biti određene kao ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Definicija 2

Algoritam za pronalaženje jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac:

Određujemo koordinate vektora smjera prave a: a → = (a x, a y, a z) ;

Koordinate vektora normale ravnine α definiramo kao koordinate vektora usmjerivača pravca a:

n → = (A , B , C) , gdje je A = a x, B = a y, C = a z;

Napišemo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom M 1 (x 1, y 1, z 1) i ima normalni vektor n → = (A, B, C) u obliku A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. To će biti tražena jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku u prostoru i okomita je na zadani pravac.

Rezultirajuća opća jednadžba ravnine je: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 omogućuje dobivanje jednadžbe ravnine u segmentima ili normalne jednadžbe ravnine.

Riješimo nekoliko primjera koristeći gore dobiveni algoritam.

Primjer 1

Zadana je točka M 1 (3, - 4, 5) kroz koju prolazi ravnina, a ta je ravnina okomita na koordinatni pravac O z.

Riješenje

vektor smjera koordinatne linije O z bit će koordinatni vektor k ⇀ = (0, 0, 1). Dakle, vektor normale ravnine ima koordinate (0, 0, 1). Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku M 1 (3, - 4, 5), čiji normalni vektor ima koordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Odgovor: z – 5 = 0 .

Razmotrimo još jedan način rješavanja ovog problema:

Primjer 2

Ravnina koja je okomita na pravac O z bit će dana nepotpunom općom jednadžbom ravnine oblika C z + D = 0, C ≠ 0. Odredimo vrijednosti C i D: one na kojima ravnina prolazi kroz datu točku. Zamijenimo koordinate ove točke u jednadžbu C z + D = 0, dobivamo: C · 5 + D = 0. Oni. brojevi, C i D povezani su relacijom - D C = 5. Uzimajući C = 1, dobivamo D = - 5.

Zamijenimo ove vrijednosti u jednadžbu C z + D = 0 i dobijemo traženu jednadžbu ravnine okomite na ravnu liniju O z i koja prolazi kroz točku M 1 (3, - 4, 5).

To će izgledati ovako: z – 5 = 0.

Odgovor: z – 5 = 0 .

Primjer 3

Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz ishodište i okomita je na pravac x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Riješenje

Na temelju uvjeta problema može se tvrditi da se vektor smjera zadane ravne crte može uzeti kao normalni vektor n → zadane ravnine. Dakle: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi točkom O (0, 0, 0) i ima vektor normale n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Dobili smo traženu jednadžbu ravnine koja prolazi kroz ishodište koordinata okomito na zadani pravac.

Odgovor:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Primjer 4

U trodimenzionalnom prostoru zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z u kojem se nalaze dvije točke A (2, - 1, - 2) i B (3, - 2, 4). Ravnina α prolazi kroz točku A okomito na pravac A B. Potrebno je napraviti jednadžbu za ravninu α u segmentima.

Riješenje

Ravnina α je okomita na pravac A B, tada će vektor A B → biti vektor normale ravnine α. Koordinate ovog vektora definirane su kao razlika između odgovarajućih koordinata točaka B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Opća jednadžba ravnine bit će zapisana na sljedeći način:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sada sastavimo traženu jednadžbu ravnine u segmentima:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Odgovor:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Također treba napomenuti da postoje zadaci čiji je zahtjev da se napiše jednadžba ravnine koja prolazi kroz zadanu točku i okomita je na dvije zadane ravnine. Općenito, rješenje ovog problema je konstruirati jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz danu točku okomito na danu liniju, jer dvije ravnine koje se sijeku određuju ravnu liniju.

Primjer 5

Zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y z u kojem se nalazi točka M 1 (2, 0, - 5). Zadane su i jednadžbe dviju ravnina 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z – 1 = 0 koje se sijeku duž pravca a. Potrebno je izraditi jednadžbu za ravninu koja prolazi točkom M 1 okomito na pravac a.

Riješenje

Odredimo koordinate vektora usmjerivača pravca a. Okomit je na vektor normale n 1 → (3, 2, 0) ravnine n → (1, 0, 2) i na vektor normale 3 x + 2 y + 1 = 0 x + 2 z - 1 = 0 ravnina.

Tada kao usmjerivač α → pravac a uzimamo vektorski produkt vektora n 1 → i n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Dakle, vektor n → = (4, - 6, - 2) bit će vektor normale ravnine okomite na pravac a. Zapišimo traženu jednadžbu ravnine:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Odgovor: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Da bi se kroz bilo koje tri točke u prostoru povukla jedna ravnina, potrebno je da te točke ne leže na istoj pravoj liniji.

Promotrimo točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) u općem Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Da bi proizvoljna točka M(x, y, z) ležala u istoj ravnini s točkama M 1, M 2, M 3, potrebno je da vektori budu komplanarni.

(
) = 0

Tako,

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri točke:

Jednadžba ravnine s dvije točke i vektorom kolinearnim na ravninu.

Neka su zadane točke M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) i vektor
.

Napravimo jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz zadane točke M 1 i M 2 i proizvoljnu točku M (x, y, z) paralelnu s vektorom .

Vektori
i vektor
mora biti komplanarna, tj.

(
) = 0

Jednadžba ravnine:

Jednadžba ravnine koja koristi jednu točku i dva vektora,

kolinearno ravnini.

Neka su dana dva vektora
I
, kolinearne ravnine. Tada za proizvoljnu točku M(x, y, z) koja pripada ravnini vektori
mora biti komplanarna.

Jednadžba ravnine:

Jednadžba ravnine s točkom i normalnim vektorom .

Teorema. Ako je u prostoru dana točka M 0 (X 0 , g 0 , z 0 ), zatim jednadžba ravnine koja prolazi točkom M 0 okomito na vektor normale (A, B, C) ima oblik:

A(x – x 0 ) + B(g – g 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dokaz. Za proizvoljnu točku M(x, y, z) koja pripada ravnini sastavljamo vektor. Jer vektor normalni vektor, onda je okomit na ravninu i, prema tome, okomit na vektor
. Zatim skalarni produkt

= 0

Tako dobivamo jednadžbu ravnine

Teorem je dokazan.

Jednadžba ravnine u segmentima.

Ako u općoj jednadžbi Ax + Bi + Cz + D = 0 obje strane podijelimo s (-D)

,

zamjenjujući
, dobivamo jednadžbu ravnine u segmentima:

Brojevi a, b, c su sjecišne točke ravnine s osi x, y, z.

Jednadžba ravnine u vektorskom obliku.

Gdje

- radijus vektor trenutne točke M(x, y, z),

Jedinični vektor koji ima smjer okomice spuštene na ravninu iz ishodišta.

,  i  su kutovi koje tvori ovaj vektor s osima x, y, z.

p je duljina ove okomice.

U koordinatama ova jednadžba izgleda ovako:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Udaljenost od točke do ravnine.

Udaljenost od proizvoljne točke M 0 (x 0, y 0, z 0) do ravnine Ax+By+Cz+D=0 je:

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine znajući da je točka P(4; -3; 12) osnovica okomice spuštene iz ishodišta na tu ravninu.

Dakle, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13 koristimo formulu:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz dvije točke P(2; 0; -1) i

Q(1; -1; 3) okomito na ravninu 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vektor normale na ravninu 3x + 2y – z + 5 = 0
paralelno sa željenom ravninom.

Dobivamo:

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke A(2, -1, 4) i

B(3, 2, -1) okomito na ravninu x + na + 2z – 3 = 0.

Tražena jednadžba ravnine ima oblik: A x+B g+C z+ D = 0, vektor normale na ovu ravninu (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) pripada ravnini. Zadana nam ravnina, okomita na željenu, ima normalni vektor (1, 1, 2). Jer točke A i B pripadaju objema ravninama, a ravnine su međusobno okomite, dakle

Dakle normalni vektor (11, -7, -2). Jer točka A pripada traženoj ravnini, tada njezine koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu te ravnine, tj. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Ukupno, dobivamo jednadžbu ravnine: 11 x - 7g – 2z – 21 = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu ravnine znajući da je točka P(4, -3, 12) osnovica okomice spuštene iz ishodišta na tu ravninu.

Određivanje koordinata vektora normale
= (4, -3, 12). Tražena jednadžba ravnine ima oblik: 4 x – 3g + 12z+ D = 0. Da bismo pronašli koeficijent D, zamijenimo koordinate točke P u jednadžbu:

16 + 9 + 144 + D = 0

Ukupno dobivamo traženu jednadžbu: 4 x – 3g + 12z – 169 = 0

Primjer. Zadane su koordinate vrhova piramide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Odredi duljinu brida A 1 A 2.

Odredite kut između bridova A 1 A 2 i A 1 A 4.

Odredi kut između ruba A 1 A 4 i plohe A 1 A 2 A 3.

Prvo nalazimo vektor normale na plohu A 1 A 2 A 3 kao umnožak vektora
I
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Nađimo kut između vektora normale i vektora
.

-4 – 4 = -8.

Željeni kut  između vektora i ravnine bit će jednak  = 90 0 - .

Nađite površinu lica A 1 A 2 A 3.

Nađi obujam piramide.

Nađite jednadžbu ravnine A 1 A 2 A 3.

Upotrijebimo formulu za jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kada koristite računalnu verziju “ Tečaj više matematike” možete pokrenuti program koji će riješiti gornji primjer za bilo koje koordinate vrhova piramide.

Za pokretanje programa dvaput kliknite na ikonu:

U prozoru programa koji se otvori unesite koordinate vrhova piramide i pritisnite Enter. Na taj se način sve točke odluke mogu dobiti jedna po jedna.

Napomena: Za pokretanje programa, program Maple ( Waterloo Maple Inc.) bilo koje verzije, počevši od MapleV Release 4, mora biti instaliran na vašem računalu.

13.Kut između ravnina, udaljenost točke od ravnine.

Neka se ravnine α i β sijeku duž pravca c.
Kut između ravnina je kut između okomica na crtu njihova sjecišta povučenih u tim ravninama.

Drugim riječima, u ravnini α povukli smo ravnu liniju a okomitu na c. U ravnini β - pravac b, također okomit na c. Kut između ravnina α i β jednak kutu između linija a i b.

Imajte na umu da kada se dvije ravnine sijeku zapravo se formiraju četiri kuta. Vidite li ih na slici? Kao kut između ravnina uzimamo začinjeno kutak.

Ako je kut između ravnina 90 stupnjeva, tada ravnine okomito,

Ovo je definicija okomitosti ravnina. Pri rješavanju zadataka iz stereometrije također koristimo znak okomitosti ravnina:

Ako ravnina α prolazi okomitom na ravninu β, tada su ravnine α i β okomite.

udaljenost od točke do ravnine

Razmotrimo točku T definiranu svojim koordinatama:

T = (x 0 , y 0 , z 0)

Također razmotrite ravninu α, danu jednadžbom:

Ax + By + Cz + D = 0

Tada se udaljenost L od točke T do ravnine α može izračunati pomoću formule:

Drugim riječima, zamijenimo koordinate točke u jednadžbu ravnine, a zatim podijelimo ovu jednadžbu s duljinom vektora normale n na ravninu:

Dobiveni broj je udaljenost. Pogledajmo kako ovaj teorem funkcionira u praksi.

Već smo izveli parametarske jednadžbe pravca na ravninu, idemo do parametarskih jednadžbi pravca, koji je definiran u pravokutnom koordinatnom sustavu u trodimenzionalnom prostoru.

Neka je pravokutni koordinatni sustav fiksiran u trodimenzionalnom prostoru Oxyz. Definirajmo u njemu ravnu liniju a(vidi odjeljak o metodama definiranja pravca u prostoru), označavajući vektor smjera pravca i koordinate neke točke na pravcu . Od ovih ćemo podataka krenuti pri izradi parametarskih jednadžbi pravca u prostoru.

Neka je proizvoljna točka u trodimenzionalnom prostoru. Oduzmemo li od koordinata točke M odgovarajuće koordinate točke M 1, tada ćemo dobiti koordinate vektora (pogledajte članak o pronalaženju koordinata vektora iz koordinata točaka njegovog kraja i početka), tj. .

Očito skup točaka definira ravnu liniju A ako i samo ako su vektori i kolinearni.

Zapišimo nužan i dovoljan uvjet kolinearnosti vektora I : , gdje je neki realni broj. Dobivena jednadžba naziva se vektorsko-parametarska jednadžba pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru. Vektorsko-parametarska jednadžba pravca u koordinatnom obliku ima oblik i predstavlja parametarske jednadžbe pravca a. Naziv "parametarski" nije slučajan, budući da su koordinate svih točaka na liniji navedene pomoću parametra.

Navedimo primjer parametarskih jednadžbi pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz u svemiru: . Ovdje

15.Kut između pravca i ravnine. Točka presjeka pravca s ravninom.

Svaka jednadžba prvog stupnja s obzirom na koordinate x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

definira ravninu, i obrnuto: svaka ravnina se može prikazati jednadžbom (3.1), koja se naziva jednadžba ravnine.

Vektor n(A, B, C) okomita na ravninu naziva se normalni vektor avion. U jednadžbi (3.1) koeficijenti A, B, C nisu istovremeno jednaki 0.

Posebni slučajevi jednadžbe (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ravnina prolazi kroz ishodište.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ravnina je paralelna s osi Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ravnina prolazi kroz os Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ravnina je paralelna s ravninom Oyz.

Jednadžbe koordinatnih ravnina: x = 0, y = 0, z = 0.

Ravna linija u prostoru može se odrediti:

1) kao linija presjeka dviju ravnina, tj. sustav jednadžbi:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) svojim dvjema točkama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je pravac koji prolazi kroz njih dan jednadžbama:

3) točku M 1 (x 1, y 1, z 1) koja joj pripada i vektor a(m, n, p), kolinearni s njim. Tada je ravna crta određena jednadžbama:

. (3.4)

Jednadžbe (3.4) nazivaju se kanonske jednadžbe pravca.

Vektor a nazvao vektor smjera pravac.

Parametarske jednadžbe pravca dobivamo izjednačavanjem svake od relacija (3.4) s parametrom t:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Rješavanje sustava (3.2) kao sustava linearne jednadžbe relativno nepoznat x I g, dolazimo do jednadžbi pravca u projekcije Ili do zadane jednadžbe pravca:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Od jednadžbi (3.6) možemo prijeći na kanonske jednadžbe, nalazeći z iz svake jednadžbe i izjednačavanje dobivenih vrijednosti:

.

Od općih jednadžbi (3.2) možete prijeći na kanonske na drugi način, ako pronađete bilo koju točku na ovoj liniji i njen vektor smjera n= [n 1 , n 2 ], gdje n 1 (A 1, B 1, C 1) i n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - normalni vektori zadanih ravnina. Ako jedan od nazivnika m, n ili R u jednadžbama (3.4) ispada da je jednak nuli, tada brojnik odgovarajućeg razlomka mora biti jednak nuli, tj. sustav

je ekvivalentan sustavu ; takva ravna linija je okomita na os Ox.

Sustav je ekvivalentan sustavu x = x 1, y = y 1; pravac je paralelan s osi Oz.

Primjer 1.15. Napišite jednadžbu za ravninu, znajući da točka A(1,-1,3) služi kao osnovica okomice povučene iz ishodišta na tu ravninu.

Riješenje. Prema uvjetima problema, vektor OA(1,-1,3) je normalni vektor ravnine, tada se njegova jednadžba može napisati kao
x-y+3z+D=0. Zamjenom koordinata točke A(1,-1,3) koja pripada ravnini, nalazimo D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Dakle x-y+3z-11=0.

Primjer 1.16. Napravite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz os Oz i čini kut od 60 stupnjeva s ravninom 2x+y-z-7=0.

Riješenje. Ravnina koja prolazi kroz os Oz dana je jednadžbom Ax+By=0, gdje A i B ne iščezavaju istovremeno. Neka B nije
jednako 0, A/Bx+y=0. Korištenje formule kosinusa za kut između dviju ravnina

.

Odlučujući kvadratna jednadžba 3m 2 + 8m - 3 = 0, pronađite njegove korijene
m 1 = 1/3, m 2 = -3, odakle dobivamo dvije ravnine 1/3x+y = 0 i -3x+y = 0.

Primjer 1.17. Sastavite kanonske jednadžbe pravca:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Riješenje. Kanonske jednadžbe pravca imaju oblik:

Gdje m, n, str- koordinate vektora usmjeravanja pravca, x 1, y 1, z 1- koordinate bilo koje točke koja pripada liniji. Pravac je definiran kao linija presjeka dviju ravnina. Da bi se našla točka koja pripada pravcu, jedna od koordinata je fiksna (najlakše je postaviti npr. x=0) i dobiveni sustav se rješava kao sustav linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Dakle, neka je x=0, tada je y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, stoga je y=-1, z=1. Pronašli smo koordinate točke M(x 1, y 1, z 1) koja pripada ovom pravcu: M (0,-1,1). Vektor smjera ravne crte lako je pronaći, poznavajući normalne vektore izvornih ravnina n 1 (5,1,1) i n 2 (2,3,-2). Zatim

Kanonske jednadžbe pravca imaju oblik: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Primjer 1.18. U gredi definiranoj ravninama 2x-y+5z-3=0 i x+y+2z+1=0 pronađite dvije okomite ravnine od kojih jedna prolazi kroz točku M(1,0,1).

Riješenje. Jednadžba grede definirane ovim ravninama ima oblik u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, gdje u i v ne nestaju istovremeno. Prepišimo jednadžbu grede na sljedeći način:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Da bismo iz grede odabrali ravninu koja prolazi točkom M, u jednadžbu grede zamijenimo koordinate točke M. Dobivamo:

(2u+v)×1 + (-u + v)×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, ili v = - u.

Zatim nalazimo jednadžbu ravnine koja sadrži M zamjenom v = - u u jednadžbu grede:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Jer u¹0 (inače v=0, a to je u suprotnosti s definicijom grede), tada imamo jednadžbu ravnine x-2y+3z-4=0. Druga ravnina koja pripada gredi mora biti okomita na nju. Zapišimo uvjet ortogonalnosti ravnina:

(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, ili v = - 19/5u.

To znači da jednadžba druge ravnine ima oblik:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 ili 9x +24y + 13z + 34 = 0

Pretpostavimo da trebamo pronaći jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke koje ne leže na istom pravcu. Označavajući njihove radijus vektore s , a trenutni radijus vektor s , lako možemo dobiti traženu jednadžbu u vektorskom obliku. U stvari, vektori moraju biti komplanarni (svi leže u željenoj ravnini). Stoga vektorsko-skalarni produkt ovih vektora mora biti jednak nuli:

Ovo je jednadžba ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke u vektorskom obliku.

Prelazeći na koordinate, dobivamo jednadžbu u koordinatama:

Ako tri zadane točke leže na istom pravcu, vektori bi bili kolinearni. Stoga bi odgovarajući elementi posljednja dva retka determinante u jednadžbi (18) bili proporcionalni i determinanta bi bila identički jednaka nuli. Posljedično, jednadžba (18) bi postala identična za bilo koju vrijednost x, y i z. Geometrijski to znači da kroz svaku točku prostora prolazi ravnina u kojoj leže tri zadane točke.

Napomena 1. Isti se problem može riješiti bez korištenja vektora.

Označavajući koordinate triju zadanih točaka, napišemo jednadžbu bilo koje ravnine koja prolazi kroz prvu točku:

Da bi se dobila jednadžba željene ravnine, potrebno je zahtijevati da jednadžbu (17) zadovolje koordinate dviju drugih točaka:

Iz jednadžbi (19) potrebno je odrediti omjer dva koeficijenta prema trećem i dobivene vrijednosti unijeti u jednadžbu (17).

Primjer 1. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke.

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz prvu od ovih točaka bit će:

Uvjeti da ravnina (17) prođe kroz druge dvije točke i prvu točku su:

Dodavanjem druge jednadžbe prvoj, nalazimo:

Zamjenom u drugu jednadžbu dobivamo:

Zamjenom u jednadžbu (17) umjesto A, B, C, redom, 1, 5, -4 (brojevi proporcionalni njima), dobivamo:

Primjer 2. Napišite jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Jednadžba bilo koje ravnine koja prolazi kroz točku (0, 0, 0) bit će]

Uvjeti prolaska ove ravnine kroz točke (1, 1, 1) i (2, 2, 2) su:

Smanjujući drugu jednadžbu za 2, vidimo da za određivanje dvije nepoznanice postoji jedna jednadžba s

Odavde dobivamo. Sada zamjenjujući vrijednost ravnine u jednadžbu, nalazimo:

Ovo je jednadžba željene ravnine; ovisi o proizvoljnom

veličine B, C (naime, iz relacije tj. postoji beskonačan broj ravnina koje prolaze kroz tri zadane točke (tri zadane točke leže na istoj pravoj liniji).

Napomena 2. Zadatak povlačenja ravnine kroz tri zadane točke koje ne leže na istom pravcu lako se rješava u opći pogled, ako koristimo odrednice. Doista, budući da u jednadžbama (17) i (19) koeficijenti A, B, C ne mogu istovremeno biti jednaki nuli, tada, promatrajući ove jednadžbe kao homogeni sustav s tri nepoznanice A, B, C, pišemo nužnu i dovoljnu uvjet za postojanje rješenja ovog sustava, različitog od nule (1. dio, VI. poglavlje, § 6):

Proširivanjem ove determinante na elemente prvog reda dobivamo jednadžbu prvog stupnja s obzirom na trenutne koordinate, kojoj će zadovoljiti, posebice, koordinate triju zadanih točaka.

Ovo posljednje također možete izravno provjeriti zamjenom koordinata bilo koje od ovih točaka umjesto . S lijeve strane dobivamo determinantu u kojoj su ili elementi prvog retka nule ili postoje dva identična retka. Dakle, konstruirana jednadžba predstavlja ravninu koja prolazi kroz tri zadane točke.