Primjeri na temu stupnja s racionalnim eksponentom. Svojstva stupnjeva, formulacije, dokazi, primjeri
Video lekcija "Eksponent s racionalnim eksponentom" sadrži vizualni prikaz obrazovni materijal naučiti lekciju o ovoj temi. Video lekcija sadrži informacije o konceptu stupnja s racionalnim eksponentom, svojstvima takvih stupnjeva, kao i primjere koji opisuju korištenje obrazovnog materijala za rješavanje praktičnih problema. Svrha ove video lekcije je jasno i jasno predstaviti nastavni materijal, olakšati učenicima njegovo razvijanje i pamćenje te razviti sposobnost rješavanja problema pomoću naučenih pojmova.
Glavne prednosti video lekcije su mogućnost vizualnog izvođenja transformacija i izračuna, mogućnost korištenja animacijskih efekata za poboljšanje učinkovitosti učenja. Glasovna pratnja pomaže u razvoju ispravnog matematičkog govora, a također omogućuje zamjenu učiteljevog objašnjenja, oslobađajući ga za obavljanje samostalnog rada.
Video lekcija počinje predstavljanjem teme. Povezivanje studija nova tema s prethodno proučavanim materijalom, predlaže se zapamtiti da se n √a inače označava s 1/n za prirodni n i pozitivno a. Ovaj n-korijenski prikaz je prikazan na ekranu. Zatim predlažemo da razmotrimo što znači izraz a m/n, u kojem je a pozitivan broj, a m/n razlomak. Dana je definicija stupnja s racionalnim eksponentom kao m/n = n √a m, označena u okviru. Napominje se da n može biti prirodan broj, a m može biti cijeli broj.
Nakon definiranja stupnja s racionalnim eksponentom, njegovo značenje se otkriva kroz primjere: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Također je prikazan primjer u kojem se potencija predstavljena decimalom pretvara u obični razlomak predstaviti kao korijen: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 i primjer s negativnim eksponentom: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .
Osobitost posebnog slučaja kada je baza stupnja nula posebno je naznačena. Napominje se da ovaj stupanj ima smisla samo s pozitivnim razlomačkim eksponentom. U ovom slučaju, njegova vrijednost je nula: 0 m/n =0.
Napominje se još jedna značajka stupnja s racionalnim eksponentom - da se stupanj s razlomačkim eksponentom ne može smatrati s razlomačkim eksponentom. Navedeni su primjeri netočnog zapisa stupnja: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.
Zatim u video lekciji raspravljamo o svojstvima stupnja s racionalnim eksponentom. Napominje se da će svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom vrijediti i za stupanj s racionalnim eksponentom. Predlaže se opoziv popisa nekretnina koje vrijede i u u ovom slučaju:
- Pri množenju potencije sa po istim osnovama njihovi se pokazatelji zbrajaju: a p a q =a p+q.
- Podjela stupnjeva s istim bazama svodi se na stupanj sa zadanom bazom i razlikom u eksponentima: a p:a q =a p-q.
- Podignemo li stupanj na određenu potenciju, tada ćemo dobiti stupanj sa zadanom bazom i umnoškom eksponenata: (a p) q =a pq.
Sva ova svojstva vrijede za potencije s racionalnim eksponentima p, q i pozitivnom bazom a>0. Također, transformacije stupnjeva pri otvaranju zagrada ostaju istinite:
- (ab) p =a p b p - dizanjem na neku potenciju s racionalnim eksponentom umnožak dvaju brojeva svodi se na umnožak brojeva od kojih je svaki podignut na zadanu potenciju.
- (a/b) p =a p /b p - dizanje razlomka na potenciju s racionalnim eksponentom svodi se na razlomak čiji su brojnik i nazivnik podignuti na zadanu potenciju.
Video tutorial govori o rješavanju primjera koji koriste razmatrana svojstva potencija s racionalnim eksponentom. Prvi primjer od vas traži da pronađete vrijednost izraza koji sadrži varijable x u razlomku: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Unatoč složenosti izraza, korištenjem svojstava potencije može se riješiti prilično jednostavno. Rješavanje problema počinje pojednostavljivanjem izraza, koji koristi pravilo podizanja potencije s racionalnim eksponentom na potenciju, kao i množenje potencija s istom bazom. Nakon zamjene zadane vrijednosti x=8 u pojednostavljeni izraz x 1/3 +48, lako je dobiti vrijednost - 50.
U drugom primjeru trebate smanjiti razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže potencije s racionalnim eksponentom. Koristeći svojstva stupnja, izdvajamo iz razlike faktor x 1/3, koji se zatim smanjuje u brojniku i nazivniku, a pomoću formule za razliku kvadrata, brojnik se faktorizira, što daje daljnja smanjenja identičnih faktori u brojniku i nazivniku. Rezultat takvih transformacija je kratki razlomak x 1/4 +3.
Video lekcija "Eksponent s racionalnim eksponentom" može se koristiti umjesto da nastavnik objašnjava novu temu lekcije. Ovaj priručnik također sadrži dovoljno pune informacije Za samostalno istraživanje student. Materijal također može biti koristan za učenje na daljinu.
Od cjelobrojnih eksponenata broja a nagovještava se prijelaz na racionalne eksponente. U nastavku ćemo definirati stupanj s racionalnim eksponentom, a to ćemo učiniti na način da sva svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom budu sačuvana. Ovo je neophodno jer su cijeli brojevi dio racionalnih brojeva.
Poznato je da se skup racionalnih brojeva sastoji od cijelih i razlomaka, a svaki razlomački broj može se prikazati kao pozitivan ili negativan obični razlomak. Stupanj s cjelobrojnim eksponentom definirali smo u prethodnom odlomku, stoga, da bismo dovršili definiciju stupnja s racionalnim eksponentom, moramo dati značenje stupnju broja a s frakcijskim indikatorom m/n, Gdje m je cijeli broj, i n- prirodno. Učinimo to.
Razmotrimo stupanj s frakcijskim eksponentom oblika . Da bi svojstvo moć-na-potencijalo ostalo valjano, mora vrijediti jednakost 
. Ako uzmemo u obzir dobivenu jednakost i kako smo odredili n-ti korijen stupnja, onda je logično prihvatiti, pod uvjetom da je zadano m, n I a izraz ima smisla.
Lako je provjeriti da za sve vrijede svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom (to je učinjeno u odjeljku svojstva stupnja s racionalnim eksponentom).
Gornje obrazloženje omogućuje nam sljedeće zaključak: ako su dati podaci m, n I a izraz ima smisla, zatim snaga broja a s frakcijskim indikatorom m/n naziva korijen n ti stupanj a do stupnja m.
Ova nas izjava približava definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom. Ostaje samo opisati na čemu m, n I a izraz ima smisla. Ovisno o ograničenjima koja su nametnuta m, n I a Dva su glavna pristupa.
1. Najlakši način je nametnuti ograničenje na a, prihvativši a≥0 za pozitivno m I a>0 za negativno m(od kad m≤0 stupanj 0 m nije utvrđeno). Tada dobivamo sljedeću definiciju stupnja s razlomačkim eksponentom.
Definicija.
Potencija pozitivnog broja a s frakcijskim indikatorom m/n , Gdje m- cijeli, i n – prirodni broj, zvan korijen n-th od broja a do stupnja m, to je, .
Frakcijska snaga nule također se određuje uz jedino upozorenje da indikator mora biti pozitivan.
Definicija.
Potencija nule s razlomačkim pozitivnim eksponentom m/n
, Gdje m je pozitivan cijeli broj, i n– prirodni broj, definiran kao 
.
Kada stupanj nije određen, odnosno stupanj broja nula s razlomačkim negativnim eksponentom nema smisla.
Treba napomenuti da kod ove definicije stupnja s razlomačkim eksponentom postoji jedno upozorenje: za neke negativne a i još m I n izraz ima smisla, ali smo te slučajeve odbacili uvođenjem uvjeta a≥0. Na primjer, unosi imaju smisla 
ili , a gornja definicija nas tjera da kažemo da potencije s razlomačkim eksponentom oblika 
nema smisla jer baza ne bi trebala biti negativna.
2. Drugi pristup određivanju stupnja s frakcijskim eksponentom m/n sastoji se u odvojenom razmatranju parnih i neparnih eksponenata korijena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: snagu broja a, čiji je eksponent svodivi obični razlomak, smatra se potencijom broja a, čiji je pokazatelj odgovarajući nesvodivi razlomak (važnost ovog uvjeta bit će objašnjena u nastavku). Odnosno, ako m/n je nesvodivi razlomak, tada za svaki prirodni broj k stupanj preliminarno zamjenjuje s .
Za čak n i pozitivno m izraz ima smisla za bilo koji nenegativan a(parni korijen negativnog broja nema značenje), za negativ m broj a i dalje mora biti različit od nule (inače će doći do dijeljenja s nulom). I za ak n i pozitivno m broj a može biti bilo koji (neparan korijen je definiran za svaki realni broj), a za negativan m broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja s nulom).
Gornje razmišljanje dovodi nas do ove definicije stupnja s frakcijskim eksponentom.
Definicija.
Neka m/n– nesvodivi razlomak, m- cijeli, i n- prirodni broj. Za svaki reducibilni razlomak, stupanj se zamjenjuje s . Stupanj od a s nesvodivim razlomačkim eksponentom m/n- to je za
o bilo koji realni broj a, cijeli pozitivan m a neparni prirodni n, Na primjer, 
;
o svaki realni broj različit od nule a, negativan cijeli broj m i neparan n, Na primjer, 
;
o bilo koji nenegativan broj a, cijeli pozitivan m pa čak i n, Na primjer, 
;
o bilo koji pozitivan a, negativan cijeli broj m pa čak i n, Na primjer, 
;
o u ostalim slučajevima stupanj s razlomačkim pokazateljem nije određen, kao što npr. stupnjevi nisu definirani 
.a unosu ne pridajemo nikakvo značenje; definiramo potenciju broja nula za pozitivne razlomačke eksponente m/n Kako , za negativne razlomačke eksponente potencija broja nula nije određena.
U zaključku ovog odlomka obratimo pozornost na činjenicu da se razlomački eksponent može napisati u obliku decimal ili mješoviti broj, Na primjer, 
. Da biste izračunali vrijednosti izraza ove vrste, trebate napisati eksponent u obliku običnog razlomka, a zatim upotrijebiti definiciju eksponenta s frakcijskim eksponentom. Za gornjim primjerima imamo 
I 
Potencija s racionalnim eksponentom
Khasyanova T.G.,
profesorica matematike
Predstavljeni materijal bit će koristan nastavnicima matematike prilikom proučavanja teme "Eksponent s racionalnim eksponentom".
Svrha predstavljenog materijala: otkriti svoje iskustvo vođenja lekcije na temu "Eksponent s racionalnim eksponentom" program rada disciplina "Matematika".
Metodologija izvođenja lekcije odgovara njenoj vrsti - lekcija proučavanja i početne konsolidacije novih znanja. Ažurirano pozadinsko znanje i vještine temeljene na prethodno stečenom iskustvu; primarno pamćenje, konsolidaciju i primjenu novih informacija. Učvršćivanje i primjena novog gradiva odvijala se u obliku rješavanja zadataka koje sam testirala različite složenosti, dajući pozitivan rezultat u svladavanju teme.
Na početku sata postavljam učenicima sljedeće ciljeve: obrazovne, razvojne, obrazovne. Tijekom lekcije koju sam koristio razne načine aktivnosti: frontalni, individualni, u paru, samostalni, test. Zadaci su bili diferencirani i omogućili su da se u svakoj fazi sata utvrdi stupanj usvojenosti znanja. Obim i složenost zadataka odgovara dobnim karakteristikama učenika. Iz mog iskustva - domaća zadaća, slično problemima koji se rješavaju u učionici, omogućuje vam pouzdano učvršćivanje stečenih znanja i vještina. Na kraju sata provedena je refleksija i ocjenjivanje rada pojedinih učenika.
Ciljevi su ostvareni. Učenici su proučavali pojam i svojstva stupnja s racionalnim eksponentom te su ta svojstva naučili koristiti pri rješavanju praktičnih zadataka. Iza samostalan rad Ocjene će biti objavljene na sljedećem satu.
Vjerujem da metodiku koju koristim u nastavi matematike mogu koristiti i učitelji matematike.
Tema lekcije: Potencija s racionalnim eksponentom
Svrha lekcije:
Utvrđivanje razine ovladanosti učenika kompleksom znanja i vještina i na temelju toga primjena određenih rješenja za unapređenje obrazovnog procesa.
Ciljevi lekcije:
Obrazovni: formirati nova znanja kod učenika o osnovnim pojmovima, pravilima, zakonima za određivanje stupnjeva s racionalnim pokazateljem, sposobnost samostalne primjene znanja u standardnim uvjetima, u modificiranim i nestandardnim uvjetima;
razvoj: logično razmišljati i provoditi Kreativne vještine;
podizanje: razvijati interes za matematiku, nadopunjavati vokabular novim pojmovima, dobivati Dodatne informacije o svijetu oko nas. Razvijte strpljenje, ustrajnost i sposobnost prevladavanja poteškoća.
Organiziranje vremena
Aktualizacija referentnog znanja
Pri množenju potencija s istim bazama eksponenti se zbrajaju, ali baza ostaje ista:
Na primjer, 
2. Pri dijeljenju stupnjeva s istim bazama oduzimaju se eksponenti stupnjeva, ali baza ostaje ista:
Na primjer, 
3. Pri dizanju stupnja na potenciju eksponenti se množe, ali baza ostaje ista:
Na primjer,
4. Stupanj umnoška jednak je umnošku stupnjeva faktora:
Na primjer, 
5. Stupanj količnika jednak je kvocijentu stupnjeva djelitelja i djelitelja:
Na primjer, 
Vježbe s rješenjima
Pronađite značenje izraza: 
Riješenje:
U ovom slučaju, niti jedno svojstvo stupnja s prirodnim eksponentom ne može se eksplicitno primijeniti, jer svi stupnjevi imaju različiti razlozi. Napišimo neke moći u drugom obliku:
(stupanj umnoška jednak je umnošku stupnjeva faktora);
(kod množenja potencija s istim bazama eksponenti se zbrajaju, ali baza ostaje ista; kod dizanja stupnja na potenciju eksponenti se množe, ali baza ostaje ista).
Tada dobivamo:
U ovom primjeru korištena su prva četiri svojstva stupnja s prirodnim eksponentom.
Aritmetički kvadratni korijen
- nije negativan broj, čiji je kvadrat jednaka,
. Na 
- izraz nije definirano, jer ne postoji realan broj čiji je kvadrat jednak negativnom brojua.
Matematički diktat(8-10 min.)
Opcija
II. Opcija
1. Pronađite vrijednost izraza
A) 
b) 
1. Pronađite vrijednost izraza
A) 
b) 
2.Izračunaj
A) 
b) 
U) 
2.Izračunaj
A) 
b) 
V) 
Samotestiranje(na reveru):
Matrica odgovora:
№ opcija/zadatak
Problem 1
Problem 2
opcija 1
a) 2
b) 2
a) 0,5
b) 
V) 
opcija 2
a) 1.5
b)
A) 
b) 
u 4
II. Formiranje novih znanja
Razmotrimo kakvo značenje izraz ima, gdje 
- pozitivan broj– razlomački broj i m-cijeli broj, n-prirodni (n›1)
Definicija: potencija a›0 s racionalnim eksponentomr = , m- cijeli, n-prirodno ( n›1) poziva se broj.
Tako: 
Na primjer: 
Bilješke:
1. Za svaki pozitivan a i svaki racionalni r broj 
pozitivno.
2. Kada racionalni stupanj brojevimaanije utvrđeno.
Izrazi poput 
nema smisla.
3.Ako 
razlomački pozitivan broj je 
.
Ako frakcijski negativan broj, dakle 
-nema smisla.
Na primjer: 
- nema smisla.
Razmotrimo svojstva stupnja s racionalnim eksponentom.
Neka je a >0, b>0; r, s - bilo koji racionalni brojevi. Tada stupanj s bilo kojim racionalnim eksponentom ima sljedeća svojstva:
1.
2.
3.
4.
5.
III. Konsolidacija. Formiranje novih vještina i sposobnosti.
Kartice sa zadacima rade u malim grupama u obliku testa.