Definicija.

Ovo je šesterokut čije su baze dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Bočno rebro- je zajednička stranica dviju susjednih bočnih ploha

Visina prizme- ovo je segment okomit na baze prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istoj plohi

Dijagonalna ravnina- ravnina koja prolazi dijagonalom prizme i njezinim bočnim bridovima

Dijagonalni presjek- granice presjecišta prizme i dijagonalne ravnine. Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je sjecište prizme i ravnine povučene okomito na njezine bočne rubove

Elementi pravilne četverokutne prizme

Slika prikazuje dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnovice ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su međusobno jednake i paralelne
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravokutnik
• Bočna površina - zbroj površina svih bočnih stranica prizme
• Ukupna površina - zbroj površina svih baza i bočnih stranica (zbroj površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1.
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2.

Svojstva pravilne četverokutne prizme

• Osnovice su dva jednaka kvadrata
• Baze su međusobno paralelne
• Bočne strane su pravokutnici
• Bočni rubovi su međusobno jednaki
• Bočne plohe su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s bazama
• Kutovi okomitog presjeka - ravni
• Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik
• Okomica (ortogonalni presjek) paralelna s bazama

Formule pravilne četverokutne prizme

Upute za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četverokutna prizma" znači da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan poligon, a bočna rebra su okomita na ravnine baze. To jest, pravilna četverokutna prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi gore svojstva pravilne četverokutne prizme) Bilješka. Ovo je dio lekcije s geometrijskim zadacima (dio stereometrija - prizma). Evo problema koje je teško riješiti. Ako trebate riješiti geometrijski problem koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje radnje vraćanja korijen simbol se koristi u rješavanju problema√ .

Zadatak.

U pravilnoj četverokutnoj prizmi površina baze je 144 cm 2, a visina 14 cm. Odredite dijagonalu prizme i oplošje puna površina.

Riješenje.
Pravilan četverokut je kvadrat.
Prema tome, strana baze će biti jednaka

√144 = 12 cm.
Odakle će biti jednaka dijagonala baze pravilne pravokutne prizme
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonala pravilne prizme tvori se s dijagonalom baze i visinom prizme. pravokutni trokut. Prema tome, prema Pitagorinom teoremu, dijagonala dane pravilne četverokutne prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovor: 22 cm

Zadatak

Odredi ukupnu plohu pravilne četverokutne prizme ako je njezina dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne plohe 4 cm.

Riješenje.
Budući da je baza pravilne četverokutne prizme kvadrat, stranicu baze (označenu kao a) nalazimo koristeći Pitagorin teorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) tada će biti jednaka:

H2 + 12,5 = 42
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3.5

Ukupna površina bit će jednaka zbroju bočne površine i dvostruke osnovne površine

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Poliedri

Glavni predmet proučavanja stereometrije su prostorna tijela. Tijelo predstavlja dio prostora ograničen određenom površinom.

Poliedar je tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona. Poliedar se naziva konveksnim ako se nalazi s jedne strane ravnine svakog ravnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravnine i plohe poliedra naziva se rub. Stranice konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Strane lica nazivaju se bridovi poliedra, a vrhovi su vrhovi poliedra.

Na primjer, kocka se sastoji od šest kvadrata, koji su njezina lica. Sadrži 12 bridova (stranice kvadrata) i 8 vrhova (vrhova kvadrata).

Najjednostavniji poliedri su prizme i piramide, koje ćemo dalje proučavati.

Prizma

Definicija i svojstva prizme

Prizma je poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u paralelne ravnine kombinirani paralelnom translacijom, i svi segmenti koji povezuju odgovarajuće točke tih poligona. Poligoni se nazivaju baze prizme, a segmenti povezuju odgovarajuće vrhove poligona su bočni rubovi prizme.

Visina prizme naziva se udaljenost između ravnina njegovih baza (). Segment koji spaja dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj plohi naziva se dijagonala prizme(). Prizma se zove n-ugljik, ako mu je baza n-kut.

Svaka prizma ima sljedeća svojstva, što proizlazi iz činjenice da su baze prizme kombinirane paralelnim prevođenjem:

1. Osnovice prizme su jednake.

2. Bočni bridovi prizme su paralelni i jednaki.

Ploha prizme sastoji se od baza i bočna površina. Bočna površina prizme sastoji se od paralelograma (to proizlazi iz svojstava prizme). Područje bočne površine prizme je zbroj površina bočnih stranica.

Ravna prizma

Prizma se zove ravno, ako su njegovi bočni rubovi okomiti na baze. Inače se prizma zove sklona.

Lice pravilne prizme su pravokutnici. Visina ravne prizme jednaka je njezinim bočnim stranama.

Puna površina prizme naziva se zbroj bočne površine i površina baza.

S pravom prizmom zove se prava prizma s pravilnim poligonom u osnovi.

Teorem 13.1. Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku opsega i visine prizme (ili, što je isto, bočnom rubu).

Dokaz. Bočne plohe prave prizme su pravokutnici čije su osnovice stranice mnogokuta na osnovicama prizme, a visine su bočni bridovi prizme. Tada je, prema definiciji, bočna površina:

,

gdje je opseg baze ravne prizme.

Paralelopiped

Ako paralelogrami leže na osnovicama prizme, tada se ona zove paralelopiped. Sva lica paralelopipeda su paralelogrami. U tom su slučaju nasuprotna lica paralelopipeda paralelna i jednaka.

Teorem 13.2. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i sjecištem ih dijeli popola.

Dokaz. Razmotrimo dvije proizvoljne dijagonale, na primjer, i . Jer lica paralelopipeda su paralelogrami, tada i , što znači prema To postoje dvije ravne linije paralelne s trećom. Osim toga, to znači da prave i leže u istoj ravnini (ravnini). Ova ravnina siječe paralelne ravnine i duž paralelnih pravaca i . Dakle, četverokut je paralelogram, a po svojstvu paralelograma njegove se dijagonale sijeku i sjecištem ih dijeli popola, što je i trebalo dokazati.

Pravi paralelopiped čija je baza pravokutnik naziva se pravokutni paralelopiped. Sva lica pravokutnog paralelopipeda su pravokutnici. Duljine neparalelnih bridova pravokutnog paralelopipeda nazivamo njegovim linearne dimenzije(mjerenja). Postoje tri takve veličine (širina, visina, duljina).

Teorem 13.3. U pravokutnom paralelopipedu kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije (dokazano dva puta primjenom Pitagorinog T).

Pravokutni paralelopiped, koji ima sve bridove jednake, zove se kocka.

Zadaci

13.1 Koliko dijagonala ima? n- karbonska prizma

13.2 U kosoj trokutastoj prizmi razmaci između bočnih bridova su 37, 13 i 40. Odredite razmak između većeg bočnog brida i suprotnog bočnog brida.

13.3 Kroz stranicu donje baze pravilne trokutaste prizme povučena je ravnina koja siječe bočne plohe duž segmenata s kutom između njih. Odredite kut nagiba te ravnine prema osnovici prizme.

Opće informacije o ravnoj prizmi

Bočna ploha prizme (točnije bočna ploha) naziva se iznos područja bočnih lica. Ukupna površina prizme jednaka je zbroju bočne površine i površina baza.

Teorem 19.1. Bočna ploha ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme, odnosno duljini bočnog ruba.

Dokaz. Bočne plohe ravne prizme su pravokutnici. Osnovice ovih pravokutnika su stranice mnogokuta koji leže na osnovici prizme, a visine su jednake duljinama bočnih bridova. Iz toga slijedi da bočna površina prizma je jednaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

gdje su a 1 i n duljine osnovnih bridova, p je opseg baze prizme, a I je duljina bočnih bridova. Teorem je dokazan.

Praktičan zadatak

Problem (22) . U nagnutoj prizmi provodi se odjeljak, okomito na bočna rebra i sijeku sva bočna rebra. Odredite bočnu plohu prizme ako je opseg presjeka jednak p, a bočni bridovi jednaki l.

Riješenje. Ravnina nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (slika 411). Podvrgnimo jedan od njih paralelnom prevođenju, kombinirajući baze prizme. U tom slučaju dobivamo ravnu prizmu čija je baza presjek izvorne prizme, a bočni bridovi su jednaki l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna površina izvorne prizme jednaka je pl.

Sažetak obrađene teme

Pokušajmo sada sažeti temu koju smo obradili o prizmama i prisjetimo se koja svojstva ima prizma.

Svojstva prizme

Prvo, prizma ima sve svoje baze kao jednake poligone;
Drugo, u prizmi su sve njene bočne strane paralelogrami;
Treće, u takvoj višestranoj figuri kao što je prizma, svi bočni rubovi su jednaki;

Također, treba imati na umu da poliedri kao što su prizme mogu biti ravni ili nagnuti.

Koja se prizma naziva ravnom prizmom?

Ako je bočni rub prizme okomit na ravninu njezine baze, tada se takva prizma naziva ravnom.

Ne bi bilo suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.

Koja se vrsta prizme naziva kosom?

Ali ako bočni rub prizme nije okomit na ravninu njezine baze, tada možemo sa sigurnošću reći da je to nagnuta prizma.

Koja se prizma naziva ispravnom?

Ako pravilni mnogokut leži u osnovi ravne prizme, tada je takva prizma pravilna.

Prisjetimo se sada koja svojstva ima pravilna prizma.

Svojstva pravilne prizme

Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao baze pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, one su uvijek jednaki pravokutnici;
Treće, ako usporedite veličine bočnih rebara, tada su u pravilnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, ispravna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako u pravilnoj prizmi bočne strane imaju oblik kvadrata, tada se takva figura obično naziva polupravilni poligon.

Presjek prizme

Sada pogledajmo presjek prizme:

Domaća zadaća

Pokušajmo sada rješavanjem zadataka učvrstiti naučeno.

Nacrtajmo nagnutu trokutastu prizmu čiji će razmak bridova biti jednak: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna ploha te prizme bit će jednaka 60 cm2. Imajući ove parametre, pronađite bočni rub ove prizme.

Znate li da nas geometrijske figure neprestano okružuju ne samo na nastavi geometrije, već iu Svakidašnjica Postoje objekti koji nalikuju jednoj ili drugoj geometrijskoj figuri.

Svatko kod kuće, u školi ili na poslu ima računalo, jedinica sustava koji ima oblik ravne prizme.

Ako uzmete jednostavnu olovku, vidjet ćete da je glavni dio olovke prizma.

Šetajući središnjom ulicom grada vidimo da pod našim nogama leži pločica koja ima oblik šesterokutne prizme.

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove

Baza prizme može biti bilo koji mnogokut - trokut, četverokut itd. Obje baze su apsolutno identične, i prema tome, s kojima su kutovi paralelnih bridova međusobno povezani, uvijek su paralelni. U podnožju pravilne prizme leži pravilan mnogokut, odnosno onaj u kojem su sve stranice jednake. U ravnoj prizmi su rebra između bočnih ploha okomita na bazu. U tom slučaju baza ravne prizme može sadržavati mnogokut s bilo kojim brojem kutova. Prizma čija je baza paralelogram naziva se paralelopiped. Pravokutnik - poseban slučaj paralelogram. Ako ova figura leži u podnožju, a bočne strane se nalaze pod pravim kutom u odnosu na podnožje, paralelopiped se naziva pravokutnim. Drugi naziv za ovo geometrijsko tijelo je pravokutnik.

Kako ona izgleda

Pravokutne prizme okružene modernog čovjeka prilično malo. To je, na primjer, obični karton za cipele, komponente računala itd. Razgledati. Čak iu sobi ćete vjerojatno vidjeti mnogo pravokutnih prizmi. Ovo i kućište računala, i polica za knjige, i hladnjak, i ormar, i mnoge druge stvari. Oblik je iznimno popularan ponajprije jer vam omogućuje da maksimalno iskoristite svoj prostor, bilo da uređujete interijer ili stvari pakirate u karton prije selidbe.

Svojstva pravokutne prizme

Pravokutna prizma ima niz specifičnih svojstava. Kao to može poslužiti bilo koji par ploha, budući da su sve susjedne plohe međusobno pod istim kutom, a taj kut iznosi 90°. Volumen i površinu pravokutne prizme lakše je izračunati nego bilo koju drugu. Uzmite bilo koji predmet koji ima oblik pravokutne prizme. Izmjerite njegovu duljinu, širinu i visinu. Da biste pronašli volumen, samo pomnožite ove mjere. Odnosno, formula izgleda ovako: V=a*b*h, gdje je V volumen, a i b stranice baze, h je visina koja se poklapa s bočnim rubom ovog geometrijskog tijela. Osnovna površina izračunava se pomoću formule S1=a*b. Za bočnu površinu prvo morate izračunati opseg baze pomoću formule P=2(a+b), a zatim ga pomnožiti s visinom. Dobivena formula je S2=P*h=2(a+b)*h. Da biste izračunali ukupnu površinu pravokutne prizme, dodajte dva puta površinu baze i površinu bočne površine. Formula je S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

U školski plan i program U tečaju stereometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje s jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravninama. Poseban slučaj je pravilna četverokutna prizma. Njegove baze su 2 jednaka pravilna četverokuta, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika, ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma?

Pravilna četverokutna prizma je šesterokut čije su baze 2 kvadrata, a bočne strane su prikazane pravokutnicima. Drugi naziv za ovo geometrijski lik- ravni paralelopiped.

Dolje je prikazan crtež koji prikazuje četverokutnu prizmu.

Vidite i na slici bitni elementi, od kojih se sastoji geometrijsko tijelo. To uključuje:

Ponekad u geometrijskim problemima možete naići na pojam presjeka. Definicija će zvučati ovako: odjeljak su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju ravnini rezanja. Presjek može biti okomit (siječe rubove figure pod kutom od 90 stupnjeva). Za pravokutnu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek ( maksimalni iznos presjeci koji se mogu konstruirati - 2), koji prolaze kroz 2 brida i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na takav način da rezna ravnina nije paralelna ni s bazama ni s bočnim stranama, rezultat je krnja prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različite relacije i formule. Neki od njih poznati su iz tečaja planimetrije (na primjer, da biste pronašli područje baze prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za područje kvadrata).

Površina i volumen

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati područje njezine baze i visine:

V = Sbas h

Budući da je baza pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a²·h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi sa jednake dužine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njezin razvoj.

Iz crteža se vidi da bočnu plohu čine 4 jednaka pravokutnika. Njegova površina izračunava se kao umnožak opsega baze i visine figure:

S strana = Posn h

Uzimajući u obzir da je opseg kvadrata jednak P = 4a, formula ima oblik:

S strana = 4a h

Za kocku:

S strana = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, bočnoj površini morate dodati 2 osnovne površine:

Pun = Sstrana + 2Smain

U odnosu na četverokutnu pravilnu prizmu, formula izgleda ovako:

Ukupno = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Pun = 6a²

Znajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačni elementi geometrijsko tijelo.

Pronalaženje elemenata prizme

Često se javljaju zadaci u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne plohe, gdje je potrebno odrediti duljinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima mogu se izvesti formule:

• duljina osnovne stranice: a = Sstrana / 4h = √(V / h);
• visina ili duljina bočnog rebra: h = Sstrana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sbas = V/h;
• bočno lice: Strana gr = Sstrana / 4.

Da biste odredili koliko područje ima dijagonalni presjek, morate znati duljinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Stoga:

Sdiag = ah√2

Da biste izračunali dijagonalu prizme, upotrijebite formulu:

dnagrada = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti zadane odnose, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema s rješenjima

Evo nekih zadataka koji se nalaze na državnoj maturi iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju koja ima oblik pravilne četverokutne prizme. Visina njegove razine je 10 cm Kolika će biti razina pijeska ako je premjestite u posudu istog oblika, ali s dvostruko dužom podlogom?

To treba obrazložiti na sljedeći način. Količina pijeska u prvoj i drugoj posudi nije se promijenila, tj. njegov volumen u njima je isti. Duljinu baze možete označiti sa a. U ovom slučaju, za prvu kutiju volumen tvari će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, duljina baze je 2a, ali visina razine pijeska nije poznata:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Jer V₁ = V₂, možemo izjednačiti izraze:

10a² = 4ha²

Nakon smanjenja obje strane jednadžbe za a², dobivamo:

Kao rezultat nova razina pijesak će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je ispravna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati lik.

Budući da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da se u osnovici nalazi kvadrat s dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne plohe ima istu veličinu, stoga i bočna ploha ima oblik kvadrata koji je jednak osnovici. Ispada da su sve tri dimenzije - duljina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Duljina bilo kojeg ruba određena je poznatom dijagonalom:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina nalazi se pomoću formule za kocku:

Pun = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba se renovira. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina sobe je 2,5 m. Koja je najniža cijena tapeta za sobu ako 1 m² košta 50 rubalja?

Budući da su pod i strop kvadrati, odnosno pravilni četverokuti, a zidovi okomiti na horizontalne površine, možemo zaključiti da je prava prizma. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Područje će biti prekriveno tapetama Sstrana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50·30 = 1500 rubalja

Dakle, za rješavanje problema koji uključuju pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i opseg kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke