Pravila za smanjivanje razlomaka s primjerima. Online kalkulator Smanjenje razlomaka (nepravilni, mješoviti).

Dakle, već znamo da se brojnik i nazivnik razlomka mogu pomnožiti i podijeliti istim brojem, razlomak se neće promijeniti. Razmotrimo tri pristupa:

Pristupi jedan.

Da biste smanjili, podijelite brojnik i nazivnik s zajednički djelitelj. Pogledajmo primjere:

Da skratimo:

U navedenim primjerima odmah vidimo koje djelitelje uzeti za redukciju. Proces je jednostavan - prolazimo kroz 2,3,4,5 i tako dalje. U većini primjera školskih tečajeva to je sasvim dovoljno. Ali ako je razlomak:

Ovdje proces odabira djelitelja može trajati dugo;). Naravno, takvi primjeri su izvan školskog programa, ali s njima se treba znati nositi. U nastavku ćemo pogledati kako se to radi. Za sada, vratimo se procesu smanjivanja.

Kao što je gore objašnjeno, da bismo smanjili razlomak, podijelili smo zajedničkim djeliteljem(ima) koje smo odredili. Sve je točno! Treba samo dodati znakove djeljivosti brojeva:

- ako je broj paran, onda je djeljiv sa 2.

- ako je broj od zadnje dvije znamenke djeljiv sa 4, onda je i sam broj djeljiv sa 4.

— ako je zbroj znamenki koje čine broj djeljiv s 3, onda je i sam broj djeljiv s 3. Na primjer, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dvanaest je djeljivo s 3, pa je 123031 djeljivo s 3.

- ako broj završava s 5 ili 0, tada je broj djeljiv s 5.

— ako je zbroj znamenki koje čine broj djeljiv s 9, onda je i sam broj djeljiv s 9. Na primjer, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Osamnaest je djeljivo s 9, što znači da je 623032 djeljivo s 9.

Drugi pristup.

Ukratko rečeno, zapravo se cijela radnja svodi na rastavljanje brojnika i nazivnika na faktore i zatim smanjenje jednakih faktora u brojniku i nazivniku (ovaj pristup je posljedica prvog pristupa):

Vizualno, kako bi se izbjegle zabune i pogreške, jednaki faktori jednostavno su prekriženi. Pitanje - kako faktorizirati broj? Pretragom je potrebno odrediti sve djelitelje. Ovo je posebna tema, nije komplicirano, potražite podatke u udžbeniku ili na internetu. Nećete naići na velike probleme s faktoriziranjem brojeva koji se nalaze u školskim razlomcima.

Formalno, princip redukcije može se napisati na sljedeći način:

Pristup tri.

Ovdje je najzanimljivije za napredne i one koji to žele postati. Skratimo razlomak 143/273. Pokušajte sami! Pa, kako se to dogodilo brzo? Sada pogledajte!

Okrenemo ga (mijenjamo mjesta brojniku i nazivniku). Podijelite dobiveni ulomak kutom i pretvorite ga u mješoviti broj, odnosno odabiremo cijeli dio:

Već je lakše. Vidimo da se brojnik i nazivnik mogu smanjiti za 13:

Sada ne zaboravite ponovno okrenuti razlomak, zapišimo cijeli lanac:

Provjereno - potrebno je manje vremena od pretraživanja i provjere djelitelja. Vratimo se na naša dva primjera:

Prvi. Podijelimo uglom (ne na kalkulatoru), dobivamo:

Ovaj razlomak je jednostavniji, naravno, ali redukcija je opet problem. Sada zasebno analiziramo razlomak 1273/1463 i okrećemo ga:

Ovdje je lakše. Možemo uzeti u obzir djelitelj kao što je 19. Ostali nisu prikladni, to je jasno: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hura! Zapišimo:

Sljedeći primjer. Skratimo to na 88179/2717.

Podijelimo, dobivamo:

Zasebno analiziramo frakciju 1235/2717 i okrećemo je:

Možemo uzeti u obzir djelitelj kao što je 13 (do 13 nije prikladno):

Brojnik 247:13=19 Nazivnik 1235:13=95

*Tijekom procesa vidjeli smo još jedan djelitelj jednak 19. Ispada da:

Sada zapisujemo izvorni broj:

I nije važno što je veće u razlomku - brojnik ili nazivnik, ako je nazivnik, onda ga okrenemo i postupimo kako je opisano. Na taj način možemo smanjiti bilo koji razlomak; treći pristup se može nazvati univerzalnim.

Naravno, dva gore razmotrena primjera nisu jednostavni primjeri. Isprobajmo ovu tehnologiju na "jednostavnim" razlomcima koje smo već razmotrili:

Dvije četvrtine.

Sedamdeset dvije šezdesete. Brojnik je veći od nazivnika, nema potrebe da ga obrnete:

Naravno, na takve je primijenjen treći pristup jednostavni primjeri samo kao alternativa. Metoda je, kao što je već rečeno, univerzalna, ali nije prikladna i točna za sve frakcije, posebno za jednostavne.

Raznolikost frakcija je velika. Važno je da razumijete načela. Stroga pravila jednostavno nema načina za rad s razlomcima. Pogledali smo, shvatili kako bi bilo zgodnije djelovati i krenuli naprijed. S vježbom, vještina će doći i razbijat ćete ih kao sjemenke.

Zaključak:

Ako vidite zajednički djelitelj(e) za brojnik i nazivnik, upotrijebite ih za smanjenje.

Ako znate kako brzo rastaviti broj na faktore, rastavite brojnik i nazivnik, a zatim smanjite.

Ako ne možete odrediti zajednički djelitelj, upotrijebite treći pristup.

*Za smanjivanje razlomaka važno je svladati principe redukcije, razumjeti osnovno svojstvo razlomka, poznavati pristupe rješavanju i biti iznimno pažljiv pri računanju.

I zapamti! Uobičajeno je smanjivati ​​razlomak dok ne stane, odnosno smanjivati ​​ga sve dok postoji zajednički djelitelj.

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

Smanjenje razlomaka potrebno je kako bi se razlomak smanjio na više jednostavan pogled, na primjer, u odgovoru dobivenom kao rezultat rješavanja izraza.

Skraćivanje razlomaka, definicija i formula.

Što je smanjenje razlomaka? Što znači smanjiti razlomak?

Definicija:
Smanjenje razlomaka- ovo je dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka istim pozitivnim brojem koji nije jednak nuli i jedinici. Kao rezultat redukcije dobiva se razlomak s manjim brojnikom i nazivnikom, jednak prethodnom razlomku prema.

Formula za smanjivanje razlomaka glavna imovina racionalni brojevi.

\(\frac(p \puta n)(q \puta n)=\frac(p)(q)\)

Pogledajmo primjer:
Smanjite razlomak \(\frac(9)(15)\)

Riješenje:
Razlomak možemo proširiti na glavni faktori i smanjiti zajedničke faktore.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \puta 1=\frac(3)(5)\)

Odgovor: nakon redukcije dobili smo razlomak \(\frac(3)(5)\). Prema osnovnom svojstvu racionalnih brojeva, početni i rezultirajući razlomak su jednaki.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Kako smanjiti razlomke? Svođenje razlomka na njegov nesvodivi oblik.

Da bismo kao rezultat dobili nesvodivi razlomak, trebamo pronađite najveći zajednički djelitelj (NOD) za brojnik i nazivnik razlomka.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje GCD; u primjeru ćemo koristiti rastavljanje brojeva na proste faktore.

Dobijte nesvodivi razlomak \(\frac(48)(136)\).

Riješenje:
Pronađimo GCD(48, 136). Napišimo brojeve 48 i 136 na proste faktore.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Pravilo svođenja razlomka na nesvodivi oblik.

1. Morate pronaći najveći zajednički djelitelj za brojnik i nazivnik.
2. Trebate podijeliti brojnik i nazivnik s najvećim zajedničkim djeliteljem da biste dobili nesmanjiv razlomak kao rezultat dijeljenja.

Primjer:
Smanjite razlomak \(\frac(152)(168)\).

Riješenje:
Pronađimo GCD(152, 168). Napišimo brojeve 152 i 168 na proste faktore.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Odgovor: \(\frac(19)(21)\) je nesvodiv razlomak.

Smanjenje nepravih razlomaka.

Kako rezati nepravi razlomak?
Pravila skraćivanja razlomaka ista su za prave i neprave razlomke.

Pogledajmo primjer:
Smanjite nepravi razlomak \(\frac(44)(32)\).

Riješenje:
Zapišimo brojnik i nazivnik u proste faktore. A onda ćemo smanjiti zajedničke faktore.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Smanjenje mješovitih frakcija.

Mješoviti razlomci slijede ista pravila kao i obični razlomci. Jedina je razlika što možemo ne dirajte cijeli dio, već smanjite razlomak ili mješovita frakcija pretvoriti u nepravi razlomak, smanjiti i ponovno pretvoriti u pravi razlomak.

Pogledajmo primjer:
Poništite mješoviti razlomak \(2\frac(30)(45)\).

Riješenje:
Riješimo to na dva načina:
Prvi način:
Napišimo razlomak na proste faktore, ali nećemo dirati cijeli dio.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Drugi način:
Prvo ga pretvorimo u nepravi razlomak, a zatim ga napišimo na proste faktore i smanjimo. Pretvorimo dobiveni nepravi razlomak u pravi razlomak.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \puta 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \puta 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Povezana pitanja:
Možete li smanjiti razlomke kada zbrajate ili oduzimate?
Odgovor: ne, prvo morate dodati ili oduzeti razlomke prema pravilima, a tek onda ih smanjiti. Pogledajmo primjer:

Izračunajte izraz \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Riješenje:
Često griješe skraćivanjem isti brojevi U našem slučaju brojnik i nazivnik imaju broj 20, ali se ne mogu smanjiti dok ne završite zbrajanje i oduzimanje.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Kojim brojevima možete smanjiti razlomak?
Odgovor: Razlomak možete smanjiti najvećim zajedničkim faktorom ili zajedničkim djeliteljem brojnika i nazivnika. Na primjer, razlomak \(\frac(100)(150)\).

Napišimo brojeve 100 i 150 na proste faktore.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Najveći zajednički djelitelj bit će broj gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \puta 50)(3 \puta 50)=\frac(2)(3)\)

Dobili smo nesvodivi razlomak \(\frac(2)(3)\).

Ali nije uvijek potrebno dijeliti s gcd; nesvodivi razlomak nije uvijek potreban; razlomak možete smanjiti jednostavnim djeliteljem i nazivnikom. Na primjer, brojevi 100 i 150 imaju zajednički djelitelj 2. Smanjimo razlomak \(\frac(100)(150)\) za 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Dobili smo svodivi razlomak \(\frac(50)(75)\).

Koji se razlomci mogu smanjiti?
Odgovor: Možete skratiti razlomke u kojima brojnik i nazivnik imaju zajednički djelitelj. Na primjer, razlomak \(\frac(4)(8)\). Brojevi 4 i 8 imaju broj kojim su oba djeljiva - broj 2. Dakle, takav se razlomak može smanjiti brojem 2.

Primjer:
Usporedite dva razlomka \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(8)(12)\).

Ova dva razlomka su jednaka. Pogledajmo pobliže razlomak \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\puta 1=\frac(2)(3)\)

Odavde dobivamo \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Dva su razlomka jednaka ako i samo ako je jedan od njih dobiven smanjivanjem drugog razlomka za zajednički faktor brojnika i nazivnika.

Primjer:
Ako je moguće, smanjite sljedeće razlomke: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Riješenje:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \puta 3 \puta 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) nesvodivi razlomak
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ puta 5)=\frac(2)(5)\)

Shvatimo što je smanjenje razlomaka, zašto i kako smanjiti razlomke, i dajmo pravilo za smanjenje razlomaka i primjere njegove upotrebe.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Što je "smanjenje razlomaka"

Skratiti razlomak znači podijeliti njegov brojnik i nazivnik zajedničkim faktorom koji je pozitivan i razlikuje se od jedan.

Kao rezultat ove radnje dobit će se razlomak s novim brojnikom i nazivnikom, jednak izvornom razlomku.

Na primjer, uzmimo obični razlomak 6 24 i skratite ga. Podijelite brojnik i nazivnik s 2, što rezultira 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. U ovom smo primjeru smanjili izvorni razlomak za 2.

Svođenje razlomaka u nesvodivi oblik

U prethodnom smo primjeru smanjili razlomak 6 24 za 2, što je rezultiralo razlomkom 3 12. Lako je vidjeti da se ovaj razlomak može dodatno smanjiti. Obično je cilj smanjivanja razlomaka dobiti nesvodivi razlomak. Kako svesti razlomak na njegov nesvodivi oblik?

To se može učiniti smanjenjem brojnika i nazivnika za njihov najveći zajednički faktor (GCD). Tada će, prema svojstvu najvećeg zajedničkog djelitelja, brojnik i nazivnik imati međusobno proste brojeve, a razlomak će biti nesvodiv.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Svođenje razlomka na nesvodivi oblik

Da biste razlomak sveli na njegov nesvodivi oblik, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik njihovim gcd-om.

Vratimo se razlomku 6 24 iz prvog primjera i dovedemo ga u nesvodivi oblik. Najveći zajednički djelitelj brojeva 6 i 24 je 6. Skratimo razlomak:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Smanjenje razlomaka prikladno je koristiti kako ne biste radili s velikim brojevima. Općenito, u matematici postoji neizgovoreno pravilo: ako možete pojednostaviti bilo koji izraz, onda to morate učiniti. Skratiti razlomak najčešće znači svođenje na nesvodivi oblik, a ne jednostavno svođenje na zajednički djelitelj brojnika i nazivnika.

Pravilo za smanjivanje razlomaka

Da biste smanjili razlomke, samo zapamtite pravilo koje se sastoji od dva koraka.

Pravilo za smanjivanje razlomaka

Za smanjenje razlomka potrebno je:

1. Odredite NNO brojnika i nazivnika.
2. Podijelite brojnik i nazivnik njihovim gcd-om.

Pogledajmo praktične primjere.

Primjer 1. Skratimo razlomak.

Zadan je razlomak 182 195. Skratimo.

Nađimo gcd brojnika i nazivnika. Da biste to učinili u u ovom slučaju Najprikladnije je koristiti euklidski algoritam.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Podijelite brojnik i nazivnik s 13. Dobivamo:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Spreman. Dobili smo nesvodivi razlomak koji je jednak izvornom razlomku.

Kako drugačije možete smanjiti razlomke? U nekim je slučajevima zgodno rastaviti brojnik i nazivnik na jednostavne faktore, a zatim od gornjeg i donji dijelovi razlomci, uklonite sve zajedničke faktore.

Primjer 2. Skrati razlomak

Dat je razlomak 360 2940. Skratimo.

Da biste to učinili, zamislite izvorni razlomak u obliku:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Oslobodimo se zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku, što rezultira:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Na kraju, pogledajmo još jedan način smanjivanja razlomaka. To je takozvana sekvencijalna redukcija. Koristeći ovu metodu, redukcija se provodi u nekoliko faza, u svakoj od kojih se ulomak smanjuje za neki očiti zajednički faktor.

Primjer 3. Skrati razlomak

Skratimo razlomak 2000 na 4400.

Odmah je jasno da brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor 100. Razlomak smanjimo za 100 i dobijemo:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Rezultirajući rezultat ponovno smanjujemo za 2 i dobivamo nesvodljivi razlomak:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Mnogi učenici rade iste pogreške kada rade s razlomcima. A sve zato što zaboravljaju osnovna pravila aritmetika. Danas ćemo ponoviti ova pravila na specifične zadatke koje dajem na svojim predavanjima.

Evo zadatka koji nudim svima koji se pripremaju za Jedinstveni državni ispit iz matematike:

Zadatak. Lučka pliskavica jede 150 grama hrane dnevno. No odrasla je i počela jesti 20% više. Koliko grama hrane sada pojede svinja?

Ne ispravno rješenje. Ovo je problem postotka koji se svodi na jednadžbu:

Mnogi (jako mnogi) smanjuju broj 100 u brojniku i nazivniku razlomka:

Ovo je pogreška koju je moj učenik napravio upravo na dan pisanja ovog članka. Brojevi koji su skraćeni označeni su crvenom bojom.

Nepotrebno je reći da je odgovor bio pogrešan. Prosudite sami: svinja je pojela 150 grama, ali je počela jesti 3150 grama. Povećanje nije 20%, već 21 puta, tj. za 2000%.

Kako biste izbjegli takve nesporazume, zapamtite osnovno pravilo:

Samo se množitelji mogu smanjiti. Termini se ne smanjuju!

Dakle, ispravno rješenje prethodnog problema izgleda ovako:

Crvenom bojom označeni su brojevi koji su skraćeno u brojniku i nazivniku. Kao što vidite, brojnik je proizvod, nazivnik je običan broj. Dakle, smanjenje je potpuno legalno.

Rad s proporcijama

Još problematično područje — proporcije. Pogotovo kada je varijabla s obje strane. Na primjer:

Zadatak. Riješite jednadžbu:

Pogrešno rješenje - neke ljude doslovno žulja da sve skrate za m:

Reducirane varijable prikazane su crvenom bojom. Izraz 1/4 = 1/5 ispada potpuna besmislica, ti brojevi nikad nisu jednaki.

A sada - prava odluka. U suštini to je obično Linearna jednadžba . Može se riješiti pomicanjem svih elemenata na jednu stranu ili osnovnim svojstvom proporcije:

Mnogi će čitatelji prigovoriti: "Gdje je greška u prvom rješenju?" Pa, idemo saznati. Prisjetimo se pravila za rad s jednadžbama:

Svaka jednadžba se može podijeliti i pomnožiti bilo kojim brojem, različit od nule.

Jeste li promašili trik? Možete dijeliti samo brojevima različit od nule. Konkretno, možete dijeliti s varijablom m samo ako je m != 0. Ali što ako je ipak m = 0? Zamijenimo i provjerimo:

Dobili smo točnu numeričku jednakost, tj. m = 0 je korijen jednadžbe. Za preostali m != 0 dobivamo izraz oblika 1/4 = 1/5, što je naravno netočno. Dakle, ne postoje korijeni različiti od nule.

Zaključci: sve zajedno

Dakle, riješiti frakcijske racionalne jednadžbe zapamti tri pravila:

1. Samo se množitelji mogu smanjiti. Dodaci nisu mogući. Stoga nauči rastavljati brojnik i nazivnik na faktore;
2. Glavno svojstvo razmjera: umnožak krajnjih elemenata jednak je umnošku srednjih;
3. Jednadžbe se mogu množiti i dijeliti samo brojevima k koji nisu nula. Slučaj k = 0 mora se posebno provjeriti.

Zapamtite ova pravila i nemojte griješiti.

Da bismo razumjeli kako smanjiti razlomke, prvo pogledajmo primjer.

Skratiti razlomak znači podijeliti brojnik i nazivnik istom stvari. I 360 i 420 završavaju brojem, tako da ovaj razlomak možemo smanjiti za 2. B novi razlomak I 180 i 210 također su djeljivi s 2, pa taj razlomak smanjujemo za 2. U brojevima 90 i 105 zbroj znamenki djeljiv je s 3, pa su oba ta broja djeljiva s 3, razlomak smanjujemo za 3. U novom razlomku, 30 i 35 završavaju s 0 i 5, što znači da su oba broja djeljiva s 5, pa razlomak smanjujemo za 5. Dobiveni razlomak šest sedmina je neskrativ. Ovo je konačan odgovor.

Do istog odgovora možemo doći na drugačiji način.

I 360 i 420 završavaju nulom, što znači da su djeljivi s 10. Razlomak smanjujemo za 10. U novom razlomku i brojnik 36 i nazivnik 42 dijele se s 2. Razlomak smanjujemo za 2. U sljedeći razlomak, i brojnik 18 i nazivnik 21 dijelimo s 3, što znači da razlomak smanjujemo za 3. Došli smo do rezultata - šest sedmina.

I još jedno rješenje.

Sljedeći put ćemo pogledati primjere skraćivanja razlomaka.