Antiderivat funkcije i općeg izgleda

Graf eksponencijalne funkcije je zakrivljena, glatka linija bez pregiba, na koju se može povući tangenta u svakoj točki kroz koju prolazi. Logično je pretpostaviti da ako se može povući tangenta, tada će funkcija biti diferencijabilna u svakoj točki svoje domene definicije.

Prikazat ćemo u nekima koordinatne osi nekoliko grafova funkcije y = x a, Za a = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

U točki s koordinatama (0;1). Kutovi ovih tangenti bit će približno 35, 40, 48 odnosno 51 stupanj. Logično je pretpostaviti da u intervalu od 2 do 3 postoji broj na kojem će kut nagiba tangente biti jednak 45 stupnjeva.

Dajmo preciznu formulaciju ove izjave: postoji broj veći od 2 i manji od 3, označen slovom e, tako da eksponencijalna funkcija y = e x u točki 0 ima derivaciju jednaku 1. To je: (e ∆x -1) / ∆x teži 1 dok ∆x teži nuli.

Ovaj broj e je iracionalan i piše se kao beskonačni neperiodični decimalni razlomak:

e = 2,7182818284…

Budući da je e pozitivno i različito od nule, postoji logaritam prema bazi e. Ovaj logaritam se zove prirodni logaritam. Označava se s ln(x) = log e (x).

Derivacija eksponencijalne funkcije

Teorem: Funkcija e x je diferencijabilna u svakoj točki svoje definicijske domene i (e x)’ = e x .

Eksponencijalna funkcija a x diferencijabilna je u svakoj točki svoje domene definicije, i (a x)’ = (a x)*ln(a).
Posljedica ovog teorema je činjenica da je eksponencijalna funkcija kontinuirana u bilo kojoj točki svoje domene definicije.

Primjer: pronađite derivaciju funkcije y = 2 x.

Koristeći formulu za derivaciju eksponencijalne funkcije, dobivamo:

(2 x)' = (2 x)*ln(2).

Odgovor: (2 x)*ln(2).

Antiderivacija eksponencijalne funkcije

Za eksponencijalnu funkciju a x definiranu na skupu realnih brojeva, antiderivacija će biti funkcija (a x)/(ln(a)).
ln(a) je neka konstanta, tada je (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x za bilo koji x. Dokazali smo ovaj teorem.

Razmotrimo primjer pronalaženja antiderivacije eksponencijalne funkcije.

Primjer: pronaći antiderivaciju funkcije f(x) = 5 x. Upotrijebimo gore navedenu formulu i pravila za pronalaženje antiderivata. Dobivamo: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Ova je lekcija prva u nizu videozapisa o integraciji. U njemu ćemo analizirati što je antiderivacija funkcije, a također ćemo proučiti elementarne metode izračunavanja upravo tih antiderivacija.

Zapravo, nema ništa komplicirano: u biti se sve svodi na koncept derivata, s kojim biste već trebali biti upoznati.

Odmah ću napomenuti da je ovo prva lekcija u našoj nova tema, danas neće biti složenih izračuna i formula, ali ono što ćemo danas naučiti predstavljat će osnovu za puno složenije izračune i konstrukcije pri izračunavanju složenih integrala i površina.

Osim toga, kada počinjemo proučavati integraciju i posebno integrale, implicitno pretpostavljamo da je učenik već barem upoznat s konceptima derivacija i ima barem osnovne vještine u njihovom izračunavanju. Bez jasnog razumijevanja ovoga, u integraciji nema apsolutno ništa.

Međutim, ovdje leži jedan od najčešćih i najpodmuklijih problema. Činjenica je da, kada počinju računati svoje prve antiderivacije, mnogi ih učenici brkaju s derivacijama. Kao rezultat toga, na ispitima i samostalan rad prave se glupe i uvredljive pogreške.

Stoga sada neću dati jasnu definiciju antiderivata. Zauzvrat, predlažem da vidite kako se izračunava koristeći jednostavan konkretan primjer.

Što je antiderivat i kako se izračunava?

Znamo ovu formulu:

\[((\lijevo(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ovaj derivat izračunava se jednostavno:

\[(f)"\lijevo(x \desno)=((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Pogledajmo pažljivo dobiveni izraz i izrazimo $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\prime )))(3)\]

Ali možemo to napisati ovako, prema definiciji derivata:

\[((x)^(2))=((\lijevo(\frac(((x)^(3)))(3) \desno))^(\prime ))\]

A sada pažnja: ono što smo upravo zapisali je definicija antiderivata. Ali da biste to ispravno napisali, morate napisati sljedeće:

Zapišimo sljedeći izraz na isti način:

Ako generaliziramo ovo pravilo, možemo izvesti sljedeću formulu:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Sada možemo formulirati jasnu definiciju.

Antiderivacija funkcije je funkcija čija je derivacija jednaka izvornoj funkciji.

Pitanja o antiderivacijskoj funkciji

Čini se prilično jednostavna i razumljiva definicija. Međutim, nakon što ga čuje, pažljivi student će odmah imati nekoliko pitanja:

1. Recimo, u redu, ova formula je točna. Međutim, u ovom slučaju, s $n=1$, imamo problema: u nazivniku se pojavljuje "nula" i ne možemo dijeliti s "nulom".
2. Formula je ograničena samo na stupnjeve. Kako izračunati antiderivaciju npr. sinusa, kosinusa i bilo koje druge trigonometrije, kao i konstante.
3. Egzistencijalno pitanje: je li uvijek moguće pronaći antiderivat? Ako da, što je onda s antiderivacijom zbroja, razlike, umnoška itd.?

Odmah ću odgovoriti na zadnje pitanje. Nažalost, antiderivat se, za razliku od derivata, ne uzima uvijek u obzir. Nema takve stvari univerzalna formula, čime ćemo iz bilo koje početne konstrukcije dobiti funkciju koja će biti jednaka ovoj sličnoj konstrukciji. Što se tiče moći i konstanti, o tome ćemo sada.

Rješavanje problema s potencijskim funkcijama

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Kao što vidimo, ovu formulu za $((x)^(-1))$ ne radi. Postavlja se pitanje: što onda funkcionira? Zar ne možemo računati $((x)^(-1))$? Naravno da možemo. Samo prvo zapamtimo ovo:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Sada razmislimo: derivacija koje funkcije je jednaka $\frac(1)(x)$. Očito će se svaki učenik koji je barem malo proučavao ovu temu sjetiti da je ovaj izraz jednak izvodu prirodnog logaritma:

\[((\lijevo(\ln x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Stoga sa sigurnošću možemo napisati sljedeće:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\u \ln x\]

Morate znati ovu formulu, baš kao i derivaciju funkcije potencije.

Dakle, što znamo o ovaj trenutak:

• Za funkciju snage - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Za konstantu - $=const\to \cdot x$
• Poseban slučaj funkcije snage je $\frac(1)(x)\to \ln x$

A ako počnemo množiti i dijeliti najjednostavnije funkcije, kako onda možemo izračunati antiderivaciju umnoška ili kvocijenta. Nažalost, analogije s derivatom umnoška ili kvocijenta ovdje ne funkcioniraju. Ne postoji standardna formula. Za neke slučajeve postoje lukave posebne formule - s njima ćemo se upoznati u budućim video lekcijama.

Međutim, zapamtite: opća formula, slična formula za izračun derivacije kvocijenta i umnoška ne postoji.

Rješavanje stvarnih problema

Zadatak br. 1

Hajdemo svaki funkcije snage Računajmo zasebno:

\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]

Vraćajući se našem izrazu, pišemo opću konstrukciju:

Problem br. 2

Kao što sam već rekao, ne uzimaju se u obzir prototipovi radova i pojedinosti “točno”. Međutim, ovdje možete učiniti sljedeće:

Rastavili smo razlomak na zbroj dvaju razlomaka.

Izračunajmo:

Dobra vijest je da poznavanjem formula za izračun antiderivata već možete izračunati više složeni dizajni. Ipak, idemo dalje i još malo proširimo svoje znanje. Činjenica je da se mnoge konstrukcije i izrazi, koji na prvi pogled nemaju nikakve veze s $((x)^(n))$, mogu prikazati kao potencija s racionalni pokazatelj, naime:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Sve ove tehnike mogu se i trebaju kombinirati. Izrazi moći Limenka

• umnožiti (zbrojiti stupnjeve);
• podijeliti (stupnjevi se oduzimaju);
• pomnožiti s konstantom;
• itd.

Rješavanje potencijskih izraza s racionalnim eksponentom

Primjer #1

Izračunajmo svaki korijen zasebno:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Ukupno, naša cjelokupna konstrukcija može se napisati na sljedeći način:

Primjer br. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(-1))=((\lijevo(((x)^(\frac( 1)(2))) \desno))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Stoga dobivamo:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Ukupno, skupljajući sve u jedan izraz, možemo napisati:

Primjer br. 3

Za početak, napominjemo da smo već izračunali $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Prepišimo:

Nadam se da neću nikoga iznenaditi ako kažem da je ovo što smo upravo učili samo najviše jednostavni proračuni primitivne, najelementarnije strukture. Pogledajmo sada još malo složeni primjeri, u kojem ćete osim tabličnih antiderivata također morati zapamtiti školski plan i program, naime, formule skraćenog množenja.

Rješavanje složenijih primjera

Zadatak br. 1

Prisjetimo se formule za kvadrat razlike:

\[((\lijevo(a-b \desno))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Prepišimo našu funkciju:

Sada moramo pronaći prototip takve funkcije:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Spojimo sve zajedno u zajednički dizajn:

Problem br. 2

U ovom slučaju moramo proširiti kocku razlike. Prisjetimo se:

\[((\lijevo(a-b \desno))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Uzimajući u obzir ovu činjenicu, možemo to napisati ovako:

Preobrazimo malo našu funkciju:

Računamo kao i uvijek - za svaki termin posebno:

\[((x)^(-3))\do \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\do \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\do \ln x\]

Zapišimo dobivenu konstrukciju:

Problem br. 3

Na vrhu imamo kvadrat zbroja, proširimo ga:

\[\frac(((\lijevo(x+\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\do \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Napišimo konačno rješenje:

Sad pažnja! Vrlo važna stvar, koja je povezana s lavljim udjelom pogrešaka i nesporazuma. Činjenica je da do sada, računajući antiderivacije pomoću izvoda i dovodeći transformacije, nismo razmišljali o tome čemu je jednak izvod konstante. Ali derivacija konstante jednaka je "nuli". To znači da možete napisati sljedeće opcije:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Ovo je vrlo važno razumjeti: ako je derivacija funkcije uvijek ista, tada ista funkcija ima beskonačan broj antiderivacija. Možemo jednostavno dodati bilo koje konstantne brojeve našim antiderivacijama i dobiti nove.

Nije slučajno u obrazloženju zadataka koje smo upravo riješili pisalo “Zapiši opći oblik primitivci." Oni. Već unaprijed se pretpostavlja da nije jedan od njih, nego cijelo mnoštvo. No, zapravo se razlikuju samo po konstanti $C$ na kraju. Stoga ćemo u svojim zadacima ispraviti ono što nismo izvršili.

Još jednom prepisujemo naše konstrukcije:

U takvim slučajevima, trebali biste dodati da je $C$ konstanta - $C=const$.

U našoj drugoj funkciji dobivamo sljedeću konstrukciju:

I zadnji:

I sada smo stvarno dobili ono što se od nas tražilo u izvornom stanju problema.

Rješavanje zadataka nalaženja antiderivacija sa zadanom točkom

Sada kada znamo o konstantama i osobitostima pisanja antiderivata, sasvim je logično da sljedeći tip problemi kada se iz skupa svih antiderivata traži jedan jedini koji bi prošao dana točka. Kakav je ovo zadatak?

Činjenica je da se sve antiderivacije date funkcije razlikuju samo po tome što su vertikalno pomaknute za određeni broj. A to znači da bez obzira koju točku na koordinatnoj ravnini uzmemo, jedna antiderivacija će sigurno proći, i štoviše, samo jedna.

Dakle, problemi koje ćemo sada riješiti formulirani su na sljedeći način: ne samo pronaći antiderivaciju, znajući formulu izvorne funkcije, već odabrati točno onu koja prolazi kroz zadanu točku, čije koordinate će biti dane u problemu izjava.

Primjer #1

Prvo, jednostavno prebrojimo svaki izraz:

\[((x)^(4))\do \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\do \frac(((x)^(4)))(4)\]

Sada zamijenimo ove izraze u našu konstrukciju:

Ova funkcija mora proći kroz točku $M\left(-1;4 \right)$. Što znači da prolazi točkom? To znači da ako umjesto $x$ posvuda stavimo $-1$, a umjesto $F\left(x \right)$ - $-4$, tada bismo trebali dobiti ispravnu numeričku jednakost. Napravimo to:

Vidimo da imamo jednadžbu za $C$, pa je pokušajmo riješiti:

Zapišimo upravo rješenje koje smo tražili:

Primjer br. 2

Prije svega, potrebno je otkriti kvadrat razlike koristeći skraćenu formulu množenja:

\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]

Izvorna konstrukcija bit će napisana na sljedeći način:

Nađimo sada $C$: zamijenimo koordinate točke $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Izražavamo $C$:

Ostaje prikazati konačni izraz:

Rješavanje trigonometrijskih zadataka

Kao završni akord onome o čemu smo upravo raspravljali, predlažem da razmotrimo još dva složeni zadaci, koji sadrže trigonometriju. U njima ćete na isti način trebati pronaći antiderivacije za sve funkcije, zatim iz tog skupa odabrati onu jedinu koja prolazi točkom $M$ na koordinatnoj ravnini.

Gledajući unaprijed, želio bih napomenuti da tehnika koju ćemo sada koristiti za pronalaženje antiderivata trigonometrijske funkcije, zapravo, jest univerzalna tehnika za samotestiranje.

Zadatak br. 1

Sjetimo se sljedeće formule:

\[((\lijevo(\tekst(tg)x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Na temelju toga možemo napisati:

Zamijenimo koordinate točke $M$ u naš izraz:

\[-1=\tekst(tg)\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(4))+C\]

Prepišimo izraz uzimajući u obzir ovu činjenicu:

Problem br. 2

Ovo će biti malo kompliciranije. Sada ćete vidjeti zašto.

Zapamtimo ovu formulu:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Da biste se riješili "minusa", morate učiniti sljedeće:

\[((\lijevo(-\tekst(ctg)x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Evo našeg dizajna

Zamijenimo koordinate točke $M$:

Ukupno zapisujemo konačnu konstrukciju:

To je sve o čemu sam ti danas htio reći. Proučavali smo sam termin antiderivati, kako ih računati elementarne funkcije, kao i kako pronaći antiderivaciju koja prolazi kroz određenu točku na koordinatnoj ravnini.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da barem malo razumijete ovu složenu temu. U svakom slučaju, na antiizvedenicama je taj neodređeni i neodređeni integrali, pa ih je prijeko potrebno prebrojati. To je sve za mene. Vidimo se opet!

Danas ćemo govoriti o istraživanju funkcija. Važno je napomenuti da matematika funkcionira na isti način kao obična kuća: Prvo se postavlja temelj, a zatim se cigle slažu sloj po sloj. Ulogu temelja u matematici ima funkcija (podudarnost između dva skupa). Nakon uvođenja pojma funkcije, ona se počinje proučavati kao objekt na isti način kao što je to učinjeno s brojevima.

Zapravo, u životu također često koristimo ne samo objekte, već i korespondenciju između njih, odnose između objekata. Primjer su knjige o ljubavi (ljubav je odnos među ljudima).

Nakon proučavanja funkcija u matematici počinju proučavati skupove funkcija, zatim prostore funkcija i tako dalje. Ali danas ćemo govoriti o primarnoj analizi funkcije.

Što je funkcija? Funkcija je korespondencija između skupova. U ovoj lekciji ćemo govoriti o numeričke funkcije, odnosno o podudarnostima između brojčanih skupova. Također ćemo govoriti o lokalnom svojstvu funkcije (ponašanje funkcije u određenoj točki) i globalnom svojstvu (svojstvo povezano s cijelom domenom funkcije). Derivacija je opis lokalnih svojstava funkcija, a integral je opis globalnih.

Na primjer, postoje dvije različite funkcije, ali u jednoj točki njihovi se grafovi podudaraju (vidi sliku 1). Ali koja je razlika između ponašanja funkcija u blizini ove točke? O tome ćemo razgovarati.

Riža. 1. Sjecište grafova dviju različitih funkcija

Iz grafikona funkcije lako možete odrediti njena svojstva: monotonost (rastuća ili padajuća funkcija), parnost (neparnost) i periodičnost (vidi sliku 2).

Riža. 2. Karakteristike značajki

Sve ove karakteristike su matematičke. Ali izvedenica se često koristi u životu. Najčešće, kada opisujemo proces pomoću grafa, zanima nas dinamika tog procesa, odnosno ne vrijednost funkcije u određenom trenutku, već kako će se funkcija ponašati u budućnosti (hoće li rasti ili smanjenje?). Na primjer, kada želimo analizirati povećanja cijena ili usporediti cijene za različita razdoblja vrijeme ( apsolutne vrijednosti mogla promijeniti, ali je dinamika ostala ista) (vidi sl. 3).

Riža. 3. Dinamika cijene zlata

Derivacija pomaže odrediti kako će se funkcija ponašati u blizini dane točke.

Vrijedno je pojasniti da se u školi najčešće traži derivacija funkcije preko cijele domene definiranja. To je zbog činjenice da su funkcije koje se proučavaju "dobre", odnosno da je njihovo ponašanje predvidljivo duž cijele osi. Ali općenito, izvod je lokalna karakteristika funkcije.

Na primjer, kada gledate fotografije s različitim brzinama zatvarača, može postojati nekoliko opcija:

1. automobili stoje, a ljudi su svaki na svom mjestu (vidi sl. 4);
2. mutna slika, možete vidjeti tko kamo ide (vidi sl. 5).

Riža. 4. Fotografija s ekspozicijom iz

Riža. 5. Fotografiranje ekspozicije

Druga opcija je vizualna ilustracija izvedenice (zamagljivanje slike).

U jednom trenutku funkcija poprima određenu vrijednost i iz nje je praktički nemoguće izvući bilo kakve zaključke o njezinom ponašanju. A ako uzmemo u obzir okolicu ove točke, tada već možemo reći na kojoj je strani manja (na kojoj je veća) i zaključiti raste li ili se smanjuje. To jest, kada je brzina zatvarača kratka, vidimo vrijednost funkcije u točki, a kada uzmemo u obzir kašnjenje okvira, već možemo analizirati ponašanje funkcije (vidi sliku 6).

Riža. 6. Analogija između izvedenice i fotografije

U Svakidašnjicačesto analiziramo situaciju kao što je analiza funkcija u matematici. Na primjer, kada kažemo da je vani sve toplije (hladnije), ne označavamo konkretnu temperaturu u ovom trenutku, već mislimo da će temperatura uskoro porasti (pasti). Ovo je slično izračunavanju derivacije (vidi sliku 7).

Riža. 7. Analiza promjene temperature

Predstavimo se precizna definicija izvedenica.

Derivacija funkcijeu točki naziva se granica omjera prirasta funkcije u ovoj točki prema prirastu argumenta (pod uvjetom da ta granica postoji):

Budući da želimo uvesti takav koncept kao što je brzina promjene funkcije (glavna riječ je ubrzati), onda možemo povući paralelu s fizikom. Trenutna brzina je vektorska fizikalna veličina, jednaka omjeru kretanje na vremenski interval tijekom kojeg se to kretanje dogodilo, ako vremenski interval teži nuli:

Trenutna brzina, m/s; - kretanje tijela, m (at ); - vremenski interval koji teži nuli, s.

Ali važno je pojasniti da smo, kada smo govorili o temperaturi, naznačili samo kvalitativne karakteristike procesa, ali nismo govorili o brzini promjene temperature. Derivacija uzima u obzir brzinu promjene funkcije. Funkcije mogu rasti na različite načine. Na primjer, parabola () raste brže od logaritma () (vidi sl. 8).

Riža. 8. Brzina porasta u grafovima funkcija i

Radi se o usporedbi brzine porasta (padanja) funkcije koju uvodimo specifične karakteristike funkcije – izvod. Povlačeći analogiju između derivacije i brzine kretanja bilo kojeg objekta (brzina je omjer prijeđene udaljenosti i vremena, ili promjena koordinate po jedinici vremena), možemo reći da je u granici derivacija omjer promjena u funkciji (to jest, put koji je točka prešla ako se kretala duž grafa funkcije) na prirast argumenta (vrijeme tijekom kojeg je kretanje izvršeno) (vidi sliku 9). Ovo je mehaničko (fizičko) značenje izvedenice.

Riža. 9. Analogija između brzine i derivacije

Derivacija je lokalno svojstvo funkcije. Važno je razlikovati izračunavanje derivacije po cijeloj domeni definicije i po određenom odsječku, jer funkcija na jednom intervalu može biti kvadratna, na drugom linearna i tako dalje. Ali sve je to jedna funkcija, a na različitim točkama takva će funkcija imati različita značenja izvedenica.

Za većinu funkcija specificiranih analitički (određenom formulom) imamo tablicu derivacija (vidi sl. 10). Ovo je analog tablice množenja, odnosno postoje osnovne funkcije za koje su derivacije već izračunate (može se dokazati da imaju upravo ovaj oblik), a zatim postoje neka pravila (vidi sl. 11) ( analozi množenja ili dugog dijeljenja), pomoću kojih se mogu izračunati derivacije složene funkcije, izvedeni radovi i tako dalje. Dakle, za gotovo sve funkcije izražene preko nama poznatih funkcija, možemo opisati ponašanje funkcije u cijeloj domeni definicije.

Riža. 10. Tablica izvedenica

Riža. 11. Pravila razlikovanja

Ali ipak, definicija derivata koju smo dali ranije je točkasta. Za generalizaciju derivacije u točki na cijelu domenu definicije funkcije, potrebno je dokazati da će se u svakoj točki vrijednost derivacije podudarati s vrijednostima iste funkcije.

Ako zamislimo funkciju koja nije analitički napisana, tada je u blizini svake točke možemo prikazati u obliku linearna funkcija. Derivaciju linearne funkcije u blizini određene točke lako je izračunati. Ako funkciju prikažemo linearno, tada se ona podudara s njezinom tangentom (vidi sliku 12).

Riža. 12. Prikaz funkcije u svakoj točki kao linearna funkcija

Iz pravokutni trokut znamo da je tangenta jednaka omjeru suprotne stranice prema susjednoj stranici. Stoga, geometrijsko značenje derivacija je da je derivacija tangens tangentnog kuta u ovoj točki (vidi sliku 13).

Riža. 13. Geometrijsko značenje derivacije

Govoreći o derivaciji kao o brzini, možemo reći da ako funkcija opada, onda je njena derivacija negativna, i obrnuto, ako funkcija raste, onda je njena derivacija pozitivna. S druge strane, derivaciju smo definirali kao tangens tangentnog kuta. Ovo je također lako objasniti. Ako funkcija raste, tada tangenta tvori oštar kut, a tangenta oštar kut pozitivan. Dakle, izvod je pozitivan. Kao što vidimo, fizičko i geometrijsko značenje derivata se podudaralo.

Ubrzanje je stopa promjene brzine (odnosno derivacija brzine). S druge strane, brzina je derivat pomaka. Ispada da je ubrzanje druga derivacija (derivacija derivacije) pomaka (vidi sl. 14).

Riža. 14. Primjena izvoda u fizici

Derivacija je sredstvo proučavanja svojstava funkcije.

Derivat se koristi za rješavanje problema optimizacije. Za to postoji objašnjenje. Budući da derivacija pokazuje rast funkcije, može se koristiti za pronalaženje lokalnih maksimuma i minimuma funkcije. Znajući da je u jednom području funkcija porasla, a potom počela padati, pretpostavljamo da u nekom trenutku postoji lokalni maksimum. Slično, ako se funkcija smanjila, a zatim počela rasti, u nekom trenutku postoji lokalni minimum (vidi sliku 15).

Riža. 15. Lokalni minimumi i maksimumi funkcije

U praksi se to može koristiti za pronalaženje, na primjer, maksimalne dobiti pod danim uvjetima. Da biste to učinili, morate pronaći točku u kojoj će biti lokalni maksimum. Ako trebamo utvrditi minimalni troškovi, tada je, sukladno tome, potrebno odrediti točku u kojoj se nalazi lokalni minimum (vidi sl. 16).

Riža. 16. Pronalaženje maksimalne dobiti i minimalnih troškova

Škola rješava mnoge probleme optimizacije. Razmotrimo jedan od njih.

Koliko treba biti dugačka pravokutna ograda fiksne duljine da bi zatvorila najveću površinu (vidi sliku 17)?

Riža. 17. Problem optimizacije

Ispada da bi ograda trebala biti kvadratna.

Postoji dosta takvih zadataka, kada je jedan parametar fiksiran, a drugi treba optimizirati. Parametar koji je fiksan su podaci o našem zadatku (npr. materijal za ogradu). I postoji parametar koji želimo dobiti minimalno ili maksimalno (na primjer, maksimalna površina, minimalna veličina). Odnosno, formira se par "resurs - učinak". Postoji određeni resurs koji je inicijalno zadan i određeni učinak koji želimo postići.

Prijeđimo sada na globalna svojstva funkcije. Razmotrimo najjednostavniji slučaj integrala. Uzmimo niz brojeva: . Niz je također funkcija (prirodnog argumenta), svaki broj ima svoj redni broj i značenje. .

Zapišimo formulu za pronalaženje zbroja ovog niza:

Zbroj do određene vrijednosti bit će vrijednost integrala.

Na primjer, za:

Odnosno, integral je zapravo zbroj (in u ovom slučaju zbroj vrijednosti funkcije).

Većina učenika povezuje integral s površinom. Pokušajmo spojiti primjer sa zbrojem niza i površine. Prepišimo ovaj niz u obliku linearne funkcije: .

Tada će zbroj ovog niza biti zbroj površina dijelova ispod grafikona (u ovom slučaju trapeza) (vidi sliku 18).

Riža. 18. Površina ispod grafa funkcije

Zbroj površina jednak je površini zbroja (ako se dijelovi na koje je lik podijeljen ne sijeku). To znači da je integral površina ispod grafa funkcije. Dakle, pronalazeći integral, možemo pronaći područje nekog dijela ravnine. Na primjer, možete pronaći područje ispod grafikona.

Ako želimo striktno uvesti definiciju integrala u smislu površine figure pod funkcijom, tada moramo samu figuru razbiti na vrlo male dijelove. Nije uvijek tako prikladno izračunati površinu kao u slučaju linearne funkcije. Uzmimo, na primjer, funkciju . Ako linearno aproksimiramo funkciju (kao što smo predložili učiniti u slučaju derivacije), tada, kao u prethodnom primjeru, dobivamo podjelu cijele površine na zbroj površina trapeza (vidi sl. 19).

Tada je u limitu zbroj integral, odnosno površina ispod grafa funkcije.

Riža. 19. Površina ispod grafa funkcije

Ali kako izračunati ovu površinu (integral)? Za poznate funkcije postoji tablica integrala (slična tablici izvodnica). Ali u općem slučaju, funkciju aproksimiramo segmentima i izračunavamo zbroj površina trapeza ispod tih segmenata. Smanjivanjem segmenata u limitu dobivamo vrijednost integrala.

Za razliku od derivacije, gdje "dobra" funkcija uvijek daje "dobru" derivaciju, to nije slučaj s integralom. Na primjer, za tako jednostavnu funkciju kao što je izračunavanje integrala i njegovo predstavljanje u obliku analitičkih funkcija, ne možemo (vidi sliku 20).

Izračunavanje integrala nije lak zadatak, pa stoga postojanje tako jednostavne Newton-Leibnizove formule (vidi sl. 20), koja vam omogućuje brzo izračunavanje vrijednosti integrala, ako znamo njegov oblik, uvelike pojednostavljuje izračune . Inače bi bilo teško svaki put izračunati granično područje.

Riža. 20. Newton-Leibnizova formula za izračunavanje integrala

Stoga glavne metode izračuna uključuju:

1. tablicu integrala za one funkcije koje možemo izračunati (vidi sl. 21);
2. svojstva integrala koja vam omogućuju izračunavanje različite kombinacije funkcije tablice(vidi sliku 22);
3. Newton-Leibnizova formula (ako izbrojimo vrijednost na krajnjoj desnoj točki i oduzmemo vrijednost na krajnjoj lijevoj točki, dobit ćemo površinu) (vidi sl. 20).

Riža. 21. Tablica integrala

Riža. 22. Svojstva određenog integrala

U školi se ne izvodi Newton-Leibnizova formula, iako to nije teško učiniti ako integral definirate kao površinu ispod grafa.

Više detalja o izvođenju Newton-Leibnizove formule:

Kako bismo bolje razumjeli razliku između lokalnih i globalnih svojstava funkcije, možemo razmotriti primjer gađanja mete. Ako napravite nekoliko udaraca okolo (nijedan ne pogodi središte) i izračunate prosjek, dobit ćete gotovo (vidi sliku 23). Iako bi zapravo strijelac mogao cijelo vrijeme pogoditi iznad ili ispod mete, a prosjek bi i dalje bio blizu .

Riža. 23. Gađanje u metu

Možete dati primjer iz fizike - težište. Ista masa s istim težištem može se rasporediti na potpuno različite načine (vidi sl. 24).

Riža. 24. Mogućnosti raspodjele mase s istim težištem

Drugi primjer je Prosječna temperatura oko bolnice. Ako netko ima temperaturu, a netko drugi temperaturu, onda u prosjeku ispadne i čini se da pacijenti nisu toliko bolesni.

Ako govorimo o vezi derivacije (lokalne karakteristike) i integrala (globalne karakteristike), onda je intuitivno jasno da se radi o međusobno inverznim pojmovima. Zapravo, ovo je istina. Ako uzmemo derivaciju integrala ili integral derivacije, dobivamo izvornu funkciju. Da bismo to objasnili, razmotrimo kretanje tijela. Već znamo da je brzina derivacija pomaka. Pokušajmo obrnutu operaciju. Da bismo to učinili, izražavamo kretanje u smislu brzine i vremena:

A ako pogledamo graf (brzina se mijenja linearno), vidjet ćemo da je put produkt brzine i vremena. S druge strane, ovo je površina ispod grafikona (vidi sl. 25).

Riža. 25. Odnos derivacije i integrala

Ako izračunate integral brzine, dobit ćete vrijednost za put. A brzina je izvedenica puta.

Dakle, derivacija i integral su međusobno inverzne funkcije. Za to postoji strogi dokaz.

Riža. 26. Odnos derivacije i integrala

Ali kako bismo analizirali, razumjeli što govorimo o, te rad s operacijama diferenciranja (izračunavanje derivacije) i integracije (izračunavanje integrala) bit će dovoljno ono što je rečeno u ovoj lekciji i gradivo iz glavne lekcije.

Kad trebamo pronaći kuću u sv. Nevskaya, a izašli smo nasuprot kuće, a zatim idemo lijevo ili desno od ove kuće da bismo razumjeli kako ide numeriranje.

Datoteka za lekciju 29.

Izvedenica. Primjena izvedenice. Antiderivacija.

Faktor nagiba tangenta na graf funkcije u točki s apscisom x 0 jednaka izvodu funkcije u točki x 0. .

Oni. derivacija funkcije u točki x 0 jednaka je tangensu tangentnog kuta povučenog na graf funkcije u točki (x 0 ; f(x 0)).

Vježbajte 1. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na taj graf povučena u točki s apscisom x x 0 .

Odgovor: 0,25

Vježbajte 2. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na taj graf povučena u točki s apscisom x 0 . Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0 . Odgovor: 0,6

Vježbajte 3. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na taj graf povučena u točki s apscisom x 0 . Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0 . Odgovor: -0,25

Vježbajte 4. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na taj graf povučena u točki s apscisom x 0 . Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0 . Odgovor: -0,2.

Mehaničko značenje izvedenica.

v ( t 0 ) = x' ( t 0 )

brzina je derivacija koordinate Po vrijeme. Također, ubrzanje je derivacija brzine u odnosu na vrijeme :

a = v' ( t ).

Vježbajte 5 . Materijalna točka giba se pravocrtno po zakonu x(t)=12 t 2 +4 t+27, gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t vrijeme u sekundama, mjereno od trenutka početka gibanja. Odredi njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u trenutku t=2 s. Odgovor: 52

Zadatak 6. Materijalna točka se giba pravocrtno po zakonux (t )= 16 t 3 + t 2 − 8 t + 180, Gdje x- udaljenost od referentne točke u metrima,t- vrijeme u sekundama mjereno od trenutka početka kretanja. U kojem je trenutku (u sekundama) njegova brzina bila jednaka 42 m/s? Odgovor: 1

Dovoljan znak rastuća (opadajuća) funkcija

1. Ako je f `(x) u svakoj točki intervala (, tada funkcija raste za (.

2. Ako je f `(x) u svakoj točki intervala (, tada funkcija opada za (.

Preduvjet ekstremno

Ako je točka x 0 je točka ekstrema funkcije iu ovoj točki postoji derivacija, dakle f `( x 0 )=0

Dovoljan uvjet za ekstrem

Ako f `( x 0 x 0 vrijednost derivacije mijenja predznak iz “+” u “-”, tada x 0 je maksimalna točka funkcije.

Ako f `( x 0 ) = 0 i pri prolasku kroz točku x 0 vrijednost derivacije mijenja predznak iz “-” u “+”, tada x 0 je minimalna točka funkcije.

Zadatak 7. Na slici je prikazan graf izvoda funkcije f(x), definiran na intervalu (−7; 10). Pronađite minimalni broj točaka funkcije f(x) na intervalu [−3; 8].

Riješenje. Minimalne točke odgovaraju točkama u kojima se predznak derivacije mijenja s minusa na plus. Na segmentu [−3; 8] funkcija ima jednu minimalnu točku x= 4. Dakle, takva točka je 1. Odgovor: 1.

Zadatak 8. Slika prikazuje graf diferencijabilne funkcije y=f(x) i na apscisnoj osi označeno je sedam točaka: x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x 7. U koliko od ovih točaka je derivacija f(x) negativna? Odgovor: 3

Zadatak 9. Na slici je prikazan graf diferencijabilne funkcije y=f(x), definirane na intervalu (− 11 ; − 1). Pronađite točku iz odsječka [− 7 ;  − 2], u kojoj je derivacija funkcije f(x) jednaka 0. Odgovor: -4

Zadatak 10. Na slici je prikazan graf funkcije y=f′(x) - derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (2 ; 13). Pronađite točku maksimuma funkcije f(x). Odgovor: 9

Zadatak 11. Na slici je prikazan graf y=f′(x) derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (− 3; 8). U kojoj točki segmenta [− 2;  3] funkcija f(x) uzima najmanja vrijednost? Odgovor: -2

Zadatak 12. Na slici je prikazan graf y=f "(x) - derivacija funkcije f(x), definirana na intervalu (− 2 ; 11). Pronađite apscisu točke u kojoj je tangenta na graf funkcije y=f(x) je paralelna s osi apscisa ili se poklapa s njom. Odgovor: 3

Zadatak 13. Slika prikazuje graf y=f "(x) - derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (− 4 ; 6). Pronađite apscisu točke u kojoj je tangenta na graf funkcija y=f(x) je paralelna s pravom y=3x ili se poklapa s njom. Odgovor: 5

Zadatak 14. Slika prikazuje graf y=f "(x) - derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (− 4 ; 13). Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije y=f(x) je paralelan s pravom y=− 2x−10 ili joj je jednak Odgovor: 5

Zadatak 15. Pravac y =5x -8 tangenta je na graf funkcije 4x 2 -15x +c. Pronaći c. Odgovor: 17.

Antiderivacija

Antiderivativna funkcija F(x) za funkciju f(x) naziva se funkcija izvedenica koja je jednaka izvornoj funkciji. F " ( x )= f ( x ).

Zadatak 16. Na slici je prikazan grafikon y=F (x) jedan od antiizvoda neke funkcije f(x), definiran na intervalu (1;13). Pomoću slike odredite broj rješenja jednadžbe f (x)=0 na segmentu . Odgovor: 4

Zadatak 17. Na slici je prikazan graf y=F(x) jedne od antiderivacija neke funkcije f(x), definirane na intervalu (− 7; 8). Pomoću slike odredite broj rješenja jednadžbe f(x)=0 na segmentu. Odgovor:1

Zadatak 18. Na slici je prikazan graf y=F(x) jedne od antiderivacija neke funkcije f(x) i na apscisi je označeno osam točaka: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. U koliko je od ovih točaka funkcija f(x) negativna? Odgovor: 3

Zadatak 19. Na slici je prikazan graf neke funkcije y=f(x). Funkcija F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 jedna je od antiderivacija funkcije f(x). Pronađite područje osjenčane figure. Odgovor: 592

Algoritam za pronalaženje točaka ekstrema

Odredi domenu definicije funkcije.

Pronađite izvod funkcije f "( x)

Pronađite točke u kojima f "( x) = 0.

Označite na brojevnom pravcu područje definicije funkcije i sve nulte derivacije.

Definirajte znak izvedenicaza svaki interval. (Da biste to učinili, zamijenite "prikladnu" vrijednost x od ovog intervala do f "( x)).

Odredite rastuća i opadajuća područja funkcije na temelju predznaka derivacije i izvucite zaključke o prisutnosti ili odsutnosti ekstrema i njegovoj prirodi ( max ilimin ) u svakoj od ovih točaka.

20. zadatak. Nađite točku maksimuma funkcije y=(2x−1)cosx−2sinx+5 koja pripada intervalu (0 ; π/2). Odgovor: 0,5

Zadatak 21.Pronađite točku maksimuma funkcijey=. Odgovor: 6

Algoritam pronalaženja najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu

Zadatak 22. Odredite najmanju vrijednost funkcije y =x −6x +1 na odsječku. Odgovor: -31

Zadatak 23. Pronađite najmanju vrijednost funkcije y=8cosx+30x/π+19 na intervalu [− 2π/3;  0]. Odgovor: -5

Dodatno. 1. Odredi točku maksimuma funkcije y=(x−11) 2 ​ ⋅e x − 7 .

2. Pronađite najveća vrijednost funkcije y=x 5 -5x 3 -20x na segmentu [− 9 ;  1]. Odgovor:48