Kako podići broj na decimalni potenciju. Dizanje algebarskog razlomka na potenciju

Lekcija će se osvrnuti na općenitiju verziju množenja razlomaka - dizanje na potenciju. Prije svega, govorit ćemo o prirodnim potencijama razlomaka i primjerima koji pokazuju slične operacije s razlomcima. Na početku lekcije također ćemo ponoviti podizanje cijelih izraza na prirodne potencije i vidjeti kako će to biti korisno za rješavanje daljnjih primjera.

Tema: Algebarski razlomci. Aritmetičke operacije nad algebarskim razlomcima

Lekcija: Konstrukcija algebarski razlomak do stupnja

1. Pravila podizanja razlomaka i cijelih izraza na prirodne potencije s elementarnim primjerima

Pravilo dizanja običnih i algebarskih razlomaka na prirodni stepen:

Možete povući analogiju sa stupnjem cijelog izraza i zapamtiti što se misli podizanjem na potenciju:

Primjer 1. .

Kao što se može vidjeti iz primjera, dizanje razlomka na potenciju je poseban slučaj množenje razlomaka, što je proučavano u prethodnoj lekciji.

Primjer 2. a), b) - minus nestaje, jer smo izraz podigli na parnu potenciju.

Radi praktičnosti rada sa stupnjevima, prisjetimo se osnovnih pravila za podizanje na prirodni stupanj:

- produkt potencija;

- podjela stupnjeva;

Podizanje stupnja na stupanj;

Stupanj proizvoda.

Primjer 3. - to znamo iz teme “Potenciranje cijelih izraza”, osim jednog slučaja: ne postoji.

2. Najjednostavniji primjeri dizanja algebarskih razlomaka na prirodne potencije

Primjer 4. Dizanje razlomka na potenciju.

Riješenje. Kada se podigne na jednaku potenciju, minus nestaje:

Primjer 5. Dizanje razlomka na potenciju.

Riješenje. Sada koristimo pravila za podizanje stupnja na stepen odmah bez posebnog rasporeda:

.

Pogledajmo sada kombinirane probleme u kojima ćemo trebati podići razlomke na potencije, pomnožiti ih i podijeliti.

Primjer 6. Izvođenje akcija.

Riješenje. . Zatim morate napraviti smanjenje. Opišimo jednom potanko kako ćemo to učiniti, a zatim ćemo analogijom odmah naznačiti rezultat: . Slično (ili po pravilu diobe vlasti). Imamo: .

Primjer 7. Izvođenje akcija.

Riješenje. . Redukcija je provedena analogno prethodno razmatranom primjeru.

Primjer 8. Izvođenje akcija.

Riješenje. . U ovom smo primjeru još jednom detaljnije opisali proces redukcije potencije u razlomcima kako bismo učvrstili ovu metodu.

3. Složeniji primjeri dizanja algebarskih razlomaka na prirodne potencije (uzimajući u obzir predznake i s članovima u zagradi)

Primjer 9: Izvođenje radnji .

Riješenje. U ovom primjeru već ćemo preskočiti odvojeno množenje razlomaka, te odmah koristiti pravilo za njihovo množenje i zapisati ih pod jedan nazivnik. Istodobno slijedimo znakove - u ovom slučaju razlomci se podižu na parne ovlasti, tako da minusi nestaju. Na kraju ćemo izvršiti smanjenje.

Primjer 10: Izvođenje radnji .

Riješenje. U ovom primjeru postoji dijeljenje razlomaka; zapamtite da se u ovom slučaju prvi razlomak množi drugim, ali obrnutim redom.

Vrijeme je za upoznavanje dizanje algebarskog razlomka na potenciju. Ova operacija s algebarskim razlomcima u smislu stupnja svodi se na množenje istih razlomaka. U ovom ćemo članku dati odgovarajuće pravilo i pogledati primjere dizanja algebarskih razlomaka na prirodni potenciju.

Navigacija po stranici.

Pravilo dizanja algebarskog razlomka na potenciju, njegov dokaz

Prije nego što počnemo govoriti o dizanju algebarskog razlomka na potenciju, nije naodmet sjetiti se koliki je umnožak identičnih faktora u osnovi potencije, a njihov je broj određen eksponentom. Na primjer, 2 3 =2·2·2=8.

Sjetimo se sada pravila stepenovanja obični razlomak– da biste to učinili, morate posebno podići brojnik na naznačenu snagu, a zasebno – nazivnik. Npr. Ovo pravilo vrijedi za dizanje algebarskog razlomka na prirodni potenciju.

Dizanje algebarskog razlomka na prirodni potenciju daje novi razlomak, čiji brojnik sadrži naznačeni stupanj brojnika izvornog razlomka, a nazivnik - stupanj nazivnika. U doslovnom obliku ovo pravilo odgovara jednakosti , gdje su a i b proizvoljni polinomi (u posebnim slučajevima, monomi ili brojevi), a b je polinom različit od nule, a n je .

Dokaz navedenog pravila za dizanje algebarskog razlomka na potenciju temelji se na definiciji potencije s prirodnim eksponentom i na tome kako smo definirali množenje algebarskih razlomaka: .

Primjeri, rješenja

Pravilo dobiveno u prethodnom odlomku svodi dizanje algebarskog razlomka na potenciju na dizanje brojnika i nazivnika izvornog razlomka na tu potenciju. A budući da su brojnik i nazivnik izvornog algebarskog razlomka polinomi (u konkretnom slučaju, monomi ili brojevi), tada se izvorni zadatak svodi na podizanje polinoma na potenciju. Nakon izvođenja ove radnje dobit će se novi algebarski razlomak, identično jednak navedenom stupnju izvornog algebarskog razlomka.

Pogledajmo rješenja za nekoliko primjera.

Primjer.

Kvadrirajte algebarski razlomak.

Riješenje.

Zapišimo diplomu. Sada se okrećemo pravilu za dizanje algebarskog razlomka na potenciju, ono nam daje jednakost . Preostaje transformirati dobiveni razlomak u oblik algebarskog razlomka dizanjem monoma na potenciju. Tako .

Obično se kod podizanja algebarskog razlomka na potenciju ne objašnjava rješenje, već se rješenje ukratko zapisuje. Naš primjer odgovara unosu .

Odgovor:

.

Kada brojnik i/ili nazivnik algebarskog razlomka sadrži polinome, osobito binome, tada je pri dizanju na potenciju preporučljivo koristiti odgovarajuće skraćene formule za množenje.

Primjer.

Konstruirajte algebarski razlomak na drugi stupanj.

Riješenje.

Prema pravilu dizanja razlomka na potenciju imamo .

Za transformaciju dobivenog izraza u brojnik koristimo formula kvadratne razlike, a u nazivniku - formula za kvadrat zbroja tri člana:

Odgovor:

U zaključku, napominjemo da ako dignemo nesvodivi algebarski razlomak na prirodni potenciju, tada će rezultat također biti nesvodljiv razlomak. Ako je izvorni razlomak reducibilan, tada je prije podizanja na potenciju poželjno izvršiti redukciju algebarskog razlomka kako se redukcija ne bi izvršila nakon dizanja na potenciju.

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14. Dio 1. Udžbenik za učenike obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava cleverstudents

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.site, uključujući unutarnji materijali I vanjski dizajn, ne smiju se reproducirati ni u kojem obliku niti koristiti bez prethodnog pisanog dopuštenja nositelja autorskog prava.

Nastavljajući razgovor o snazi ​​broja, logično je shvatiti kako pronaći vrijednost snage. Ovaj proces se zove potenciranje. U ovom ćemo članku proučiti kako se izvodi potenciranje, dok ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I prema tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera podizanja brojeva na različite ovlasti.

Navigacija po stranici.

Što znači "potenciranje"?

Počnimo s objašnjenjem onoga što se naziva stepenovanje. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Potenciranje- ovo je pronalaženje vrijednosti potencije broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti potencije broja a s eksponentom r i dizanje broja a na potenciju r ista je stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost potencije (0,5) 5", tada se može preformulirati na sljedeći način: "Podignite broj 0,5 na potenciju 5."

Sada možete ići izravno na pravila prema kojima se izvodi potenciranje.

Dizanje broja na prirodni potenc

U praksi se jednakost temeljena na obično primjenjuje u obliku . Odnosno, kada se broj a diže na razlomačku potenciju m/n, prvo se uzima n-ti korijen broja a, nakon čega se dobiveni rezultat diže na cjelobrojnu potenciju m.

Pogledajmo rješenja primjera dizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stupnja.

Riješenje.

Pokazat ćemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stupnja ispod znaka korijena, a zatim izdvajamo kockasti korijen: .

Drugi način. Po definiciji stupnja s razlomačkim eksponentom i na temelju svojstava korijena vrijede sljedeće jednakosti: . Sada vadimo korijen , konačno, dižemo ga na cjelobrojnu potenciju .

Očito se podudaraju dobiveni rezultati dizanja na razlomak.

Odgovor:

Imajte na umu da se frakcijski eksponent može napisati kao decimal ili mješoviti broj, u tim slučajevima treba ga zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, a zatim podići na potenciju.

Primjer.

Izračunajte (44,89) 2.5.

Riješenje.

Napišimo eksponent u obliku običnog razlomka (ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

Odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Također treba reći da je dizanje brojeva na racionalne potencije prilično naporan proces (posebno kada brojnik i nazivnik frakcijskog eksponenta sadrže dovoljno velike brojeve), koji se obično provodi pomoću računalna tehnologija.

Da zaključimo ovu točku, zadržimo se na dizanju broja nula na razlomak. Razlomku nulte potencije oblika dali smo sljedeće značenje: kada imamo , a na nuli do m/n snaga nije definirana. Dakle, nula u razlomku pozitivan stupanj jednak nuli, npr. . A nula u razlomačkoj negativnoj potenciji nema smisla, na primjer, izrazi 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu snagu

Ponekad je potrebno saznati vrijednost potencije broja s iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, za praktične svrhe obično je dovoljno dobiti vrijednost stupnja točnu na određeni predznak. Odmah napomenimo da se ova vrijednost u praksi izračunava pomoću elektroničke računalne tehnologije, budući da je podizanjem na ir racionalni stupanj ručno zahtijeva mnogo glomaznih izračuna. Ali ipak ćemo opisati u opći nacrt bit radnje.

Da bi se dobila približna vrijednost potencije broja a s iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava vrijednost potencije. Ova vrijednost je približna vrijednost potencije broja a s iracionalnim eksponentom. Što je točnija decimalna aproksimacija broja u početku, to je više točna vrijednost stupanj će se steći na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost potencije 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta: . Sada dižemo 2 na racionalnu potenciju 1,17 (opisali smo bit ovog procesa u prethodnom odlomku), dobivamo 2 1,17 ≈2,250116. Tako, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako, na primjer, uzmemo točniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, tada ćemo dobiti točniju vrijednost izvornog eksponenta: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).

Razlomak je omjer brojnika i nazivnika, a nazivnik ne smije biti jednak nuli, a brojnik može biti bilo što.

Kada bilo koji razlomak podižemo na proizvoljnu potenciju, moramo posebno podići brojnik i nazivnik razlomka na tu potenciju, nakon čega moramo prebrojati te potencije i tako dobiti razlomak podignut na potenciju.

Na primjer:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 ​​​​/ 3) · (2 ​​​​/ 3) = 2^3 / 3^3

Negativni stupanj

Ako imamo posla s negativnim stupnjem, onda prvo moramo “obrnuti razlomak”, a tek onda ga podići na stupanj prema gore napisanom pravilu.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Pismo stupanj

Kada radite s doslovnim vrijednostima kao što su "x" i "y", potenciranje slijedi isto pravilo kao i prije.

Također se možemo testirati dizanjem razlomka ½ na 3. potenciju, kao rezultat toga dobivamo ½ * ½ * ½ = 1/8, što je u biti isto što i

Doslovno potenciranje x^y

Množenje i dijeljenje razlomaka s potencijama

Ako potencije množimo s istim bazama, tada sama baza ostaje ista, a eksponente zbrajamo. Ako dijelimo diplome sa po istim osnovama, tada baza stupnja također ostaje ista, a eksponenti se oduzimaju.

To se vrlo lako može pokazati primjerom:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Mogli bismo dobiti istu stvar ako jednostavno dignemo nazivnik i brojnik na potenciju 3 i 4 zasebno.

Podizanje razlomka s potencijom na drugu potenciju

Kada podižemo razlomak koji je već na potenciju ponovo na potenciju, prvo moramo napraviti unutarnje potenciranje, a zatim prijeći na vanjski dio potenciranja. Drugim riječima, možemo jednostavno pomnožiti te potencije i podići razlomak na rezultirajuću potenciju.

Na primjer:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Povećano na jedan, kvadratni korijen

Također ne smijemo zaboraviti da će podizanje apsolutno bilo kojeg razlomka na nultu potenciju dati 1, baš kao i svaki drugi broj, kada se podigne na nultu potenciju, dobit ćemo 1.

Obični kvadratni korijen također se može izraziti kao potencija razlomka

Kvadratni korijen 3 = 3^(1/2)

Ako se bavimo korijen ispod kojeg se nalazi razlomak, onda možemo zamisliti taj razlomak u čijem će brojniku biti kvadratni korijen 2. stupnja (jer je kvadratni korijen)

I nazivnik će također sadržavati kvadratni korijen, tj. drugim riječima, vidjet ćemo odnos dvaju korijena, ovo može biti korisno za rješavanje nekih problema i primjera.

Podignemo li razlomak ispod kvadratnog korijena na drugu potenciju, dobit ćemo isti razlomak.

Umnožak dvaju razlomaka pod jednom potencijom bit će jednak umnošku ta dva razlomka od kojih će svaki zasebno biti pod svojom potencijom.

Zapamtite: ne možete dijeliti s nulom!

Također, ne zaboravite na vrlo važnu napomenu za razlomak, kao što je nazivnik ne smije biti jednak nuli. U budućnosti ćemo u mnogim jednadžbama koristiti ovo ograničenje, nazvano ODZ - raspon dopuštenih vrijednosti

Kad se uspoređuju dva razlomka s istom bazom, ali različitim potencijama, veći će biti razlomak s većom potencijom, a manji će biti onaj s manjom potencijom; ako su ne samo baze, nego i potencije jednake, razlomak se smatra istim.