Kako pomnožiti obične razlomke prirodnim brojem. Množenje razlomaka

Kako pomnožiti obične razlomke prirodnim brojem. Množenje razlomaka
Kako pomnožiti obične razlomke prirodnim brojem. Množenje razlomaka
17.10.2019

Obični frakcijski brojevi prvi put se susreću sa školskom djecom u 5. razredu i prate ih cijeli život, budući da je u svakodnevnom životu često potrebno razmatrati ili koristiti predmet ne kao cjelinu, već u zasebnim dijelovima. Počnite proučavati ovu temu - dionice. Udjeli su jednaki dijelovi, u koji je podijeljen ovaj ili onaj objekt. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, duljinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili razlomke neke mjere. Nastala od glagola "razdvojiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, sama riječ "frakcija" nastala je u ruskom jeziku u 8. stoljeću.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežom granom matematike. U 17. stoljeću, kada su se pojavili prvi udžbenici matematike, nazivali su ih "razbijeni brojevi", što je ljudima bilo vrlo teško razumjeti.

Moderan izgled jednostavne frakcijske ostatke, čiji su dijelovi odvojeni vodoravnom crtom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegovi radovi datiraju iz 1202. godine. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako se množe mješoviti razlomci s različitim nazivnicima.

Množenje razlomaka s različitim nazivnicima

U početku je vrijedno odrediti vrste razlomaka:

  • ispravan;
  • netočno;
  • mješoviti.

Zatim se morate sjetiti kako se množe razlomački brojevi s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa lako je samostalno formulirati: rezultat množenja prosti razlomci s istim nazivnicima je razlomački izraz, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika tih razlomaka. To jest, zapravo, novi nazivnik je kvadrat jednog od prvobitno postojećih.

Pri množenju jednostavni razlomci s različitim nazivnicima za dva ili više faktora pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina je razlika u tome što će dobiveni broj ispod razlomačke crte biti umnožak različitih brojeva i, naravno, kvadrata jednog brojčani izraz nemoguće ga je imenovati.

Vrijedno je razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

  • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
  • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

U primjerima se koriste metode redukcije frakcijskih izraza. Brojeve brojnika možete smanjiti samo brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.

Uz jednostavne razlomački brojevi, postoji koncept mješovitih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog i razlomka, odnosno zbroj je ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako radi množenje?

Navedeno je nekoliko primjera za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Primjer koristi množenje broja s obični razlomački dio, pravilo za ovu akciju može se napisati kao:

a* b/c = a*b /c.

Zapravo, takav umnožak je zbroj identičnih frakcijskih ostataka, a broj članova to pokazuje prirodni broj. Poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedno rješenje za množenje broja ostatkom u razlomku. Samo trebate podijeliti nazivnik ovim brojem:

d* e/f = e/F D.

Ova tehnika je korisna za korištenje kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, cijelim brojem.

Prevedi mješoviti brojevi na neprave razlomke i dobiti produkt na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način predstavljanja mješovitog razlomka kao nepravog razlomka, također se može predstaviti kao opća formula:

a bc = a*b+ c/c, gdje je nazivnik novi razlomak nastaje množenjem cijelog dijela s nazivnikom i zbrajanjem s brojnikom izvornog razlomka, a nazivnik ostaje isti.

Ovaj proces djeluje i u suprotnom smjeru. Da biste razdvojili cijeli dio i razlomak, morate brojnik nepravilnog razlomka podijeliti s njegovim nazivnikom pomoću "kuta".

Množenje nepravi razlomci proizvedeni na općeprihvaćen način. Kada pišete ispod jedne crte razlomka, trebate smanjiti razlomke koliko je potrebno kako biste smanjili brojeve ovom metodom i olakšali izračun rezultata.

Na internetu postoji mnogo pomoćnika za rješavanje čak i složenih matematičkih problema razne varijacije programa. Dovoljan broj takvih usluga nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka različite brojeve u nazivnicima - tzv. online kalkulatori za izračunavanje razlomaka. U stanju su ne samo množiti, već i izvoditi sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Nije teško raditi; ispunite odgovarajuća polja na web stranici, odaberite znak matematičke operacije i kliknite "izračunaj". Program izračunava automatski.

Tema aritmetičkih operacija s razlomcima aktualna je u cijelom obrazovanju učenika srednjih i srednjih škola. U srednjoj školi više ne razmatraju najjednostavnije vrste, već cjelobrojni frakcijski izrazi, ali znanje o pravilima za transformaciju i izračune dobiveno ranije primjenjuje se u izvornom obliku. Dobro naučeno osnovno znanje dati potpuno povjerenje u uspješna odluka najviše složeni zadaci.

Zaključno, ima smisla citirati riječi Lava Nikolajeviča Tolstoja koji je napisao: “Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojnik - svoje zasluge - ali svako može smanjiti svoj nazivnik - svoje mišljenje o sebi, i tim smanjenjem se približiti svom savršenstvu.

Razmotrit ćemo množenje običnih razlomaka u nekoliko mogućih opcija.

Množenje običnog razlomka razlomkom

Ovo je najjednostavniji slučaj u kojem trebate koristiti sljedeće pravila množenja razlomaka.

Do množiti razlomak po razlomak, potrebno:

  • pomnožiti brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i upisati njihov umnožak u brojnik novog razlomka;
  • pomnožiti nazivnik prvog razlomka nazivnikom drugog razlomka i upisati njihov umnožak u nazivnik novog razlomka;

    • Prije množenja brojnika i nazivnika provjerite mogu li se razlomci smanjiti. Smanjenje razlomaka u izračunima znatno će vam olakšati izračune.

    Množenje razlomka prirodnim brojem

    Da napravimo razlomak pomnožiti prirodnim brojem Morate brojnik razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik razlomka ostaviti nepromijenjenim.

    Ako je rezultat množenja nepravi razlomak, nemojte ga zaboraviti pretvoriti u mješoviti broj, odnosno označiti cijeli dio.

    Množenje mješovitih brojeva

    Za množenje mješovitih brojeva prvo ih morate pretvoriti u neprave razlomke, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

    Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem

    Ponekad je pri izračunu prikladnije koristiti drugu metodu množenja obični razlomak po broju.

    Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, potrebno je nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti isti.

    Kao što se može vidjeti iz primjera, ova verzija pravila je prikladnija za korištenje ako je nazivnik razlomka djeljiv prirodnim brojem bez ostatka.

    Operacije s razlomcima

    Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima

    Postoje dvije vrste zbrajanja razlomaka:

  • Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima
  • Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

    • Prvo, naučimo zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, zbrojimo razlomke i . Zbrojite brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen:

    Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Dodate li pizzu na pizzu, dobit ćete pizzu:

    Primjer 2. Zbrojite razlomke i .

    Opet zbrajamo brojnike, a nazivnik ostavljamo nepromijenjenim:

    Pokazalo se da je odgovor nepravi razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je riješiti se nepravih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju cijeli dio lako se ističe - dva podijeljeno s dva jednako je jedan:

    Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Dodate li još pizze na pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu:

    Primjer 3. Zbrojite razlomke i .

    Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako na pizzu dodate još pizze, dobit ćete pizzu:

    Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

    Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojnike treba zbrojiti, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim:

    Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako dodate pizze na pizzu i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

    Kao što vidite, nema ništa komplicirano u zbrajanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

  1. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom, morate zbrojiti njihove brojnike i ostaviti nazivnik istim;
  2. Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

    3. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

    Sada naučimo kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Kod zbrajanja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.

    Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.

    Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ovi razlomci različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

    Postoji nekoliko načina svođenja razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo pogledati samo jednu od njih, budući da se druge metode početniku mogu činiti kompliciranima.

    Bit ove metode je da prvo tražimo najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika oba razlomka. LCM se zatim dijeli s nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto čine s drugim razlomkom - LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

    Brojnici i nazivnici razlomaka zatim se množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati.

    Primjer 1. Zbrojimo razlomke i

    Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih trebate svesti na isti (zajednički) nazivnik.

    Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

    LCM (2 i 3) = 6

    Sada se vratimo razlomcima i . Prvo podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.

    Dobiveni broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu crtu preko razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad:

    Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo s nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.

    Dobiveni broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do drugog razlomka. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

    Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

    Pažljivo pogledajte do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

    Ovo dovršava primjer. Ispada dodati .

    Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako dodate pizzu na pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu i još jednu šestinu pizze:

    Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Svođenjem razlomaka i na zajednički nazivnik dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika bit će što će ovaj put biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik).

    Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri komada od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri komada od šest). Zbrajanjem ovih komada dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo istaknuli cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).

    Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detaljno. U obrazovne ustanove Nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM oba nazivnika i dodatnih faktora uz njih, kao i brzo pomnožiti pronađene dodatne faktore sa svojim brojnicima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo napisati ovaj primjer na sljedeći način:

    Ali također postoji stražnja strana medalje. Ako u prvim fazama učenja matematike ne vodite detaljne bilješke, tada se počinju javljati takva pitanja. “Odakle dolazi taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u sasvim druge razlomke? «.

    Kako biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete upotrijebiti sljedeće upute korak po korak:

  3. Odredite LCM nazivnika razlomaka;
  4. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
  5. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
  6. Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
  7. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

    8. Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

    Upotrijebimo dijagram koji smo dali gore.

    Korak 1. Pronađite LCM za nazivnike razlomaka

    Odredite LCM za nazivnike obaju razlomaka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4. Trebate pronaći LCM za ove brojeve:

    Korak 2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

    Podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga iznad prvog razlomka:

    Sada dijelimo LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Dobijemo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga iznad drugog razlomka:

    Sada dijelimo LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobijemo 3. Dobijemo treći dodatni faktor 3. Zapišemo ga iznad trećeg razlomka:

    Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima

    Množimo brojnike i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:

    Korak 4. Zbrojite razlomke s istim nazivnicima

    Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje samo zbrojiti ove razlomke. Zbrojite:

    Dodavanje nije stalo u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, premješta se u sljedeći red, a potrebno je na kraju prvog i na početku staviti znak jednakosti (=). nova linija. Znak jednakosti u drugom retku označava da se radi o nastavku izraza koji je bio u prvom retku.

    Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, označite njegov cijeli dio

    Pokazalo se da je naš odgovor netočan razlomak. Moramo istaknuti cijeli dio toga. Ističemo:

    Dobili smo odgovor

    Oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima

    Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

  8. Oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima
  9. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, morate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, ali nazivnik ostaviti isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza. Da biste riješili ovaj primjer, morate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti isti. Napravimo to:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Opet, od brojnika prvog razlomka oduzmite brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostavite isti:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka potrebno je oduzeti brojnike preostalih razlomaka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Ako je primjer dovršen, tada je uobičajeno riješiti se nepravilnog razlomka. Oslobodimo se nepravog razlomka u odgovoru. Da bismo to učinili, odaberimo cijeli njegov dio:

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

  • Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, trebate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti isti;
  • Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

    • Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

    Na primjer, razlomak možete oduzeti od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

    Zajednički nazivnik nalazimo koristeći isti princip koji smo koristili pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika obaju razlomaka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je zapisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji je napisan iznad drugog razlomka.

    Razlomci se zatim množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati.

    Primjer 1. Pronađite značenje izraza:

    Prvo nalazimo LCM nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

    LCM (3 i 4) = 12

    Sada se vratimo razlomcima i

    Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:

    Isto radimo s drugim razlomkom. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobivamo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

    Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

    Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

    Dobili smo odgovor

    Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako izrežete pizzu od pizze, dobit ćete pizzu

    Ovo je detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo bi rješenje izgledalo ovako:

    Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Svodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik):

    Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet dijelova.

    Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

    Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo treba svesti na isti (zajednički) nazivnik.

    Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

    Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

    LCM(10, 3, 5) = 30

    Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka.

    Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga iznad prvog razlomka:

    Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga iznad drugog razlomka:

    Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobivamo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga iznad trećeg razlomka:

    Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

    Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste (zajedničke) nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Završimo ovaj primjer.

    Nastavak primjera neće stati u jedan redak, pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:

    Ispostavilo se da je odgovor običan razlomak i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazan i ružan. Bilo bi potrebno učiniti ga jednostavnijim i estetski ugodnijim. Što može biti učinjeno? Možete skratiti ovaj razlomak. Podsjetimo se da je smanjenje razlomka dijeljenje brojnika i nazivnika s najvećim zajednički djelitelj brojnik i nazivnik.

    Da biste pravilno smanjili razlomak, morate njegov brojnik i nazivnik podijeliti s najvećim zajedničkim djeliteljem (NZD) brojeva 20 i 30.

    GCD ne treba brkati s NOC. Najčešća pogreška mnogih početnika. GCD je najveći zajednički djelitelj. Nalazimo ga da smanjimo razlomak.

    A LCM je najmanji zajednički višekratnik. Nalazimo ga kako bismo razlomke doveli na isti (zajednički) nazivnik.

    Sada ćemo pronaći najveći zajednički djelitelj (NZD) brojeva 20 i 30.

    Dakle, nalazimo GCD za brojeve 20 i 30:

    GCD (20 i 30) = 10

    Sada se vraćamo našem primjeru i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s 10:

    Dobili smo prekrasan odgovor

    Množenje razlomka brojem

    Da biste pomnožili razlomak s brojem, potrebno je brojnik zadanog razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti isti.

    Primjer 1. Pomnožite razlomak s brojem 1.

    Pomnožite brojnik razlomka s brojem 1

    Snimanje se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu

    Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, umnožak se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će umnožak i dalje biti jednak . Opet, pravilo za množenje cijelog broja i razlomka funkcionira:

    Ovaj zapis se može shvatiti kao uzimanje polovice jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i mi uzmemo pola, tada ćemo imati pizzu:

    Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

    Pomnožite brojnik razlomka s 4

    Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pizze, dobit ćete dvije cijele pizze

    A ako zamijenimo množenik i množitelj, dobit ćemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:

    Množenje razlomaka

    Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako se odgovor pokaže kao netočan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.

    Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

    Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovaj udio. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje imati sljedeći oblik:

    Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:

    Kako od ove polovice uzeti dvije trećine? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:

    I uzmi dva od ova tri komada:

    Napravit ćemo pizzu. Prisjetite se kako pizza izgleda podijeljena na tri dijela:

    Jedan komad ove pizze i dva komada koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

    Drugim riječima, govorimo o otprilike iste veličine pizze. Stoga je vrijednost izraza

    Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

    Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

    Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

    Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

    Pokazalo se da je odgovor običan razlomak, ali bilo bi dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, morate ga podijeliti s gcd brojnika i nazivnika. Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:

    GCD za (105 i 150) je 15

    Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora s gcd:

    Predstavljanje cijelog broja kao razlomka

    Bilo koji cijeli broj može se prikazati kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Ovo neće promijeniti značenje pet, budući da izraz znači "broj pet podijeljen s jedan", a to je, kao što znamo, jednako pet:

    Recipročni brojevi

    Sada ćemo se upoznati s vrlo zanimljivom temom iz matematike. To se zove "obrnuti brojevi".

    Definicija. Obrnuto prema broju a je broj koji, kada se pomnoži sa a daje jedan.

    Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

    Obrnuto prema broju 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

    Je li moguće pronaći broj koji pomnožen s 5 daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:

    Zatim pomnožite ovaj razlomak samim sobom, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožite razlomak samim sobom, samo naopako:

    Što će se dogoditi kao rezultat toga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:

    To znači da je obrnuto od broja 5 broj , jer kad pomnožite 5 s dobit ćete jedan.

    Recipročna vrijednost broja može se pronaći i za bilo koji drugi cijeli broj.

    • recipročna vrijednost od 3 je razlomak
    • recipročna vrijednost od 4 je razlomak

      • Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

    ) i nazivnik po nazivnik (dobivamo nazivnik umnoška).

    Formula za množenje razlomaka:

    Na primjer:

    Prije nego počnete množiti brojnike i nazivnike, morate provjeriti može li se razlomak smanjiti. Ako možete smanjiti razlomak, bit će vam lakše napraviti daljnje izračune.

    Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.

    Dijeljenje razlomaka s prirodnim brojevima.

    Nije tako strašno kao što se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, cijeli broj pretvaramo u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

    Množenje mješovitih razlomaka.

    Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

    • pretvarati mješovite razlomke u neprave razlomke;
    • množenje brojnika i nazivnika razlomaka;
    • smanjiti frakciju;
    • Ako dobijete nepravi razlomak, tada nepravi razlomak pretvaramo u mješoviti razlomak.

    Bilješka! Umnožiti se mješovita frakcija u drugi mješoviti razlomak, prvo ih morate pretvoriti u oblik nepravih razlomaka, a zatim ih pomnožiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

    Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.

    Možda bi bilo prikladnije koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

    Bilješka! Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, morate nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

    Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka podijeli bez ostatka s prirodnim brojem.

    Višekatni razlomci.

    U srednjoj školi često se susreću trokatni (ili više) razlomci. Primjer:

    Da biste takav razlomak doveli u uobičajeni oblik, upotrijebite dijeljenje kroz 2 točke:

    Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako zbuniti.

    Bilješka, Na primjer:

    Kada dijelite jedan bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnut:

    Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

    1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost. Sve proračune izvodite pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati nekoliko dodatnih redaka u svoj nacrt nego se izgubiti u mentalnim proračunima.

    2. U zadacima sa različiti tipovi razlomci - prijeći u oblik običnih razlomaka.

    3. Sve razlomke reduciramo dok više nije moguće reducirati.

    4. Višerazinske frakcijske izraze pretvaramo u obične koristeći dijeljenje kroz 2 točke.

    5. Podijelite jedinicu s razlomkom u glavi, jednostavno okrećući razlomak.

    U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija “Ahilej i kornjača”. Evo kako to zvuči:

    Recimo Ahil trči deset puta brže od kornjače i za njom je tisuću koraka. Za vrijeme koje je Ahilu potrebno da pretrči tu udaljenost, kornjača će otpuzati stotinjak koraka u istom smjeru. Kad Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača otpuže još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti ad infinitum, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

    Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ...rasprave se nastavljaju do danas; znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa...su bili uključeni u proučavanje problematike matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia, "Zenonova aporija". Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne shvaća u čemu se prijevara sastoji.

    S matematičkog gledišta Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s kvantitete na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto trajnih. Koliko ja razumijem, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, na recipročnu vrijednost primjenjujemo stalne jedinice vremena. S fizičke točke gledišta, ovo izgleda kao usporavanje vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može pobjeći kornjači.

    Okrenemo li svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči sa stalna brzina. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahil će beskonačno brzo sustići kornjaču."

    Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i nemojte prelaziti na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

    U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača će otpuzati stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.

    Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali to nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o neodoljivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji “Ahil i kornjača”. Još uvijek moramo proučiti, promisliti i riješiti ovaj problem. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

    Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

    Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.

    U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, gibanje. Ovdje je potrebno napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili kreće li se automobil, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, i dalje su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono što želim istaknuti Posebna pažnja, je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

    Srijeda, 4. srpnja 2018

    Razlike između skupa i multiskupa su vrlo dobro opisane na Wikipediji. Da vidimo.

    Kao što možete vidjeti, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu apsurdnu logiku. To je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

    Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta dok su ispitivali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove.

    Koliko god se matematičari skrivali iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primjenjivo matematička teorija postavlja samim matematičarima.

    Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i dajemo plaće. Dakle, matematičar dolazi k nama po svoj novac. Izbrojimo mu cijeli iznos i poslažemo ga na stol u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim uzmemo po jednu novčanicu iz svake hrpe i damo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Objašnjavamo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez istovjetnih elemenata nije jednak skupu s identične elemente. Ovdje počinje zabava.

    Prije svega, proradit će logika zastupnika: "Ovo se može primijeniti na druge, ali ne na mene!" Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, prebrojimo plaće u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: različite kovanice imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma je jedinstven za svaki novčić...

    A sad imam najviše interes Pitaj: gdje je crta iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva crta ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost tu ni blizu ne laže.

    Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površine polja su iste – što znači da imamo multiskup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobivamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Što je točno? I tu matematičar-šaman-šarpist vadi asa aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

    Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".

    Nedjelja, 18.03.2018

    Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i njime se služiti, ali oni su zato šamani, da svoje potomke pouče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

    Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja." Ona ne postoji. Ne postoji formula u matematici koja se može koristiti za pronalaženje zbroja znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima zapisujemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: “Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj.” Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.

    Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Što treba učiniti da se pronađe zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom.

    1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

    2. Jednu dobivenu sliku režemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

    3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

    4. Zbrojite dobivene brojeve. Ovo je matematika.

    Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" koje podučavaju šamani a kojima se služe matematičari. Ali to nije sve.

    S matematičkog gledišta nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima U računici će zbroj znamenki istog broja biti različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S velikim brojem 12345, ne želim zavaravati glavu, razmislimo o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak promatrati pod mikroskopom; to smo već učinili. Pogledajmo rezultat.

    Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je isto kao da ste odredili površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.

    Nula izgleda isto u svim brojevnim sustavima i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog tome da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Šamanima to mogu dopustiti, ali znanstvenicima ne. Stvarnost nisu samo brojke.

    Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo uspoređivati ​​brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različite rezultate nakon što ih usporediš, znači da to nema nikakve veze s matematikom.

    Što je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome tko tu radnju izvodi.

    Znak na vratima Otvara vrata i kaže:

    Oh! Nije li ovo ženski WC?
    - Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje nedefilske svetosti duša tijekom njihova uzašašća na nebo! Oreol na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

    Žensko... Oreol na vrhu i strelica prema dolje su muški.

    Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

    Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

    Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne mislim da je ova djevojka glupa, ne poznavatelj fizike. Ona samo ima jak stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

    1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

    Množenje cijelog broja razlomkom nije težak zadatak. Ali postoje suptilnosti koje ste vjerojatno razumjeli u školi, ali ste u međuvremenu zaboravili.

    Kako pomnožiti cijeli broj razlomkom - nekoliko pojmova

    Ako se sjećate što su brojnik i nazivnik i po čemu se pravi razlomak razlikuje od nepravog, preskočite ovaj odlomak. To je za one koji su potpuno zaboravili teoriju.

    Brojnik je gornji dio razlomka - ono što dijelimo. Nazivnik je manji. Ovo je ono po čemu se dijelimo.
    Pravilan razlomak je onaj čiji je brojnik manji od nazivnika. Nepravi razlomak je onaj čiji je brojnik veći ili jednak nazivniku.

    Kako pomnožiti cijeli broj razlomkom

    Pravilo množenja cijelog broja razlomkom je vrlo jednostavno - brojnik množimo cijelim brojem, ali ne diramo nazivnik. Na primjer: dva pomnožena s jednom petinom - dobivamo dvije petine. Četiri pomnoženo s tri šesnaestine jednako je dvanaest šesnaestina.


    Smanjenje

    U drugom primjeru, rezultirajuća frakcija se može smanjiti.
    Što to znači? Imajte na umu da su i brojnik i nazivnik ovog razlomka djeljivi s četiri. Dijeljenje obaju brojeva zajedničkim djeliteljem naziva se smanjenje razlomka. Dobivamo tri četvrtine.


    Nepravi razlomci

    Ali pretpostavimo da pomnožimo četiri s dvije petine. Ispalo je osam petina. Ovo je nepravi razlomak.
    Nju svakako treba dovesti prava vrsta. Da biste to učinili, morate odabrati cijeli dio iz njega.
    Ovdje morate koristiti dijeljenje s ostatkom. Dobivamo jedan i tri kao ostatak.
    Jedno cijelo i tri petine je naš pravi razlomak.

    Dovođenje trideset pet osmina u ispravan oblik malo je teže. Broj najbliži trideset sedam koji je djeljiv s osam je trideset dva. Kad podijelimo dobijemo četiri. Oduzmemo trideset dva od trideset pet i dobit ćemo tri. Rezultat: četiri cijela i tri osmine.


    Jednakost brojnika i nazivnika. I ovdje je sve vrlo jednostavno i lijepo. Ako su brojnik i nazivnik jednaki, rezultat je jednostavno jedan.